Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
18
Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова
КІЧМАРЕНКО ОЛЬГА ДМИТРІВНА
УДК 517. 9
УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧАХ КЕРУВАННЯ
СИСТЕМАМИ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
01.01.09 –варіаційне числення і оптимальне керування
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Одеса –
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі оптимального керування і економічної кібернетики
Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова Міністерства освіти і науки України
Науковий доктор фізико-математичних наук, професор
керівник Плотніков Віктор Олександрович,
Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова,
завідувач кафедри оптимального керування і економічної кібернетики
Офіційні доктор фізико-математичних наук, професор
опоненти: Теплинський Юрій Володимирович,
Кам'янець-Подільський державний університет,
завідувач кафедри диференціальних рівнянь і геометрії;
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Дмитришин Дмитро Володимирович,
Одеський національний політехнічний університет,
доцент кафедри вищої математики № 2.
Провідна Київський національний університет ім. Тараса Шевченка
установа: Міністерства освіти і науки України, кафедра моделювання складних систем факультету кібернетики, м. Київ.
Захист відбудеться “ 11 ” лютого 2005 року о 15.00 годині, ауд. 73
на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 при
Одеському національному університеті ім. І.І. Мечникова
за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2.
З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Одеського національного
університету ім. І.І. Мечникова (65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24).
Автореферат розісланий “ 6 ” січня 2005 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Побудова асимптотичних розв'язків рівнянь керованого руху широко використовується при дослідженні складних систем.
Починаючи з робіт М.М. Моісеєва, асимптотичні методи застосовуються при дослідженні задач оптимального керування. В даний час існує два підходи в цьому напрямку. Перший –усереднення крайової задачі принципу максимуму Л.С. Понтрягіна, який розроблявся в роботах М.М. Моісеєва, Л.Д. Акуленка, В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильєвої, М.Г. Дмитрієва, Ю.Г. Євтушенко, В.О. Плотнікова, Ф.Л. Черноусько, D.D. Bainov, A.L. Dontchev, Tz.D. Dontchev, P.V. Kokotovic, A. Haddad, R.E. O'Malley.
Другий підхід –усереднення рівнянь керованого руху. У роботах В.О. Плотнікова цей підхід був перенесений на загальний випадок вимірних керувань за допомогою узагальнення теореми М.М. Боголюбова на диференціальні включення. У роботах О.І. Булгакова, В.Г. Гайцгорі, А.А. Первозванського, А.В. Плотнікова, О.П. Філатова, М.М. Хапаєва, G. Grameel, A.L. Dontchev, Tz.D. Dontchev, H.D. Tuan ці результати були поширені на системи з повільними і швидкими змінними, на рівняння в банаховому просторі. При цьому даний підхід розглядався тільки для систем без запізнення. Однак наявність запізнення впливає на якісну поведінку системи. Крім того, диференціальні рівняння із запізненням дозволяють описувати ефекти і явища в сучасній фізиці, космічній техніці, економіці, медицині, біології, екології й інших прикладних галузях.
Фундаментальні дослідження диференціальних рівнянь із запізненням в середині ХХ століт-тя проводили В. Вольтер, А.Д. Мишкіс, Р. Беллман, М.М. Красовський, Л.Е. Ельсгольц. Асимпто-тичні методи для диференціальних рівнянь із запізненням розробляли Ю.О. Митропольський, А.М. Самойленко, Д.І. Мартинюк, В.І. Фодчук, В.П. Рубаник, Г.Л. Харатишвілі та ін.
У дисертаційній роботі розроблено й обґрунтовано деякі алгоритми методу усереднення
рівнянь керованого руху з запізненням.
При дослідженні задач оптимального керування важливу роль відіграє вивчення властивос-тей в'язки траєкторій і побудова множини досяжності для систем керування. Різним алгоритмам наближеної побудови множин досяжності присвячені роботи О.Б. Куржанського, М.С. Нікольсь-кого, А.І. Овсеєвича, О.І. Панасюка, В.І. Панасюка, О.О. Толстоногова, Ф.Л. Черноусько, A.L. Do-ntchev, E. Farkhi, F. Lampio. У роботах О.І. Панасюка і В.І. Панасюка було отримано рівняння
інтегральної воронки, яке докладно досліджувалося О.О. Толстоноговим. Він установив зв'язок
розв'язків рівняння інтегральної воронки і відповідного йому рівняння з похідною Хукухари.
