т; Сост ГБ Сойфер Пермь 2005

Работа добавлена на сайт samzan.net:

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Пермский государственный университет

Кафедра общей физики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ.

МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Методическое руководство к фронтальной лабораторной работе №1

Пермь 2005

Составитель: проф. Г.Б. Сойфер

Определение плотности твердого тела цилиндрической формы. Методика обработки результатов измерений: Метод, руководство к фронтальной лабораторной работе № 1 / Перм. ун-т; Сост. Г.Б. Сойфер, - Пермь, 2005. - 14 с.

Методическое руководство рекомендовано для использования в лабораторном практикуме по общей физике для студентов первого курса университета всех естественнонаучных специальностей.

Печатается по решению методический комиссии физического факультета Пермского университета

Наука начинается с тех пор,

как начинают измерять.

Д.И. Менделеев

Цель работы - на основе измерения массы цилиндрического твердого тела и его объема определить плотность материала этого цилиндра, в процессе чего освоить методику обработки результатов проведенных измерений.

Принадлежности - прямой круговой цилиндр из твердого материала, технические весы, штангенциркуль и микрометр.

Введение

Настоящая лабораторная работа носит в основном методический характер, связанный с овладением навыками простейших физических измерений и процедурой статистической обработки полученных данных. В ходе выполнения лабораторного задания осваиваются правила ведения записей при измерениях, способ анализа их результатов с вычислением погрешностей, а также оформление конечных выводов работы в целом.

В содержание лабораторной работы по определению плотности сплошного твердого тела цилиндрической формы прежде всего входят измерения его параметров (массы, диаметра и высоты цилиндра), для чего выбираются соответствующие инструменты, обладающие по отношению к измеряемому объекту точностью не хуже 1%, достаточной для решения поставленной задачи. Масса и геометрические размеры цилиндрического тела устанавливаются из измерений, называемых прямыми, тогда как определение его плотности относится к косвенным измерениям, поскольку эта величина может быть найдена только с помощью вычислений как функция других величин, измеренных непосредственно.

Полученные в лабораторной работе экспериментальные данные обрабатываются с использованием методики Стьюдента, позволяющей при малом числе измерений определить для искомой величины доверительный интервал с соответствующей доверительной вероятностью. Данная методика и названные понятия относятся к математической обработке результатов измерений и их последующему представлению, что будет рассмотрено далее. Это рассмотрение связано с погрешностями измерения, которые следует предварительно квалифицировать на основе терминологии, принятой в специальной литературе (см. [1,2] и библиографические списки в них).

Погрешности измерений физических величин

Известно, что в основе науки и ее применений лежат измерения. В то же время опыт показывает, что ни одно измерение, как бы тщательно оно не проводилось, не может быть совершенно свободным от погрешностей, которые неизбежно содержатся в измеренных величинах. Под погрешностями понимают отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемых величин (в научной литературе наряду с термином «погрешность измерений» используются слова «ошибка измерений», что по отношению к измерительному процессу является равнозначным).

1. Типы погрешностей

При рассмотрении результатов измерений можно разделить погрешности по ряду признаков: по характеру и источникам возникновения, по значению и принадлежности к видам измерений, по способу количественного выражения. В классификации погрешностей по причинам, которыми они вызываются, выделяют три их основных типа - систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематическая погрешность. Эта погрешность одинакова во всех измерениях одной и той же величины, выполненных одним и тем же методом одними и теми же измерительными приборами. Такая погрешность называется методической, когда она возникает из-за несовершенства методов измерений, или же инструментальной, если она обусловлена погрешностями средств измерений. Источниками систематических погрешностей могут также быть неучтенные влияния внешних воздействий и личные ошибки оператора, вызванные его физическими особенностями. Исключение систематических погрешностей возможно путем их устранения или внесения соответствующих поправок, если выявлена причина возникновения этих погрешностей, однако они могут остаться и неизвестными. Эффективным способом обнаружения и оценки систематической погрешности является проведение измерений одной и той же величины принципиально разными методами.

Случайная погрешность. Величина этой погрешности, в отличие от систематической, различна при повторяющихся измерениях, проведенных одинаковым образом, поскольку определяется изменением условий измерений, возникающим в результате влияния случайных факторов, действие которых не поддается учету. Происхождение и размер названной погрешности могут быть вызваны как объективными, так и субъективными причинами. Ввиду случайного разброса данных, полученных в многократных измерениях одной и той же величины, такие погрешности нельзя исключить, но их можно оценить статистическими методами при достаточном числе повторных измерений (что и является одним из основных назначений настоящей лабораторной работы).

Грубая погрешность. Источником этой ошибки, называемой промахом, является присутствие неких внешних влияний, нередко обусловленных недостатком внимания со стороны экспериментатора, что может выражаться либо в грубом просчете при проведении измерений вплоть до использования неисправной аппаратуры, либо в неверной записи показаний прибора. Основной способ недопущения промахов - тщательное и внимательное выполнение работы. Если же промахи случаются, то при их обнаружении результаты соответствующих измерений должны быть отброшены.

