Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.УПРУГИЕ ВОЛНЫ
Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны.
Стоячие волны. Эффект Доплера в акустике.
Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако, оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде называется волновым процессом или волной. Пример: сейсмические волны, волны на воде. Направление распространения волны (колебания) называется лучом.
Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно лучу, т.е. она является упругой волной сдвига. Если же частицы среды колеблются вдоль луча, то упругая волна сжатия называется продольной.
Рис.1. а)Поперечная волна б)Продольная волна
Продольные волны могут возникнуть в среде обладающей упругостью объема, т.е. в твердых телах, жидкостях и газообразных телах. Поперечные волны возникают только в среде, обладающей упругостью формы (деформацией сдвига), т.е. только в твердых телах. Исключение составляют волны на поверхности воды.
Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.
Основные закономерности волнового процесса справедливы не только для механических волн упругой среды, но и для волн любой природы, в частности для волн электромагнитного поля. Волны подчиняются законам геометрической оптики, отражаясь и преломляясь у поверхностей раздела сред, где скорость их распространения изменяется.
Уравнение плоской волны.
Пусть колебания источника О гармонические, т.е. описываются уравнением Х = Аsin wt. С течением времени все частицы среды тоже придут в гармоническое колебание с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет синусоидальная волна.
х λ
¯V x
0 y
Рис.2. y
График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны. График колебания – зависимость смещения данной частицы от времени, график волны – смещение всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.
Получим уравнение волны. Рассмотрим некоторую частицу С. Очевидно, что если частица О колеблется уже в течение времени t, то частица С колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от О до С. Тогда уравнение колебания для частицы С будет
Х = Аsinw(t – t) ,
но t =y/V, где V - cкорость распространения волны.
Тогда Х = Аsinw(t – y/V) – уравнение волны (1)
Учитывая, что длина волны l = VT = V/n, откуда V = l/T, w = 2p/T =2pn получим
Х = Аsin2p(t/T – y/l) = Asin2p(nt –y/l) = Asin(wt -2py/l)= Asin(wt - кy),
где к = 2p/l -волновое число. Если поменять оси координат, то
y(x,t) = Asin(wt ± kx).
Знак (+) указывает противоположное направление распространения.
Расстояние, на которое распространяется колебание за один период, называется длиной волны.
Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы (фазовая скорость). В однородной среде скорость постоянна. При переходе из одной среды в другую меняется скорость распространения волн, ибо меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что при переходе из одной среды в другую будет меняться l.
Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны.
Т.о., фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.
Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать, используя принцип Гюйгенса, сущность которого в следующем.
Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1, рис. 3. Требуется найти его
¯V Dy
1 2
Рис.3
положение через промежуток времени Dt. Согласно Гюйгенсу, 1)каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение).
Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом
Dy = VDt,
где V –скорость волны.
2)Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса).
Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта.
Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V, а следовательно и Dy неодинаковы в различных направлениях.
Т.к. прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется
интенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии E, переносимой волною сквозь площадь S┴., перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ∆t и размеру площади.
I = E/∆t∙S┴,
откуда I=E, если ∆t=1 и S┴=1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт/м2).
Получим выражение для интенсивности волны (можно не давать!!!!!).
Пусть в 1 см3 среды содержится n0 частиц массой m. Тогда энергия колебания среды в единице объема равна
Е = n0mw2A2/2 = rw2A2/2,
где r =n0m.
Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 см2 переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см2 и высотой, равной V, следовательно интенсивность
I =EV = rVw2A2/2.
¯V
y
Рис.4 1 см2 или 1м2
V
Т.о., интенсивность волны пропорциональна плотности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.
Стоячие волны.
Часто приходится наблюдать взаимное наложение волн, при этом частицы среды участвуют сразу в нескольких волновых движениях. Опыт показывает, что в этом случае смещение каждой частицы среды является суммой ее смещений, соответствующим всем налагающимся волнам. Явление наложения называется сложением волн. Одним из важнейших примеров такого сложения служит наложение двух плоских волн, бегущих вдоль оси ОХ в среде без затухания в противоположных направлениях с одинаковыми амплитудой и частотой. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. В этом случае результирующее смещение определяется формулой
Y(x,t)=Asin(wt – kx)+Asin(wt +kx)=2Asin wt coskx=B(x) sinwt
- уравнение стоячей волны.
Такое сложение мы можем наблюдать при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают результирующее колебание, называемое стоячей волной. Колебания струны.
Из уравнения стоячей волны видно, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда В зависит от координаты х:
В(х) = 2А cos kx = 2Acos2px/l.
В тех точках, где 2px/l = np (n = 0,1,2,...), амплитуда В достигает максимума, равного 2А. Эти точки наз. пучностями стоячей волны.
Координата пучности равна хn = ±nl/2. В точках, где 2pх/l = ±(n+1/2)p, амплитуда В обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов равны
Xy = ±(n ± ½)l/2.
Из формул для координат узлов и пучностей следует, что расстояние между соседними узлами (так же как и соседними пучностями) равно l/2.
На границе, где происходит отражение волны, может возникнуть узел или пучность, это зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникнет пучность (рис.5а), если более плотная – узел (рис.5б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами – образуется пучность.
В случае стоячей волны переноса энергии колебаний нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной.
А
0 х
Рис.5.
Эффект Доплера в акустике.
Звуковые волны – механические колебания в определенном интервале частот, распространяющиеся в упругой среде (ν = 16 – 20000 Гц).
Если источник, излучающий звуковые волны с частотой ν0 = 1/Т0, и приемник звука (наблюдатель-слушатель) неподвижны относительно среды, в которой распространяются волны, то частота колебаний ν, воспринимаемых приемником, будет равна частоте ν0 колебаний источника (ν0 = ν).
Если источник или приемник звука перемещаются относительно среды, то частота ν0 ≠ ν. Это явление называется эффектом Доплера.
Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Пример: лабораторная работа в БГУ.
Предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой, причем скорости Vист и Vпр положительны при сближении приемника и источника, и отрицательны при их взаимном удалении.
1)Сначала рассмотрим случай, когда приемник приближается к источнику звука, а источник покоится, т.е. Vпр>0, Vист =0. Тогда скорость распространения волны относительно приемника станет равной V + Vпр. Так как длина волны λ при этом не меняется, то
ν = (V + Vпр)/λ = (V + Vпр)/VT = (V + Vпр) ν0/V, (*)
т.е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (V + Vпр)/V раз больше частоты колебаний источника.
2)Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т.е. Vист >0, Vпр = 0. Поскольку скорость распространения колебаний зависит лишь от упругих свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние VT (равное длине волны λ = VT) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении распространения волны расстояние VистТ (рис.6), т.е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной
λ' = λ - VистТ = (V – Vист)Т,
тогда
ν = V/ λ' = V/(V – Vист)Т = V ν0/(V – Vист), (*)
т.е. частота ν колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в V/(V – Vист) раз. В первом и втором случаях, если Vист< 0 и Vпр< 0, знак в формулах (*) будет противоположным.
3)Источник и приемник движутся относительно друг друга. Объединив оба уравнения (*), получим общее выражение для частоты ν, воспринимаемой приемником звука:
ν = (V ± Vпр) ν0/(V –+ Vист), (**)
причем, в формуле верхние знаки перед скоростями берутся в том случае, когда векторы скорости приемника и источника направлены в сторону сближения, нижние знаки – в случае взаимного удаления источника и приемника.
Если направления скоростей Vист и Vпр не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (**) надо брать их проекции на направление этой прямой.
Разновидностью эффекта Доплера является так наз. двойной эф. Доплера – смещение частоты волн при отражении их от движущихся тел, поскольку отражающий объект можно рассматривать сначала как приемник, а затем как переизлучатель волн.
Доплеровский эффект позволяет измерять скорость движения источников излучения или рассеивающих волны объектов (используется в радио- и гидролокации для измерения скорости движущихся целей). В астрофизике эффект Д. используется для определения скорости движения звезд и скорости вращения небесных тел. В спектроскопии доплеровское уширение линий излучения атомов и ионов дает способ неконтактного измерения их температуры.
2.УЛЬТРАЗВУК
Ультразвук. Источники и приемники ультразвуковых волн. Применение ультразвука.
Ультразвук- упругие волны с частотами от 20 кГц до 1 ГГц. Ультразвук (УЗ) подразделяют на три диапазона: УЗ низких частот (до 105 Гц), УЗ средних частот (105 – 107 Гц), УЗ высоких частот (107 – 109 Гц). Каждый из этих диапазонов характеризуется своими специфическими особенностями генерации, приема, распространения и применения. Длина волны УЗ высокой частоты в воздухе составляет 3,4·10-3 - 3,4·10-5 см, что значительно меньше длины волны звуковых волн. Из-за малых длин волн УЗ, как и свет, может распространяться в виде строго направленных пучков большой интенсивности.
УЗ в газах, и в частности в воздухе, распространяется с большим затуханием. Жидкости и твердые тела (в особенности монокристаллы) представляют собой хорошие проводники УЗ, затухание в них значительно меньше. В воздухе и газах применяют только УЗ низких частот, для которых затухание меньше.
Устройства для генерации УЗ разделяют на две группы- механические и электромеханические.
Механические излучатели УЗ – воздушные и жидкостные свистки и сирены, они отличаются простотой устройства и эксплуатации, не требуют электрической энергии высокой частоты. Их недостаток – широкий спектр излучаемых частот и нестабильность частоты и амплитуды, что не позволяет использовать их для контрольно-измерительных целей; они применяются главным образом в промышленной УЗ-вой технологии и частично – как средство сигнализации.
Основными излучателями УЗ являются электромеханические, преобразующие электрические колебания в механические, которые используют в основном два явления: пьезоэлектрический эффект и магнитострикцию.
Обратный пьезоэлектрический эффект – это возникновение под действием электрического поля деформации в вырезанной определенным образом кварцевой пластине или пластине титаната бария. Если такую пластину поместить в высокочастотное переменное эл. поле, то можно вызвать ее вынужденные колебания. Для увеличения амплитуды колебаний и излучаемой в среду мощности, как правило, применяются резонансные колебания пьезоэлектрических элементов (пластин) на их собственной частоте. Предельные интенсивности излучения УЗ определяются прочностными свойствами материала излучателей. Для получения очень больших интенсивностей УЗ используют его фокусировку (параболоид).
Магнитострикция – это возникновение деформации в ферромагнетиках под действием магнитного поля. В ферромагнитном стержне (никель, железо и др.), помещенном в быстропеременное магнитное поле возбуждаются механические колебания, амплитуда которых максимальна в случае резонанса.
Приемники УЗ. Вследствие обратимости пьезоэффекта пьезоэлектрические преобразователи используются и для приема УЗ. Ультразвуковые колебания, воздействуя на кварц, вызывают в нем упругие колебания, в результате чего на противоположных поверхностях кварца возникают электрические заряды, которые измеряются электроизмерительными приборами.
Применение УЗ. УЗ широко используется в технике, например для направленной подводной сигнализации, обнаружении подводных предметов и определении глубин (гидролокатор, эхолот). Принцип локации: посылается импульс УЗ и регистрируется время t до его возвращения после отражения от предмета, расстояние L до которого измеряется.
L = Vt/2.
По данным измерения поглощения УЗ можно осуществлять контроль за протеканием технологических процессов (контроль состава жидкостей, концентрации газов и т.д.). Используя отражение УЗ на границе различных сред с помощью УЗ-вых приборов измеряют размеры изделий (УЗ-вые толщиномеры), определяют уровни жидкостей в емкостях, недоступных для прямого измерения. УЗ используется в дефектоскопии для неразрушающего контроля изделий из твердых материалов (рельс, крупных отливок, качества проката и т.д.). Отдельно следует отметить, что при помощи УЗ осуществляется звуковое видение: преобразуя УЗ-вые колебания в электрические, а последние в световые, оказывается возможным увидеть те или иные предметы в непрозрачной для света среде (например, УЗИ брюшной полости, и т.д.). УЗ применяют для воздействия на различные процессы (кристаллизацию, диффузию, тепло- и массообмен в металлургии и т.д.) и биологические объекты, для изучения физических свойств веществ (поглощения, структуры вещества и т.д.). Ультразвуковая хирургия, микромассаж тканей,…
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Вопросы
1.Свободные колебания в LC-контуре. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.
2. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение.
3. Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.
4. Резонанс напряжений и резонанс токов.
1. Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения во времени значений силы тока и напряжения в электрической цепи, а также обусловленные этим взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, которые описывают соответственно векторы напряженности электрического Е и магнитного Н полей. Примером электрической цепи, в которой возникают такие колебания, является электрический колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R, рис.1.
- С + I=dq/dt
φ2 φ1> φ2
R L
K Ec =-LdI/dt
Рис.1.
Если сопротивление R мало (R→0) электрический контур является идеальным (LC – контур). При R≠0 часть электрической энергии будет расходоваться на нагревание проводников и будет наблюдаться затухание колебательных процессов.
Свободные колебания в LC-контуре. Колебания электрического тока в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд q, либо возбудив в индуктивности ток. Воспользуемся первым способом. При разомкнутом ключе К зарядим конденсатор С. Между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого WC = q2/2C. После замыкания ключа К емкость начнет разряжаться и в контуре потечет электрический ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но возникнет и начнет увеличиваться энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность L. Энергия магнитного поля WL=LI2/2. Если R = 0, то в момент когда напряжение на конденсаторе, заряд, а следовательно и энергия WC обращаются в нуль, энергия магнитного поля WL и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции Ес). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора С достигнут первоначального значения q (но противоположных знаков), сила тока в цепи станет равной нулю. После этого рассмотренные процессы начнут протекать в обратном направлении, контур вернется в исходное состояние и весь цикл повторится снова. Колебания электрического тока (заряда, напряжения) сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.
При возрастании электрического заряда на положительно заряженной обкладке конденсатора сила тока в цепи равна
I = dq/dt. (1)
Для расчета электрической цепи запишем закон Ома, условившись, что обход контура будем совершать против часовой стрелки:
IR = φ1 – φ2 + EC. (2)
Подставив разность потенциалов между обкладками φ2 – φ1 =q/C и э.д.с. самоиндукции Ec =-LdI/dt, равенство (2) можно переписать в виде дифференциального уравнения второго порядка по отношению к заряду q=q(t) на обкладках конденсатора, и таким образом получим дифференциальное уравнение второго порядка колебаний заряда в контуре:
Ld2q/dt2 +Rdq/dt + q/C = 0. (3)
Поскольку внешние э.д.с. в контуре отсутствуют, то рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания.
Если учесть, что R = 0, то процесс периодического превращения электрической энергии в магнитную и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электрические колебания. Напряжение на обкладках конденсатора меняется во времени по закону U = U0cosω0t, а ток в катушке индуктивности – I = I0cosω0t, т. е свободные колебания в контуре являются гармоническими с частотой ω0 = 2π/Т0. Используя стандартные обозначения для собственной циклической частоты ω0 гармонических колебаний:
ω0 = 1/√LC, (4)
уравнение (3) перепишем так
d2q/dt2 + ω02q = 0 (3а)
- дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний электрического заряда в контуре.
Решением уравнения (3а) является функция
q = qmcos(ω0t + α). (5)
Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0 = 1/√LC, которая называется собственной циклической частотой контура, она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора.
Из (4) получаем выражение для периода колебаний (формула Томсона):
T0 = 2π√(LC). (6)
Используя известную формулу q = UC и (5), запишем выражение для напряжения на конденсаторе:
Uс = (1/C)qmcos(ω0t + α) = Um cos(ω0t + α). (7)
Продифференцировав функцию (5) по времени, получим выражение для силы тока в контуре:
I = - ω0qm sin(ω0t + α) = Im cos(ω0t + α + π/2). (8)
Из (8) видно, что сила тока в катушке индуктивности L опережает по фазе напряжение на конденсаторе C на π/2. Сопоставление формул (5), (7) и (8) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот, как мы уже это установили ранее, основываясь на энергетических соображениях. Амплитудные значения тока и напряжения:
Um=qm/C, Im = ω0qm, Um = Im√(L/C).
2. Свободные затухающие колебания. Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R≠0, это приводит к затуханию колебаний. Введем обозначение β=R/2L, где β – коэффициент затухания, тогда уравнение (3) можно переписать следующим образом
d2q/dt2 + 2βdq/dt + ω02q = 0. (9)
(9) – дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.
При условии, что β<ω0 решение уравнения (9) для заряда q имеет вид затухающих колебаний:
q = qm e-βt cos(ωt + α), (10)
где ω = √( ω02 – β2) - частота затухающих свободных колебаний, очевидно, что ω<ω0. Таким образом, потери энергии приводят к изменению не только амплитуды колебаний, но и их частоты.
После подстановки в последнее выражение значений для ω0 и β, получим
ω = √(1/LC – R2/4L2). (11)
При R = 0 выражение (11) переходит в (4).
Колебания заряда на обкладках конденсатора происходят с периодом
Т = 2π/ω и убывающей амплитудой qm (t) = qmexp(-Rt/2L), рис.2.
q
t
Рис.2.Затухание свободных колебаний заряда в RLC- контуре.
Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации
τ = 1/β = 2L/R,
т.е. индуктивность L является мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.
Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока в контуре
I = dq/dt = qm e-βt [-βcos(ωt + α) – ωsin(ωt + α)].
Это выражение можно преобразовать к виду
I = Ime-βtcos(ωt + α +Δ). (12)
Из (12) видно, что сила тока в контуре затухает со временем, а колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Δ) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.
Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания
λ = ln a(t)/a(t+T) = βT, (13)
где a(t) – амплитуда соответствующей величины (q, U или I). Вспомним, что λ = 1/Ne, где Ne- число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.
Подставив в (13) значение для β=R/2L и Т=2π/ω, получим
λ = (R/2L)(2π/ω) = πR/Lω, (14)
т.е. логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура L, C и R и является характеристикой контура.
Если затухание невелико (β<<ω0), то в (14) можно считать ω ≈ ω0 =1/√LC. Тогда
λ ≈ (πR/L)·√(LC) = πR·√(C/L).
Величину √(C/L), которая имеет размерность электрического сопротивления, называют волновым сопротивлением.
Качество колебательного контура часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания
Q = π/λ = πNe. (15)
Видно, что добротность контура тем больше, чем большее число колебаний он успевает совершить, прежде чем амплитуда колебаний уменьшиться в е раз. В случае слабого затухания
Q = (1/R)·√(L/C). (16)
При увеличении сопротивления контура R затухание колебаний увеличивается, коэффициент затухания растет и при β2 ≥ ω02 вместо колебаний в контуре происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления Rk определяется условием
Rk2/4L2 = 1/LC, (17)
откуда
Rk = 2√(L/C). (18)
Таким образом, условие возможности колебаний в контуре записывается в виде:
R < 2√(L/C = Rk. (19)
3. Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.
Для получения незатухающих колебаний нужно непрерывно пополнять энергию контура от внешнего источника, чтобы компенсировать потери на джоулево тепло, оказывая внешнее периодически изменяющееся воздействие, например, включив последовательно с элементами контура переменную э.д.с. (Е = Е0cosωt) или, разорвав контур, подавать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (U = Um cosωt).
Колебания, возникающие в CLR-цепочке при наличии переменной э.д.с., называются вынужденными.
Эту э.д.с. нужно прибавить к э.д.с. самоиндукции, в результате уравнение (3) из предыдущей темы примет вид
Ld2q/dt2 +Rdq/dt + q/C = Е0cosωt (1)
- дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний.
Вынужденные колебания электрического заряда в цепи контура определяются частным решением этого неоднородного уравнения. Это частное решение имеет вид
q = qmcos(ωt - ψ), (2)
Установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (2), где ψ – сдвиг фаз между внешней э.д.с. и напряжением (зарядом) на конденсаторе, а
tg ψ = R/(1/ωC –ωL).
Продифференцировав выражение (2) по переменной t, получим выражение для силы тока в контуре при установившихся колебаниях
I = - ωqm sin(ωt - ψ) = Im cos(ωt - ψ + π/2),
где амплитуда силы тока в контуре
Im = E0/√R2 + (ωL – 1/ωC)2,
RL = ωL – реактивное индуктивное сопротивление,
RC = 1/ωC – реактивное емкостное сопротивление,
Х = ωL – 1/ωC – реактивное сопротивление,
Z = √R2 + (ωL – 1/ωC)2 – полное (эффективное) сопротивление электрической цепи (колебательного контура).
Амплитуда вынужденных колебаний зависит не только от амплитуды внешней э.д.с., но и от ее частоты ω.
Выражение для силы тока можно записать также в виде
I = Im cos(ωt - φ), (3)
где φ = ψ – π/2 –сдвиг по фазе между током в контуре и приложенной э.д.с., а
tgφ = tg(ψ – π/2) = - 1/tgψ = (ωL -1/ωC)/R. (4)
Разделив выражение (2) на емкость, получим напряжение на конденсаторе
UC = (qm/C) cos(ωt - ψ) = UCmcos(ωt – φ –π/2), (5)
где
UCm = qm/C = Um/ωC√ R2 + (ωL – 1/ωC)2 = Im/ωC. (6)
Умножив производную функции (3) на индуктивность L, получим напряжение на индуктивности
UL = L(dI/dt) = - ωLImsin(ωt – φ) = ULmcos(ωt – φ + π/2), (7)
где ULm = ωLIm.
Сравнивая (3), (5) и (7) видим, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Эти же результаты можно получить с помощью векторной диаграммы, как для переменных токов. Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей L, C и R, переменного электрического тока.
4. Резонанс напряжений и резонанс токов.
Подключим к CLR-контуру переменное синусоидальное напряжение U = Um cosωt. В цепи переменного тока, с последовательно включенными L, C и R, полное сопротивление контура имеет минимальное значение Zmin = R, если ωL = 1/ωC. В этом случае падения напряжения на индуктивности и конденсаторе равны, а их фазы противоположны, т.е. (UL)рез опережает (UС)рез по фазе на π, так что (UС)рез + (UС)рез = 0. Ток в цепи принимает максимальные значения (возможные при данном Um), определяемые минимальным сопротивлением, что свидетельствует о наличии резонансной частоты ωрез для тока, значение которой определяется из условия
ωL = 1/ωC, откуда ωрез = 1/√LC = ω0, (8)
т.е. резонансная частота для силы тока равна циклической частоте собственных колебаний в контуре. Напряжение UR на активном сопротивлении R в этом случае равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (UR =U). При этом сила тока и внешнее напряжение совпадают по фазе.
Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в контуре с последовательно включенными L, C, R и Е при ωрез = 1/√LC = ω0 называется резонансом напряжений (последовательным резонансом).
I0 Im
0,7·Im рез= Im рез/√2
ω1 ωрез ω2 ω
Рис.2. Резонансная кривая колебательного контура.
Кривая зависимости амплитуды силы тока в контуре от частоты внешнего напряжения называется резонансной характеристикой контура, рис.2. Частота ωрез не зависит от активного сопротивления контура R. Δω = ω2 – ω1 – полуширина резонансной кривой. Частоты ω1 и ω2 соответствуют амплитуде силы тока в контуре, которая в √2 раз меньше максимально возможной амплитуды тока.
Поскольку в случае резонанса напряжений (UL)рез = (UС)рез, то подставив сюда значения резонансной частоты (8) и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе (6), (7), получим
(UL)рез = (UС)рез = Im √L/C = (Um/R)√L/C = QUm, (9)
где Q – добротность контура. Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. Так как Q обычных колебательных контуров больше единицы, то (UL)рез = (UС)рез > Е, т.е. добротность показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе (катушке) больше напряжения (э.д.с.), приложенного к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты, выделения из многих сигналов одного колебания определенной ν.
Можно показать, что относительная полуширина резонансной кривой связана с добротностью контура следующим соотношением
Δω/ωрез=R√C/L=1/Q. (10)
При резонансной частоте сдвиг фаз φ между током и напряжением обращается в нуль (φ=0), т.е. изменения тока и напряжения происходят синфазно колебаниям внешней э.д.с.:
Е = E0cos ωрезt, Iрез = (E0/R)cos ωрезt, I0max = E0/R.
Резонанс токов. Рассмотрим цепь переменного электрического тока, содержащую параллельно включенные L и С, рис.3. Пусть активное сопротивление R = 0.
I1 C
I 1 2
I2 L ~U
Рис.3.
Если U =Umcosωt, то в ветви 1С2 течет ток
I1 = Im1cos(ωt–φ1). (11)
Начальная фаза φ1 определяется условием tg φ1 =-∞, т.е. φ1 = (2n+3/2)π, n=1, 2, 3, ... , а амплитуда тока (при условии L = 0 и R = 0) равна
Im1 = Um/(1/ωC).
Сила тока в ветви 1L2
I2 = Im2cos(ωt–φ2), (12)
а начальная фаза φ2 , определяемая из условия tg φ2 =+∞, равна φ2 = (2n+1/2)π, n=1, 2, 3, ... Амплитуда тока (при R = 0 и С=∞ - условие отсутствия емкости в цепи) равна
Im2 = Um/(ωL).
Cравнивая выражения (11) и (12) видим, что φ2 - φ1 =π, т.е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда тока во внешней (неразветвленной) цепи согласно первому правилу Кирхгофа равна
Im = | Im1 - Im2 |= Um |ωC – 1/(ωL)|.
Если ω = ωрез = 1/√(LС), то Im1 = Im2 и Im = 0.
Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор С и катушку индуктивности L, при приближении частоты ω приложенного напряжения к резонансной частоте ωрез называется резонансом токов (параллельным резонансом).
Амплитуда тока Im = 0, так как считали, что активное сопротивление контура R = 0. При R ≠ 0 разность фаз φ2 - φ1 ≠ π, поэтому Im ≠ 0 и сила тока I в подводящих проводах примет наименьшее возможное значение, обусловленное только током через резистор. При резонансе токов силы токов I1 и I2 могут значительно превышать силу тока I.
Рассмотренный параллельный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной. Поэтому его свойства используются в резонансных усилителях, позволяющих выделить одно колебание определенной частоты из сигнала сложной формы.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
Вопросы.
1.Общая характеристика теории Максвелла. Вихревое магнитное поле.
2. Первое уравнение Максвелла в интегральном виде.
3. Ток смещения. Второе уравнения Максвелла в интегральном виде.
4. Третье и четвертое уравнения Максвелла. Уравнения состояния.
1.Общая характеристика теории Максвелла. Вихревое магнитное поле. Ток смещения. Фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающей электромагнитные явления в любой среде (и в вакууме) были получены в 60-х гг. 19 века Дж. Максвеллом на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений и развития идеи английского ученого М. Фарадея о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляется посредством электромагнитного поля (явление электромагнитной индукции). Максвелл предложил уравнения, связывающие воедино электрические и магнитные явления, и предсказал существование электромагнитных волн. В теории Максвелла раскрывается электромагнитная природа света. Теория Максвелла является макроскопической, так как в ней рассматриваются поля, создаваемые макроскопическими зарядами и токами, сосредоточенными в объемах значительно больших, чем объемы отдельных атомов и молекул.
Теория Максвелла для электромагнитного поля связывает величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, т.е. распределением в пространстве электрических зарядов и токов. Векторы Е, D, B и H электромагнитного поля в сплошной среде подчиняются уравнениям связи, которые определяются свойствами среды. Электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции, т.е. полное поле нескольких источников представляет собой векторную сумму полей, создаваемых отдельными источниками.
Рассмотрим явление электромагнитной индукции. Из закона Фарадея
Еин = - ∂Фm /∂t (1)
следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и появлению вследствие этого индукционного тока. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, проводящий контур, в котором появляется э.д.с., играет второстепенную роль, являясь лишь индикатором, обнаруживающим это поле.
2.Первое уравнение Максвелла в интегральной форме. Первое уравнение Максвелла представляет собой закон индукции Фарадея. Согласно определению, э.д.с. равна циркуляции вектора напряженности электрического поля Е:
Е = ∫E·dl, (2)
L
которая для потенциального поля равна нулю. В общем случае изменяющегося вихревого поля для Еин получим
∫E·dl = - dФm /dt = -∫(∂B/∂t) dS. (3)
L S
(3) – первое уравнение Максвелла: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данным контуром. Знак « - « соответствует правилу Ленца для направления индукционного тока. Отсюда следует, что переменное магнитное поле создает в пространстве вихревое электрическое поле независимо от того, находится в этом поле проводник (замкнутый проводящий контур) или нет. Полученное таким образом уравнение (3) является обобщением уравнения (2), которое справедливо только для потенциального поля, т.е. электростатического поля.
3.Ток смещения и второе уравнение Максвелла в интегральной форме. Второе уравнение Максвелла в интегральной форме является обобщением на переменные поля закона Био – Савара – Лапласа о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только электрическими токами, текущими в проводнике, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Чтобы установить количественные соотношения между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.
Для определения понятия тока смещения рассмотрим цепь переменного тока с напряжением U и подключенным к ней конденсатором С.
I Iсм
С
~U
Рис. 4.
Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле. Согласно теории Максвелла, в тех участках электрической цепи, где отсутствуют проводники тока, токи проводимости замыкаются токами смещения Iсм в диэлектрике конденсатора, причем
I = Iсм = ∫jсмdS, (4)
S
где jсм - плотность тока смещения.
То есть, переменное электрическое поле в конденсаторе (или ток смещения) в любой момент времени создает такое же магнитное поле, как если бы через конденсатор протекал ток проводимости, равный силе тока в металлических проводниках цепи.
Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора можно записать так
I = dq/dt = (d/dt)∫σ dS = ∫(∂σ/∂t)dS = ∫(∂D/∂t)dS, (5)
S S S
так как поверхностная плотность заряда σ на обкладках конденсатора равна электрическому смещению D в конденсаторе. Подынтегральное выражение в (4) можно рассматривать как частный случай скалярного произведения двух векторов (∂D/∂t)dS, когда векторы (∂D/∂t) и dS взаимно параллельны. Поэтому для общего случая выражение (5) можно записать так
I = ∫(∂D/∂t)dS.
S
Cравнивая это выражение с (4), имеем
jсм = ∂D/∂t.
Направление векторов плотностей токов j и jсм совпадают с направлением вектора ∂D/∂t.
В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как в диэлектрике вектор электрического смещения D = ε0E + P, где Е – напряженность электрического поля, а Р – поляризованность среды, тогда плотность тока смещения будет равна
jсм = ε0 ∂E/∂t + ∂P/∂t, (6)
где ε0∂E/∂t – плотность тока смещения в вакууме (не связанная с движением зарядов, а обусловленная только изменением электрического поля во времени), ∂P/∂t – плотность тока поляризации – тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах).
Максвелл ввел понятие полного тока. Полный ток, равный сумме тока смещения и тока проводимости, всегда является замкнутым. Плотность полного тока
jполн = j + ∂D/∂t. (7)
В зависимости от электропроводности среды и быстроты изменения электрического поля каждое из слагаемых в уравнении (7) дает различный вклад. В хорошо проводящих средах (металлах) и при малых скоростях изменения электрического поля ∂D/∂t плотность тока смещения пренебрежимо мала по сравнению с плотностью тока проводимости. В плохо проводящих средах (диэлектриках) и при высоких скоростях изменения ∂D/∂t ток смещения вносит основной вклад в полный ток.
Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля Н, введя в нее понятие полного тока
∫ Hdl =∫(j + ∂D/∂t)dS - (8)
L S
второе уравнение Максвелла: циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна суммарному току проводимости, который пронизывает поверхность S, натянутую на этот контур, сложенному со скоростью изменения потока вектора электрической индукции D через эту поверхность.
Повторяем, что переменное магнитное поле может возбуждаться движущимися зарядами (электрическими токами) и переменным электрическим полем (током смещения).
Третье и четвертое уравнения Максвелла. Третье уравнение Максвелла выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов (магнитное поле порождается только электрическими токами), т.е. теорема Гаусса оказалась справедливой не только для электро- и магнитостатических полей, но и для переменного во времени вихревого электромагнитного поля:
∫DdS = q, (9)
S
∫BdS = 0. (10)
S
Как видим, уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей, что обусловлено существованием в природе электрических зарядов и электрических токов проводимости, но отсутствием зарядов магнитных. Величины, входящие в уравнения Максвелла, являются зависимыми, и между ними существует следующая связь:
D = D(E), B= B(H), j = j(E). (11)
Эти уравнения называются уравнениями состояния или материальными уравнениями, они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определенную форму.
Интегральные уравнения Максвелла описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды.
От интегральных уравнений Максвелла (3), (8-10) можно перейти к системе дифференциальных уравнений. Четыре фундаментальных уравнения Максвелла в интегральной или дифференциальной формах не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Их необходимо дополнить соотношениями, связывающими векторы E, H, D, B и j, которые не являются независимыми. Связь между ними определяется свойствами среды и ее состоянием. Электромагнитные свойства среды определяются уравнениями, которые в общем случае очень сложны, они могут быть интегральными, тензорными и нелинейными, однако в случае изотропной однородной проводящей неферромагнитной и несегнетоэлектрической среды имеют простой вид
D = εε0E, B= μμ0H, j = σ E. (12)
Уравнения (3), (8-10) и (12) образуют полную систему уравнений электромагнитного поля в среде, решение которой при заданных граничных условиях позволяет определить векторы E, H, D, B и j и скаляр ρ (ρ -плотность распределения электрических зарядов в пространстве) в каждой точке среды с заданными ее характеристиками ε, μ, σ.
Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с магнитным. Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, способны превращаться друг в друга и образуют единое электромагнитное поле.
Теория Максвелла не только смогла объяснить уже известные экспериментальные факты, но и предсказала новые явления. Одним из важных выводов этой теории явилось существование магнитного поля токов смещения, что позволило Максвеллу предсказать существование электромагнитных волн – переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. Это привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света.
Уравнения Максвелла описывают огромную область явлений. Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важную роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы и проблема управляемого термоядерного синтеза, магнитная гидродинамика, нелинейная оптика, астрофизика и т.д.
Уравнения Максвелла неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, т.е. когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля – фотонов велика и в процессах участвует небольшое число фотонов.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Вопросы.
1.Экспериментальное получение электромагнитных волн.
2.Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля.
3. Энергия электромагнитных волн.
4. Давление электромагнитных волн.
1.Экспериментальное получение электромагнитных волн. Существование электромагнитных волн было предсказано английским физиком М.Фарадеем в 1832году. Из уравнений Максвелла, сформулированных им в 1865 году, вытекает, что переменные электромагнитные поля распространяются в пространстве со скоростью света. Решающее значение для подтверждения максвелловской теории сыграли опыты немецкого физика Г. Герца (1888г.), в которых было показано, что электрические и магнитные поля действительно распространяются в виде волн, свойства которых описываются уравнениями Максвелла. Уравнения Максвелла позволили установить, что электромагнитные радиоволны, оптическое, рентгеновское и гамма-излучения представляют собой электромагнитные волны с различной длиной волны.
Если где-то в пространстве существуют изменяющиеся со временем электрические заряды и токи, то они будут излучать электромагнитные волны, распространяющиеся в окружающей среде. Источником электромагнитных волн, например, может служить любой электрический колебательный контур или проводник, по которому течет переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменные электрическое и магнитное поля.
В рассмотренной ранее лекции колебательном LC- контуре электрическое и магнитное поля сосредоточены между обкладками конденсатора и внутри катушки индуктивности. Такой контур слабо излучает энергию в окружающее пространство и является в этом смысле закрытым колебательным контуром. Излучающая способность такого контура мала и он непригоден для получения электромагнитных волн. В 1886 году Г. Герц использовал для получения электромагнитных волн открытый колебательный контур, в котором он уменьшил число витков катушки и площадь пластин конденсатора, а также раздвинул их и таким образом совершил переход от закрытого колебательного контура к открытому колебательному контуру (вибратор Герца), представляющему собой два стержня, разделенных искровым промежутком. При подаче на вибратор высокого напряжения в промежутке между стержнями проскакивала искра. Она закорачивала промежуток, и в вибраторе возникали затухающие электрические колебания. За время горения искры успевало совершаться большое число колебаний. Если в закрытом колебательном контуре переменное электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора (рис.1а), то в открытом оно заполняет окружающее
a) б) в)
L1 1
C E(t)
2
L2
Рис.1.
пространство (рис.в), вследствие чего существенно повышается интенсивность электромагнитного излучения. Излучаемые электромагнитные волны, распространяясь в пространстве, переносят энергию, поэтому запасенная в вибраторе энергия с течением времени уменьшается. Пополняется энергия вибратора за счет источника э.д.с., подключаемого к обкладкам конденсатора, а искровой промежуток применяется для того, чтобы увеличить разность потенциалов, до которой первоначально заряжаются обкладки. Помимо электрического поля, в пространстве вокруг вибратора создается вихревое магнитное поле, причем как показали исследования, в каждой точке пространства векторы Е и Н взаимно перпендикулярны, а их значения зависят от координат и времени. Для регистрации электромагнитных волн Г. Герц использовал второй подобный вибратор, называемый резонатором, имеющий такую же частоту собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т.е. настроенный в резонанс с вибратором. Когда электромагнитные волны достигали резонатора, то в его зазоре проскакивала электрическая искра.
Г. Герц, используя описанный вибратор, получил электромагнитные волны длиной от 0,6 м до 10 м. С помощью больших металлических зеркал и асфальтовой призмы (размером более 1 м и массой 1200 кг) Герц осуществил отражение и преломление электромагнитных волн. Он обнаружил, что оба эти явления подчиняются законам, установленным ранее в оптике для световых волн. Отразив бегущую плоскую волну с помощью металлического зеркала в обратном направлении, Герц получил стоячую волну и, измерив расстояние между узлами и пучностями, определил длину волны λ. Умножив λ на частоту колебаний вибратора ν, определил скорость распространения электромагнитных волн, которая оказалась к близкой скорости света С. Используя решетку из параллельных друг другу медных проволок расположенных на пути распространения электромагнитных волн Г. Герц доказал поперечность электромагнитных волн.
Опыты Г. Герца были продолжены русским ученым П.Н. Лебедевым, который в 1894 году применил миниатюрный вибратор из тонких платиновых стерженьков и получил более короткие электромагнитные волны с λ = 4 – 6 мм и исследовал прохождение их в кристаллах. При этом было обнаружено двойное преломление волн (двойное лучепреломление).
В 1896 году русский ученый А.С. Попов впервые осуществил с помощью электромагнитных волн передачу сообщения на расстояние около 250 м (были переданы слова «Генрих Герц»). Тем самым было положено основание радиотехнике.
Недостатком вибраторов Герца и Лебедева являлось то, что свободные колебания в них быстро затухали и обладали малой мощностью. Для получения незатухающих колебаний необходимо создать автоколебательную систему, которая обеспечивала бы подачу энергии с частотой, равной частоте собственных колебаний контура. Для этого используют ламповые или транзисторные генераторы.
Простейшим излучателем электромагнитной волны является электрический диполь, представляющий собой отрезок проводника длиной l <<λ, по которому протекает электрический ток I = I0sinωt. На расстояниях r>>λ от электрического диполя, в так называемой волновой зоне, электромагнитные поля «отпочковавшиеся» от диполя никак с ним не связаны и свободно распространяются в пространстве. В однородной изотропной среде они образуют сферическую волну.
Помимо радиотехники электромагнитные волны широко используются в радиолокации для обнаружения и определения положения самолетов, ракет, кораблей, наблюдения за образованием и движением облаков, изучения движения планет и метеоритов и т.д. Электромагнитные волны используются в радиогеодезии для точного определения расстояний между объектами и положение объекта на местности (система ГЛОНАСС). В радиоастрономии электромагнитные волны используются для исследования радиоизлучения небесных объектов. Практически нет таких областей науки и техники, где бы не использовались электромагнитные волны.
2.Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля. На расстоянии r>>λ от электрического диполя или вибратора (волновая зона) электрическое и магнитное поля изменяются в фазе по гармоническому закону и представляют собой сферическую электромагнитную волну, распространяющуюся с фазовой скоростью
V = 1/√ε0εμ0μ = С/√εμ,
где С = 1/√ ε0μ0 – скорость света в вакууме, ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемость среды. Так как εμ>1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме. При наличии дисперсии среды (зависимости скорости распространения электромагнитных волн от их частоты) скорость переноса энергии, характеризуемая групповой скоростью Vгр, может отличаться от V. В анизотропных средах V зависит также от направления распространения волны.
С дальнейшим увеличением расстояния от вибратора радиус кривизны фронта сферической волны увеличивается, и ее можно считать плоской. Можно показать, что для однородной незаряженной непроводящей (плотность тока j=0) несегнетоэлектрической (ε = const) и неферромагнитной среды (μ = const) из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженности Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению:
ΔE = (1/V2)∂2E/∂t2, (1)
ΔH = (1/V2)∂2H/∂t2, (2)
где Δ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 - оператор Лапласа.
Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору V скорости распространения волны, причем векторы Е, Н и V образуют правовинтовую систему. Уравнениям (1) и (2) удовлетворяют плоские монохроматические электромагнитные волны, описываемые уравнениями
Еy = E0cos(ωt – kx + φ), (3)
Hz = H0cos(ωt – kx + φ), (4)
где k = ω/V – волновое число.
Векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах, поэтому в уравнениях (3) и (4) начальные фазы φ колебаний в точках с координатой х = 0 одинаковы.
Между амплитудными Е0 и Н0 и мгновенными значениями Е и Н в плоской электромагнитной волне существует взаимосвязь:
Е√ε0ε = Н√μ0μ; Е0 √ε0ε = Н0 √μ0μ. (5)
3.Энергия электромагнитных волн. Электромагнитные волны переносят энергию. В изотропной среде, не обладающей ферромагнитными и сегнетоэлектрическими свойствами, объемная плотность энергии электромагнитного поля W складывается из объемных плотностей Wэл и Wм электрического и магнитных полей:
W = Wэл + Wм = ε0εE2/2 + μ0μH2/2. (6)
Усредненные по времени плотности энергии электрического и магнитного полей одинаковы, т.е. Wэл = Wм. Поэтому можно написать, что
W = Wэл + Wм = ε0εE2 = √ε0μ0√εμ ЕН. (7)
Полную энергию электромагнитного поля W можно определить, вычислив интеграл по объему V, в котором характеристики электрического и магнитного полей отличны от нуля
W = ∫( Wэл + Wм ) dV.
v
Умножив плотность энергии W на скорость V распространения волны в среде, получим модуль вектора плотности потока энергии S, где S – векторная величина, равная энергии, переносимой электромагнитной волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса.
S = WV = EH. (8)
Так как векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [EH] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН. Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова- Пойтинга) можно представить как векторное произведение Е и Н:
S = [EH].
Поток Ф энергии, переносимой электромагнитной волной через некоторую поверхность F, можно найти с помощью интегрирования:
Ф = ∫S dF. (9)
F
При распространении электромагнитной волны в средах с диссипацией энергии волна затухает, а ее энергия поглощается или рассеивается средой.
4.Давление электромагнитных волн. Гипотеза о существовании давления света впервые была высказана в 17 веке немецким ученым И. Кеплером для объяснения отклонения хвостов комет, пролетающих вблизи Солнца. Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами, что было подтверждено Г. Герцем, то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны сообщают телу некоторый импульс, т.е. должны оказывать на тела давление. Однако значение этого давления ничтожно мало даже для самых сильных источников света, таких как Солнце.
При падении электромагнитной волны на поверхность любой среды ее электрическая составляющая вызывает периодическое смещение электрических зарядов среды, образуется электрический ток, взаимодействие которого с магнитной составляющей волны приводит к появлению силы Ампера, направленной перпендикулярно поверхности среды. Усредненное по времени значение силы Ампера, действующей на единицу поверхности, дает давление плоской электромагнитной волны
Р = (1 – Т + R)I/C,
где I/C – отношение интенсивности света к его скорости, Т и R- коэффициенты пропускания и отражения света поверхностью среды.
Электромагнитному полю присущ механический импульс.
В случае поглощающей поверхности импульс электромагнитного поля
Р = W/С,
где W – энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как Р = mC (поле в вакууме распространяется со скоростью С), получим Р = mC = W/С, откуда
W = mC2, (10)
где m – масса поля. Так как скорость света С очень велика, то даже значительной энергии поля соответствует очень малая его масса.
Соотношение (10) между массой и энергией электромагнитного поля является универсальным законом природы.
Можно оценить, что при средней мощности солнечного излучения, приходящего на Землю, давление для абсолютно поглощающей поверхности составляет примерно 5 мкПа. В исключительно тонких экспериментах, ставших классическими, П.Н. Лебедев в 1899 г. доказал существование светового давления на твердые тела, а в 1910 г. – на газы. Результаты измерений оказались в полном согласии с теорией, что подтвердило выводы Максвелла о том, что свет представляет собой электромагнитные волны.
С развитием квантовых представлений об оптическом излучении давление электромагнитных волн получает простую интерпретацию. Оптическое излучение представляется как поток фотонов с энергией ε = hυ, скоростью С и импульсом hυ/С, где h – постоянная Планка. Если падающий на среду фотон поглощается, рассеивается или отражается частицами среды, то он передает свою энергию и импульс силы этим частицам. Передача импульса согласно 2-му закону Ньютона означает появление силы с неравной нулю составляющей, перпендикулярной поверхности среды, т.е. появление давления вследствие воздействия на поверхность среды оптического излучения. Импульс силы, сообщаемый единице поверхности в единицу времени, равен давлению Р на поверхность.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Вопросы.
1.Основные законы геометрической оптики. Геометрическая оптика это раздел оптики, в котором изучаются законы распространения света в прозрачных средах и построение изображений в оптических системах на основе представлений о световых лучах. Под световым лучом понимают линию, вдоль которой распространяется поток световой энергии. Световой луч является абстрактным математическим понятием, а не физическим образом. На практике обычно используют оптические пучки с шириной значительно большей длины волны и угловым расширением пучков, связанным с явлением дифракции света на оптических неоднородностях, пренебрегают. Это допустимо, если длина световой волны λ→ 0. Поэтому приближения геометрической оптики можно определить как предельный случай волновой оптики при λ→ 0.
Принцип прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно. В неоднородной среде, показатель преломления которой является функцией координат, луч искривляется. В этом случае истинная траектория луча может быть найдена на основе принципа Ферма: действительным путем распространения света является путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с другими возможными путями между теми же точками.
Согласно принципу независимости распространения световых лучей луч света при встрече с другими лучами продолжает распространяться в том же направлении, не изменяя амплитуды, частоты, фазы и плоскости поляризации электрического вектора световой волны. Эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой пучок на отдельные световые пучки, можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо. Этот закон справедлив лишь при не слишком больших интенсивностях света, когда не играют существенной роли эффекты, связанные с откликом среды на распространение светового луча. При интенсивностях, достигаемых с помощью лазеров, независимость световых лучей перестает соблюдаться.
Если световой луч падает на границу раздела двух прозрачных сред, то в точке падения он разделяется на два луча – отраженный и преломленный, направления которых задаются законами отражения и преломления света.
Закон отражения света: отраженный от границы раздела двух сред луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела в точке падения; угол отражения равен углу падения, рис.1.
Рис.1.
Закон преломления света: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред
sini1/sini2 = n21 = n2/ n1 , очевидно sini1/sini2 = V1/ V2, (1)
где n21 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления n21 = n2/ n1, причем показатель преломления первой среды относительно второй n12 равен обратному значению показателя преломления второй среды относительно первой n21.
Абсолютным показателем преломления среды называется величина n, равная отношению скорости С распространения электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости V в среде:
n = С/ V.
Среда с большим оптическим показателем преломления называется оптически более плотной.
Из симметрии выражения (1) вытекает обратимость световых лучей, сущность которой состоит в том, что если направить световой луч из второй среды в первую под углом i2, то преломленный луч в первой среде выйдет под углом i1. При переходе света из оптически менее плотной среды в более плотную получается, что sini1 > sini2, т.е. угол преломления меньше угла падения света, и наоборот. В последнем случае при увеличении угла падения угол преломления увеличивается в большей мере, так что при некотором предельном угле падения iпр угол преломления становится равным π/2. С помощью закона преломления можно рассчитать значение предельного угла падения:
sin iпр/sin(π/2) = n21= n2/n1, откуда iпр = arcsin n2/n1. (2)
В этом предельном случае преломленный луч скользит по границе раздела сред. При углах падения i > iпр свет не проникает в глубь оптически менее плотной среды, весь падающий свет полностью отражается, имеет место явление полного внутреннего отражения. Угол iпр называется предельным углом полного внутреннего отражения.
Явление полного внутреннего отражения используется в призмах полного отражения, которые применяются в оптических приборах: биноклях, перископах, рефрактометрах (приборах, позволяющих определять оптические показатели преломления), в световодах, представляющих собой тонкие, гнущиеся волокна из оптически прозрачного материала. Свет, падающий на торец световода под углами, большими предельного, претерпевает на границе раздела сердцевины и оболочки полное внутреннее отражение и распространяется только по световедущей жиле. С помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Для передачи изображений используются многожильные световоды (кабели). Световоды широко используются в медицине, ЭВМ, интегральной оптике и т.д. Оптические волокна и кабели используются для передачи информации со скоростью до 100 Гбит/с. При этом дальность передачи без промежуточных пунктов регенерации сигналов составляет сотни километров.
Для объяснения закона преломления и искривления лучей при прохождении их через оптически неоднородные среды вводится понятие оптической длины пути луча
L = nS или L = ∫ndS,
соответственно для однородной и неоднородной сред.
Согласно принципу Ферма для оптической длины пути луча, распространяющегося в неоднородных прозрачных средах: оптическая длина пути луча в среде между двумя заданными точками минимальна, или другими словами, свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна. Поскольку
ΔL = nΔS = (C/V)VΔt = CΔt,
то условие минимума для промежутка времени Δt, который необходим для прохождения света вдоль луча из одной точки в другую, эквивалентно минимуму для оптической длины пути L.
2.Фотометрические величины и их единицы. Фотометрия – раздел оптики, занимающийся вопросами измерения энергетических характеристик оптического излучения в процессах распространения и взаимодействия с веществом. В фотометрии используются энергетические величины, которые характеризуют энергетические параметры оптического излучения вне зависимости от его действия на приемники излучения, и световые величины, которые характеризуют физиологические действия света и оцениваются по воздействию на глаза человека или другие приемники.
Энергетические величины.
Поток энергии Фе – величина, численно равная энергии W излучения, проходящей через сечение, перпендикулярное направлению переноса энергии, за единицу времени
Фе = W/ t, ватт (Вт).
Поток энергии эквивалентен мощности энергии и определяется произведением объемной плотности энергии на скорость переноса.
Энергия, излучаемая реальным источником в окружающее пространство, распределена по его поверхности.
Энергетическая светимость (излучательность) Rе – мощность излучения с единицы площади поверхности во всех направлениях:
Rе = Фе / S, (Вт/м2)
т.е. представляет собой поверхностную плотность потока излучения.
Энергетическая сила света (сила излучения) Ie определяется с помощью понятия о точечном источнике света – источнике, размерами которого по сравнению с расстоянием до места наблюдения можно пренебречь. Энергетическая сила света Ie величина, равная отношению потока излучения Фе источника к телесному углу ω, в пределах которого это излучение распространяется:
Ie = Фе /ω, (Вт/ср) - ватт на стерадиан.
Сила света источника часто зависит от направления излучения. Если она не зависит от направления излучения, то такой источник называется изотропным. Для изотропного источника сила света равна
Ie = Фе /4π.
В случае протяженного источника можно говорить о силе света элемента его поверхности dS.
Энергетическая яркость (лучистость) Ве – величина, равная отношению энергетической силы света ΔIe элемента излучающей поверхности к площади ΔS проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную направлению наблюдения:
Ве = ΔIe / ΔS. (Вт/ср.м2)
Действие источников называют освещением. Оно характеризуется энергетической освещенностью.
Энергетическая освещенность (облученность) Ее характеризует степень освещенности поверхности и равна величине потока излучения со всех направлений, падающего на единицу освещаемой поверхности. (Вт/м2).
В фотометрии используется закон обратных квадратов (закон Кеплера): освещенность плоскости с перпендикулярного направления от точечного источника с силой Ie на расстоянии r от него, рис. Х.:
Ее = Ie /r2.
Отклонение луча оптического излучения от перпендикуляра к поверхности на угол α приводит к уменьшению освещенности (закон Ламберта):
Ее = Ie cosα/r2.
Важную роль при измерении энергетических характеристик излучения играют временное и спектральное распределение его мощности. Если длительность оптического излучения меньше времени наблюдения, то излучение считают импульсным, а если больше – непрерывным. Источники могут испускать излучение различных длин волн. Поэтому на практике используют понятие спектр излучения – распределение мощности излучения по шкале длин волн λ (или частот). Практически все источники излучают по-разному на разных участках спектра.
Для бесконечно малого интервала длин волн dλ значение любой фотометрической величины можно задать с помощью ее спектральной плотности. Например, спектральная плотность энергетической светимости
Rеλ = dW/dλ,
где dW – энергия, излучаемая с единицы площади поверхности за единицу времени в интервале длин волн от λ до λ + dλ.
Световые величины. При оптических измерениях пользуются различными приемниками излучения, спектральные характеристики чувствительности которых к свету различных длин волн различны. Отклик на монохроматическое излучение единичной мощности называется спектральной чувствительностью фотоприемника. Спектральная чувствительность фотоприемника зависит только от его свойств, у разных приемников она различна. Относительная спектральная чувствительность человеческого глаза V(λ) приведена на рис. 2.
V(λ)
1,0
0,5
0
400 555 700 λ, нм
Рис.2
Система световых величин вводится с учетом относительной спектральной чувствительности человеческого глаза. Поэтому световые измерения, являясь субъективными, отличаются от объективных, энергетических и для них вводятся световые единицы, используемые только для видимого света. Основной световой единицей в системе СИ является сила света – кандела (кд), которая равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540·1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср. Все остальные световые величины выражаются через канделу.
Определение световых единиц аналогично энергетическим. Для измерения световых величин используют специальные методики и приборы – фотометры.
Световой поток. Единицей светового потока является люмен (лм). Он равен световому потоку, излучаемому изотропным источником света с силой в 1 кд в пределах телесного угла в один стерадиан (при равномерности поля излучения внутри телесного угла):
1 лм = 1 кд·1ср.
Опытным путем установлено, что световому потоку в 1 лм, образованному излучением с длиной волны λ = 555 нм соответствует поток энергии в 0,00146 Вт. Световому потоку в 1 лм, образованному излучением с другой λ, соответствует поток энергии
Фе = 0,00146/V(λ), Вт.
1 лм = 0,00146 Вт.
Освещенность Е - величина, раная отношению светового потока Ф, падающего на поверхность, к площади S этой поверхности:
Е = Ф/S, люкс (лк).
1 лк – освещенность поверхности, на 1 м2 которой падает световой поток в 1 лм (1лк = 1 лм/м2). Для измерений освещенности используют приборы, измеряющие поток оптического излучения со всех направлений, - люксметры.
Яркость RC (светимость) светящейся поверхности в некотором направлении φ есть величина, равная отношению силы света I в этом направлении к площади S проекции светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную данному направлению:
RC = I/(Scosφ). (кд/м2).
В общем случае яркость источников света различна для разных направлений. Источники, яркость которых одинакова по всем направлениям, называются ламбертовскими или косинусными, так как световой поток, излучаемый элементом поверхности такого источника, пропорционален cosφ. Строго удовлетворяет такому условию только абсолютно черное тело.
Любой фотометр с ограниченным углом зрения является по сути яркометром. Измерение спектрального и пространственного распределения яркости и освещенности позволяет рассчитать все остальные фотометрические величины путем интегрирования.
ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА НА СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ. ТОНКИЕ ЛИНЗЫ. ФОРМУЛА ТОНКОЙ ЛИНЗЫ И ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРЕДМЕТОВ С ПОМОЩЬЮ ТОНКОЙ ЛИНЗЫ.
Вопросы:
3. Построение изображений предметов с помощью тонкой линзы.
1.Преломление (и отражение) света на сферических поверхностях. Сферические преломляющие поверхности часто встречаются в практике. Они ограничивают оптические стекла (линзы) – основные детали оптических приборов.
Предположим, что две прозрачные однородные среды с показателями преломления n1 и n2 разделяются сферической поверхностью с радиусом r. Введем понятие главная оптическая ось, под которой будем подразумевать прямую, проходящую через источник света (точка А1) и центр кривизны (точка С) преломляющей поверхности ВD, рис.1.
Рассмотрим, как преломляются оптические лучи, падающие из источника света на поверхность раздела двух сред.
Для определения значений углов и длин направленных отрезков воспользуемся следующим правилом. Расстояния будем считать
Рис.1.
положительными, если они отложены от точки О в направлении распространения светового луча, и отрицательными, если они отложены в сторону, противоположную световому лучу, рис.1.
Значения всех углов отсчитываются от направления оптической оси или нормали к поверхности ВD, причем углы, откладываемые по ходу часовой стрелки, считаются положительными, в обратном направлении - отрицательными.
Предполагаем, что пучок лучей очень узкий и образует очень малые углы с оптической осью или нормалями к разделяющим поверхностям. Такой пучок лучей называется параксиальным. В этом случае можно приближенно заменять синусы и тангенсы значениями этих углов в радианах.
Величина
D = (n2 – n1)/r, (1)
которая зависит только от коэффициентов преломления сред и радиуса поверхности их раздела, называется оптической силой поверхности.
Из треугольников А1LK, KLC и KLA2 на рис.1 можно получить, что
-n1/S1 + n2/S2 = (n2 – n1)/r, (2)
или
-n1/S1 + n2/S2 = D. (3)
Выражение (3) - формула для сферической преломляющей поверхности.
Из формулы (3) следует, что при заданных значениях D, S1 и S2 все параксиальные лучи, испускаемые точечным источником света А1, сойдутся в одной точке А2, т.е. преломляющая сферическая поверхность дает точечное (или стигматическое) изображение источника А1. Если учитывать и непараксиальные лучи, то изображение точечного источника А1 будет размытым.
Формула для сферической преломляющей поверхности показывает, что при прохождении лучей через оптическую систему в обратном направлении будет сформировано изображение, в точности совпадающее с исходным источником, т.е. если бы источник света был в точке А2, то его изображение было бы в А1 (взаимность). Выражение (3) охватывает все случаи преломления лучей на сферической поверхности. Используя установленное выше правило знаков для углов и длин направленных отрезков, можно рассмотреть случаи выпуклой (r > 0) и вогнутой (r < 0) поверхности.
Найдем место, где сойдутся параксиальные лучи от бесконечно удаленного источника А1, рис.2а. В этом случае учтем, что S1 = - ∞, a S2 ≡ f2, и, подставив их в формулу (3), получим значение величины f2, определяющей положение точки F2, т.е второго главного фокуса преломляющей поверхности:
n2/ f2 = (n2 - n1)/r,
откуда
f2 = n2 /D = r n2/( n2 – n1). (4)
Определим положение первого главного фокуса F1, поместив источник света А1 на расстоянии S2 = + ∞, т.е справа от поверхности BD, рис.2б. Для f1 = S1 при S2 = ∞ получим
f1 = - r n1/( n2 – n1). (5)
Используя формулы (4) и (5), определим отношение главных фокусных расстояний:
f2 / f1 = - n2 / n1 .
Рис.2.
Преобразуем формулу для сферической преломляющей поверхности (3), введя в нее значения главных фокусных расстояний. Разделим ее левую и правую части на значение оптической силы D преломляющей поверхности (1) и учтем соотношения (4) и (5):
r n2/ S2( n2 – n1) - r n1/ S1( n2 – n1) = 1 → f2/S2 + f1/S1 = 1. (6)
Из формул (4-6) для преломления света на сферической поверхности можно получить формулу для отражения света в сферическом зеркале, если в этих соотношениях положить n2 = – n1 (так как углы меняют знак), тогда получим
f2 = f1 = r/2 (7)
и 1/S1 + 1/S2 = 2/r. (8)
(8) - формула для отражения света в сферическом зеркале.
Для плоского зеркала r = ∞, тогда из (8) следует, что S1 = S2 , т.е. изображение в плоском зеркале оказывается расположенным на том же расстоянии за зеркалом, что и предмет перед ним.
