Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
вопрос1Основные этапы развития математики.
Выделяют 5 этапов.
Развив. Понятие величины. Возник 1 кризис матем. – греки установили, что не все величины можно выразить рац. числом – появление несоизмеримых иеличин. Выход из кризиса – создание геометрич. Алгебры (отрезок более богатое понятие чем число)
Всплеск развития математики -3в до н.э. => “Начала” Евклида. Развив. Теория конических сечений Апполонием. Создается прообраз действит. числа Евдоксом. Метод исчерпывания для вычисления S криволин. Фигур и V-ов тел. Появл. Интерес к понятию бесконечность.
Геометричность алгебры явилась препятствием для развития теории решения уравнений. Кв. Ур. решались геометрически, а более высок степени не подлежали геом. Интерпритации. Созд. Буквенная символика.
Леонардо Пизанский, Лука Пачоли, Ал Хорезми, Омар Хаям, Ал Бернулли, Ал Коши, Кордано, Тарталья. Разв. Алгебра. Созд. Теория решения уравнений. Метем. Подраздел. На ветви: алгебра, геометрия, тригонометрия, арифметика. Усложняется понятие числа.
Меняется взгляд на понятие аксиомы. Аксиома – гипотеза которую можно принять или опровергнуть не приходя к противоречию. Непротиворечивость проверяется с помощью моделей. Появляется теория группы, которая становится основой современной алгебры. Созд. Неевклидова геометрия (Лобачевский, Риман),т.к. отказ от аксиомы параллельности Евклида. Создается проективная геометрия, многомерная, топология.
Мат-ан: строится на современном понятии действит. числа., созданного Додекиндом, Вейерштрассом, Кантором и на основе теории предела. Непротиворечивость через непротиворечивость арифметики. Созд. теория вероятности., алгебра и аналит. теория чисел. Теория множеств и матем. логика.
вопрос2. Характеристика 1 этапа развития математики (Др. Египет и Др. Вавилон).
1 этап (глуб. древность – 6в до н.э.) Возникает понятие числа. Создается система записи чисел, т.е. возникает устная и косвенная нумерация. Число рассматривается как количественное и как порядковое. Появл. геометрич объекты: отрезок, линия, плоскостные фигуры, пространственные тела. Решаются простейшие уравнения. Устанавливается связь между числами и величинами. Используется метод аналогий и метод рецептов (нет логических доказательсьтв)
Др. Египет. (в долине реки Нил) Нервые письменные свидетельства: папирус Райнда и Московский. Система счисления десятиричная непозиционная. Запись чисел иероглифическая, аддитивная # | - единица , ножки – сложение или вычитание. Египтяне могли выполнять действия сложения – приписывание иероглифов и переход в разряд, вычитания – из большего-меньшее, умножения – принцип удвоения. Действие деления обратно умножению. С помощью принципа удвоения решались задачи на геометрическую прогрессию. Находили сумму членов геометрич прогрессии. У египтян – аликвотные дроби – дроби с числителем 1 и созданы таблицы для представления дробей вида , где n-нечетное от 5 – 331 на сумму аликвотных дробей. Для дроби особое обозначение . Были сзданы правила сложения дробей: и т.д. – без объяснения. Решались уравнения. Неизвестные обозначались иероглифами “хау” и “аха”, поэтому решение уравнений называлось хауисчислением. Иероглиф, который обозначал неизвестное назывался кучей. # Куча и его 4-ая часть = 15. Найти кучу. Решение простейших уравнение происходило методом ложного положения. Было известно свойство пропорции: . Египтяне умели некоторые числа возводить в квадрат при нахождении S квадрата. Умели извлекать квадратный корень при нахождении стороны по площади квадрата. Умели возводить в куб при нахождении V куба. Но никаких теоретических правил, положений нет. Выдел. все основные геометрич. фигуры: треугольники, прямоугольники, трапеции. Их площади по правильным формулам. А площадь 4-хугольника находили приближенно . Площадь круга , отсюда . Рассматривались элементы подобия. Есть задачи, в которых использовалось правило Пифагора. Треугольник со сторонами 3,4,5 – прямоугольный. Но вершиной египетской математики стало правило вычисления V усеч. пирамиды с квадратными основаниями.
Др. Вавилон. Об истории Др. Вавилона мы знаем из глиняных табличек (их около 500 тыс.) Писали заостренными палочками – клиновидное письмо. Система счисления сложная: 10но-60-ричная с элементами позиционной записи. Целая часть от дробной отделялась “;” разряды отделялись “,”. Постепенно появился знак пропуска разряда. Промежуточных вычислений в табличках нет, т.е. вычисления производились на счетной доске. В вавилонской таблице умножения нужно было знать 59*59=1770 правил. Таблицы – особенность вавилонской математики (табл. умножения, возведения в квадрат, куб, табл. троек пифагоровых чисел, табл. обратных величин) Деление сводилось к умножению на обратную величину. Понятие неправильных чисел(нет деления нацело.) Появляются приближенные вычисления для таких чисел – даются оценки сверху и снизу. Правила для вычисления сумм арифметич. и
геометрич. прогрессий. Таблицы для расчетов движения солнца. Найдены созвездия.
Алгебраические методы решения уравнений (проалгебра). Для первой степени : 1)метод исключения неизвестной; 2) метод введения вспомогательной неизвестной; 3) метод ложного положения.
Среди квадратных уравнений выделяются канонические , , , где a,b,c – положительные числа. И решение рассматривалось с полодит. корнями. Возможно были известны формулы сокращенного умножения. Появляются такие матем. понятия как множимое, множитель, коэффициент. Делались тождественные преобразования. Появились уравнения до 8 степени включительно. Приближенные вычисления из числа близкого к квадратному: - дополнение до полного квадрата.
В геометрии те же фигуры, что и в Египте. . Затем . , с-длина окр. Рассматривались правильные многоугольники, теорема Пифагора применялась для решения геометрических задач. Пользовались подобием треугольников.
Вопрос №3 Второй этап развития математики. Древняя Греция
Древняя Греция(5-4 в. до н.э.). Создан дедуктивный метод построения математики. Нет разделения на отдельные ветви. Определяется понятие величины. Создается теория отношений, развивается теория рационального числа. Нет 0 и отрицательных чисел. Нет иррациональных чисел и буквенных отношений. Развивается понятие величины. Первый кризис математики – появление рациональных величин. Выход – создание геометрической алгебры.
«Начала Евклида». Теория конических сечений Апполония. Прообраз иррационального и действительного числа у Евдокса. Метод исчерпывания. Появляется интерес к понятию бесконечность (беск. больших и беск. малях). Разные взгляды на структуру беск.: актуальная и потенциальная. Атомистическое представление (деление отрезка только до атомов), которое затем отвергли это, помогло вывести объем пирамиды и конуса (Демокрит). В связи с открытием несоизмеримых величин, отрезок более богатое понятие, чем натуральное число. Греки стали переводить алгебру на геом. язык (возникают задачи на построение циркулем и линейкой). Геометричность алгебры стала препятствием для развития теоретических решений уравнений. Создается буквенная символика Диофанта. Древняя Греция (на берегах Эгейского моря). Писали на глиняных табличках. Сущ. разные виды письма, в т.ч. иероглиф. Алфавит заимствован у соседних госуд. (…). Числа: …Непозиционная 10 с/с, возм. заимств. в Египте. Система мир – Вавилон. С 8 – 6 в. до н. э. бурное развитие греч. общества. Устанавливается демократическое общество. Античная демократия была ограничена, но дала большие плоды. Создается академия Платона, лицей Аристотеля. Особенность греч. общества – борьба, соперничество, мирная форма – олимпийские игры. Развивается философия и математика. К 6 в. до н.э. матем. преобразовалась в абстр. дедукт. науку. Ее основа – логич. док-во. Нет письм. матем. источников. «Начала» Евклида не сохран., а известны благодаря переводчикам. Аристотель создает формальную логику, на базе которой впоследствии строились все док-ва. А-ль считал, что число не может объяснить всего, что есть в природе. Создаются натурфилософ. школы, объясняющие сущ-е мира. 2 школы: ионийская и пифогорийская.1) Фалес, Анаксимен, Анаксимандр. Фалес (возм.) впервые предсказал солнечное затмение (585 г. до н.э.). Анаксимандр создал первые солнечн. часы и первую географ. карту. Считается, что Фалес доказал утверждение: 1) диаметр делит круг пополам; 2) углы при осн-ии равноб. треуг. =; 3) второй признак рав-ва треуг.. Использовал подобие треуг. и 3) для определения расст-я до недоступн. предметов. 2) Пифагор. Он считал, что Земля-шар. Мат-ку разделил на логистику и арифметику. Доказал теорему Пифагора. Обобщение ее лежит в основе совр. понятия метрич. пространства. Числа разделены на четн. и нечетн.; простые и составные; соверш. и несоверш.; дружественые. Отсюда зародилосьэлементы мерич. чисел. Занимались теорией музыки. Числа изображались на земле в виде фигур, след-но появл. фигурные числа: треугольные, квадратные. 