Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Раздел 1. Молекулярная физика. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.
Пример 1.1. Сколько молекул содержится в V=1 см3 воды? Какова масса молекулы воды? Плотность воды ρ=1000 кг/м3, молярная масса μ=0,018 кг/моль.
Решение. Число частиц N в данном количестве вещества ν находится по формуле N=νNА=(m/μ)NА, где NА – число Авогадро. Поскольку m=ρV, получим: N=(ρV/μ) NА. Поскольку в 1 моле вещества содержится NА молекул, масса одной молекулы m0=μ/ NА . Подставив числовые данные, получим: N=3,33·1022, m=2,99·10-26 кг.
Пример 1.2. Оценить размер атома золота. Плотность золота ρ=19,32·103 кг/м3 , молярная масса μ=0,197 кг/моль.
Решение. Масса m вещества, содержащая N атомов: m=ρNV0 (1), где V0 –объём, занимаемый одним атомом. Поскольку масса атома m0=μ/ NА, для массы вещества получим: m=Nm0= Nμ/ NА (2). Приравнивая правые части (1) и (2), получим: V0 =μ/( NА ρ). На каждый атом приходится куб со стороной L ~ μ/( NА ρ)1/3 . В твёрдых телах атомы упакованы плотно, поэтому величина L близка к размеру атома. Подставляя числовые данные, получим: L=0,26·10-9 м = 0,26 нм .
Пример 1.3. В результате нагревания давление газа в закрытом сосуде увеличилось в N раз. Во сколько раз увеличилась средняя квадратичная скорость его молекул?
Решение. Давления газа до и после нагревания соответственно определяются формулами p1=⅓m0nvкв1² и p2=⅓m0nvкв2² . Отметим, что при нагревании в закрытом сосуде концентрация молекул n не меняется. Разделив эти уравнения друг на друга, получим: vкв2² / vкв1² = p2 / p1 или vкв2 / vкв1 =N½.
Пример 1.4. Давление газа p=100 кПа, средняя квадратичная скорость его молекул vкв = 400 м/с. Найти плотность газа.
Решение. Поскольку плотность может быть выражена как произведение массы молекулы на число молекул в единице объёма (концентрацию), основное уравнение МКТ можно записать в виде p=⅓m0nvкв² =⅓ρvкв². Выразив отсюда плотность, получим ρ=3p/vкв².
Пример 1.5. Найти число молекул газа N, если средняя квадратичная скорость этих молекул vкв = 500 м/с, масса газа m=0,01 кг, а температура t=27ºC.
Решение. Число молекул можно найти по формуле
N=νNА=(m/μ)NА.
Молярную массу выразим из формулы для средней квадратичной скорости
vкв =(3RT/μ)½.
Отсюда
μ=3RT/vкв² .
Подставив это в формулу для N, получим:
N=mvкв² NА /(3RT) или N =mvкв² /(3kT).
Здесь k –постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура газа, Т=27+273 =300 К. После расчётов получим: N=2·1023 .
Раздел 2. Средняя длина свободного пробега молекул газа. Явления переноса.
Пример 2.1. Средняя длина свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 4·10-6 см. Какова средняя арифметическая скорость молекул? Сколько столкновений в секунду испытывает молекула?
Решение. Средняя арифметическая скорость молекул находится по формуле ū=√8RT/(πμ). Нормальные условия – это температура 273 К и давление 100 кПа. Подставив числовые значения, получим ū=362 м/с.
Среднее число столкновений молекулы в секунду ž зависит от средней формулой ž = ū/ł. После подстановки данных и расчёта получим: ž = 9,05·109 с-1 .
Пример 2.2. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа 67°C? Диаметр молекулы считать равным 0,28 нм.
Решение. Давление газа можно найти по формуле p=nkT, где n- концентрация газа, k –постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, равная по условию 340 К. Концентрацию газа выразим из формулы для средней длины свободного пробега. Получим: n=(√2πd²ł)-1 . Подставив это в формулу давления, получим: p=kT/(√2πd²ł) . После подстановки числовых данных и расчёта получим: p= 0,539 Па.
Пример 2.3. Найти коэффициент теплопроводности азота, имеющего температуру 280 К. Эффективный диаметр молекулы азота считать равным 0,38 нм..
Решение. Коэффициент теплопроводности λ газа рассчитывается по формуле λ=⅓cVρłū , где cV - удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме, ρ – плотность газа, ł – средняя длина свободного пробега молекул, ū – средняя арифметическая скорость молекул. Величину cV можно найти по формуле cV = iR/(2μ), где i=5 – число степеней свободы молекул азота (двухатомная молекула), μ – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная.
Плотность газа можно найти, воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV=(m/μ)RT. Учитывая, что плотность ρ=m/V, из уравнения состояния получим: ρ=pμ/(RT). Давление нам неизвестно, однако, в соответствии с формулой p=nkT, оно прямо пропорционально концентрации n, входящей в выражение для средней длины свободного пробега ł=(√2πd²n)-1 . В связи с этим концентрация n сократится при подстановке выражений для p и ł в формулу для λ. Подставив туда эти выражения, а также формулу для средней арифметической скорости, после упрощения можно получить: λ=ik(RT/πμ)½ /(3πd²). После подстановки числовых данных и расчётов получим: λ=8,25 мВт/(м·К).
Пример 2.4. Наружная поверхность неоштукатуренной кирпичной стены толщиной Δx= 50 см (два кирпича) имеет температуру -10 ºC, внутренняя +20ºC. За сутки через 1 м2 стены за счёт теплопроводности теряется количество тепла Q=3,6 ·106 Дж. Определить коэффициент теплопроводности кирпичной кладки.
Решение. Будем считать стену бесконечной, температуры Т1 и Т2 постоянными, а процесс теплопроводности установившимся. Тогда уравнение теплопроводности можно записать в виде: Q=λSt·(ΔT/Δx), где Q – количество теплоты, прошедшей через стену толщиной Δx при разности температур ΔT= Т2 – Т1 через площадь S за время t, λ – коэффициент теплопроводности. Тогда λ можно выразить следующим образом:
λ=Q·Δx/ [(Т2 – Т1)St].
После подстановки числовых данных и последующего расчёта получим: λ=0,69 Вт/ (м·К). Сравнивая с результатом предыдущей задачи, можно отметить, что коэффициент теплопроводности твёрдого тела на два порядка превышает этот коэффициент для газа при сравнимых температурах.
Пример 2.5. Определить массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку S=50 см2 за время t=20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, dρ/dx=1 кг/м4 . Температура азота T=290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна ł=1 мкм.
Решение. Запишем закон Фика (без учёта знака) для массы вещества, прошедшего вследствие диффузии через площадку S за время t при градиенте плотности dρ/dx : m=D(dρ/dx)St.
Коэффициент диффузии находится по формуле D=⅓ūł, где ū – средняя арифметическая скорость молекул, ł – средняя длина свободного пробега молекул. Как известно, средняя арифметическая скорость находится по формуле ū=[8RT/(πμ)]½ . Подставив эту формулу и остальные данные задачи в закон Фика, после расчётов получим: m=15,6 мг.
Раздел 3. Уравнение состояния идеального газа. Газовые смеси.
Пример 3.1.Найти молярную плотность идеального газа при нормальных условиях.
Решение. Молярная плотность это число молей газа в единице объёма, равное ν/V. Это отношение можно выразить из уравнения состояния идеального газа: pV=νRT. Молярная плотность равна: ν/V=p/(RT). Подставляя в эту формулу значения давления и температуры при нормальных условиях (соответственно 100 кПа и 273 К), получим, что независимо от химической природы идеального газа его молярная плотность при нормальных условиях 44,64 моль/м3 .
Пример 3.2. Под каким давлением находится кислород (молярная масса μ=0,032 кг/моль) в баллоне объёмом V=10 л и чему равна суммарная кинетическая энергия всех его молекул при условии, что концентрация газа n=2·1025 м-3 , а средняя квадратичная скорость молекул кислорода vкв =103 м/с.
Решение. 1) Для нахождения давления газа p воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева (уравнением состояния идеального газа): pV=(m/μ)RT, из которого следует, что p=mRT/(Vμ). Массу газа можно выразить через известные величины следующим образом: m=Nm0 , где N=nV – число молекул газа, m0 =μ/NА – масса одной молекулы кислорода. NА - число Авогадро.
Таким образом,
m=nVμ/ NА → m/V=nμ/ NА .
Температуру газа можно определить из выражения для средней квадратичной скорости молекул (см. выше):
T= vкв ² μ/(3R).
Подставив полученные выражения в формулу для расчёта давления, окончательно получим:
p=mRT/(Vμ)= vкв ² μ n/(3NА).
После подстановки числовых данных и расчёта получим: p=354 кПа.
2) Суммарная кинетическая энергия всех молекул газа Eкин=(i/2)kTN, где i – число степеней свободы молекул (для кислорода, являющегося двухатомным газом, i=5); k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура; N – число молекул. Поскольку число молекул можно найти по формуле N=(m/μ) NА , а также с учётом того, что R=k NА , получим: Eкин=(i/2)mRT /μ. Сравнивая это с уравнением состояния, можно заметить, что Eкин=(i/2)pV. Подставив числовые данные и произведя расчёт, получим: Eкин=8,86 кДж.
Пример 3.3. В баллоне объёмом V=5 л находится смесь кислорода и водорода под давлением p=кПа при температуре 27°C. Масса кислорода в три раза больше массы водорода (m1=3m2). Найти число молекул кислорода N1 и число молекул водорода N2 в этом баллоне. Молярная масса кислорода μ1= 0,032 кг/моль, молярная масса водорода μ2=0,002 кг/моль.
Решение. По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме давлений каждого газа в отдельности (парциальных давлений): p=p1+p2. При этом каждый газ занимает объём, равный объёму баллона. Из уравнения Клапейрона-Менделеева, записанного для каждого газа в отдельности, можно выразить парциальные давления. Складывая их, получим общее давление:
p=(RT/V)·[m1/μ1+m2/μ2].
С учётом соотношения масс, получим:
p=(m2 RT/V)·[3/μ1+1/μ2].
Массу водорода можно выразить следующим образом: m2 =μ2 N2 /NА. Подставив это в уравнение для p и выразив затем число молекул водорода, с учётом того, что R/NА=k, можно получить:
N2 =pV/[kT(3μ2/μ1+1)].
Используя соотношение масс газов, найдём число молекул кислорода:
N1=3μ2 N2 /μ1 .
Переведя числовые данные в единицы измерения СИ и произведя расчёт, получим: N1= 1022 , N2=5·1023 молекул.
Пример 3.4. Найти молярную массу смеси, состоящей из 25 г кислорода и 75 г азота.
Решение. Введём обозначения: m1 , ν1 , μ1 – масса, количество вещества и молярная масса кислорода; m2 ,ν2 , μ2 – масса, количество вещества и молярная масса азота; mсм , νсм , μсм – масса, количество вещества и молярная масса смеси.
Молярную массу смеси можно найти как отношение массы с меси к количеству вещества смеси:
μсм = mсм / νсм .
Масса смеси равна сумме масс компонентов: mсм = m1 + m2. Количество вещества смеси
νсм = ν1 + ν2 = m1 / μ1 + m2 / μ2 .
С учётом двух последних выражений получим:
μсм = (m1 + m2) /( m1 / μ1 + m2 /μ2).
После подстановки числовых данных и последующих расчётов получим: μсм = 0,0289 кг/моль.
