Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
Оптимальные системы. Методы теории оптимального управления. (41 ч.) |
|
Основные положения и постановка задачи. Параметрическая и структурно-параметрическая оптимизация. Критерии оптимизации и ограничения. |
|
Типовые формы уравнений ОУ, управляемость и наблюдаемость, теоремы Калмана. |
|
Параметрическая оптимизация, выбор оптимальных настроек регуляторов для заданного ОУ. |
|
Методы синтеза оптимального управления; классического вариантного исчисления, множителей Лагранжа. Управления Эйлера-Лагранжа, примеры определения оптимального управления. |
|
Принцип максимума Л.С. Понтрягина, задача максимального быстродействия, теорема об n-интервалах. Определение числа и моментов переключения. Оптимальные по быстродействию системы при ограничении фазовых координат, квазиоптимальное управление. Структуры оптимальных по быстродействию систем. |
|
Метод динамического программирования. система уравнений Беллмана и ее применение. |
|
Определение оптимальной структуры и параметров управляющего устройства по уравнению Риккати. |
Раздел 1. Оптимальные системы. Методы теории оптимального управления
Тема 1. Основные положения и постановка задачи. Параметрическая и структурно-параметрическая оптимизация. Критерии оптимизации и ограничения.
Оптимальные САУ проектируются в основном для сложных объектов, к которым относятся производственные и технологические процессы с большим количеством управляемых переменных. Автоматическую систему управления, обеспечивающую наилучшие технические или технико-экономические показатели качества при заданных реальных условиях и ограничениях называют оптимальной системой.
Оценку достижения цели в процессе управления объектом, представленную в аналитическом виде (формулой), называют критерием оптимизации (целевой функцией).
Как правило, этот критерий является функцией многих переменных и при оптимальном управлении достигает экстремального значения (min или max).
Состояние объекта управления в процессе управления можно охарактеризовать некоторыми функциями времени , которые называются координатами состояния (переменными состояния). Эти переменные можно рассмотреть как некоторый вектор в n-мерном пространстве:
– вектор состояния.
Информация о текущем состоянии объекта содержится в контролируемых выходных переменных , которые называют выходными координатами:
– вектор выходных координат.
Отдельные координаты состояния и выходные координаты могут совпадать. Обычно управляемые величины определяют качество работы объекта.
В реальных условиях на объект действуют также внешние и внутренние возмущения, которые вызывают нежелательные изменения переменных и изменяют величину критерия оптимизации:
– вектор возмущающих воздействий.
Для достижения желаемого результата формируется вектор управляющих воздействий:
.
В оптимальных системах решается задача определения оптимального вектора управляющих воздействий.
Информация о желаемом поведении объекта содержится в векторе задающих воздействий:
, который может формироваться самой системой.
Обобщенная функциональная схема оптимальной системы.
Рисунок 1.1 – Обобщенная функциональная схема оптимальной САУ
Система состоит из ОУ; датчиков Д, Д', выдающих информацию об управляемых величинах и возмущениях; усилительно-преобразовательных элементов (УП), которые преобразуют сигналы датчиков в сигналы, удобные для обработки; вычислительного устройства (ВУ), перерабатывающего эти сигналы в задающее воздействие G; исполнительных устройств (ИУ), преобразующих сигналы ошибки =g-y в управляющие воздействия U.
При оптимизации и синтезе оптимальных систем управления возможны два типа задач:
1. Задача параметрической оптимизации: когда известна структура системы ( и , выбран закон регулирования) и необходимо найти параметры настройки регулятора, которые обеспечат экстремум функционала качества.
2. Задача структурно-параметрической оптимизации: известна математическая модель и структура объекта, требуется определить оптимальную структуру и параметры управляющего устройства. В этом случае вектор управления является функцией фазовых координат:
.
Цель управления может быть задана различными способами. Чаще в виде допустимого значения некоторого функционала I, который называется целевой функцией либо критерием оптимизации:
.
Вектор управления, который обеспечивает экстремум I, называется вектором оптимального управления .
Задача оптимизации решается в два этапа:
1) вырабатывается вектор задающих воздействий: .
2) отрабатываются эти задающие воздействия, т.е. они преобразуются в управляющие .
Критерии оптимизации и ограничения
В качестве критерия оптимизации могут выбираться различные экономические и технико-экономические параметры (КПД, прибыль, расход энергии, средств и т.д.).
Для сложных технологических процессов и производств при их оптимизации часто разрабатывают автоматизированные системы управления производством (АСУП). Ее можно рассматривать как четырехуровневую систему, в которой функции разделены по уровню.
1. Оптимальное планирование.
2. Оперативное управление.
3. Оптимизация технологических процессов (определяется, при каких оптимальных переменных получается наилучшее качество выпускаемой продукции).
4. Оптимизация режимов работы оборудования (технологических установок).
Подсистемы 1 и 2 уровней решают задачу управления предприятием в целом, т.е. административно-хозяйственные задачи: распределение запасов, учета, планирования, анализа деятельности предприятия. Эти системы нуждаются в техническом персонале. Выбор критерия эффективности определяется экономическими требованиями, в качестве критерия оптимизации используются технико-экономические критерии.
При оптимизации статики и установившихся режимов работы многомерных объектов критерии оптимизации формулируются как некоторая функция, характеризующая качество работы объекта.
, где – функция, характеризующая эффективность работы предприятия.
В качестве критерия оптимизации (на высших уровнях АСУТП) может применяться:
1) функция пользы, которая представляет собой некоторую сумму:
X – вектор координат состояний объекта
Y – вектор выходных состояний объекта
U – вектор управляющих воздействий
2) максимум прибыли
g – цена
П – производительность
S – затраты
Критерий максимум прибыли не всегда согласуется с глобальными критериями производства. Поэтому используются ограничения.
3) минимум потерь
– реализуемая переменная технологического процесса;
– стоимость потерь от нестабильности i-ой переменной.
Во многих случаях качество работы АСУТП оценивается несколькими критериями, часть из которых противоречива. Тогда либо формируют векторный критерий, либо используют один показатель качества, а на остальные накладывают ограничения.
Векторный критерий оптимизации:
От векторного критерия переходят к обобщенному скалярному:
– коэффициент, отражающий вклад частного критерия в общий скалярный
Для объектов, работающих в переходных режимах, что характерно для систем 3-го уровня, в качестве критерия оптимизации используются известные критерии оценки точности и качества переходного процесса.
Максимальное быстродействие:
.
Максимальная точность:
.
При использовании в качестве функционала этого критерия в системе возникают процессы с большим перерегулированием, поэтому используют улучшенный критерий оптимизации:
λ – коэффициент, ограничивающий скорость переходного процесса, т.е. величину перерегулирования.
Если система подвержена случайным воздействиям, она относится к классу стохастических. Для стохастических систем в качестве критерия оптимизации можно использовать среднее значение квадрата ошибки
.
В качестве критерия оптимизации можно выбрать расход энергии на управление
.
если используются механические источники энергии
U(t) – управляющее воздействие
– скорость изменения выходного сигнала
Если на объект управления действуют возмущения (контролируемые и неконтролируемые), то в качестве критерия принят функционал, характеризующий взаимную корреляцию между выходом и возмущением:
.
Таким образом, критерий оптимизации зависит от того, в каком режиме работает объект, и от целей оптимизации. В общей постановке задачи оптимизации минимизируемый функционал детерминированных систем можно записать в следующем виде:
– функция, характеризующая качество в конечный момент времени, т.е. в установившемся состоянии – после завершения переходного процесса.
F – функционал, характеризующий качество работы объекта в переходных режимах (характеризует динамику).
Ограничения фазовых координат и управлений, краевые условия
Решение задач оптимизации зависит от наложенных ограничений, которые могут накладываться на координаты состояния и на координаты управления. Поэтому решение задачи синтеза системы начинается с описания реального объекта математическим соотношением. Далее анализируются характеристики внешних воздействий и устанавливаются ограничения на управление и фазовые координаты. Ограничения могут иметь естественный характер и искусственный характер.
– управления должны принадлежать классу допустимых ограничений ; – m-мерное пространство векторов управления.
– координаты состояния должны принадлежать классу допустимых ограничений ; – n-мерное пространство векторов состояния.
При решении задач должны быть заданы критерий оптимизации, ограничения на координаты состояния и ограничения на координаты управления, вектор начальных состояний и вектор конечных состояний – краевые условия. Численные значения этих векторов соответствуют в пространстве состояния краевым точкам (концам траектории).
Левый конец ;
Правый конец .
Существуют задачи оптимизации с закрепленными концами (задан левый и правый конец) и задачи с подвижными концами (один или оба конца заданы принадлежностью вектора состояний некоторой области).
Таким образом, для проектирования оптимальных систем должна быть математически строго поставлена задача:
1) Определена математическая модель объекта в форме уравнений состояния или в матричной форме:
2) Определен функционал качества. На примере оптимальных по быстродействию систем: .
