Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
...ті, хто запевняє, що математичні науки нічого не говорять про прекрасне чи про благе, помиляються...
...вивчення математики завжди сприяє розвитку строгості і ясності мислення.
А математику ще й тому вивчати слід, що вона розум до ладу приводить.
Жодне технічне вдосконалення неможливе без складних розрахунків. Але так само важко уявити розвиток будь-якої науки, включаючи суспільні, без використання досягнень сучасної математики і кібернетики. Математика, все глибше проникаючи в суміжні з нею і віддалені науки, стає непохитною опорою прогресу людських знань.
Митропольський Ю.О, (нар. 1917) – український математик
У вивчення природи математика робить найбільший вклад, бо вона розкриває впорядкований зв’язок ідей, за яким побудований Всесвіт.
Прокл (410-485)-грецький філософ
Тим, хто не знає математики, важко збагнути справжню, глибоку красу природи
І.Функції багатьох змінних
1. Числові множини, способи їх задання.
Побудова області на площині
Числова множина – це множина, елементами якої є числа. Відомо, що N, Z, Q, I, R – множини натуральних, цілих, раціональних, ірраціональних та дійсних чисел. Їх прийнято зображати у вигляді точок на числовій осі.
Якщо елементами множини є впорядкована пара чисел, то маємо множину точок М(х,у) на площині ХОУ, така множина позначається R2.
У випадку, коли елементами множини є впорядковані трійки чисел, то маємо множину точок М(x,y,z) у просторі, яка позначається R3.
Часто доводиться розглядати впорядковані набори більшої кількості чисел. Наприклад, якщо х і у – координати точки місцевості, z – висота над рівнем моря в цій точці, t – температура, p – атмосферний тиск, - відносна вологість повітря, v – величина швидкості вітру, - напрям вітру, то впорядкований набір із восьми чисел (x, y, z, t, p, , v, ) характеризує метеорологічний стан в даній місцевості.
У загальному випадку впорядкований набір із n чисел (х1, х2, …, хn) по аналогії із n=2, n=3 теж зручно називати точкою, а множина точок М(х1, х2, …, хn) утворює n-вимірний арифметичний простір Rn.
Дві точки M1(x1',x2',…,xn') і M2(x1'',x2'',…,xn'') збігаються між собою, якщо x1'= x1", …, xn'= xn".
Відомо, наприклад, що для двох точок М1(x1,y1,z1) і М2(x2,y2,z2) із простору R3 величина
є відстанню між цими точками. Подібним чином для двох точок М1 і М2, які належать Rn, величину
теж називають відстанню між точками М1 і М2.
Окремі числові множини, як правило, задаються за допомогою нерівностей. Якщо всі нерівності строгі ( < ; > ), то множина називається відкритою. Наприклад,
інтервал : (a,b) = { x : a < x < b};
відкритий прямокутник : (a,b; c,d) = {(x,y) : a<x<b, c<y<d};
відкритий паралелепіпед :
(a,b; c,d; e,p) = {(x.y,z): a<x<b; c<y<d; e<z<p}.
У загальному випадку можна говорити про відкритий n-вимірний паралелепіпед:
(a1,b1; a2,b2; … an,bn ) = {(x1, x2, … xn): a1<x1<b1; a2<x2<b2; … an<xn<bn }.
Cеред числових множин, які задаються нерівностями, часто зустрічаються також:
(x-x0 )2 + (y-y0 )2 < r2 -
відкритий круг у просторі R2 радіуса r з центром в точці М0 (x0 , y0 );
(x-x0 )2 + (y-y0 )2+ (z-z0 )2 < r2 -
відкрита куля у просторі R3 радіуса r з центром в точці М0 (x0 , y0 ,z0 );
(x1-x10 )2 + (x2-x20 )2 + … + (xn-xn0 )2 < r2 -
відкрита куля в просторі Rn радіуса r з центром в точці М0 (x01 , х02 , …, х0n ).
Означення 1.1. Околом точки називається довільна відкрита множина, яка містить дану точку.
У двовимірному випадку під околом точки розуміють круг, квадрат і т.п., що містять цю точку.
Означення 1.2. Множина точок називається зв'язною , якщо дві точки цієї множини можна з'єднати ламаною лінією, всі точки якої належать цій множині.
Означення 1.3. Точка М називається внутрішньою точкою множини D, якщо вона належить D разом з її достатньо малим околом.
Означення 1.4. Зв'язна множина, яка цілком складається із внутрішніх точок, називається областю.
Означення 1.5. Граничною точкою області D називається точка, в будь-якому околі якої знаходяться точки, які як належать області D, так і не належать їй.
Означення 1.6. Множина граничних точок області D називається її границею Г.
Означення 1.7. Область D разом з її границею Г називається замкненою областю D ( позначається ).
Посилаючись на геометричну інтуіцію, можна сказати, що якщо з геометричного тіла зідрати його границю, то отримаємо відкриту множину.
На рисунку 1.1. точка М0 (x0 , y0 ) – внутрішня точка області D, точка М1 належить границі Г області D. Область D – відкрита, а область - замкнена область.
Рис. 1.1.
На рисунку 1.1. окіл точки М0 (x0 , y0 ) зображений в вигляді круга і квадрата.
Наприклад, замкнені області:
сегмент : [a, b] =
замкнений прямокутник :
[a, b; с, d] =
замкнений круг радіуса r з центром в точці М0 (x0, y0 ) :
замкнений трикутник :
Таким чином, в замкнених областях обмеження задаються нестрогими нерівностями
В подальшому для наочності будемо вивчати числову множину R2, тобто сукупність точок на площині.
Для побудови області на площині треба знайти такі точки М(x,,y), координати яких задовольняли б нерівностям, які задають множину.
Приклад 1.1. Побудувати область D на площині, яка задана нерівностями :
Даним нерівностям задовольняють координати точки, яка знаходиться всередині або на границі прямокутника, сторони якого лежать на прямих
х = 2; х = 6; y = -1; y = 2.
Цей прямокутник є замкненою областю змінних х, у
(рис. 1.2)
Рис 1.2.
Приклад 1.2. Побудувати область D , яка задана нерівностями :
4 < x2 + y2 < 9.
Даним нерівностям задовольняють координати точок, які знаходяться всередині кругового кільця, обмеженого колами x2 + y2 = 4 та x2 + y2 = 9 з центрами в точці О(0, 0) та радіусами r1 = 2, r2 = 3. Таким чином, це кругове кільце – відкрита область D (рис. 1.3).
Рис. 1.3.
Приклад 1.3. Побудувати область D , задану нерівностями
0 < y < x
В даному випадку маємо відкриту область D, яка обмежена прямими y = x та y = 0 (рис. 1.4.). Геометрично – це всі точки, що знаходяться внутрі кута. Точки, що розміщені на сторонах кута області D не належать, тому на рис.1.4 сторони кута зображені пунктиром.
Розглянемо важливий випадок, коли область на площині задається лінійними нерівностями.
Нехай маємо лінійну нерівність з двома змінними x, y :
ax + by + c > 0 (1.1)
Якщо x, y розглядати як координати точок на площині, то множина точок, координати яких задовольнюють (1.1), називається областю розв'язків цієї нерівності. Областю розв'язків (1.1) є півплощина.
Рис.1.4.
Щоб дізнатись, яка з двох напівплощин відповідає нерівності (1.1), треба взяти пробну точку, яка не лежить на прямій ax + by + c = 0, наприклад, М0 (x0 , y0 ), підставити її координати в нерівність (1.1). Якщо нерівність (1.1) виконується, то точка М0 (x0 , y0 ) належить шуканій півплощині, якщо не виконується, то це друга півплощина.
