Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
III. Диференціальні рівняння
1. Загальні поняття
Означення. Рівняння, що містить аргумент, невідому функцію та її похідні або диференціали, називається диференціальним рівнянням (д. р.).
, (1)
яку ще називають неявною формою.
Означення. Найвищий порядок похідної або диференціала, що входить в д. р., називають порядком цього диференціального рівняння.
Наприклад,
- д. р. першого порядку,
- д. р. другого порядку,
- д. р. третього порядку.
Якщо ж д. р. (1) можна розв’язати відносно старшої похідної, то отримаємо явну форму д. р.
(2)
Означення. Функція , яка має на деякому інтервалі похідні , і яка після підстановки разом з похідними до д. р. (1) або (2) перетворює його в тотожність називається розв’язком д. р. При цьому ще говорять, що функція задовольняє даному д.р.
1. - це д. р. першого порядку. Його розв’язок можна знайти шляхом інтегрування
Цей розв’язок містить довільну сталу С. Надаючи сталій С різних значень, ми отримаємо сім’ю кривих (парабол, див рис. 3.1).
2. Розв’язком д. р. є функція .
Дійсно, знайдемо спочатку першу похідну , а тоді другу - . Підставимо в д. р. вирази і , отримаємо тотожність .
3. Розв’язком д. р. є також функція
,
де і довільні сталі величини.
Перевіримо. Знайдемо , . Підставимо і в д. р., отримуємо тотожність
.
.
Після інтегрування маємо
,
Після повторного інтегрування знаходимо
.
Задачу про знаходження розв’язку д. р. називають задачею інтегрування даного диференціального рівняння. Графік розв’язку д. р. називається інтегральною кривою.
З наведених прикладів бачимо, що розв’язок д. р. знаходиться неоднозначно, геометрично розв’язок д. р. може задавати сім’ю кривих на площині , як це видно з прикладу 1, де розв’язок залежить від однієї сталої величини С, це для д. р. першого порядку. З прикладів 3 і 4 бачимо, що розв’язки д. р. другого порядку можуть мати дві довільні сталі .
2. Диференціальні рівняння першого порядку. Теорема про існування та єдиність розв’язку д. р. Задача Коші
. (1)
Якщо ж із співвідношення (1) можна виразити , то отримаємо д. р. першого порядку в явній формі
. (2)
Важливою в теорії д. р. є така теорема.
Теорема. ( про існування та єдиність розв’язку д. р.). Якщо в д. р. функція та її частинна похідна неперервні в області D, яка містить точку , то існує єдиний розв’язок д. р. , який задовольняє умову для довільної точки .
Означення. Умова , якій задовольняє розв’язок д. р. , називають початковою умовою.
Задача знаходження розв’язку д. р. , який задовольняє початкову умову , носить назву задачі Коші.
Приклад. Розв’язати задачу Коші для д. р. при початковій умові .
Розв’язання. Шляхом інтегрування знаходимо так званий загальний розв’язок , який описує сім’ю парабол. Згідно початкової умови маємо
.
Отже розв’язком задачі є функція - це одна із сім’ї парабол, що проходить через точку М0 (1,-1). Отриманий розв’язок називається частинним розв’язком диференціального рівняння.
Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння називається функція, яка залежить від сталої С і задовольняє умові:
Означення. Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, який дістають із загального при заданій початковій умові.
Тепер можна геометрично пояснити зміст теореми про існування та єдиність розв’язку диференціального рівняння: через кожну точку області проходить одна і тільки одна інтегральна крива (див. рис. 3.2).
Розглянемо диференціальне рівняння , обчислимо значення в точці , отримаємо . За геометричним змістом значення похідної в точці М0 співпадає з кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої (, де - кут нахилу дотичної до осі ОХ). Отже, обчислюючи значення похідної в кожній точці області D, отримаємо поле напрямків.
Розв’язати диференціальне рівняння - це означає знайти сім’ю кривих, що відповідають заданому полю напрямків.
