Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВОПРОС НОМЕР 29
Понятие функции/ Основные св-ва и классификация
Функция – математическое понятие, отражающее связь между элементами различных множеств – это «закон», по которому каждому элементу одного множества X ставится в соответствие некоторый элемент другого множества Y (отображается X в Y )
Множество X называется областью определения функции у = f(х), а множество Y – областью значений функции .
При этом переменная х называется аргументом функции или независимой переменной, а элемент у, соответствующий конкретному элементу х – значением функции у = f(х) в точке х.
Основные свойства функций
1. Функция у = f (х) называется четной, если для любых значе-ний х из области определения функции f (-х) = f (х), и нечетной, если f (-х) = -f (х).
В противном случае у = f (х) – функция общего вида.
2. Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке X, если
Возрастающие или убывающие функции называются строго монотонными.
3. Функция f (х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое число M > 0, что | f (х)| ≤ M, для всех х X. В противном случае функция называется неограниченной.
4. Функция у = f (х) называется периодической с периодом Т ≠ 0, если f (х + Т) = f (х) для любых х X.
ВОПРОС НОМЕР 30
Предел функции/ Основные теоремы о пределах
Определение (предел функции по Гейне).
Число A называется пределом функции f (х) в точке х0, если для любой последовательности точек , сходящейся к х0, но не содержащей х0 в качестве одного из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности х0), последовательность значений функ-ции сходится к A:
Число A называется левым (правым) пределом функции f (х) в точке х0, если для любого наперед взятого числа ε > 0 найдется отвечающее ему число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех х ≠ х0 и удов-летворяющих условию х0 - δ < х < х0 ( х0 < х < х0 + δ ), выполняется неравенство | f(x) – A | < ε:
Основные теоремы о пределах
1. Если предел существует, то он единственный.
2. Функция, имеющая предел в точке, ограничена в некоторой окрестности этой точки.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ВОПРОС НОМЕР 31
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
. Если f (x) непрерывна точке х0, то > 0 такой, что f (x) ограни-чена в О( х0, ) этой точки.
2. Если f (x) непрерывна точке х0, то > 0 такой, что х О( х0, ) этой точки f (x) имеет тот же знак, что и f (x0).
3. Если f (x) и g (x) непрерывны точке х0, то в ней непрерывны
f (x) ± g (x), f (x) · g (x), а также f (x) / g (x), если g (x) ≠ 0.
4. Пусть функция y = f (u) непрерывна в некоторой точке u0, а функция u = g (x) – в точке х0, причем u0 = g (x0). Тогда сложная функция y = f (g (x)) будет непрерывна в точке х0.
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке x0 и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 слева (справа), если:
1) определена в точке x0 (существует f(x0));
2) имеет конечный предел при х → х0 – 0 ( х → х0 + 0);
3) этот предел равен значению функции в точке х0:
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то:
1. Она ограничена на нем (1-я теорема Вейерштрасса)
2. Она принимает на нем свои наибольшее и наименьшее
значения (2-я теорема Вейерштрасса)
3. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, то она равна нулю в некоторой точке интервала (a, b) (1-я теорема Больцано-Коши)
4. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на нем любое значение между своими наибольшим и наимень-шим значениями (2-я теорема Больцано-Коши)