Пример 3.5. Воздушный шар диаметром D=8 м удерживается верёвкой, натянутой вертикально. Насколько изменится натяжение верёвки, если температура окружающего воздуха понизится с t1 = 27°C до t2 =7°C ? Атмосферное давление pатм нормальное (100 кПа). Молярная масса воздуха μ=0,029 кг/моль.
Решение. На воздушный шар действуют три силы: выталкивающая Fвыт (вверх), сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения верёвки FН (вниз). Из-за понижения температуры изменится плотность воздуха, следовательно, изменится выталкивающая сила. При равновесии шара силы компенсируются, поэтому для двух состояний газа (до и после понижения температуры) на основании первого закона Ньютона можем записать: Fвыт1 =mg+FН1 ; Fвыт2 =mg+FН2. Изменение силы натяжения ΔF =FН2 - FН1= Fвыт2 - Fвыт1 = =ρ2 gV – ρ1 gV, где ρ1 и ρ2 – плотности газа при температурах Т1 и Т2 , V=πD³/6 – объём шара. Плотности газа можно найти из уравнения Клапейрона – Менделеева, записанного в форме: p=ρRT/μ. Тогда ρ1 =pμ/(RT1), ρ2 =pμ/(RT2). Подставляя формулы объёма и плотности в выражение для ΔF, после несложных преобразований получим :
ΔF={πgpμD³/(6R)}·(1/T2 -1/T1 ). Вычисления дают: ΔF= 0,4 Н.
Раздел 4. Основы термодинамики.
Пример 4.1. Двухатомный газ под давлением p=150 кПа и при температуре t=27°C занимает объём V=100 л. Определить теплоёмкость этого газа при постоянном объёме cV и при постоянном давлении cp .
Решение. Теплоёмкость – это количество теплоты, которое нужно передать всему веществу для изменения его температуры на 1 К. Молярные теплоёмкости газа при постоянном объёме и при постоянном давлении соответственно выражаются через универсальную газовую постоянную R: CV =iR/2 и Cp =(i+2)R/2 . В случае двухатомного газа число степеней свободы молекул i=5.
С учётом сказанного, для теплоёмкостей газа можно записать: cV = CV m/μ= =imR/(2μ) ; cp = Cр m/μ= (i+2)mR/(2μ).
Из уравнения Клапейрона-Менделеева pV=mRT/μ находим, что mR/μ=pV/T. Тогда уравнения для теплоёмкостей принимают вид: cV = ipV/(2T); cp =(i+2)pV/(2T). Производя вычисления по этим формулам, получим: cV =125 Дж/К, cp =175 Дж/К.
Пример 4.2. двухатомный газ занимает объём V=10 см3 и находится под давлением p=40 мм рт. ст. Найти внутреннюю энергию этого газа U. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного, а какая на долю вращательного движения молекул?
Решение. Обозначим Uпост и Uвращ внутреннюю энергию газа, приходящуюся соответственно на поступательное и вращательное движение молекул. Внутренняя энергия газа, имеющего i степеней свободы молекул, определяется выражением: U=imRT/(2μ), где m – масса газа, μ – его молярная масса, R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура. На основании уравнения Колапейрона-Менделеева можно заменить mRT/μ на произведение pV. Тогда для внутренней энергии получим формулу: U=ipV/2. Подставив данные, переведённые в СИ, с учётом того, что i=5, получим :U= 0,133 Дж.
Для энергии поступательного и вращательного движения всех молекул газа соответственно справедливы формулы: Uпост =iпост pV/2, Uвращ =iвращ pV/2. Известно, что для любого газа iпост =3. Для двухатомного газа iвращ =2.
Из предыдущих формул видно, что Uпост /U= iпост /i ; Uвращ /U= iвращ /i. Таким образом получим, что на поступательное движение приходится 0,6 (или 60%) внутренней энергии газа, а на вращательно движение – 0,4 (или 40 %) этой энергии.
Пример 4.3. В цилиндре объёмом V=6 л под поршнем, занимающим среднее положение, находится водород Н2 при атмосферном давлении (р0=100 кПа). При нагревании газ расширяется при постоянном давлении, в результате чего поршень поднимается вверх до упора, после чего давление газа постепенно возрастает в два раза. Определить количество теплоты, переданное газу. Трением поршня о стенки сосуда, а также весом поршня и его толщиной пренебречь.
Решение. На первом этапе газ расширяется от V1 = 3 л до V2 = 6 л при постоянном давлении, т.е. происходит изобарический процесс, а затем нагревается при постоянном объёме, т.е. идёт изохорический процесс. Суммарное количество теплоты, переданное газу, найдём как сумму количеств теплоты, переданных при изобарическом Qр и изохорическом QV процессах.
Q=Qр +QV = (m/μ )Cp (T2 –T1 ) + (m/μ)CV(T3-T2 ) =
= m(i+2)R(T2 –T1 )/(2μ) + miR(T3-T2 )/(2μ),
где i=5 (число степеней свободы двухатомного газа), m – масса газа, μ – молярная масса водорода, R – универсальная газовая постоянная. Выразив температуры T1 ,T2 ,T3 из уравнения Клапейрона-Менделеева, полученное выражение для Q можно представить в виде:
½{(i+2)(p0V2 – p0V1 )+i(p2V2 – p0V2)} = ½{(i+2) p0 (V2 – V1 )+i(p2 – p0 )V2}.
Произведя вычисления по этой формуле, получим, что суммарное количество теплоты, переданное газу в ходе двух процессов, Q = 2,55 кДж.
Пример 4.4. В вертикальном цилиндре под тяжёлым поршнем находится кислород массой m=2 кг. Для повышения температуры газа на ΔT= 5 К ему сообщили Q=9160 Дж теплоты. Найти удельную теплоёмкость кислорода при постоянном давлении cр , работу А, совершённую газом при расширении, и приращение его внутренней энергии ΔU. Молярная масса кислорода μ=0,032 кг/моль.
