Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
На любую автоматическую систему всегда действуют различные внешние возмущения, которые могут нарушать ее нормальную работу.
В простейшем случае понятие устойчивости системы связано с ее способностью возвращаться (с определенной точностью) в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели систему из этого состояния.
Задача исследования устойчивости АСР заключается в следующем:
- выяснить, устойчива ли система данной структуры при определенных значениях ее параметров;
- в случае неустойчивости системы определить, может ли быть обеспечена устойчивость системы выбором ее параметров и как эти параметры должны быть выбраны;
- найти область значений параметров, в пределах которой система устойчива. Последнее необходимо для того, чтобы выяснить, в каких пределах можно изменять эти параметры системы для придания ей требуемых динамических свойств, не нарушая устойчивости.
1.1. Условия устойчивости линейных систем
В случае линейной системы с постоянными параметрами связь между выходной величиной y(t) и задающим воздействием х(t) определяется дифференциальным уравнением вида:
(1)
где p = d/dt - оператор дифференцирования.
Изменение выходной (регулируемой) величины y(t) при произвольном задающем воздействии х(t) представляет собой решение уравнения (1)
(2)
где Yв(t) - вынужденная составляющая, определяемая как частное решение неоднородного уравнения (1) с правой частью;
Yсв(t) - свободная (переходная) составляющая, которая определяется общим решением однородного дифференциального уравнения (1) без правой части:
(3)
В соответствии с определением устойчивости по А. М. Ляпунову, система будет асимптотически устойчивой, если с течением времени при свободная составляющая стремится к нулю, т.е. Yсв(t) 0.
Таким образом, чтобы определить устойчивость системы необходимо решить однородное уравнение (3) и исследовать это решение.
Решение уравнения (3) в случае отсутствия кратных корней имеет вид :
(4)
где Pi - корни характеристического уравнения замкнутой системы, т.е.
(5)
Ci - постоянные интегрирования.
Поскольку все коэффициенты уравнения (3) вещественны (они представляют собой комбинацию вещественных параметров системы), то корни этого уравнения могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными.
Для вещественного корня Pi = i
(6)
для пары комплексно-сопряженных корней
(7)
Здесь (6) и (7) видно, что свободная составляющая Yсв(t) с течением времени затухает лишь в том случае, если все корни характеристического уравнения замкнутой системы имеют отрицательные вещественные части:
Re Pi = i < 0 (i = 1,2,...,n) (8)
Замечание : В случае кратких корней в решениях (6) и (7) появляются только дополнительные сомножители t , рост которых при t слабее затухания экспоненциальных функций.
Таким образом, условие (8) является необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы с постоянными параметрами.
1.2. Критерии устойчивости
Вычисление корней характеристического уравнения третьего и четвертого порядка уже достаточно громоздко и практически малопригодно.
Что же касается уравнений более высоких степеней, то для них вообще невозможно написать общее выражение для корней через коэффициенты характеристического уравнения.
Правила, позволяющие определить устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения, называют критериями устойчивости.
С математической точки зрения все критерии устойчивости эквивалентны друг другу, так как они устанавливают факт отрицательности или положительности корней или их вещественных частей.
1.2.1. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Этот критерий формулирует условия в виде неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения (5) замкнутой системы, при соблюдении которых все вещественных корни и вещественные части комплексных корней уравнения любого порядка будут отрицательными.
Из коэффициентов характеристического уравнения (5) строят сначала главный определитель Гурвица
Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка
Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом:
для того чтобы система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения , т.е. при были положительны.
Раскрывая определители Гурвица для характеристических уравнений 1-го, 2-го и 3-го порядка, можно получить следующие условия устойчивости:
1) .
Условия устойчивости
2)
Условия устойчивости
(7)
3)
Условия устойчивости
Используя критерий Гурвица, можно при заданных параметрах системы принять за неизвестный какой-либо один параметр (например, коэффициент усиления, постоянную времени и т.д.) и определить его предельное (критическое) значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.
1.2.2. Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы автоматического регулирования по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а также имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.
1.2.2.1. Критерий устойчивости Михайлова
Критерий Михайлова позволяет оценить устойчивость АСР по виду частотного годографа характеристического вектора замкнутой системы.
Характеристический вектор можно получить путем подстановки в (5) значения p=j т.е.
(9)
где (10)
называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова.
Задаваясь различными значениями и откладывая V() по горизонтальной, а V() по вертикальной осям прямоугольной системы координат, можно построить кривую, называемую частотным годографом характеристического вектора или годографом Михайлова.
Из (10) следует, что V() четная функция, а V() - нечетная функция . Следовательно, ветвь годографа, соответствующая изменению от , симметрична относительно вещественной оси той ветви годографа, которая соответствует изменению от . Это позволяет строить годограф только для частот, лежащих в диапазоне от .
Критерий Михайлова можно сформулировать следующим образом:
для того, чтобы система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты, от 0 до , начинаясь при = 0 на вещественной положительной полуоси, обходил против часовой стрелки последовательно n квадратов комплексной плоскости, где n - порядок характеристического уравнения.
На рис.1 показаны типичные годографы Михайлова, описываемые уравнениями, начиная от первого (n = 1) до четвертого (n = 4)порядка.
Годографы Михайлова для уравнений порядка n = 1,2,3 соответствуют устойчивым системам. Для уравнения четвертого порядка (n = 4) годограф Михайлова проходит при некотором значении частоты к через начало координат, т.е. характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни. Система находится на границе колебательной устойчивости.
1.2.2.2. Критерий устойчивости Найквиста
Суждение об устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста основывается на изучении свойств амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.
Размыкание системы принципиально может осуществляться в любом месте. Однако при исследовании устойчивости системы удобнее размыкать ее по цепи главной обратной связи.
Если передаточная функция разомкнутой системы
, m<n (11)
то, подставляя в (11) p = j, получаем
W(j) = U() + jV(), (12)
где U() и V() - действительная и мнимая частотные характеристики разомкнутой системы.
Если изменять частоту от до , то вектор W(j) будет меняться по величине и фазе, а конец этого вектора описывает в комплексной плоскости кривую, которую называют амплитудно-фазовой (АФХ) или комплексной частотной характеристикой разомкнутой системы.
Поскольку АФХ симметрична относительно вещественной оси, то обычно строят только ту ее часть, которая соответствует частоте от 0 до .
Для наиболее часто встречающегося на практике случая критерий Найквиста формулируется следующим образом:
если разомкнутая АСР устойчива, то замкнутая система будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(j) не охватывает точку (-1,j0).
Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутых с т а т и ч е с к и х систем, в которых , а при = 0, W(j) = = K (где К - коэффициент усиления разомкнутой системы) при изменении частоты от 0 до образуют замкнутый контур (рис.2,а). У а с т а т и ч е с к и х разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья, амплитудно-фазовые характеристики не образуют замкнутого контура (рис.2, б). Для таких систем характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет нулевые корни и может быть записано в виде (см. (11) ):
L(p) = p L1(p) = 0 (13)
где n - порядок астатизма; L1(p) - полином, не имеющий корней, равных нулю.
В случае, когда система в разомкнутом состоянии неустойчива и L(p) имеет r положительных корней, то она может быть сделана устойчивой в замкнутом состоянии:
если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет r корней в правой полуплоскости, то для устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ W(j) охватывало точку с координатами (-1,j0) в положительном направлении (против часовой стрелки) r/2 раз.
На рис.3 показаны амплитудно-фазовые характеристики W(j), соответствующие устойчивым статической (рис.3,а) и астатической (рис.3,б) замкнутым системам, которые в разомкнутом состоянии были неустойчивыми и имели число правых корней r = 2.
1.3. Обеспечение устойчивости АСР
Любая система автоматического регулирования должна быть устойчивой. Практика проектирования систем автоматического регулирования показывает, что уже само назначение и тип системы регулирования предопределяет основные, так называемые функционально необходимые, элементы (ФНЭ) системы.
Если устойчивость и необходимое качество системы не могут быть достигнуты простым изменением параметров системы (коэффициентов усиления, постоянных времени звеньев), тогда эта задача решается введением в систему дополнительных устройств, называемых корректирующими.
Итак, корректирующие устройства - это функциональные элементы системы регулирования по отклонению, обеспечивающие ей необходимые динамические свойства.
Корректирующие устройства можно разделить на два типа : последовательные и параллельные.
Последовательное корректирующее устройство обычно преобразует сигнал ошибки регулирования в соответствии с некоторым законом регулирования и включается в контур регулирования последовательно (рис.4). Его передаточную функцию будем обозначать Wк(р).
U(t) e(t) y(t)
Wк(р) W(p)
Рис.4.
Другие, широко распространенные способы включения корректирующих устройств приведены на рис. 5,а,б.
U(t) Y(t)
W3(p) W2(p) W1(p)
а)
Wк(p)
Wк(p)
Y(t)
W3(p) W2(p) W3(p)
б)
Рис.5.
В первом (рис.2,а) случае корректирующее устройство является местной обратной связью, чаще всего отрицательной, которая охватывает один из элементов прямой цепи системы. Такое корректирующее устройство называется встречно-параллельным.
Второй вариант включения (рис.2,б) корректирующего устройства в систему - параллельно одному из участков ее прямой цепи. Включенное таким образом корректирующее устройство будем называть прямым параллельным.
В настоящее время корректирующие устройства являются основным способом повышения качества линейных непрерывных систем регулирования по отклонению.
Можно показать, что последовательное корректирующее устройство всегда можно заменить двумя: встречно-параллельным и прямым параллельным или же последовательным и встречно-параллельным.
В связи с этим мы рассмотрим только последовательные корректирующие устройства.
Влияние последовательных корректирующих устройств на устойчивость систем
Увеличение общего коэффициента усиления К разомкнутой системы является методом повышения точности системы. Увеличение К осуществляется введением пропорционального корректирующего устройства (П-регулятора). Однако увеличение К ведет к ухудшению условия устойчивости, а значит и качества переходного процесса.
Введение интеграла (И-регулятора) от ошибки регулирования является методом создания или повышения порядка астатизма системы, а значит, и увеличения ее точности.
Однако, это приводит к ухудшению условий устойчивости и качества переходных процессов. Иногда это может привести и к неустойчивости замкнутой системы.
Введение производной от ошибки - простейший метод улучшения качества переходного процесса. Причем, производная может вводиться не в чистом виде Тр, а, например, в виде Тр+1 или с инерционностью Тр/(Тр+1).
Существенным является то, что при введении воздействия по производной увеличивает запас устойчивости и качество переходных процессов.
Отметим, что введение производной от ошибки может служить и стабилизирующим средством: превращает неустойчивую замкнутую систему в устойчивую.
Использование пропорционально-интегрального корректирующего устройства (ПИ-регулятора) объединяет в себе введение интеграла и пропорциональной составляющей. Оно позволяет получать необходимый порядок астатизма, сохраняя устойчивость и обеспечивать хорошие показатели качества переходных процессов.
В зависимости от вида преобразования ошибки последовательные корректирующие устройства (регуляторы) можно разделить на:
П - пропорциональные;
И - интегральные;
ПИ - пропорционально-интегральные.
Передаточные функции и принципиальные схемы этих регуляторов приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
|
Тип регулятора |
Передаточная функция |
Принципиальные схемы реализации регуляторов |
|
П- |
Кр |
R1 Uвх R0 Uвых |
|
Идеальный И- |
С1 R0 Uвх Uвых |
|
|
Идеальный ПИ- |
С1 R1 R0 Uвх Uвых |
Здесь Кр - коэффициент усиления;
Ти - постоянная интегрирования.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Структурная схема исследуемой системы регулирования приведена на рис.4.,где Wk(P) и Wo(P) - передаточные функции регулятора и объекта регулирования.
Передаточные функции различных типов регуляторов приведены в таблице 5.1.
Передаточная функция объекта регулирования имеет следующий вид:
где - коэффициент усиления ; Т1, Т2 - постоянные времени объекта регулирования.
Числовые значения параметров передаточных функций объектов по вариантам приведены в таблице 5.2.
Таблица 5.2
|
Параметры |
Номера вариантов |
|||||
|
объекта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Ко |
1.2 |
2.3 |
4.1 |
5.5 |
1.9 |
3.8 |
|
Т1 |
3.5 |
2.0 |
0.5 |
4.2 |
3.1 |
1.8 |
|
Т2 |
2.1 |
1.0 |
1.5 |
1.6 |
2.5 |
3.1 |
З а д а н и е N 1.
3.1. Исследование АСР с П-регулятором.
3.1.1. Записать передаточную функцию разомкнутой системы W(p) в общем виде и с конкретными числовыми значениями.
3.1.2. Определить основную передаточную функцию замкнутой системы Ф(р) в общем виде Ф(р)= А(р)/В(р) и числовыми значениями коэффициентов числителя и знаменателя.
3.1.3. Доказать, используя алгебраический критерий устойчивости Гурвица (см. п.1.2.1.), что исследуемая система устойчива при любом значении параметра настройки Кр П-регулятора.
3.1.4. Для двух произвольных значений параметра настройки регулятора Кр убедиться, что выполняются условия устойчивости (см.п.1.1) путем вычисления корней характеристического уравнения В(р) = 0 замкнутой системы.
3.1.5. Для значений параметра Кр П-регулятора, использованных в п.3.1.4 убедиться в устойчивости системы регулирования с использованием частотного критерия Найквиста (см. п. 1.2.2.2).
3.2. Исследование АСР с И-регулятором
3.2.1. Записать передаточные функции W(p) и Ф(р) соответственно разомкнутой и замкнутой системы регулирования по аналогии с п.3.1.1 и п.3.1.2.
3.2.2. Определить критическое значение Ти постоянной интегрирования И-регулятора, используя алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
3.2.3. Убедиться, что система регулирования при значении параметра настройки Ти равном критическому действительно находится на границе устойчивости , используя критерий Найквиста и вычислить корни характеристического уравнения замкнутой системы.
3.2.4. Выбрать два значения параметра настройки Ти И-регулятора, при которых система устойчива и неустойчива. Исследовать устойчивость системы при этих значениях параметра настройки:
- по критерию Найквиста;
- по алгебраическому критерию;
- путем вычисления корней характеристического уравнения.
3.3. Исследование АСР с ПИ-регулятором
3.3.1. Записать передаточные функции W(p) и Ф(р) разомкнутой и замкнутой системы с ПИ-регулятором.
3.3.2. Аналитически исследовать влияние коэффициента усиления Кр ПИ-регулятора на устойчивость системы, используя алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
3.3.3. Оценить влияние коэффициента усиления Кр на устойчивости системы при выборе значений 2-го параметра настройки Ти регулятора равным: Ти = Т1 и Ти = Т2, используя результаты п.3.3.2.
3.3.4. Выбрать значения параметров настройки ПИ-регулятора Ти и Кр, при которых система будет находиться на границе устойчивости.
3.3.5. Исследовать устойчивость системы при трех значениях параметров настройки, выбранных в п.3.3.3 (два набора) и п.3.3.4 (один набор):
- по критерию Найквиста;
- по алгебраическому критерию;
- путем вычисления корней ХУ.
З а д а н и е N 2.
3.4. Построить переходные процессы в исследуемой АСР с П-, И- и ПИ-регуляторами при отработке задающего воздействия при всех числовых значениях параметров их настройки, полученных в п.3.1, п.3.2. и п.3.3.
Определить прямые показатели качества этих переходных процессов:
tp - время регулирования;
,% - перерегулирования;
n - число колебаний;
tн - время нарастания.
5. ЛИТЕРАТУРА
5.1. Теория автоматического управления/ Под ред. А. С. Шаталова. -М.: Высшая школа, 1977.-с.156-182.
5.2. Теория автоматического управления. Ч.1 Теория линейных систем управления/ Под ред. А. А. Воронова.- М.: Высшая школа, 1986.-с.114-175.