Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
15
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Дрозд-Корольова Олена Юріївна
УДК 512.553+512.643
Матричні задачі над
алгебраїчно незамкненими полями
01.01.06 –алгебра та теорія чисел
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ –7
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
КИРИЧЕНКО Володимир Васильович
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
професор кафедри геометрії
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
КОМАРНИЦЬКИЙ Микола Ярославович
Львівський національний університет імені
Івана Франка, завідувач кафедри алгебри;
кандидат фізико-математичних наук, доцент
ОВСІЄНКО Сергій Адамович
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка, доцент кафедри алгебри
та математичної логіки
Провідна установа: Ужгородський національний університет,
Міністерство освіти і науки України,
м. Ужгород.
Захист відбудеться “” лютого 2007 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.18 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м.Київ, проспект акад.Глушкова 6, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м.Київ, вул.Володимирська 58.
Автореферат розісланий “___”____________2007 року
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради В. В. Плахотник
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Матричні задачі з’явилися, як засіб обчислення зображень, на початку 70-х років минулого сторіччя. Першим значним їх застосуванням до теоретичних питань теорії зображень стало доведення першої гіпотези Брауера–Тролла за допомогою алгоритму зведення матриць у роботі М.М.Клейнера та А.В.Ройтера. Хоча цю гіпотезу було раніше доведено в роботі А.В.Ройтера суто теоретико-модульними методами, новий результат був істотно сильніший (і, до речі, його доведення теоретико-модульними методами так і не було одержано). Деяким недоліком результату було те, що алгоритм зведення матриць там було розвинуто лише для задач над алгебраїчно замкненим полем. Тому гіпотеза Брауера–Тролла (у підсиленій формі) випливала звідси лише для досконалих полів.
Перші роботи, присвячені самим матричним задачам з’явилися в 1972 р. Це робота П.Ґабріеля про зображення сагайдаків та робота Л.А.Назарової та А.В.Ройтера, в якій були розглянуті зображення частково-впорядкованих множин. В тому ж році М.М.Клейнер одержав критерій скінченності типу та описав нерозкладні зображення множин скінченого типу. Новий підхід до зображень сагайдаків, який ґрунтувався на функторах віддзеркалень, запропонували в 1973 р. Бернштейн, Гельфанд та Пономарьов. У 1974 р. цю техніку розповсюдив на зображення частково впорядкованих множин Ю.А.Дрозд, хоча в цій роботі були побудовані лише функтори Коксетера та деякі композиції функторів віддзеркалень. Більш адекватний варіант його роботи, в якому були побудовані всі функтори віддзеркалень, вийшов у 1998 р. При цьому виявилось потрібним дещо узагальнити клас задач до зображень так званих перерізаних частково впорядкованих множин. На жаль, у всіх цих задачах не беруть участь розширення основного поля. Ситуації, де такі розширення виникають, були розглянуті В.Длабом і К.Рінгелем. В 1976 р. вони розглянули узагальнення на цей випадок зображень сагайдаків, побудували в новій ситуації функтори віддзеркалень і довели аналог теореми Ґабріеля. В іншій роботі 1975 р. вони також розглянули певне узагальнення зображень частково впорядкованих множин. Втім, степінь загальності у цій роботі видається явно недостатньою, а про функтори віддзеркалень в ній зовсім не йдеться.
Інший важливий клас задач, який відіграє значну роль у багатьох питаннях теорії зображень та інших розділів математики – це зображення в’язок ланцюгів. Мабуть, уперше приклад задачі цього типу було розглянуто в 1969 р. Л.А.Назаровою та А.В.Ройтером у зв’язку з описом модулів над діадою локальних дедекіндових кілець, або, що рівносильне, над локальним кільцем простої подвійної точки алгебраїчної кривої. Пізніше, в 1973, вони розглянули більш загальний випадок, так звану задачу Ґельфанда, яка виникла в теорії модулів Хариш-Чандри над групами Лі. Рівносильний клас задач був досліджений У.Кроулі-Бові в термінах “зображень кланів”. Втім, наведені в цих роботах формулювання задач були не зовсім зручними для деяких застосувань, а у формулюванні основного результату були деякі похибки. Тому в 1993 В.М.Бондаренко переформулював цю задачу в дещо більш загальному вигляді, який він назвав “в’язки напівланцюгових множин”, і дав більш зручний і послідовний опис нерозкладних зображень такої в’язки. Інші автори для тієї самої задачі користувалися простішим терміном “в’язки ланцюгів”.