2.Тонкие линзы. Формула тонкой линзы. Случай преломления света на одной сферической поверхности встречается сравнительно редко. Наиболее распространенным элементом оптических систем является линза. Оптические линзы представляют собой объем из однородного прозрачного вещества, ограниченного двумя плоскими, сферическими или цилиндрическими поверхностями. Чаще всего используют сферические поверхности постоянного радиуса кривизны. Реже используют цилиндрические линзы и астигматические линзы, у которых радиусы кривизны для двух ортогональных сечений поверхности разные. Сферические линзы бывают двояковыпуклые, плосковыпуклые, выпукловогнутые, двояковогнутые и др. Для видимого света используются линзы из стекла, для УФ – из кварца, для ИК - из монокристалла каменной соли или кварца.
Будем рассматривать тонкие сферические линзы, для которых расстояние между преломляющими поверхностями мало по сравнению с радиусами кривизны ограничивающих поверхностей. Тонкие сферические линзы делятся на собирающие (положительные) и рассеивающие (отрицательные). У собирающих линз середина толще, а у рассеивающих – тоньше, чем их края. Точки пересечения поверхностей с оптической осью линзы называются вершинами преломляющих поверхностей. Расстояние между ними - толщина линзы. Для тонких линз (рис.3) вершины О1 и О2 их сферических поверхностей расположены близко друг от друга и можно считать, что они совпадают с точкой О, которая называется оптическим центром линзы. Прямая линия, проходящая через геометрические центры ограничивающих поверхностей – главная оптическая ось линзы. Оптический центр линзы обладает тем свойством, что лучи проходят сквозь эту точку не преломляясь.
Рис.3.
Линза с показателем преломления n находится обычно в воздухе с
n0 = 1. Используя выражения, полученные выше для преломляющей сферической поверхности, несложно получить формулу тонкой линзы:
(n – 1)(1/R1 + 1/R2) = 1/a + 1/b, (9)
где R1 и R2 – радиусы кривизны поверхностей линзы, а и b – расстояния от предмета до центра линзы и от центра линзы до изображения, соответственно.
Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы считается положительным, а вогнутой – отрицательным.
Если а = ∞, т.е. лучи падают на линзу параллельным пучком, рис.4а, то
(n – 1)(1/R1 + 1/R2) = 1/b (10)
Рис.4.
Соответствующее этому случаю расстояние b = OF = f называется фокусным расстоянием линзы, определяемым по формуле
f = 1/(n – 1)(1/R1 + 1/R2). (11)
Если b = ∞, т.е. изображение находится в бесконечности и, следовательно, лучи выходят из призмы параллельным пучком, рис.4б, то a = OF = f. Таким образом, фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих сторон одинаковой средой, равны. Точки F – фокусы линзы. Фокус – это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси. Если же пучок параллельных лучей образует некоторый угол с главной оптической осью, то после прохождения оптической системы точка их пересечения будет лежать в плоскости, проходящей через фокус перпендикулярно главной оптической оси. Такая плоскость называется фокальной. Таким образом, каждая оптическая система имеет два фокуса и две фокальные плоскости.
Величина
(n – 1)(1/R1 + 1/R2) = 1/ f = Ф (12)
называется оптической силой линзы. Ее единица измерения – диоптрия (дптр). Диоптрия– оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м: 1 дптр=1/м. Для собирающей линзы оптическая сила положительная, для рассеивающей – отрицательная.
Линзы с положительной оптической силой являются собирающими, а с отрицательной – рассеивающими. В отличие от собирающей рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые продолжения лучей, падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси, рис.5. Мнимый фокус будет и у двояковыпуклой линзы, если ее поместить в среду с большим, чем у линзы показателем преломления. Значит, определение линзы как собирающей (с действительным фокусом) или рассеивающей (с мнимым фокусом) зависит как от ее параметров, так и от оптических свойств среды, в которую она помещена.
Рис.5
Учитывая (9), формулу линзы (12) можно записать в виде
1/a + 1/ b = 1/f. (13)
Для рассеивающей линзы расстояния f и b считают отрицательными.
3. Построение изображений предметов с помощью тонкой линзы. Оптическая система (в частности линза) лишь в идеальном случае (параксиальные лучи, n = const, λ = const) будет давать изображение светящейся точки в виде точки. Такое изображение называется стигматическим. В реальных оптических системах эти условия не выполняются, в них возникают искажения изображения, называемые аберрациями (или погрешностями). Различают сферическую аберрацию, кому, дисторсию и хроматическую аберрацию. Реальные оптические системы обладают также астигматизмом (погрешностью, обусловленной неодинаковостью кривизны оптической поверхности в разных плоскостях сечения падающего на нее светового пучка), т.е. изображение светящейся точки, полученное с помощью такой системы, имеет вид пятна эллиптической формы или отрезка линии. Для уменьшения этих искажений собирают группы линз, называемых оптической системой. Оптическая сила составной системы равна алгебраической сумме оптических сил отдельных линз.
Dопт. сист. = ∑Di.
Важным параметром линзы является линейное или поперечное увеличение Y, равное отношению линейных размеров изображения к размерам предмета:
Y = a/в. (14)
Увеличение положительно для мнимых изображений (изображение прямое), и отрицательно, если изображение предмета перевернутое (действительное изображение). Для плоского зеркала Y = 1, т.е изображение прямое и натуральной величины.
Кроме линейного увеличения оптическую систему можно также характеризовать угловым увеличением W, равным отношению тангенсов углов φ2 и φ1 (рис.1), т.е.
W = tg φ2 /tg φ1. (15)
Существует простая связь линейного и углового увеличений. Если предмет и изображение находятся в одной среде, то
Y W = 1. (16)
Угловое и линейное увеличения оптической системы различны для разных точек оси, и чем больше линейное увеличение, тем меньше угловое.
Построение изображения предмета в тонких линзах осуществляется с помощью следующих лучей:
1)луча, проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего направления;
2) луча, идущего параллельно главной оптической оси; после преломления в линзе этот луч (или его продолжение) проходит через второй фокус линзы;
3) луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы; после преломления в ней он выходит из линзы параллельно ее главной оптической оси.
Примеры построения изображения в собирающей и рассеивающей линзах даны на рисунках 6 – 9.
Рис.6. Действительное перевернутое увеличенное и б) действительное перевернутое равное изображение предмета (Y = 1)
Рис.7. Изображение мнимое увеличенное прямое.
Рис.8. Изображение прямое мнимое уменьшенное.
Рис.9.
СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ
Вопросы:
1.Развитие представлений о природе света.
2.Когерентные световые волны. Интерференция волн.
3.Методы наблюдения интерференции света: опыт Юнга, метод зеркал Френеля, бипризма Френеля.
1.Развитие представлений о природе света. Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других - как поток особых частиц (фотонов). Длительный путь развития учения о свете привел к современным представлениям о двойственной корпускулярно-волновой природе света. Рассмотрим вначале круг явлений, в основе которых лежит волновая природа света.
Теоретические исследования Максвелла о распространении электромагнитных волн, экспериментальные измерения скорости их распространения в пустоте, оказавшейся равной скорости распространения света в пустоте, и другие исследования позволили выдвинуть предположение о чисто электромагнитной природе света.
Электромагнитная теория света явилась существенным шагом вперед в понимании природы оптических явлений. Свет оказался частным случаем электромагнитных волн с длиной волны от l = 400 нм (фиолетовый) до l=760 нм (красный). Только этот интервал длин электромагнитных волн оказывает непосредственное воздействие на наш глаз и является собственно светом. Однако и более коротковолновое (l<400 нм - ультрафиолетовое) и более длинноволновое оптическое излучение (l>760 нм - инфракрасное) имеют качественно одну и ту же электромагнитную природу и отличаются лишь методами их возбуждения и обнаружения.
В веществе длины световых волн будут иными, чем в вакууме. В случае колебаний частоты n длина волны в вакууме равна l0 = c/n. В среде, в которой фазовая скорость световой волны V = с/n, длина волны имеет значение
l = V/n = c/nn =l0/n.
В электромагнитной волне колеблются векторы Е и Н, причем Е^Н (рис.1). Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями вектора напряженности электрического поля Е, о котором говорят поэтому как о световом векторе. Магнитный вектор Н световой волны для описания действия света практически не используется.
Рис.1. Взаимное расположение векторов Е и Н в световой волне.
Модуль амплитуды светового вектора мы будем обозначать А (иногда Ем). Соответственно изменение во времени и пространстве проекции светового вектора на направление, вдоль которого он колеблется, будет описываться уравнением
Е = Асоs(wt – kr + a) – уравнение световой волны (1)
где k - волновое число (k = 2p/l), r- расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения световой волны. Для плоской световой волны, распространяющейся в непоглощающей среде, А = const, для сферической волны А убывает как 1/r и т.д.
Частоты видимых световых волн лежат в пределах n = (3,9-: 7,5) 1014 Гц.
Частота изменений плотности потока энергии, переносимой волной, будет еще больше (она равна 2n). Уследить за столь быстрыми изменениями потока энергии не могут ни глаз, ни приборы, вследствие чего они регистрируют усредненный по времени поток переносимой энергии.
Интенсивность света I в данной точке пространства равна плотности потока электромагнитной энергии и определяется вектором Пойтинга S
I=|<S>|= |<[ЕН]>|.
Поскольку для электромагнитной волны Е ~ Н, то интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора Е, т.е. I~А2.
В изотропных средах направление распространения световой энергии (луча) совпадает с нормалью к волновой поверхности, т.е. с направлением волнового вектора `k. Модуль êkê = k – волновое число.
Несмотря на то, что световые волны поперечны, они не обнаруживают асимметрии относительно луча. Это обусловлено тем, что в естественном свете имеются колебания, совершающиеся в самых различных направлениях, перпендикулярных к лучу, рис.1а. Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых его атомами. Эти волны, налагаясь друг на друга, образуют испускаемую телом световую волну. В результирующей волне колебания вектора Е различных направлений представлены с равной вероятностью.
Луч света
Е
Рис.1а. Колебания вектора Е в световой волне естественного света.
В естественном свете колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в котором направления колебаний вектора Е упорядочены каким-либо образом, называется поляризованным. Если колебания светового вектора происходят только в одной проходящей через луч плоскости, свет называется плоско- (или линейно-) поляризованным. Упорядоченность колебаний может заключаться в том, что вектор Е поворачивается вокруг луча, одновременно пульсируя по величине. В результате конец вектора Е описывает эллипс. Такой свет называется эллиптически - поляризованным. Если конец вектора Е описывает окружность, свет называется поляризованным по кругу.
2.Когерентные световые волны. Интерференция волн.
Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов, проявляющееся при их сложении.
Пусть в данную точку пространства приходят две световые волны Е1 и Е2 одинаковой частоты, которые возбуждают в этой точке колебания одинакового направления (обе волны поляризованы одинаковым образом):
Е1 = А1соs(wt + a1),
Е2 = A2cos(wt + a2).
Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна Е = Е1 + Е2. Тогда амплитуда А результирующего колебания той же частоты может быть определена из выражения:
А2 = А12 +А22 + 2А1А2соsj, (1)
где j = a1 - a2 = const.
Если частоты колебаний в обеих волнах w одинаковы а разность фаз j возбуждаемых колебаний остается постоянной во времени, то такие волны называются когерентными. Для электромагнитных волн существует дополнительное ограничение – не дают интерференционной картины когерентные волны ортогональной поляризации.
При наложении когерентных волн они дают устойчивое колебание с неизменной амплитудой А = соnst, определяемой выражением (1) и в зависимости от разности фаз колебаний лежащей в пределах
|а1 –А2ê £ A £ а1 +А2.
Т.о., когерентные волны при интерференции друг с другом дают устойчивое колебание с амплитудой не больше суммы амплитуд интерферирующих волн.
Если j = p, тогда соsj = -1, и А1 = А2, то амплитуда суммарного колебания равна нулю, и интерферирующие волны полностью гасят друг друга.
В случае некогерентных волн j непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение <cоsj>t = 0. Поэтому слагаемое 2А1А2соsj в уравнении (1) равно нулю и
<А2> = <А12> + <А22>,
откуда интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:
I = I1 + I2 .
В случае когерентных волн, соsj имеет постоянное во времени значение (но свое для каждой точки пространства), так что
I = I1 + I2 + 2Ö I1 × I2 cosj . (2)
В тех точках пространства, для которых соsj > 0, I> I1 +I2; в точках, для которых соsj < 0, I<I1+I2. При наложении когерентных световых волн происходит перераспределение энергии светового потока в пространстве (при глобальном выполнении закона сохранения энергии), в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности (интерференционная картина). Это явление называется интерференцией волн. Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда интенсивности обеих интерферирующих волн одинаковы: I1=I2. Тогда согласно (2) в максимумах I = 4I1, в минимумах же I = 0. Для некогерентных волн при том же условии получается всюду одинаковая интенсивность I = 2I1.
Если имеются отклонения от сформулированных условий когерентности, например, частоты двух складываемых монохроматических волн несколько отличаются, то интерференционная картина может становиться неустойчивой, возникает эффект плывущей картины. Если же частоты складываемых волн совпадают, но разность фаз между ними изменяется со временем, то интерференционная картина, как правило, остается стационарной, но ее контрастность (соотношение интенсивностей соседних максимумов и минимумов) уменьшается.
Все естественные источники света (Солнце, лампочки накаливания и т.д.) не излучают электромагнитных волн одной определенной и строго постоянной частоты, поэтому световые волны, излучаемые любыми независимыми естественными источниками света, всегда некогерентны и, используя два таких источника, невозможно получить интерференцию света.
Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги волн длительностью порядка 10-8с и протяженностью около 3 м. Фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через время порядка 10-8с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения. Когерентность существует только в пределах одного цуга. Средняя продолжительность одного цуга τ называется временем когерентности. Если волна распространяется в однородной среде, то фаза колебаний в какой-либо определенной точке пространства остается постоянной только в течение времени когерентности. За это время волна распространяется на расстояние lког = Vτ, называемое длиной когерентности (или длиной цуга). Колебания в точках, удаленных друг от друга на расстояниях больших длины когерентности вдоль направления распространения волны, будут некогерентными.
Лазерное излучение характеризуется высокой степенью монохроматичности, т.е излучение происходит на одной определенной и строго постоянной частоте, поэтому можно наблюдать интерференцию световых пучков, излучаемых двумя разными лазерами.
А как можно, пользуясь обычными некогерентными излучателями света, создать взаимно когерентные источники?
Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником света, на две части. Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их друга на друга, то наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн. Если эта разность ³ 1м, то будет наблюдаться наложение колебаний, соответствующих разным цугам, разность фаз между которыми будет непрерывно изменяться хаотическим образом, и интерференция не наблюдается.
Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис.2).
n1 S1
О
n2 S2 P `V
Рис.2.
До точки Р первая волна проходит в среде показателем преломления n1 путь S1, вторая волна проходит в среде с показателем преломления n2 путь S2. Если в точке О фаза колебания равна wt, то первая волна возбудит в точке Р колебание А1соsw(t – S1/V1), а вторая волна -колебание А2соsw(t – S2/V2), где V1 и V2 - фазовые скорости волны в первой и второй средах соответственно. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р, будет равна
j = w(S2/V2 – S1/V1) = (w/c)(n2S2 – n1S1).
Заменим w/с через 2pn/с = 2p/lо, тогда
j = (2p/lо)D, (3)
где D= n2S2 – n1S1 = L2 - L1 - величина, равная разности оптических длин, проходимых волнами путей, и называется оптической разностью хода.
Из (3) видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:
D = ±mlо (m = 0,1,2,…. ), (4)
то разность фаз оказывается кратной 2p и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Таким образом, (4) есть условие интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода D равна полуцелому числу длин волн в вакууме:
D = ± (m + 1/2)lо (m =0, 1,2, ...), (5)
то j = ± (2m + 1)p, то есть колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (5) есть условие интерференционного минимума.
Принцип получения когерентных световых волн разделением волны на две части, проходящие различные пути, может быть практически осуществлен различными способами - с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.
3.Методы наблюдения интерференции света: опыт Юнга, метод зеркал Френеля, бипризма Френеля. Впервые интерференционную картину от двух источников света наблюдал в 1802 году английский ученый Юнг. В опыте Юнга (рис.3) источником света служит ярко освещенная щель S, от которой световая волна падает на две равноудаленные щели А1 и А2, являющиеся двумя когерентными источниками света (две цилиндрические волны). Интерференционная картина наблюдается на экране Е, расположенном на некотором расстоянии l параллельно А1А2. Начало отсчета выбрано в точке 0, симметричной относительно щелей.
x
P
A1 S1
Плоская св. S O
волна
A2 S2 l
Е
Рис.3.
Усиление и ослабление света в произвольной точке Р экрана зависит от оптической разности хода лучей D =nS2 - n S1 = L2 – L1. Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками А1А2 = d должно быть значительно меньше расстояния l от источников до экрана. Расстояние х на экране, в пределах которого образуются интерференционные полосы, значительно меньше l. При этих условиях можно положить, что S2 + S1 » 2l. Из рис.3 по теореме Пифагора имеем
S22 = l2 + (x +d/2)2; S12 = l2 + (x - d/2)2,
откуда S22 - S12 = 2xd, а
S2 – S1 » xd/l.
Умножив это выражение справа и слева на показатель преломления среды n, получим
D = nxd/l. (6)
Подставив (6) в (4) получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных
хmax = ± mll/d, (m = 0, 1,2,.,,.). (7)
Здесь l = l0/n - длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.
Координаты минимумов интенсивности будут:
хmin = ±(m +1/2)ll/d, (m = 0,1,2,...). (8)
Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами - шириной интерференционной полосы. Из (7) и (8) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы не зависят от порядка интерференции (величины m), являются постоянными для данных условий эксперимента l,l,d и имеют одинаковое значение, равное
Dх = ll/d. (9)
Измеряя параметры, входящие в (9), можно экспериментально определить длину волны оптического излучения l. Согласно (9) Dх пропорционально l/d, поэтому чтобы интерференционная картина была четко различима, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: d<< l. Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку 0. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы и минимумы интенсивности первого (m =1), второго (m = 2) порядков и т.д., которые представляют собой чередующиеся светлые и темные полосы, параллельные друг другу.
Такая картина справедлива при освещении экрана монохроматическим светом (l0 = const). При освещении белым светом интерференционные максимумы и минимумы для каждой длины волны будут, согласно формуле (9), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для главного максимума максимумы для всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться светлая полоса, по обе стороны от которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т д. Ближе к центральной светлой полосе будут находиться зоны фиолетового цвета, а дальше – зоны красного цвета.
Интенсивность интерференционных полос не остается постоянной, а изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса.
Наблюдать интерференционную картину можно также с помощью зеркала Френеля, рис 4. (рис. 4.3 из Ландсберга, стр.71). Бизеркало Френеля состоит из двух плоских зеркал, расположенных под углом, близким 1800.
Рис.4.
Свет от источника S падает расходящимся пучком на бизеркало, отражается зеркалами 1 и 2 и представляет собой две системы когерентных волн, как бы исходящих из источников S1 и S2 , являющихся мнимыми изображениями источника S в зеркалах 1 и 2. Мнимые источники S1 и S2 взаимно когерентны, и исходящие из них световые волны приходят в различные точки экрана Е с некоторой разностью фаз, определяемой различием в длине пути от источников S1 и S2 до соответствующей точки экрана, и интерферируют. Освещенность экрана в разных точках будет различной. Интерференционная картина будет тем шире, чем меньше угол между зеркалами, а экран должен быть расположен достаточно далеко от зеркала. Прямые лучи от источника света S не доходят до экрана, так как их задерживает заслонка Z.
Бипризма Френеля (рис.5 –рис.247 из Трофимовой, стр.323) состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами.
Рис.5
Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате за призмой распространяются световые волны исходящие как бы из двух мнимых источников света S1 и S2, являющихся когерентными. На достаточно удаленном от призмы экране Е происходит наложение и интерференция когерентных световых волн.
Наблюдать интерференционную картину можно также с помощью зеркала Лойда, билинзы Бийе и других оптических устройств, а также при отражении света от тонких прозрачных пленок.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА ПРИ ОТРАЖЕНИИ ОТ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК. ПОЛОСЫ РАВНОЙ ТОЛЩИНЫ И РАВНОГО НАКЛОНА.
Вопросы:
1. Полосы равного наклона. Все наблюдали чрезвычайно красивые цвета тонких пленок масел и нефти на поверхности воды, мыльных пузырей, оксидных пленок металла, возникающих при закалке полированных стальных изделий при освещении их солнечным светом. Рассмотрим физику этих явлений, так как интерференция в тонких пластинках и пленках представляет практический интерес для понимания более сложных процессов, происходящих в интерференционных фильтрах, интерферометрах и других оптических устройствах.
Пусть на тонкую плоскопараллельную пластину толщиной b, изготовленную из прозрачного вещества с показателем преломления n, из воздуха (nвозд » 1) падает плоская монохроматическая световая волна, которую можно рассматривать как параллельный пучок лучей 1 и 2 (рис.4), под углом Q1 к перпендикуляру.
Рис.4.
На поверхности пластины в точке А луч разделится на два параллельных луча света, из которых один образуется за счет отражения от верхней поверхности пластинки, а второй – от нижней поверхности. Луч 1 выбран так, чтобы он попал в точку С, через которую луч 2, пройдя расстояние АОС в прозрачной пластинке, выйдет из нее как луч 2´, параллельно отраженному лучу 1´. Разность хода, приобретаемая лучами 1´ и 2´ до того, как они сойдутся в точке С, равна
D = nS2 – S1 ± l0/2,
где S1 - длина отрезка СВ, S2 – суммарная длина отрезков АО и ОС, а член ± l0/2 обусловлен потерей полуволны при отражении луча 1´ от границы раздела двух сред с различными показателями преломления (n >nв –точка С) .
Из геометрического рассмотрения получается формула для оптической разности хода лучей 1´ и 2´:
D' = 2bÖ(n2 – sin2Q1) = 2bn соsQ2,
а с учетом потери полуволны для оптической разности хода получим
D = 2bÖ(n2 – sin2Q1) ± l0/2 = 2bn соsQ2 ± l0/2. (10)
Вследствие ограничений, накладываемых временной и пространственной когерентностью, интерференция при освещении пластинки, например, солнечным светом наблюдается только в том случае, если удвоенная толщина пластинки не превышает длины когерентности падающей волны, т.е. нескольких сотых миллиметра. При освещении светом с большей
степенью когерентности (например, лазером) интерференция, наблюдается и при отражении от более толстых пластинок или пленок.
Лучи, отразившиеся от верхней и нижней плоскостей пластинки, параллельны друг другу, так как пластинка плоскопараллельна, поэтому они «пересекаются» в бесконечности. В соответствии с этим явление интерференции будет наблюдаться только на достаточно большом расстоянии от пластинки, теоретически – в бесконечности.
Практически интерференцию от плоскопараллельной пластинки наблюдают, поставив на пути отраженных пучков линзу, которая собирает лучи в одной из точек экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы (рис.5). Освещенность в произвольной точке Р экрана зависит от значения величины D, определенной по формуле (10). При D = mlо получаются максимумы, при D = (m + 1/2)lо - минимумы интенсивности (m - целое число).
Пусть тонкая плоскопараллельная пластинка толщиной b, изготовленная из прозрачного вещества с показателем преломления n, освещается рассеянным монохроматическим светом (рис.5). Расположим параллельно пластинке линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран. В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений. Лучи, параллельные плоскости рисунка и падающие на пластинку под углом Q'1, после отражения от обеих поверхностей пластинки соберутся линзой в точке Р и создадут в этой точке освещенность, определяемую значением оптической разности хода.
Лучи, идущие в других плоскостях, но падающие на пластинку под тем же углом Q1¢ соберутся линзой в других точках, отстоящих от центра экрана О на такое же расстояние, как и точка Р. Освещенность во всех этих точках
E
Рис.5.
будет одинакова. Таким образом лучи, падающие на пластинку под одинаковым углом Q1¢, создадут на экране совокупность одинаково освещенных точек, расположенных по окружности с центром в точке О. Аналогично, лучи, падающие под другим углом Q"1, соберутся в фокальной плоскости линзы и создадут на экране совокупность одинаково (но иначе, поскольку Δ иная) освещенных точек, расположенных по окружности другого радиуса.
