Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
33.Числовые ряды. Основные понятия Опр1 Дана послед {an}. Образуем новую {Sn} по правилу S1=a1, S2=a1+a2, Sn=a1+a2+…an=k. Эти пол-ти называются числовым рядом. Замеч.1Иногда последовательность начинается не с 1го, а с м-ного члена Опр.2 Дан ряд n, если существует конечный lim(Sn)=S, то ряд сходится, число S называют суммой ряда и пишут n = S. Если же предел не сущ или бесконечен, то ряд расходится. Т1 Если n сходится, то lim(an)=0 След1Достаточный признак сходимости ряда Если lim(an)≠0, то расходится Предл1 1) n, n сходятся, то для любых α,β an+βbn) сходится. an+βbn)=n+βn 2) n сх, n расх, для люб α,β≠0 an+βbn) расх Предл2 Для люб m€N n, n cх или расх одновременно. Первое конечно число членов ряда не влияет на его сходимость |
42. Разложение в ряд Тэйлора простейших функций Пр f(x)=, x0=0. . Возьмём интервал (а;b) содерж 0. Ɐx€(a;b) Ɐn€NU{0} |fn(x)|=ex≤eb=M. |fn(x)|≤M. По теор1 Ɐх€(а;b) (x-x0)n, fn(0)=e0=1, ex=xn, ex=. Для любого х можно взять интервал (а;b) содерж х, зн это выр. Справедл. Для любого х. 2) f(x)=cos(x), x0=0. f’(x)=-sin(x). f”(x)=-cos(x). f”’(x)=sin(x).fIV(x)=cos(x). Следовательно fn(x)=cos(. Возьмём (a;b)cодерж0. Ɐx€(a;b)Ɐn€NU{0} |fn(x)|≤|cos(|≤1=M.|fn(x)|≤M. По Т1 xn fn(0)=cos( cos(x)=xn. cos( cos(x)=x2k или cos(x)= (-1)nx2k . Т.к. Ɐх можно взять интервал (а;b) содерж х, зн это выр. Справедл. Для любого х€R |
39. Степенные ряды. Радиус сходимости Опр1x0€R, {an}+∞n=0. Множество числовых рядов вида n(х0-х)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+a3(x-x0)3…an (x-x0)n+… Ɐx€R называется степенным рядом в точке x0 или по степеням x-x0. Множество х, при котором степен. Ряд сх, назыв. Областью сходимости степенного ряда и обозачается Dсх. S:Dсх->R, S(x) = n(х0-х)n назыв суммой степенного ряда. Замеч1Dсх=ø т.к. x0€Dсх (S(x0)=a0+0+0…=a0) Т1У любого степ.ряда n(х0-х)n ƎRсх€[0;+∞], такое, что при |x-x0|<Rсх n(х0-х)n cх асб, при|x-x0|>Rсх n(х0-х)n расх (x0-Rсх, x0+Rсх)={|x-x0 |<Rсх}={x0-Rсх<x<x0+Rсх} Замеч2Из опр2 следует, что Dсх(обл сходимости) содержит интервал сходимости и возможно 2 точки x0-Rсх,x0+Rсх |
|
34. Признаки сравнения для положительных рядов Опр1 n наз полож, если an≥0 Ɐn€N Т1Пусть n, n пол ряды, an≤bn Ɐn€N, тогда 1) Если n сходится, то n сходится 2) n расх ->n расх Т2Предельный признак сравнения. n, n пол ряды, Ǝконечн lim ≠0, тогда ряды сх или расх одновр. |
40.Вычисление радиуса сходимости степенного ряда Пред1n(x-x0)n Ǝlimn|=k€[0;+∞],тогда 1) k=0 Rсх= 2) k= Rсх=0 3) k€(0;+∞) Rсх= Пред2n(x-x0)n Ǝlim= D€[0;+∞] 1) D=0 Rсх= 2) D= Rсх=0 3) D€(0;+∞) Rсх= |
41.Ряд Тэйлора f:X->R x0€X.Пусть Ǝf(n)(x0)Ɐn€N функция бесконечно дифференцируема в x0. (x-x0)n =f(x0)+(х-x0)+(x-x)2+…(x-x0)n называется ряжом Тейлора функции f в точке или по степеням (x-x0) Т1f(a:b) и пусть все производные f ограничены в совокупности, то есть ƎM>0 Ɐx€(a:b)Ɐn€NU(включая){0} ||≤M. Тогда Ɐx,x0€(a;b), f(x)=(x-x0)n (f раскладывается в свой ряд Тэйлора) |
|
35.Интегральный признак для пол рядов. Ряд Дирихле |
43.Тригонометрический ряд Фурье Т1(Фирипле) Пусть f кусочно диф-ма на [a;b], зн f,f’кусочно непрерывны на [a;b]. Тогда тригон ряд Фурье сходится Ɐx€[a;b] и Sф(x)=+n+bn сх и удовл сл св-вам: 1) Если x€[a;b] точка непрер. f,Sф(х)=f(x) f(x)=+n+bn 2) x€[a;b] т. разрыва f, то Sф(x)= 3)Sф(a)=Sф(b)= Замеч1: f задано на R является периодической с периодом Т |
38. Признаки Коши и Д’Аламбера абсолютной сходимости, знакочередующиеся ряды Опр.2 n-1an=a1-a2+a3-a4+a5…+(-1)n-1an, an>0 Ɐn€N называется знакочередующимся. Т1(признак Лейбинса)n-1an liman=0 {an} an+1≤an Ɐn (невозрастающая), то знакочер. Ряд расходится Т3Признак Коши. Абсолютная сходимость Ǝlimn=k€[0;+∞], тогда если k<1 n cх абсл; если k>1n расх Т4Признак Д’Аламбера, абсл сходимость Ǝlim|= D€[0;+∞], D<1 n сх абс, D>1n расх |
|
36. Признаки Коши и Д’Аламбера Т4Признак Коши. n пол. Пусть Ǝlimn = k€[0;+∞] 1) k<1 ряд сх 2)k>1ряд расх Т5 (Признак Д’Аламбера) . n пол, Ǝlim= D€[0;+∞] 1)D<1 ряд сх 2)D>1 расх Замеч1Если к=1, D=1 ряд может сходиться и расходиться. |
44. Тригонометрический ряд Фурье для чётных и нечётных функций Лемма 1Пусть f интегрируема на [-a;a] 1) f чётн 2)нечётн 0 Т2Пусть f кусочно диф-ма на [- 1) f чётн, если её тригон ряд Фурье содержит только cos 2) нечёт если только sin |
|
|
37. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов Т2 n| сх, то n сх. Замеч1Обратное не верно, ряд может сх, а ряд из модулей может сх и расх. Опр3n| сх. n сх. Абсолютно, n| расх, n сх->сх условно Замеч2Из Т2если ряд сх абсолютно, то он сх. Из замеч1 n-1сх условно |