Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет №1.
Множества. Функции. Элементарные функции. Расширенная числовая прямая. Окрестности
Множества
Множество – совокупность объектов единой природы.
A, B, C, X, Y ... — множества; a, b, c, x, y ... — элементы множества;
Функции
Определение 1. Соответствие, при котором каждому элементу x ∈ X соответствует единственный элемент y ∈ Y , называется функцией, заданной на множестве X, со значениями в множестве Y, или отображением множества X в множество Y: f : X → Y или y = f(x),x ∈ X.
Определение 2. Если Yf = {y ∈ Y : ∃x ∈ X (y = f(x))}, то отображение f называется отображением X на множество Y, или сюръекцией.
Определение 3. Если при x ≠выполняется условие f(x) ≠f(), то отображение f называется взаимно однозначным отображением X в Y, или инъекцией.
Определение 4. Если f является взаимно однозначным отображением X на Y, т.е. является одновременно сюръекцией и инъекцией, то оно называется биекцией.
Определение 5. Графиком функции f называется множество на координатной плоскости, состоящее из всех точек вида (x; f(x)), x ∈ X .
Элементарные функции
Основные элементарные функции:
1. y = c (c — постоянная);
2. y = , (α ∈ R) степенная;
3. y = , (a > 0) показательная;
4. y = , a > 0, a ≠1 логарифмическая;
5. y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x - тригонометрические;
6. y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x - обратные тригонометрические.
Определение 6. Элементарной функцией называется всякая функция f, которая может быть задана с помощью формулы y = f(x), содержащей лишь конечное число арифметических операций над основными элементарными функциями и операций композиции.
В множестве элементарных функций выделяются следующие классы:
1. Многочлены (полиномы): P(x) = + + ... + +
2. Рациональные функции: f(x) = , Q(x) ≠ 0.
3. Иррациональные функции — функции, не являющиеся рациональными, которые могут быть заданы композицией конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий.
4. Трансцендентные функции — элементарные функции, не являющиеся рациональными или иррациональными.
Расширенная числовая прямая. Окрестность
Дополним множество действительных чисел R элементами −∞,+∞, считая при этом, что
∀x ∈ R (−∞ < x < +∞).
Полученное множество называется расширенной числовой прямой и обозначается R.
Введем понятие окрестности конечной или бесконечно удаленной точки числовой прямой.
Если a ∈ R, то ∀ ε > 0 ε−окрестностью U(a, ε) точки a называется интервал (a − ε; a + ε).
Если a = +∞, то U(+∞; ε) = (; +∞].
Если a = −∞, то U(−∞; ε) = [−∞; −).
Билет №2
Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани. Принцип Архимеда. Принцип вложенных отрезков. Мощность множеств
Ограниченные и неограниченные множества
Определение 1. Множество X ⊂ R называется ограниченным сверху, если существует такое число b ∈ R, что для всех x ∈ X имеет место неравенство x ≤ b. Множество X ⊂ R называется ограниченным снизу, если существует такое число a ∈ R, что для всех x ∈ X выполняется неравенство x ≥ a. Множество, ограниченное сверху и снизу, называется просто ограниченным.
Определение 2. Множество X называют неограниченным сверху, если для любого b ∈ R существует x ∈ X (x > b). Множество X называют неограниченным снизу, если для любого a ∈ R существует x ∈ X (x < a).
Верхняя и нижняя грани
Определение 3. Если множество X ⊂ R ограничено сверху, то наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X, называется его верхней гранью и обозначается supX (от латинского supremum — наибольший). Если множество X ⊂ R ограничено снизу, то наибольшее число среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X, называется его нижней гранью и обозначается inf X (от латинского infimum — наименьший).
Определение 3*. Число β называется верхней гранью множества X ⊂ R, если:
1. ∀ x ∈ X выполняется неравенство x ≤ β ;
2. ∀ β’ < β ∃ такой x ∈ X , что β’ < x.
Число α называется нижней гранью множества X ⊂ R, если:
1. ∀ x ∈ X выполняется неравенство x ≥ α;
2. ∀ α’ > α ∃ такой x ∈ X , что α’ > x.
Теорема 1. Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.
Доказательство. Пусть A ⊂ R ограниченно сверху, A ≠ ∅, а B — множество всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Если a ∈ A, b ∈ B , то a ≤ b. По свойству непрерывности действительных чисел ∃β ∈ R, что ∀a ∈ A, ∀b ∈ B (a ≤ β ≤ b). Если a ≤ β ∀a ∈ A, то β ограничивает сверху A. Если β ≤ b ∀b ∈ B , то β есть наименьший среди всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Следовательно, β = sup A. Существование нижней грани для ограниченного снизу множества доказывается аналогично.
Принцип Архимеда
Теорема 2. ∀a ⋲R, ∃ n ∈ N, что n > a.
Доказательство. Предположим, что ∃ a ∈ R, что ∀n ∈ N a ≥ n, т.е. множество N ограничено сверху. Тогда по Теореме 1 у множества N ∃ конечная верхняя грань: β = sup N < +∞. Так как β − 1 < β , то в силу условия 2 определения 3* ∃n ∈ N, что n > β − 1, т.е. n + 1 > β . Но (n + 1) ∈ N, поэтому получаем противоречие с предположением.
Принцип вложенных отрезков
Определение 4. Система числовых отрезков [;],[;],...,[;],..., ∈ R, ∈ R, n ∈ N, (1)
называется системой вложенных отрезков, если ≤ ≤ ... ≤ ≤ ... ≤ ≤ ... ≤ ≤ , (2) т.е., если [;] ⊃ [;] ⊃ ... ⊃ [;] ⊃ ....
Теорема 3. Всякая система вложенных числовых отрезков имеет непустое пересечение.
Доказательство. A- множество левых концов , B — множество правых концов . ∀ номеров m, n выполнится неравенство ≤ . Следовательно, по свойству непрерывности множества действительных чисел ∃ ξ, что для всех номеров m и n выполняется неравенство ≤ ξ ≤ , т.е. пересечение не пустое.
Определение 5. Будем говорить, что длина − отрезков [], ,∈ R, ≤ , n = 1,2,..., стремится к нулю, если ∀ ε > 0 ∃ номер , что ∀ номеров n > выполняется неравенство − < ε. (3)
Теорема 4. Для всякой системы вложенных отрезков [], n = 1,2,..., длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам данной системы, при этом
ξ = sup{ } = inf{}.
Доказательство. Пусть ∃ две точки ξ, η, принадлежащие всем отрезкам [],n ∈ N, рассматриваемой системы. Тогда ∀ n выполняется неравенство: |ξ − η| ≤ − . Следовательно, в силу условия (3) ∀ε > 0 справедливо неравенство |ξ − η| < ε. Поскольку ε > 0 — произвольное число, то последнее неравенство возможно тогда и только тогда, когда ξ = η. В противном случае, например, при ε = 1 2|η − ξ| неравенство |ξ − η| < ε противоречиво. Это значит, что ∃ единственная точка ξ , принадлежащая всем отрезкам []: ≤ ξ ≤ , n = 1,2,.... Следовательно, числа sup{}, ξ, inf{} ∈ [] ∀n. Они равны по доказанyому выше.
Мощности множеств
Счетные множества
Определение 6. Два множества A и B , между элементами которых можно установить биекцию, называют равномощными. Обозначение: A ∼ B.
Определение 7. Множество X называется конечным, если ∃ n ∈ N, что между элементами множества X и множества {1;2;3;...;n} можно установить 1 − 1 соответствие.
Определение 8. Множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным. Из примеров 1 и 2 следует, что множество четных чисел, множество целых чисел Z — счетные множества.
Теорема 5. Всякое бесконечное множество X содержит счетное подмножество.
Доказательство. Выберем в X произвольный элемент a1 .
Если X — бесконечно, то X\} ≠ ∅ ⇒ выберем в нем элемент . X\{;} ≠∅ ⇒ выберем в нем элемент a3 и т.д. X — бесконечно ⇒ этот процесс выбора неограничен. В результате получим последовательность элементов a1,a2,...,an,..., т.е. счетное подмножество X.
Теорема 6. Множество рациональных чисел Q счетно.
Доказательство. Множество Q := {r : r =,p ∈ Z,q ∈ N}, т.е. каждому рациональному числу можно сопоставить пару (p;q). Изобразим совокупность таких пар в виде узлов целочисленной решетки.
Соединим все узлы спиралеобразной ломаной. Эта линия выходит из точки (0;0), далее точка (0;1), далее (1;1) и т.д. Будем рассматривать лишь те пары (p;q), для которых q ≥ 1 и дробь несократимая. Таким образом, каждое рациональное число получит номер, причем единственный. Следовательно, множество Q счетно.
Несчетные множества
Теорема 7. Отрезок [a;b] несчетен.
Доказательство. Множество R состоит из десятичных дробей вида:
m, a1a2...an...=m + a1/10 + a2/100 + ... + an/10n + ..., где m ∈ Z, a1,a2,...,an,... ∈ {0;1;...;9}.
Рассмотрим отрезок [0;1]. Он представляет собой подмножество дробей в множестве R, у которых m = 0 :
[0;1] = {0,a1a2...an...}.
Действительно, для чисел из полуотрезка [0;1) это очевидно, а число 1 можно представить десятичной дробью 0,(9) с девяткой в периоде: 1 = + + ... + + ....
Некоторые числа из отрезка [0;1] имеют двоякое представление: 1 2 = 0,4(9) = 0,5(0).
Все числа, десятичные дроби которых не содержат нулей и девяток в периоде представляются единственным образом. Т.к. [0;1] и (0;1] равномощны (см. пример 5), то докажем теорему для полуотрезка (0;1] и договоримся использовать только запись с 9 в периоде.
Предположим, что (0;1] — счетное множество, т.е. все его элементы можно перенумеровать следующим образом:
= 0,... ...
= 0,... ...
............
= 0,... ...
............
Теперь рассмотрим дробь x = 0,b1b2...bn..., b1 ≠ a11 , b2 ≠ a22 , ..., bn ≠ ann,.... Предположим, что bn ≠ 0 ∀n. Оказывается, что дробь x не попадает в указанный пересчет: от x1 она отличается первой цифрой, от x2 — второй и т.д. Очевидно, что x ∈ (0;1], поэтому мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Определение 9. Если множество A равномощно отрезку [0;1] (A ∼ [0;1]), то говорят, что множество A имеет мощность континуума (непрерывности).
Следствие 2. Множество R имеет мощность континуума. Для обозначения мощности континуальных множеств используют символ c: |[0;1]| = c.
Билет №3
Определение предела числовой последовательности. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Единственность предела последовательности. Переход к пределу в равенствах и неравенствах. Ограниченность сходящихся последовательностей.
Определение предела числовой последовательности
Определение 1. Числовой последовательностью называют ”занумерованное” натуральными числами множество { ,...,,...} действительных чисел. Члены последовательности с разными номерами могут иметь одно и то же значение.
Определение 2. Конечную или бесконечно удаленную точку a числовой прямой называют пределом некоторой последовательности, если любая окрестность точки a содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.
a = ⇔ ∀ε > 0 ∃N(ε): ∀ n > N(ε) ( ∈ U(a;ε)).
Определение 3. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся.
Для случая конечного предела a определение 2 можно перефразировать:
a = ⇔ ∀ε > 0 ∃N(ε) : ∀n > N(ε) (| − a| < ε).
Если a = ∞, то определение 2 принимает вид:
= ∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃N(ε) : ∀n > N(ε) (|| > ).
= +∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃N(ε) : ∀n > N(ε) ( > ),
= −∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃N(ε) : ∀n > N(ε) ( < − ).
Определение 4. Последовательность называется бесконечно большой, если ее пределом является бесконечность.
Определение 5. Числовая последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.
Единственность предела последовательности
Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой R может иметь на этой прямой только один предел.
Доказательство. Пусть ∃ последовательность {} ∈ R такая, что = a, = b, a ≠b, a ∈ R, b ∈ R. Рассмотрим окрестности U(a), U(b), U(a)∩U(b) = ∅. По определению 2 вне окрестности U(a) точки a, в частности, в окрестности U(b) точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {}. Это противоречит тому, что = b.
Переход к пределу в равенствах и неравенствах
Теорема 2. Если ∀ n = 1,2... имеет место равенство = a ∈ R, то = a.
Доказательство. Для любой окрестность U(a;ε) точки a ∃ номер N(ε): ∀ n ∈ N, = a ∈ U(a;ε). Следовательно, = a.
Теорема 3. Если ∈ Ř, ∈ Ř, ∈ Ř, ≤ ≤ (1)
= = a ∈ Ř (2)
то,= a.
Доказательство. Зададим произвольную окрестность точки a. В силу условия (2) ∃ номер n1: ∀n > n1 ( ∈ U(a)), и ∃ такой номер n2 : ∀n > n2 (∈ U(a)). Полагаем = max {n1,n2}. По условию (1) ∀n > ∈ U(a) ⇒ = a.
Следствие. Если ≤ , ∈ R, ∈ R, n = 1,2,... и
= +∞, (3)
то = +∞. (4)
Если = −∞, (3’)
тоn = −∞. (4’)
Доказательство. Пусть выполнено условие (3). Рассмотрим вспомогательную последовательность = +∞, n = 1,2,.... Тогда, для трех последовательностей , , выполнены условия (1) и (2) при a = +∞ ⇒ = +∞ по Теореме 3. Второе утверждение доказывается аналогично.
Ограниченность сходящейся последовательности
Определение 6. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу).
Иначе говоря, последовательность {} — ограничена сверху (снизу), если ∃ c ∈ R: ∀ n ∈ N ≤ c (≥ c). Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной. Бесконечно большие последовательности неограниченны, однако не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.
Теорема 4. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Доказательство.
Пусть последовательность {} имеет конечный предел, равный a. Выберем ε = 1. Согласно определению предела = a ∈ R ⇔ ∃N : ∀n > N (|− a| < 1).
Выберем d = max{1,|x1 − a|,...,|xN − a|}. Тогда для всех n ∈ N справедливо неравенство a − d ≤ ≤ a + d.
Это и означает, что {} ограничена.
Билет №4
Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число e
Определение 1. Верхней (нижней) гранью последовательности {} называется верхняя (нижняя) грань множества значений этой последовательности. Обозначается sup{}, inf{}.
Определение 2. Числовая последовательность {} называется возрастающей (убывающей), если для любого n ∈ N выполняется неравенство ≤ +1 (≥ +1 ).
Убывающие и возрастающие последовательности называют монотонными, а строго убывающие и строго возрастающие — строго монотонными.
Теорема 1 (Вейерштрасс). Всякая возрастающая числовая последовательность {} имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она не ограничена, причем = sup{}. (1)
Если {} — убывающая последовательность, то существует (конечный или бесконечный) = inf{}. (2)
Доказательство. (1) Пусть β = sup{}, причем, β может быть конечным числом или бесконечностью. Рассмотрим произвольную окрестность точки β , обозначим через β0 ее левую границу, β0 < β. Тогда ∀n ∈ N ≤ β, ∃ ∈ N > β0. {} - возрастающая => ∀ n > β0 < ≤ ≤ β => = β. Аналогично доказывается утверждение для убывающей последовательности.