Решение. Поскольку масса поршня и атмосферное давление не изменяются, здесь имеет место изобарический процесс. Поэтому переданное газу количество теплоты выразится формулой: Q=cр m ΔT. Отсюда cр =Q/(m ΔT). Изменение внутренней энергии кислорода найдём по формуле: ΔU=imR ΔT/(2μ) , где i=5 – число степеней свободы двухатомной молекулы кислорода, R – универсальная газовая постоянная. Работу газа найдём из первого начала термодинамики как разность полученного количества теплоты и изменения внутренней энергии: A= Q – ΔU.
Произведя вычисления, получим: cр =916 Дж/(кг·К), ΔU= 6492 Дж, А=2668 Дж.
Пример 4.5. Азот N2 массой m=10 г расширяется изотермически при температуре t=-20°C (Т=253 К). При этом его давление изменяется от р1 =202 кПа до р2 =101 кПа. Найти работу расширения, изменение внутренней энергии азота и количество теплоты, сообщённое газу.
Решение. Изменение внутренней энергии газа определяется изменением температуры: ΔU=cm ΔT, где c – удельная теплоёмкость, m – масса газа. Поскольку в изотермическом процессе изменение температуры ΔT=0, внутренняя энергия газа не изменяется, т.е. ΔU=0.
Работа газа в изотермическом процессе, как известно, определяется выражением:
v2
A= ∫p dV
v1
Подставим в подынтегральное выражение давление, выраженное из уравнения Клапейрона-Менделеева: p=mRT/(μV). Тогда, проведя интегрирование, получим: A=(mRT/μ) ln(V2 /V1 ).
По закону Бойля-Мариотта отношение объёмов газа при изотермическом процессе можно заменить обратным отношением давлений: V2 /V1 = р1 /р2 . Тогда получим: A=(mRT/μ) ln(р1 /р2 ). Подставив числовые данные, рассчитаем работу газа. Получим: A ≈ 520 Дж.
Количество теплоты, сообщённое газу, найдём из первого начала термодинамики: Q=ΔU+A, или, поскольку в изотермическом процессе ΔU=0, для теплоты получим : Q=A≈520 Дж.
Раздел 5. Круговые процессы (циклы) и их КПД . Тепловые машины.
Пример 5.1. Один моль (ν=1 моль) идеального двухатомного газа, занимающий объём 12,3 л под давлением 200 кПа, нагревается при постоянном объёме до давления 300 кПа. Далее газ расширяется при постоянном давлении до объёма 24,6 л, после чего охлаждается при постоянном объёме до начального давления и, наконец, сжимается при постоянном давлении до начального объёма. Определить: 1) температуры газа для характерных («поворотных») точек цикла; 2) термический КПД цикла.
Решение. Из условия задачи следует, что цикл состоит из двух изохорических и двух изобарических процессов. Введём обозначения. Наименьший объём газа - V', наибольший -V", наименьшее давление - p', наибольшее - p". Начальная и конечная температура газа – Т1 , температура после изохорического нагревания – Т2 , после изобарического расширения – Т3 , после изохорического охлаждения – Т4.
Температуру в начальном состоянии определим из уравнения Клапейрона-Менделеева p'V'=νRT1 . Отсюда Т1 = p'V'/(νR). Сделав подстановку числовых значений, получим Т1 =290 К.
При изохорическом процессе давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре: p"/p'=T2 /T1 , откуда T2 =T1р" /p' = 435 К.
При изобарическом процессе объём газа прямо пропорционален абсолютной температуре: V"/V'=T3 /Т2 , откуда T3=Т2 V"/V' = 870 К.
Точно так же, для последнего, изобарического этапа цикла V"/V'=T4 /Т1, откуда T4 =Т1V"/V'=580 К. Характерные температуры найдены.
Термический КПД любого цикла определяется формулой
η=(Q1 – Q2 )/ Q1 = 1 - Q2 / Q1 ,
где Q1 – теплота, полученная газом за один цикл от нагревателя, Q2 – теплота, отданная за один цикл охладителю, Q1 – Q2 - теплота, превращаемая в механическую энергию.
Теплота, полученная газом при изохорическом нагревании (первый этап цикла) , Q1-2 =νC V(T2 –T1 ).
Теплота, полученная при изобарическом расширении (второй этап цикла),
Q2-3 =νC р(T3 –T2 ).
Газ принимает теплоту от нагревателя именно на первых двух этапах цикла. Полная теплота, полученная газом от нагревателя,
Q1= Q1-2 + Q2-3 = νC V(T2 –T1 )+ νC р(T3 –T2 ).
Таким же образом найдём полную теплоту, отданную газом охладителю при изохорическом охлаждении (третий этап цикла) и изобарическом сжатии (четвёртый этап):
Q2= Q1-2 + Q2-3 = νC V(T3 –T4 )+ νC р(T4 –T1 ).
Подставив формулы для Q1 и Q2 в выражение для термического КПД, после числовых расчётов получим η = 1 – 0,923 = 0,077 = 7,7 %.
Пример 5.2. Трёхатомный газ (i=6) газ совершает цикл Карно. Объём газа после изотермического расширения составляет V1 = 6 м3 . Определить объём газа после адиабатического расширения, если КПД цикла η=22 % .
Решение. Обозначим температуры газа в начале и в конце адиабатического расширения Т1 и Т2 . Запишем уравнение Пуассона для адиабатического процесса в виде: Т2 /Т1 = (V1 /V2 )γ-1 , где γ=Cр /CV =(i+2)/i - показатель адиабаты. Нетрудно рассчитать, что для трёхатомного газа γ-1=⅓. Тогда уравнение Пуассона запишется в виде:
Т2 /Т1 = (V1 /V2 )⅓ → V1 /V2 = (Т2 /Т1 )3 .
Отношение Т2 /Т1 находим из формулы для КПД цикла Карно:
η = (Т1 –Т2) / Т1 =1 - Т2 /Т1 → Т2 /Т1 = 1 – η.
