Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 77. Электромагнитное происхождение массы электрона
О массе тела, т. е. о количестве материи, мы судим по величине того сопротивления (той инертности), которое тело оказывает, когда мы хотим изменить скорость его движения. Меха ника Ньютона учит нас, что величина этого сопротивления не зависит от того, находилось ли раньше тело в покое или двигалось. Меха ника Ньютона утверждает, что при любой скорости движения инертность тела (т. е. величина сопротивления, которое нужно преодолеть, чтобы, воздействуя на тело в течение 1 сек., увеличить скорость тела на 1 см/сек) одинакова для всевозможных направлений силы и одинакова для любых скоростей. Именно этот факт мы и хотим констатировать, когда говорим, что инертность (и масса) тела инвариантна (неизменна) по отношению к состояниям движения.
Инертность тела может быть обусловлена или свойствами самого тела, или свойствами среды, в которой оно движется. В связи с этим мы различаем «истинную массу» от «кажущейся массы» тела. Со противление, которое оказывает тело попыткам изменить скорость его движения в вязкой среде, значительно больше истинной инерт ности тела, так как в этом случае, сообщая телу ускорение, мы должны одновременно привести в движение значительные массы окружающей среды. Общеизвестно, насколько затруднены и замед лены движения человека в воде. Из опыта установлено, что пузырёк воздуха объёмом в 1 см3 в воде имеет инертность, равную при близительно 1/2 г; вместе с тем истинная масса воздуха, заключён ного внутри такого пузырька, представляет собой величину порядка одной тысячной доли грамма.
Любое тело мы можем представить себе движущимся вне той среды, которая обусловливает кажущееся нарастание его массы. С этой точки зрения мы правы, когда рассматриваем кажущуюся массу как внешнее свойство тела в отличие от действительной массы, составляющей его неотъемлемое свойство. Но если благодаря своеобразным особенностям самого тела невозможно представить себе движение этого тела вне среды, обусловливающей нарастание его массы, то в этом случае было бы нелогично рассматривать кажущуюся массу как какое-то внешнее свойство тела, противо поставляя её истинной массе.
По существу именно этот случай мы и имеем при движении электрически заряженного тела.
Движение электрически заряженного тела всегда сопровождается возникновением магнитного поля.
Нетрудно понять, почему магнитное поле, возникающее при дви жении заряженного тела, сообщает телу дополнительную инертность: на создание поля необходимо затратить работу. При затормаживании заряженного тела энергия магнитного поля преобразуется в ра боту, направленную против затормаживающих сил. Магнитное поле, движущееся вместе с заряженным телом, стремится сохранить ско рость и направление движения неизменным.
По отношению к движущемуся заряженному телу магнитное поле играет роль среды, которая принципиально неотъемлема от дви жущегося заряженного тела. Если речь идёт о заряженном теле макроскопических размеров, то мы можем ещё сохранить противо поставление кажущейся массы, частично обусловленной магнитным полем, и его истинной массы, подразумевая под истинной массой массу незаряженного тела. Иное дело электрон. Материальная частица с массой, равной массе электрона, но лишённая свойственного электрону заряда, никогда не была наблюдена, и у нас нет осно ваний предполагать, что существование электрона, лишённого заряда, вообще возможно. Мы поэтому не вправе рассматривать движение электрона, отвлекаясь от сопутствующего ему магнитного поля. Мы должны заключить, что инертность магнитного происхождения для электрона отнюдь не является внешним свойством. Поскольку «кажу щаяся масса» электрона обусловлена магнитным полем, а магнитное поле неотъемлемо от движущегося электрона, то очевидно, что кажущаяся масса и должна рассматриваться как истинная масса электрона. Ту же мысль можно сформулировать и так: материаль ная основа магнитного поля, возникающего при движении элек трона (а также и электрического поля, связанного с зарядом электрона), неотделима от электрона.
Инертность электрона, обусловленную его электромагнитным полем, можно вычислить (с некоторым приближением) теоретически. Поясним сущность такого расчёта и затруднения, которые при этом обнару живаются.