Замечание. Если в системе вложенных отрезков [,], n = 1,2,..., длина |−|(n→∞) → 0, а точка ξ ∈ ∞ T n=1 [,], тогда ξ = = . (3) Известно, что ξ = sup{} = inf{}. Последовательность {} возрастает, последовательность {} убывает, поэтому в силу Теоремы Вейерштрасса получим равенство (3).
Число e
Рассмотрим последовательность
=, n= 1,2,.... (4)
Покажем, что она строго возрастает и ограничена сверху, следовательно, по Теореме Вейерштрасса (Теорема 1) она имеет конечный предел. Применим формулу бинома Ньютона:
= = () + + ... ++ ... + = 1+1+ +...+ ·...· + ·...· . (5)
В +1 число слагаемых в расписанной сумме возрастает на единицу и каждое слагаемое, начиная с третьего, становится больше, так как
1 − < 1 − , s = 1,2,...,n − 1, n = 2,3,....
Это означает, что последовательность {} строго возрастает: < +1, n = 1,2,....
Поскольку 1 − < 1, s = 1,2,...,n − 1, n = 2,3,..., и ≤ , n = 1,2,..., то при n > 1 из разложения (5) получим
= ≤ ,
< 2 + + +...+ < 2 + + +...+ < 1 +
= 1 + = 3.
Итак, < 3, т.е. последовательность ограничена сверху и возрастает. Следовательно, она имеет конечный предел, которые обозначается буквой e :
= e.
Более точными оценками можно получить приближенное равенство
e ≈ 2,718281828459045....
Число e иррационально и, более того, трансцендентно, т.е. не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.
Билет №5
Принцип компактности. Частичные пределы последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов. Критерий Коши сходимости последовательности.
Принцип компактности
Пусть дана последовательность {}. Из некоторых её членов {}, взятых в порядке возрастания номеров (k > k0 ⇔ > k), составлена новая последовательность . Она называется подпоследовательностью последовательности {}. В подпоследовательности {} k является номером члена этой последовательности, а - его номером в исходной последовательности. Пример. Из последовательности = n выделим две подпоследовательности x2k = 2k, x2k−1 = 2k − 1. Известно, что если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена. Обратное неверно. Последовательность = (−1)n ограничена, но не имеет предела.
Теорема 1. Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неограниченной сверху (неограниченной снизу) числовой последовательности — подпоследовательность, имеющую своим пределом бесконечность определенного знака.
Доказательство. Пусть последовательность {} ограничена, т.е. ∃ a0,b0 ∈ R такие, что ∀ n ∈ N a0 ≤ ≤ b0 . Выберем произвольный член последовательности с номером n1 : ∈ [a0,b0]. Разделим [a0,b0] на два равных отрезка, тогда хотя бы один из них (обозначим его[a1,b1]) содержит бесконечно много членов последовательности . На отрезке [a1,b1] выберем член последовательности с номером n2 > n1 : ∈ [a1,b1] ⊂ [a0,b0], b1 − a1 = b0−a0 2 . Аналогично продолжим процесс : ∈ [a2,b2] ⊂ [a1,b1],n3 > n2,b2 − a2 = b1−a1 2 = b0−a0 22 . Продолжая процесс, получим подпоследовательность {} (n1 < n2 < ... < < ...) последовательности {} : ak ≤ +1 ≤ bk, k = 0,1,.... Покажем, что эта подпоследовательность сходящаяся. Мы имеем систему вложенных отрезков [ak,bk], длины которых стремятся к нулю. Следовательно, ∃ единственная точка ξ ∈ [ak, bk] ∀ k = 0,1,...,, причем lim k→∞ ak = lim k→∞ bk = ξ. Очевидно, что lim k→∞ = ξ, следовательно, подпоследовательность {} имеет конечный предел. Пусть последовательность {} неограниченна сверху, тогда ∃ номер n1: > 1. Последовательность {+1,+2,...} также неограниченна сверху, следовательно ∃ n2 > n1 : > 2. Продолжая этот процесс, получим подпоследовательность {} : > 1, > 2, ... > k, .... Очевидно, что lim k→∝ = +∞. Аналогично случай последовательности неограниченной снизу. Теорема доказана.
Частичные пределы последовательности
Определение 1. Предел (конечный или определенного знака бесконечный) подпоследовательности числовой последовательности называется частичным пределом этой последовательности.
Определение 2. Наибольший частичный предел последовательности {} называется её верхним пределом и обозначается , а наименьший частичный предел - нижним пределом и обозначается
Теорема 2. У любой последовательности {} существуют верхний и нижний пределы.
Доказательство. Докажем существование верхнего предела последовательности {}. Возможны случаи: 1) {} ограничена сверху, 2){} не ограничена сверху. Во втором случае +∞ является частичным пределом (по Теореме 1), поэтому = +∞. Пусть последовательность {} ограничена сверху и A — множество ее конечных частичных пределов. Возможны два случая: множество A либо пусто, либо не пусто. Пусть A ≠ ∅. Если {} — ограничена сверху, то множество A тоже ограничено сверху, следовательно, A имеет конечную верхнюю грань. Покажем, что b = sup A является частичным пределом, т.е. b ∈ A. Действительно, если b / ∈ A, то ∃ ε > 0 такое, что в интервале (b−ε, b+ε) содержится лишь конечное число членов последовательности {} (в частности, ни одного), поэтому в интервале нет ни одного элемента множества A, что противоречит условию b = sup A. Таким образом, b ∈ A и, следовательно, является наибольшим элементом A, поэтому b = . Если A = ∅, то = −∞. В этом случае = = −∞. Аналогично доказывается существование (конечного или бесконечного) наименьшего частичного предела.
Критерий Коши
Определение 3. Числовая последовательность {}, n = 1,2,.... называется фундаментальной последовательностью, если она удовлетворяет следующему условию : ∀ε > 0 ∃ : ∀n > ,∀m > выполняется неравенство |− | < ε.
Это условие называется условием Коши. Его можно записать в несколько ином виде: ∀ ε > 0 ∃ : ∀n > ∀ целых p ≥ 0 справедливо неравенство |+p − | < ε.
Лемма 1. Если последовательность имеет конечный предел, то она фундаментальная.
Доказательство. Пусть lim n→∞ = a (a ∈ R), тогда ∀ ε > 0 ∃ : ∀n > выполнено неравенство
|− a| < ε/2. Если m > , n > , то |−xm| = |(−a)+(a−xm)| ≤ |−a|+|xm−a| < ε/2+ε/2 = ε. Следовательно, последовательность {} фундаментальная. Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если последовательность фундаментальная, то она ограничена.
Доказательство. Пусть {} — фундаментальная последовательность, тогда по условию Коши ∃ : ∀m,n > |xm − | < 1. В частности, при m = + 1, n > имеем |−+1| < 1, т.е последовательность, полученная из данной последовательности отбрасыванием первых её членов ,,...,, является ограниченной. Поэтому ограничена и вся последовательность {}. Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то её предел является пределом всей последовательности.