Далі перейдемо до вивчення простіших диференціальних рівнянь першого порядку. До них відносяться:
3. Д. р. з відокремлюваними змінними
Означення. Д. р. називається з відокремлюваними змінними, якщо можна розкласти на множники функцію
так, що один із співмножників залежить тільки від х, а другий – тільки від у.
При розв’язанні можна дотримуватись такої послідовності.
().
.
Якщо позначити відповідні первісні через і , то отримаємо загальний інтеграл
.
Якщо із останньої рівності знайдемо y в явній формі , то отримаємо загальний розв’язок.
Аналогічним чином означається як д. р. з відокремлюваними змінними рівняння записане в диференціалах:
Д. р. (1) буде з відокремлюваними змінними, якщо кожну з функцій можна розкласти на множники:
Похідну замінимо відношенням
Інтегруючи почленно, маємо
- загальний інтеграл, де - відповідні первісні.
Приклади.
Розв’язання.
Розв’язання.
при початковій умові .
Розв’язання.
Згідно з початковою умовою при х=0 маємо
тоді
отримали частинний розв’язок.
Розв’язати самостійно д. р.
1.
2.
3.
4.
5. 6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
4. Однорідні диференціальні рівняння
Означення. Функція називається однорідною к-того порядку відносно змінних x і y, якщо для довільного виконується рівність
Приклади. Встановити, які з функцій однорідні:
|
а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
а)
- однорідна третього порядку.
б) - однорідна першого порядку.
в) - однорідна нульового порядку.
г) - функція не є однорідною при жодному k.
д) - однорідна нульового порядку.
Зауваження. Якщо функція має однорідність нульового порядку, тобто
,
то її можна звести до вигляду .
Дійсно, взявши в останній рівності, отримаємо
, .
Наприклад, для , якщо чисельник і знаменник почленно розділити на , то отримаємо
Тепер у виразі даної функції відношення виступає, як одна змінна.
Вправи. а) Представити однорідні функції нульового порядку так, щоб вони були залежними відносно .
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
Відповіді.
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
б) Перетворити д.р. так, щоб вони містили вирази .
|
1. |
2. |
|
3. |
4.. |
Відповіді.
|
1.. |
2. |
|
3. |
4. |
Означення. Д. р.називається однорідним відносно змінних x i y, якщо функція однорідна нульового порядку, тобто
Метод розв’язання.
Отримали д. р. з відокремлюваними змінними.
Нехай - первісна для лівої частини, тоді
-
загальний інтеграл.
-
загальний інтеграл.
Приклади. Розв’язати рівняння.
Розв’язання. Розділяємо обидві частини рівняння на х:
.
Розв’язання. Розділяємо обидві частини рівняння на х:
Розв’язати самостійно
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11.
12.
13. 14.
5. Лінійні д. р. першого порядку
Означення. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння вигляду
де p(x) i f(x) задані функції, неперервні на інтервалі (a,b).
Метод розв’язання.
, при цьому вважаємо, що С=0.
Отримаємо
6. Знайдені підставимо в
Приклади. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Розв’язання.
Розв’язати самостійно
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
6.Задачі на складання д. р.
10. Задача про радіоактивний розпад. Відомо, що швидкість розпаду радію в момент часу t пропорційна наявній в цей момент масі m(t). Знайти закон радіоактивного розпаду, якщо відомо, що початкова маса дорівнювала . Знайти також період напіврозпаду радію, якщо встановлено, що за 23 роки маса зменшується на 1%.
Розв’язання. Позначимо величину маси в момент часу t. Нехай за проміжок часу від t до внаслідок розпаду маса зменшилась на , тоді
-
Згідно фізичного закону маємо
, (1)
де k - коефіцієнт пропорційності. Д. р. (1) є рівнянням радіоактивного розпаду, воно відноситься до д. р. з відокремлюваними змінними. Розв’яжемо його
Зауважимо, що в останньому випадку довільну сталу при інтегруванні ми взяли у формі ln C, це для того, щоб легше було звільнитися від логарифмів. Крім того, відомо, що lne=1, тому
Отже, далі запишемо
, або
Функція (2) є загальним розв’язком д. р. (1). Згідно з початковою умовою із (2) при отримуємо
Таким чином, запишемо
.