3) Определены ограничения:
4) Задан вектор начального и конечного состояния и .
Типовые формы уравнений ОУ, управляемость и наблюдаемость, теоремы Калмана.
Метод пространства состояний (метод переменных состояния) основан на понятии "состояние системы". Состояние динамической системы описывается совокупностью физических переменных xi(t), ..., xn(t), характеризующих поведение системы в будущем при условии, если известно состояние в исходный момент времени и приложенные к системе воздействия.
В общем случае нелинейной системы, описание в переменных состояния имеет вид
. (6)
Если функции f1, f2, ..., fn линейны относительно переменных x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., un и не зависят от времени t, то их можно привести к виду
. (7)
В матричной форме выражение (7) имеет вид
. (8)
Такое выражение называется уравнением динамики для многомерной системы (u > 1), а в более компактном виде оно записывается через матричные операторы
. (8a)
где и вектор-столбцы, содержащие все переменные состояния и входные сигналы соответственно;
A - матрица динамики (состояния) объекта или системы размерностью n x n , (n - размерность вектора x);
В — матрица управления (входа) размерностью n x m, (m — размерность вектора и), в случае одномерных систем матрица управления - вектор-столбец;
Для полного описания системы в пространстве состояний к уравнениям динамики (8) или (8 а) необходимо добавить уравнения, устанавливающие связи между переменными состояния x1, ..., xп и выходными переменными y1, ...,yr между входными u1, ..., um сигналами и выходными переменнымиy1, ...,yr. Эта связь выражается в виде системы линейных алгебраических уравнений:
; (9)
или в векторно-матричной форме, называемой уравнением выхода
, (9a)
где - матрица-столбец выходных сигналов системы;
C - матрица выхода размерностью r x n, (r - размерность вектора y), в случае одномерных систем матрица выхода - вектор строка;
;
D - матрица обхода (компенсации или усиления по входу), связывающая между собой входные и выходные сигналы. В реальных системах чаще всего такая связь отсутствует. Размерность матрицы обхода r x m. Для одномерных систем размерность матрицы обхода (1 x 1).
Для одномерных систем описание в пространстве состояний выглядит следующим образом
. (10)
Таким образом, описание САУ в пространстве состояний выглядит как система двух уравнений в векторно матричной стандартной форме Коши
. (11)
Выражению (11) соответствует условная структурная схема, изображенная на рис. 2.
Рис. 2. Условная структурная схема многомерной САУ описанной уравнениями в пространстве состояний.
Описание системы управления в пространстве состояний удобно тем, что позволяет проводить анализ САУ на такие важные свойства как управляемость и наблюдаемость.
Понятие управляемость связано с возможностью приведения системы в заданное состояние с помощью входных или управляющих воздействий.
Критерий управляемости для линейных стационарных систем. Теорема Калмана I
Система будет управляемой тогда и только тогда, когда матрица управляемости Q имеет ранг n
Q = [B, AB, A2B, ..., An-1B]; rankQ = n, (12)
где n - размерность пространства состояний.
Очевидно, что управляемость определяется свойствами матриц А и В. Условием управляемости является невырожденность матрицы А.
Понятие наблюдаемости связано с возможностью определения переменных состояния по результатам измерения выходных переменных.
Критерий наблюдаемости для линейных стационарных систем. Теорема Калмана II
Система будет наблюдаема тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости N имеет ранг n, равный размерности пространства состояния.
; (13)
или в транспонированном виде
NT = [C CA CA ... CA2 CAn-1];
rankN = n
Очевидно, что наблюдаемость определяется свойствами матриц А и С. Условием наблюдаемости системы является невырожденность матрицы
САn-1.
Параметрическая оптимизация, выбор оптимальных настроек регуляторов для заданного ОУ.
Параметрическая оптимизация означает, что для заданного объекта выбран оптимальный закон регулирования и требуется найти оптимальные параметры настройки регулятора, который обеспечит требуемое качество работы системы. Под законом регулирования понимают уравнения связи между управляющим воздействием и величиной ошибки.
Параметрическую настройку можно выполнять при заданных внешних воздействиях и стабильных параметрах объекта. Наиболее широко используются 5 линейных законов регулирования и 2 нелинейных закона регулирования. Выбор закона регулирования для конкретного объекта выполняется на основании его свойств и требований к системе.
Оптимальный закон регулирования можно выбрать исходя из следующих соображений:
Необходимо достичь . Для этого необходимо , что практически не выполнимо, т.к. для этого необходимо, чтобы коэффициент преобразования системы во всем диапазоне частот был постоянным.
Наиболее сходно поведение такой системы со звеном запаздывания. Поэтому можно приближенно принять:
и для диапазона частот, где , .
При разложении в ряд Фурье
- оптимальная передаточная функция системы в замкнутом состоянии.
Оптимальная передаточная функция системы в разомкнутом состоянии должна быть эквивалентна интегральному звену, что обеспечит всегда монотонный переходный процесс в системе, т.к. в замкнутом состоянии система – апериодическое звено.
|
Объекты управления |
|
|
Статические |
Астатические |
|
1-го порядка |
1-го порядка |
|
2-го порядка |
2-го порядка |
Может быть .
|
Линейные регуляторы |
|
|
Статические |
Астатические |
|
П, ПД При использовании статического регулятора и при статическом объекте в системе будет всегда статическая ошибка, как по задающему воздействию, так и по возмущению. При таком регуляторе невозможно обеспечить высокую точность. Если объект будет астатическим, то ошибки по задающему воздействию можно избежать, но будет статическая ошибка по возмущению, приложенному к объекту |
И – в системах с данным регулятором большая длительность переходных процессов, поэтому он используется редко ПИ – рекомендуется для объектов с быстроизменяющейся нагрузкой ПИД – считается универсальным регулятором Астатические регуляторы используются для статических объектов. Для объектов 2-го порядка без запаздывания рекомендуют ПИД или ПИ-регуляторы, для объектов 2-го порядка с запаздыванием рекомендуют ПИД-регулятор |
Если входные воздействия известны, то для выбора оптимальных параметров настройки линейного регулятора можно использовать ЛАЧХ. Для этого строят ЛАЧХ ОУ и желаемую ЛАЧХ; вычитая затем из ЛАЧХ желаемой ЛАЧХ ОУ, определяют структуру и параметры регулятора.
Не всегда по сформированной желаемой ЛАЧХ получается типовой регулятор.
Мы выяснили, что оптимальная по быстродействию и по точности система в разомкнутом состоянии должна быть эквивалентна интегральному звену, а это соответствует желаемой ЛАЧХ, проходящей с наклоном во всем диапазоне частот. В этом случае частота среза определяет добротность системы по скорости.
Можно не строить желаемую ЛАЧХ, а, построив ЛАЧХ ОУ и выбранного ориентировочного регулятора, совмещая их, получить желаемую ЛАЧХ выбирая параметры регулятора [метод полной компенсации постоянных времени объекта]
Если внешние воздействия неизвестны, то для определения оптимальных параметров настройки регуляторов можно использовать интегральную квадратичную оценку качества, максимальную степень устойчивости, критерий оптимального модуля. При использовании всех этих методов от критерия оптимизации надо брать частные производные по параметрам настройки регулятора и получать систему, решая которую находят оптимальные настройки, обеспечивающие экстремум критерия.
1) Выбор оптимальных параметров настройки регулятора на основании интегральных оценок качества
Можно использовать интегральную оценку (квадратичная простая):
Если на входе
(квадратичная)
– коэффициент, ограничивающий скорость переходного процесса, т.е. величину перерегулирования.
Сложность использования связана с тем, что нужно правильно выбрать .
Для определения оптимальных параметров настройки регулятора нужно найти минимальное значение интеграла.
Квадратичная простая оценка вычисляется по формуле Релея:
– амплитудный спектр сигнала ошибки.
Это интеграл вычислен и существует в таблицах Мак-Ленона, которые позволяют по коэффициентам полиномов и найти значения интеграла.
Для определения минимального значения интеграла нужно составить систему уравнений в частных производных по параметрам регулятора и, приравняв их к нулю, решить систему уравнений.
(пример из Нетушил стр. 410)
2) Выбор оптимальных параметров настройки регулятора на основании критерия «максимальной степени устойчивости»
Под критерием степенью устойчивости () понимают расстояние ближайшего корня до мнимой оси.
При выборе параметров регулятора на основании критерия задаются степенью устойчивости, которая характеризует быстродействие:
Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, а остальные комплексные, но расположены дальше, то переходный процесс с перерегулированием не более 20%.
На основании этого критерия выведены соотношения, которые позволяют определить параметры настройки. Уравнение объекта в этом случае представляется следующим образом:
Требуется синтезировать линейное управление:
, обеспечивающее реализуемость различных законов управления.
Для И-регулятора:
Для ПИ-регулятора:
Для решения поставленной задачи – обеспечения максимальной степени устойчивости, необходимо получить уравнения, из которых могут быть вычислены параметры законов управления.
1. Для объекта
– число апериодических звеньев ОУ
Для ПИД регулятора параметры настройки вычисляются следующим образом:
Эти формулы могут использоваться для адаптации САУ к изменяющимся свойствам ОУ.
2. Для ОУ с запаздыванием
ПИ-регулятор:
Параметры регулятора:
ПИД-регулятор:
Параметры регулятора:
В случае реализации алгоритмов управления с помощью микропроцессора частота дискретизации определяется следующими выражениями:
- для ПИ-закона
для объектов
- для ПИД-закона
для объектов
Использование критерия «максимальная степень устойчивости» позволяет получить широкий диапазон переходных процессов: от апериодических до колебательных с различной колебательностью.
3) Настройка регуляторов на модульный и симметричный оптимум
Такую настройку обычно используют для многоконтурных систем управления с подчиненным регулированием, когда один из регуляторов вырабатывает задающие воздействия для второго, стоящего во внутреннем контуре. При этом каждый контур настраивается индивидуально и параметры регулятора определяются оптимизацией каждого контура.
– стабилизирующий регулятор;
– корректирующий регулятор;
, – передаточные функции объекта управления.
При оптимизации структуру регулятора внутреннего контура обычно выбирают из условия минимального времени регулирования и перерегулирования ≤4%.
Такая настройка называется технический (модульный) оптимум.
Этому условию соответствует ЛАЧХ, ФЧХ и системы следующего вида:
Тогда передаточная функция разомкнутого контура:
Модульный оптимум характеризуется тем, что система в замкнутом состоянии эквивалентна колебательному звену:
– малая постоянная времени, связанная с временем регулирования, которая должна учитывать все малые постоянные времени настраиваемого контура.
При ступенчатом управляющем воздействии выходная величина в первый раз достигает установившегося значения через время , перерегулирование составляет 4,3%, а запас по фазе 63°.
Настройка регуляторов на симметричный оптимум
При такой настройке ЛАЧХ желаемой системы имеет астатизм 2-го порядка, время первого достижения выходной величиной установившегося значения составляет , максимальное перерегулирование достигает 43%, запас по фазе 37° но при этом в системе переходной процесс с перерегулированием до 40% и выше.
4) Настройка регулятора по критерию оптимального модуля
Если требуется точное воспроизведение задающего воздействия при минимальном перерегулировании и времени регулирования, то модуль должен иметь характеристику идеального фильтра, т.е. частотная характеристика должна быть близка к единице в возможно большей полосе частот.
Для ОУ 2-го порядка :
Известно, что для всех переходных процессов колебательного звена оптимальным по быстродействию будет процесс с .
По можно определить перерегулирование в относительных единицах:
,
время регулирования ;
показатель колебательности:
При выполнении условия оптимальности параметры ПИ-регулятора для рассматриваемого ОУ второго порядка определяются соотношениями:
.
Если объект управления 3-го порядка с , , то целесообразно использовать ПИД-регулятор, оптимальные параметры которого находятся по следующим соотношениям:
; ; .
Структурно-параметрическая оптимизация
При структурно-параметрической оптимизации задан объект, начальное или конечное значения векторов состояния и ограничения, которые могут накладываться на координаты состояния и управления. Ищется оптимальное управление как функция фазовых координат, т.е. алгоритм управления формируется с помощью обратных связей. Для определения оптимального управления используются методы поиска экстремума функции многих переменных:
1. Классического вариационного исчисления;
2. Принцип максимума;
3. Динамического программирования.
При оптимизации динамики (переходных процессов) критерии оптимизации является быстродействие, точность системы, расход энергии на управление и комбинация их. Из величин, характеризующих объект, рассматриваются координаты состояния , координаты управления , координаты выхода . Причем управляющее воздействие может быть непрерывной функцией или иметь разрывы 1-го рода (кусочно-непрерывные), а также могут быть кусочно-гладкими функциями. Координаты состояния меняются, как правило, с огромной скоростью и являются гладкими или кусочно-гладкими функциями.
Метод классического вариационного исчисления
Уравнения Эйлера и Эйлера-Лагранжа
При решении задачи поиска оптимального управления функционал качества можно записать в виде:
или
Если дать приращение координатам состояния (проварьировать их), то изменится значение функционала качества. Причем варьирование координат производится так: направление меняется произвольно в классе гладких функций на интервале , , а граничные значения функции должны оставаться постоянными, т.е. совпадать.
и
Вместо координат и подставляем эти значения в подынтегральную функцию функционала качества
Тогда
Найдем приращение функционала качества при варьировании аргументов
Вариационная формула представляется в виде ряда Тейлора:
Т.к. вариации аргументов и малы, то вторые и высшие производные в этом разложении отбрасывают
Линейную часть приращения функционала называют первой вариацией функционала и обозначают
Необходимым условием существования экстремума функционала качества является равенство нулю его первой вариации
В этом выражении проинтегрируем по частям второе слагаемое:
Полученное выражение подставляем в выражение для
Т.е. для того, чтобы , необходимо, чтобы:
Если переменных много, то
– уравнение Эйлера.
Если функционал качества зависит от управления, можно дописать:
– система уравнений Эйлера, решив которую находят управление.
Кривые изменения координат состояния, при которых получаются экстремумы функционала качества, называются экстремальными.
Систему уравнений Эйлера можно использовать тогда, когда координаты состояния и управления являются непрерывными гладкими функциями и не имеют ограничений типа неравенств.
Если управление выбирается из класса разрывных функций и на управление наложено ограничение в виде неравенств и на координаты состояния наложено ограничение самим уравнением ОУ, то задача сводится к поиску условного экстремума функции многих переменных. В этом случае координаты состояния и управления, связанные уравнением объекта, не могут варьироваться независимо. В этом случае составляют функцию Лагранжа и систему уравнений Эйлера, но только для функции Лагранжа, т.е. подынтегральная функция функционала другая.
Задача формулируется следующим образом:
Определить оптимальное управление, обеспечивающее экстремум функционала качества, в котором координаты состояния и управления связываются уравнением объекта в виде уравнений состояния.
Функционал:
;
.
Подынтегральная функция функционала качества должна быть непрерывной по всем переменным и должна иметь непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. При использовании системы уравнений Лагранжа подынтегральная функция функционала качества записывается следующим образом:
– функция Лагранжа
– уравнение связи, которое накладывается на и .
Для определения оптимального управления составляется система уравнений Эйлера для функций Лагранжа. Эта система называется системой уравнений Эйлера-Лагранжа.
Решение задачи усложняется тем, что неизвестны начальные значения множителей Лагранжа и чтобы удовлетворять заданным значениям конечного и начального состояния и приходится многократно решать уравнения вариационной задачи, задаваясь различными значениями .
Уравнения вариационной задачи могут быть записаны в канонической (гамильтоновой) форме.
Система уравнений Эйлера.
Новые канонические переменные:
Вместо подынтегральной функции функционала качества записывают функцию Гамильтона:
Тогда система уравнений:
На основании уравнений Эйлера:
Тогда система уравнений для решения вариационной задачи:
Или в общем виде:
Для общей задачи Лагранжа
Тогда функцию Гамильтона при решении задачи с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа запишем:
,
а система уравнений будет выглядеть следующим образом:
(из нее находится , а потом )
Если решается задача с помощью системы уравнений Эйлера-Лагранжа, то -функцию можно не использовать.
Пример:
Определить оптимальное управление для объекта, заданного следующей передаточной функцией:
в процессе перевода его из начального положения , в конечное состояние , обеспечивающее минимум функционала качества:
, причем коэффициенты и положительны.
Решение:
1. Запишем уравнение объекта в форме Коши
2. Составим функцию Лагранжа
Поскольку ограничение координат задается всегда уравнением объекта
3. Составляем систему уравнений Эйлера-Лагранжа
Эти два уравнения дополняются уравнением объекта
Для определения нужно определить корни этой системы уравнений.
Для этого составляем матрицу:
Уравнение ОУ первого порядка. Должен быть один корень. Из условий устойчивости выбираем отрицательный корень. Тогда решение системы уравнений принимает вид:
– постоянная интегрирования, которая определяется по заданным начальным условиям объекта;
– определяется значением , а оно неизвестно.
Для определения подставим в найденное выражение для и в уравнение объекта:
Подставим в выражение для
Это говорит о том, что оптимальное управление изменяется по такому же закону как и выходная координата объекта, следовательно, оптимальное управление является функцией фазовых координат:
Получается, что закон регулирования формируется с помощью ОС по выходной координате.
PAGE 24
-20
+20
-40
20
0
0
ωср=Dv
LЖ
LР
LОУ
1
ω
А
X01
XK1
X1
δ(t)