Доказательство. Пусть {} — фундаментальная последовательность, {} — её сходящаяся подпоследовательность и lim k→∞ = a. Зададим произвольное ε > 0. По условию Коши ∃: ∀m, n > выполняется неравенство |− | < ε/2. Выберем номер k0: ∀k > k0 имеет место > . Тогда при всех n > , k > k0 справедливо неравенство |−| < ε/2. В последнем неравенстве перейдем к пределу при k → ∞ : ∀n > |− a| ≤ ε/2 < ε. Это означает, что lim n→∞= a. Лемма 3 доказана.
Теорема 3 (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, т.е. удовлетворяла условию Коши.
Доказательство необходимости. Пусть последовательность имеет конечный предел, тогда по Лемме 1 она фундаментальная.
Доказательство достаточности. Пусть последовательность является фундаментальной, тогда по Лемме 2 она ограничена, следовательно, в силу принципа компактности (Теорема 1) из неё можно выделить подпоследовательность, имеющую конечный предел. По Лемме 3 вся последовательность сходится к этому же пределу.
Билет №6
Определение предела функции по Гейне. Непрерывность функции в точке. Определение предела функции по Коши. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность
Первое определение предела функции
Рассмотрим функцию f: X → R, где X ⊂ R. Дадим определение предела функции на языке последовательностей (по Гейне).
Определение 1. Точка a называется пределом функции f(x), x ∈ X, в точке (или при x → ), если для любой последовательности точек {} ∈ X , имеющей своим пределом точку , последовательность значений {f()} имеет своим пределом точку a
f() = a.
С помощью логических символов это определение можно записать так:
= a ⇔ ∀ {} ∈ X: = (. f() = a).
Если a - число, то функция f имеет в точке конечный предел.
Определение 2. Пусть X ⊂ R. Точка , для которой существует последовательность {} ∈ X, имеющая своим пределом точку , называется точкой прикосновения множества X.
В Определении 2 точка может быть ∞, +∞, −∞, т. e. бесконечно удаленной точкой прикосновения множества X . В этом случае множество X не ограничено.
Замечание 1. Если точка ∈ X , то она является его точкой прикосновения, т. к. стационарная последовательность = , n = 1,2,..., имеет пределом . Точки самого множества X не исчерпывают, вообще говоря, все его точки прикосновения. Например, для интервала (a, b) точки x = a, x = b являются его точками прикосновения.
Замечание 2. Точка является точкой прикосновения данного множества тогда и только тогда, когда любая её окрестность пересекается с этим множеством.
Понятие предела функции f: X → R в точке содержательно тогда и только тогда, когда эта точка является точкой прикосновения множества X .
Определение 3. Пусть f: X → R. Предел в точке сужения (: E → R, E ⊂ X), функции f на множество E называется пределом функции f по множеству E в этой точке и обозначается через :=.
Если существуют , то для любого множества E ⊂ X, для которого является
точкой прикосновения, существует, причем эти пределы равны.
Определение 4. Проколотой ε-окрестностью точки называется множество: o U (,ε) := U(,ε)\{}.
Непрерывные функции
Определение 5. Если = f(), то функция f(x) называется непрерывной в точке .
Второе определение предела функции (определением предела функции по Коши).
Определение 6. Точку a называют пределом функции f(x), x ∈ X, при x → (в точке ) и пишут = a, если для любой окрестности U(a) точки a существует такая окрестность U() точки , что f (X ∩ U()) ⊂ U(a).
Используя логические символы, это определение можно записать в следующем виде:
= a ⇔ ∀ U(a) ∃ U() (f (X ∩ U()) ⊂ U(a)), или, что равносильно,
= a ⇔ ∀ U(a) ∃ U() ∀x ∈ X ∩ U() (f(x) ∈ U(a)). (1)
Если и a — действительные числа, то определение можно перефразировать в виде:
= a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ X: |x − | < δ ( |f(x) − a| < ε ).
Теорема 1. Определения 1 и 6 предела функции в точке прикосновения множества определения функции равносильны.
Доказательство. Пусть функция f задана на множестве X и — точка прикосновения этого множества. Предположим сначала, что = a в смысле определения по Гейне, и покажем, что тогда число a является и пределом функции в смысле определения по Коши. Допустим, что это не так, т.е. что существует такая окрестность U(a), что для любой окрестности U() найдется такая точка x ∈ X∩U(), что f(x) / ∈ U(a), или, в символической записи, ∃ U(a) ∀ U() ∃ x ∈ X ∩ U() (f(x) / ∈ U(a)). В частности, указанные точки x найдутся в каждой окрестности U ¡ , 1 n ¢ , n = 1,2,..., точки . Обозначим эти точки , т.е. ∈ X ∩ U (, 1 n), (2) f() / ∈ U(a). (3)
Из условия (2) следует, что = . (4)
Поскольку a = в смысле определения по Гейне, то из выполнения условия (4) следует, что f() = a. Следовательно, для любой окрестности U(a), в частности, и для окрестности U(a), указанной в условии (3), существует такой номер , что для всех n > выполняется включение f() ∈ U(a), что противоречит условию (3). В одну сторону утверждение теоремы доказано. Пусть теперь a = в смысле определения по Коши предела функции f : X → R, — точка прикосновения множества X и → , ∈ X, n = 1,2,... Покажем, что f() = a. Зададим произвольную окрестности U(a) точки a и выберем для нее окрестность U() точки , удовлетворяющую условию (1). Для окрестности U() в силу условия = существует такой номер , что для всех n > выполняется включение ∈ U(), а так как ∈ X, n = 1,2,..., то при n > будем иметь ∈ X ∩ U(). Следовательно, в силу (1) при n > имеет место включение f() ∈ U(a). Это и означает, что = a в смысле определения по Гейне.
Предел функции по объединению множеств
Лемма 1. Пусть f: X → R, X1 ⊂ X, X2 ⊂ X, и является точкой прикосновения множеств X1 и X2. Тогда, если при x → функция f имеет равные пределы по множествам X1 и X2, то она имеет тот же предел и по их объединению.
Доказательство. Если lim x→x∈X1 f(x) = lim x→x∈X2 f(x) = a,
то для любой окрестности U(a) точки a существует такая окрестность U() точки , что образы ее пересечений X1 ∩U() и X2 ∩U() c множествами X1 и X2 содержатся в окрестности U(a), а тогда и образ их множества (X1 ∪ X2) ∩ U() также содержится в U(a). Это и означает, что lim x→x∈X1∪X2 f(x) = a.
Односторонние пределы и односторонняя непрерывность
Для любого множества X ⊂ R и для фиксированной точки ∈ R положим
X≤() := {x : x ∈ X, x ≤ }, X≥() := {x : x ∈ X, x ≥ }.
Определение 7. Пусть f: X → R, ∈ R. Точка a называется пределом функции слева (справа) при x → , если она является пределом при x → функции f по множеству X≤(), т.е. x∈X≤() = a (по множеству X≥(), т.е. x ∈ X ≥() = a ) .
Пределы слева и справа называются односторонними пределами.
Теорема 2. Функция f: X → R имеет предел в точке = sup (X≤()) = inf (X≥()), (X ()) ≠ ∅, (X≥())≠∅, тогда и только тогда, когда в этой точке существуют равные пределы слева и справа: lim x→x0 x∈ X≤() f(x) = lim x→x0 x∈ X≥() f(x).
Доказательство необходимости. Пусть существует lim x→x0 x∈ X f(x) = a. Тогда в этой точке ∃ пределы функции по любому подмножеству множества X, т. е. например, по множествам X≤(), X≥() : lim x→x0 x∈X≤() f(x) = a, lim x→x0 x∈ X≥() f(x) = a.
Доказательство достаточности. Пусть в точке = supX≤() = inf X≥()
lim x→x0 x∈X≤() f(x) = lim x→x0 x∈X≥() f(x) = a.
