Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Операции над событиями
Часто бывает полезно наглядно представить события в виде диаграммы Эйлера — Венна. Изобразим все пространство элементарных исходов прямоугольником (рис. 1). При этом, каждый элементарный исход ω соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие A — некоторому множеству точек, этого прямоугольника.
Рис. 1. Изображение диаграммы Эйлера-Венна
Рассмотрим теперь операции над событиями, которые совпадают с операциями над множествами.
Определение
Пересечением (произведением) двух событий A и B называют событие, обозначаемое A∩B или AB, происходящее тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события A и B, т.е. событие, состоящее из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и событию A, и событию B.
События A и B называются несовместными, или непересекающимися, если их пересечение является невозможным событием, т.е. если A∩B=∅.
События A1,A2,…,An называют попарно несовместными, если для любых i≠j, где i,j=1,n¯¯¯¯¯, события Ai и Aj несовместны.
В противном случае события называют совместными, или пересекающимися.
Определение
Объединением (суммой) двух событий A и B называют событие, обозначаемое A∪B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A или B, т.е. событие состоит из элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
Если события A и B несовместимы, то для обозначения могут использововать символ «+».
Например, поскольку невозможное событие ∅ несовместно с любым событием A, то
∅∪A=∅+A=A.
Аналогично определяют понятия произведения и суммы событий для любого конечного числа событий и даже для бесконечных последовательностей событий. Так, событие
A1A2…An=∩ni=1Ai
состоит из элементарных исходов, принадлежащих всем событиям Ai,i=1,n¯¯¯¯¯, а событие
A1∪A2∪…∪An=∪ni=1Ai
состоит из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий Ai,i=1,n¯¯¯¯¯.
В частности, события A1,A2,…,An называют попарно несовместными, если
AiAj=∅
для любых i,j=1,n¯¯¯¯¯,i≠j, и несовместными в совокупности, если
A1A2…An=∅.
Определение
Разностью двух событий A и B называют событие, обозначаемое A∖B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие A и не происходит событие B, т.е. состоит из тех элементарных исходов, которые принадлежат событию A и не принадлежат событию B
Определение
Дополнением события A называют новое событие, обозначаемое A¯¯¯, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие A. Так событие A¯¯¯можно записать в виде:
A¯¯¯=Ω∖A.
Событие A¯¯¯ называют событием, противоположным событию A.
Определение
Событие A включено в событие B, если появление за собой события A обязательно влечет за собой наступление события B, или каждый элементарный исход события A принадлежит и событию B.
Приоритеты операций
Если некоторое событие записано в виде нескольких операций над различными событиями, то сначала выполняется операция дополнения, затем умножения, и, наконец, сложение и вычитание (слева направо).
Скобки могут увеличить приоритет любой из операций.
Пример
Рассмотрим устройство из n элементов. Элементы соединены последовательно, если устройство прекращает функционировать при отказе любого из элементов, и соединены параллельно, если прекращение функционирования наступает только при отказе n элементов (рис. 1а, 1б соответственно).
Рис 1. Последовательное и параллельное соединения
Обозначим A событие означающее отказ системы, а Ai — отказ i-го элемента (i=1,n¯¯¯¯¯). Тогда для последовательного соединения событие A представимо в виде:
A=A1∪A2∪…An,
а для параллельного соединения
A=A1∩A2∩…An.
Очевидно, что при параллельном соединении элементов событие A включено в каждое из событий Ai,i=1,n¯¯¯¯¯, а при последовательном соединении любое событие Ai,i=1,n¯¯¯¯¯ включено в событие A.