Коли пряма не проходить через початок координат, то зручно пробною точкою взяти початок координат О(0, 0).
В випадку, коли задана система із m нерівностей:
a1 x + b1 y + c1 > 0,
a2 x + b2 y + c2 > 0, (1.2.)
. . . . . . . . . . . . . . .
am x + bm y + cm > 0.
то геометрично отримаємо перетин півплощин, які можуть утворити многокутну область D. Така область називається областю розв'язків системи (1.2.). Ця область не завжди буває обмежена, вона може бути і необмеженою, і навіть порожньою. Останній випадок має місце, коли система нерівностей (1.2.) суперечлива.
Область розв'язків системи нерівностей є опуклою, тобто якщо разом із будь-якими своїми двома точками вона містить і відрізок, що їх з'єднує.
На рис. 1.5 зображені опукла і неопукла області. На рис. 1.5 а) разом з точками М1 і М2 даній області належить весь відрізок М1М2, область – опукла. На рис. 1.5 б) маємо випадок, коли крайні точки відрізка М1 і М2 належать області, однак існує точка М3 цього відрізка, яка даній області не належить. Ця область – неопукла.
Рис. 1.5. Опукла (а) та неопукла (б) області.
Зауважимо, що півплощина є опуклою областю.
Має сенс підкреслити, що результат перетину опуклих областей є опукла область.
Приклад 1.4. Знайти область розв'язків системи нерівностей:
x – 1 > 0; y – 1 > 0; x + y – 3 > 0;
-6x – 7y + 42 > 0.
Замінюючи нерівності рівняннями, отримаємо рівняння чотирьох прямих:
x – 1 = 0 (1); y – 1 = 0; (2); x + y – 3 = 0; (3); -6x – 7y + 42 = 0 (4),
які зображені на рис. 1.6.
Рис. 1.6.
На рис. 1.6 стрілками показані півплощини, які є розв'язками нерівностей, а сама область D заштрихована і є опуклою.
2. Функції кількох змінних. Область визначення.
Лінії та поверхні рівня
Означення 2.1. Змінна величина Z називається функцією двох змінних x і y, якщо кожній парі чисел (x, y) (або кожній точці М(x, y)) з деякої множини D площини xOy ставиться у відповідність визначене значення змінної Z. Позначається
Z = f(x, y) або Z = f (M).
Наприклад.
1) Площа прямокутника S = xy є функцією двох змінних x і y – довжин відповідних сторін;
2) Об'єм конуса V = 1/3 R2h – функція радіуса основи R і висоти h.
Означення 2.1. узагальнюється на більшу кількість змінних.
Означення 2.2. Змінна Z називається функцією незалежних змінних x1, x2 , … xn з деякої множини D, що належить n-вимірному простору Rn, якщо кожній точці М(x1, x2 , … xn ) D ставиться у відповідність визначене значення змінної Z :
Z = f (M ) = f (x1, x2 , … xn ).
Наприклад:
1) Температура Т в даній точці М залежить від її координат x, y, z , а також від моменту часу t , в який вона вимірюється, тобто
T = f (x, y, z, t ).
2) Очікуваний прибуток Р від споруджуваного промислового об'єкта є функцією затрат на його будівництво, часу t від початку будівництва до початку випуску продукції, від величини попиту Q на цю продукцію та інших економічних факторів.
Означення 2.3. Множина D точок, в яких функція визначена називається областю визначення або областю існування функції, а множина Е, яка складається із значень функції, називається множиною значень функції f (M).
У випадку n = 2 функція двох змінних Z = f (x, y) може розглядатися як функція точки площини в тривимірному просторі R3.
Графіком функції Z = f (x, y) є геометричне місце точок (x, y,) f (x, y)), яке описує деяку поверхню в просторі R3.
Приклад 2.1. Знайти область визначення і множину значень функції
.
Функція Z має дійсні значення за умови 1 – x2 – y2 ≥ 0, або x2 + y2 < 1, тобто областю визначення даної функції є замкнений круг радіуса 1 з центром в точці О(0,0). Множиною значень функції є сегмент [ 0, 1 ], що випливає з виразу Z = 1 – x2 – y2 . Графіком функції є верхня напівсфера радіуса 1 з центром в точці О(0,0,0).
Рис 2.1
Приклад 2.2. Знайти область визначення поданих функцій:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
1). Розв’язання для виконаємо за такою схемою:
1.Нагадаємо, що елементарна функція визначена, якщо .
2. Складаємо аналогічну нерівність для заданої функції двох змінних: , яка рівносильна двом системам нерівностей, а саме,
(1) , або (2) .
3. Замінимо останні нерівності рівняннями, отримаємо рівняння границі області визначення: х=2 – пряма, перпендикулярна осі ОХ, у=1 – пряма, перпендикулярна осі ОУ. Будуємо їх в системі ХОУ (див. рис. 2.2)
4. Відносно прямих х=2 і у=-1 вибираємо ті частини площини ХОУ, де виконуються нерівності (1) або (2).
Рис. 2.2.
2). Розв’язання для функції , проведемо за викладеною вже схемою:
1. Елементарна функція однієї змінної y=lg x визначена, якщо x>0.
2. Аналогічна нерівність для функції запишеться:
. (3)
3. Замінимо в (3) нерівність рівнянням: - коло радіуса 5 з центром в О(0;0), яке є границею області.
4. Пробна точка О(0;0) задовольняє нерівність (3)
Отже, О(0;0) належить області розв’язків нерівності (3). Тобто вся область визначення – це множина точок, які лежать у середині заданого круга, виключаючи границю , бо нерівність (3) строга (див. рис. 2.3).
Рис 2.3
3) Розв’язання для функції за відомою схемою:
1. Відповідною елементарною функцією однієї змінної є , яка існує для .
2. Аналогічна нерівність для функції запишеться:
. (4)
3. Замінивши нерівності на рівняння, отримаємо дві параболи і , які симетричні відносно осі ОУ з вітками напрямленими вверх, причому вершина першої з них в точці , а другої в точці .
4. Пробна точка О(0,0) задовольняє ліву а також і праву нерівності (4)
,
Тобто початок координат знаходиться нижче першої параболи і вище другої - . Область визначення - всі точки площини ХОУ між цими параболами, включаючи і ці криві (див. рис. 2.4).
Рис. 2.4
4) Розв’язання для функції .
1. Відповідна функція однієї змінної визначена для .
2. Для функції аналогічна нерівність запишеться:
. (5)
3. Рівняння описує еліпс, канонічна форма якого:
, (6)
півосі цього еліпса , .
4. Пробна точка О(0,0) нерівність (5) не задовольняє, бо нерівність - невірна, тобто О(0,0), як внутрішня точка даної фігури, не входить у множину розв’язків нерівності (5). Множина розв’язків нерівності (5) – це всі точки, які лежать зовні еліпса. (див. рис. 2.4), не включаючи точок еліпса.
Рис 2.5
Приклади для самостійного розв’язання:
Знайти область визначення функції:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Відповіді. 1. Множина точок, які розміщені між віссю ОУ вище вітки параболи в першій чверті. 2. Множина точок .
3. Множина точок . 4. Множина точок , які розміщені на еліпсі та зовні його. 5. Множина точок, які розміщені строго нижче прямої .6. Областью визначення є смуга між двома паралельними прямими і , включно з цими прямими.
Означення 2.4. Лінією рівня функції Z = f (x, y) називається лінія f (x, y) = С на площині xOy, в точках якої функція має стале значення Z = C.
Означення 2.5. Поверхнею рівня функції U = f (x, y, z ) називається поверхня f (x, y, z ) = С , в точках якої функція має стале значення U = C.
Приклад 2.3. Знайти лінії рівня функції
Рівняння ліній рівня мають вигляд
(C > 0). Якщо С приймає дійсні значення, то отримуємо концентричні кола з центром в точці О(0,0), радіуса, де ..
Зауважимо, що за допомогою ліній рівня f (x, y) = С можна побудувати поверхню Z = f (x, y) (рис. 2.2)
Рис. 2.6.
Основними способами задання функції двох змінних є такі:
|
y x |
y1 |
y2 |
y3 |
… |
|
x1 x2 … |
z11 z21 … |
z12 z22 … |
z13 z23 … |
… … … |
3) графічний, графіком функції двох змінних може бути деяка поверхня
3. Границя функції. Неперервність
Будемо говорити, що точка M (x1 , x2 , … , xn ) прямує до точки M0 (а1 , а2 , … , аn ) і позначати М М0 , якщо x1 a1 , x2 a2 , … , xn an , тобто
MM0 = (x1 – a1 )2 + (x2 – a2 )2 + … + (xn – an )2 0.
Означення 3.1. Число А називається границею функції
Z = f (М) при прямуванні точки M (x1 , x2 , … , xn ) до точки M0 (а1 , а2 , … , аn ), якщо для довільного > 0 знайдеться > 0 таке, що із умови
(x1 – a1 )2 + (x2 – a2 )2 + … + (xn – an )2 <
випливає
f ( x1 , x2 , … , xn ) – A < .
При цьому пишуть :
lim f (M) = lim f ( x1 , x2 , … , xn ) = A .
M M0 x1 a1
x2 a2
. . . . . .
xn an
Приклад 3.1. З'ясувати, чи має функція
x2 – y2
Z =
x2 + y2
границю при x 0, y 0.
Нехай точка M(x, y) прямує до точки O(0, 0) по прямій y = kx. Тоді :
x2 – y2 x2 – k2 x2 1 – k2 1 – k2
lim = lim = lim =
x 0 x2 + y2 x 0 x2 + k2 x2 x 0 1 + k2 1 + k2
y 0
Результат залежить від k, тому функція не має границі.
Приклад 3.2. Обчислити границю
x2 + y2
lim .
x 0 x2 + y2 + 1 - 1
y 0
Для обчислення границі перейдемо до полярних координат :
x = r cos ; y = r sin .
Тоді x2 + y2 = r2 , і тому маємо :
x2 + y2 r2 0
lim = lim = { } =
x 0 x2 + y2 + 1 - 1 r 0 r2 + 1 – 1 0
y 0 0 < < 2
r2 ( r2 + 1 + 1 )
= lim = lim ( ( r2 + 1 + 1 ) = 2 .
r 0 r2 r 0
Таким чином, при будь-якому прямуванні М (x, y ) до О (0, 0) маємо число 2, тобто границя дорівнює 2.
Разом з поняттям кратної границі функції можна розглянути повторні границі, які обчислюються послідовно. Наприклад, для функції двох змінних :
lim f (x, y) = A ; lim lim f (x, y) = B ; lim lim f (x, y) = C
x x0 x x0 y y0 y y0 x x0
y y0
В загальному випадку А В С .
Очевидно, якщо границя існує, то А = В = С .
Означення 3.2. Функція Z = f (M) називається неперервною в точці
M0 , якщо виконуються умови :
1) функція визначена в точці М0, тобто існує f (M0 ) ;
2) існує lim f (M) ;
M M0
3) виконується рівність.
Означення 3.3. Функція називається неперервною в області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.
Якщо хоча б одна із умов 1) – 3) означення 3.2 не виконується, то точка М0 називається точкою розриву функції. Точки розриву функції можуть бути ізольованими, утворювати лінії розриву, поверхні розриву.
Приклад 3.3. Знайти точки розриву функції :
1 – xy
Z = .
2x + 3y + 4
Функція невизначена в точках, де знаменник дорівнює нулю. Тому маємо лінію розриву - пряму 2x + 3y + 4 = 0 .
4. Частинні похідні, їх геометричний зміст
Нехай задана функція двох змінних Z = f (x, y). Будемо надавати змінним x і y прирости x і y .
Величина
Z = f (x + x, y + y ) – f (x, y )
називається повним приростом функції.
Величина
x Z = f (x + x, y ) – f (x, y )
називається частинним приростом функції по змінній х .
у Z = f (x, y + у ) – f (x, y ) частинний приріст функції по змінній у .
Означення 4.1. Частинною похідною функції двох змінних по одній із змінних х чи у називається границя відношення відповідного частинного приросту функції до приросту аргумента по цій змінній при прямуванні останнього до нуля (якщо ця границя існує), тобто :
x Z f (x + x, y ) – f (x, y )
Z'x = lim = lim -
x 0 x x 0 x
- частинна похідна по х,
y Z f (x, y + y ) – f (x, y )
Z'y = lim = lim -
y 0 y y 0 y
- частинна похідна по у .
Є інші позначення :
z f (x, y)
Z'x f 'x (x, y ) ;
x x
z f (x, y)
Z'y f 'y (x, y ) .
y y
Знак " " означає тотожні рівності, позначення.
Аналогічне узагальнення має місце для функції багатьох змінних.
Означення 4.2. Нехай M (x1 , x2 , … , xn ) - довільна фіксована точка із області визначення функції Z = f (x1 , x2 , … , xn ) надаючи змінній хk (k = 1, 2, … , n ) приріст xk , розглянемо границю :
Ця границя називається частинною похідною данної функції по змінній xk в точці М і позначається
z або f 'xk (x1, x2, … , xn ) .
xk
Частинні похідні знаходяться за звичайними правилами і формулами диференціювання (при цьому усі змінні, крім xk , розглядаються як сталі).
Приклад 4.1. Знайти частинні похідні функції :
Z = arctg .
Вважаючи у сталою, маємо :
=.
Якщо ж взяти х – сталим, то аналогічно :
=.
Для функції Z = f (x, y) легко вияснити геометричний зміст похідних. Геометричним зображенням даної функції є деяка поверхня Р (рис.4.1).
Рис.4.1.
Вважаючи у = const, ми отримуємо плоску криву Гх , яка є перетином поверхні Р площиною, що паралельна координатній площині хОz. Нехай МК – дотична до кривої Гх в точці М (x, y, z) і є кут, утворений цією дотичною з віссю Ох. Згідно з геометричним змістом звичайної похідної маємо :
= tg .
Аналогічно, якщо Гy є перетин поверхні Р площиною х = const і є кут, утворений з віссю Оу дотичною МL в точці М (x, y, z) до кривої Гу , то
= tg .
Зауваження 1. При знаходженні частинних похідних функції багатьох змінних ми застосовуємо всі правила і формули таблиці похідних, які відносились для функції однієї змінної.
2. При знаходженні частинної похідної від функції, наприклад, двох змінних по змінній х будемо розглядати у як сталу величину.
Якщо частинна похідна знаходиться по у, то х вважається сталою.
Приклади. Знайти частинні похідні функцій.
1. , 2. ,
3. , 4.
5. Обчислити значення частинних похідних функції в точці
Розв’язання. 1. . Дана функція є алгебраїчною сумою степенів, тому нагадуємо необхідні формули таблиці похідних однієї змінної: , Вважаючи у сталою, знаходимо .
Аналогічно,
2. . Крім згаданих вище формул табличних похідних однієї змінної, тут необхідно скористатись такими: , . Отже, маємо .
3. Відомо, що Далі маємо
4. .
. .
5. , М(-1,1,2). Оскільки , то
;
Приклади для самостійного розв’язання
Знайти частинні похідні функцій:
1. . 2. . 3.
4. 5. .
6.Обчислити якщо М(1,1,8).
Відповіді. 1.
2.
3.
4.
5.
6. ; ; .
5. Повний диференціал, його застосування
Для функції Z = f (x, y) повний приріст у точці М (x, y) означається як
Z = f (x + x, y + y ) – f (x, y ) .
Неперервність функції Z = f (x, y) у точці М (x, y) можемо означити так :
А тепер перейдемо до виведення формули для Z , яка в подальшому гратиме важливу роль.
Перетворимо вираз для повного приросту функції, застосовуючи відому формулу Лагранжа для однієї змінної: В результаті отримаємо:
Z = f(x + x, y + y ) – f (x, y ) = ( f (x + x, y + y ) – f (x, y + y )) +
+ ( f (x, y + y ) - f (x, y )) =
= x + y ,
де x < c1 < x + x ; y < c2 < y + y , якщо > 0, якщо ж
< 0, то матимемо протилежні нерівності.
Нехай в точці М (x, y) обидві частинні похідні неперервні.
Оскільки неперервна, тобто
,
то із властивості границі випливає, що в околі точки М(x, y) має місце співвідношення :
,
де
Аналогічний вираз маємо для
:,
де
Таким чином, отримуємо формулу повного приросту функції двох змінних :
, (5.1)
де 1 ,2 0, якщо x, у 0.
Означення 5.1. Функція називається диференційовною в точці М(x, y) , якщо в деякому околі цієї точки Z має вигляд (5.1).
Означення 5.2. Диференціалом функції Z= f(x, y ) називається головна частина її приросту, лінійна щодо приросту її аргументів :
, (5.2)
де dx = x, dy = у , бо приріст незалежної змінної дорівнює її диференціалу.
Доданки в (5.2) є частинними диференціалами :
dxZ =, dyZ =.
Зазначимо, що на відміну від функції однієї змінної, диференційовність функції двох змінних передбачає не тільки існування й обмеженість частинних похідних, а й їх неперервність.
Для функції Z = f (x1 , x2 , … , xn ) маємо :
dZ = .
Приклади. Знайти повні диференціали функції:
1. . 2. . 3. 4. .
Розв’язання. 1. . За формулою (5.2) маємо:
2. .
.
3.
4. .
Застосування повного диференціала базується на наближеній рівності :
.
Нехай відомо значення f (x0 ,y0 ). Тоді для маємо формулу для наближеного обчислення :
.
Звідки отримуємо формулу для наближеного значення функції :
(5.3)
Приклад. Обчислити наближене значення функції в точці М1(2,05; 2,94).
Представимо 2,05=2+0,05; 2,94=3-0,06. Тоді :
Легко бачити, що
.
Обчислимо значення диференціала функції в точці М0(2,3) :
=.
Згідно формули (5.3) знаходимо :
.
Більш точний результат за допомогою мікрокалькулятора дає 3,9807.
Якщо Z=f (x,y), то похибка Z при обчисленні Z за умови, що х і у виміряні з похибками х і у , має вигляд :
-
- формула для оцінки абсолютної похибки наближених обчислень.
Приклади для самостійного розвязання
1. Знайти повні диференціали функцій:
1. 2. 3. 4.
2. Користуючись формулою (5.3) обчислити наближено:
1. 2. 3. 4.
5.
Відповіді. 1. 1. 2. 3.
4.
2. 1. 9,988. 2. 3,033. 3. 2,0216 4. 0,96 5. -0,03
6. Похідна складної і неявної функції
Нехай Z=Z(u,v), a u=u(x,y), v=v(x,y). Для складної функції Z відносно змінних х і у необхідно знайти частинні похідні і . Нехай усі похідні існують.
Оскільки ,
то
.
Зафіксуємо y (y=const). Тоді
або :
.
При
(6.1)
Аналогічно :
.
Якщо u=u(x), v=v(x), то з (6.1) дістанемо вираз для повної похідної:
.
Повний диференціал складної функції має вигляд :
=.
Отже,
.
Таким чином, встановлено інваріантність форми повного диференціала функції.
Розглянемо неявні функції. Нехай маємо неявну функцію однієї змінної F(x,y)=0, для якої
.
Звідси :
Тепер розглянемо неявну функцію двох змінних F(x,y,z)=0. Тоді :
. Нехай y=const , тобто dy=0 . Маємо :
, або :
,
аналогічно,
.
7. Частинні похідні й диференціали вищих порядків
Нехай z = f (x,y), тоді , .
Якщо , можна диференцювати по х або у, то дістанемо похідні другого порядку :
, ,
, ,
або , , , .
Останні дві похідні називають мішаними похідними другого порядку.
Рівність мішаних похідних визначається теоремою:
Теорема 7.1. Якщо функція z=f (x,y) та її похідні , , , неперервні в точці М(х,у) і деякому її околі, то в цій точці = .
Диференціали вищих порядків
В §5 для функції двох змінних z=f (x,y) було встановлено формулу повного диференціала
, (7.1)
або його ще називають диференціалом І-го порядку.
За означенням диференціалом ІІ-го порядку називається диференціал від диференціала І-го порядку, тобто :
.
За формулою (7.1) маємо :
, (7.2)
при цьому прийнято скорочено писати
(dx)2=dx2 , (dy)2=dy2 .
Аналогічно вводяться диференціали
d3f, d4f і т.д.
Для отримання виразів для диференціалів вищих порядків зручно скористатися таким підходом.
Запишемо формально диференціал І-го порядку для функції z=f(x,y) у вигляді :
,
де вираз
,
називається оператором повного диференціала. За його допомогою вводиться оператор диференціала ІІ порядку :
,
Очевидно, що застосовуючи останній оператор до функції z=f(x,y), отримаємо формулу (7.2).
Аналогічно, за допомогою оператора
,
можна записати диференціал ІІІ-го порядку
(7.3)
і т.д.
8. Формула Тейлора для функцій одної і двох змінних
Нехай функція однієї змінної y=f(x) в околі точки х0 (n+1)-раз диференційована, тоді має місце Формула Тейлора :
, (8.1)
де Rn(x) називається залишковим членом формули Тейлора. Для Rn(x) Лагранжем було встановлено, що
,
де С знаходиться в інтервалі (x0,x), якщо x0<x, або , якщо x<x0, скорочено .
Користуючись формулами диференціалів, запишемо :
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
Покладемо також
,
де .
Тоді формула Тейлора (8.1) прийме вигляд :
(8.2)
де .
Формулу (8.2) можна узагальнити для функцій двох змінних, якщо припустити , що функція z=f(x,y), або скорочено z=f(M), має в околі точки M0(x0 ,y0 ) (n+1) неперевну мішану частинну похідну по х і у. Тоді можна записати :
, (8.3)
де , , .
Щоб записати формулу (8.3) в розгорнутому вигляді, необхідно скористатись формулами (7.1), (7.2), (7.3) і т.п.
9. Дотична площина і нормаль до поверхні.
Геометричний зміст диференціала
1. Нехай функція z=f(x,y), що описує деяку поверхню, має в околі Ро(хо ,уо ) неперервні частинні похідні. Поставимо у відповідність точці Ро(хо ,уо ) точку Мо (хо ,уо ,zо ) , де Zо = f (xо ,yо ) , що належить данній поверхні. Розглянемо ще дві точки цієї поверхні і . Проведемо через точки М0 , М1 , М2 січну площину, скориставшись відомим з аналітичної геометрії рівнянням :
.
В даному випадку , , , , , , тому рівняння січної площини М0 М1 М2 запишеться
або
(9.1)
Перейдемо у (9.1) до границі при
, .
Означення 9.1. Граничне положення січної площини (9.1) при називається дотичною площиною.
Отже, отримали :
(9.2)
рівняння дотичної площини до поверхні z=f(x,y) в точці
М0(x0 ,y0 ,z0 ), де Z0=f (x0 ,y0 ).
Можна довести, що якщо на поверхні z=f(x,y) через точку М0 провести довільні гладкі криві лінії і в цій точці проводити дотичні до них, то всі ці дотичні будуть розміщені в знайденій площині.
Позначивши в (9.2) , зауважимо, що права частина цієї рівності є повним диференціалом функції в точці
М0 :
,
а ліва частина (9.2) дорівнює приросту аплікати дотичної площини.
Отже, за своїм геометричним змістом повний диференціал функції співпадає з приростом аплікати дотичної площини, проведеної до поверхні z=f(x,y) в точці Мо.
Означення 9.2. Пряма, що проходить через точку Мо(хо,yо,zо) поверхні z=f(x,y) перпендикулярно до дотичної площини, називається нормаллю до поверхні.
Оскільки нормальний вектор дотичної площини служать напрямним вектором нормалі (див. рис.9.1), то рівняння нормалі має вигляд :
.
Рис. 9.1.
Якщо поверхня задана неявно
F(x,y,z)=0
і на ній зафіксована точка Mо (xо ,yо ,zо ) , то за відомими формулами знаходимо :
, (9.4)
.
Підставляючи (9.4) в (9.2), після спрощення, маємо :
рівняння дотичної площини в точці Mо (xо ,yо ,zо ) до поверхні F(x,y,z)=0 .
Відповідно до (9.5) рівняння нормалі матиме вигляд:
(9.6)
Приклад. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до кулі x2+y2+z2=12 в точці Mо (2,2,2 ).
Розв'язання. Функція задана неявно
.
Тоді
; ;
Згідно формули (9.5) маємо :
4(x-2)+4(y-2)+4(z-2)=0
або - рівняння дотичної площини,
-нормаль.
Рекомендуємо самостійно побудувати кулю, дотичну площину та нормаль у вибраній системі координат.
10. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт
Означення 10.1. Скалярним полем називається область, в кожній точці якої задано деяку скалярну величину.
Прикладами скалярних полів є поле температур, тиску. Щоб задати скалярне поле, досить визначити відповідну функцію. В R2 це u(x,y), в R3 – u(x,y,z). Для наглядності сприйняття скалярного поля в двовимірному випадку вводять лінії рівня, які є лініями перетину поверхні u=u(x,y), що визначає поле, і площини u=C. Рівняння ліній рівня в площині XoY є u(x,y)=C.
Для тривимірного поля u(x,y,z) маємо поверхні рівня, які задаються рівнянями :
u(x,y,z)=С .
В одновимірному випадку похідна функції характеризує швидкість зміни функції в даній точці в напрямі осі оХ. Розглянемо швидкість зміни функції u=u(x,y,z) в довільному напрямі. Нехай скалярне поле визначається функцією u=u(x,y,z) в деякій області, що містить точку Мо(xо ,yо ,zо ). Через цю точку проходить пряма l, напрям якої визначається вектором . Тоді напрямні косинуси запишуться :
де - кути між і координатними осями.
Рівняння прямої l в параметричному виді має вигляд :
Тоді функція u в напрямку прямої l запишеться так :
.
Похідна функції за даним напрямом в точці Мо(xо ,yо ,zо ) знахо-диться як похідна по параметру t :
(10.1)
Розглянемо вектори :
і ,
тоді похідна за даним напрямом в точці М0(x0 ,y0 ,z0 ) має вигляд :
(10.2)
Враховуючи, що , маємо :
.
Тоді
.
Таким чином, похідна (10.2) набуває максимуму, коли , або , тобто, коли за напрям l взяти напрям вектора , який називається градієнтом функції u=u(x,y,z) в точці М0(x0 ,y0 ,z0 ) , що визначається :
grad ,
або
grad (10.3)
Ще одна властивість градієнта полягає в тому,що градієнт поля в даній точці нормальний до лінії рівня поля в цій точці. Очевидно, модуль градієнта дорівнює :
.
Приклад 10.1. Лінії рівня функції функції - це еліпси . Маємо , і градієнт :
ортогональний дотичним на лінії рівня.
Лінії рівня функції u(x,y) і градієнти показані на рис.10.1.
Рис.10.1.
11. Екстремум функції двох змінних
Означення 1. Функція z=f(x,y) має максимум в точці Mо(xо,yо) , якщо для всіх точок M(x,y) , досить близьких до точки Mо(xо,yо) виконується нерівність
.
Означення 2. Функція z=f(x,y) має мінімум в точці Mо (xо ,yо ), якщо для всіх точок M(x,y), досить близьких до точки Mо (xо ,yо ), виконується нерівність
.
Точки максимума і мінімума функції мають спільну назву точок екстремуму. Коли говорять, що функція має екстремум, то це означає, що вона має в цій точці максимум або мінімум.
Як і для функції однієї змінної, у двовимірному випадку теж виділяють необхідні і достатні умови екстремуму.
1О. Необхідні умови існування екстремуму.
Теорема 11.1. Якщо в точці екстремуму Mо (xо ,yо ) функція z=f(x,y) має перші частинні похідні, то вони в цій точці перетворюються в нуль, тобто
(11.1)
Доведення. Із означення екстремуму випливає, що функція однієї змінної z=f(x,yо ) при фіксованому y=yо має екстремум при x=xо . Згідно необхідної умови екстремуму для функції однієї змінної маємо
Аналогічно приходимо до умови
Геометрично це означає, що дотичні прямі, проведені в точці екстремуму до лінії z=f(x,yо) і z=f(xо,y), паралельні відповідним координатним осям оХ і оY (див. рис.11.1). Однак у випадку сідлової поверхні (див. рис.11.2) паралельність осям описаних дотичних в точці поверхні не свідчить про те, що це точка екстремуму. Тому умови (11.1) є тільки необхідними, але не достатніми.
Рис.11.1. Рис.11.2.
Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, або не існують, називаються критичними точками функції. Далі установимо
достатні умови екстремуму, яким задовільняє функція в критичних точках.
2О. Достатні умови існування екстремуму
Спочатку введемо деякі скорочені позначення. Нехай Mо(xо,yо) - критична точка функції z=f(x,y), в якій , . Припустимо, що існують неперервні частинні похідні другого і третього порядків і позначимо
Теорема 11.2. Якщо для функції z=f(x,y) виконуються необхідні умови екстремуму в точці , тобто , , то в цій точці функція :
1) має екстремум при , причому максимум, якщо А<0, і мінімум, якщо А>0;
2) немає екстремуму за умови ;
3) при екстремум може бути і може не бути, в цьому випадку потрібні додаткові дослідження.
Доведення. Скористаємось формулою Тейлора (див.8, формулу (8.3)) при n=3.