Так как X = X≤() ∪ X≥(), то согласно Лемме 1 ∃ lim x→x0 x∈ X f(x) = a.
Определение 8. Функция f: X → R называется непрерывной слева (справа) в точке ∈ X , если
= f() x∈X≤()
( = f() x∈X≥()).
Билет №7
Свойства пределов функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Классификация точек разрыва функции
Свойства пределов функций
Свойство 1 . Если у функции f : X → R существует конечный , то существует окрестность U() такая, что f ограничена на пересечении U() ∩ X.
Доказательство свойства 1. Пусть существует конечный . Следовательно, ∀ ε > 0 ∃ окрестность U() : ∀ x ∈ X ∩ U() |f(x) − a| < ε. Тогда ∀ x ∈ X ∩ U() a − ε < f(x) < a + ε, а это и означает ограниченность функции f(x) на X ∩ U().
Следствие 1. Если функция f : X → R непрерывна в точке ∈ X, то она ограничена на пересечении некоторой окрестности этой точки с множеством X.
Свойство 2 (Лемма о сохранении знака). Если существует конечный ≠ 0, то найдутся окрестность U() и число c > 0 такие, что ∀ точки x ∈ X ∩ U() выполняется неравенство f(x) > c, если a > 0, f(x) < −c, если a < 0.
Следствие 2. Если f(x) непрерывна в точке ∈ X и f() > c (f() < c), то существует окрестность U(): ∀ x ∈ X ∩ U() выполняется неравенство f(x) > c (f(x) < c) (см. Рис. 1, Рис. 2).
Свойство 3 . Если f(x) = c — постоянная, x ∈ X , то .
Свойство 4. Если f(x) ≥ a, x ∈ X, и существует конечный или определенного знака бесконечный , то ≥ a.
Свойство 5. Если ϕ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x), x ∈ X, и существуют конечные или определенного знака бесконечные пределы , то .
Свойство 6. Если существуют конечные пределы и , то существуют конечные пределы , , (≠0).
1. = + ;
2.= ;
3. =. (1)
Доказательство свойства 6. 2) Пусть lim x→x0f(x) = a, lim x→x0g(x) = b. Следовательно, для любой последовательности {} ∈ X справедливы равенства:a = lim n→∞f(), b = lim n→∞g(). По свойству пределов последовательностей имеем:lim n→∞f() · g() = lim n→∞f() · lim n→∞g() = ab. Этот предел не зависит от выбора последовательности {}, поэтому lim x→x0f(x) · g(x) = lim n→∞f() · lim x→∞g() = a · b.
Следствие 3. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке ∈ X , то функции c*f(x), c ∈ R, f(x) + g(x), f(x) · g(x), f(x)/g(x) (g() ≠0) непрерывны в этой точке.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1. Функция α: X → R называется бесконечно малой при x → , если = 0.
Лемма 1. Равенство = a справедливо, тогда и только тогда, когда имеет место представление f(x) = a+α(x), где α(x) — бесконечно малая функция при x → .
Доказательство необходимости. Пусть = a. Положим α(x) = f(x) − a, x ∈ X, тогда получим = = a−a = 0 ⇒ α(x) — бесконечно малая функция при x → .
Доказательство достаточности. Пусть f(x) = a + α(x), x ∈ X, и = 0 ⇒ = a + = a.
Теорема 1. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → , а также произведение бесконечно малой функции при x → на ограниченную на множестве X функцию являются бесконечно малыми функциями при x → .
Доказательство. Утверждение о сумме и произведении конечного числа бесконечно малых следует из свойств суммы и произведения пределов в том случае, когда эти пределы равны нулю. Докажем последнее утверждение. Пусть = 0 и f(x) - ограниченная функция на множестве X , т.е существует b > 0 : ∀ x ∈ X |f(x)| ≤ b. Рассмотрим произвольную последовательность {} ∈ X : lim n→∞ = . Согласно определению предела по Гейне: lim n→∞ α() = 0. Для любого n ∈ N выполняется неравенство |f()| ≤ b, т.е последовательность {f()} ограничена. Тогда последовательность {α() · f()} бесконечно малая, как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную. Это верно ∀ последовательности{}, следовательно = 0.
Определение 2. Функция f : X → R называется бесконечно большой при x → , если = ∞.
Лемма 2. Если функция f : X → R бесконечно большая при x → , то функция 1 f является бесконечно малой при x → .
Доказательство. Зафиксируем произвольное ε > 0. Равенство = ∞ означает, что существует окрестность U() точки , что ∀ x ∈ U()∩X выполняется неравенство |f(x)| > 1/ε ⇒ |1/f(x)| < ε ⇒ = 0.
Классификация точек разрыва функции
Определение 3. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Точка называется точкой разрыва функции f , если f не определена в этой точке или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Определение 4. Если — точка разрыва функции f и существуют конечные односторонние пределы
f(− 0) = и f(+ 0) = то точка называется точкой разрыва I рода. Величина f(+0)−f(−0) называется скачком функции f в точке .
Если скачок функции f в точке равен 0, т.е. f(+ 0) − f(− 0) = 0, то называется точкой устранимого разрыва.
Определение 5. Точка разрыва функции, не являющаяся ее точкой разрыва I рода, называется точкой разрыва II рода. Очевидно, что в точках разрыва II рода по крайней мере один из пределов или не существует или бесконечен.
Билет № 8
Критерий Коши существования предела функции. Замечательные пределы (первый замечательный предел с доказательством). Сравнение функций. O - символика.
Замечательные пределы
Лемма 1 (Первый замечательный предел).
= 1. (3)
Доказательство. Рассмотрим в координатной плоскости круг радиуса R с центром в точке O. Пусть радиусы OA и OB образуют угол x (0 < x < π 2). Восстановим перпендикуляр из точки A к OA до пересечения в точке C с продолжением отрезка OB. Имеем S(∆OAB) = sin x, S(сект.OAB) = x, S(∆OAC) = tg x. Очевидно, что S(∆OAB) < S(сект. OAB) < S(∆OAC), откуда следуют неравенства:
Sin x < x < tg x ⇒ 1 < < ⇒ cos x < < 1. (4)
В силу чётности функций cos x, неравенство (4) справедливо и при − < x < 0. Перейдем к пределу при x → 0 в неравенстве (4). По свойству пределов получим равенство (3).
Лемма 2 (Второй замечательный предел).
= e. (5)
О-символика
Рассмотрим задачу сравнения функций в окрестности точки ∈ R. Если – число, то предположим, что она является предельной точкой множества X, на котором определена функция.
Определение 1. Если для функций f: X → R и g: X → R существует такая постоянная c > 0, что в некоторой окрестности точки для всех точке x ∈ X выполняется неравенство |f(x)| ≤ c*|g(x)|, то функцию f(x) называется ограниченной по сравнению с функцией g(x) в окрестности точки и в этом случае пишут f(x) = O(g(x)),x → . (6)
Лемма 3. Если f(x) = ϕ(x)·g(x), x ∈ X, существует конечный предел = k, то f(x) = O(g(x)), x → .
Доказательство. Если ∃ конечный = k, то ∃ U(), что ϕ(x) ограничена на X ∩ U(), т.е. ∃ c > 0 : ∀x ∈ X ∩ U() выполняется неравенство |ϕ(x)| ≤ c. Следовательно, |f(x)| = |ϕ(x)| · |g(x)| ≤ c*|g(x)| ∀ x ∈ X ∩ U() ⇒ f(x) = O(g(x)), x → .
