Понятие о передаточной функции Передаточной функцией САУ по задающему воздействию называется отнош
Работа добавлена на сайт samzan.net:
1. Понятие о передаточной функции
Передаточной функцией САУ по задающему воздействию называется отношение операторного изображения выходной величины САУ к операторному изображению входной величины САУ при нулевых начальных условиях, т.е.:
. (3)
Т.к. при записи уравнений линейной САУ в операторной форме дифференциальные уравнения становятся алгебраическими, то с ними можно оперировать совершенно так же, как с линейными уравнениями для установившегося режима.
Обозначим соответственно
; - полиномы n-ой и m-ой степени от р.
Тогда
где Аn(р)=0 – характеристическое уравнение.
При синтезе и анализе систем используются частотные методы, для этого к уравнению (1) следует применить преобразование Фурье Для получения АФЧХ расчетным путем необходимо в передаточной функции САУ положить p = j.
Комплексная функция W(j) называется комплексным коэффициентом передачи звена или САУ или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) звена или САУ. Модуль этой функции представляет собой АЧХ, а аргумент – ФЧХ.
В общем случае W(j) может быть представлен в виде числа
,
где P() – называется вещественной частотной характеристикой звена или САУ (ВЧХ);
Q() – называется мнимой частотной характеристикой звена или САУ (МЧХ).
Между собой ВЧХ, МЧХ и АЧХ, ФЧХ связаны
График называется годографом - год=
2. Математическое описание идеальных звеньев.
Безынерционное звено
|
x2(t) = kx1(t), в операторной форме X2(p) = kX1(p) |
|
|
Передаточная функция . Комплексный коэффициент передачи , то есть , . В логарифмическом масштабе . ЛАЧХ безинерционного звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от неё на расстоянии . ЛФЧХ совпадает с осью абсцисс. |
Интегрирующее звено
Идеальным интегрирующим звеном называется звено, выходная величина которого пропорциональна интегралу входной величины.
; ,
|
; ; . , |
|
|
То есть в логарифмическом масштабе ЛАЧХ – прямая линия. ЛАЧХ интегрирующего звена представляет собой прямую проходящую с наклоном и пересекающую ось абсцисс при частоте, равной обратной величине постоянной времени звена. ЛФЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от неё на . |
Дифференцирующее звено
Идеальным дифференцирующим звеном называется звено, выходная величина которого пропорциональна скорости изменения входной величины.
; ;
.
|
; ; ; . |
|
Реальные динамические звенья представляют собой соединения из элементарных звеньев.
Инерционное (апериодическое) звено 1 – го порядка
Инерционным (апериодическим) звеном 1 – го порядка называется такое звено, связь между выходом и входом определяется линейным заданным уравнением 1 – го порядка вида:
, где Т – постоянная времени инерционного звена. ( 1 )
При ступенчатом изменении входного сигнала и при нулевыхых условиях решение уравнения ( 1 ) может быть представлено в виде:
В операторной форме
;
.
Реальное дифференцирующее звено 1 – го порядка
Это звено, у которого связь между выходной и входной величиной определяется уравнением вида: ,
где Т – постоянная времени звена
k -эффициент усиления звена
Рассмотрим переходный процесс в таком звене при и
При этих условиях решение может быть записано в виде
, то есть при ступенчатом изменении входного сигнала выходная величина изменяется по экспоненциальной кривой.
В операционной форме ;
,
Реальное форсирующее звено 1 – го порядка
Это звено, у которого связь между выходом и входом выражается уравнением вида:
при и
Решение может быть представлено в виде
при
|
|
В операторной форме:
;,
3.Передаточные функции и ЧХ при различных соединениях звеньев.
Последовательное соединение звеньев
|
Дано: W1(р), W2(р), L1(ω), L2(ω), φ1(ω), φ2(ω) L (ω) = ? φ(ω) = ? |
Известно, что W( р) = W1(р)·W2(р). Переходя к АФЧХ, p=jω:
,
A(ω) = A1(ω)·A2(ω), φ(ω) = φ1(ω) + φ2(ω),
переходя к логарифмическому масштабу
.
таким образом ,
.
