У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

ТЕМА 10 Ряды Числовые ряды

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 21.2.2025

Контрольная работа № 10

Ряды
ТЕМА 10. Ряды.

  1.  Числовые ряды.
  2.  Функциональные ряды.
  3.  Степенные ряды.
  4.  Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.
  5.  Ряды Фурье.

 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.
  2.  Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.
  3.  Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.
  4.  Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.
  5.  Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.
  6.  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы  математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
  7.  Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.

Решение типового варианта контрольной работы.

Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Решение.

  1.  В данном случае  

Вычислим

Следовательно, ряд расходится.

  1.  Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.

Для рассматриваемого ряда

;

Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

  1.  Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда

Вычислим

В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.

  1.  Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь   

Вычислим

Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.

  1.  Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его

Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.

  1.  Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Полученный ряд эквивалентен исходному, так как

Таким образом, исходный ряд и ряд  сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд   сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.

  1.  Так как , то

.

Ряд  расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.

  1.  Оценим общий член ряда:

.

Ряд

Ряд  сходится , следовательно, эквивалентный ряд  также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.

Пример2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:

Ряд сходится, если

или ;

или ,

.

Ряд расходится, если .

Неопределенный случай:  т.е.  или ,

Пусть :   сходится.

Ряд  сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.

Пусть : .

Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

Получили, что   область сходимости ряда.

Пример 3. Вычислить с точностью  интеграл .

Решение. Запишем разложение функции  в ряд Маклорена:

+...

Вычислим интеграл

.

Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .

Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Решение.

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля  значения . По условию задачи  Выразим из уравнения :

Найдем , продифференцировав обе части равенства  по :

Окончательно получим:

.

Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье

  1.   в интервале (-2, 2):
  2.   по синусам на интервале .

Решение.

Разложение периодической (период ) функции имеет вид:

а) В нашем примере l=2.

где  

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

;

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

Аналогично предыдущему

и окончательно получим:

Подставляя полученные значения  в разложение , получим:

б) Продолжим функцию на отрезок  нечетным образом (рис. 1).

Рис. 1

Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. .

Найдем коэффициенты , используя формулу:

Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:

.

Таким образом, .


Контрольная работа №10.

Вариант 1.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 2.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

.

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 3.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 4.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 5.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 6.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале.


Контрольная работа №10.

Вариант 7.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале.


Контрольная работа №10.

Вариант 8.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

.

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 9.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

.

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале.


Контрольная работа №10.

Вариант 10.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 11.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале.


Контрольная работа №10.

Вариант 12.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 13.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье по синусам в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 14.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье по синусам в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 15.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье по косинусам в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 16.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье по синусам в интервале.


Контрольная работа №10.

Вариант 17.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье по косинусам в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 18.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье по косинусам в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 19.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье по синусам в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 20.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье по косинусам в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 21.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 22.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 23.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 24.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 25.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 26.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 27.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить  функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 28.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить  функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 29.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


Контрольная работа №10.

Вариант 30.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Задание 5. Разложить функцию  в ряд Фурье в интервале .


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  




1. Тема- Заключение трудового договора Вопросы- Понятие гарантии при заключении трудового договора
2. Метафора. Телефоны 4956260888 4959916028
3. Да или нет Если вы согласны с утверждением напишите Да если не согласны ~ Нет1
4. Происхождение этрусков.html
5. реферат Выполнила учитель МБОУ Полевской лицей Курского района Курской обла
6. а Перечислите основные факторы производства труд капитал земля способность к предпринимательству
7. а юридические и др
8. спорт. Его принципиальное отличие от других видов занятий физическими упражнениямиСлово спорт пришло в
9. Тема- Общая внешняя политика и политика безопасности ЕС Дисциплина- Обеспечение качества образования и
10. Введение Раздел первый

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе