Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
20
2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
(2.1)
Числа , называемые коэффициентами системы, и числа , называемые и свободными членами, предполагаются известными. Первый индекс i коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс j соответствует номеру неизвестного .
Решением системы уравнений (2.1) называется набор из чисел (значений неизвестных), при подстановке которых в эту систему каждое уравнение системы обращается в тождество. Решение представляют арифметическим вектором, записывая его в виде строки, либо столбца.
Коэффициенты при неизвестных записывают в прямоугольную таблицу размера , называемую матрицей:
Приписав к матрице коэффициентов столбец свободных членов , получают расширенную матрицу системы:
Пример 1. Решить систему
(2.2)
Решение. Из последнего уравнения находим и подставляем это значение во второе уравнение: , откуда ; подставляя найденные значения и в первое уравнение, получаем и, следовательно, .
Итак, значения , и найдены однозначно, т.е. получено единственное решение .
Решим ту же систему последовательным исключением неизвестных. Исключить из второго уравнения можно, прибавляя к этому уравнению третье уравнение, умноженное на ():
.
Следовательно, . Исключить из первого уравнения еще проще – из него надо вычесть третье уравнение: . Результаты вычислений удобно записывать иначе - вместо преобразований уравнений совершать операции над строками расширенных матриц.
Остается исключить неизвестное из уравнения , соответствующего первой строке последней расширенной матрицы. К этой строке прибавляем вторую, умноженную на - взятое с обратным знаком отношение коэффициентов при неизвестном :
.
Получили расширенную матрицу упрощенной системы уравнений
.
Чаще всего ход решения записывают кратко:
.
Здесь вторая матрица получена из первой преобразованиями, инструментом в которых служит третья строка матрицы; третья из второй - с помощью второй строки; и, наконец, четвертая получена из третьей делением ее строк на первые ненулевые элементы. Последняя матрица - расширенная матрица системы:
.
Полученная система соответствует школьной форме записи ответа. Правый (отчеркнутый) столбец последней матрицы - ответ задачи.
Определение. Система (2.1), имеющая хотя бы одно решение называется совместной.
Для любой системы (2.1) возможны только три случая:
Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений (в случае 2 множество решений состоит из одного решения).
Решить систему (2.1) означает найти множество всех ее решений (для совместных систем - общее решение данной системы уравнений).
Любое из решений, входящих в множество всех решений, будем называть частным решением системы. Например, нулевой столбец является частным решением системы с нулевыми свободными членами.
Определение. Системы, в которых свободные члены всех уравнений равны нулю, называются однородными.
Среди однородных систем нет несовместных.
Системы со ступенчатыми матрицами.
Предположим сначала, что матрица коэффициентов имеет треугольный вид без нулей по главной диагонали:
В этой матрице число строк равно числу столбцов; все диагональные элементы отличны от нуля, а все элементы, стоящие ниже диагонали, равны нулю.
В этом случае система (2.1) оказывается определенной, поскольку значения всех неизвестных однозначно по очереди находятся, как в примере 2.1, начиная с последнего уравнения.
Определение. Матрица называется ступенчатой, если первый ненулевой элемент каждой очередной строки стоит правее первого ненулевого элемента предыдущей строки; все нулевые строки ступенчатой матрицы стоят внизу:
Если отбросить нулевые строки, то в ступенчатой матрице выделится состоящая из нулей лестница с высотой ступеней в одну строку. - первые ненулевые элементы строк: .
Когда расширенная матрица системы - ступенчатая, ее внешний вид позволяет узнать количество решений системы:
Пример 2. Решить систему
(2.3)
Решение. Данная система - неопределенная, так как количество ненулевых строк у и равно 2, а число неизвестных равно 4.
В расширенной матрице первые ненулевые элементы строк - числа 2 и 7 - коэффициенты при и ; эти неизвестные - базисные. Для любых значений свободных неизвестных и значения базисных неизвестных можно найти однозначно. Из последнего уравнения получаем . Подставляем это выражение в первое уравнение: , т.е. .
Таким образом, решение системы в общем виде записывается следующим образом:
, где и - произвольные числа. (2.4)
Решая систему (2.3) в матричной форме, прибавим к первой строке матрицы вторую, умноженную на - взятое с обратным знаком отношение коэффициентов при базисном неизвестном - тогда будет исключено из первого уравнения:
поделив строки полученной матрицы на их первые ненулевые элементы, получим матрицу , в которой есть все, что нужно для записи общего решения - коэффициенты при параметрах и и свободные члены. Множество всех ее решений получится если заставить и пробегать, независимо друг от друга, все множество действительных чисел:
.
Метод Гаусса.
Системы линейных уравнений будем решать методом исключения неизвестных, преобразуя расширенные матрицы. Знак “” между ними означает равносильность соответствующих систем.
Системы будут равносильны, если строки расширенных матриц подвергать только элементарным преобразованиям следующих трех типов:
умножение строки на ненулевое число,
прибавление к одной из строк другой, умноженной на любое число.
Применение элементарного преобразования второго и третьего типа изменяет только одну строку (см. примеры 1 и 2).
Первый этап решения системы линейных уравнений состоит в приведении ее расширенной матрицы к ступенчатому виду:
Далее, описанную в (a) и (b) процедуру применяют к той матрице, которая получилась в результате этих преобразований под неизменявшейся первой строкой матрицы , и т.д.
На втором этапе исследуют полученную ступенчатую матрицу :
1. Если она имеет строку вида при , то данная система несовместна (см. пример 3 ниже).
2. Если же таких строк нет, то для решения системы следует поступать так, как было описано выше:
- когда число ненулевых строк ступенчатой матрицы меньше числа неизвестных, выбирают базисные неизвестные (коэффициенты при базисных неизвестных суть первые ненулевые элементы строк ступенчатой матрицы ), свободным неизвестным придают произвольные значения, находят значения главных неизвестных (пример 2);
- когда число ненулевых строк матрицы равно числу неизвестных, система – определенная, все неизвестные – базисные, их значения находятся однозначно (пример 1).
Значения неизвестных удобнее находить, предварительно так упростив матрицу , чтобы в тех столбцах, где стоят коэффициенты при базисных неизвестных, осталось по одному ненулевому элементу.
Пример 3. Решить систему
(2.5)
Решение.
.
(а): для того, чтобы в первом столбце расширенной матрицы остался единственный ненулевой элемент, к второй и третьей строке прибавляем первую, умноженную соответственно на (-2) и (-3).
(б): к третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-2).
Итак, получена ступенчатая расширенная матрица, содержащая строку . Следовательно, система (2.5) несовместна.
Пример 4. Решить систему
(2.6)
Решение.
.
Итак, система (2.6) равносильна системе уравнений
,
соответствующей последней расширенной матрице.
Придавая свободному неизвестному произвольное значение, , находим значения главных неизвестных:
.
Следовательно, – общее решение системы.
Рассмотрим подробнее вид общего решения системы линейных уравнений. В каждой его координате можно выделить постоянные слагаемые и произведение параметров (значений свободных неизвестных) на постоянные множители – некоторые из них могут быть равными нулю. Соответственно, искомый столбец представляется в виде суммы постоянного столбца и линейной комбинации столбцов, коэффициентами которой служат значения свободных неизвестных. Распоряжаясь этими коэффициентами по своему усмотрению, получаем различные частные решения данной системы.
В примере 4: ; при = 0 получаем столбец , а при = 9 – столбец – различные решения системы (2.6).
Для каждой системы линейных уравнений можно построить однородную систему, которая отличается от исходной только тем, что у нее во всех уравнениях справа стоят нули. Так, например, для системы (2.6) соответствующая однородная система имеет следующий вид:
(2.7)
Общее решение системы (2.7) отличается от общего решения системы (2.6) тем, что в нем отсутствуют постоянные слагаемые, т.е. в качестве общего решения (2.7) получим столбец .
Очевидно, такой же вид имеет и разность – частных решений неоднородной системы однородной системы:
.
Таким образом, общее решение (2.6) равно сумме частного решения (2.6) и общего решения (2.7).
, где – частное решение системы (2.3), а – общее решение соответствующей однородной системы.
Итак, мы проиллюстрировали следующие важнейшие свойства множества решений систем линейных уравнений:
xобщ.неодн.= xчастн.неодн. + xобщ.одн.
Задачи.
Решить следующие системы методом Гаусса:
2.1. 2.2.
2.5. 2.6.
2.7. 2.8.
2.11. 2.12.
2.13. 2.14.
При каких значениях параметра с следующие системы совместны
Решить их методом Гаусса.
2.17. 2.18.