Диференціальні рівняння з похідною Хукухари введені в роботах F.S. De Blasi, F. Iervolino, які досліджували основні властивості їх розв’язків. Подальші дослідження проводили А.В. Плотніков, В.О. Плотніков, О.О. Толстоногов, M. Kisilewicz, T. Janiak, E. Luczak-Kumorek.
У роботах О.І. Панасюка рівняння інтегральної воронки було узагальнено на локально-компактний метричний простір, а потім на повний метричний простір і дістало назву квазідифе-ренціальних рівнянь. Квазідиференціальні рівняння дозволили позбутися вимоги лінійності
простору розв'язків і з єдиних позицій розглядати диференціальні рівняння в лінійних метричних просторах, рівняння з многозначними розв'язками, а також динамічні системи в нелінійних
метричних просторах.
У дисертаційній роботі проведено обґрунтування методу усереднення для рівнянь
керованого руху з похідною Хукухари і квазідиференціальних рівнянь із запізненням, а також розроблено чисельно-асимптотичні алгоритми розв'язування задач оптимального керування для відповідних систем.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках теми "Розробка математичних методів розв'язування задач керування" (номер держреєстрації 0101U008298, код 2201020 ), яка виконується на кафедрі оптимального керування і економічної кібернетики Інституту математики, економіки і механіки Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова.
Мета і задачі дослідження.
Мета роботи –розробка й обґрунтування алгоритмів чисельно-асимптотичного розв'язу-вання задач оптимального керування для систем із запізненням і дослідження за їх допомогою властивостей множин досяжності.
З цією метою було проведене обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху, рівнянь з похідною Хукухари і квазідиференціальних рівнянь, які містять запізнення.
Об'єктом дослідження є рівняння керованого руху, рівняння з похідною Хукухари та квазідиференціальні рівняння.
Предметом дослідження є вищезгадані рівняння з постійним та змінним запізненням.
Методи дослідження. У роботі використовуються методи усереднення, методи теорії оптимального керування, методи многозначного аналізу, а також результати теорії диференціальних рівнянь з похідною Хукухари і теорії квазідиференціальних рівнянь.
Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі отримано наступні нові результати:
Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота має, в основному,
теоретичний характер. Розроблені методи можуть бути застосовані для дослідження керованих систем із запізненням, отримані результати можуть бути використані при дослідженні динамічних систем, які описуються звичайними диференціальними рівняннями з запізненням, рівняннями з похідною Хукухари з запізненням і квазідиференціальними рівняннями з запізненням, при побудові оптимальних режимів функціонування цих систем, при конструюванні чисельних методів розв'язування задач оптимального керування, в задачах синтезу і диференціальних іграх.
Особистий внесок здобувача. У публікаціях [2, 4, 5] науковому керівнику В.О. Плотнікову належать постановки задач, визначення загальної ідеї дослідження, у роботі [7] авторові дисертації належить обґрунтування чисельно-асимптотичного методу розв'язання задачі оптимального керування із запізненням, а в роботі [8] авторові належить формулювання і доведення теорем 1 і 2.
Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися й обговорюва-лися на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" –Чернівці, 1998; The XXVI Summer School "Applications of mathematics in engineering and economics" –Sozopol, 2000 (Болгарія); міжнародній конференції з керування "Автоматика – 2000" –Львів, 2000 р.; міжнарод-ній конференції "Диференціальні й інтегральні рівняння" –Одеса, 2000 р.; International Conference "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" –Київ, 2001 р.; VIII міжнародній конфе-ренції "Математика. Комп'ютер. Освіта." –Пущино, 2001 р.; міжнародній конференції "Диферен-ціальні рівняння і нелінійні коливання" –Київ, 2001 р.; міжнародній конференції з керування
"Автоматика –" –Одеса, 2001 р.; 6-й Кримській міжнародній математичній школі "Метод функцій Ляпунова і його застосування", Алушта, 2002 р.; міжнародній конференції П'яті Боголю-бовські читання. Теорія еволюційних рівнянь –Кам'янець-Подільський, 2002 р.; International
Conference "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" –Київ, 2003; міжнародній конференції Шості Боголюбовські читання –Чернівці, 2003 р.
Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковано 18 наукових роботах, з них: 5 статей ([1-5]) у фахових виданнях з переліку ВАК України, 3 роботи ([6-8]) у збірниках наукових праць, [9-18] –тези доповідей на наукових конференціях.
Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку літератури, який включає 142 найменування. Загальний обсяг дисертації складає 162 сторінки машинописного тексту.
Перший розділ дисертації присвячений огляду першоджерел за темою роботи –дослідження керованих систем, які містять запізнення, задач оптимального керування такими системами, застосування асимптотичних методів до роз'язування вищезгаданих задач, а також огляд досліджень систем, які описуються рівняннями з похідною Хукухари і квазідиференціальними рівняннями, і застосування до них асимптотичних методів; визначено напрямки досліджень дисертаційної роботи та викладено її основний зміст.
В другому розділі викладено обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху з постійним, асимптотично великим і змінним запізненням, а також для рівнянь з максимумом, розроблено алгоритми відповідності між керуваннями початкової й усередненої систем для періодичного і неперіодичного випадків, дано обґрунтування чисельно-асимптотич-ного методу розв'язування задачі оптимального керування з термінальним функціоналом на траєкторіях із запізненням.
Нехай тут і далі x –n-вимірний фазовий вектор, ε>0 –малий параметр, t>0, A –nxm матриця, φ:[0,Lε-1]xU→Rm, u є U –вектор керування, U є comp(Rr).
У підрозділі 2.1 розглядається керована система з постійним запізненням:
(t)=ε[f(t,x(t),x(t-Δ))+A(x(t),x(t-Δ))φ(t,u(t))], x(s)=Ψ(s), -Δ≤s≤0, (1.1)
де f:[0,Lε-1]xRnxRn→Rn –π-періодична функція по t, Δ –постійне запізнення, φ(t,u) –вектор-функція, 2π-періодична по t, Ψ(s) –задана неперервна вектор-функція.
Системі (1.1) ставиться у відповідність усереднена система:
(y)+A(y,y)v, y(0)=Ψ(0), τ=εt, 0≤τ≤L, (1.2)
де , . Інтеграл від многозначного відображення розглядаємо як інтеграл Аумана.
Відповідність між керуванням u(t) системи (1.1) і керуванням v(t) системи (1.2) встановлюється за алгоритмом 1:
1. Кожному керуванню v(τ) системи (1.2) ставиться у відповідність керування u(t) системи (1.1) за умовою:
, i=0,1,…. (1.3)
2. Кожному керуванню u(t) системи (1.1) ставиться у відповідність керування v(τ) системи (1.2) згідно (1.3).
Теорема 2.1. Нехай в області Q={t≥0, x, y єD, u є U} виконуються умови: 1) функція f(t,x,y) –π-періодична по t, неперервна, обмежена константою M, задовольняє умові Ліпшіца по x, y з постійною λ; 2) функція A(x,y) задовольняє умові Ліпшіца по x, y з постійною λ, обмежена константою M; 3) функція φ(t,x) –π-періодична по t, неперервна за змінними u, t та обмежена константою M; 4) Ψ:[-Δ,0]→D –неперервна функція; 5) для будь-яких припустимих керувань v(τ) розв'язки y(τ) системи (1.2) при y(0)єD', τє[0,L] разом з ρ-околом належать області D.
Тоді існують C>0 і ε>0 такі, що для будь-якого εє(0,ε] і для кожного t є [0,Lε-1] справедливі наступні твердження:
1. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU системи (1.1) існує керування v(εt) системи (1.2) таке, що
||x(t)-y(εt)||≤Cε, (1.4)
де x(t) –розв'язок системи (1.1), породжений керуванням u(t), а y(εt) –розв'язок системи (1.2), породжений керуванням v(εt), і x(0)=y(0)єD'.
2. Для будь-якого припустимого керування v(τ)єV системи (1.2) існує керування u(t) системи (1.1) таке, що справедлива оцінка (1.4).
Далі системі (1.1) ставиться у відповідність усереднена система:
(y)+A(y,y)v(w), y(0)=ψ(0) (1.5)
де w(τ)єRm – новий вектор керування, причому ||w(τ)||=1, ν(w)=, а функція p(t,w) визначається з умови:
(φ(t,p(t,w)),w)=(φ(t,u),w), (1.6)
де –скалярний добуток.
