Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Число А называется пределом функции f в точке а, если она определена на некоторой окрестности а, т.е. на некотором интервале (c,d), где c<a<d, за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого >0 можно указать зависящее от него >0 такое, что для всех x, для которых имеет место неравенство . Тот факт, что А есть предел f в точке a, принято записывать или . Теорема. Если , где A – конечное число, то на некоторой окрестности U(a) функция f(x) ограничена, т.е. существует положительное число М такое, что для всех,. Доказательство. Из условия теоремы следует существование окрестности U(a), такой, что . Отсюда для указанных х, где надо считать . Теорема доказана. Функция f, для которой , называется бесконечно малой при . |
Функция называется бесконечно малой в точке x0, если предел ёё в этой точке равен нолю. Функция называется бесконечно большой в точке x0, если её предел в этой точке равен бесконечности. Св-ва б.м.ф.: 1) Если функция f(x) ограничена, а m(x) бесконечно большая, то 2) Если абсолютная величина f(x) ограничена снизу положительным числом, а m(x) не равная нулю бесконечно мала, то Предел суммы равен сумме пределов, предел произведения равен произведению пределов, предел частного равен частному пределов в том случае, если предел знаменателя не равен нулю. Теорема. Если , и на некоторой окрестности U(a), ,, то . Доказательство. Пусть , ; тогда для достаточно большого n0 имеет место неравенство и после перехода к пределу неравенство . Теорема .Если , (1) и на некоторой окрестности U(a), , то . (2) Доказательство. Пусть , ; тогда при достаточно большом n0 для и в силу (1) существует предел , равный А, а так как {xn} есть произвольная сходящаяся к а последовательность, то имеет место (2). |
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке х0, и если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при : . КОРОЧЕ: . Св-ва непрерывных ф-ций: 1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши. 2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке. 3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса). в точке: 1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0, то их сумма, произведение, частное (при (х0)0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х0 2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0, и f(x0)>0, то существует окрестность х0, в которой f(x)>0 3. если y=f(U) непрерывна в U0, а U=(x) непрерывна в U0=(x0), то сложная ф-ция y=f[(x)] непрерывна в х0. |
Эквивалентными (асимптотически равными) называют функции (x) и (x) (обе стремящиеся к нулю), если выполняется свойство . Если b(x) и c(x) – эквивалентные б.м.ф. при , тогда . |
Если функции (x )и (x), участвующие в , суть бесконечно малые при , то (x) при есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к (бесконечно малой) (x) (если же это были бесконечно большие, то (x) более низкого порядка, чем (x). Теорема о связи ббф и бмф. Пусть функция f(x)-бб при . Тогда функция a(x) –бм при Доказательство (?). . Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений ; равно + или –. |
Число А называется пределом функции f(x) в точке x=a справа (при +0), если. Точки, в которых функция f(x) не является непрерывной, называются точками разрыва для функции f(x). Если в точке x=a существуют пределы f(a+0), f(a–0), но неравенство не выполняется,то точка х=а называется точкой разрыва первого рода для функции f(x). Причём, если , то точка x=a называется точкой устранимого разрыва для функции f(x). Если же в точке x=a у функции f(x) не существует правого или левого предела или же эти пределы бесконечны, то функция f(x) имеет в точке x=a разрыв второго рода. |
Число А называется пределом функции f(x) при , если для произвольного числа найдётся число N>0 (зависящее от ) такой, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству, будет иметь место неравенство . Прямая Y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при , если функция f(x) представлена в виде , где (x)=o(1) (). Если коэффициент k=0 т.е. уравнение наклонной асимптоты имеет вид Y=b, то тогда её называют горизонтальной асимптотой. НО для того, чтобы график функции y=f(x) имел при наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения и . |
Производной функции f(x) в точке x называется предел её приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда стремиться к нулю (при условии, что этот предел существует). Для обозначения производной используют символы Определение записывается и таким образом . Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0. KN=y, MK=x tg угла KMN=y/x вычислим предел левой и правой части: limtg=lim(y/x) x0 tg0=y` 0 При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg0=y`, 0). Касательной Т к кривой y=f(x), проходящей через точку (x;f(x)), называется предельное положение секущей при x0. Уравнение касательной в точке M(x0,f(x0)) записывается в виде . Нормалью к графику функции в точке M(x0,f(x0)) назовём прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную касательной, проходящей через эту же точку. |
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде , где величина А не зависит от x. Теорема. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Тогда величина А из равна производной: A=f’(x). Достаточность. Из существования производной выводим дифференцируемость Необходимость. Из дифференцируемости функции выводим существование производной .Дифференциалом функции называют главную часть приращения в точке х, соответствующим приращению аргумента х. Дифференциал dy=Ax=f’(x)x или dy=f’(x)dx. Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину x Св-ва: 2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV 3.d(c)=c`dx=0*dx=0 4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2. |
Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке х, то f(x) непрерывна в точке x. Доказательство. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x, т.е. y=Ax+o(x) (x0). Тогда , т.е. функция f(x) непрерывна в точке x. (f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x) (f(x)*g(x))’=f’(x)*g(x)+f(x)* g’(x) (cf(x))’=cf’(x) (f(x)/g(x))’=(f’(x)*g(x)-f (x) * g’(x))/((g*g)(x)) Производная сложной ф-ции =произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной. y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:
