Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция № 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) не относятся к области дискретной математики. Мы рассмотрим этот тип уравнений для того, чтобы показать их связь с конечно-разностными уравнениями, которые изучаются в курсе дискретной математики.
Рассмотрим непрерывную функцию , имеющую n производных: , , …, .
Уравнение вида
, (9.1)
где и – известные функции , называется линейным ОДУ n-го порядка.
Функция заранее неизвестна. Ее получают в ходе решения дифференциального уравнения (9.1). Поэтому эту функцию называют неизвестной функцией или решением дифференциального уравнения.
В общем случае уравнение (9.1) имеет бесконечное множество решений. Чтобы выделить из них единственное решение, нужно задать начальные условия: , , …, .
Если какая-либо из производных в уравнении: , , …, , либо сама функция , возведена в степень, отличную от первой, то такое дифференциальное уравнение называется нелинейным.
В частном случае, вместо функций , в уравнение (9.1) могут входить постоянные коэффициенты (не зависящие от ). Тогда дифференциальное уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.
Обыкновенные дифференциальные уравнения часто возникают при решении разнообразных физических, технических, экономических и социальных задач.
Пример 9.1. Рассмотрим электронную схему, показанную на рис. 9.1.
Рис. 9.1. -цепь
Схема состоит из катушки индуктивностью , резистора сопротивлением и конденсатора емкостью . Падение напряжения на катушке определяется выражением
, (9.2)
, (9.3)
где – это время, – ток, протекающий через резистор, – ток, протекающий через конденсатор. На основании (9.2) и (9.3) можем записать
.
После преобразований получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
.
В общепринятых обозначениях
. (9.4)
Для данной электронной схемы известная функция имеет смысл входного сигнала, а неизвестная функция – это зависимый от выходной сигнал. Задавая входной сигнал и решая ОДУ (9.4), можно получать соответствующие значения выходного сигнала. Поэтому дифференциальное уравнение (9.4) является математической моделью электронной схемы, с помощью которой можно исследовать работу схемы теоретически, не собирая ее из электронных компонентов.
Существуют различные способы решения дифференциальных уравнений. В данном разделе мы ознакомимся со способом, использующим операционное исчисление. Этот способ применяется к линейным ОДУ, он позволяет преобразовывать дифференциальное уравнение в алгебраическое.
Изобретателем операционного исчисления является Оливер Хевисайд (1859-1925), английский ученый и инженер. Он ввел оператор дифференцирования, который обозначил латинской буквой (сейчас этот оператор принято обозначать буквой ) и разработал правила обращения с этим оператором.
Пример 9.2. Применим метод Хевисайда к уравнению (9.4):
Предположим, что на вход схемы подан ступенчатый входной сигнал
а на выходе в начальный момент времени имеем: , (нулевые начальные условия). Исходное уравнение при преобразуется к следующему виду:
.
Затем Хевисайд преобразовывал дифференциальное уравнение в алгебраическое, при этом оператор дифференцирования превращался в обычную переменную . Неизвестная функция при переходе обращалась в произведение: , производная первого порядка в: , производная второго порядка – в: .
.
Решая это алгебраическое уравнение относительно , приходим к уравнению
.
Полученное уравнение еще не является окончательным. Необходимы преобразования, позволяющие перейти от переменной к переменной , являющейся аргументом функции . Эти преобразования производятся в соответствии с алгоритмом:
,
где – корни уравнения , .
После преобразований окончательно получим
.
График функции при значениях параметров R=1; C=2; L=0,1 – показан на рис. 9.2.
Рис. 9.2. Реакция -цепи на ступенчатый входной сигнал
Хевисайд не дал строгого математического обоснования своего метода. Это было сделано позже с помощью интегрального преобразования Лапласа. В результате такого преобразования функция , зависящая от переменной и называемая оригиналом, преобразуется в функцию , называемую изображением (она зависит от комплексной переменной ):
. (9.5)
Обратное преобразование Лапласа определяется формулой:
, . (9.6)
Чтобы интегралы (9.5) и (9.6) сходились, оригинал должен удовлетворять следующим условиям.