Тогда отношение объёмов выразится формулой: V1 /V2 = (1 – η)³ .
Выражая отсюда конечный объём, получим: V2 = V1 /(1 – η)³ .
Произведя вычисления, найдём: V2 = 12,6 м3 .
Пример 5.3. Температура нагревателя идеальной тепловой машины t1 =117°C, а холодильника t=27°C. Количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за t = 1с, равно Q1 =60 кДж. Найти количество теплоты Q2 , отдаваемое холодильнику за это время, и мощность машины N.
Решение. КПД идеальной тепловой машины можно выразить через принимаемую и отдаваемую теплоту или через температуры нагревателя и холодильника. Приравняв эти выражения, получим: (Q1 - Q2 )/Q1 = (Т1 – Т2)/Т1 , или 1- Q2 /Q1 =1 - Т2/Т1 . Из выражения Q2 /Q1 =Т2/Т1 можно получить Q2 =Q1Т2/Т1 .
Мощность тепловой машины равна её работе в единицу времени: N=A/t. Работа А равна разности между количеством теплоты Q1, полученным рабочим телом от нагревателя, и количеством теплоты Q2 , отданным им холодильнику. Таким образом, мощность N=(Q1 - Q2 )/t.
Переведя данные в единицы СИ и произведя вычисления, получим: Q2 =46 кДж, N=14 кВт.
Пример 5.4. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру t1 = 200 °C (Т1=473 К). Какова температура холодильника, если за счёт каждой килокалории тепла, полученной от нагревателя, машина совершает работу 1,68 кДж?
Решение. Температуру охладителя можно найти из выражения для КПД машины, работающей по циклу Карно: η=(Т1 – Т2)/Т1 , где Т1 и Т2 - абсолютные температуры нагревателя и холодильника. Отсюда Т2 = Т1 (1 – η).
Термический КПД тепловой машины есть коэффициент использования теплоты. Он выражает отношение теплоты, которая превращается в механическую работу А, к теплоте Q1 , которая получена рабочим телом от нагревателя, т.е .η=A/Q1 . С учётом этой формулы Т2 = Т1 (1 – A/Q1). Подставив сюда числовые значения, получим Т2 =284 К.
Раздел 6. Энтропия.
Пример 6.1. Найти изменение энтропии при охлаждении азота массой m=10 г от 80°C до 0°C при постоянном объёме и при постоянном давлении.
Решение. Как известно, изменение энтропии можно найти по формуле:
2
ΔS=S2 –S1 =∫dQ/T , где dQ – малое изменение энтропии при температуре Т.
1
При изохорическом процессе dQV =mCV dT/μ=imRdT/(2μ).
При изобарическом процессе dQр=mCр dT/μ= (i+2)mRdT/(2μ).
Подставляя эти формулы в выражение для ΔS и проводя интегрирование, получим:
Т2
ΔSV=imR/(2μ) ∫ dT/T= imR/(2μ)ℓn(T2 /T1 ) –для изохорического процесса,
Т1
Т2
ΔSр=(i+2)mR/(2μ) ∫ dT/T= (i+2)mR/(2μ)ℓn(T2 /T1 ) – для изобарического
Т1 процесса.
Произведя вычисления по этим формулам, получим: ΔSV = -1,93 Дж/К ; ΔSр = -2,7 Дж/К.
Пример 6.2. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении 6 г водорода, если его начальное давление 100 кПа, а конечное 50 кПа.
Решение. Известно, что изменение энтропии выражается формулой:
2
ΔS=S2 –S1 =∫dQ/T , где dQ – малое изменение энтропии при температуре Т.
1
Из первого начала термодинамики следует, что dQ=(m/μ)CV dT+pdV. Здесь СV – молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме (далее Ср – молярная теплоёмкость при постоянном давлении). Разделим обе части этого равенства на Т и учтём, что из уравнения Клапейрона-Менделеева следует: p/T=mR/(μV). Тогда будем иметь следующее выражение:
2 2
ΔS=S2 –S1 = ∫ (m/μ)CV dT/T+ ∫ (m/μ)RdV/V
1 1
Проведя интегрирование, получим: ΔS=(m/μ)CV ℓn(T2 /Т1 )+ (m/μ)R ℓn(V2 /V1). Выразим отношение объёмов из уравнения Клапейрона: V2 /V1 =Т2 р1 /(Т1 р2). После подстановки этого отношения в выражение для изменения энтропии получим:
ΔS=(m/μ)Cр ℓn(T2 /Т1 ) - (m/μ)R ℓn(р2 /р1).
При выводе этой формулы было учтено уравнение Майера: Cр=CV+R.
По условию задачи с газом происходит изотермический процесс, значит Т2=Т1 и тогда ΔS= - (m/μ)R ℓn(р2 /р1). Молярная масса водорода μ известна. Подставив числовые данные и произведя расчёт, получим: ΔS= 17,3 Дж/К.
Пример 6.3. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от 0 до 100°C и последующем превращении воды в пар при той же температуры.
Решение. Формула для изменения энтропии имеет вид:
2
ΔS=S2 –S1 =∫dQ/T , где dQ – малое изменение энтропии при температуре Т.
1
При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается теплота: dQ=mcdT, где m – масса тела, c – его удельная теплоёмкость.
Подставив dQ в формулу для изменения энтропии, получим, получим, что при нагревании воды
Т2
ΔS' =∫mcdT /T = mсℓn(T2 /Т1).
Т1
Произведём вычисления: ΔS=132 Дж/К.
При вычислении изменения энтропии в процессе превращения воды в пар при той же температуре постоянная температура Т может быть вынесена за знак интеграла:
2
ΔS"=S2 –S1 =∫dQ/T = Q/T=λm/T,
1
где λ – удельная теплота парообразования. Подставим числовые значения и после вычислений получим, что при парообразовании ΔS=605 Дж/К.
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении её в пар: ΔS=ΔS'+ΔS" =737 Дж/К.