2. Характеристики погрешностей

Как отмечалось во введении, измерения бывают прямые и косвенные, расчет погрешностей в которых имеет свою специфику. Поскольку и в тех и в других измерениях результат всегда содержит некоторую погрешность, искомая величина х не может быть найдена совершенно точно. Наиболее вероятное значение величины х устанавливается из ряда равноточных измерений как среднее арифметическое . Соответственно в задачу входит не только определение этой величины , но также и оценка для полученного результата погрешности Δх, выражающей отклонение от среднего значения , которую называют абсолютной погрешностью. При этом точность измерений характеризует не сама абсолютная погрешность, а ее отношение к измеряемой величине, т.е. , называемое относительной погрешностью.

В целом результат измерений с учетом погрешностей может быть представлен доверительным интервалом х =  ± Δх, в котором заключено истинное значение измеряемой величины х. Степень надежности того, что измеренная величина не будет отклоняться от истинного значения более чем на величину Δх, определяется доверительной вероятностью (в технике такую характеристику называют надежностью). Доверительная вероятность выражается числом Р, указывающим, с какой вероятностью истинное значение x находится в доверительном интервале  ± Δх. Понятно, что эта вероятность растет с расширением границ доверительного интервала.

При физических измерениях для определения доверительных границ погрешности результата измерений принимается доверительная вероятность Р = 0.95 (ГОСТ 8.207-76), т.е. полагается указывать такой доверительный интервал, в котором будет лежать 95% результатов всех однотипных измерений. Итак, при представлении любого измеренного значения следует привести доверительный интервал и доверительную вероятность, соответствующую этому интервалу.

3. Погрешности в прямых измерениях

При непосредственных измерениях для получения количественной оценки случайной погрешности, т.е. для нахождения величин, определяющих доверительный интервал, удобно представить исходные данные, полученные в измерениях, и их первичную обработку в виде табл. 1.

Таблица 1

№ п/п i	xi	- xi	( - xi)2
1	x1	– x1	( – x1)2
2	x2	– x2	( – x2)2
3	x3	– x3	( – x3)2
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
n	xn	– xn	( – xn)2
Сумма		-
Среднее		-	-

Среднее квадратичное отклонение результата измерений рассчитывается по формуле (2)

В этой таблице приведены результаты выполненных в одних и тех же условиях n прямых измерений (содержащих случайные погрешности) некоторой физической величины х с последующим вычислением среднего арифметического

как наиболее вероятного значения измеряемой величины. Далее найдены абсолютные погрешности отдельных измерений Δхi =   - xi , характеризующие отклонения xi, от , и их квадраты ( - xi)2, которые в отличие от значения Δхi образовывают набор только положительных чисел. Сумма последних используется для вычисления средней квадратичной погрешности σ отдельного измерения, называемой также средним квадратичным отклонением, или стандартным отклонением, или стандартной ошибкой:

 

(1)

Квадрат этой величины, σ2, называется дисперсией измерений (от латинского dispersus - «рассеяние») и является мерой отклонения измеряемой величины xi от среднего значения  , т.е. мерой рассеивания результатов измерений.

       Наряду со средней квадратичной погрешностью σ отдельного (индивидуального) измерения важным является вычисление средней квадратичной погрешности σm результата измерений, за который принимают среднее  из n измерений (отсюда другие названия погрешности σm: среднеквадратичное отклонение среднего, стандартное отклонение среднего, стандартная ошибка среднего). Эти два среднеквадратичных отклонения - отдельного измерения и результата n измерений (т.е. среднего значения) - связаны между собой:

(2)

Из выражения (2) видно, что стандартное отклонение среднего в  меньше стандартного отклонения отдельного измерения, откуда следует возможность понижения погрешности путем увеличения числа измерений. Однако лучше уменьшать погрешность σm, повышая точность измерений, т.е. снизив величину  посредством уменьшения абсолютных погрешностей отдельных измерений.

В то же время при небольшом числе измерений абсолютную случайную среднеквадратичную погрешность среднего ⧊x, представляющую собой полуширину доверительного интервала, следует оценивать на основе стандартного отклонения (2) по формуле Стьюдента (Student - псевдоним английского исследователя B.C. Госсета, что в переводе здесь означает «ученый»). Эта формула, соотносясь с выражением (2), имеет вид

(3)

где  - коэффициент Стьюдента, зависящий от величины доверительной вероятности Р и числа измерений п. Для принятого согласно ГОСТ 8.207-76 значения Р = 0.95 коэффициенты   при различных п приведены в табл. 2.

Таблица 2

Коэффициенты Стьюдента  при доверительной вероятности Р = 0.95 и числе измерений n

n		п		п		п
2	12.71	1	2.45	12	2.20	17	2.12
3	4.30	8	2.36	13	2.18	18	2.11
4	3.18	9	2.31	14	2.16	19	2.10
5	2.78е	10	2.26	15	2.14	20	2.09
6	2.57	11	2.23	16	2.13	∞	1.96

4. Погрешности приборов

Кроме рассмотренных погрешностей прямых измерений на их результат влияют также ошибки, которые вносят непосредственно измерительные приборы. К этим ошибкам относятся погрешности, связанные с устройством, состоянием и условиями функционирования самого прибора, а также с округлением его показаний.

Максимальная абсолютная погрешность прибора при доверительной вероятности Р = 0.95 выражается через предельную погрешность прибора δ  как

= 0.67δ.                                                     (4)

Величина δ обычно указывается на самом приборе или в его паспорте.

Погрешность, обусловленная округлением показаний прибора, определяется для полуширины соответствующего доверительного интервала при заданной доверительной вероятности Р = 0.95 по формуле

= 0.48ω,                                                     (5)

где ω - цена наименьшего деления шкалы прибора.

Значения δ и ω и соответственно погрешности и  для приборов, используемых в настоящей работе, приведены в табл. 3.

Таблица 3

Погрешности приборов при Р = 0.95

Прибор	Предельная погрешность прибора, δ	Абсолютная погрешность прибора,	Цена наименьшего деления прибора, ω	Погрешность округления показания прибора,
Микрометр	0.01 мм	0.007 мм	0.01 мм	0.005 мм
Штангенциркуль	0.1 мм	0.07 мм	0.1 мм	0.05 мм
Весы технические	0.1 г	0.007 г	0.1 г	0.005 г

Погрешности, вносимые ошибками, которые дают прибор и округление его показаний, суммируются с абсолютной случайной погрешностью измерений, определяемой по формуле (3) (суммирование производится по правилу, называемому квадратичным сложением). Тогда результирующая погрешность прямых измерений имеет вид

(6)

5. Запись окончательного результата

Вычисление величины абсолютной погрешности Δх проводится с точностью до одной значащей цифры, если эта цифра больше или равна 2, и до двух значащих цифр, если первая из них единица. При этом среднее значение  следует округлить таким образом, чтобы погрешность Δх приходилась лишь на последний разряд числа среднего , если погрешность Δх записана с точностью до одной значащей цифры, либо на два последних разряда числа , если Δх определена с точностью до двух значащих цифр.

Окончательный результат измерений записывается в виде

x =  ± Δх                                  (7)

с указанием единиц измерения.

6. Погрешности в косвенных измерениях

Как говорилось выше, если измеряемая величина является функцией нескольких непосредственно измеренных параметров, то измерение такой величины называется косвенным, а соответствующая погрешность результата обусловливается видом функциональной зависимости. При этом погрешности входящих в данную зависимость величин в процессе обработки результатов измерений «распространяются», приводя к погрешности в конечном результате. Отсюда двухэтапность процедуры: сначала определение погрешностей непосредственно измеренных величин, а затем расчет погрешности искомой величины, функционально связанной с ними. Такой расчет погрешности в косвенных измерениях может быть представлен как последовательность определенных шагов, каждый из которых включает в себя только один из следующих видов операций: нахождение сумм и разностей, расчет произведений и частных, вычисление функции одного переменного (например, возведение в степень).

В случае, когда величина z функционально связана с величинами а и Ь, погрешности которых случайны, независимы и сравнительно малы, погрешность результата косвенного измерения выражается через погрешности Δа и Δb следующим образом.

При z=a+b и z=a-b,   Δz=.

                При z = a x b  и  z = ,        =.

                При z = ,                        = .

Из приведенных формул видно, что при сложении и вычитании измеряемых величин складываются квадраты абсолютных погрешностей, в то время как при умножении и делении - складываются квадраты относительных погрешностей. Соответственно в первом случае из найденной абсолютной погрешности результата косвенного измерения рассчитывают относительную погрешность, а во втором случае, наоборот, сначала находят относительную погрешность, а затем определяют абсолютную (как делается, в частности, в настоящей работе).

1. ЦЕРКОВЬ Церковь дом Божий
2. I Эта процедура вообщето скажут вам стоит безумных денег но вам ее сделают совершенно бесплатно по рекомен
3. Заходи щодо профілактики виробничого травматизму та професійних захворювань пРОФІЛАКТИКА ТРАВМАТИЗМУ
4. БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ М
5. Введение и постановка задачи 2 Выбор способа формообразования элементов 3 Топологические расчеты 4 Выбор
6. Статья- Методология сетевого мышления- феномен самоорганизации.html
7. Реферат на тему- Мова програмування Лiсп За однiєю з класифiкацiй мови програмування МП дiляться на процеду
8. Розвиток освіти як напрям соціальної політики
9. Память связывает прошлое субъекта с его настоящим и будущим и является важнейшей познавательной функцией л.
10. I. Понятие формы принципы особенности гражданскоправовой ответственности
11. Социально-психологические методы управления
12. Нова економічна політика
13. Предмет теоретической социологии Как и любая научная дисциплина социология имеет свой объект и предмет и
14. Лабораторная работа по теме
15. Отпуск без сохранения заработной платы Служебная командировка
16. методические основы педагогики физической культуры
17. тематичних наук Харків 2008 Дисертацією є рукопис
18. Створення безпечних та нешкідливих умов та засобів праці
19. методическое пособие Набережные Челны ~ 2013 УДК 159
20. а по его модели Впервые моделирование применили в ХV в

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе