Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
12
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Величко Олена Вадимівна
УДК 539.3
РОЗВ’ЯЗАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ БАГАТОШАРОВИХ ПЛИТ ЗА ДОПОМОГОЮ РЯДІВ
01.02.04 –механіка деформівного твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико –математичних наук
Донецьк –
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Запорізькому національному університеті Міністерство освіти і науки України
Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор
Приварников Аркадій Костянтинович, Запорізький національний університет, завідувач кафедри алгебри та геометрії
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Гоман Олег Гаврилович,
Дніпропетровський національний університет,
завідувач кафедри аерогідромеханіки;
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Алтухов Євген Вікторович,
Донецький національний університет,
доцент кафедри теорії пружності
та обчислювальної математики
Захист відбудеться “ ” березня 2008 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).
Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, Донецький національний університет, вченому секретарю спеціалізованої ради К 11.051.05.
Автореферат розісланий “ 19 ” лютого 2008 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Ю.В. Мисовський
Актуальність теми. Багатошаровими плитами та основами моделюються конструкції, які мають шарувату структуру, а також ті, у яких пружні характеристики неперервно змінюються в одному з напрямків. Прикладами таких конструкцій є дорожні та аеродромні покриття, підлоги промислових будівель, міжповерхові перекриття, мости.
Найбільш ефективним методом точного розв’язання задач теорії пружності для пружних шаруватих середовищ на теперішній час є метод функції податливості. Але цей метод можна застосовувати лише у випадках, коли головний вектор поверхневих навантажень на середовище є скінченним. Періодичне навантаження пружної багатошарової основи є, наприклад, статичним наближенням навантаження на дорожнє покриття, яке здійснює потік машин. Періодично навантажена багатошарова плита моделює міжповерхове перекриття в будинку. При таких періодичних навантаженнях головний вектор є нескінченним. Існують лише окремі роботи, присвячені проблемі визначення НДС багатошарових конструкції при переодичному навантаженні. Тому систематичне дослідження періодичних задач теорії пружності для багатошарових плит є актуальним.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов’язані з фінансованою за рахунок видатків загального фонду державного бюджету науково-дослідною роботою “Розв’язання основних і мішаних граничних задач теорії пружності для шаруватих середовищ періодичної структури та основ з отворами” (№ держреєстрації 0106У008388, 2006– рр. на підставі рішення науково-експертної ради). Частина результатів роботи використана у звітах по зазначеній НДР.
Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є побудова точних розв’язків основних і наближених розв’язків мішаних періодичних граничних задач для пружних багатошарових плит та основ.
Для досягнення цієї мети необхідно було:
Об’єктом дослідження є напружено-деформований стан багатошарової пружної плити та багатошарової пружної основи, на яку діє періодична система навантажень.
Предметом дослідження є розробка ефективних аналітичних методів визначення напружень та переміщень точок багатошарової плити або основи, яка знаходиться під дією періодичної системи навантажень в рамках лінійної теорії пружності.
Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі використано ряд математичних методів. При отриманні розв’язку першої основної граничної задачі теорії пружності для шару використано метод простих та подвійних тригонометричних рядів. При розв’язанні основних граничних задач для багатошарової плити та основи узагальнено метод функцій податливості. У задачі про стискання плити періодичною системою штампів застосовується метод сингулярних інтегральних рівнянь. На етапі чисельної реалізації розв’язання отриманих інтегральних рівнянь використано ортогональні поліноми та метод колокації.
Достовірність наукових положень і висновків дисертаційної роботи забезпечується коректною математичною постановкою задачі; строгістю використаних математичних методів; точним задоволенням заданим умовам на границях плити (основи) і на плоскостях спряження шарів; збіганням результатів розрахунків для випадків плоскої деформації та просторової деформація при відповідних навантаженнях; збіганням результатів аналітичного розв’язання основних і мішаних задач для пружного півпростору, з результатами, отриманими іншими авторами. Усі отримані результати не суперечать фізичному сенсу.
Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:
Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати можуть бути застосовані для досліджень впливу на міцність і стійкість пружних багатошарових середовищ характеристик шарів, із яких ці середовища складаються. Оскільки розв’язок основних граничних задач теорії пружності для багатошарових плит та основ записано у вигляді рядів, для коефіцієнтів яких відомі точні формули, то є можливість отримати чисельні результати з наперед заданою точністю. Це дає можливість використовувати результати дисертації як тестові при розробці чисельних методів розв’язання задач теорії пружності.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на
Повністю дисертація розглядалась на
Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковані в 10 наукових роботах, із них 5 –статті в наукових журналах, затверджених ВАК України фаховими виданнями [2, 3, 5, 6, 10], 4 –тези наукових конференцій [4, 7-9].
Основні результати роботи отримані автором самостійно. Робота [10] написана разом з науковим керівником проф. А.К. Приварниковим. У цій статті співавтору проф. А.К. Приварникову належить участь у постановці задачі, обговорення плану і результатів чисельних розрахунків.
Особисто автору належать такі, включені до дисертаційної роботи і публікацій, результати:
Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації 148 сторінок. Дисертація містить 58 рисунків, які розташовані на 27 сторінках. Список використаних джерел розташований на 20 сторінках і складається із 203 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, зазначено її зв'язок з науковими програмами, сформульовано мету і задачі дослідження, подано характеристику наукової новизни, теоретичного та практичного значення одержаних результатів, відзначено особистий внесок здобувача.
У першому розділі зроблено огляд стану досліджуваної проблеми. Наведено аналіз праць дослідників, які внесли істотний вклад у розвиток теорії пружних багатошарових середовищ та періодичних задач теорії пружності. Серед них В.М. Александров, Є.В. Алтухов, І.Г. Альперін, І.І. Аргатов, В.І. Блох, В.В. Бурнаєва, А.Т. Василенко, С.Л. Вольський, І.І. Ворович, Ю.Я. Годес, О.Г. Гоман, А.Г. Горшков, М.І. Горбунов-Посадов, І.Г. Горячева, М.А. Греков., Я.М. Григоренко, О.М. Гузь, І.О. Гузь, А.П. Дацишин, М.М. Діхтярук, В.М. Ільман, Г.С. Кіт, А.С. Космодаміанський, В.Д. Ламзюк, Т.А. Маліков, А.В. Марчук, Ю.А. Наумов, Н.Д. Панкратов, В.І. Петришин, В.Г. Піскунов, В.І. Пожуєв, А.К. Приварников, Б.В. Процюк, Р.М. Раппопорт, А.О. Рассказов, Л.Г. Романенко, М.П. Саврук, М.А. Садовський, В.М. Синюта, В.І. Соломін, Є.А. Ткаченко, Є.В. Торська, Л.А. Фільштинський, В.М. Чехов, В.А. Шалдирван, Г.С. Шапіро, Ю.А. Шевляков, О.Я. Шехтер, Н.А. Шульга, D.M. Burmister, Е. Carrera, U. Icardi, A.K. Rao, E. Scarpetta, M. Di Sciuva, S. Srinivas, M. Sumbatyan, H. Westergaard та інші. Зроблено огляд класичних результатів та результатів, отриманих за останні роки.
На основі аналізу літератури зроблено висновки, що дослідження шаруватих тіл є практично важливою задачею, про що свідчить велика кількість публікацій на цю тему. Поряд із великою кількістю статей, присвячених чисельним методам розв’язання основних і мішаних задач для пружних багатошарових середовищ, існують роботи, у яких ця задача розв’язується точно.
Найбільш зручним методом розв’язання основних граничних задач для пружних плит (основ), не обмежених в одному або двох напрямках, є метод інтегральних перетворень Фур’є або Ханкеля. При великій кількості шарів в основі ефективним виявляється метод функцій податливості дослідження напружено-деформованого стану основи.
До періодичних задач указані інтегральні перетворення не можна застосовувати, оскільки в цьому випадку навантаження на межах тіла може не мати скінченного головного вектора. Тому в цьому випадку треба застосовувати спеціальні методи, які, як правило, базуються на теорії тригонометричних рядів. Переважна кількість робіт в цьому напрямку присвячена дослідженню одно- або двошарових основ або плит.
При дослідженні будь-якої контактної задачі треба спочатку побудувати інтегральне рівняння, а потім вже його розв’язувати зручним методом. Левова частка розглянутих робіт присвячується якраз розв’язкам інтегральних рівнянь з періодичними ядрами. А от будуються ці рівняння, як правило, лише для півплощини або шару, зв’язаного з півплощиною. Це пов’язано з тим, що існують певні труднощі з побудовою розв’язку основних граничних задач для істотно багатошарових середовищ.
Тому задача розповсюдження методу функцій податливості (в періодичному випадку йдеться про матриці податливості) на випадок періодично навантажених середовищ є актуальною.
У другому розділі розглядається плоска деформація пружної багатошарової плити під дією періодичної системи навантажень.
Під багатошаровою плитою розуміється пакет із невагомих, зчеплених між собою шарів. Шар –це частина простору, обмежена двома паралельними площинами. Матеріал шару є однорідним та ізотропним. На верхній та нижній межах плити відомі навантаження, які описуються періодичними функціями. Треба визначити напруження та переміщення в точках плити. Задача розв’язується в рамках лінійної теорії пружності. Якщо плита зчеплена з півпростором (пружним або абсолютно жорстким), то йтиметься про багатошарову основу. Шари нумеруються зверху вниз. У кожному шарі вводиться декартова система координат з початком на верхній межі шару (рис.1). Прикладені навантаження є періодичними по змінній з періодом .
Для кожного шару вводяться допоміжні послідовності , пов’язані з розвиненнями в ряд Фур’є напружень та переміщень точок верхньої межі шару:
,,
, .
Показано, що для визначення напруженого стану шару достатньо знати вісім його допоміжних послідовностей. Із умов зчеплення на загальній межі шарів отримано рекурентні співвідношення між допоміжними послідовностями сусідніх шарів. Таким чином, задача визначення НДС плити зводиться до визначення вісімки допоміжних послідовностей першого шару. Із граничних умов можна безпосередньо визначити четвірку допоміжних послідовностей першого та фіктивного -го шарів.
Встановлено, що елементи допоміжних послідовностей пов’язані між собою співвідношеннями
,
де ,
- номер гармоніки, - номер шару, –введені автором матриці податливості. Вони є дискретними аналогами функцій податливості, які введені А.К. Приварниковим. У дисертації запропоновано спосіб обчислення матриць податливості, визначені їхні властивості. Аналогічно, для плоскої деформації багатошарової основи введені матриці податливості , які визначаються співвідношеннями .
Доведено, що всі матриці податливості не залежать від прикладених навантажень і є функціями пружних характеристик та товщин шарів. Якщо матриці податливості визначені, то чотири невідомі допоміжні послідовності першого шару також можна визначити. Таким чином, перша основна гранична задача для пружної багатошарової плити та пружної багатошарової основи може бути розв’язана. Розв’язки записуються у вигляді тригонометричних рядів.
Для підтвердження вірогідності результатів було отримано розв’язки задач про дію на пружну півплощину періодичної системи одиничних нормальних та дотичних сил. Наприклад, для системи одиничних нормальних сил напруження визначається формулою З цієї формули граничним переходом отримано розв’язок задачі Фламана про дію нормальної одиничної зосередженої сили на пружний півпростір: .
Наведемо приклад розрахунку. Розглянемо тришарову плиту, яка складається з шарів товщиною . На верхній та нижній межах плити задані нормальні та дотичні напруження, які є –періодичними функціями:
,
,
Для всіх шарів коефіцієнт Пуассона . Модулі зсуву: .
Результати наведені на рисунках 2-5. На цих графіках цифра означає, що вказана величина відноситься до верхньої межі відповідного шару. Цифра 4 означає, що графік відповідає нижній межі третього шару. Для наочності функції наведені на двох періодах. На рис. 4 зображено графіки напружень на нижній межі першого шару (А) та на верхній межі другого шару (В). Оскільки модулі зсуву цих шарів відрізняються, то, як і слід було очікувати, функції та також не збігаються.
1
c0
c2