Раздел 7. Реальные газы.
Пример 7.1. В баллоне ёмкостью V=20 л находится m=1,1 кг углекислого газа при температуре 13ºC (Т=286 К). Определить давление газа в баллоне, пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса и уравнением состояния идеального газа.
Решение. Запишем уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы m газа:
[p+m²a/(μ²V²)]·(V-mb/μ)=mRT/μ.
Решая это уравнение относительно давления p, получим:
p=mRT/(μV-mb) - m²a/(μ²V²).
Если считать углекислый газ идеальным, то давление можно найти из уравнения Клапейрона-Менделеева:
рид =mRT/(μV).
Здесь μ – молярная масса углекислого газа; R – универсальная газовая постоянная; a = 36 Дж·м3 /моль и b=0,043·10-3 м3 /моль – взятые из таблиц постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа.
Подставив в полученные формулы числовые данные и произведя вычисления, получим: р=25,93 · 105 Па, рид = 29,71 · 105 Па.
Пример 7.2. Вычислить для углекислого газа значения постоянных a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса, зная его критические давление рк =73,9 ·105 Па и температуру Тк =304,1 К.
Решение. Уравнение Ван-дер-Ваальса [p+m²a/(μ²V²)]·(V-mb/μ)=mRT/μ можно записать иначе. После несложных преобразований его можно привести к виду:
Vμ³ - (b+RT/p)Vμ² + aVμ/p - ab/p=0.
Здесь Vμ – молярный объём газа, связанный с объёмом по формуле V=mVμ/μ. Это алгебраическое уравнение третьей степени относительно объёма. При заданных значениях температуры и давления оно имеет три решения, которые все могут быть вещественными, либо два из них могут быть комплексными, а одно вещественным. Поскольку объём может быть только вещественным, комплексные решения не имеют физического смысла.
При критической температуре все три корня уравнения Ван-дер-Ваальса одинаковы и равны критическому объёму. Поэтому
Vμ³ - (b+RTк/pк)Vμ² + aVμ/pк - ab/pк=0.
Это уравнение должно быть тождественно уравнению:
(Vμ-Vк)³ = Vμ³ - 3Vμ²Vк + 3Vμ Vк² - Vк³=0.
Здесь Vк – объём одного моля газа при критических давлении температуре. Сравнивая коэффициенты при членах обоих уравнений, содержащих одинаковые степени Vμ , можем записать три следующих соотношения:
3Vк =b+RT/pк ; 3Vк²=a/pк ; Vк =ab/pк .
Используя эти соотношения, можно найти зависимость между критическими параметрами вещества и соответствующими значениями постоянных в уравнении Ван-дер-Ваальса: Тк = 8a/(27Rb); Vк =3b; pк =a/(27b²) , или
a=3Vк²pк ; b=Vк /3; R=8Vк pк /(3Tк).
Из последнего соотношения выразим критический объём: Vк =3Tк R/(8pк). Подставляя это выражение в первые два соотношения, найдём:
a=27Tк²R²/(64рк); b=RTк /(8pк).
После вычислений получим: а= 0,36 Дж· м3 /моль; b=0,043 м3/моль.
Раздел 8. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада.
Пример 8.1. Радиоактивный натрий с массовым числом 24 распадается, выбрасывая β-частицы. Период полураспада натрия 14,8 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата за 10 ч.
Решение. Число распавшихся атомов за время t - это разность между начальным числом атомов N0 и числом нераспавшихся N : ΔN=N0 –N.
Из закона радиоактивного распада известно, что N=N0 ℮-λt , поэтому
ΔN=N0 – N0 ℮-λt = N0 ( 1 - ℮-λt ).
Учитывая, что λ=ℓn2/Т, преобразуем это выражение: ΔN=N0 ( 1 - 2-t/Т ).
Подставим сюда число атомов, определяемое по формуле N0 = mNА/μ, где NА – число Авогадро, μ –молярная масса данного изотопа натрия. Окончательно получим:
ΔN=( mNА/μ) ( 1 - 2-t/Т ).
Произведя расчёт по этой формуле, получим: ΔN≈9,3 ·1018 атомов.
Пример 8.2. Масса препарата радиоактивного магния 27Mg равна 0,2 мкг. Определить начальную активность препарата и его активность через 1 час. Считать, что все атомы препарата радиоактивны.
Решение. Начальная активность препарата А0 =λN0 . Постоянная радиоактивного распада λ=ℓn2/T, где Т – период полураспада 27Mg, взятый из справочных таблиц (Т≈600 секунд) . Количество атомов препарата в начальный момент N0 = mNА/μ, где NА – число Авогадро, μ –молярная масса данного изотопа магния. С учётом двух последних формул получим:
А0 = (ℓn2/T) mNА/μ .
Сделав подстановку числовых значений, получим: А0 = 5,42 ·1012 распад/с или
А0 = 5,42 ·1012 /3,7· 1010 = 146 кюри.
Активность препарата уменьшается со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся атомов: А = А0 · 2-t/Т . Подставляя числовые данные, получим, что через 1 час активность А = 2,29 кюри.
Пример 8.3. За время Δt=1 сутки активность изотопа уменьшилась от А1 = 118 ТБк до А2 =7,4 ТБк. Пользуясь таблицей периодов полураспада, определить, что это за изотоп. Найти также массу изотопа, имеющего активность А1 .
Решение. В соответствии с законом радиоактивного распада отношение активностей изотопа в моменты времени t1 и t2 можно записать в следующем виде:
А1 /А2 = λN0 exp(-λt1 )/(λN0 exp(-λt2 )) = exp(λ(t2 –t1 )) = exp(λΔt).
Прологарифмировав это соотношение, найдём постоянную распада λ:
λ=ℓn(A1 /A2 )/Δt .
Воспользовавшись известным соотношением между λ и Т , найдём период полураспада:
Т = ℓn2/λ .