На той час вже з’ясувалося, що в’язки ланцюгів виникають у різноманітних задачах теорії зображень та й інших розділів математики. Вони були, наприклад, використані при дослідженні таких питань, як будова скінчених модулів над чисто нетеровими кільцями (широким узагальненням локального кільця простої подвійної точки), модулі Коена–Маколея над особливостями алгебраїчних кривих, векторні розшарування над проективними кривими, стабільні гомотопічні типи поліедрів, похідні категорії когерентних пучків на проективних кривих. Звичайно, цей перелік не претендує на повноту, але вже з нього видно важливість цього класу матричних задач. Але можливість подальших його застосувань була обмежена тим, що в ньому не передбачено розгляду розширень основного поля. Тому, як правило, його можна застосовувати лише для випадку, коли це полк є алгебраїчно замкненим.
Отже, розширення вказаних результатів на випадок, коли основне поле вже не є алгебраїчно замкненим, а його розширення явно входять у постановку задач, є, безумовно актуальною проблемою теорії матричних задач. Саме таким узагальненням присвячена дана дисертація.
Зв’язок із науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов’язана з тематикою досліджень кафедри геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка, підрозділ “Геометричні структури та їх застосування” держбюджетної теми 01БФ038-03 (номер державної реєстрації 0101U002479).
Мета і задачі дослідження. Метою роботи було узагальнення існуючих алгоритмів та результатів теорії матричних задач на випадок алгебраїчно незамкненого поля.
Основні методи дослідження, використані в роботі – це методи теорії категорій та лінійної алгебри, зокрема, техніка зведення матриць до канонічної форми, квадратичні форми та пов’язані з ними віддзеркалення. Використовувалися також методи алгебраїчної геометрії, пов’язані з теорією розмірності та дією алгебраїчних груп на многовидах.
Наукова новизна одержаних результатів. В роботі отримано такі нові наукові результати:
Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи можуть бути використані при дослідженнях з теорії зображень, алгебраїчної геометрії, алгебраїчної топології та інших розділів математики, в яких виникають класифікаційні задачі, зокрема, при вивченні зображень артінових алгебр, модулів Коена–Маколея, векторних розшарувань, стабільних гомотопічних типів, тощо.
Особистий внесок здобувача. Результати дисертації одержані авторкою самостійно.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на 3-ій Міжнародній Алгебраїчній Конференції в Україні (Суми, липень 2001), на 10-ій Міжнародній Конференції з Зображень Алгебр (ICRA X, Торонто, серпень 2002), на 4-ій Міжнародній Алгебраїчній Конференції в Україні (Львів, серпень 2003), на 5-ій Міжнародній Конференції в Україні (Одеса, липень 2005), на Міжнародній конференції з теорії радикалів (Київ, липень-серпень 2006), на Київському алгебраїчному семінарі.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 8 працях, з них 3 статті – у фахових наукових виданнях, 5 –у матеріалах та тезах міжнародних конференцій.
Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаної літератури, який містить 40 найменувань. Повний обсяг роботи становить 105 сторінок, з них 100 сторінок основного змісту і 5 сторінок використаних джерел.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі дано короткий огляд теми дисертаційної роботи, актуальності обраного напрямку досліджень та одержаних результатів, наведено відомості про їх апробацію та публікації.
У першому розділі викладено загальні відомості про категорії та матричні задачі, зокрема, про зображення сагайдаків, частково впорядкованих множин та в’язок ланцюгів.
Äðóãèé ðîçä³ë äèñåðòàö³¿ ïðèñâÿ÷åíî á³ìîäóëüíèì çàäà÷àì.
Нехай K – фіксоване комутативне кільце. Усі категорії і алгебри, що будуть розглянуті, будуть розглядатись над ним.
Означення. Нехай A – деяка категорія, а M – A-бімодуль (тобто біадитивний біфунктор з A до категорії абелевих груп, M:Ao×A→Ab).
Диференціюванням ∂ категорії A до бімодуля M зветься набір K-лінійних відображень ∂(X,Y):A(X,Y)→M(X,Y), які задовольняють правилу Ляйбніца ∂(ab)=(∂a)b+a(∂b).
Якщо задано бімодуль M та диференціювання ∂, то бімодульна категорія El(M,∂) визначається так:
Введемо деякі позначення:
N –підбімодуль в M
L=M/N
∂L –композиція диференціювання ∂ з сюр’єкцією π:M→L (це є диференціюванням категорії A до бімодуля L).
Проекція π індукує функтор Π:El(M,∂)→El(L,∂L), який також є сюр’єктивним.
Для кожного ξєL(X,Y) фіксуємо прообраз ξєM(X,Y), тобто елемент такий, що π(ξ)=ξ.
Тепер ми можемо сформулювати теорему редукції.
Теорема 11. В описаній ситуації позначимо Ậ=El(L,∂L) і розглянемо Ậ-бімодуль Ň та диференціювання ∂:Ậ→Ň, визначені наступним чином:
Тоді категорії El(Ň,∂) та El(M,∂) еквівалентні. Ця еквівалентність задається відображенням Φ:El(Ň,∂)→El(M,∂), яке переводить xєŇ(ξ,ξ) в x+ξ.
Öÿ òåîðåìà äຠçìîãó ïîáóäóâàòè àíàëîã àëãîðèòìó Êëåéíåðà–Ðîéòåðà äëÿ á³ìîäóëüíèõ çàäà÷ ñê³í÷åíîãî òèïó.
ijéñíî, ïðèïóñòèìî, ùî êàòåãîð³ÿ A òà á³ìîäóëü M ëîêàëüíî àðòèíîâ³ (òîáòî âñ³ K-ìîäóë³ A(X,Y) òà M(X,Y) º ìîäóëÿìè ñê³í÷åííî¿ äîâæèíè). Òîä³ çà N ìîæíà âçÿòè ìàêñèìàëüíèé ï³äá³ìîäóëü, îòæå L òîä³ áóäå ïðîñòèì.
Íåñêëàäíî ïåðåêîíàòèñü, ùî â öüîìó âèïàäêó ìè ïîòðàïëÿºìî â îäíó ç íàñòóïíèõ äâîõ ñèòóàö³é:
Çâ³äñè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâຠäîâåäåííÿ ïåðøî¿ ã³ïîòåçè Áðàóåðà-Òðîëëà äëÿ ëîêàëüíî àðòèíîâèõ á³ìîäóë³â.
Íàñë³äîê 14. Íåõàé êàòåãîð³ÿ A òà á³ìîäóëü M –ëîêàëüíî àðòèíîâ³. ßêùî â êàòåãî𳿠El(M,∂) ³ñíóº áåçë³÷ íå³çîìîðôíèõ íåðîçêëàäíèõ îá’ºêò³â, òî ¿õí³ ðîçì³ðíîñò³ íåîáìåæåí³. ßêùî, êð³ì òîãî, â ÿê³éñü ðîçì³ðíîñò³ º áåçë³÷ íå³çîìîðôíèõ îá’ºêò³â, òî ³ñíóº áåçë³÷ ðîçì³ðíîñòåé, â êîæí³é ç ÿêèõ º áåçë³÷ íåðîçêëàäíèõ íå³çîìîðôíèõ îá’ºêò³â.
Öåé íàñë³äîê ³ º âëàñíå ï³äñèëåíîþ ã³ïîòåçîþ Áðàóåðà-Òðîëëà äëÿ á³ìîäóëüíèõ çàäà÷. ϳäñèëåííÿ ïîëÿãຠâ îñòàííüîìó òâåðäæåíí³ ïðî ³ñíóâàííÿ áåçë³÷³ ðîçì³ðíîñòåé.
Çà äîïîìîãîþ ñòàíäàðòíî¿ òåõí³êè ì³í³ìàëüíèõ ðåçîëüâåíò çâ³äñè âèâîäèòüñÿ àíàëîã³÷íà òåîðåìà äëÿ çîáðàæåíü àëãåáð.
Òåîðåìà 15. Íåõàé –àëãåáðà íàä ëîêàëüíèì íåòåðîâèì êîìóòàòèâíèì ê³ëüöåì K, ñê³í÷åííîïîðîäæåíà ÿê K-ìîäóëü. ßêùî ìຠáåçë³÷ íå³çîìîðôíèõ íåðîçêëàäíèõ ìîäóë³â ñê³í÷åíî¿ äîâæèíè (íàä K), òî äîâæèíè öèõ ìîäóë³â íåîáìåæåí³. Á³ëüø òîãî, ÿêùî ïîëå ëèøê³â ê³ëüöÿ K íåñê³í÷åííå ³ ³ñíóº áåçë³÷ íå³çîìîðôíèõ -ìîäóë³â äåÿêî¿ ô³êñîâàíî¿ äîâæèíè, òî ³ñíóº áåçë³÷ äîâæèí, äëÿ êîæíî¿ ç ÿêèõ º áåçë³÷ íåðîçêëàäíèõ íå³çîìîðôíèõ -ìîäóë³â äàíî¿ äîâæèíè.
Ó òðåòüîìó ðîçä³ë³ äèñåðòàö³¿ ðîçãëÿíóòî çâàæåí³ ÷àñòêîâî âïîðÿäêîâàí³ ìíîæèíè ñê³í÷åíîãî òèïó.
Îçíà÷åííÿ. Çâàæåíà ïåðåð³çàíà ÷àñòêîâî âïîðÿäêîâàíà ìíîæèíà (ÇÂÌ) ñêëàäàºòüñÿ ç:
(ikj):V(ik)V(kj)→V(ij),
çàäàíèõ äëÿ êîæíî¿ òð³éêè i,j,kºŜ, äëÿ ÿêî¿ âñ³ ö³ ïðîñòîðè âèçíà÷åí³. Ìè ïèøåìî uv çàì³ñòü (ijk)(uv).
Ïðè öüîìó ìàþòü âèêîíóâàòèñü íàñòóïí³ óìîâè:
Îçíà÷åííÿ. Çîáðàæåííÿ (M,f) çâàæåíî¿ ïåðåð³çàíî¿ ÷àñòêîâî âïîðÿäêîâàíî¿ ìíîæèíè S ñêëàäàºòüñÿ ç:
Ïðè öüîìó äëÿ êîæíî¿ ïàðè i<j, iºS-, jºS+ äîáóòîê
M(i)→f(i)V(i0)M(0)→f(j)V(i0)V(0j)M(j)→(i0j)V(ij)M(j)
ìຠáóòè íóëüîâèì.
Îçíà÷åííÿ. Ìîðô³çì :(M,f)→(N,g) çîáðàæåíü ÇÂÌ S - öå íàá³ð K(i)-ë³í³éíèõ â³äîáðàæåíü (i):M(i)→N(i) äëÿ iºŜ òà (ij): M(j) → V(ij)N(j) äëÿ i<j, i,jºS-, àáî i,jºS+, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü ñï³ââ³äíîøåííÿ
g(i)(0)=(1(i))f(i)+i<j((0ji)1)(1(ij))f(j)
äëÿ iºS+ òà
g(i)(i)=(1(0))f(i)+ j<i((ij0)1)(1g(j))(ji)
äëÿ iºS-.
Òàê âèçíà÷åí³ ìîðô³çìè òà çîáðàæåííÿ ðàçîì óòâîðþþòü K-ë³í³éíó, ö³ëêîì àäèòèâíó êàòåãîð³þ repS.
Îçíà÷åííÿ. Ôîðìîþ Ò³òñà ÇÂÌ S çâàòèìåìî êâàäðàòè÷íó ôîðìó QS íà (ä³éñíîìó) âåêòîðíîìó ïðîñòîð³ D(S) ôóíêö³é Ŝ→R (äå R –ïîëå ä³éñíèõ ÷èñåë), çàäàíó ôîðìóëîþ:
QS(x)= iºŜdix(i)+ i,jºS, i<jvijx(i)x(j)- iºSvix(0)x(i),
äå di=dimK(i), vij=dimV(ij), à vi=dimVio, êîëè iºS+, ³ vi=dimVi, êîëè iºS-. Òóò âñ³ ðîçì³ðíîñò³ îá÷èñëþþòüñÿ íàä îñíîâíèì ïîëåì K.
Îñíîâíèì ðåçóëüòàòîì öüîãî ðîçä³ëó º òàêà òåîðåìà.
Òåîðåìà. ÇÂÌ S ìຠñê³í÷åíèé òèï òîä³ ³ ëèøå òîä³, êîëè ¿¿ ôîðìà Ò³òñà ñëàáî äîäàòíÿ, òîáòî QS(x)>0 äëÿ êîæíîãî íåíóëüîâîãî âåêòîðà x ç íåâ³ä’ºìíèìè êîîðäèíàòàìè. Ó öüîìó âèïàäêó ðîçì³ðíîñò³ íåðîçêëàäíèõ çîáðàæåíü çá³ãàþòüñÿ ç äîäàòí³ìè êîðåíÿìè ôîðìè QS ³ âñ³ íåðîçêëàäí³ çîáðàæåííÿ îäí³º¿ ðîçì³ðíîñò³ ³çîìîðôí³ ì³æ ñîáîþ.
Íàãàäàºìî, ùî ôîðìà Ò³òñà º ö³ëîþ êâàäðàòè÷íîþ ôîðìîþ, à îòæå äëÿ íå¿ âèçíà÷åí³ (ä³éñí³) êîðåí³: öå ò³ âåêòîðè, ÿê³ ìîæíà îäåðæàòè â³äáèòòÿìè ç áàçîâèõ âåêòîð³â ei. ³äáèòòÿì â äàíîìó âèïàäêó çâåòüñÿ ë³í³éíå ïåðåòâîðåííÿ ïðîñòîðó D(S), ÿêå â êîæíîìó âåêòîð³ çì³íþº ëèøå îäíó êîîðäèíàòó ³ çáåð³ãຠçíà÷åííÿ ôîðìè QS.
Äîâåäåííÿ ö³º¿ òåîðåìè ´ðóíòóºòüñÿ íà êîíñòðóêö³¿ ôóíêòîð³â â³ääçåðêàëåíü (ï³äðîçä³ë 3.2).  öüîìó ï³äðîçä³ë³ ïîáóäîâàí³ òàê³ ôóíêòîðè Fp (pºŜ). Öåé ôóíêòîð 䳺 ç êàòåãî𳿠repS ó êàòåãîð³þ çîáðàæåíü “çñóíóòî¿”ÇÂÌ Sp. Òóò âñòàíîâëåíî, ùî ö³ ôóíêòîðè º ³íâåðñèâíèìè, òîáòî FpFp=Id (òîòîæí³é ôóíêòîð), à â íàñòóïíîìó ðîçä³ë³ ïîêàçàíî, ùî ó âèïàäêó, êîëè ôîðìà Ò³òñà º ñëàáî äîäàòíüîþ, ö³ ôóíêòîðè óçãîäæåí³ ç â³ääçåðêàëåííÿìè íà ðîçì³ðíîñòÿõ: dim(FpM)=wpdimM. Çâ³äñè âèâîäèòüñÿ, ùî êîæíå íåðîçêëàäíå çîáðàæåííÿ ìîæíà îäåðæàòè ç äåÿêèõ òðèâ³àëüíèõ ïîñë³äîâíèì çàñòîñóâàííÿì ôóíêòîð³â â³ääçåðêàëåíü. Çâ³äñè é âèïëèâàþòü íåîáõ³äí³ òâåðäæåííÿ, ö³ëêîì àíàëîã³÷íî òîìó, ÿê öå ðîáèòüñÿ äëÿ ñàãàéäàê³â ÷è çâè÷àéíèõ ÷àñòêîâî âïîðÿäêîâàíèõ ìíîæèí.