Согласно-параллельное соединение звеньев
|
Дано: W1(р), W2(р), L1(ω), L2(ω), φ1(ω), φ2(ω) L(ω) = ? φ(ω) = ? |
W(р) = W1(р) + W2(р), (1)
. (2)
Искомые ЛАЧХ и ФЧХ нахо дятся путем добавления поправочных ординат к характеристикам 2-го звена, т.е., опять-таки, к характеристикам звена ЛАЧХ, которое идет выше.
При малых LП, φП искомые характеристики будут, очевидно, сов падать с характеристиками того звена ЛАЧХ, которое проходит выше.
Встречно-параллельное соединение звеньев
|
Дано: W1(р), W2(р), L1(ω), L2(ω), φ1(ω), φ2(ω) L (ω) = ? φ(ω) = ? |
Известно, что .
Для получения АФЧХ p=jω:
.
,
;
Из выражений следует, что искомые ЛАЧХ и ФЧХ находятся путем вычитания поправочных ординат из обратных ЛАЧХ и ФЧХ второго звена, т.е. опять-таки из характеристики звена ЛАЧХ, которого проходит ниже.
Если поправочные ординаты малы, то результирующая ЛАЧХ совпадает с нижележащими участками характеристик. Результирующая ФЧХ совпадает с характеристиками ЛАЧХ, которая проходит ниже.
4. Математическое условие устойчивости линейных систем
Как отмечалось ранее, для линейной САР общее уравнение движения может быть записано в виде:
(1)
Решением этого уравнения является:
В соответствии с определением устойчивости, система будет устойчивой, если
(2)
является решением уравнения (1) без правой части.
(3)
Каждому слагаемому в решении (4) с вещественным корнем соответствует процесс:
Каждому слагаемому в решении (4) с комплексным сопряженным корнем соответствует процесс:
Таким образом, для устойчивости САР, описываемой линейным дифференциальным уравнением (1), необходимо и достаточно чтобы все вещественные корни характеристического уравнения и все вещественные части комплексно-сопряженных корней были отрицательны. Это условие и есть математическое условие устойчивости.
Если изобразить корни на комплексной плоскости, то математическое условие устойчивости может быть сформулировано так: для устойчивости САР, описываемой линейным дифференциальным уравнением (1) необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Мнимая ось является в этом случае границей устойчивости.
Непосредственное использование сформулированного условия возможно лишь для систем относительно невысокого порядка.
Для анализа устойчивости реальных систем используют критерии устойчивости.
5. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Теорема Гурвица гласит: все корни уравнения
будут иметь отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда все диагональные определители главного определителя положительны.
Главный определитель определяется следующим образом:
По главной диагонали в порядке возрастания индексов выписываются все коэффициенты от а1 до аn.
Каждая из строк дополняется влево коэффициентами с убывающими индексами, вправо – с возрастающими.
На месте отсутствующих коэффициентов ставятся нули.
Таким образом, условием устойчивости (отрицательности действительных частей корней) по критерию Гурвица являются:
1. Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны – необходимое условие.
2. Все диагональные определители должны быть >0 – достаточное условие, то есть:
Частотный критерий устойчивости Михайлова
Заменим в полиноме А(р) на , тогда:
, где U – вещественная часть полинома ,
V – мнимая часть полинома .
На комплексной плоскости он может быть представлен в виде вектора. При изменении от до вектор своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, которая называется годографом Михайлова или характеристической кривой. Поскольку функция является чётной функцией , а - нечётная, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси. Поэтому нет необходимости рассматривать весь годограф Михайлова, а достаточно рассмотреть лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор при изменении от до . Тогда из уравнения (*) следует, что для установившейся системы приращение аргумента вектора при изменении от до должно быть:
Полученное выражение и есть частотный критерий устойчивости Михайлова, в математической форме. Словами его можно выразить так:
САР устойчива тогда и только тогда, когда характеристический вектор при изменении от 0 до последовательно обходит число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, нигде не обращается в нуль
Частотный критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста, основанный на использовании частотных характеристик, позволяет судить об устойчивости замкнутой САР по виду АФЧХ системы в разомкнутом состоянии.
Пусть дана система:
В разомкнутом состоянии передаточная функция системы:
Так как , то порядок полинома и полинома одинаков.