Знайдемо тепер коефіцієнт пропорційності за умовою, що за t=23 роки маса зменшується на 1%, тобто від початкової маси залишиться 0,99. Отже, при t=23 маємо
.
Відомо, що для еквівалентних нескінченно малих , тому
Далі маємо
Отже закон радіоактивного розпаду радію
Знайдемо період напіврозпаду Т. Це час Т, за який початкова маса зменшиться наполовину, тобто
.
Внаслідок логарифмування знаходимо
. Отже,
(років).
20. Задача про випуск продукції при сталій ціні.
Нехай до моменту часу t реалізовано продукції певної галузі в обсязі . Припустимо, що вся вироблена продукція реалізується за сталою ціною p, тобто, ринок ненасичений. Тоді величина доходу буде дорівнювати .
Позначимо через величину інвестиції, що направляється на розширення виробництва, при цьому знехтуємо часом між закінченням виробництва продукції і її реалізацією. Припустимо далі, що швидкість випуску продукції пропорційна величині інвестиції, тобто
, (1)
де l - коефіцієнт пропорційності. Вважаючи, що величина інвестиції складає фіксовану величину доходу , отримаємо
, (2)
де m так звана норма інвестиції (m-const), . Із (1) і (2) отримаємо
- (3)
Розв’яжемо д. р. (3):
.
Позначимо , тоді
-
, тоді
. (4)
Якщо при обсяг продукції дорівнював , тобто
.
Отже, ми знайшли закон випуску продукції в залежності від часу.
Зауважимо, що д. р. (3) описує також ріст народонаселення, динаміку росту цін при постійній інфляції, процес радіоактивного розпаду (див. попередню задачу) та ін.
30. Задача про випуск продукції при змінній ціні.
Із збільшенням об’єму виробництва продукції її ціна p починає падати в результаті насичення ринку, тобто ціна на реалізовану продукцію (крива попиту) є спадною функцією, тому д. р. (3) тепер прийме вигляд
, (5)
яке далі залишається рівнянням з відокремлюваними змінними. Розглянемо наступний приклад.
Приклад. Знайти закон зміни обсягу реалізованої продукції , якщо відомо, що крива попиту задана рівнянням
,
відомий коефіцієнт пропорційності між швидкістю випуску продукції та інвестицією (див. (1)) , норма інвестиції , (умовних одиниць).
Розв’язання. Рівняння (5) в умовах задачі матиме вигляд
(6)
Дріб розкладемо на прості:
Тоді
.
При знаходимо С: . Отже,
- (7)
Зауважимо, що подібними рівняннями описується процес поширення інформації (реклами), динаміка епідемій, процес розмноження бактерій в обмеженому середовищі та ін.
40. Ефективність реклами. Припустимо, що в торгівельній мережі реалізується продукція В, про яку в момент часу t з числа потенціальних покупців N знають лише x. Для прискорення збуту продукції В, по радіо та телебаченню були дані рекламні оголошення. Вважаємо, що після рекламних оголошень швидкість зміни числа покупців, які знають про продукцію В, пропорційна як числу тих, хто знає про товар, так і числу покупців, які про нього не знають. Домовимось, що час відраховується після рекламних оголошень, коли про товар знало людей. Знайти залежність числа x – проінформованих покупців від часу t.
Розв’язання. За час кількість проінформованих покупців зміниться на . - середня швидкість зміни проінформованих покупців, - швидкість зміни x в момент часу t. За умовою задачі маємо
, . (8)
Останнє рівняння відрізняється від д. р. (6) тільки позначеннями, тому аналогічно попередньому отримуємо:
.
