Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Волновое уравнение
Волновое уравнение, дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной возмущений изотропной среды В. у. имеет вид:
где х, у, z — пространственные переменные, t — время, u = u (х, у, z) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде "расходящейся сферической волны":
u = f (t - r/a)/r,
где f — произвольная функция, a
Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):
u = δ (t - r/a)/r
(где δ — дельта-функция), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при t = 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой "бесконечный всплеск" на окружности r = at, удаляющийся от начала координат со скоростью а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.
Малые колебания струны описываются одномерным В. у.:
Ж. Д'Аламбер предложил (1747) метод решения этого В. у. в виде наложения прямой и обратной волн: u = f (x - at) + g(x + at), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f и g определяются заданием так называемых начальных условий.
интерференция волн
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН (от лат. inter - взаимно, между собой и ferio - ударяю, поражаю) - взаимное усиление или ослабление двух (или большего числа) волн при их наложении друг на друга при одноврем. распространении в пространстве. Обычно под интерференц. эффектом понимается отличие результирующей интенсивности волнового поля от суммы интенсивностей исходных волн. И. в.- одно из осн. свойств волн любой природы (упругих, эл--магн., в т. ч. световых, и др.), и такие характерные волновые явления, как излучение, распространение и дифракция, тоже связаны с интерференцией. Расчёт И. в. в линейных средах основан на суперпозиции принципе,согласно к-рому результирующее волновое поле, создаваемое неск. источниками, равно сумме полей от отдельных составляющих, Для синусоидальных во времени (гармонических) волн при этом удобно пользоваться формализмом комплексных амплитуд: , где А и j - вещественная амплитуда и фаза волны. Согласно принципу суперпозиции, комплексная амплитуда результирующего поля просто равна сумме таковых у отд. слагаемых (), а для интенсивности волны А2 в случае двух волн с амплитудами имеем A2=A21+A22+2A1A2соsDj, (1) где Dj=j2-j1. Величины А1,2, j1,2 в (1) в общем случае являются нек-рыми ф-циями координат и времени, вид к-рых определяется конкретной структурой интерферирующих воли (напр., они зависят от расстоянии до соответствующих источников и их фаз). В результате в тех точках, где Dj=m.2p, где m=0, b1, b2, . . ., А=А1+А2, а интенсивность А2 принимает макс, значение, превышающее сумму интенсивностей налагаемых волн. В точках же, где Dj=(m+1/2)2p, имеет место интерференц. минимум: А=|А1- A2|. В частном случае А1=А2 в этих точках суммарная амплитуда равна нулю, иными словами, интерферирующие волны полностью "гасят" друг друга. В трёхмерном пространстве геом. места точек максимумов и минимумов, соответствующих определ. "порядкам" m, представляют собой нек-рые поверхности, пересечение к-рых с произвольной плоскостью наблюдения (экрана) даёт т. н. интерференц. полосы. Напр., в случае двух плоских волн с фазами j1=-k1r+j01, j2=-k2r+j02 (где k1,2 - волновые векторы, j01, j02 - нач. фазы, определяемые фазами колебаний источников, k1=k2=2p/l) имеем: Dj=-Dkr+j02-j01. где Dk=k2-k1 и поверхности максимумов и минимумов будут представлять собой плоскости, перпендикулярные вектору Dk; при этом расстояние между соседними максимумами равно l[2sin(a/2)]-1, где l - длина волны, a=|Dk|/k - угол между векторами k1 и k2. Предельный случай a=p и А1=А2 соответствует стоячей волне, он может быть реализован, напр., при полном отражении бегущей плоской волны от нек-рой плоскости, перпендикулярной направлению её распространения.