Если движущийся заряд рассматривать как элемент тока, то ве личина этого элемента тока должна, очевидно, считаться пропор циональной величине заряда и скорости его движения. В соответ ствии с этим напряжённость магнитного поля, создаваемого движу щимся зарядом, пропорциональна произведению заряда на скорость его перемещения. Энергия магнитного поля в единице объёма (для поля в вакууме) равна, как мы знаем, H2/8. Поэтому суммарная
энергия магнитного поля движущегося заряда пропорциональна (при не слишком больших скоростях) квадрату заряда и квадрату скорости.
Допустим, что, помимо массы электромагнитного происхождения, электрон имеет ещё массу какого-то иного происхождения. Соот ветствует ли это допущение истине или нет,—к обсуждению этого вопроса мы вернёмся позже. Обозначим эту особую неэлектромаг нитную массу буквой . Если электрон движется со скоростью v,
то кинетическая энергия его равна v2/2. Магнитное поле движу щегося заряженного тела существенно зависит от размеров тела и от того, каким образом распределены заряды внутри тела. Если движущееся тело представляет собой сферу радиуса а, заряжен ную количеством электричества е, которое сосредоточено на по верхности сферы, то энергия электромагнитного поля такого тела, дви жущегося с относительно небольшой скоростью v, приближённо
равна Wm(e2/3a)(v2/c2). Таким образом, общая энергия электрона, если предполагать, что электрон сферичен и заряд его равномерно распределён по поверхности сферы, равна:
Нетрудно видеть, что выражение, заключённое в скобки, играет роль массы покоящегося электрона (или движущегося с небольшой скоростью):
(36)
Если бы мы исходили из гипотезы, что заряд электрона не со средоточен на его поверхности, а равномерно распределён по всему его объёму, то мы получили бы для электромагнитной массы электрона не величину 2/3e3/ac2, а аналогичное выражение, умноженное на 4/5 вместо 2/3.
При больших скоростях энергия магнитного поля возрастает быстрее квадрата скорости. Поэтому инертность заряда, обус ловленная магнитным полем, не является величиной инвариант ной, но зависит от скорости движения. Чем больше скорость, тем значительнее воздействие магнитного поля на электрон, тем устойчивее его движение. Инертность электромагнитного происхож дения имеет наименьшее значение тогда, когда заряд покоится. Однако и в этом случае она не равна нулю, так как для того, чтобы привести покоившийся ранее заряд в движение, уже надо затратить работу на образование магнитного поля.
Приближённая формула (36) показывает, что электромагнитная масса электрона, так же как и всякого вообще шарообразного за ряженного тела, тем больше, чем меньше его радиус. Если бы мы захотели экспериментально обнаружить инертность электромагнит ного происхождения, изучая движение заряженных шариков, нам это, несмотря на изумительную точность современного лабораторного опыта, безусловно не удалось бы. Действительно, по формуле (36) шарик радиусом в 1 см (его ёмкость равна 1 см в абсолютных электростатических единицах), заряженный до потенциала в 1000000 вольт, имеет массу, обусловленную электромагнитным полем, равную
Допустим, что вся масса электрона — электромагнитного проис хождения, т. е. что =0; в таком случае найденная нами формула позволяет вычислить радиус электрона. Действительно, из опыта найдено, что масса электрона в 1837 раз меньше массы водородного атома; следовательно, она равна частному от деления I г на число Авогадро и на 1837, что даёт m9•10-28 г. Отсюда
Это соотношение указывает, что радиус электрона в 100000 раз меньше радиуса атома (радиус атома — величина порядка 10-8 см).
В пояснённый выше приближённый расчёт электромагнитной массы электрона мы ввели три предположения, которые в строгом рас чёте не могут быть допущены.
Во-первых, мы приняли, что энергия магнитного поля движущегося электрона выражается простой формулой
В действительности зависимость энергии магнитного поля электрона от скорости его движения выражается более сложным законом. Закон этот может быть написан в виде бесконечного ряда, в котором принятое нами выражение играет роль первого члена, причём все остальные члены ряда содержат более высокие степени отношения v/c. При скоростях, малых в сравнении со скоростью света,
когда отношение — значительно меньше единицы, сумма всех по следующих членов ряда составляет незначительную величину, кото рой можно пренебречь в сравнении с первым членом ряда.
Во-вторых, мы не учли важной особенности инертности электрона, а именно зависимости инертности от направления. Мы молчаливо предполагали, что инертность электрона не зависит от направле ния ускорения, т. е. допустили, что устойчивость движения элек трона в отношении численного значения скорости и устойчивость его в отношении прямолинейности траектории одинаковы. В действитель ности это не так. Оказывается, что при скорости движения элек трона, близкой к скорости света, легче сообщить электрону боковое ускорение (т. е. нарушить прямолинейность его движения), чем уве личить численное значение скорости в направлении его пути.
Первый закон ньютоновой механики гласит, что всякое тело, предоставленное самому себе, удерживает состояние равномерного прямолинейного движения. Воздействие сил сказывается или в том, что скорость тела изменяется по величине, или в том, что нарушается прямолинейность его траектории. Уже в этой классической формулировке первого закона механики можно видеть намёк на двой ственность инертности. С одной стороны, масса обусловливает устой чивость скорости движения, с другой — она определяет прямолиней ность траектории. В связи с этим мы могли бы говорить об инерт ности продольной и об инертности поперечной. Под продольной инертностью мы должны были бы в таком случае подразумевать то сопротивление, которое тело оказывает, когда мы хотим сообщить телу дополнительное ускорение в направлении его пути; под попе речной инертностью мы должны были бы подразумевать сопротивление, которое тело оказывает при попытке изменить направление его дви жения. Однако в классической механике, когда речь идёт о движе нии незаряженных тел, такое расчленение инертности тела на продольную и поперечную хотя и было бы логично, но не могло бы принести никакой пользы, так как второй закон механики Ньютона устанавливает, что инертность тела для всевозможных углов между скоростью и ускорением численно одинакова. То же самое имеет место и для электрона при малых скоростях движения. Но при боль ших скоростях сопротивление, которое оказывает электрон, когда ему сообщается ускорение в направлении пути, не равно сопроти влению, которое при той же скорости движения оказывает электрон, когда ему сообщается ускорение в направлении, перпендикулярном к направлению движения. Легче искривить траекторию быстро ле тящего электрона, чем численно увеличить скорость его движения. Поэтому в динамике электрона разграничение продольной и попе речной инертности является существенно необходимым. Однако, как будет показано ниже, это разграничение должно быть заранее пре дусмотрено только в том случае, когда для определения силы применяется уравнение -, а не уравнение
Третье упрощение, которое было сделано в пояснённом выше расчёте массы электрона, заключалось в том, что мы игнорировали возможную изменчивость формы электрона. Электромагнитное поле, вызванное электроном, воздействует на электрон, когда мы хотим изменить скорость и направление его движения. Возникает вопрос, не существует ли это воздействие постоянно, в частности и тогда, когда электрон движется прямолинейно и равномерно, и не сводится ли в этом случае воздействие поля на электрон к стационарной де формации поверхности электрона. Здесь не представляется возмож ным излагать все те соображения, которые связаны с этим вопросом. Во всяком случае следует отметить, что если бы формулы электро динамики и данные опыта привели нас к выводу, что электромаг нитное поле действительно деформирует электрон, то было бы несправедливо рассматривать этот вывод как неожиданный и непонятный.
Впервые строгий расчёт зависимости продольной и поперечной инертности электрона от скорости его движения и от величины его заряда был выполнен в 1902 г. Абрагамом. Абрагам исходил из гипотезы сферического распределения заряда и предполагал, Что форма электрона при его движении не изменяется.
Несколько позже Лорентц вычислил массу электрона, исходя из иной гипотезы, а именно Лорентц предположил, что движение элек трона сопровождается его сплющиванием в направлении движения, причём размеры электрона в направлении, перпендикулярном к дви жению, остаются неизменными, радиус же электрона в направлении
, где v— ско рость движения электрона, а с —скорость света.
Гипотеза деформируемого электрона возникла как один из спо собов истолкования причин отрицательного результата опытов Майкельсона (т. III). Задача опытов Майкельсона, впервые поставленных в 1881 г. и позднее продолженных Морлеем и Миллером, состояла в том, чтобы с помощью спектральных методов установить скорость движения Земли по отношению к мировому эфиру. Анализ опытов Майкельсона привёл Эйнштейна к теории относительности. Выводы теории относительности применительно к законам, определяющим зависимость массы электрона от скорости, совпадают с выводами Лорентца.
Формулы, полученные Лорентцом и Эйнштейном для зависимости поперечной m┴ и продольной m║ инертности электрона от скоро сти v, имеют следующий вид:
(37)
(38)
где m0—масса покоящегося электрона.
Если правую часть этих формул разложить в ряд Тейлора, то получим:
Экспериментальные данные говорят в пользу теории Лорентца и Эйнштейна; формулы, выведенные Абрагамом на основе гипотезы недеформируемого электрона, с опытными данными не согласуются.
Зависимость массы электрона от скорости опытным путём была впервые изучена Кауфманом (1899—1906). Кауфман измерял откло нение -лучей радия (потока электронов) в магнитном и электриче ском полях. По величине отклонения электронов от прямолинейного пути, зная напряжённости магнитного и электрического полей, не трудно вычислить поперечную инертность электрона. Измерения Кауфмана носили качественный характер и не могли с достаточной отчётливостью указать, каким формулам, формулам Лорентца — Эйн штейна или формулам Абрагама, следует отдать предпочтение.
В 1909 г. были опубликованы новые точные исследования Бухерера, повторённые ещё с большей точностью в 1914 г. Нейманом. Бухерер, так же как и Кауфман, изучал отклонение -лучей радия в магнитном и электрическом полях. Эти измерения с несомненностью установили, что инертность электрона изменяется в зависимости от скорости в точности по закону Лорентца — Эйнштейна (37). Если бы какая-то часть массы электрона т02 не зависела от скорости, то тогда зависимость суммарной поперечной инертности электрона от скорости должна была бы определяться формулой
из которой следует, что в этом случае произведение измеренной инертности m┴ на не было бы величиной, одинаковой для всех
скоростей, но убывало бы при возрастании скорости от величины m01+m02, при v=0 до m01 при v -> с. Напротив, если вся масса электрона изменяется в зависимости от скорости по закону Ло рентца— Эйнштейна (т. е. (m02=0), то произведение измеренной величины m┴ на
должно быть одинаковым для всех скоро стей и равным массе покоящегося электрона.
Нейман, изучая отклонение электронов от прямолинейного пути в магнитном и электрическом полях, получил для произведения
m┴ назначения, приведённые в следующей таблице.
Эта таблица с очевидностью указывает, что произведение
m┴ наостаётся одинаковым для всех скоростей движения.
В 1921 г. новые тщательные измерения отклонения электронов от прямолинейного пути магнитным и электрическим полями были сделаны в Швейцарии Гижем, Ратновским и Лаванши. Были иссле дованы быстрые катодные лучи. Некоторые результаты этих измере ний даны в приведённой ниже таблице. В первой графе этой таб лицы указано отношение скорости движения электрона к скорости света, во второй — отношение инертности электрона m┴ при скорости v к массе покоящегося электрона m0, в третьей — даны значения того же отношения, вычисленные по формуле Лорентца—Эйнштейна.
Последняя графа этой таблицы указывает разность между числами двух предыдущих граф. Просматривая эту графу, легко видеть, что отклонения наблюдённых величин от вычисленных незначительны и случайны и скорее должны быть отнесены за счёт погрешности опыта, чем за счёт неточности формулы.
Упомянутые экспериментальные данные, казалось бы, указывают на то, что вся масса электрона имеет электромагнитное происхожде ние (является «полевой массой») и никакой другой массы электрон не имеет; это означало бы, что в приближённой формуле (36) =0. Одно время и был сделан такой вывод. Однако этот вывод может оказаться неосновательным. Дело в том, что из весьма общего за кона о зависимости между массой и энергией, который будет пояс нён в т. III, можно вывести формулу Лорентца — Эйнштейна для зависимости массы от скорости [формула (37)], причём обнаружи вается, что эта формула справедлива для всех частиц, как заря женных, так и не имеющих заряда (нейтронов). Стало быть, воз можно, что в приближённой формуле (36) 0, т. е. что некоторая часть массы электрона не связана непосредственно с электромагнит ным полем электрона; по общему закону эта «неполевая» часть массы электрона должна изменяться в зависимости от скорости так же, как и «полевая»:
Ясно, что и при наличии у электрона неполевой массы произведение суммарной инертности
электрона m┴ надолжно оставаться постоянным при всех
скоростях, как это и было установлено экспериментально.
Для вычисления массы m0 покоящегося электрона (массы его электрического поля) нужно вычислить энергию электростатического поля покоящегося электрона. Если допустить, что заряд электрона равномерно распределён по сферической поверхности электрона,
имеющей радиус а, то потенциал этого заряда будет e/a и энергия (по формуле We=1/2QV) должна быть равна 1/2e2/a. Тот же
результат мы получим, интегрируя выражение для плотности электри ческой энергии по всему полю электрона:
По общему закону о зависимости между массой и энергией масса электрона, выраженная в граммах, может быть получена, если его энергию, выраженную в эргах, разделить на квадрат скорости света, выраженной в см/сек, т. е. на 9•1016. Таким образом, масса покоящегося электрона, обусловленная его электрическим полем, должна быть равна:
(39)
Это значение массы покоящегося электрона отличается от вели чины, приведённой в формуле (37) и подсчитанной по инертности, обусловленной возникновением магнитного поля при движении электрона, на величину, что объясняется неточностью формулы (36).
Однако возможно, что и выражение (39) в свою очередь неточно, так как кроме массы, связанной с материальной основой электри ческого поля, электрон, быть может, имеет ещё некоторую неполе вую массу, сопряжённую с энергией каких-то ещё не изученных сил, которые связуют воедино заряд электрона и являются причиной неделимости этого заряда.
При исследовании динамики электрона обычно применяют формулировку второго закона механики в виде уравнения
Как уже было упомянуто, в этом случае отпадает необходимость в предварительном расчленении инертности электрона на поперечную и продольную инертность, а зависимость массы электрона от ско рости полностью определяется законом Лорентца — Эйнштейна (37):
(40)
т. е. масса движущегося электрона определяется его поперечной инертностью: m= m┴. Нетрудно понять, чем объясняется возмож ность такого упрощения. Если мы введём единичный вектор в направлении скорости v, то из уравнения
получим:
Когда скорость не изменяется по величине, а изменяется только по направлению, то из приведённого уравнения следует (при dv/dt=0).
что Отсюда ясно, почему при использовании уравнения
за меру массы принимается поперечная инертность т=т┴.
С другой стороны, когда скорость изменяется только по величине
при неизменном направлении, т. е. когда dv/dt=0, то имеем, что
Но по уравнению (40)
т. е. для продольной инертности получается уравнение Лорентца (38).
1) В радиоактивных излучениях мы различаем три вида лучей: -лучи, которые представляют собой поток выброшенных из ядер радиоактивных атомов положительно заряженных двухвалентных ионов гелия, -лучи, со стоящие из электронов, и -лучи, аналогичные обыкновенным рентгеновым лучам, но отличающиеся от них значительно меньшей длиной волны.