Відповідно до початкової умови () маємо
Із співвідношення
знаходимо
. (9)
Крива, побудована відповідно до рівняння (9) має вигляд
зображений на рисунку і носить назву логістичної кривої.
Рис.
7. Диференціальні рівняння вищих порядків
Розглянемо д. р. - го порядку, записане в явній формі
. (1)
Для нього теж має місце теорема про існування та єдиність розв’язку, аналогічна сформульованій в п. 2 для першого порядку.
Теорема. Якщо в рівнянні
функція і її частинні похідні по аргументах неперервні в деякій області, що містить значення
,
то існує і притому єдиний розв’язок д. р. (1), який задовольняє початковим умовам.
(2)
Умови (2) називаються початковими умовами, де - задані числа.
Для диференціального рівняння другого порядку
(3)
ці початкові умови мають вигляд:
(4)
Задача Коші для д. р. -го порядку полягає у знаходженні розв’язку д. р. (1) при заданих початкових умовах (2).
Означення 1. Загальним розв’язком д. р. -го порядку називається функція
,
яка залежить від довільних сталих величин і така, що задовольняє такі умови:
Означення 2. Всяка функція, яка може бути отримана із загального розв’язку даного д. р. при конкретних значеннях називається частинним розв’язком.
Якщо функція, яка є загальним розв’язком д. р., отримана у неявній формі
,
то її називають загальним інтегралом д. р.
Процес знаходження загального розв’язку або загального інтеграла даного д. р. називається інтегруванням або розв’язанням диференціального рівняння.
8. Диференціювальні рівняння другого порядку,
які допускають зниження порядку
,
яке не містить явно і , розв’язується двохкратним інтегруванням.
Наприклад,
.
Аналогічно, -кратним інтегруванням можна розв’язувати д. р. вигляду
.
ІІ. Рівняння другого порядку, яке не містить невідомої функції
За допомогою підстановки , де - невідома функція, (звідки ) неретворюється в д. р. першого порядку
.
ІІІ. Рівняння другого порядку, яке явно не містить незалежної змінної ,
За допомогою підстановки (звідки ) теж зводиться до першого порядку
.
Приклади. 1. Знайти загальний розв’язок д. р.
.
Розв’язання. Підстановка приводить до лінійного д. р. першого порядку
.
Розв’яжемо його заміною , , маємо
,
.
.
- загальний розв’язок.
2. Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Розв’язання. Д. р. явно не містить . Підстановка . Рівняння запишеться:
- загальний інтеграл.
Приклади. Знайти загальні інтеграли (загальні розв’язки) рівнянь.
|
1. . |
2. . |
|
3. . |
4. . |
|
5. . |
6. . |
|
7. . |
8. . |
|
9. . |
10. . |
|
11. . |
9. Лінійні однорідні д. р. другого порядку із сталими коефіцієнтами. Теорема про структуру загального розв’язку
Рівняння вигляду:
,
де p і q – відомі сталі, f(x) – відома функція називається лінійним д. р. ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами. Якщо , то д. р.
називається лінійним однорідним д. р. (скорочено ЛОДР) із сталими коефіцієнтами.
Якщо ж , то перше з д. р. називається неоднорідним (ЛНДР)
Теорема: Якщо функції і є розв’язками д. р.
,
то функція , де С1 і С2 довільні сталі, теж є розв’язком цього д. р., тобто лінійна комбінація двох розв’язків і теж є розв’язком ЛОДР.
Доведення. Згідно умови теореми маємо
Після почленного домноження на довільні сталі С1 і С2 кожної з рівностей та додавання їх, отримаємо:
.
Згідно властивості лінійної операції диференціювання можемо записати
.
Тому, далі, маємо
,
а це означає, що функція теж є розв’язком ЛОДР.
Означення. Дві функції і називаються лінійно незалежними, якщо їх відношення , тобто .
Якщо ж , тобто , то функції і називаються лінійно залежними.