Соответствие между изображением и оригиналом обозначают следующим образом:
или ,
, .
Помимо изображения по Лапласу применяется также изображение функции по Карсону (или по Хевисайду)
,
отличающееся от преобразования Лапласа множителем . В последнее время в технической литературе все чаще пользуются изображением по Лапласу. Это объясняется наличием наглядной связи между операторным методом и гармоническим анализом, вносящей физический смысл в понятие изображения (изображение по Лапласу – это спектральная функция по отношению к затухающей функции , для которой переменная является частотой).
1. Функция Хевисайда :
Непосредственным интегрированием находим
. (9.7)
2. Изображения показательных функций:
, (9.8)
. (9.9)
Если , где , то и .
, (9.10)
. (9.11)
, (9.12)
. (9.13)
. (9.14)
Отсюда следует:
. (9.15)
Аналогично можно получить:
, (9.16)
, (9.17)
. (9.18)
7. Изображение интеграла от функции:
Пусть и , причем
.
Так как , то .
Поскольку , то . Окончательно имеем:
. (9.19)
В большинстве случаев применение операционного исчисления к решению задач укладывается в следующую схему. Пусть требуется найти некоторый результат в виде функции , для получения которого без использования операторного метода надо над заданной функцией выполнить какую-то операцию A.
Применяя операционное исчисление, сначала переходят от оригинала к его изображению , а затем над этим изображением выполняют операцию B, соответствующую в области оригиналов операции A (например, делят изображение на вместо интегрирования функции ), и получают промежуточный результат – изображение . Затем переходят от изображения к искомому оригиналу .
На первый взгляд, схема решения задачи удлиняется. Однако на самом деле получается значительный выигрыш как в средствах вычисления, так и во времени. В частности, везде дифференцирование заменяется умножением на , а интегрирование – делением на .
Этот выигрыш достигается путем применения основных теорем операционного исчисления и известных «табличных» изображений, публикуемых в справочниках.
Рассмотрим основные теоремы операционного исчисления.
Теорема 9.1. (о дифференцировании изображения).
Если , то .
Доказательство: .
Следствие 9.1.1: .
Следствие 9.1.2: . (9.20)
Пример 9.3. Найти изображение функции . Поскольку , то .
Теорема 9.2. (об интегрировании изображения).
Если , то .
Доказательство. Обозначим и . Очевидно, что , и по предыдущей теореме:
.
Отсюда следует: .
Постоянная интегрирования определяется из условия: .
. Таким образом
.
Теорема 9.3. (об изменении масштаба).
Для всегда .
Доказательство. Обозначим . Тогда
.
Пример 9.4. Известно, что . Найти изображение функции .
.
Теорема 9.4. (запаздывания).
Если и , то .
Доказательство. Обозначим . Тогда
.
Теорема 9.5. (упреждения).
Если и , то .
Доказательство. Обозначим . Тогда
Теорема 9.6. (смещения).
Если и , то .
Доказательство.
.
Теорема 9.7. (о свертке).
Если и , то
.
Замечание. Интеграл называется сверткой функций и , и обозначается: . Можно показать, что свертка двух оригиналов также является оригиналом.
Доказательство теоремы о свертке.
Пример 9.5. Применяя теорему о свертке, найти оригинал изображения:
.
Решение. Имеем ,
, .
Поэтому .
Теорема 9.8. (первая теорема разложения).
. (9.21)
Доказательство. Формула (9.21) прямо следует из формулы (9.20).
Пример 9.6. Найти оригинал изображения .
Решение. Известно, что логарифмическая функция может быть разложена в следующий степенной ряд:
.
В соответствии с первой теоремой разложения получаем:
.
Теорема 9.9. (вторая теорема разложения).
Если – рациональная правильная несократимая дробь, а – простые (не кратные) корни уравнения: , то
, (9.21)
где , .