Відповідність між керуваннями u(t,ε) системи (1.1) і w(εt) системи (1.5) встановлюється за алгоритмом 2.
Алгоритм 2.
1. Кожному керуванню w(εt) системи (1.5) ставиться у відповідність таке керування u(t,ε) системи (1.1), що .
2. Кожному керуванню u(t,ε) системи (1.1) ставиться у відповідність керування w(εt) системи (1.5) таким чином: оскільки , то за теоремою Каратеодорі існують , , , r≤m+1 такі, що .
Будуємо w(εt)= t є [2πi,2π(i+1)], i=0,1,….
Тоді .
Теорема 2.2. Нехай в області Q={t≥0, x, y єD, u є U} виконуються умови 1)-4) теореми 2.1 і, крім того: 1) для будь-яких припустимих керувань w(τ) розв'язки y(τ) системи (1.5) при y(0)єD', τє[0,L] разом з ρ-околом належать області D; 2) виконана умова єдиності, тобто, при всіх wєS функція p(t,w) в (1.6) визначена однозначно при майже всіх t є [0,2π].
Тоді існують C>0 і ε>0 такі, що для будь-якого εє(0,ε] і для кожного t є [0,Lε-1] справедливі наступні твердження:
1. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU системи (1.1) існує керування w(τ) системи (1.5) таке, що
||x(t)-y(τ)||≤Cε, (1.7)
де x(t) –розв'язок системи (1.1), породжений керуванням u(t), а y(τ) –розв'язок системи (1.5), породжений керуванням w(τ), x(0)=y(0)єD'.
2. Для будь-якого припустимого керування w(τ)єV системи (1.5) існує керування u(t) системи (1.1) таке, що справедлива нерівність (1.7).
У теоремах 2.1 і 2.2 обгрунтовано метод усереднення для рівнянь керованого руху з постійним запізненням для алгоритмів відповідності керувань 1 і 2.
Для випадку, коли в рівнянні (1.1) функції f(t,x,y) і φ(t,x) є неперіодичними за часом t, розроблені аналогічні алгоритми відповідності керувань –і 4 та доведені відповідні теореми, які обґрунтовують метод усереднення.
У підрозділі 2.2 дано обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху з
постійним асимптотично великим запізненням:
(t)=ε[f(t,x(t),x(t-Δ),x(t-l/ε))+A(x(t),x(t-Δ),x(t-l/ε))φ(t,u(t))], x(s)=Ψ(s,ε), ,
де εє[0,Δl-1], –вектор-функція, t є [0,Lε-1], Δ –постійне запізнення, lε-1 –асимптотично велике запізнення, l є (0,L) –константа, Ψ(s,ε) –задана неперервна функція.
У підрозділі 2.3. проведено обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху зі змінним запізненням:
(t)=ε[f(t,x(t),x(α(t)))+A(x(t),x(α(t)))φ(t,u(t))], x(0)=x,
де f:[0,Lε-1]xRnxRn→Rn –вектор-функція, 2π-періодична по t, t є [0,Lε-1], α(t) –запізнення, 0≤α(t)≤t, φ(t,u) –вектор-функція, 2π-періодична по t.
У підрозділі 2.4 розглядаються диференціальні рівняння з максимумом. Теорема 2.7 дає обґрунтування методу усереднення для диференціальних рівнянь з максимумом, а теорема 2.8 дає обґрунтування схеми східчастого усереднення для диференціальних рівнянь з максимумом.
Далі розглядається рівняння керованого руху з максимумом:
, x(0)=x, (1.8)
де f:[0,Lε-1]xRnxRn→Rn –вектор-функція, g(t) і γ(t) –відомі функції, 0≤g(t)≤γ(t)≤t, , t є [0,Lε-1].
Рівнянню (1.8) ставиться у відповідність усереднене рівняння
y(0)=x, (1.9)
де , . (1.10)
Відповідність між функціями керування u(t)єU початкової системи (1.8) і функціями керування v(t)єV усередненої системи (1.9) установлюється за алгоритмом 3.
Для рівнянь керованого руху з максимумом доведена наступна теорема, яка обґрунтовує метод усереднення.
Теорема 2.9. Нехай в області Q={t≥0, x, y єD, u є U} виконані наступні умови: 1) функції f(t,x,y), A(x,y), φ(t,u) неперервні по t, рівномірно обмежені, задовольняють умові Ліпшіца по x, y, u; 2) функції g(t) і γ(t) рівномірно неперервні; 3) рівномірно відносно x, y існує границя (1.10); 4) розв'язок рівняння (1.9) при xєD' і будь-якому припустимому керуванні v(t) разом з ρ-околом належить області D.
Тоді для будь-якого як завгодно малого η>0 і будь-якого як завгодно великого L>0 існують ε>0 і δ>0 такі, що для будь-якого ε є (0,ε] і для кожного t є [0,Lε-1] справедливі наступні твердження:
. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU системи (1.8) існує керування v(t) системи (1.9) таке, що
||x(t)-y(t)||≤η, (1.11)
де x(t) –розв'язок системи (1.8), породжений керуванням u(t), y(t) –розв'язок системи (1.9) породжений керуванням v(t), і x(0)=y(0)=xєD'.
2. Для будь-якого припустимого керування v(t)єV системи (1.9) існує керування u(t)
системи (1.8) таке, що справедливою є оцінка (1.11).
У підрозділі 2.5 розглядається застосування алгоритмів 1, 2, 3, 4 для розв'язування задач оптимального керування системами з запізненням і термінальним функціоналом.
Нехай рівняння руху керованого об'єкту описується рівнянням (1.8), у якому функції f(t,x,y) і φ(t,u) –2π-періодичні по t.
Потрібно знайти керування u(t)єU системи (1.8), яке мінімізує функціонал
J[u]=Ф(x(Lε-1)). (1.12)
Задачі оптимального керування (1.8), (1.12) ставиться у відповідність усереднена задача з
функціоналом
(1.13)
на траєкторіях системи (1.9), причому відповідність керувань встановлена за алгоритмом 1.
Теорема 2.10. Нехай в області Q={t≥0, D, u є U} виконуються умови теореми 2.9 і, крім того: 1) функція Ф(x) задовольняє умові Ліпшіца з постійною λ; 2) існує оптимальне керування u*(t)єU задачі (1.8),(1.12), x*(t) –відповідна оптимальна траєкторія і J* –оптимальне значення функціоналу.
Тоді для кожного L>0 існують C>0 і ε(L)>0 такі, що для кожного ε є (0,ε] справедливі наступні нерівності , J[uv*]-J[u*]<Cε, де –оптимальне значення функціоналу задачі (1.9),(1.13), uv*(t) –керування системи (1.8), яке побудоване за алгоритмом 1 і відповідає оптимальному керуванню v*(t) задачі (1.9),(1.13).
Теорема 2.10 дає обґрунтування чисельно-асимптотичного методу розв'язування задачі оптимального керування на траєкторіях із запізненням.
Далі, у теоремі 2.11, доведено існування δ-оптимального за Парето керування для початкової й усередненої задач оптимізації на траєкторіях із запізненням і векторним критерієм.
У третьому розділі обґрунтувано метод усереднення для диференціальних рівнянь з похідною Хукухари і запізненням та для рівнянь керованого руху з похідною Хукухари і запізненням, а також обґрунтовано чисельно-асимптотичний метод розв'язування задачі оптимального керування на траєкторіях систем із запізненням, які описуються рівняннями з похідною Хукухари.
У підрозділі 3.1 розглядається диференціальне рівняння з похідною Хукухари, яке містить змінне запізнення:
DhX(t)=εF(t,X(t),X(α(t))) X(0)=X,
де X:R→conv(Rn), DhX(t) –похідна Хукухари, F:Rxconv(Rn)xconv(Rn)→conv(Rn) –многозначне відображення, яке ставить у відповідність кожній точці (t,X,Y) деяку компактну опуклу підмножину із Rn, 0≤α(t)≤t –запізнення.
Теореми 3.1-3.3 обґрунтовують метод повного і часткового усереднення для диференціальних рівнянь з похідною Хукухари і змінним запізненням.
Підрозділ 3.2 присвячено обґрунтуванню методу усереднення для керованих диференці-альних рівнянь з похідною Хукухари і запізненням:
DhX(t)=ε[F(t,X(t),X(α(t)))+A(X(t),X(α(t)))φ(t,u)] X(0)=X, (1.14)
де 0≤α(t)≤t, A:conv(Rn)xconv(Rn)→conv(Rn), φ:RxU→R, u(t)єU –вектор керування, U є conv(Rm).
Рівнянню (1.14) ставиться у відповідність наступне усереднене рівняння:
DhX(t)=ε[(Y(t),Y(α(t)))+A(Y(t),Y(α(t)))v(t)], Y(0)=X, (1.15)
де , .
Теорема 3.4. Нехай в області Q={t≥0; X,YєDconv(Rn), uєUconv(Rm)} виконуються умови: 1) відображення F(t,X,Y) неперервне і 2π-періодичне по t; 2) відображення F(t,X,Y) і A(X,Z) задовольняють умові Ліпшіца по X, Z з постійною λ, обмежені постійною M; 3) функція φ(t,u) –неперервна по u, t, 2π-періодична по t, обмежена постійною M; 4) функція α(t) рівномірно неперервна при t≥0 ; 5) розв'язок Y(t) рівняння (1.15) при ε є (0,σ], t≥0 разом з ρ-околом належить області D для будь-якого припустимого керування u(t).
Тоді для кожного L>0 існують ε(L) є (0,σ] і C>0 такі, що при всіх ε є (0,ε] і t є [0,Lε-1] справедливі наступні твердження:
1. Для будь-якого припустимого керування u(t)єU існує припустиме керування v(t)єV таке, що:
h(X(t),Y(t))≤Cε. (1.16)
2. Для будь-якого припустимого керування v(t)єV існує припустиме керування u(t)єU таке, що справедлива оцінка (1.16).
Далі розглядається задача оптимального керування системою (1.14) з функціоналом
J[u]=Ф(X(Lε-1)), (1.17)
де Ф:conv(Rn)→conv(R).
Задачі (1.14), (1.17) ставиться у відповідність усереднена задача оптимального керування системою (1.15) з функціоналом
(v)=Ф(Y(L/ε)).
Обґрунтування чисельно-асимптотичного методу розв'язування задачі оптимального керування (1.14), (1.17) подано у теоремі 3.5.
У підрозділі 3.3 розглядається лінійне рівняння керованого руху з похідною Хукухари і запізненням:
DhX(t)=ε[A(t)X(t)+A(t)X(α(t))+G(t)] X(0)=X, (1.18)
де A(t), A(t) –матриці nxn, G:R→conv(Rn), 0≤α(t)≤t –змінне запізнення.
Для рівняння (1.18) доведені теореми про усереднення для періодичного (теорема 3.6) і неперіодичного (теорема 3.7) випадків; розроблено алгоритм чисельно-асимптотичної побудови множини досяжності, а також обґрунтовано чисельно-асимптотичний метод розв'язування задачі оптимального керування на траєкторіях, які описуються лінійними диференціальними рівняннями з похідною Хукухари та запізненням.
У четвертому розділі розглядаються квазідиференціальні рівняння з постійним і змінним запізненням у локально-компактному метричному просторі, а також задача оптимального керування системами, які описуються квазідиференціальними рівняннями з запізненням.
У підрозділі 4.1 розроблено і обґрунтовано алгоритм усереднення квазідиференціальних рівнянь з постійним запізненням у локально-компактному метричному просторі.
Нехай X –метричний простір з метрикою , φ:[0,σ)x[t,t+T)xX→X –відображення, яке задає локальний квазірух, тобто виконуються умови:
D1) аксіома початкових умов: φ(0,t,x)=x;
D2) аксіома квазіприпасування: δ(φ(h,t,x),φ(hm,tm-1,xm-1))=o(h),
де , , ,
D3) аксіома неперервності: φ(h,t,x) –неперервне.
Далі вважаємо, що X –локально-компактний метричний простір. Розглядається квазідифе-ренціальне рівняння з постійним запізненням:
δ(x(t+h),ψ(ε,h,t,x(t),x(t-Δ)))=o(h) x(s)=Ф(s), -Δ≤s≤0. (1.19)
Доведено теорему 4.3 про неперервну залежність розв'язку квазідиференціального рівняння (1.19) від початкових умов.