Определение 2. Если функции f(x) и g(x) такие, что f = O(g) и g = O(f) при x → , то они называются функциями одного порядка при x → ; это записывается в виде f(x)^ _g(x), x → .
Лемма 4. Если существует = k ≠0 ⇒ f(x) )( g(x), x → .
Доказательство. Пусть ∃ = k ⇒ ∃ окрестность U(): ∀ x ∈ U() ∩ X g(x) ≠0. Для таких x полагаем ϕ(x)=f(x)/g(x). Тогда f(x) = ϕ(x)*g(x) и = k. Следовательно, по Лемме 3 f(x) = O(g(x)), x → . По условию k ≠0 ⇒ ∃ окрестность U(): ∀ x ∈ X ∩ U() выполняется неравенство f(x) g(x) ≠0 ⇒ f(x) ≠0. Далее ∀ x ∈ X ∩ U() положим ψ(x) = g(x)/f(x) ⇒ g(x) = ψ(x) · f(x) и = 1 k ⇒ по Лемме 3 g(x) = O(f(x)), x → .
Определение 3. Функции f : X → R и g : X → R называются эквивалентными при x → , если существует функция ϕ: X → R такая, что в некоторой окрестности U точки для всех x ∈ X выполняется равенство f = ϕ(x)*g(x) (7) и = 1. (8)
Лемма 5. Если функция u(x) такова, что = 0, то при x → u(x) ∼ sin u(x) ∼ tan u(x) ∼ arcsin u(x) ∼ arctg u(x) ∼ ln(1 + u(x)) ∼ e u(x) − 1.
Определение 4. Функция α: X → R называется бесконечно малой при x → по сравнению с функцией f : X → R, если существует такая функция ε: X → R, что в некоторой окрестности точки x для всех x ∈ X выполняется равенство α(x) = ε(x)f(x), (11) = 0. (12) Обозначают это так: α(x) = o(f(x)), x → .
Теорема 2. Функции f: X → R и g: X → R эквивалентны при x → ⇔ f(x) = g(x) + o(g(x)), x → .
Доказательство необходимости. Пусть f ∼ g при x → . Тогда ∃ окрестность U точки и функция ϕ : X ∩ U → R : ∀x ∈ X ∩ U (f(x) = ϕ(x)*g(x), = 1) ⇒ f(x) − g(x) = ϕ(x)*g(x) − g(x) = g(x)(ϕ(x) − 1), ϕ(x) − 1 = ε(x), = 0 ⇒ f(x) = g(x) + o(g(x)), x → .
Доказательство достаточности. Пусть f(x) = g(x) + o(g(x)), x → ⇒ ∃ окрестность U = U() и функция ε: U ∩ X → R: ∀ x ∈ X ∩ U (f(x) = g(x) + ε(x)g(x), = 0) ⇒ f(x) = g(x)+ε(x)g(x) = g(x)(1+ε(x)) = ϕ(x)·g(x), = 1, ⇒ f(x) ∼ g(x) при x → .
Критерий Коши
Теорема 1. Функция f : X → R имеет в точке конечный предел тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует окрестность U(): ∀ x’, x’’ ∈ U() ∩ X выполняется неравенство |f(x’) − f(x’’)| < ε. (1)
Доказательство необходимости. Пусть f : X → R и = a ∈ R ⇒ ∀ ε > 0 ∃ U(): ∀ x ∈ U(x') ∩ X справедливо неравенство |f(x) − a| < ε/2. (2) Рассмотрим x’, x’’ ∈ U()∩X . В силу (2) имеем |f(x’)−f(x’’)| = |(f(x’)−a)+(a−f(x’’)| ≤ |f(x’) − a| + |f(x’’) − a| < ε/2 + ε/2 = ε. Следовательно, условие Коши выполнено.
Доказательство достаточности. Пусть f: X → R удовлетворяет условию Коши в точке , т.е. ∀ ε > 0 ∃ U() : ∀ x’, x’’ ∈ U() ∩ X выполняется неравенство (1). Покажем, что f(x) имеет в точке конечный предел. Рассмотрим произвольную последовательность {} ∈ X, lim n→∞ = . Для окрестности U(∃ номер : ∀n > (∈ U() ∩ X). Следовательно, ∀ n, m > выполняется неравенство: |f() − f()| < ε, т.е. последовательность f() удовлетворяет условию Коши для последовательностей. По критерию Коши для последовательностей f() сходится, следовательно ∃ , т.к. {} – произвольная последовательность.
Замечание 1. Если – число, то условие Коши можно сформулировать в терминах неравенств: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x’, x’’ ∈ X; |x’ – | < δ, |x’’ – | < δ (|f(x’) − f(x’’)| < ε)
Билет №9
Свойства непрерывных функций на промежутках (теорема Вейерштрасса, теорема Больцано-Коши)
Определение 1. Функция f : X → R, X ⊂ R, называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна по множеству X в каждой точке этого множества.
Рассмотрим функцию f непрерывную на отрезке [a; b]. Будем говорить, что f: X → R достигает на множестве X своей верхней (нижней) грани β = sup X f (α = inf X f), если существует точка ∈ X: f() = β (f() = α).
Теорема 1 (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани и своей нижней грани.
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на [a, b] и M = sup a ≤ x ≤ b f(x). Покажем, что M < +∞ и что существует точка ∈ [a; b]: f() = M. Выберем последовательность чисел : = M, < M, n ∈ N. По определению верхней грани ∀ ∃ точка ∈ [a; b], что f() > , n ∈ N. (1) С другой стороны, ∀ x ∈ [a; b] f(x) ≤ M. (2) Последовательность {} — ограничена (a ≤ ≤ b) ⇒ по теореме Больцано- Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность {}: = . Из (1), (2) имеем: < f() ≤ M. (3) Кроме того, lim k→∞ = M . Переходим к пределу в (3): lim k→∞ f() = M. В силу непрерывности f lim k→∞ f() = f() ⇒ M = f(). Таким образом, доказано, что верхняя грань M функции f(x) совпадает со значением функции в точке и, следовательно, конечна. Тем самым f(x) ограничена сверху и ее верхняя грань достигается в точке . Ограниченность снизу функции f и достижимость нижней грани доказывается аналогично.
Промежуточные значения непрерывных функций
Теорема 2 (Больцано-Коши). Если функция f непрерывна на [a; b] и f(a) = A, f(b) = B, то для любого C, заключенного между A и B, существует точка ξ ∈ [a; b], такая, что f(ξ) = C.
Доказательство.
Пусть f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Разделим отрезок [a; b] пополам точкой , тогда либо f() = C, либо f() ≠C. В первом случае ξ = . Во втором случае ξ принадлежит одному из отрезков. Обозначим этот отрезок [;], разделим его на две равные части и т.д. В результате либо через конкретное число шагов придём к искомой точке ξ , в которой f(ξ) = C, либо получим последовательность вложенных отрезков [; ], |−| → 0 и f() < C < f(). (4) Пусть ξ ∈ . Известно, что ξ = = . В силу непрерывности f: f(ξ) = f() = f(). (5) Перейдем к пределу в (4) при n → ∞: f() < C < f(). (6) Из (5) и (6) следует, что f(ξ) = C .
Билет №10
Производная функции. Дифференциал функции. Понятие дифференцируемости функции в точке. Геометрический смысл производной и дифференциала. Физический смысл производной и дифференциала
Производная функции
Пусть функция y = f(x) задана в окрестности U() точки ∈ R, следовательно, функция определена в проколотой окрестности o U ().
Определение 1. Если существует предел , (1) то он называется производной функции f в точке и обозначается ().
