Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
Лекция 2 |
По определению создателя теории Г. Кантора: множества — соб рание определённых и различимых между собой объектов нашей интуи ции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты — элементы множества.
Обозначение A = { a1 , a2 , ... , an } или A = { 5 , 0 , 1 , 2 , 3 , 1 }.
Принадлежность элемента ai множеству A обозначается aiA и наоборот aiA.
Множества бывает конечные (если конечное число элементов) и бесконечные. Множество A = { a1 } — одноэлементное, A = — пус тое.
Число элементов множества — мощность множества.
A = { 2 , 3 , 1 , 5 } , |A| = 4.
2 способа задания множеств:
Перечислением элементов.
A = { a1 , a2 , a3 , a4 }.
Описанием.
Множество A задано, если указано некоторое свойство , кото рым обладают все элементы A.
A = { b B | (b) }.
A состоит из тех и только тех элементов b B, которые обладают свойством .
A = { b B | b делится на 2 }
означает множество чётных чисел.
A = B, если они состоят из одних и тех же элементов.
A = { 1 , 2 , 3 } = B = { 3 , 1 , 2 }.
A B, если в A есть элементы B или в B есть элементы A.
Свойства равенства:
рефлексивность — A = A
симметричность — если A = B, то B = A
транзитивность — если A = B и B = C, то A = C
B есть подмножество множества A, если bi B, также принадле жит A. («любой», каков бы ни был, «для всех», «для любого»), при этом B A.
B A (строгое включение),
если возможно что A = B, то
B A.
(символ следствия (импликации)) означает «влечёт за собой».
(квантор) означает «существует».
эквивалентность
X Y X Y & X Y
Свойства:
рефлексивность — X X
транзитивность — X Y, Y Z X Z
A [ A ].
1. Объединение множеств.
A B = { C | C A и (или) C B },
т.е. A B состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A, B.
Соответственно
Свойства.
A B = B A — коммутативность
(A B) C = A (B C) = A B C — ассоциативность
A = A.
1. Пересечение множеств.
A B = { x | x A & x B }
A B = — непересекающиеся множества
Свойства.
A B = B A — коммутативный
(A B) C = A (B C) = A B C — ассоциативный
A = .
Данная операция только для 2х множеств.
A \ B = { x | x A & x B }.
I — универсальное, если X I
Дополнение
.
,
.
A = { a1 , a2 , ... , an }.
Ai A [ Ai A ].
Ai , Aj A [ Ai Aj Ai Aj = ].
.
A, B, C I справедливы тождества.
A (B C) = (A B) C 1 A (B C) = (A B) C — ассоциативный
A B = B A 2 A B = B A — коммутативный
A (B C) = (A B) (A C) 3 A (B C) = (A B) (A C) — дистрибутивный
A = A 4 A I = A
A = I 5 A =
Для произвольных A и B
Если A [A B = A, то B = ] 6 A [A B = A, B = I]
Если A B = I & A B = B =
= A
=
A A = A 10 A A = A
A I = I 11 A =
A (A B) = A 12 A (A B) = A — поглощения
13 — де Моргана
Доказательство 13.
Пусть x , тогда x A B, а это значит, что x A & x B x & x x
Это когда каждый элемент множества занимает определённое мес то.
Обозначение кортежа a = (a1, a2, …, an), длина кортежа число ком понент в нём. Если кортеж содержит компоненты, которые являются вещественными числами — вектор.
X Y — множество, состоящее из тех упорядоченных пар (корте жей), первая компонента которых X, а вторая — Y.
X Y = { (x,y) | x X & y Y }
X1 X2 … Xn = { (x1, x2, …, xn) | x1 X1, x2 X2, …, xn Xn }
= (X, Y, Q)
X — множество, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества Y.
Y — множество, с элементами которого сопоставляются элементы X.
Q X Y — определяющее закон соответствия множеств X и Y.
= (X, Y, Q) X = {a, b, c} Y = {1, 2, 3}
Q = {(a,2), (b,3), (c,2), (b,1)}