Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Ââåäåíèå
Наиболее естественной формой представления сигнала является задание закона его изменения в функции времени – X(t). Однако для анализа и синтеза систем и сигналов могут быть использованы различные формы их представления. Любой сигнал можно представить в виде суммы некоторых элементарных сигналов. Такое представление возможно при разложении временной функции в ряд по ортогональным (базисным) функциям, что равносильно представлению сигнала в различных системах координат.
В общем виде любой сигнал может быть представлен в виде ряда:
, (1)
где k(t) – представляет собой единичные орты, а ак – проекции функций на соответствующие оси или спектральные коэффициенты, которые определяются по формуле
. (2)
Система функций {k(t)} называется базисной, а представление сигнала в форме (1) его разложением по системам базисных функций (СБФ). Для выбранной СБФ сигнал полностью определяется набором (вектором) спектральных коэффициентов {ak}, т.е. его спектром.
СБФ должна удовлетворять условиям ортогональности и ортонормированности.
Условия ортогональности двух базисных функций заключаются в равенстве нулю их взаимных мощностей
. (3)
Условия ортонормированности заключаются в равенстве единице мощности всех базисных функций
(4)
Любую СБФ можно нормировать, если разделить каждую базисную функцию на ее мощность.
Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ÑÁÔ, ïðè ýòîì ðàçëè÷íûì ÑÁÔ ñоответствует различная физическая интерпретация сигнала, а значит и практическая реализация. Выбор СБФ зависит от специфики решаемой задачи (например: анализ фильтров, оценка точности, быстродействия и т.д.), используемых методов (временные, частотные, операторные и т.д.) и других факторов.
Наиболее часто используются следующие СБФ:
– Системы единичных непрерывных и дискретных функций.
– Системы тригонометрических базисных функций:
.
Эти функции широко используются при частотном представлении сигналов в рядах Фурье.
– Системы комплексных экспоненциальных функций- . Эти функции используются в преобразованиях Фурье и Лапласа.
– Системы комплексных дискретных экспоненциальных, базисных функций- . Эти функции используются в дискретных преобразованиях Фурье и Лапласа, быстром преобразовании Фурье.
– Полиномиальные СБФ, использующие полиномы Чебышева и Лежандра. Эти функции часто используются для анализа и синтеза цифровых фильтров.
– Двоично – ортогональные СБФ Уолша, Хаара, Радемахера. Эти функции широко используются в вычислительной технике для анализа и синтеза цифровых автоматов.
Базисные функции составляют ядро различных интегральных преобразований, используемых для исследования сигналов и систем (Фурье, Лапласа, Карсона, Хэвисайда, Уолша, Хаара и др.), которые имеют следующую структуру записи:
, . (5)
При этом, различным СБФ соответствует различная интерпретация сигналов.
1. Ряд Фурье и интегральное преобразование Фурье
Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (ограниченная, кусочно-непрерывная и имеющая на протяжении периода конечное число экстремумов), может быть разложена в ряд Фурье:
,
где – постоянная составляющая функции f(t);
– круговая частота основной (первой) гармоники;
– частота первой гармоники;
- амплитуда, частота и начальная фаза к – той гармоники;
;
; ;
; .
Ряд Фурье можно представить в комплексной форме:
; . (6)
Пример 1. Дана периодическая последовательность импульсов, приведенная на рис. 1. Найти сумму ряда.
f(t)
T
h
Определим выражение для спектральных коэффициентов
.
Периодическую последовательность импульсов можно представить в виде суммы ряда:
.
Для апериодических процессов вместо разложения в ряд Фурье используется разложение в интеграл Фурье при выполнении следующих условий: функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемой т.е.
. (7)
Формулы прямого и обратного преобразования Фурье имеют вид:
, . (8)
Пример 2. Определим спектральную плотность для одиночного прямоугольного импульса, приведенного на рис. 2.
f(t)
h
0 t
Одиночный прямоугольный импульс может быть представлен следующим выражением:
.
Спектральная плотность для одиночного прямоугольного импульса имеет вид:
Пример Определим спектральную плотность низкочастотного шума корреляционная функция которого имеет вид:
Спектральная плотность при этом равна:
Проверка: Выполним обратное преобразование
Определим оригинал как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции
,
где sk – значения полюсов; n – количество полюсов; m – кратность полюсов.
При этом, корреляционная функция равна
2. Дискретное преобразование Фурье
В цифровой технике для обработки дискретной информации широко используются ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье. При этом, используются комплексные экспоненциальные СБФ, для которых характерны свойства ортогональности, ортонормированности, полноты и мультипликативности
, при k = m+n. (9)
Ряд Фурье может быть представлен в виде
(10)
где nT (или n) – дискретное время; (2/N) k –круговая частота .
Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:
0 k N-1 (11)
Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), т.е. спектральные коэффициенты вычисляются по формуле:
0 n N-1 (12)
где N –количество отсчетов N=T/t+1; T- интервал времени; t – шаг дискретности; n –номер отсчета.
Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ïðåîáðàçîâàíèé ââåäåí ïîâîðà÷èâàþùèé ìíожитель:
. (13)
Дискретное преобразование Фурье удобно представить в матричной форме:
, (14)
где X – вектор отсчетов сигнала; x – вектор спектральных коэффициентов; W – квадратичная матрица (NN) отсчетов базисных функций; W-1 – обратная W;
(15)
При реализации алгоритмов вычисления ДПФ необходимо учитывать количество выполняемых арифметических операций и их тип (умножение, сложение и т.д.), процедуры обращения к памяти и ее объем для хранения коэффициентов. В дискретном преобразовании Фурье необходимо выполнить N2 умножений и N2 сложений.
Если число точек N небольшое или большое число точек с нулевыми значениями, то целесообразно использовать ДПФ, в противном случае целесообразно использовать так называемое быстрое преобразование Фурье (БПФ). Сущность БПФ заключается в прореживании исходной выборки сигнала по времени –n или по частоте –k.
При этом, для вычисления спектральных коэффициентов требуются одни и те же промежуточные спектры, что существенно сокращает объем вычислений. В некоторых случаях оказывается удобная БПФ с прореживанием по времени, в других случаях по частоте.
Пример 4. Определить дискретную спектральную плотность, если спектральная плотность непрерывного сигнала равна
.
Решение: Алгоритм решения задачи можно представить в виде
.
1. Для заданной спектральной плотности определим корреляционную функцию
2. Определим дискретную корреляционную функцию
Определим дискретную спектральную плотность
4. Îïðåäåëèì äèñêðåòíóþ спектральную плотность в форме Z-преобразования, выполнив подстановку z = epT.
Проверка: Определим дискретную корреляционную функцию
Для выражения спектральной плотности определим значения полюсов –zk, их количество и кратность –m
Используя теорему Коши о вычетах, корреляционную функцию можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции
Так как корреляционная функция является четной, то ее можно представить в виде
Выводы
При реализации алгоритмов БПФ возможно распараллеливание вычислений (специализированные процессоры), что позволяет ускорить выполнение преобразований.
Области применения дискретного преобразования Фурье:
дискретный спектральный анализ;
моделирование цифровых фильтров;
распознавание образов;
дискретный анализ речевых сигналов;
исследование дискретных систем управления.
Список использованной литературы