Величина () характеризует скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Если положить ∆x = x − , ∆y = f(x) − f(), то (1) можно представить в виде
, (2)
Если предел (1) равен ∞ (±∞), то производная f() называется бесконечной. Далее везде будем предполагать, что предел (1) конечен. Если функция f(x) определена на отрезке [a; b], то под (a), (b) понимают соответственно предел справа и предел слева. Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования
Дифференциал функции
Определение 2. Функция y = f(x), заданная в некоторой окрестности U() точки ∈ R, называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение ∆y = f(+ ∆x) − f(), + ∆x = x ∈ U(), представимо в этой окрестности в виде ∆y = A∆x + o(∆x), ∆x → 0, (3) где A - постоянная.
Линейная функция A∆x (аргумента ∆x) называется дифференциалом функции f в точке и обозначается df(), или короче dy. Таким образом, ∆y = dy + o(∆x), ∆x → 0. (4) При A ≠0 имеет место равенство: o(∆x) = o(A∆x), ∆x → 0, поэтому из (3) следует, что ∆y = dy + o(dy), ∆x → 0, т.е. функции ∆y, dy переменной ∆x эквивалентны при ∆x → 0. Важно заметить, что dy - линейная функция аргумента ∆x, ∆y - функция более сложной структуры. Дифференциалом функции dy называют главной линейной частью приращения функции ∆y. Если A = 0, то есть dy ≡ 0, то ∆y = o(∆x) при ∆x → 0. В этом случае приращение ∆y является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x, когда ∆x → 0. Кроме того, dx = ∆x, поэтому dy = Adx. (5)
Теорема 1. Функция f дифференцируема в точке ⇔ она имеет в этой точке конечную производную.
Доказательство достаточности. Пусть существует конечный = (), тогда ∆y ∆x = () + ε(∆x), ∆x → 0, где = 0 (∆x ≠0). Поэтому ∆y = ()∆x + ε(∆x)∆x, ∆x → 0. Доопределим ε(∆x) в (·) ∆x = 0: ε(0) = 0. Получим ε(∆x)∆x = o(∆x), ∆x → 0, следовательно, ∆y = ()∆x + o(∆x), ∆x → 0. Это означает, что f дифференцируема в (·), причем () = A из представления (3).
Доказательство необходимости. Пусть f дифференцируема в (·), т.е. выполняется условие (3). Из (3) следует, что ∆y = A∆x + ε(∆x)∆x, = 0. При ∆x ≠ 0 имеем = A + ε(∆x) ⇒ = A. Следовательно, функция f имеет в точке конечную производную () = A.
Теорема 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Если функция дифференцируема в (·), то имеет место представление ∆y = A∆x + ε(∆x)∆x, ε(∆x) → 0 (∆x → 0). Отсюда видно, что = 0, то есть f непрерывна в (·).
Геометрический смысл производной и дифференциала
Пусть f определена в окрестности U() и непрерывна в точке . Рассмотрим точку (,) на графике функции y = f(x) (Рис. 1). Выберем приращение аргумента ∆x из условия +∆x ∈ U() и соответствующую точку M(+∆x,+∆y) на графике, ∆y = f(+ ∆x) − f(). Уравнение секущей имеет вид y = (x − ) + . (6) Выведем уравнение касательной к графику функции f(x) в точке . Рассмотрим семейство прямых a(t)x + b(t)y + c(t) = 0, (7) где t-параметр. Пусть существуют конечные пределы = , = , = , тогда предельное положение для семейства (7) определяется уравнением x + y + = 0. В случае уравнения (6) параметром служит ∆x. Секущая (6) при ∆x → 0 стремится к предельному положению (отличному от вертикальной прямой) тогда и только тогда, когда существует конечный , т.е. существует конечная производная. Предельное положение секущей называется касательной к графику функции f в точке . Уравнение касательной имеет вид: y = ()(x − ) + , (8) где () = tg α, α – угол наклона касательной к оси. Перепишем (8) в виде: y − = ()(x − ) = dy, т.е. дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику в этой точке. Пусть () = ∞, тогда из уравнения секущей (6) имеем y / = x − + . Переходя к пределу при ∆x → 0, получим уравнение касательной x = .
Физический смысл производной и дифференциала
Пусть функция y = f(x) и аргумент x являются физическими величинами, причем x ∈ [a; b]. Отношение (∈ [a; b], x = +∆x ∈ [a; b], ∆y = f(+∆x)−f()) называется средней скоростью изменения переменной y относительно переменной x на отрезке [,+ ∆x]. Величина = () есть скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Применение дифференциала основано на том, что замена приращения функции ее дифференциалом позволяет заменить любую дифференцируемую функцию в точке на линейную функцию в достаточно малой окрестности точки , т.е. считать процесс ”в малом” линейным.
Билет №11
Свойства производных, связанные с арифметическими операциями над функциями. Производная обратной функции. Производная и дифференциал сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Инвариантность формы первого дифференциала
Теорема 1. Если функции = (x), = (x) заданы в окрестности точки ∈ R, а в самой точке имеют конечные производные, то функции (x)+ (x), , ∈ R, (x) · (x), (() ≠ 0) также имеют в точке конечные производные, при этом
( + ) = ’+ ’, (1)
() ’= + , (2)
() = . (3)
Доказательство. Пусть ∆, ∆ есть приращения функций , в точке , соответствующее приращению аргумента ∆x. Существуют пределы = (), = ().
Докажем формулу (3). Пусть () ≠ 0, y = /, ∆y – приращение y в точке . Тогда
∆y = – == , откуда = , получим
= * = = .
Производная обратной функции
Теорема 2. Если функция f непрерывна и строго монотонна в окрестности точки и существует f’() ≠ 0, то обратная функция f−1 имеем производную в точке = f() и df−1 dy () = 1 df dx . (4)
Доказательство. Пусть функция f строго монотонна и непрерывна в U = U() ⇒ обратная функция f−1 строго монотонна и непрерывна на интервале V = f(U). Если ∆x = x − , ∆y = y − , то для функции y = f(x) имеет место ∆y = 0, ∆y ≠ 0, ∆x ≠ 0, а для функции x = f−1(y) имеет место = 0, ∆x ≠ 0, ∆y ≠ 0. Вычислим производную обратной функции: = = 1/ = 1/ = 1/ .
Производная и дифференциал сложной функции
Пусть функция y = f(x) задана в некоторой окрестности U = U( ) точки , а функция z = g(y) — в некоторой окрестности V = V () точки = f( ), причём f(U) ⊂ V , следовательно, определена сложная функция F(x) = g(f(x)). (5)
Теорема 3. Если функция y = f(x) имеет производную в точке , а функция z = g(y) имеет производную в точке = f(), то сложная функция z = F(x) = g(f(x)) также имеет в точке производную в точке , причём f() = g() · (). (6)
Доказательство. Пусть ∆x = x− , ∆y = y− , ∆z = g(y)−g( ). Функция g(y) дифференцируема в точке , тогда ∆z = g()∆y + ε(∆y)∆y, lim ∆y→0 ε(∆y) = 0. (7) Функция y = f(x) непрерывна в точке x = , следовательно, ∆y = 0. Тогда ε(∆y) = 0 по теореме о пределе сложной функции. Поделим обе части равенства (7) на ∆x ≠ 0 : ∆z ∆x = g’() + ε(∆y) и перейдем к пределу при ∆x → x = () = g’() · f’().