Рис. 1. Интерференция волн от двух точечных источников. Др. характерный пример - интерференция двух сферич. волн, исходящих из соответствующих центров S1 и S2 (рис. 1), разнесённых на нек-рое расстояние d=S1S2. В этом случае Dj=-kD+j02-j01 (где D=r2-r1 - разность хода, r1,2 - расстояния от источников до точки наблюдения) и максимумы так же, как и минимумы между ними, располагаются на гиперболоидах вращения вокруг оси S1S2, а в плоскости, параллельной этой оси, интерференц. полосы имеют вид гипербол. Общее число максимумов здесь определяется из условия |m|[d/l,. Аналогичным образом можно рассмотреть и др. случаи-интерференцию цилиндрич. волн, интерференцию от неск. источников (рис. 2 и 3) и др. С точки зрения энергетич. соотношений образование интерференц. максимумов и минимумов означает перераспределение потока энергии в пространстве - если, напр., отд. источники изотропны (равномерно излучают во все стороны), то неск. таких источников дают уже более сложную "изрезанную" диаграмму направленности А2=А21+А22+2А1А2соsDj, (1) Особым является случай малого расстояния между источниками (d[l/2); здесь при заданных значениях "парциальных" амплитуд волн A1,2 в зависимости от разности j02-j01 изменяется и суммарная мощность излучения, иными словами, источники волн непосредственно влияют друг на друга. В реальной ситуации при
Рис. 2. Вид интерференционных полос в случае двух сферических волн. этом сами амплитуды Al,2 зависят от способа возбуждения источников, напр, для двух близко расположенных электрич. диполей значения амплитуд излучаемых волн и полной мощности излучения оказываются различными в зависимости от того, что считать заданным - токи или напряжения. В случае векторных волн выражение (1) остаётся в силе, если в интерференц. члене под А1А2 понимать
Рис. 3. Интерференционные полосы в случае сферической и плоской волн. скалярное произведение соответствующих векторов. Для существования интерференц. эффекта здесь необходимо, чтобы векторы А1,2 (напр., напряжённости электрич. поля в эл--магн. волне) не были ортогональны друг к другу. Поверхности максимумов и минимумов (и соответствующие им интерференц. полосы на экране) неподвижны, если разность фаз Dj и, строго говоря, также амплитуды A1,2 в (1) неизменны во времени. В случае независимых источников, напр., небольшая расстройка между их частотами Dw=w2-w1 эквивалентна монотонному уходу разности фаз: Dj=Dwt, при этом координаты максимумов и минимумов будут перемещаться в пространстве, а в заданной точке амплитуда будет испытывать биения с разностной частотой Dw: от А1+А2 до |А1- A2|. Такие же биения, но нерегулярные во времени, возникают из-за фазовых нестабильностей источников, если случайные уходы разности фаз порядка или больше p. Возможность наблюдения интерференц. максимумов и минимумов при этом зависит от степени инерционности регистрирующей аппаратуры - любой прибор, строго говоря, проводит усреднения по нек-рому времени t0. Если t0 мало по сравнению с характерным периодом биений результирующего поля ("времени когерентности" t, к-рое порядка обратной ширины спектра волны), то обусловленные интерференц. членом в (1) максимумы и минимумы будут зарегистрированы и в случае независимых источников. По мере роста отношения t0/t, вследствие случайных изменений cosDj(t), происходит постепенное сглаживание ("размывание") интерференц. максимумов и минимумов, а при t0дt И. в. не наблюдается - измеряемая интенсивность А2 результирующего поля будет равна сумме ннтенсивностей составляющих волн. В случае типичных генераторов радиоволн, напр., легко достигается не только условие t0Ъt, но и более сильное неравенство t0Ъ2p/w, поэтому наблюдение И. в. от независимых источников не представляет трудностей. В оптике же для "естеств." источников квазимонохроматич. света (даже отд. спектральных линий теплового излучения газов) ситуация существенно иная - здесь при нормальных условиях значение t~10-9-10-10 с, тогда как для человеческого глаза t0~10-1 с, для скоростных фотокинокамер t0/10-7 с. Поэтому долгое время интерференцию в оптике удавалось наблюдать лишь в случае когерентных волн (см. Когерентность ),получаемых путём разделения излучения от к--л. одного источника. При этом для небольших разностей хода между интерферирующими лучами случайные уходы фаз j1(t) и j2(t) оказываются одинаковыми и разность фаз Dj от времени почти не зависит (о конкретных схемах разделения см. Интерференция света ).