Доказательство. Прежде всего, заметим, что требование правильности дроби в данной теореме обязательно, так как эта дробь – изображение, и должно быть выполнено условие .
Далее известно, что в случае простых корней знаменателя правильная рациональная дробь может быть разложена на простейшие следующим образом:
.
Для нахождения коэффициента умножим обе части равенства на ():
.
Введем обозначение , тогда предыдущее равенство можно записать в виде:
.
Полагая , найдем . Подобно этому вычисляются и остальные коэффициенты разложения. Используя теорему смещения, приходим к формуле (9.21).
Пример 9.7. Найти оригинал для изображения .
Решение: – правильная рациональная несократимая дробь, причем
,
.
Корни знаменателя: .
.
, , .
.
Здесь мы применили формулу Эйлера: .
Пример 9.8. Решить дифференциальное уравнение
при начальном условии: , – константы.
Решение: Для решения используем операционное исчисление. Уравнение в изображениях
.
Решая его относительно , получим . Применим вторую теорему разложения.
; ; .
; .
.
Пример 9.9. Решить дифференциальное уравнение
при начальных условиях: , .
Решение: Уравнение в изображениях
.
Подставляем начальные условия:
.
Решаем полученное уравнение как обычное алгебраическое
.
Совершаем обратное преобразование по формуле:
.
; ;
, .
; , .
.
Пример 9.10. Вычислить интеграл
.
Найдем изображение этого интеграла
.
Отсюда следует: .
Лекция № 10. РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейным рекуррентным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
. (10.1)
Это уравнение справедливо для всех неотрицательных целых чисел n. Коэффициенты – это фиксированные числа, причём , а – заданная функция n. Если зафиксировать значения и рассматривать их как начальные условия, то шаг за шагом можно однозначно определить значения , и таким образом определить всю последовательность .
Такой алгоритм удобно использовать при численном решении рекуррентного уравнения на компьютере. Однако существуют и аналитические способы решения этих уравнений. Один из таких способов использует так называемые производящие функции. Впервые метод производящих функций был применен французским математиком Лапласом (1749-1827) для решения некоторых проблем теории вероятностей.
Степенной ряд , коэффициентами которого являются элементы последовательности , называется производящей функцией. Последовательность чисел однозначно определяет производящую функцию, но обратное утверждение верно не всегда. Если указанный степенной ряд сходится, то коэффициенты определяются по F(z) однозначно. Производящая функция отличается от z-преобразования только тем, что степени (при разложении этой функции в степенной ряд) положительны, в то время как у z-преобразования – они отрицательны. Простой заменой переменной можно преобразовать производящую функцию в z-преобразование. Поэтому для производящих функций справедливы все теоремы дискретного преобразования Лапласа.
Пусть – производящая функция последовательности чисел , а a и b – произвольные фиксированные числа.
Поскольку , то последовательности отвечает производящая функция . Это соответствует свойству линейности преобразования Лапласа. Далее, если взять произведение производящих функций
,
то последовательность чисел может быть получена из последовательностей и с помощью соотношения
.
Последняя формула следует из теоремы о свертке двух решетчатых функций.
Пример 10.1. Найдем производящие функции последовательностей чисел {1} и {n}.
Решение: Последовательности {1} соответствует ряд:
.
Для доказательства необходимо левую и правую часть умножить на .
Последовательности чисел {n} соответствует ряд
.
Поскольку выражение в скобках в правой части равенства получается дифференцированием ряда , то оно равно производной от функции 1/(1 – z). Следовательно, правая часть равна
.
Следующая задача показывает, что производящие функции могут быть полезными при решении линейных рекуррентных уравнений.
Пример 10.2. Решить уравнение (уравнение Фибоначчи) с начальными условиями .
Решение: Обозначим через F(z) производящую функцию последовательности чисел . Умножая обе части рекуррентного уравнения на , получим
, n = 0, 1, 2 …
Складывая эти равенства для всех n от 0 до ∞, имеем:
.
Заметим, что первая сумма в левой части равенства равна разности функции F(z) и первых двух членов её разложения , вторая сумма равна разности F(z) и первого члена , а третья сумма равна F(z). Поэтому можем записать
[F(z) – (1 + z)] – z [F(z) – 1] – z2 F(z) = 0.
Отсюда находим
,
где ; . В результате получим
.
Таким образом:
Члены последовательности, полученной в этой задаче, известны как числа Фибоначчи.
Однородное рекуррентное уравнение получается при (n) = 0. Метод решения является обобщением решения предыдущего примера. Вначале производящая функция находится как рациональная функция, которая далее представляется в виде суммы частичных дробей и разлагается в степенной ряд. Предположим, что последовательность чисел удовлетворяет следующему однородному линейному рекуррентному уравнению
.
где – заданные числа и .
Для задания начальных условий фиксируем значения . Обозначим через F(z) производящую функцию последовательности
По заданным постоянным коэффициентам уравнения построим многочлен
.
Этот многочлен можно рассматривать как производящую функцию последовательности: . Коэффициент при и r 0 в произведении производящих функций , определяется соотношением
Он равен нулю, поскольку рекуррентное уравнение однородное. Это означает, что многочлен
имеет степень самое большее (r–1), и, следовательно, степень числителя рациональной функции F(z) = C(z) / K(z) меньше степени знаменателя.
Характеристическим многочленом линейного однородного рекуррентного уравнения называется многочлен:
,
имеющий степень “r”; корни этого многочлена называются характеристическими. Если различные характеристические корни (среди которых могут быть мнимые) обозначить через , а их кратности обозначить через , то можно записать следующие равенства:
,
.
Характеристический многочлен и многочлен K(z) связаны между собой соотношениями
.
Отсюда следует, что
.
Используя это, можно записать
,
где – неопределённый коэффициент.
Каждая дробь этой суммы имеет вид , поэтому её можно разложить в степенной ряд следующего вида:
.
Коэффициент при в этом ряде равен
.
Если заметить, что биномиальный коэффициент
,
входящий в последнее равенство, является многочленом степени по , то легко проверить, что
,
где – многочлен от степени самое большее . Следовательно
и – является общим решением однородного линейного рекуррентного уравнения.
Пример 10.3. С помощью общего метода найти общий член последовательности чисел Фибоначчи.
Решение: Уравнение имеет характеристический многочлен , где ; . В этом случае и и, следовательно, и – многочлены степени 0 от n, т.е. постоянные. Поэтому , где и – неопределённые постоянные. Так как , то, подставляя n = 0, 1, получаем ; . Решая эти уравнения, находим
; .
Отсюда следует: .
Решение этого упражнения показывает, что если все характеристические корни являются простыми, то общее решение однородного уравнения имеет вид: , где , , …, – это «r» неопределённых постоянных. Для определения этих постоянных используются r начальных условий, а именно значения . Если является корнем кратности , то представляет собой многочлен степени :
,
где – неопределённых постоянных. Начальные условия однозначно определяют все «r» неопределённых постоянных.
Пример 10.4. Найти решение уравнения c начальными условиями , .
Решение: Так как характеристический многочлен имеет корень z = 2 кратности 2, то . С помощью начальных условий находим:
; ; .
Таким образом, решение рассматриваемого уравнения:
.
Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное уравнение
,
n = 0, 1, 2, …, коэффициенты – это заданные постоянные, причём , а – заданная функция n. Для задания начальных условий фиксируем значения .
Предположим, что одно решение уравнения найдено. Назовём это решение частным и обозначим через . Положим
.
Тогда: .
Так как второй член в левой части последнего равенства равен правой части, то
.
Это означает, что является решением однородного линейного рекуррентного уравнения, соответствующего = 0.
Таким образом, если найдено частное решение, то можно найти общее решение однородного рекуррентного уравнения. После чего по начальным условиям можно определить неопределённые коэффициенты. Для некоторых функций частное решение можно найти достаточно просто. Так, в случае если , где – константа, то частным решением является
, (10.2)
где – характеристический многочлен.