Приклади.1. Функції і - лінійно незалежні , бо .
2. Функції і - лінійно незалежні, бо .
3. Функції і - лінійно залежні, бо , тобто .
Постановка Задачі Коші, як і для д. р. І-го порядку, полягає в тому , щоб знайти розв’язок ЛОДР
при початкових умовах , .
Важливою для розв’язання задачі Коші є така теорема (подаємо без доведення).
Теорема. (про структуру загального розв’язку ЛОДР). Якщо і - лінійно незалежні розв’язки ЛОДР
,
де p і q – сталі, то загальний розв’язок цього рівняння має вигляд
,
де С1 і С2 довільні сталі.
Через позначено загальний розв’язок однорідного д. р.
10. Загальний розв’язок ЛОДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння
Будемо знаходити розв’язок ЛОДР
(1)
( p і q – сталі). Із вигляду д. р. (1) виходить, що шуканий розв’язок повинен бути такою функцією, яка при диференціюванні змінюється з точністю до сталого множника так, що , , стають подібними і їх сума дорівнює нулю.
Такою може бути функція , де k – стала. Тоді підставляючи , і в д. р. (1), маємо
. (2)
Квадратне рівняння (2) називається характеристичним рівнянням, що відповідає даному ЛОДР (1).
Відомо, що корені квадратного рівняння можуть бути:
а) дійсними і різними ;
б) дійсними і рівними (кратними, позначимо ;
в) комплексними .
В залежності від цих випадків загальний розв’язок ЛОДР (1) записується згідно такій теоремі.
Теорема. Нехай дано ЛОДР із сталими коефіцієнтами
,
тоді його загальний розв’язок має вигляд:
1) , (3)
якщо корені характеристичного рівняння дійсні і різні ;
2) , (4)
якщо корені характеристичного рівняння кратні (;
3) (5)
якщо корені характеристичного рівняння комплексні .
Доведення. 1) Нехай - дійні корені характеристичного рівняння, тоді і є розв’язками ЛОДР (1), крім того ці функції лінійно незалежні, , тому згідно з теоремою про структуру загальний розв’язок має вигляд (3).
2) Нехай корені характеристичного рівняння кратні , тоді маємо один розв’язок . Другим розв’язком буде функція . Переконаємось в цьому. Знайдемо , . Підставимо в ліву частину д. р., тоді
тому, що k – корінь , а за теоремою Вієта сума коренів , тобто .
Отже, функція - теж розв’язок д. р. (1) . Крім того і - лінійно незалежні (), тому їх лінійна комбінація (4) є загальним розв’язком д. р. (1).
Формулу (5) подаємо без доведення.
Приклади. Знайти загальний розв’язок рівняння.
Розв’язання. 1. Складаємо характеристичне рівняння . За формулою (3)
.
2. ,
.
3. . За формулою маємо
( тут взято ).Отже, , тому за формулою (5)
.
, .
Розв’язання. , . За формулою (5) маємо
Знайдемо ще .
Згідно початкових умов отримуємо
Отже, частинний розв’язок, що задовольняє початкові умови, має вигляд
.
Розв’язати самостійно
Знайти загальні розв’язки д. р.
|
1. |
2. |
||
|
3. |
4. |
||
|
5. |
6. |
||
|
7. |
8. |
||
|
9. |
10. |
||
|
11. |
12. |
||
|
13. |
14. |
||
|
15. |
16. |
||
|
17. |
18. |
||
|
19. |
20. |
Знайти частинний розв’язок д. р. за початковими умовами
11. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) ІІ-го порядку. Теорема про структуру розв’язку
Лінійне неоднорідне д. р. ІІ-го порядку має вигляд
, (1)
де f(x) – відома неперервна на деякому інтервалі функція (вільний член). Розглянемо окремий випадок, коли p і q – сталі. Нехай відповідне однорідне рівняння
(2)
має загальний розв’язок , який знаходиться за однією з формул (3) - (5) попереднього параграфа. Нехай, далі, - деякий частинний розв’язок ЛНДР (1). В подальшому будемо опиратись на таку теорему (подаємо без доведення).
Теорема(про структуру загального розв’язку ЛНДР). Загальний розв’язок лінійного неоднорідного д. р. (1) () дорівнює сумі загального розв’язку () відповідного однорідного д. р. (2) і частинного розв’язку () початкового неоднорідного д. р. (1), тобто
, (3)
Далі зупинимось на двох випадках розв’язання ЛНДР, коли вільний член має спеціальний вигляд:
2), де - задані.
12. Розв’язання ЛНДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами і вільним членом.
, (1)
де - відомі числа, - многочлен порядку (степеня) , коефіцієнти, якого теж відомі. Загальний розв’язок ЛНДР (1) будемо знаходити у відповідності з теоремою про структуру:
.
Нам вже відомо, що загальний розв’язок однорідного д. р. записується однією з формул
, (2)
якщо - дійсні;
, (3)
якщо - дійсні і рівні;
(4)
якщо - комплексні.
Відповідно вільному члену частинний розв’язок ЛНДР (1) знаходиться у вигляді
, (5)
де
(6)
- многочлен степеня (степінь такий же, як у многочлена , що в правій частині (1) ). Невідомі А,В,…,N знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів, який пояснимо на прикладі.
Запишемо ще декілька виразів для в залежності від порядка n. Так якщо
(7)
Розглянемо тепер кілька прикладів на складання - частинного розв’язку.
Приклади. Записати - частинний розв’язок для поданих д. р.
|
1. |
4. |
|
2. |
5. |
|
3. |
6. |
Розв’язання.
1. Знаходимо корені характеристичного рівняння . . З правої частини знаходимо степінь многочлена , коефіцієнт при в показнику степеня . Поскільки і , то за формулою (6) .Отже, за формулою(4)
.
. З правої частини д. р. , тому . Поскільки , то і , тому за формулою (6) . Отже,
.
3. . З правої частини маємо , тоді , і , тому . Отже,
.
4. , , , і , тому , тоді
.
5. ,,, і , тому . Отже,
.
6. ,. , , тому
.
Приклад. Знайти загальний розв’язок д. р.
. (8)
Розв’язання. Виконаємо за таким алгоритмом.
,
- дійсні і різні.
Відповідно формулі (2) маємо
.
(8) маємо , , - співпадає з . Отже,
.
4. Підставимо , , в початкове д. р. (8) , при цьому обидві частини скоротимо на , отримаємо
.
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях
.
Отже, .
-
шуканий загальний розв’язок.
|
1. |
8. |
|
2. |
9. |
|
3. |
10. |
|
4. |
11. |
|
5. |
12. |
|
6. |
13. |
|
7. |
14. |
13. Розв’язання ЛНДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами і вільним членом
(1)
(2)
- його характеристичне рівняння з коренями і . Нехай - загальний розв’язок ЛОДР (2). Частинний розв’язок знаходиться
у вигляді
(3)
де А і В – невідомі коефіцієнти, число , якщо корені характеристичного рівняння не дорівнюють числу . Якщо ж один з коренів дорівнює , то .
Приклад. Знайти загальний розв’язок д. р.
. (4)
Розв’язання.
1. Знаходимо загальний розв’язок д. р.
,
.
.
2. З правої частини (4) знаходимо , число співпадає з одним з коренів характеристичного рівняння, тому . Отже,
.
3. Знаходимо ,
.
4. Підставимо і в д. р. (4)
.
Прирівняємо коефіцієнти при і
.
Тоді маємо
,
а загальний розв’язок запишеться
.
Розв’язати самостійно
|
1.. |
7.. |
|
2.. |
8. |
|
3.. |
9.. |
|
4.. |
10.. |
|
5.. |
|
|
6.. |
PAGE 198
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8