Расчёты по этим формулам дают: λ= 3,2·10-5 с-1 ; Т= 2,16 · 104 с= 6 ч.
По таблице периодов полураспада радиоактивных изотопов находим, что получившийся период Т=6 ч соответствует изотопу ртути 193Hg. Найдём массу этого изотопа ртути, имеющего активность А1 = 1,18 · 1014 Бк, воспользовавшись известными соотношениями:
N1 =m1 NА /μ; A1=λN1 .
Следовательно:
m1 = N1 μ /NА = A1 μ/(λ NА).
Определив численное значение массы по этой формуле, получим m1 =1,18·10-6 кг.
Раздел 9. Энергия связи ядра. Ядерные реакции.
Пример 9.1. Вычислить дефект массы Δm, энергию связи Есв и удельную энергию связи Есв уд ядра 13Al27 (массовое число А = 27, зарядовое число Z = 13).
Решение. Масса ядра всегда меньше массы свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δm есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра:
Δm = Z·mр + (A-Z)·mn –mЯ .
Здесь Z – номер элемента в периодической системе (зарядовое число, равное количеству протонов в ядре атома); А –массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); mр , mn , mЯ - массы протона, нейтрона и ядра соответственно.
Как правило, в справочных таблицах приводятся массы нейтральных атомов, но не ядер. Поэтому полученное выражение нужно преобразовать таким образом, чтобы в него входила масса нейтрального атома. Массу ядра можно выразить через массу атома mА и массу электронов, входящих в состав атома. Если mе - масса электрона, то
mЯ = mА – Z mе.
Подставив это в выражение для дефекта массы, получим:
Δm = Z·mр + (A-Z)·mn – mА – Z mе = Z(mр + mе )+(A-Z)mn –mА ,
Здесь (mр + mе ) = mН – масса атома водорода. Поэтому окончательно имеем:
Δm = Z·mН + (A-Z)·mn –mА .
Для ядра 13Al27 получим:
Δm = 13·1,00783 + (27 – 13)·1,00867 - 26,98135 = 0,242 а.е.м.
Используемые здесь значения масс атомов, протонов и нейтронов можно найти в справочных таблицах.
Энергия связи – разность энергий покоя свободных нуклонов , составляющих ядро, и энергии покоя целого ядра. Масса и энергия, как известно, связаны друг с другом по формуле Эйнштейна:
Есв = Δm·c² .
В системе СИ используются размерности: [Δm]=кг, [c²]=м²/c². В ядерной физике используют для удобства внесистемные единицы измерения энергии и массы:
1 МэВ = 1,6·10-13 Дж ; 1 а.е.м. = 1,67·10-27 кг
При переходе к таким единицам получим:
c² = 9 · 1016 Дж/кг =9 · 1016 · 1,67·10-27 / 1,6·10-13 МэВ/ а.е.м.=931 МэВ/а.е.м.
Таким образом, при использовании внесистемных единиц измерения формула для энергии связи примет вид:
Есв = Δm ·931 МэВ.
Для рассматриваемого ядра получим: Есв = 931 · 0,242 = 225,3 МэВ.
Разделив полученное значение на число нуклонов в ядре, получим удельную энергию связи (т.е. энергию связи, приходящуюся на один нуклон):
Есв уд = Есв /А = 225,3/27 = 8,345 МэВ/нуклон.
Пример 9.2. В результате захвата α-частицы ядром изотопа азота 7N14 образуются неизвестный элемент и протон. Написать реакцию и определить неизвестный элемент.
Решение. Запишем ядерную реакцию
7N14 + 2α4 = 1p1 + ZXА .
Суммы массовых чисел и зарядов в левой и правой частях уравнения реакции должны быть равны, т.е. 14+4=1+А , 7+2+1+Z, откуда А=17, Z=8. Следовательно, полученный элемент символически можно записать в виде 8X17 . Из периодической системы элементов следует, что это изотоп кислорода с массовым числом 17: 8О17 .
Пример 9.3. При бомбардировке железа 26Fe58 нейтронами образуется β-радиоактивный изотоп марганца с массовым числом 56. Написать реакцию получения искусственного радиоактивного марганца и реакцию его β-распада.
Решение. Порядковый номер марганца в таблице Менделеева равен 25. Поэтому уравнение реакции имеет вид:
26Fe58 + 0n1 = 25Mn56 + ZXА .
По аналогии с предыдущей задачей находим: А = 3, Z = 1. Таким образом, продуктом реакции, кроме марганца, является тритий – изотоп водорода с массовым числом 3. Реакцию можно записать в виде:
26Fe58 + 0n1 = 25Mn56 + 1Н3 .
Реакция β-распада марганца имеет вид:
25Mn56 =26Fe56 + -1е0 .
Пример 9.4. Поглощается или выделяется энергия в ядерной реакции:
3Li7 + 2He4 = 5B10 + 0n1 + Q ?
Решение. Уравнение ядерной реакции, в ходе которой выделяется или поглощается энергия Q, можно условно записать в виде:
А + В = С + D + Q .
При этом справедлив закон сохранения энергии, записанный в виде:
Q = {MА + MВ - (MС + MD)}c².
Здесь А и В – ядра, вступающие в реакцию (реагенты), С и D – образовавшиеся в результате реакции продукты. Число продуктов (ядер и других частиц) может быть отличным от двух. Предполагается, что выделившаяся (поглощённая) в ходе реакции энергия Q связана только с увеличением (уменьшением) кинетической энергии ядер. Если реакция экзотермическая, то выделение энергии Q>0, и кинетическая энергия продуктов реакции превышает кинетическую энергию реагентов. В случае эндотермической реакции Q<0, кинетическая энергия реагентов превышает кинетическую энергию продуктов. В частности, если кинетической энергией реагентов можно пренебречь, Q равно суммарной кинетической энергии продуктов.
В формуле для Q можно использовать табличные данные о массах нейтральных атомов, поскольку массы электронных оболочек входят в эту формулу с плюсом и с минусом. Подставляем массы нейтральных атомов, выраженные в а.е.м., а также массу нейтрона в а.е.м. Для 3Li7 , 2He4 , 5B10 и 0n1 эти массы соответственно имеют значения: 7,01601 ; 4,0026 ; 10,01294 и 1,00865. Вместо c² подставляем 931 МэВ/а.е.м. (см. пример 9.1) . Получаем:
Q= {7,01601 + 4,0026 – ( 10,01294 + 1,00865)}· 931 = -0,00298·931= -2,77МэВ.
Поскольку Q<0, реакция эндотермическая (идёт с поглощением энергии).
Пример 9.5. Какая энергия выделяется в термоядерной реакции синтеза дейтерия 1Н2 и трития 1Н3 , если одним из продуктов реакции является ядро гелия 2Не4 ? Найти энергию, выделяющуюся при синтезе mD =0,4 г дейтерия и mТ =0,6 г трития.
Решение. Запишем уравнение реакции:
1Н2 + 1Н3 = 2Не4 + 0n1 .
Из условия сохранения массовых и зарядовых чисел следует, что вторым продуктом реакции является нейтрон.
Энергию, выделяющуюся в реакции, можно найти по аналогии с предыдущей задачей:
Q={2,01410 + 3,01605 – (4,0026 + 1,00865)}·931 = 17.6 МэВ.
Данная энергия приходится на один акт реакции. Найдём число атомов N в указанных количествах дейтерия и трития, используя формулы из молекулярной физики. При этом учтём, что молярные массы этих изотопов водорода соответственно МD = 0,002 кг/моль , МТ =0,003 кг/моль. Таким образом:
ND =mD NА /МD ; NТ =mТ NА /МТ .
В этих формулах NА - число Авогадро. Произведя расчёт, получим, что количества атомов дейтерия и трития одинаковы и равны примерно 1,2 · 1023 . Из уравнения реакции видно, что на каждое ядро дейтерия приходится одно ядро трития, т.е. в реакцию вступают все ядра. Таким образом, в целом выделяется энергия
W= 17.6 МэВ ·1,2 · 1023 = 3,5 · 1011 Дж.
Пример 9.6. В реакции 1Н2 + 1Н2 = 2Не4 + γ образующийся γ-квант имеет энергию 19,7 МэВ. Найти скорость α-частицы (2Не4), если кинетической энергией исходных ядер дейтерия можно пренебречь.
Решение. По аналогии с предыдущими задачами найдём энергию, выделяющуюся в реакции:
Q = (2 · 2,01410 – 4,00260) · 931 = 23,3 МэВ.
Сюда входят энергия γ-кванта и кинетическая энергия α-частицы. Зная энергию γ-кванта, находим, что кинетическая энергия α-частицы
Е = 23,3 – 19,7 = 3,6 МэВ = 5,76 · 10-13 Дж.
Учитывая, что Е = mv²/2, выражаем скорость: v = (2E/m)½ . Массу α-частицы можно найти, например, из соотношения m=M/NА , где М = 0,004 кг/моль – молярная масса гелия, NА – число Авогадро. После расчётов получим: v = 13·106 м/с .
Пример 9.7. На покоящееся ядро лития налетает α-частица. Какой минимальной кинетической энергией Е должна обладать α-частица для протекания реакции:
3Li7 + 2He4 = 5B10 + 0n1 ?
Решение. В задаче 9.4 было показано, что данная реакция является эндотермической, и для её протекания необходима энергия Q = 2,8 МэВ. Связать её с кинетической энергией налетающей α-частицы можно, применяя к столкновению частиц модель неупругого удара, при котором часть кинетической энергии налетающей частицы преобразуется во внутреннюю.
Воспользуемся теоремой Кёнинга для системы из двух частиц, одна из которых перед ударом покоится:
m2 v0²/2 = mV²/2 + EК´ .
Здесь v0 – скорость налетающей частицы, EК´ - кинетическая энергия частиц относительно системы центра масс, m = m1 +m2 - масса системы двух частиц, V – скорость центра масс, определяемая по закону сохранения импульса:V=m2v0 /m, где m2 – масса налетающей частицы. Поскольку величина mV²/2 до и после столкновения не меняется (теорема о движении центра масс при отсутствии внешних сил), максимальная часть кинетической энергии налетающей частицы, которая может перейти во внутреннюю, равна EК´. Найдём, какую часть δ составляет EК´ от первоначальной кинетической энергии налетающей частицы:
δ = EК´/ ( m2 v0²/2) = (m2 v0²/2 - mV²/2) / ( m2 v0²/2) = m1 /(m1 +m2) .
Здесь m1 – масса покоящейся частицы, m2 – масса налетающей частицы.
Учитывая всё сказанное, для рассматриваемой ядерной реакции получим:
Q = {mLi /(mLi +mα )}·Е.
Выразив отсюда Е и используя относительные атомные единицы массы частиц, получим:
Е = ((7 + 4)/7) ·Q = 4,4 МэВ.
Это и есть минимальная кинетическая энергия налетающей α-частицы, необходимая для протекания данной ядерной реакции.
Пример 9.8. Какова электрическая мощность Р атомной электростанции, расходующей в сутки m = 220 г изотопа 92U235 и имеющей КПД 25 % ? Считать, что при делении одного ядра урана-235 выделяется энергия Q= 200 МэВ.
Решение. Количество распавшихся за сутки (τ = 24 · 3600 с) ядер урана-235 найдём из соотношения: N =m NА /М , где М – молярная масса урана-235.
Количество выделившейся за сутки энергии Е = NQ.
Согласно определению коэффициента полезного действия :
η = Р /Рзатр .
Здесь Рзатр = Е/τ. Из этих выражений находим:
Р = ηmNА Q /( Мτ ) = 53 МВт.