|
y=f(x), то x=(y) - обратная ф-ция. Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. xy`=1/yx`. y/x=1/(x/y) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов: lim(y/x)=1/(lim(x/y), т.е. yx`=1/xy или f`(x)=1/`(f(x)) Основные формулы: Для сложных функций: |
y=f(x) y``=(y`)`=lim((f`(x+x)-f`(x))/x) x0 y```=(y``)`= lim((f``(x+x)-f``(x))/x) f(n)(x)=[f(n-1)(x)]` dsinx=cosxdx ddsinx=dcosxdx=-sinxdxdx d2sinx=-sinxdx2 |
Функция непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. 1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши. 2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке. 3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса). в точке: 1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0, то их сумма, произведение, частное (при (х0)0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х0 2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0, и f(x0)>0, то существует окрестность х0, в которой f(x)>0 3. если y=f(U) непрерывна в U0, а U=(x) непрерывна в U0=(x0), то сложная ф-ция y=f[(x)] непрерывна в х0. |
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство: применим т. Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=10. Теорема Коши. Если f(x), g(x) удовл. трем условиям: 1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b] 2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b) 3). g’(x)0 на интер. (a,b), то сущ. т. с g(b)g(a) (неравны по теореме Ролля). 1). F(x) – непрерывна на [a,b] 2). F(x) – деффиренцирована на (a,b) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. с(a,b); F’(с)=0 |
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки а. Пусть и в указанной окрестности. Тогда, если существует , то существует и имеет место равенство =. Доказательство. Доопределим функции f(x) и g(x) при х=а: f(a)=0, g(a)=0. Тогда эти функции станут непрерывными в окрестности точки а. Рассмотрим отрезок [а;х], если x>a и отрезок [x;a], если x<a, причём х принадлежит окрестности, о которой говориться в условии теоремы. Для функций f(x) и g(x) на указанных отрезках выполнены условия теоремы Коши. Поэтому можно записать причём . Поэтому, если , то и . Так как по условию теоремы существует , то существует и и эти пределы равны. Стало быть ==. |
Функция f(x) называется неубывающей на интервале (a;b), если для произвольных , удовлетворяющих условию x1<x2 справедливо неравенство . Аналогично определяется невозрастающая функция. Теорема. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) функция f(x) не убывала на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная f’(x) была неотрицательной на этом интервале. Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) не убывает на (a;b), т.е. для любых , удовлетворяющих условию x1<x2 следует неравенство . Пусть х – любая точка интервала (a;b), дадим аргументу положительное приращение Δх, не выводящее его из интервала (a;b). Тогда , т.к. . Поэтому . Достаточность. Требуется доказать, что из условия на (a;b) следует, что для любых , удовлетворяющих условию . Применим теорему Лагранжа , т.к. и |
|
Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума до первой производной. Точка х называется точкой необходимый признак экстрем max ф-ции, если значение мума: ф-ия а(x) может иметь ф-ции в этой точке max и min только в тех точках - наименьшее в некоторой в которых f’(x)=0 или не сущ. ее окрестности. 1- локальный max 2- локальный min 3- глобальный max 4- глобальный min если tg>0, то f`(x)>0 если tg<0, то f`(x)<0 (В них можно построить касательных). Достаточный признак: точка х0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак: - если с “+” на “-”, то х0- т. max - если с “-” на “+”, то х0- т. min |
Теорема. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка n+1. Пусть x – любое значение аргумента из этой окрестности. Тогда между точками a и x найдётся точка , что справедлива формула где |
(1+х)ª =1+ах+(а(а-1)х²)/2+(а(а-1)(а-2)х³)/6+…+(а(а-1)…(а-n-2)* *хⁿ‾¹)/((n+1)!)+o(xⁿ‾¹) Вычислим с точностью 10-3. Воспользуемся разложением 5 при =1/3 ФОРМУЛА – преобразуем сначала . Применим ФОРМУЛУ, ограничась тремя членами ; , здесь 0<<1. Таким образом с точностью 10-3 |
Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках. Линия называется вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке. Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого. Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0 Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая. Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0. |
Короче – если чётная производная (перед ней все нулевые), тогда как х2, а если нечётная производная (перед ней все нулевые), то как х3. Теорема. Пусть функция f(x) имеет в стационарной точке x=c вторую производную. Тогда функция f(x) имеет в точке x=c локальный максимум, если f”(c)<0 и локальный минимум, если f”(c)>0. Доказательство(для min). Так как f’(c)=0, то . Так как предельное значение больше нуля, то , при достаточно малых , т.е. для (справа от точки с), а для (слева от с) . Получается (ну!..), чо точка x=c – точка локального минимума. |
Пусть функции x = φ (t) и y = ψ(t) определены на некотором отрезке [α, β]. Переменную t будем называть параметром. Если x = φ (t) взаимно однозначна на отрезке [α, β], то она имеет обратную функцию t(x) = φ − 1 (x). Подставляя ее в равенство y = ψ(t), видим, что переменная y является сложной функцией переменной x:
y = ψ(φ − 1 (x) ) ≡ f(x) .
В этом случае говорят, что функция y = f(x) задана параметрически уравнениями x = φ (t) (1) y = ψ(t) где tÎ[a,b] Производная первого порядка функции, заданной параметрически Теорема 1. Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями (1), причем функции φ (t) и ψ(t) дифференцируемы в некоторой точке t0 О (α, β), и φ '(t0) ≠ 0. Тогда функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 = φ(t0), причем f’(xo)= ψ’(t) φ’(t) t=to Доказательство. В условиях теоремы функция j(t) имеет дифференцируемую обратную функцию t(x) = j − 1 (x), производная которой в точке x0 = j(t0) определяется формулой t’(x)= 1/ φ’(t(x)) Дифференцируя f(x) = ψ(t(x)) в точке x0 = j(t0) как сложную функцию x, при t = t0 получаем
f’(Xo)= ψ’(t)*t’(x)= ψ’(t) φ’(t) t=to Касательная и нормаль к плоской кривой. Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной. y - y1 = f '(x1)(x - x1) |