Следствие 1. (Инвариантности формы дифференциала). Справедлива формула dz = ()dx = g()dy. (8)
Доказательство. dz = dF() = ()dx = g’() · f’ ()dx = g()dy. Формула (8) показывает, что формально записи дифференциала сложной функции посредством независимой переменной x и посредством зависимой переменной y имеют один и тот же вид, но следует иметь в виду, что dx = ∆x, a dy — дифференциал y = f(x), т.е. главная линейная часть приращения ∆y зависимой переменной.
Билет №12
Производные высших порядков. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически. Дифференциалы высших порядков.
Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности U() точки , т.е. определена функция f0(x). Если функция f0(x) имеет в точке производную [f0(x)]0|x= , то она называется второй производной функции f в точке и обозначается f00() или f(2)() ¡ (y0)0 = y(2) = y00 ¢ . Аналогично определяется производные более высоких порядков:
y(n+1) = [y(n)]0, n = 0,1,...,(y(0) := y). (1)
Теорема 1. Если функции y1 = f1(x), y2 = f2(x) имеют в точке производные порядка n ∈ N, то любая их линейная комбинация λ1y1 + λ2y2 , λ1 ∈ R, λ2 ∈ R, и их произведение y1y2 имеют в точке производные порядка n, причём
Все производные в формулах (2), (3) берутся в точке .
Доказательство. Докажем (2), (3) по матиндукции. P(1). База индукции верна.
Предположим, что справедливо P(k) : = .
Докажем P(k + 1): = ( )’ = = ()’ = . Следовательно, формула (2) доказана.
Докажем формулу (3). Проверим базу индукции : P(1) :
База индукции верна. Предположим, что справедливо P(k) : формула (3).
Докажем
Производные высших порядков сложных функций, обратных функций, и функций, заданных параметрически
Пусть y = y(x) дважды дифференцируема в точке , a z = z(y) дважды дифференцируема в точке , и определена сложная функция z = z(y(x)). Вычислим в точке :
.
Аналогично вычисляются производные более высоких порядков. Пусть y = y(x) дважды дифференцируема в точке , а в её окрестности непрерывна и строго монотонна, причём ≠ 0. Тогда определена обратная функция x = x(y) в окрестности точки и ее вторая производная в этой точке выражается следующим образом:
.
Рассмотрим параметрическое задание функций. Пусть задана пара функций x = x(t), y = y(t), t ∈ E, причём x = x(t) непрерывна и строго монотонна на E. Тогда существует обратная функция t = t(x), для которой E – множество значений. В этом случае функция y = y(t(x)) называется параметрически заданной функцией. Она определена на множестве значений функции x = x(t). Пусть функции x(t), y(t) дифференцируемы в точке . Тогда функция y(t(x)) дифференцируема в точке , причём , т.к. . Пусть функции x(t), y(t) дважды дифференцируемы в точке , тогда .
Дифференциалы высших порядков
Дифференциал от дифференциала первого порядка , рассматриваемого только как функция переменной x (dx = const), при условии, что повторное приращение dx совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом d^2 f(x) функции f в данной точке x. Таким образом, .
Аналогично, дифференциалом n-го порядка называется ,
при условии, что в дифференциалах всё время берутся одни и те же приращения ∆x. При этом . Отсюда . Дифференциалы высших порядков (n ≥ 2) не обладают свойствами инвариантности формы относительно выбора переменных.
Билет №13
Дифференциальные теоремы о среднем значении (теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши)
Если для всех точек x ∈ X выполняется неравенство f(x) ≤ f() (f(x) ≥ f()), то говорят, что функция f принимает в точке наибольшее (наименьшее) значение на множестве X.
Теорема 1 (Ферма). Если функция определена в некоторой окрестности точки , принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет в точке производную в широком смысле, то эта производная равна нулю.
Доказательство. Пусть f : U() → R, f() – наибольшее значение на множестве U(), тогда для всех x ∈ U() имеет место неравенство f(x) ≤ f(). Если x < , то f(x) − f() x − ≥ 0. (1) Если x > , то f(x) − f() x − ≤ 0. (2) Перейдём к пределу в (1) и (2) при x → . Из (1) получим f’() ≥ 0, а из (2) — f0() ≤ 0. Следовательно, f’() = 0.
Замечание 1. Существенно, что в Теореме Ферма точка — внутренняя для рассматриваемого промежутка. Например, функция f(x) = x на отрезке [0,1] принимает наибольшее значение в точке x = 1, а наименьшее в точке x = 0, и f’(x) ≡ 1.
Теорема 2 (Ролль). Если функция f:
1) непрерывна на отрезке [a; b];
2) имеет в каждой точке интервала (a; b) производную в широком смысле;
3) f(a) = f(b);
то существует по крайней мере одна точке ξ ∈ (a, b), что f’(ξ) = 0.
Доказательство. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], тогда по Т. Вейерштрасса f достигает на [a, b] наибольшего M = max [a, b] f и наименьшего m = min [a, b] f значений. Это значит, что для всех x ∈ [a, b] m ≤ f(x) ≤ M. Возможны два случая : 1) m = M ⇒ f(x) = const ⇒ ∀ ξ ∈ (a, b) f’(ξ) = 0; 2) m ≠ M ⇒ хотя бы одно из значений m или M достигается внутри отрезка [a, b], т.е. в некоторой точке ξ ∈ (a, b) ⇒ по Т. Ферма f’(ξ) = 0.
Все условия теоремы Ролля существенны. У каждой из функции на Рис. 1 не выполняется одно из условий Т. Ролля, поэтому не существует такой точки ξ , что f’(ξ) = 0.
Теорема 3 (Лагранж). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и в каждой точке интервала (a, b) дифференцируема в широком смысле, то существует точка ξ ∈ (a, b), что f(b) − f(a) = f’(ξ)(b − a).(3) Эта формула называется формулой конечных приращений Лагранжа.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – λ*x, λ ∈ R. Она непрерывна на [a, b] и дифференцируема в широком смысле на (a, b). Подберем λ так, чтобы выполнялось соотношение: F(a) = F(b), тогда F(x) будет удовлетворять всем условиям Т. Ролля. Имеем f(a) − λa = f(b) − λb ⇒ λ = . При таком значении λ согласно Т. Ролля существует точка ξ ∈ (a, b): F’(ξ) = 0. Из соотношения F’(x) = f’(x) − λ имеем f’(ξ) = .
Теорема 4 (Коши). Если функции f(x) и g(x) удовлетворяет условиям:
1)f, g непрерывны на отрезке [a, b];
2)f, g дифференцируемы на (a, b),
3)g’(x) ≠ 0 во всех точках x ∈ (a, b);
то существует точка ξ ∈ (a, b) такая, что = f’(ξ) g’(ξ). (4)
Доказательство. Заметим, что g(a) ≠ g(b), так как если бы g(a) = g(b), то выполнялись бы условия Т. Ролля и существовала бы точка ∈ (a, b), что g’() = 0, но это противоречит условию теоремы. Поэтому левая часть (4) имеет смысл. Рассмотрим функцию F(x) = f(x)−λ*g(x), где λ подберём таким образом, что F(a) = F(b). Тогда функция F(x) удовлетворяет на [a, b] условиям т. Ролля
F(a) = F(b) ⇔ f(a) − λg(a) = f(b) − λg(b) ⇔ λ =. (5)
При таком выборе λ существует ξ ∈ (a, b), для которого F’(ξ) = 0, но F’(x) = f’(x) – λg’(x), следовательно, f’(ξ) – λg’(ξ) = 0 ⇒ . (6) Из (5) и (6) получим .
Билет №14
Формула Тейлора (формула Тейлора для многочлена, разложение произвольной функции, остаточный член в форме Пеано)