Благодаря появлению источников высококогерентного света - лазеров стало возможным наблюдать интерференцию от независимых источников и в оптич. диапазоне, поскольку время их когерентности может достигать 10-2 с и более, а также в результате разработки малоинерц. фотоэлектронных устройств с t0[10-9с. Принцип суперпозиции перестаёт выполняться при распространении волн достаточно большой интенсивности в нелинейных средах; при этом имеют место качественные особенности (см. Волны, Нелинейная оптика, Нелинейная, акустика). Явление И. в. находит разнообразное применение. Для её осуществления разработаны разл. схемы интерферометров (как двух-, так и многолучевых). Тот факт, что расположение интерференц. полос зависит от длины волны и разности хода лучей, позволяет по виду интерференц. картины (или их смещению) проводить точные измерения расстояний при известной длине волны или, наоборот, определять спектр интерферирующих волн. Кроме того, по интерференц. картине можно выявлять и измерять неоднородности среды (в т. ч. фазовые), в к-рой распространяются волны в одном из плеч интерферометра, или отклонения формы поверхности от заданной. Явление И. в., рассеянных от нек-рого объекта (или прошедших через него), с "опорной" волной лежит в основе голографии (в т. ч. оптич., акустич. или СВЧ-голографии). И. в. от отд. "элементарных" излучателей используется при создании сложных излучающих систем (антенн)для эл--магн. и акустич. волн.
Дифференциальное уравнение электромагнитной волны
Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование электромагнитных воли. Можно показать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа (154.9):
(162.1)
(162.2)
где — оператор Лапласа, v — фазовая скорость.
Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных воли определяется выражением
(162.3)
где с = , и — соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.
В вакууме (при e=1 и m=l) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как em > 1, то скорость распространения электромагнитных воли в веществе всегда меньше, чем в вакууме.
При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (162.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость e и m от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (162.3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.
Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной векторуv скорости распространения волны, причем векторы Е, Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 227), причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением
(162.4)
Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д. От уравнений (162.1) и (162.2) можно перейти к уравнениям
(162.5)
(162.6)
где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей y и z.
Уравнениям (162.5) и (162.6) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями
(162.7)
(162.8)
где E0 и Н0 — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны, w — круговая частота волны, k=w/v — волновое число, j — начальные фазы колебаний в точках с координатой х=0. В уравнениях (162.7) и (162.8) j одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковых фазах.
1. Плотность энергии электромагнитного поля.
Электромагнитные волны могут производить различные действия: нагревание тел при поглощении света, вырывание электронов с поверхности металла под действием света (фотоэффект). Это свидетельствует о том, что электромагнитные волны переносят энергию. Эта энергия заключена в распространяющихся в пространстве электрическом и магнитном полях.
Плотность энергии электрического поля равна
а магнитного поля где и – электрическая и магнитная постоянные. Таким образом, полная плотность энергии электромагнитной волны равна
.
Так как модули вектора напряженности электрического и индукции магнитного поля в электромагнитной волне связаны соотношением , то полную энергию можно выразить только через напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля:
.
2. Вектор Пойнтинга.
ПОЙНТИНГА ВЕКТОР, вектор плотности потока эл.-магн. энергии. Назван по имени англ. физика Дж. Г. Пойнтинга (J. H. Poynting). Модуль П. в. равен энергии, переносимой за ед. времени через ед. площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения эл.-магн. энергии (т. е. к направлению П. в.). В абс. (Гаусса) системе единиц П. в. П=(c/4p)[ЕН], где [EH] -—векторное произведение напряжённостей электрич. Е и магн. Н полей, с — скорость света в вакууме; в СИ П=[EH]. Поток П. в. через замкнутую поверхность, ограничивающую систему заряж. ч-ц, даёт величину энергии, теряемой системой за ед. времени вследствие излучения эл.-магн. волн (см. Максвелла уравнения). Плотность импульса эл.-магн. поля g выражается через П. в.:
g=(1/c2)П.