Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
Калужский филиал
федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»
(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)
Ю.П.Головатый
Статистический анализ результатов измерений
Методические указания к лабораторной работе №4
по «Основам проектирования наноприборов и систем на их основе»
Калуга
2013 г.
УДК 621.382
Данные методические указания издаются в соответствии с учебным планом специальности 152200.62
Указания рассмотрены и одобрены: кафедрой «Материаловедение»
Протокол №_________ от _______________
Заведующий кафедрой ____________________ В.Г.Косушкин
Методической комиссией Калужского филиала
Протокол №__________от ________________
Председатель Методической
комиссии _______________ М.Ю. Адкин
Рецензент: д.т.н., профессор кафедры ФН2-КФ
________________
Автор: ст. преподаватель _______________ Ю.П. Головатый
Аннотация.
В данной лабораторной работе рассмотрены методы численного решения нелинейных уравнений. Основное внимание уделено наиболее распространенному методу Ньютона-Рафсона.
© Калужский филиал МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013 г.
© Головатый Ю.П.
Оглавление
Цель работы: освоить методы статистического анализа результатов измерений в научных исследованиях и в целях контроля технологии производства наноприборов
2. Основные понятия статистики.
Статистический анализ - это сравнение, сопоставление, изучение рядов однородных эмпирических цифровых данных с целью установления взаимосвязей и закономерностей, характеризующих явления и процессы.
Ряды эмпирические цифровых данных появляются в результате многократных однотипных измерений. Такие измерения типичны в научной и инженерной деятельности.
В научных исследованиях измерения никогда не бывают абсолютно точными. Это значит, что мы верим в то, что измеряемая величина имеет истинное числовое значение , но узнать его не можем из-за неизбежных ошибок измерений. Измеренное значение отличается от истинного значения на величину ошибки .
Ошибки измерений имеют двоякое происхождение. Во-первых, их вносит любой измерительный прибор. Приборная ошибка называется погрешностью. Во-вторых, ошибки вносят неконтролируемые случайные внешние факторы – колебания электрического напряжения в сети, вибрации, освещение, температура, флюктуации физических величин.
Если погрешность прибора больше случайных ошибок, то любые два измерения дадут различные результаты. Тогда возникает задача об определении значения измеряемой величины, наиболее близкого к истинному значению, по выборке из результатов измерений.
Если же погрешность прибора меньше случайных ошибок, то любые два измерения дадут одинаковые результаты. Измерения с помощью достаточно грубых приборов применяются при контроле качества продукции. Цель контроля качества - избежать отклонений параметров изделия от заданных значений на величину, превышающую допуск. Отклонения в этом случае могут происходить из-за нарушения технологических режимов. Статистический анализ позволяет своевременно выявить такие отклонения и принять меры к их устранению.
Распределение результатов измерений принято описывать функцией плотности распределения вероятности . Смысл ее в том, что дает долю от полного числа N результатов измерений, попадающих в интервал от x до . почти всегда имеет вид кривой с максимумом (рис.1)
Рис.1 Возможный вид плотности вероятности результатов измерений
По определению, (1)
Среднее значение величины x для данного распределения определяется соотношением
(2)
Оно есть обобщение обычного определения среднего арифметического значения. Если измерений дают значение , то
Среднее значение величины принимается за ее истинное значение,
(3)
Дисперсия распределения определяется соотношением
(4)
а (5)
называется среднеквадратичным (стандартным) отклонением.
Среднее значение и стандартное отклонение – важнейшие параметры распределения. Они могут быть вычислены, если известна функция плотности распределения вероятности .
Вид функции плотности распределения вероятности определяется характером процессов, приводящих к разбросу результатов измерений.
Чаше других в физике и технике используется гауссово или нормальное распределение
(6)
Оно задается двумя независимыми параметрами и , совпадающими с истинным (наиболее вероятным) значением величины x и её среднеквадратичным отклонением. В (6) и неизвестны, поэтому их оценивают приближенно через среднее арифметическое значение
(7)
и выборочное (стандартное) отклонение
(8)
Наряду с плотностью распределения вероятности в статистике важное значение имеет функция распределения , определяемая соотношением
(9)
Она выражается через интеграл вероятности ,
(10)
Графики функций и показаны на рис.2 для ,
Рис.2 Гауссово (нормальное) распределение
для случая x0 = 2, σ = 0,5.
Функция распределения дает вероятность попадания отдельного измерения в интервал . Вероятность попадания результата измерения в интервал [x1,x2] равна
(11)
Величину P, выраженную в процентах, называют статистической достоверностью. Она имеет следующие значения для характерных интервалов:
,
,
,
Таким образом, за пределами интервала около среднего значения остается только приблизительно одна четырехсотая часть всех измерений.
Широкое применение гауссова распределения обусловлено тем, что, с одной стороны, оно очень удобно, а, с другой – считается, что оно описывает плотность вероятности для многих физических величин при их измерениях. Широко известный пример – рассеяние пуль при стрельбе или радиальное распределение частиц в электронных, протонных и фотонных пучках. Его можно обосновать теоретически при некоторых предположениях о вероятностях исходов измерений, но лучше всего о применимости этого распределения сказано словами: экспериментаторы верят в него, полагаясь на доказательства математиков, а математики – полагаясь на экспериментальное обоснование.
3. Построение плотности распределения результатов измерений
Приближённое представление о плотности распределения даёт гистограмма – столбчатый график, показывающий частоту появления результата измерения в определенном интервале значений.
Для построения гистограммы надо разбить интервал , охватывающий все результаты измерений, на некоторое число одинаковых подинтервалов , и подсчитать число результатов измерений, попадающих в -й подинтервал , . есть частота попадания результата измерения в подинтервал . Относительные частоты откладываются в виде столбиков высотой в центре каждого подинтервала. Это и есть гистограмма.
Огибающая гистограммы даёт представление о плотности распределения вероятности результатов измерений.
В большинстве случаев предполагается, что огибающая суть гауссова кривая (6). Если гистограмма сильно отличается от гауссианы, это свидетельствует о влиянии на измерения некоторых неслучайых факторов.
4. Оценка точности технологических процессов
После того как были выяснены форма и широта распределения на основании сопоставления с допуском, исследуют, возможно ли по данному технологическому процессу производить качественные изделия. Другими словами, появляется возможность по результатам обследования количественно оценить точность технологических процессов.
С этой целью можно использовать следующую формулу:
(12)
где - коэффициент точности технологического процесса, - допуск изделия, - верхний и нижний пределы отклонения параметра от номинала.
Точность технологического процесса оценивают исходя из следующих критериев:
- технологический процесс точный, удовлетворительный;
- технологический процесс требует внимательного наблюдения;
- технологический процесс неудовлетворительный. В этом случае необходимо немедленно выяснить причину появления дефектных изделий и принять меры управляющего воздействия.
5. Порядок выполнения работы