Доказательство. Подставляя , где с – постоянная, в неоднородное рекуррентное уравнение, получаем . Таким образом: . Отсюда следует формула (10.2).
Пример 10.5. Найти решение уравнения с начальными условиями .
Решение: Данное уравнение имеет характеристический многочлен . Если бы правая часть уравнения была равна , то частным решением было бы . Для соответствующее частное решение . Общее решение равно:
.
По начальным условиям находим:
, , , ,
.
Если является многочленом от n степени k
и единица не является характеристическим корнем рекуррентного уравнения, т.е. , то частное решение следует искать в виде:
.
Подставляя этот многочлен в неоднородное рекуррентное уравнение, получим:
.
Так как , то, сравнивая коэффициенты при высших степенях в левой и правой частях последнего равенства, можно определить значение и далее последовательно коэффициенты .
Пример 10.6. Найти решение уравнения с начальным условием .
Решение: Находим характеристический многочлен: ; . Поскольку , то k=1. Значит . Записываем рекуррентное уравнение
.
Отсюда следует , .
Общее решение: . Из начального условия находим и .
Лекция № 11. ДИСКРЕТНОЕ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Дискретное преобразование Лапласа применяют к так называемым решетчатым функциям. Решетчатой функцией называется функция, определенная только для целых значений аргумента . (она тождественно равна нулю при отрицательных значениях аргумента).
Функция непрерывного аргумента , определенная для всех , называется порождающей функцией для решетчатой функции .
а б
Рис. 11.1. Порождающая функция (а) и решетчатая функция (б)
Изображением решетчатой функции является функция , удовлетворяющая соотношению
, (11.1)
где – параметр преобразования.
В операторной форме это соотношение записывается следующим образом:
.
Преобразование решетчатых функций в соответствии с данным соотношением называется дискретным преобразованием Лапласа.
Всякая функция , для которой существует обычное преобразование Лапласа, порождает решетчатую функцию , для которой, в свою очередь, определено дискретное преобразование Лапласа. Свойства дискретного преобразования Лапласа решетчатой функции, в основном, такие же, как и для обычного преобразования Лапласа, однако здесь во всех случаях интегралы заменяются бесконечными суммами.
Предположим, что задана последовательность чисел . Тогда решетчатую функцию можно представить в виде суммы последовательностей импульсных -функций Дирака.
.
-функция – это специальная (обобщенная) функция, обладающая следующими свойствами.
, .
Дискретное преобразование Лапласа последовательности – это обычное преобразование Лапласа импульсной функции :
.
.
.
.
,
.
Если ввести обозначение , то теорема сдвига примет следующую форму . Здесь – имеет смысл оператора сдвига, посредством которого решетчатой функции ставится в соответствие та же функция со сдвинутым аргументом . В этом случае дискретное преобразование Лапласа можно представить следующим образом
. (11.2)
В этом случае оно называется z-преобразованием. Это преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только аргументом изображения. При такой замене трансцендентные функции от аргумента q преобразуются в рациональные функции от аргумента z.
Отыскание оригиналов по изображениям для дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования производится по формулам, подобным формулам, применяемым в случае обычного преобразования Лапласа. В табл. 11.1 приведены некоторые формулы z-преобразования решетчатых функций.
Таблица 11.1
|
1 |
|
|
n |
|
Пример 11.1. Решим разностное (рекуррентное) уравнение
где
Для этого найдем -преобразование этого уравнения
.
Отсюда следует
.
Изображение известной функции можно представить в виде
.
Таким образом
Решетчатая функция равна коэффициентам полученного ряда
.
Как известно, операционное исчисление, позволяющее сводить дифференциальные задачи к алгебраическим, возникло благодаря работам английского ученого Оливера Хевисайда (1859-1925), который предложил формальные правила обращения с дифференциальным оператором и некоторыми функциями от этого оператора. Строгое обоснование данного метода впервые было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Однако использование интеграла Лапласа наталкивается на ограничения, связанные с ростом преобразуемой функции при .