Для получения АФЧХ системы положим
,
где - АФЧХ замкнутой САР, - АФЧХ разомкнутой САР
Удобно рассматривать ту же кривую, но для вектора - поскольку годограф есть АФЧХ разомкнутой системы, для этого, очевидно, нужно перенести мнимую ось вправо на 1.
Таким образом, критерий Найквиста может быть сформулирован следующим образом:
Если система регулирования устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) системы в разомкнутом состоянии не охватывала точку с координатами .
6. Понятие о запасе устойчивости. Логарифмический критерий Найквиста
Запасом устойчивости по фазе называют угол , образованный радиусом, проведённым через точку пересечения c окружностью единичного радиуса и отрицательной действительной осью.
Эта величина показывает, на сколько нужно увеличить или уменьшить фазу системы, не изменяя ее амплитуду, чтобы устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости.
Частота, при которой называется частотой среза системы. Это та частота, при которой амплитуда колебаний сигнала обратной связи равна амплитуде колебаний входного сигнала.
Запас устойчивости по фазе в значительной мере определяет качество переходного процесса в САР. При проектировании САР стремятся выбрать её параметры так, чтобы
.
Запасом устойчивости по модулю (или по амплитуде) называется величина h, показывающая на сколько необходимо увеличить или уменьшить величину передаточного коэффициента системы при неизменных значениях всех остальных параметров, чтобы устойчивая прежде система оказалась на грани устойчивости.
Критерий Найквиста можно использовать и по отношению к ЛЧХ. Согласно критерию устойчивости Найквиста САР устойчива, если при .
Если использовать логарифмический масштаб, то это означает, что
(2)
Условие (2) можно сформулировать следующим образом:
Если ФЧХ системы в разомкнутом состоянии при частоте среза (то есть при частоте, где ЛАЧХ пересекает ось абсцисс) не достигает значения , то система в замкнутом состоянии устойчива.
7. Типовые желаемые ЛАЧХ.
Как уже отмечалось ранее, важным требованием к САУ в динамике является условие , чтобы САУ отрабатывала управляющее воздействие в минимально возможное время и с наименьшей колебательностью и не реагировала на возмущающее воздействия.
а) для зависимостей в) для ЛАЧХ замкнутой САР
г) для ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии
;
т.н. betrags оптиум (оптиум с однократным интегрированием)
Поскольку основную роль играет ЛАХ в районе частоты среза, то в некоторых случаях для предварительного выбора Lр жел. используется следующая методика:
т.е. используется т.н. симметричный оптиум с 2-х кратным интегрированием
Последовательная коррекция
В зависимости от схемы включения корректирующие устройства делятся на последовательные и параллельные. В первом случае кор ректирующее устройство включается последовательно в цепь основ ного воздействия, во втором - в цепь обратной связи охватывающей одно или не сколько звеньев САР.
а) включение последовательно корректирующего звена:
W(р) – передаточная функция последовательного корректирующего устр;
W(р) - передаточная функция элементов неизменяемой части САР.
задаться желаемым видом ЛЧХ системы в разомкнутом состоянии, то из выражения (2) и (3) можно найти ЛЧХ последовательно кор ректирующего устройства:
Виды последовательного корректирования.
Различают три вида послед. корректирующих устройств:
1.Опережающая коррекция
2. Запаздывающая Коррекция
3. Комбинированная коррекция.
Опережающей коррекцией называется коррекция, создающая положитель ный опережающий сдвиг по фазе синусоидального сигнала в опре деленном диапазоне частот.
Рассмотрим примеры различных видов корректирующих устройств:
I. Опережающая коррекция.
Простейшими звеньями, с помощью которых обеспечивается опережающая коррекция САР, являются звенья с передаточными функциями вида:
(I)
ЛЧХ такого звена можно изобразить т.о.:
Из ЛЧХ видно, что можно выделить три основных зоны:
низкочастотная
среднечастотная
высокочастотная
Очевидно, что наибольший эффект от введения такого корректирующего звена может быть получен в том случае, если частота среза нескорректированной системы находится в среднечастотной зоне влияния этого устройства, когда при этом для того, чтобы обеспечить наибольшие значения опережающей фазы, когда коэффициент k следует выбирать из условий
2. Запаздывающая коррекция.
