Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 1
Занятие 12. Комплексные числа.
12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.
12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.
12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
Комплексным числом в алгебраической форме называется число
, (1)
где называется мнимой единицей и - действительные числа: называется действительной (вещественной) частью; - мнимой частью комплексного числа . Комплексные числа вида называются чисто мнимыми числами. Множество всех комплексных чисел обозначается буквой .
По определению,
,
и т.д.
Множество всех действительных чисел является частью множества : . С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству . Например, и , т.к. .
Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. ,
т.к. .
Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни
, .
Пример 2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел
, , .
Решение.
- соответственно вещественная и мнимая части числа ,
.
.
.
Любое комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости , представляющей плоскость с декартовой системой координат . Начало вектора лежит в точке , а конец - в точке с координатами (рис 1.) Ось называется вещественной осью, а ось - мнимой осью комплексной плоскости .
Рис. 1.
Комплексные числа сравниваются между собой только знаками . . Если же хотя бы одно из равенств: нарушено, то . Записи типа не имеют смысла.
По определению, комплексное число называется комплексно сопряженным числу . В этом случае пишут . Очевидно, что . Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.
Например, .
Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.
1. Сложение комплексных чисел производится так:
.
Свойства операции сложения:
- свойство коммутативности;
- свойство ассоциативности.
Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел означает сложение отвечающих им на плоскости векторов по правилу параллелограмма.
Операция вычитание числа из числа производится так:
.
2. Умножение комплексных чисел производится так:
.
Свойства операции умножения:
- свойство коммутативности;
- свойство ассоциативности;
- закон дистрибутивности.
3. Деление комплексных чисел выполнимо только при и производится так:
.
Пример 3. Найти , если .
Решение.
1) .
2) .
3) .
4) .
5) .
Пример 4. Вычислить , если .
Решение.
.
z, т.к. .
.
Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:
.
Модуль, аргумент комплексного числа.
Модуль комплексного числа (модуль обозначается ) это - неотрицательное число , т.е. .
Геометрический смысл - длина вектора, представляющего число на комплексной плоскости . Уравнение определяет множество всех чисел (векторов на ), концы которых лежат на единичной окружности .
Аргумент комплексного числа (аргумент обозначается ) это – угол в радианах между вещественной осью и числом на комплексной плоскости , причем положителен, если он отсчитывается от до против часовой стрелки, и отрицателен, если отсчитывается от оси до по часовой стрелке.
Таким образом, аргумент числа определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого , где . Однозначно аргумент числа определяется в пределах одного обхода единичной окружности на плоскости . Обычно требуется найти в пределах интервала , такое значение называется главным значением аргумента числа и обозначается .
и числа можно найти из уравнения , при этом обязательно нужно учитывать, в какой четверти плоскости лежит конец вектора - точка :
если (1-я четверть плоскости ), то ;
если (2-я четверть плоскости ), то;
если (3-я четверть плоскости ), то ;
если (4-я четверть плоскости ), то .
Фактически, модуль и аргумент числа , это полярные координаты точки - конца вектора на плоскости .
Пример 5. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:
.
Решение.
1) .
2) .
3)
.
4) .
5)
.
6) .
7)
.
8) .
Аргументы чисел , лежащих осях , разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости , находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости .
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:
, (2)
где - модуль, - аргумент комплексного числа . Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств .
Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного числа имеет вид:
, (3)
где - модуль, - аргумент числа . Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:
. (4)
Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).
Пример 6. Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел: из примера 5.
Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.
1)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
2)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
3)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
4)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
5)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
6)
- тригонометрическая форма числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма числа .
7)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма числа .
8)
- тригонометрическая форма записи числа ,
- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел. Пусть - показательные формы чисел .
1. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
2. При делении комплексного числа на число получается комплексное число , модуль которого равен отношению модулей , а аргумент - разности аргументов чисел .
Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
По определению,
.
При возведении в целую степень комплексного числа , следует действовать так: сначала найти модуль и аргумент этого числа; представить в показательной форме ; найти , выполнив следующую последовательность действий
, где . (5)
Замечание. Аргумент числа может не принадлежать интервалу . В этом случае следует по полученному значению найти главное значение аргумента
числа , прибавляя (или вычитая) число с таким значением , чтобы
принадлежало интервалу . После этого, нужно заменить в формулах (5) на .
Пример 7. Найти и , если .
Решение.
1) = (см. число из примера 6).
2) , где . . .
Следовательно, можно заменить на и, значит,
, где .
3) , где . .
Заменим на . Следовательно,
.
Извлечение корня -й степени из комплексного числа проводится по формуле Муавра-Лапласа
. (6)
Из формулы (6) видно, что имеет ровно различных значений .
Пример 8. Найти все значения .
Решение. Требуется вычислить в случае .
.
Формула Муавра-Лапласа (6), подставляя в которую , дает:
.
Следовательно,
,
,
Итак, , , - искомые значения .
Пример 9. Найти в показательной форме все значения .
Решение. Требуется вычислить в случае .
(см. число из примера 5).
По формуле Муавра-Лапласа, в которой следует положить ,
для значений последовательно находим требуемые значения :
.
.
, . Заменим на , получим окончательное выражение .
, . Заменим на , получим окончательное выражение .
___________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти действительную и мнимую части, модуль и аргумент следующих комплексных чисел: . Изобразить эти числа на комплексной плоскости. Представить эти числа в показательной и тригонометрической формах.
2. Найти для комплексного числа .
3. Найти все значения .