1- основа всех остальных чисел, неделима. Выделили 9 планет и 10- Противоземлие. Любое число как множество единиц. Появились нерешаемые задачи: трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга. Была построена трансцендентная кривая – квадратриса. Евдокс (4 в. до н. э.) Первый звездный каталог. Аксиоматически ввел понятие величины, построил общую теорию отн-ий, построил метод исчерпания, заложил основу теории бескю малых величин. Он обьединил различные понятия величины: дискр.(числа) и непрер(отрезок) с помощью общего понятия величины и своей теории отношений. Аксимы:1) равные одному и тому же равны между собой.2),3)если к равным добавить (отнять) равные, то и целые б/=.4) совмещающиеся друг с другом =.5) целое >
части. Еще одна аксиома Евдокса-Архимеда: говорят, что величины имеют отн-я между собой, если они взятые кратно могут превзойти друг друга (числа, с которыми это сделать нельзя назыв. роговидные, клювовидные). Строится теория отн-ий. Евклид (3 в. до н.э.) «Начала»(15 книг). Причина написания – описать теорию построения прав. многогран-в или космич. тел. 1-6 кн- геометрия на плоскости (5 постулатов и 5 аксиом). 7-10-учение о числе (теория Евдокса). 11-13-геометрия в пр-ве (стереометрия). Архимед(287 г до н. э.). Аксиомат. теория о центре тяжести. Теория прибл. выч-ния, использовал апп-т нер-в:. Статика как наука. Применял метод касат к кривым с пом. построения беск. малого характ. треуг., задачи на экстремумы, разработал прообраз интегр. исчисления. Применял свою теорию для выч-ния одного витка спирали Архимеда, ф-ла выч- ния V параболоида. «Псаммит»-исчисление песка, как назыв. большие числа. Апполоний(170 г до н.э.) Произв-е: конические сечения: гипербола, парабола, эллипс. Задача о прил-е S. Птолемей(2 в. н.э.). «Альмагест»-описывает геоцентр. сист. мира. Диафант: книги «Арифметика», «Книга о фигурных числах»- теоремы теории чисел. Символика для степеней чисел. Понятие неотр. как недостачу. 189 задач с решением неопр. ур-ний(x^2+y^2=z^2). Мат Др. Гр. оказала влияние на разв. мат в Индии, Азии, др. странах.
вопрос4 Третий этап развития математике. Страны арабского востока. (5-16 в н.э.)
Развивается алгебра. Создаются теории решения уравнений. Математика подразделяется на ветви: алгебра, геометрия, тригонометрия, арифметика. Уточняется понятие числа. Арабский восток: средняя Азия, часть Закавказья, часть Индии.
В 9 веке сложилась арабская наука. Арабская математика характеризуется практической направленностью.
Аль Хорезми:
Ал Беруни (примерно 150 работ). «Хронология» - в ней описывается различные календарные системы разных народов: греков, римлян, персов и др., иностранных народов, их культуру, религиозные праздники. Написан учебник для мусульманских школ, в нем 511 вопросов и ответов, из них 119 по математике. Выделяет геометрию как ветвь математики. Геометрия – это наука о размерах и количественных отношениях их друг к другу, это познание особенностей их фигур и форм, имеющихся в теле. Нашел формулы для вычисления sin двойного угла, доказал теорему sin для треугольника. Вычислил радиус земного шара.
Омар Хайям. Его произведения: «Книги о решении кубических уравнений» , рассказывает 14 канонических типов кубических уравнений используя теорию конических сечений Аполлония. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения этих кривых. Он не просто решал уравнения, а затем анализировал существование 1,2 положительных корней уравнения. Определяет возможное число положительных корней и границы для них. Определяет новую ветвь математики – алгебру. Предметом алгебры объявляет неизвестное число или неизвестную величину, отнесенную к другим известным числам или величинам. Отнесение происходит в форме уравнений, т.е. алгебра – наука, которая изучает множества с аксиоматически введенными на них алгебраическими операциями, т.е. алгебра изучает алгебраические структуры (группы, кольца, поля). В самостоятельную ветвь выделяется тригонометрия.
Ал Караджи. Составил арифметические и геометрические прогрессии. И показать, что действия в геометрической прогрессии можно свести к действию в арифметической прогрессии. Рассматривал бесконечные ряды типа . Рассматривая их можно свести к рассмотрению коэффициентов .
Ал Коши. Развил теорию решения уравнения 4 степени, сформулировал в частном случае теорему Ферма, не разрешимо в целых числах. Путем вписывания многоугольника в круг с числом сторон 3*228 он получил приближение числа с 17 десятичными знаками после запятой, неверно только последняя цифра. Получены результаты вычисления определенного интеграла от до .