Простейшими звеньями, с помощью которых обеспечивается запаздывающая коррекция САР, являются звенья с перед. функцией вида:
(2)
при k<1
ЛЧХ таких звеньев мажет быть представлена следующим образом.:
Видно, что в ЛЧХ можно выделить три зоны:
1.
2.
Очевидно, что наибольший эффект от введения такого звена может быть достигнут в том случае, если частота среза нескорректированной системы будет находится в высокочастотной зоне влияния этого устройства, т.е.
3. Комбинированная последовательная коррекция.
Простыми звеньями, с помощью которых обеспечивается комбинированная коррекция САР, являются звенья с перед. функцией вида:
(3)
ЛЧХ такого звена может быть изображена следующим образом:
ЛЧХ имеет 5 зон:
I ,
II ,
III ,
IV ,
V .
Очевидно, что наиболее целесообразной с точки зрения корректирования является зона IV. Наибольший эффект от применения такой коррекции может быть получен, если
8.Показатели качества регулирования
Основными показателями качества при ступенчатом воздействии принято считать следующие:
Время регулирования или время переходного процесса
Перерегулирование – в статических системах или относительное отклонение – в астатических системах
Колебательность, т. е. число колебаний регулируемой величины за время переходного процесса.
Возможные графики изменений регулируемой величины САР можно изобразить так:
Монотонный процесс.
2. Колебательный процесс.
1. Первой важной качественной оценкой является время регулирования. Временем регулирования называется наименьший промежуток времени, по истечению которого кривая переходного процесса регулируемой величины будет, при своем дальнейшем изменении, отклонятся от установившегося значения не более чем на .
Ширина зоны довольно существенно влияет на . Так для экспоненты при
, ;
при ,
обычно принимают .
2. Перерегулированием называется отношение разности между максимальным и устоявшимся отклонением регулируемой величины к ее установившемуся значению
, (2)
где – максимальное отклонение регулируемой величины;
– установившееся отклонение регулируемой величины.
Допустимое перерегулирование определяется конкретными условиями работы САР. Для систем регулирования скорости обычно допускают . Однако, это не догма.
3. Колебательность переходных процессов характеризуют часто числом колебаний регулируемой величины за время переходного процесса. Обычно принимают .
Оглавление
|
[1] 1. Понятие о передаточной функции [2] 2. Математическое описание идеальных звеньев. [3]
[4]
[5]
[6] [7] [8] Частотный критерий устойчивости Найквиста [9] [10] Критерий Найквиста можно использовать и по отношению к ЛЧХ. Согласно критерию устойчивости Найквиста САР устойчива, если при . [11] [12] Последовательная коррекция [12.1] Простейшими звеньями, с помощью которых обеспечивается запаздывающая коррекция САР, являются звенья с перед. функцией вида: [13] 3. Комбинированная последовательная коррекция.
[14] |
PAGE 18
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2. Простое предложение в английском языке и его типы
3. История русско-чеченских отношений
4. Девятая симфония
5. Розанов Василий Васильевич
6. методическое пособие АКТ РЕВИЗИИ оф
7. Психологічний зміст характеру людини
8. тема ~ совокупность политич институтов и все формы коммуникации между ними Компоненты политической систем
9. Качественные методы оценки эффективности рекламы
10. альбиносах 10 лет работа в музее 15 лет знаток моллюсков
11. Отцу который так широко и счастливо улыбался когда узнал что меня собираются напечатать
12. . ТЕПЛОТА [1
13. фские дисциплины исторические формы
14. . Теоретическая основа Теоретическая основа Методики исследования обучаемости связана с учением выда
15. Форимирование и реализация государственной политики
16. Расчет и анализ основных показателей экономической деятельности региона
17. К вопросу об изучении проблемы духовной ситуации России конца XIX-начала XX вв на уроках литератур
18. DK 2 DMC 797 Royl Blue
19. Проектирование электродвигателя асинхронного с короткозамкнутым ротором мощностью 37 кВт
20. Беседский сельскохозяйственный техникум УТВЕРЖДАЮ Директор ГБОУ СПО ЛО Беседски