Перенесемо доданок в ліву частину рівності і позначимо - приріст функції. Якщо в точці максимум, то , якщо ні – мінімум, то . Згідно умови теореми 2
.
Тому
(11.2)
Можна довести, що доданок є нескінченно малою величиною вищого порядку в порівнянні з доданком при , . Тому головною частиною приросту функції у формі (11.2) є другий диференціал, і його знаком визначається знак приросту .
За формулою другого диференціалу (див.формулу (7.2)) маємо
,
а згідно зроблених позначень
Таким чином, знак виразу залежить від співвідношення двох змінних величин і (разом з їхніми знаками). Щоб звести до однієї змінної, винесемо за дужки (при ) і залишимо , тобто
.
Отже задача зводиться до знаку дослідження квадратного тричлена .
Відомо, що квадратний тричлен зберігає знак, якщо його дискримінант від'ємний :
Причому, якщо , то , а значить
Якщо ж , то
За умови квадратний тричлен може змінювати знак, а отже може бути >0 і <0 , тоді екстремума немає.
Приклад. Дослідити на екстремум функцію .
Розв'язання. Для знаходження критичних точок скористаємось теоремою 11.1, згідно з якою отримуємо систему рівнянь:
Розв'яжемо цю систему:
Маємо і дві критичні точки. Знайдемо тепер похідні другого порядку:
Тоді в точці маємо:
>отже екстремум в т. відсутній.
В точці маємо:
<екстремум існує і поскільки >то це мінімум,
12. Найбільше і найменше значення функції двох змінних
в замкнутій області
Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D і має в ній скінчені частинні похідні. В цій області знайдеться точка в якій функція приймає найбільше (найменше) значення .Якщо точка лежить усерединє області D, то в ній функція має максимум (мінімум), тому ця точка знаходиться серед критичних точок. Але найбільшого (найменшого) значення функція може досягати і на границі області. Тому, для того щоб знайти найбільше (найменше) значення функції в області D, треба знайти усі внутрішні критичні точки, обчислити значення функції в них і порівняти із найбільшим (найменшим) значенням функції в граничних точках області. Найбільше (найменше) з цих значень буде найбільшим (найменшим) значенням функції в усій області.
Приклад. Знайти найбільше значення добутку невід'ємних чисел за умови, що їх сума є стала величина:
Розв'язання. Покажемо, що найбільше значення отримаємо при
Знайдемо із даної умови: і підставимо в
Маємо функцію від незалежних змінних в двовимірній області згідно умов:
Геометрично - ця область є прямокутний трикутник, обмежений прямими
Знайдемо похідні і прирівняємо до нуля:
Внутрі області розв'язком системи є де
Враховуючи, що на границі області то в знайденій точці , дійсно функція має найбільше значення.
Задача розв'язана, тому що при для змінної маємо Згідно з результатом добуток невід'ємних чисел , сума яких дорівнює , не більше тобто Отже середнє геометричне не більше середнього арифметичного. Це вірно для довільної кількості чисел.
13. Умовний екстремум
Локальний екстремум функції двох змінних без будь-яких додаткових умов називається безумовним.
Якщо знаходиться екстремум функції за деяких додаткових умов, то він називається умовним.
Нехай треба знайти екстремум функції за умови . Якщо вважати, що функція описує поверхню, а
циліндр, то треба знайти екстремум не на всій поверхні, а тільки на лінії, яку вирізає з даної поверхні циліндрична поверхня (рис.13.1).
Рис.13.1.
Побудуємо допоміжну функцію трьох змінних, яка називається функцією Лагранжа: (13.1)
Необхідні умови екстремуму цієї функції мають вигляд:
або:
(13.2)
Для встановления виду умовного екстремуму досліджують знак другого повного диференціала функції Лагранжа
в знайдених із системи (13.2) критичних точках при умові, що і зв’язані рівнянням
.
Тоді функція має умовний максимум, якщо , і функція має умовний мінімум, якщо (див. 11.20)
Приклад 11.1. Знайти екстремум функції за умови
За методом Лагранжа:
Запишемо необхідні умови екстремуму:
Звідки:
Знайдемо другий диференциал функції Лагранжа. Оскільки , , , то
.
Отже, функція має умовний мінімум в точці .
.
14. Метод найменших квадратів
При вивченні закономірностей в деяких дослідженнях інженерної справи, економіки, біології, медицини і т.п. приходиться аналітично описувати (у вигляді формули) зв'язок між двома змінними x та y. Для цього в процесі експериментів, спостережень вимірюють з можливою точністю окремі значення xi і відповідні їм значення yi ( i=1,2,…,n ), або отримують такі значення як статистичні дані. В результаті маємо таблицю значень (табл. 1).
Таблиця 1
|
x |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
|
y |
y1 |
y2 |
… |
yi |
… |
yn |
Подібну таблицю можна отримати, наприклад, при дослідженні лінійного розширення стержня в залежності від температури, якщо коефіцієнт лінійного розширення данного матеріалу невідомий, тоді x1, x2,…, xn – виміряні значення температури, а y1, y2,…,yn – відповідні їм значення довжини.
Побудуємо у вибраній системі координат XOY точки Mi( xi, yi ), координати яких відповідають даним таблиці 1 (див. рис. 1).
Тепер виникає необхідність вибору відповідної функції y=f(x), яка б описувала зв'язок між x і y. Таку функцію називають емпіричною. В загальному випадку вибір емпіричної функції не є однозначним. Можна знайти лінію, яка б проходила через кожну з точк Mi , це може бути так званий інтерполяційний многочлен (на рис. 1 це пунктирна лінія), порядок якого буде досить високим (на одиницю меншим, ніж кількість точок в таблиці). Крім того, дані таблиці 1 можуть бути не досить точними внаслідок наявності похибок вимірювання, а також впливу інших факторів, які ми не завжди можемо врахувати. Тому дослідники віддають перевагу більш простим і зручнішим функціям, таким, як лінійна , квадратична , показникова
, гіперболічна і ін. Вибрана функція повинна "найкращим" чином згладжувати експериментальні дані. В залежності від того, як вводиться поняття "найкраще згладжування" встановлюється той чи інший метод вибору емпіричної залежності
(на рис. 1 – суцільна лінія). Найбільш часто застосовується так званий метод найменших квадратів , який дозволяє знаходити параметри вибраної залежності
Позначимо через відхилення емпіричної функції в точці від відповідного табличного (експериментального) значення . Зрозуміло (див. рис. 1 ), що можуть бути для одних додатніми, а для інших від'ємними. Тому їх сума може навіть дорівнювати нулю. Краще було б брати суму їх абсолютних величин але досліджувати суму, яка містить модулі величин складніше, ніж суму квадратів цих величин. Тому зупиняються на останньому
Параметри функції вибирають так, щоб сума квадратів S приймала найменше значення.
10. Розглянемо випадок, коли лінійна функція з невідомими параметрами a i b. Тоді величина відхилення
, а сума їх квадратів
(14.1)
є функцією двох змінних a i b ( xi, yi – це числа із таблиці 1). Відомо, що S (a,b) приймає мінімальне значення при тих значеннях a i b , при яких частинні похідні по цих змінних дорівнюють нулю, тобто коли
Із (14.1) знаходимо :
Прирівнюючи до нуля частинні похідні, отримуємо систему рівнянь:
(14.2)
Система (14.2) називається нормальною системою методу найменших квадратів.
Розв'язуючи систему рівнянь (14.2), знаходимо числа a i b , які підставляємо в рівняння що і дає формулу шуканої залежності.
Отже під "найкращим" згладжуванням експериментальних даних в даному випадку вважається лінійна функція, параметри якої знайдені за методом найменших квадратів.
Метод найменших квадратів був запропонований німецьким математиком К. Гауссом.
Приклад 1. З різних дільниць шахт у вигляді таблиці отримані середні дані за квартал про залежність між собівартістю 1 тони залізної руди (в грошових одиницях) і глибиною добування (розробки, в метрах) (табл.2).
Таблиця 2
|
x – глибина в метрах |
350 |
380 |
400 |
420 |
450 |
500 |
525 |
|
y – грошова одиниця |
3,75 |
3,80 |
3,85 |
3,90 |
3,95 |
4,20 |
4,60 |
Припускаючи, що між змінними x i y існує лінійна залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.
Розв'язання. Для зручності побудуємо обчислювальну таблицю (табл. 3).
Таблиця 3
|
№ п/п |
xi |
yi |
xiyi |
xi2 |
|
1. |
350 |
3,75 |
1312,5 |
122500 |
|
2. |
380 |
3,80 |
1444,0 |
144400 |
|
3. |
400 |
3,85 |
1540,0 |
160000 |
|
4. |
420 |
3,90 |
1638,0 |
176400 |
|
5. |
450 |
3,95 |
1777,5 |
202500 |
|
6. |
500 |
4,20 |
2100,0 |
250000 |
|
7. |
525 |
4,60 |
2415,0 |
275625 |
|
cуми |
3025 |
28,05 |
12227 |
1331425 |
За значеннями сум таблиці складаємо нормальну систему методу найменших квадратів:
Зауважимо при цьому, що кількість точок в таблиці n=7.
Систему розв'яжемо за формулами Крамера
Таким чином, емпірична формула залежності між глибиною розробки і собівартістю однієї тони залізної руди має такий вигляд:
Із формули видно, що із збільшенням глибини розробки на 100 метрів собівартість 1 тони залізної руди в середньому зростає на грошової одиниці.
Тепер згідно емпіричної формули обчислимо для відповідних значень xi теоретичні значення y(xi) і для порівняння заповнимо нову таблицю значень (табл. 4).
Таблиця 4
|
xi |
350 |
380 |
400 |
420 |
450 |
500 |
525 |
|
yi |
3,75 |
3,80 |
3,85 |
3,90 |
3,95 |
4,20 |
4,60 |
|
y(xi) |
3,62 |
3,78 |
3,87 |
3,96 |
4,09 |
4,31 |
4,41 |
Для більшої наочності побудуємо в системі координат XOY точки за даними таблиці 4 і пряму лінію Точки (xi,y(xi)) належать прямій лінії, а точки (xi, yi) на графіку (позначені кружочками) розміщені вздовж лінії з певними відхиленнями від прямої.
20. Зглажування квадратичною функцією експериментальних даних. Зауважимо, що метод найменших квадратів застосовується для знаходження параметрів після того, коли вигляд функції y=f(x) встановлений. Але якщо з теоретичних міркувань неможна зробити певного висновку, якою повинна бути емпірична формула, то її вигляд наочно визначають із графічних зображень експериментальних даних. Так із рис. 1 суцільна лінія, яка проходить поміж точок M1, M2, M3,…,Mi,…,Mn нагадує параболу Тому у випадку квадратичної функції знаходимо мінімум суми як функції трьох змінних a, b, c, при яких частинні похідні її повинні дорівнювати нулю
Знаходимо частинні похідні:
Прирівнюючи кожну з похідних до нуля отримуємо систему лінійних відносно a, b, c рівнянь:
(14.3)
Приклад 2. Застосовуючи метод найменших квадратів знайти значення параметрів функції якщо відомі такі значення змінних (див. табл. 5).
Таблиця 5
|
x |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
|
y |
0,8 |
1,9 |
4,9 |
8,8 |
13,9 |
Розв’язання. Для наочності побудуємо точки за даними таблиці 5 в системі XOY (див. рис.3), розміщення яких нагадує параболу, для знаходження параметрів якої заповнюєм обчислювальну таблицю 6.
Таблиця 6
|
№ п\п |
xi |
yi |
xi2 |
xi3 |
xi4 |
xiyi |
xi2yi |
|
1. |
0,5 |
0,8 |
0,25 |
0,125 |
0,0625 |
0,4 |
0,2 |
|
2. |
1,0 |
1,9 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,9 |
1,9 |
|
3. |
1,5 |
4,9 |
2,25 |
3,375 |
5,0625 |
7,35 |
11,025 |
|
4. |
2,0 |
8,8 |
4,0 |
8,0 |
16,0 |
17,6 |
35,2 |
|
5. |
2,5 |
13,9 |
6,25 |
15,625 |
39,0625 |
34,75 |
86,875 |
|
суми |
7,5 |
30,3 |
13,75 |
28,125 |
61,1875 |
62,0 |
135,2 |
Підставляючи значення сум із табл.6 в (14.3) отримуємо лінійну систему рівнянь відносно параметрів a, b, c:
(14.4) Систему (14.4) можна розв'язати, наприклад, шляхом виключення невідомої з наступним розв'язуванням нової системи відносно . Наводимо готові результати: Шукана функція матиме вигляд:
Рис.3
30. Вирівнювання дослідних даних за гіперболою здійснюється за допомогою заміни В такому разі в таблицю значень потрібно доповнити значеннями
Таблиця 7
|
… |
… |
|||||
|
y2 |
… |
… |
||||
|
|
… |
… |
Після цього знаходиться мінімум функції яка має такий же вигляд, як функція (14.1), і тому відповідна система запишеться:
(14.5)
Для отримання системи (14.5) складається відповідна обчислювальна таблиця відносно значень з якої знаходять
необхідні для системи суми. Після знаходження отримуємо функцію
40. Вирівнювання дослідних даних за показниковою функцією
здійснюється за допомогою логарифмування і подальшою заміною
Тоді отримаємо лінійну залежність параметри якої знаходимо за розглянутим вище методом найменших квадратів.
Приклад 3. За даними таблиці 8 знайти параметри залежності
Таблиця 8
|
x |
0 |
4 |
8 |
12 |
15 |
|
y |
100 |
153 |
229 |
300 |
364 |
Розв'язання. Побудуємо точки відповідно таблиці 8 (див. рис.4).
Рис.4
Складаємо обчислювальну таблицю
Таблиця 9
|
№ п/п |
xi |
yi |
y1=lgy |
xiy1,i |
xi2 |
|
1. |
0 |
100 |
2 |
0 |
0 |
|
2. |
4 |
153 |
2,1847 |
8,7388 |
16 |
|
3. |
8 |
229 |
2,3600 |
18,8787 |
64 |
|
4. |
12 |
300 |
2,4771 |
29,7255 |
144 |
|
5. |
15 |
364 |
2,5611 |
38,4165 |
225 |
|
суми |
39 |
11,5829 |
95,7595 |
449 |
За даними сум таблиці 9 маємо систему:
для якої знаходимо визначники
Згідно формул Крамера знаходимо
Отже маємо лінійну функцію
Поскільки то
Таким чином, відповідно до таблиці 8 і рис. 4 ми знайшли показникову залежність
Вправи до розділу
|
1. |
Обчислити значення функцій: |
|
|
а) |
при ; |
|
|
б) |
в точці ; |
|
|
в) |
при . |
|
|
Відповіді: а) 24; б) 6; в) 5/3. |
|
Визначити та зобразити область існування таких функцій: |
|||||
|
2. |
. |
3. |
. |
4. |
. |
|
5. |
. |
6. |
. |
||
|
Відповіді: 2. Уся площина. 3. Уся площина за винятком прямої . 4. Уся площина за винятком кола . 5. Круг радиуса 2 разом з його контуром. 6. кут між прямими . |
|
Знайти точки розриву функцій: |
|||||
|
7. |
. |
8. |
. |
9. |
. |
|
Відповіді: 7. (0;0). 8. (0;2). 9. Пряма . |
|
Знайти границі функцій: |
|||||
|
10. |
. |
11. |
. |
||
|
12. |
. |
||||
|
Відповіді: 10. 3. 11. 4. 12. 2. |
|
Накреслити лінії рівня функцій: |
|||||
|
13. |
. |
14. |
. |
15. |
. |
|
16. |
. |
||||
|
Відповіді: 13. Сім’я парабол . 14. Сім’я концентрических кіл. 15. Сім’я рівнобічних гіпербол з асимптотами . 16. Сім’я паралельних прямих. |
|
Знайти частинні похідні від функцій: |
|||||
|
17. |
. |
||||
|
18. |
. |
19. |
. |
||
|
20. |
. |
21. |
. |
22. |
. |
|
23. |
. |
24. |
. |
||
|
25. |
. |
26. |
. |
||
|
Відповіді: |
|||||
|
17. |
. |
||||
|
18. |
. |
||||
|
19. |
. |
||||
|
20. |
. |
||||
|
21. |
. |
||||
|
22. |
. |
||||
|
23. |
. |
||||
|
24. |
. |
||||
|
25. |
. |
||||
|
26. |
|
27. |
Показати, що , коли . |
|
28. |
Показати, що , коли . |
|
29. |
Показати, що , коли . |
|
Знайти повні диференціали функцій: |
|||||
|
30. |
. |
31. |
. |
32. |
. |
|
33. |
. |
34. |
. |
||
|
Відповіді: |
|||||
|
30. |
. |
||||
|
31. |
. |
||||
|
32. |
. |
||||
|
33. |
. |
||||
|
34. |
. |
|
Обчислити значення повного диференціала |
|||||||
|
35. |
при |
||||||
|
36. |
при |
||||||
|
37. |
при |
||||||
|
Відповіді: |
35. |
0,075 |
36. |
1/30 |
37. |
0,004 |
|
Обчислити наближені значення: |
|||||||
|
38. |
. |
39. |
40. |
||||
|
41. |
|||||||
|
Відповіді: |
38. |
1,08 |
39. |
10,05 |
40. |
1,00 |
|
|
41. |
-0,03 |
|
42. |
З якими абсолютною та відносною похибками обчислено об’єм циліндра, якщо радіус основи , а висота . |
|
Відповідь: |
|
Для заданих складних функцій знайти указані похідні: |
||
|
43. |
Знайти . |
|
|
44. |
. Знайти . |
|
|
45. |
Знайти . |
|
|
46. |
. Знайти . |
|
|
47. |
Знайти . |
|
|
48. |
Знайти . |
|
|
49. |
. Знайти . |
|
|
Відповіді: |
||
|
43. |
. |
44. . |
|
45. |
46. |
|
|
47. |
. |
|
|
48. |
. |
|
|
49. |
|
Знайти похідні неявних функцій: |
||
|
50. |
. Знайти . |
|
|
51. |
. Знайти . |
|
|
52. |
. Знайти . |
|
|
53. |
Знайти . |
|
|
54. |
. Знайти . |
|
|
55. |
. Знайти . |
|
|
Відповіді: |
||
|
50. |
. |
51. . |
|
52. |
. |
53. . |
|
54. |
. |
|
|
55. |
. |
|
Знайти частинні похідні другого порядку: |
||
|
56. |
. |
57.. |
|
58. |
,. |
|
|
Відповіді: |
||
|
56. |
. |
|
|
57. |
. |
|
|
58. |
. |
|
|
59. |
Довести, що якщо , то . |
|
|
60. |
Довести, що якщо , то . |
|
Знайти похідні функцій в заданих точках у заданих напрямах: |
|||||||
|
61. |
в точці в напрямі відрізка , де . |
||||||
|
62. |
в точці в напрямі вектора . |
||||||
|
63. |
в точці в напрямі віддо . |
||||||
|
64. |
Знайти величину й напрям градієнта функції у точці .В яких точках ? |
||||||
|
65. |
Знайти кут між градієнтами функцій і у точці . |
||||||
|
66 |
Знайти найбільшу швидкість зрастання функції в точці . |
||||||
|
67. |
Знайти величину і напрям градієнта функції у точці . Визначити, в яких точках він перпендикулярний до осі , та в яких дорівнює нулеві. |
||||||
|
Відповіді: |
|||||||
|
61. |
1/5. |
62. |
26. |
63. |
. |
||
|
64. |
, ; , , , . |
||||||
|
65. |
. |
66. |
. |
||||
|
67. |
. . У точках конуса – перпендикулярний ; при - дорівнює нулю. |
|
Скласти рівняння дотичної площини та рівняння нормалі до поверхні: |
|
|
68. |
у точці . |
|
69. |
у точці . |
|
70. |
у точці . |
|
71. |
До поверхні провести дотичну площину, яка проходить через точку паралельно до прямої . |
|
72. |
Провести до еліпсоїда дотичну площину, яка паралельна до площини . |
|
Відповіді: |
|
|
68. |
. |
|
69. |
. |
|
70. |
. |
|
71. |
. 72. . |
|
Знайти максимуми і мінімуми функцій: |
|||||
|
73. |
. |
||||
|
74. |
. |
||||
|
75. |
. |
||||
|
76. |
. |
||||
|
77. |
. |
||||
|
78. |
. |
||||
|
79. |
. |
||||
|
Відповіді: |
|||||
|
73. |
74. |
75. |
|||
|
76. |
. |
||||
|
77. |
|||||
|
78. |
. |
||||
|
79. |
В точці -екстремум не існує; , . |
|
Знайти найменше і найбільше значення для кожної з поданих функцій в указаній замкненій області : |
|
|
80. |
, - круг . |
|
81. |
, - круг . |
|
82. |
, - квадрат . |
|
83. |
, -трикутник . |
|
84. |
Із всіх трикутників, які мають периметр , знайти той, що має найбільшу площу. |
|
85. |
Із всіх прямокутних паралелепіпедів, що мають об’єм , знайти той, повна поверхня якого найменша. |
|
86. |
Із всіх прямокутних паралелепіпедів, повна поверхня яких дорівнює , знайти той, у якого найменший об’єм. |
|
Відповіді: |
|
|
80. |
. |
|
81. |
|
|
82. |
. |
|
83. |
. |
|
84. |
Рівносторонній трикутник. |
|
85. |
Куб з ребром . |
|
86. |
Куб з ребром . |
|
Знайти екстремуми заданих функцій при відповідних умовах: |
|
|
87. |
при умові . |
|
88. |
при умові . |
|
89. |
при умові . |
|
Відповіді: |
|
|
87. |
. |
|
88. |
|
|
89. |
. |
PAGE 50
EMBED CorelDRAW.Graphic.9
EMBED CorelDRAW.Graphic.9
EMBED CorelDRAW.Graphic.9
EMBED CorelDRAW.Graphic.9
EMBED CorelDRAW.Graphic.9
EMBED CorelDraw.CMX.8