Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Санкт-Петербургский парадокс
Санкт-Петербургский парадокс — парадокс, иллюстрирующий расхождение математического ожидания выигрыша с его «здравой» оценкой людьми.
Формулировка парадокса
Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит некоторую сумму, а затем подбрасывает монету (вероятность каждого исхода — 50 %), пока не выпадет орёл. При выпадении орла игра заканчивается, а игрок получает выигрыш, рассчитанный по следующим правилам. Если орёл выпал при первом броске, игрок получает 20, при втором броске — 21 и так далее: при n-ном броске — 2n-1. Другими словами, выигрыш возрастает от броска к броску вдвое, пробегая по степеням двойки — 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее.
Нужно определить, какой размер вступительного взноса делает такую игру справедливой, то есть найти математическое ожидание выигрыша игрока. Парадокс заключается в том, что вычисленное значение этого справедливого взноса равно бесконечности, то есть выше любого возможного выигрыша.
Разрешение через функцию полезности
Рассматривая выпуклую функцию предельной полезности (часто — логарифмическую), мы снова достигаем конечность её математического ожидания.
Так, если считать, что для игрока важно увеличение не на некоторое кол-во денег, а в некоторое кол-во раз, то он оценивает выигрыш с точки зрения логарифмической функции полезности: он хочет максимизировать , где X — выигрыш, а — вклад в игру. При этом в классической постановке парадокса мат. ожидание полезности становится конечным:
Откуда легко получить справедливую стоимость игры: х=4
Это решение можно усовершенствовать, рассматривая полезность выигрыша с точки зрения увеличения уже имеющегося капитала игрока w (миллиардеру прирост в $ 1000 не так желателен, как нищему), однако это лишь немного изменяет ответ.
История возникновения
Парадокс был впервые опубликован Даниилом Бернулли в «Комментариях Санкт-Петербургской Академии». Ранее ситуация была описана племянником Даниила, Николаем I Бернулли, в его переписке с французским математиком Пьером Монмором (Pierre Rémond de Montmort).
Иногда авторство парадокса приписывают Леонарду Эйлеру, а название связывают с тем, что Эйлер длительное время жил и работал в Петербурге.
Парадокс Алле
Парадокс Алле — термин, относящийся к теории рисков в сфере экономики и теории принятия решений. Назван по имени лауреата Нобелевской премии французского экономиста Мориса Алле (фр. Maurice Félix Charles Allais) и основан на его исследованиях.
Термин появился после выхода в свет статьи «Рациональное поведение человека перед лицом риска. Критика постулатов и аксиом американской школы».
Парадокс демонстрирует неприменимость теории максимизации ожидаемой полезности в реальных условиях риска и неопределённости. Автор корректно, с позиций математики, объясняет суть парадокса. Парадокс демонстрирует, что реальный агент, ведущий себя рационально, предпочитает не поведение получения максимальной ожидаемой полезности, а поведение достижения абсолютной надежности.
Эксперимент Алле
Сам Алле провёл психологический эксперимент, описанный ниже, и получил парадоксальные результаты.
Индивидам предлагают выбор по одному решению из двух пар рискованных решений.
В первом случае в ситуации A есть 100 % уверенность в получении выигрыша в 1 млн франков, а в ситуации B имеется 10 % вероятность выигрыша в 5 млн франков, 89 % — в 1 млн франков и 1 % — не выиграть ничего.
Во втором случае тем же индивидам предлагается сделать выбор между ситуацией C и D. В ситуации C имеется 10 % вероятности выигрыша в 5 млн франков и 90 % не выиграть ничего, а в ситуации D 11 % составляет вероятность выигрыша в 1 млн франков и 89 % — не выиграть ничего.
Алле установил, что значительное большинство индивидов в этих условиях предпочтет выбор ситуации A в первой паре и ситуации C во второй. Этот результат воспринимался как парадоксальный. В рамках существовавшей гипотезы индивид, отдавший предпочтение выбору А в первой паре, должен выбрать ситуацию Д во второй паре, а остановивший выбор на В должен во второй паре отдать предпочтение выбору С. Алле математически точно объяснил этот парадокс. Его основной вывод гласил, что рационально действующий агент предпочитает абсолютную надежность.
Два выбора
Парадокс можно сформулировать в виде выбора между двумя вариантами, в каждом из которых с некоторой вероятностью достаётся та или иная сумма денег:
Здесь X — неизвестная выбирающему сумма.
Какой выбор будет более разумным? Результат останется прежним, если «неизвестная сумма» X — это 100 миллионов? Если это «ничего»?
Математическое ожидание в первом варианте равно , а во втором: , поэтому математически второй вариант B выгоднее независимо от значения X. Но люди боятся нулевого исхода в варианте B и поэтому чаще выбирают A. Однако если х=0, то психологический барьер устраняется, и большинство уходит от варианта A.