Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №8
Лекция №8
Векторный оператор «набла»
С помощью этого оператора можно сравнительно легко воспроизвести основные формулы теории поля для градиента, дивергенции, ротора, уравнения Лапласа и др. Оператор «набла» (оператор ) имеет вид:
.
Формально применяя символические операции обычного скалярного и векторного произведений этого вектора к функциям, описывающим скалярные и векторные поля можно легко получить основные формулы их анализа.
Оператор “набла” является оператором дифференцирования. При применении этого оператора к произведению функций сохраняются все основные свойства производной, как производной произведения функций. Однако в отличие от обычных простых производных скалярных функций при применении оператора к векторным функциям необходимо в ряде случаев соблюдать порядок следования производных:
;
;
;
Заметим, что если в первых двух случаях порядок следования сомножителей не имеет значения, то в третьем случае необходимо учитывать, что
.
Проверим правильность формулы (8.4) и порядок следования сомножителей,
Третье слагаемое– бесконечно малая величина более высокого порядка, поэтому
Часто производную от произведения (любого) двух функций целесообразно записывать в виде:
Здесь одна из функций полагается константой.
Градиент
Эту формулу получаем простым формальным перемножением оператора и потенциала .
.
Но при этом следует помнить, что это знак применения оператора к функции и перемножение здесь осуществляется лишь символически, т.е. формально.
Дивергенция
Получаем в результате выполнения операции формального скалярного произведения оператора и, например, вектора электрической индукции
.
Ротор
Получаем в результате применения формальной операции векторного произведения оператора и, например, вектора напряженности магнитного поля
В криволинейных системах координат
.
Рассмотрим ряд полезных формул.
1.
.
Эту формулу легко получить на основании рассмотренных выше формул (8.6) и (8.8).
Так как вектор и вектор имеют одинаковые направления, то очевидно, что
.
2. На основании формул (8.7) и (8.8) имеем:
.
Так как вектор ортогонален вектору в силу свойств векторного произведения, а в силу свойств скалярного произведения , то
.
3. В теории поля имеет место операция
.
В силу известной формулы векторного анализа
,
где и – скалярные произведения, находим, что
.
Здесь скалярное произведение
,
а
.
4. Как оператор производной
,
или
.
Здесь и – скалярные поля, т.е. , .
Примечание: число переменных, от которых зависят поля , может быть больше трех.
Учитывая правила дифференцирования произведения функций (8.4)– (8.6), получим:
5. .
6. .
Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой (8.5) и свойствами смешанного скалярно–векторного произведения. Численно оно равно значению определителя, строками которого являются координаты входящих в него векторов,
При циклической перестановке строк через одну значение определителя не изменяется
Тогда на основании этого свойства смешанного скалярно–векторного произведения и формулы (8.5) получим:
Так как выражение смысла не имеет, то оно формально заменено выражением .
7. .
4
PAGE 4