×åòâåðòèé ðîçä³ë ïðèñâÿ÷åíèé çîáðàæåííÿì óçàãàëüíåíèõ â’ÿçîê ëàíöþã³â.
Îçíà÷åííÿ. Â’ÿçêà ëàíöþã³â ñêëàäàºòüñÿ ç:
ßêùî EcK (FcK), âñ³ åëåìåíòè ç Fc (â³äïîâ³äíî, ç Ec) çâóòüñÿ òîâñòèìè. ßêùî xºEc (xºFc), ìè ïîçíà÷àºìî Kx= Ec (â³äïîâ³äíî, Kx= Fc).
Ö³ äàí³ ìàþòü çàäîâîëüíÿòè íàñòóïíèì óìîâàì:
Çàóâàæåííÿ. Äëÿ á³ëüøîñò³ çàñòîñóâàíü äîñòàòíüî “ïðîñòîãî”âèïàäêó, êîëè E òà F –îá’ºäíàííÿ ëàíöþã³â Eiòà Fj, ÿê³ ïîïàðíî íå ïåðåòèíàþòüñÿ, ïðè÷îìó ÿêùî xºEi, yºFj ³ x—y, òî i=j.
Ó öüîìó âèïàäêó óìîâà (3) çàäîâîëüíÿºòüñÿ àâòîìàòè÷íî.
Åëåìåíòè x, ÿê³ íå º òîâñòèìè, àëå x~x, çâóòüñÿ ïîäâ³éíèìè. Äëÿ êîæíîãî ïîäâ³éíîãî åëåìåíòà x ìè äîäàºìî äî X íîâèé åëåìåíò x*, ÿêèé íàñë³äóº â³ä x âñ³ â³äíîøåííÿ < òà -, â ÿêèõ òîé ïåðåáóâàâ (àëå íå â³äíîøåííÿ ~). Òàê ðîçøèðåíó ìíîæèíó ïîçíà÷èìî ÷åðåç X*. Àíàëîã³÷íèé çì³ñò ìàþòü E*,F* ³ ò.ï.
Îçíà÷åííÿ.
ßê ³ ó âèïàäêó çâè÷àéíèõ â’ÿçîê ëàíöþã³â, çîáðàæåííÿ óçàãàëüíåíèõ â’ÿçîê ëàíöþã³â ïðèðîäíî áóäóâàòè ðåêóðñèâíî, ïî÷èíàþ÷è ç “àòîìíèõ çàäà÷”, òîáòî òàêèõ, ùî E ³ F ìàþòü ïî îäíîìó åëåìåíòó. (Äëÿ òàêèõ çàäà÷ îïèñ íåðîçêëàäíèõ çîáðàæåíü ôàêòè÷íî ì³ñòèòüñÿ ó ðîáîò³ Â.Äëàáà ³ Ê.гíãåëÿ 1976 ðîêó.) Ïðè öüîìó ìè êîðèñòóºìîñÿ òàêîþ “êîìá³íàòîðèêîþ ñòðóí òà ñòð³÷îê”.
Означення.
Слово це послідовність w=a0r1a1r2a2...rmam, де akєX та кожен rk є ~ або —, такі, що для всіх можливих значень k:
Означення. Cтрунними даними звуться:
Означення. Стрічковими даними звуться пари (w, f(t)), де w - неперіодичний цикл, f(t) - степінь незвідного полінома, відмінного від t, над полем K, причому, якщо цикл w симетричний, також f(t)(t-1)d.
 ðîáîò³ ïîêàçàíî, ùî êîëè ìè ñïðîùóºìî àòîìíó ÷àñòèíó â’ÿçêè ëàíöþã³â X={E,F,<,—,~} ³ îáìåæóºìî åëåìåíòàðí³ ïåðåòâîðåííÿ äî òàêèõ, ùî íå çì³íþþòü êàíîí³÷íî¿ ôîðìè ö³º¿ ÷àñòèíè, ìè çíîâó îòðèìóºìî çîáðàæåííÿ (íîâî¿) â’ÿçêè ëàíöþã³â. Ñôîðìóëþéìî ïðàâèëà äëÿ êîíñòðóþâàííÿ ö³º¿ íîâî¿ â’ÿçêè.
З цієї рекурсивної процедури спрощення виводиться наступний результат, який дає опис усіх нерозкладних зображень довільної в’язки ланцюгів.
Теорема 47. Нерозкладні зображення узагальненої в’язки ланцюгів знаходяться у взаємно однозначній відповідності з струнами і стрічками з точністю до природної еквівалентності.
Зауваження. Випадки, коли два слова визначають одне й те саме зображення, вичерпуються такими:
Як приклад застосування, з цих результатів одержано опис скінчених модулів над особливістю типу A1, або, що те саме, нерозщеплюваним аналогом діади локальних дедекіндових кілець. Найпростіший приклад такого кільця – це підкільце A кільця C[t] степеневих рядів над полем комплексних чисел, яке складається з усіх рядів з дійсним вільним числом.
ВИСНОВКИ
У дисертації розв'язано проблему узагальнення матричних задач на випадок алгебраїчно незамкненого поля. Зокрема, доведено підсилену гіпотезу Брауера-Тролла для бімодульних задач та аналогічну теорему для зображень алгебр. Введено зображення зважених частково впорядкованих множин і доведено, що зважена частково впорядкована множина має скінчений зображувальний тип тоді й лише тоді, коли її форма Тітса слабо додатня. Для доведення цього результату були побудовані віддзеркалення для зображень зважених частково впорядкованих множин і встановлені їхні властивості. Розглянуто зображення узагальнених в’язок ланцюгів. Для них встановлено, що коли ми спрощуємо атомну частину в’язки ланцюгів і обмежуємо елементарні перетворення до таких, які не змінюють канонічної форми цієї частини, то ми знову отримуємо представлення (нової) узагальненої в’язки ланцюгів. В явній формі сформульований алгоритм такого зведення. З цієї рекурсивної процедури виведено результат, який дає опис всіх нерозкладних зображень довільної узагальненої в’язки ланцюгів. А саме, розроблено комбінаторику струн і стрічок і встановлено процедуру, яка за кожними струнним або стрічковим даним будує відповідне нерозкладне зображення, причому в такий спосіб одержуються всі нерозкладні зображення (з точністю до ізоморфізму).
Описані результати узагальнюють результати Л.А.Назаро-вої, А.В.Ройтера, В.М.Бондаренка, Ю.А.Дрозда, В.Длаба, К.Рін-геля.
Результати дисертації є новими і не мають аналогів у сучасній науковій літературі.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
АНОТАЦІЯ
Дрозд-Корольова О.Ю. Матричні задачі над алгебраїчно незамкненими полями. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 –алгебра та теорія чисел. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.
Дисертація присвячена розширенню існуючих алгоритмів та результатів для матричних задач на випадок задач над алгебраїчно незамкненими полями. Побудовано алгоритм зведення для бімодульних задач над кільцями, який узагальнює відомий алгоритм Клейнера–Ройтера. З нього виведена підсилена гіпотеза Брауера-Тролла для локально артінових бімодулів та для модулів над артиновими алгебрами. Розглянуто зображення зважених частково впорядкованих множин. Для них сконструйовані функтори віддзеркалень та доведено критерій скінченності зображувального типу. Введені узагальнені в’язки ланцюгів та їх зображення. Для них розроблено алгоритм зведення, комбінаторику струн та стрічок і дано спосіб побудови всіх нерозкладних зображень за струнними та стрічковими даними.
