Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 23. Центр линии второго порядка
Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (1),
Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отно шению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Ли нии второго порядка, обладающие единственным центром, называются цен тральными.
Точка S (х0; уа) является центром линии, определяемой уравнением (1) в том и только в том случае, когда её координаты удовлетворяют уравне ниям:
(2)
Обозначим через определитель этой системы:
.
Величина составляется из коэффициентов при старших членах уравне ния (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.
Если 0, то система (2) является совместной и определённой, т. е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:
Неравенство 0 служит признаком центральной линии второго порядка.
Если S (х0 , у0) — центр линии второго порядка, то в результате преобра зования координат по формулам
(что соответствует переносу начала координат в центр линии) её уравнение примет вид
,
где А, В, С — те же, что в данном уравнении (1), а определяется форму лой
В случае 0 имеет место также следующая формула:
где
.
Определитель называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.
665. Установить, какие из следующих линий являются централь ными (т. е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:
1) 3х2 — 4ху — 2у2 + 3х — 12у — 7 = 0;
2) 4х2 + 5ху + 3y2 — х + 9у — 12 = 0;
3) 4х2 — 4ху +y2 — 6х + 8у + 13 = 0;
4) 4х2 — 4ху + y2 — 12х + 6у — 11 = 0;
5) х2 — 2ху + 4у2 + 5х —7у+12=0;
6) х2 — 2ху + у2 — 6х + 6у — 3 = 0;
7) 4х2 — 20ху + 25у2 — 14х + 2у — 15 = 0;
8) 4х2 — 6ху — 9у2 + 3х — 7у + 12 = 0.
666. Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра:
1) 3х2 + 5ху +y2 — 8х — 11у — 7 = 0;
2) 5х2 + 4ху + 2y2 + 20х+ 20у — 18 = 0;
3) 9х2 — 4ху — 7y2 — 12 = 0;
4) 2х2 — 6ху + 5у2 + 22х — 36у + 11 = 0.
667. Установить, что каждая из следующих линий имеет беско нечно много центров; для каждой из них составить уравнение гео метрического места центров:
1) х2 — 6ху + 9y2 — 12х + 36y + 20 = 0;
2) 4х2 + 4ху + у2 — 8х — 4у — 21 = 0;
3) 25x2 — 10ху + у2 + 40х — 8у + 7 = 0.
668. Установить, что следующие уравнения определяют централь ные линии; преобразовать каждое из них путём переноса начала координат в центр:
1) 3х2 — 6ху + 2у2 — 4х + 2у+1=0;
2) 6х2 + 4ху +y2 + 4х — 2у + 2=0;
3) 4х2 + 6ху+у2 — 10х —10 = 0;
4) 4х2 + 2ху + 6y2 + 6х — 10у + 9 = 0.
669. При каких значениях т и п уравнение
mх2 + 12ху + 9у2 + 4х + пу — 13 = 0
определяет:
а) центральную линию;
б) линию без центра;
в) линию, имеющую бесконечно много центров.
670. Дано уравнение линии 4х2 — 4ху +у2 + 6х + 1 =0.
Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая
у = kx
а) пересекает эту линию в одной точке;
б) касается этой линии;
в) пересекает эту линию в двух точках;
г) не имеет общих точек с этой линией.
671. Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку М (6; —2) и касается прямой
х —2 = 0
в точке N (2; 0).
672. Точка Р (1; —2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q (0;—3) и касается оси Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.