Рівнянню (1.19) ставиться у відповідність усереднене квазідиференціальне рівняння:
δ(y(t+h),(h,y(t),y(t-Δ)))=o(h), y(s)=Ф(s), -Δ≤s≤0 (1.20)
. (1.21)
Теорема 4.4. Нехай в області Q={hє[0,σ), tє[0,T), x,yєDX} виконані умови 1) φy(h,t,x)=φ(h,t,x,y(t)) задовольняє умовам D1, D2, D3, де y(t) задовольняє умові Ліпшіца з постійною μ; 2) границя (1.21) існує рівномірно відносно h, y, z; 3) δ(Ф(s'),Ф(s''))≤λ|s'-s''|; 4) відображення , φz(ε,h,t,y)=ψ(ε,h,t,y,z(t)) задовольняють по y умові: (де z(t) задовольняє умові Ліпшіца з постійною λ), умовам D1, D2, D3, умові Ліпшіца по h з постійною λ; 5) розв'язок y(t) квазідиференціального рівняння (1.20) існує при tє[0,T) і разом з ρ-околом належить області D.
Тоді для кожного η>0 існує ε(η)>0 таке, що для ε є (0,ε) і t є [0,T) справедлива оцінка δ(x(t),y(t))≤η, де x(t) –розв'язок рівняння (1.19), а y(t) –розв'язок рівняння (1.20).
У теоремі 4.4 подано обґрунтування методу усереднення для квазідиференціальних рівнянь з постійним запізненням. Для квазідиференціальних рівнянь, які містять асимптотично мале запізнення, доведена аналогічна теорема 4.5 про усереднення. Обґрунтування методу усереднення для квазідиференціальних рівнянь, які містять постійне й асимптотично мале запізнення, дано в теоремі 4.6.
У підрозділі 4.2 розглядається квазідиференціальне рівняння із змінним запізненням у локально-компактному метричному просторі:
δ(x(t+h),ψ(h,t,x(t),x(α(t))))=o(h), x(0)=x,
де D→X, ψ:[0,σ)x[0,T)xDxD→X –відображення, яке задає локальний квазірух, , 0≤α(t)≤t –запізнення.
У теоремі 4.7 доводиться існування розв'язку квазідиференціального рівняння із змінним запізненням і пропонується конструктивний алгоритм його побудови.
Далі розглядається квазідиференціальне рівняння з малим параметром, яке містить змінне запізнення:
δ(x(t+h),g(ε,h,t,x(t),x(α(t))))=o(h), x(0)=x, (1.22)
де t є [0,T), g:(0,ε]x[0,σ)x[0,T)xDxD→X, , ε –малий параметр, α(t) –запізнення і 0≤α(t)≤t.
Квазідиференціальному рівнянню (1.22) ставиться у відповідність усереднене:
, (1.23)
(1.24)
Теорема 4.8 дає обґрунтування методу усереднення для квазідиференціальних рівнянь із змінним запізненням у локально-компактному метричному просторі.
Теорема 4.8. Нехай в області Q={εє(0,ε],hє[0,σ),tє[0,T),DX} при кожному фіксованому ε є (0,ε0] виконані умови 1) границя (4.24) існує рівномірно відносно h, x, y; 2) відображення (h,x,y) і gz(ε,h,t,x)=gz(ε,h,t,x,z(t)) задовольняють умовам D1, D2, D3 і умові Ліпшіца по h з постійною λ, де z(t) –задовольняє умові Ліпшіца з постійною λ; 3) відображення g(ε,h,t,x,y) задовольняє нерівності |δ(x,x)-δ(g(ε,h,t,x,y),g(ε,h,t,x,y))|≤hγδ(x,x), де γ –константа; 4) функція α(t) –неперервна; 5) розв'язок y(t) рівняння (1.23) існує і разом з ρ-околом належить області D.
Тоді для кожного η>0 існує таке ε(η)>0, що для будь-якого ε є (0,ε] і для кожного tє[0,T) справедлива оцінка δ(x(t),y(t))≤η, де x(t) –розв'язок рівняння (1.22), а y(t) –розв'язок рівняння (1.23).
У підрозділі 4.3 обґрунтовано чисельно-асимптотичний метод побудови оптимальних керувань для керованих процесів у локально-компактних метричних просторах.
Дисертаційна робота має, в основному, теоретичний характер. Наведені в ній результати доповнюють відомі дослідження рівнянь керованого руху з запізненням. При цьому отримано наступні нові наукові результати:
Розроблені методи можуть бути використані при розв'язуванні конкретних прикладних задач.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