Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
40. Событие В называется независимым от события А, если наступление события А не влияет на наступление или ненаступление события В. В противном случае события А и В называются зависимыми. Говорят, что события , , … , , образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно наступает хотя бы одно из них. Говорят, что события , , … , , образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий, если в данном испытании события , , … , , являются равновозможными и любые два из них – несовместные. Такие события будут называться элементарными событиями (или случаями, исходами). Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле . Эта формула называется формулой полной вероятности. Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
|
41.Пусть — полная группа событий, и — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле: Пример. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации. Решение. Пусть — события выбора счета у первой, второй и третьей организаций. Соответствующие вероятности будут ,, По формуле полной вероятности определяем вероятность выбора правильно оформленного счета По формуле Байеса находим исходную вероятность . |
42. Под схемой Бернулли понимают конечную серию повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают, а непоявления (неудачи) его . Я. Бернулли установил, что вероятность ровно успехов в серии из повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле: |
||||||||
|
43.Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона. Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события ровно раз приближенно равна где . Доказательство. Пусть даны вероятность наступления события в одном испытании и число независимых испытаний . Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли: При достаточно большом !!n,, и сравнительно небольшом !!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е. Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е. найти предел 46. Разность, взятая по модулю p(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε) , ε>0 Мы должны определить вероятность того, что заданное отклонение не превзойдет величину ε. −ε<nm−p<ε,−ε<nm−pn<ε умножим на √npq , получим −ε√npq<√npqm−pn<ε√npq,√npqm−pn=k, тогда (на основании интегральной теоремы Лапласа) p(−ε√npq<ε√npq)=Φ(ε√npq)−Φ(−ε√npq)=2Φ(ε√npq) Получили p(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=2Φ(ε√npq) |
44. Рассмотрим последовательность из n независимых опытов, в каждом из которыхсобытие A может произойти с вероятностью p, либо не произойти — с вероятностьюq = 1− p. Обозначим через Pn(k) вероятность того, что событие A произойдетровно k раз из n возможных.В таком случае величину Pn(k) можно найти по теореме Бернулли:Эта теорема прекрасно работает, однако у нее есть недостаток. Если n будет достаточно большим, то найти значение Pn(k) становится нереально из-за огромного объема вычислений. В этом случае работает Локальная теорема Муавра — Лапласа, которая позволяют найти приближенное значение вероятности: Теорема Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число n велико,а число p отлично от 0 и 1, тогда: Функция φ(x) называется функцией Гаусса. Ее значения давно вычислены и занесены в таблицу, которой можно пользоваться даже на контрольных работах и экзаменах. 47. Число k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства np-q≤k0≤np+p, причем: а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k0; б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0+1; в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k0 = nр. |
45. Обозначим через Pn(k) вероятность того, что событие A произойдетровно k раз из n возможных.В таком случае величину Pn(k) можно найти по теореме Бернулли:Эта теорема прекрасно работает, однако у нее есть недостаток. Если n будет достаточно большим, то найти значение Pn(k) становится нереально из-за огромного объема вычислений. В этом случае работает Интегральную теорема Муавра — Лапласа, которая позволяют найти приближенное значение вероятности: Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то P(n; k1, k2) где - функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей). Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций: а) б) при больших верно . Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значения к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли). 48. . Число k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства np-q≤k0≤np+p, причем: а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k0; б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0+1; в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k0 = nр. |
||||||||
|
49. Случайной величиной называется числовая величина (числовая функция), значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Обозначения: Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может принимать конечное или счетное множество значений Основное свойство закона распределения: Функция распределения – кусочно- непрерывная функция. Случайная дискретная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для случайных непрерывных величин. |
50. Случайной величиной называется числовая величина (числовая функция), значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Обозначения: Значения непрерывной случайной величины –принадлежат интервалу (конечному или бесконечному). Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция распределения F(x)- непрерывная при всех х и имеет почти всюду производную F'(x)=f(x). В этом случае функция f(x) называется плотностью распределения вероятности. Замечания. В некоторых учебниках такие случайные величины называют абсолютно непрерывными. Если F(x)- непрерывная и не дифференцируемая функция, то в этом случае случайную величину называют сингулярной |
51. Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. F(x)=P(X<x) Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция». Свойства функции распределения: 1. Значения функции распределения принадлежит отрезку [0;1]: 0F(x)1 Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(aX<b)=F(b)-F(a) (7) Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения: Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0<x<2)=F(2)-F(0) Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0<x<2)=1/2 Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb. Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:
Найти функцию распределения и построить ее график.
|