Другой путь предложен польским математиком Я. Микусиньским (1953), опиравшимся на понятие функционального кольца. Метод Микусиньского представляет собой радикальный возврат к первоначальной операторной идее. При использовании этого метода не накладывается никаких ограничений на поведении функций на бесконечности и, следовательно, область применения операционного исчисления Микусиньского значительно шире, чем операционного исчисления, основывающемся на преобразовании Лапласа.
Поскольку обе теории имеют дело с непрерывными функциями, применение операционного исчисления к решению задач имеет характер символьных преобразований. Это сужает возможности метода из-за того, что только достаточно простые задачи допускают решение в символьной форме.
При использовании численных методов непрерывные функции аппроксимируют решетчатыми функциями, которые изменяются только при целых значениях аргумента . К решетчатым функциям можно применять дискретное преобразование Лапласа, однако по своей природе оно также более пригодно для символьных преобразований, поскольку оперирует бесконечными суммами.
Ниже предлагается для численного решения задач на компьютере использовать дискретную форму операционного исчисления Микусиньского, основанную на матричном представлении решетчатых функций и матричных операторах.
Решетчатую функцию обычно задают в виде бесконечной последовательности чисел: , Если для некоторого натурального числа справедливо (), то тогда решетчатую функцию можно задать в виде конечной последовательности чисел:
, . (11.3)
В этом случае удобно пользоваться векторным представлением решетчатой функции:
. (11.4)
Обозначения (11.3) и (11.4) в дальнейшем будем считать эквивалентными друг другу. Индексы компонент вектора соответствуют аргументам решетчатой функции , а сами компоненты – значениям функции в соответствующих точках. Множество таких векторов размером обозначим как .
Для наших целей решетчатую функцию вида (11.3) или (11.4) удобнее представить в виде нижней треугольной матрицы размером
. (11.5)
Как можно видеть, первый столбец матрицы является вектором . Второй получен путем единичного сдвига всех элементов первого столбца вниз. Третий – путем двойного сдвига, и т.д. Освободившиеся места замещаются нулями. Эквивалентность решетчатой функции матрице будем обозначать следующим образом: .
Целесообразность приведенного представления объясняется тем, что для треугольных матриц сумма и произведение нижних (верхних) матриц есть также нижняя (верхняя) треугольная матрица. Обратный переход от функции-матрицы к функции-вектору осуществляется с помощью следующей операции
, (11.6)
где – вектор-столбец размером ().
Множество нижних треугольных матриц размером обозначается как . Множество матриц вида (11.5), которое мы обозначим как , является собственным подмножеством множества .
Свертка двух решетчатых функций и может быть определена следующим образом:
, (11.7)
. (11.8)
Рассмотрим квадратную матрицу размером : , . Если , то
(11.9)
В этом случае матрица обладает свойством:
(11.10)
(для любого целого , удовлетворяющего условиям: , ). Если матрица обладает свойством (11.10) и , то очевидно, что .
Теорема 11.1. Если и , то произведение матриц: .
Доказательство.
Теорема доказана.
Следствие. Множество является кольцом по сложению и умножению, и умножение коммутативно (поскольку операция свертки коммутативна). Единичную матрицу будем обозначать как , нулевую: .
Рассмотрим нижнюю треугольную матрицу , ненулевые элементы которой, равные единице, расположены под главной диагональю:
. (11.11)
То есть
Если эту матрицу умножить на матрицу , то элементы произведения окажутся смещенными на одну строку вниз по сравнению с положением элементов матрицы , а освободившиеся места замещаются нулями.
.
Поэтому мы будем называть матрицу оператором сдвига. С помощью оператора сдвига можно выразить матрицу через компоненты вектора :
, (11.12)
где – единичная матрица.
Если принять , то (10.12) можно переписать в виде
. (11.13)
Теорема 11.2. Если матрица имеет размер , то
, (10.14)
Доказательство.
Все элементы матрицы равны нулю, за исключением одного. Это элемент в нижнем левом углу, который равен единице. Поскольку матрица действует как оператор сдвига, то . Далее, переходя к произведению (и всем следующим за ним), учитываем, что результатом перемножения матрицы на нулевую матрицу является нулевая матрица.
Следствие. Матрицу можно представить в виде бесконечного степенного ряда
. (11.15)
Замечание. Рассмотрим матрицу . Из формулы (11.15) следует
.
Формально матрица – это производящая функция последовательности чисел , аргументом которой является . Как сказал американский ученый Д. Гиббс: «Математика есть искусство называть разные предметы одним именем». Символы в z-преобразованиях и в матричных уравнениях эквивалентны друг другу, что позволяет использовать формулы z-преобразования в дискретном операционном исчислении. Однако, поскольку , то не имеет обратной матрицы.
Теорема 11.3.
, (). (11.16)
Доказательство. Из формул (10.12) и (10.14) следует что
.
Учитывая действие матрицы как оператора сдвига, приходим к формуле (11.16).
Теорема 11.4. Если – произвольная квадратная матрица, то
. (11.17)
Доказательство. Умножая обе части уравнения (11.17) справа на , приходим к тождеству
.
Следствие. Если , то справедлива формула
. (11.18)
Формула (11.18) непосредственно следует из формул (11.17) и (11.14).
Рассмотрим матрицу , определяемую следующим образом:
. (11.19)
Теорема 11.5. Если , то
, (). (11.20)
Доказательство. На основании определения (11.12) и (11.19) можем записать:
Далее, учитывая действие матрицы как оператора сдвига и формулу (11.6), приходим к формуле (11.20).
В силу свойства (11.20) матрицу будем называть оператором суммирования. Оператор является дискретным аналогом оператора интегрирования в операционном исчислении Микусиньского.
Оператором вычитания назовем матрицу, определяемую выражением
. (11.21)
Теорема 11.6.
. (11.22)
Доказательство. Согласно формуле (11.18):
.
Оператор является дискретным аналогом оператора дифференцирования в операционном исчислении Микусиньского. Конечная разность может быть определена следующим образом:
.
Теоремам непрерывного операционного исчисления можно поставить в соответствие теоремы дискретного операционного исчисления. Приведем несколько таких теорем.
Теорема 11.7. Если – произвольное комплексное число, то
, (). (11.23)
Доказательство.
.
Замечание. Если , то
.
Теорема 11.8.
, (). (11.24)
Доказательство. Используя формулу (11.20), получим , далее , и т.д.
Теорема 11.9.
, (). (11.25)
Доказательство.
.
Теорема 11.10. Если – произвольное комплексное число, то
, (). (11.26)
Доказательство.
Замечание 11.1. Если , то
. (11.27)
Следствие: Используя формулы, выражающие гиперболические и тригонометрические функции через экспоненциальную функцию
, ,
, ,
приходим к следующим уравнениям:
, (11.28)
, (11.29)
, (11.30)
, (11.31)
().
Замечание 11.2. Если , то
, (11.32)
, (11.33)
, (11.34)
. (11.35)
Эти приближенные формулы похожи на точные формулы непрерывного операционного исчисления, но здесь вместо оператора дифференцирования используется оператор вычитания , а вместо единичного оператора – оператор . Формулы (11.27) и (11.32)-(11.35) позволяют использовать дискретное операционное исчисление для численного решения задач непрерывного операционного исчисления.
Преимуществом дискретного операционного исчисления является то, что его можно использовать как численный метод, а не только как символьные преобразования. При этом оно опирается на хорошо отработанную технологию матричных преобразований и алгоритмов. Например, можно использовать такую популярную программу технических вычислений, как MATLAB.
Спектр возможных приложений достаточно широк. Дискретное операционное исчисление можно использовать для численного (либо символьного) решения конечно-разностных уравнений. Рассмотрим следующий пример. Решим разностное (рекуррентное) уравнение при нулевых начальных условиях
где
Для этого перейдем к матричному представлению этого уравнения, используя теорему 11.3:
,
где .
Отсюда следует
Таким образом
.
Численный метод решения той же задачи с помощью MATLAB приведен ниже.
>> A=Q*Q;
>> SUM=NULL;
>> for k=1:100
SUM=SUM+A^k;
end
>> E=I+SUM;
>> M=E*(I-Q)*inv(I+Q);
Кроме того, дискретное операционное исчисление можно использовать как численный метод решения задач непрерывной математики. Особенностью использования операционного метода для решения дифференциальных уравнений является то, что получить изображение неизвестной функции обычно не очень сложно. Трудности возникают на этапе получения оригинала этого изображения. Во многих случаях оригинал определяется только численно. И здесь может оказаться полезным дискретное операционное исчисление, в котором оператор дифференцирования приближенно заменяется матричным оператором . Это возможно в случаях, когда функция, являющаяся решением задачи, незначительно изменяется при увеличении аргумента на единицу. Можно подобрать период дискретизации решетчатой функции таким образом, чтобы это условие выполнялось. Для порождающей функции , аргументом которых является произведение: , где – переменная, а – параметр, это условие эквивалентно требованию малости модуля параметра по сравнению с единицей: . Используя разложение функции в окрестности точки в ряд Тейлора, получим:
.
Обычно . Таким образом, чем меньше по модулю параметр , тем меньше приращение функции . Хотя такой подход не может обеспечить абсолютно точного решения (как и любой другой численный метод), однако результат во многих случаях имеет приемлемую точность. Необходимо только при переходе от непрерывного изображения к матричному его представлению вместо единичной матрицы использовать матрицу .
Ниже дан пример решения дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях. Для сравнения приводится точное решение, полученное аналитическим методом.
Y=inv(S*(25*S^2+0.5*S+Q));
OutM=Y*Ve;
plot(OutM), hold on
for k=1:100
Out(k)=1- exp(-0.01*k)*(cos(0.19975*k)
+0.05*sin(0.19975*k));
end
plot(Out), hold on
Рис. 11.2
Как можно видеть, для решения задачи достаточно набрать небольшое число команд. В результате получим графики функции , соответствующие матричному и точному решению. Они показаны на рис. 11.2. Как можно видеть, отклонения от точного решения едва заметны. В данном случае использовалась матрица размером =100. По меркам MATLAB это не очень большая матрица, и результат отображается на экране мгновенно. Идентификатор Ve в программе обозначает вектор .
С помощью дискретного операционного исчисления можно решать не только обыкновенные дифференциальные уравнения, но и уравнения в частных производных. В этом случае функция-изображение является иррациональной функцией и может содержать члены вида или , где – нецелое действительное число. Для получения матриц необходимо использовать общую биномиальную теорему из теории аналитических функций.
. (11.36)
В частном случае имеем
(11.37)
Результат разложения (11.37) легко проверить умножением: . На рис. 11.3 показаны графики функции , изображением которой является функция (матричное решение и точное). Эти графики получены с помощью следующей программы MATLAB.
for k=1:100
Out(k)=1/(sqrt(3.141592654*k));
end
>> a=1;
>> Qk=I;
>> Sum=NULL;
>> for k=1:100
Qk=Qk*Q;
a=a*abs(2*k-3)/(2*k);
Sum=Sum+a*Qk;
end
>> SRS=I-Sum;
Y=inv(SRS);
>> OutM=Y*Ve;
>> plot(OutM), hold on
>> plot(Out), hold on
Рис. 11.3
В начале этой программы вычисляется точное значение искомой функции. Затем находится матрица и обратная ей матрица. Идентификатор SRS соответствует матрице , а идентификатор NULL – матрице с нулевыми элементами.
EMBED Equation.3
С
R
L