Ключові слова: матричні задачі, частково впорядковані множини, ланцюги, бімодульні задачі, форма Тітса, категорії, модулі.
АННОТАЦИЯ
Дрозд-Королева Е.Ю. Матричные задачи над алгебраически незамкнутыми полями. – Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 –алгебра и теория чисел. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.
Диссертация посвящена расширению существующих алгоритмов и результатов для матричных задач на задачи над алгебраически незамкнутыми полями. Был построен алгоритм приведения для бимодульных задач над кольцами, который обобщает известный алгоритм Клейнера-Ройтера. Из него была выведена усиленная гипотеза Брауэра-Тролла для локально артиновых бимодулей и для модулей над артиновыми алгебрами. Были рассмотрены представления взвешенных частично упорядоченных множеств. Для них были сконструированы функтори зеркальных отображений и выведен критерий конечности представленческого типа. Были введены обобщенные связки цепей и их представления. Для них были разработаны алгоритм приведения, комбинаторика струн и лент и дан способ построения всех неразложимых представлений по струнным и ленточным данным.
Ключевые слова: матричные задачи, частично упорядоченные множества, цепи, бимодульные задачи, форма Титса, категории, модули.
ABSTRACT
Drozd-Koroleva O.Yu. Matrix problems over non-algebraically-closed fields. –Manuscript.
The thesis for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv national Taras Shevchenko University. Kyiv, 2006.
The aim of the thesis is to expand some of the main results and algorithms concerning the matrix problems to the problems over non-algebraically-closed field and some commutative rings. It is important, since the most of the results of the theory of matrix problems has been only established for the problems over algebraically closed fields, while in the last time wide classes of such problems over non-algebraically-closed fields and rings have appeared, especially in the applications of matrix problems to algebraic geometry and algebraic topology. The thesis consists of a survey of some known results (chapter 1) and three parts devoted to the new results. In the first part (chapter 2) the bimodule problems (or, the same, the categories of elements of a bimodule) over a basic commutative rings are considered and the Kleiner–Roiter algorithm is extended to this class of matrix problems. The latter is used to prove an analogue of the first Brauer–Thrall conjecture for locally artinian bimodule problems as well as for artinian algebras. In the second part (chapter 3) the notion of representations of weighted bisected partially ordered sets is introduced and the reflection functors for this class of problems are constructed, generalizing those for usual bisected partially ordered sets, and their main properties are established. These functors are used to prove that a weighted partially ordered set is of finite representation type if and only if its Tits form is weakly positive. It is also proved that in this case there is a one-to-one correspondence between indecomposable representations and the positive roots of the Tits form. Moreover, every indecomposable representation can be obtained from a trivial one by a sequence of reflections. Thus a complete analogue with the usual representations of partially ordered sets is established. In the third part (chapter 4) a new class of matrix problems is considered, generalizing that of bunches of chains (or semi-chains). For these generalized bunches of chains an algorithm of the matrix reduction is developed. Namely, the so called atomic bunches are considered and it is proved that after the reduction of an atomic part of the original problem, the new one can also be treated as representations of a (new) bunch of chains. It gives an effective recursive algorithm for constructing all indecomposable representations of any given generalized bunch of chains. It also allows obtaining a combinatorial description of indecomposable representations of a generalized bunch of chains. Namely, just as for usual bunches of chains, the notions of strings and bands are defined and it is proved that there is a natural one-to-one correspondence between the isomorphism classes of the indecomposable representations and the equivalence classes of strings and bands under some obvious equivalence relation. The explicit construction of this correspondence is based on the algorithm mentioned above.
Keywords: matrix problems, partially ordered sets, chains, bimodule problems, Tits form, categories, modules.