В результате на экране возникнет интерференционная картина - система чередующихся светлых и темных круговых полос с общим центром в точке O. Каждая полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковым углом Q1. Поэтому получающиеся в описанных условиях интерференционные полосы носят название полос равного наклона. При ином расположении линзы относительно пластинки (экран во всех случаях должен совпадать с фокальной плоскостью линзы) форма полос равного наклона будет другой. Полосы равного наклона можно наблюдать глазом, аккомодированным на бесконечность. В этом случае роль линзы может играть хрусталик глаза, а экрана - сетчатка глаза.
Согласно (10) положение максимумов интенсивности зависит от длины волны света lо. Поэтому при освещении тонкой пластинки белым светом получается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных цветов, и интерференционная картина приобретает радужную окраску.
3. Полосы равной толщины. Интерференционная картина от тонкого прозрачного клина переменной толщины была изучена еще Ньютоном. Пусть на такой клин с малым углом φ при вершине, изготовленный из вещества с показателем преломления n, падает почти нормально параллельный пучок лучей от протяженного источника света, (рис.6). Для наглядности рисунка угол падения увеличен в десятки раз, по сравнению с его действительным значением.
Теперь лучи, отразившиеся от верхней и нижней поверхностей клина, во всем пространстве над клином не будут строго параллельными. Но и в этом случае отраженные волны от мест клина, для которых толщина удовлетворяет условию (10) будут когерентными, и при
Рис.6. φ<< !!!
любом расстоянии экрана Е от клина на нем будет наблюдаться интерференционная картина в виде полос, параллельных вершине клина 0. Каждая из таких полос возникает в результате отражения от участков клина с одинаковой толщиной, вследствие чего их называют полосами равной толщины. Практически полосы равной толщины наблюдают, поместив вблизи клина линзу и за ней экран. Роль линзы может играть хрусталик, а роль экрана - сетчатка глаза. При наблюдении в белом свете полосы будут окрашенными, так что поверхность пластинки или пленки представляется имеющей радужную окраску. Отчетливость интерференционной картины уменьшается при перемещении от вершины клина к его основанию. При почти нормальном падении света на клин интерференционная картинка локализуется на верхней поверхности клина.
В реальных условиях при наблюдении радужных цветов на масляной или мыльной пленках изменяется как угол падения лучей, так и толщина пленки. Поэтому в этих случаях наблюдаются полосы смешанного типа.
Заметим, что интерференция от тонких пленок может наблюдаться не только в отраженном, но и в проходящем свете.
КОЛЬЦА НЬЮТОНА. ПРИМЕНЕНИЯ ЯВЛЕНИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ.
Вопросы:
1.Кольца Ньютона. Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельной толстой стеклянной пластинки и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны.
Рис.7. стр.463 кн. Наркевич
Наблюдаются кольца Ньютона и с системой соприкасающихся плосковогнутой и плосковыпуклой линз с большим радиусом кривизны, причем радиус кривизны плосковогнутой линзы должен быть больше радиуса кривизны плосковыпуклой линзы.
Роль тонкого клина, от поверхности которого отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между стеклянной пластинкой и линзой (рис.7). Вследствие большой толщины пластинки и линзы за счет отражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают. Луч света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора. Отраженные лучи когерентны и при их наложении возникают полосы равной толщины. При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, при наклонном падении - эллипсов. Определим оптическую разность хода отраженных лучей и найдем радиусы колец Ньютона при нормальном падении света на пластину. В этом случае sinQ1 = О и D равна удвоенной толщине зазора (предполагается n0 = 1). Из рис. 7 следует, что
R2 = (R – b)2 + r2 » R2 – 2Rb + r2, (12)
где R - радиус кривизны линзы, r - радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор толщиной b. Считаем b2 < 2Rb, тогда из (12) получим, что b = г2/2R. Чтобы учесть возникающее при отражении от стеклянной пластинки изменение фазы на p, нужно к D = 2b = r2/R прибавить lо/2. Тогда оптическая разность хода лучей окончательно запишется так
D = r2/R + lо/2. (13)
В точках, для которых
D = m'lо = 2m'(lо/2),
возникают максимумы, в точках, для которых
D = (m' + 1/2)lо = (2m'+ 1)(lо/2),
- минимумы интенсивности.
Оба условия можно объединить в одно:
D = mlо/2, m = 1, 2, 3, … (13а)
причем четным значениям m будут соответствовать максимумы, а нечетным -минимумы интенсивности. Приравняв(13) и (13а) и разрешив получившееся уравнение относительно r, найдем радиусы светлых и темных колец Ньютона:
rm = ÖRlо(m- 1)/2, (m =1,2,3,...). (14)
Четным значениям m соответствуют радиусы светлых колец, нечетным m - радиусы темных колей. Значению m =1 соответствует точка касания пластинки и линзы (г = 0). В этой точке наблюдается минимум интенсивности, обусловленный изменением фазы волны на p при отражении световой волны от стеклянной пластинки.
Измеряя расстояния между полосами интерференционной картины для тонких пластин или радиусы колец Ньютона, можно определить длины волн световых лучей и, наоборот, при известной длине волны lо найти радиус кривизны линзы R.
Интерференцию можно наблюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потери полуволны, появляющейся при отражении света от стеклянной пластины. Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличается на l0/2, т.е. максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот.
При освещении оптической системы не монохроматическим, а белым светом наблюдается совокупность смещенных друг относительно друга интерференционных полос (колец), образованных лучами разных длин волн, и интерференционная картина приобретает радужную окраску.
2.Применения явления интерференции. Просветление оптики. Интерферометры. Наблюдение полос равной толщины используется в различных задачах техники, в частности, при определении качества полировки оптических поверхностей. Исследуемую оптическую пластинку накладывают на контрольную так, чтобы между ними образовался тонкий воздушный клин. Сверху пластинки освещают монохроматическим светом и наблюдают интерференционные полосы в отраженном свете. Если поверхности обеих пластин идеально плоские, то наблюдаются совершенно прямые полосы равной толщины, параллельные ребру клина. Имеющиеся на поверхности дефекты приводят к искривлению полос, по виду которых легко отличить «впадину» от «бугра». По величине искривлений можно определить наличие отклонений от плоскости меньшие 0,1 длины волны λ интерферирующего света.
Исследования полос равной толщины используют для точного измерения малых углов между оптическими поверхностями и для решения других метрологических задач.
При создании оптических систем с большим числом отражающих поверхностей даже при относительно малом коэффициенте отражения каждой из них в системе теряется на отражение значительная часть светового потока. Значительное отражение света от поверхности линз оптических приборов приводит к возникновению бликов, что, например, в военной технике демаскирует местоположение прибора. Явление интерференции используют для уменьшения коэффициента отражения на каждой поверхности (просветление оптики). Для этого на поверхности линзы наносят тонкие пленки с показателем преломления n, меньшим показателя преломления стекла линзы nc. рис. 8. Световые волны, отраженные от внешней и внутренней поверхностей пленки когерентны, лучи 1´ и 2´. Толщину пленки b и показатели преломления
Рис.8. (стр.329 Трофимовой), только заменить d на b.
стекла nс и пленки n можно подобрать таким образом, чтобы световые волны, отраженные от обеих поверхностей пленки, находились в противофазе и гасили друг друга. В этом случае при нормальном падении света на поверхность линзы оптическая разность хода равна
Δ = 2nb = (m + 1/2) λ0 ,
так как изменение фазы волны на π (потеря полуволны) происходит на обеих поверхностях. Обычно делают пленку такой толщины, что m = 0, тогда оптическая толщина пленки nb = λ0 /4. Наибольшее ослабление отраженного света происходит при равенстве амплитуд отраженных волн, что выполняется при условии
n = √nc.
Поскольку при интерференции энергия световой волны не изменяется, а только перераспределяется в пространстве, то при нанесении такой тонкой пленки на поверхность линз оптическая система «просветляется», т.е. больше света проходит через оптическую систему. Показатели преломления n и nc зависят от длины волны, поэтому это соотношение выполняется только для некоторого интервала длин волн. Обычно просветление оптики делается для наиболее восприимчивой глазом длины волны λ0 ≈ 550 нм.
В последнее время разработаны способы многослойного покрытия, обеспечивающего наиболее эффективное просветление в приборах с большим числом преломляющих поверхностей и позволяющего избежать заметного изменения спектрального состава проходящего через оптическую систему излучения.
При нанесении на оптическую поверхность пленки c оптической толщиной nb = λ0 /4 и показателем преломления n > nc будет наблюдаться увеличение коэффициента отражения, так как в этом случае потеря полуволны происходит только на передней поверхности пленки, а оптическая разность пути равна Δ = (2× λ /4 + λ /2) = λ, и обе волны будут усиливать друг друга. Добиться еще больших коэффициентов отражения можно, если вместо двухлучевой интерференции использовать многолучевую интерференцию, возникающую при наложении большого числа когерентных световых волн. В этом случае интерференционные максимумы интенсивности окажутся тем более узкими, чем больше N – число интерферирующих пучков, а их интенсивность увеличится в N2 раз.
Многолучевую интерференцию можно осуществить в многослойной системе чередующихся тонких пленок с одинаковой оптической толщиной nibi = λ /4, но разными показателями преломления, нанесенными на отражающую поверхность, рис. 9. Между двумя слоями с большим показателем преломления помещают слой с малым показателем преломления. В этом случае возникает большое число отраженных когерентных волн, которые синфазны и будут взаимно усиливаться, т.е. коэффициент отражения на определенной длине волны увеличивается.
Рис.9.
Подобные интерференционные зеркала применяются в лазерной технике, используются при изготовлении интерференционных светофильтров (узкополосных оптических фильтров) и многослойных интерференционных поляризаторов.
Практическим применением интерференции являются прецизионные измерения малых линейных размеров и показателей преломления прозрачных сред. Для этого служат приборы, называемые интерферометрами.
Интерферометры также позволяют определять незначительные изменения показателя преломления прозрачных тел (газов, жидкостей и твердых тел) в зависимости от давления, температуры, примесей и т.п. Имеется много разновидностей интерференционных приборов, называемых интерферометрами. Принцип действия их одинаков, и различаются они лишь конструктивно. Рассмотрим упрощенную оптическую схемы интерферометра Майкельсона, рис. 10.
Рис.10. (стр.330 кн. Трофимова), только дополнить рис. зрительной трубой Т.
Пучок монохроматического света от источника S падает под углом 450 на полупрозрачную плоскопараллельную пластинку Р1, покрытую тонким слоем серебра (заштрихованная сторона пластинки), которая разделяет луч на две части равной интенсивности: отраженный от посеребренного слоя луч 1 и прошедший через пластинку луч 2. Световой луч 1 отражается от зеркала М1 и возвращается к Р1, где делится на два равных по интенсивности луча. Один из них проходит сквозь пластинку (луч 1′), второй отражается в сторону источника света S и нас больше интересовать не будет. Луч 2 распространяется в сторону зеркала М2, отражается от него, вновь возвращается к пластинке Р1, где делится на две части: отразившийся луч 2′ и прошедший сквозь нее луч, который также нас не интересует. Поскольку лучи 1′ и 2′ получены от одного источника света, то они когерентны и будут интерферировать. Результат интерференции зависит от оптической разности хода лучей от пластинки Р1 до зеркал М1 и М2 и обратно. Так как луч 1′ проходит сквозь пластинку Р1 дважды, то для компенсации возникшей за счет этого оптической разности хода на пути луча 2′ нужно поставить точно такую же, как Р1, пластинку Р2, но не покрытую серебром. Таким способом уравниваются пути лучей 1 и 2 в стекле. Интерференционная картина наблюдается с помощью зрительной трубы Т.
При перемещении любого из зеркал с помощью микрометрического винта на расстояние λ0 /4 разность хода обоих лучей изменится на λ0 /2 и произойдет смена освещенности зрительного поля трубы. Так, по незначительному смещению интерференционной картины можно определить перемещение зеркал и таким образом использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10-7 м) измерения длин тел, длины волны света и т.д.
Используя интерферометр, Майкельсон в 1890 – 1895 гг. впервые произвел сравнение длины волны красной линии кадмия с международным эталоном метра. С помощью интерферометра Майкельсона исследовалось распространение света в движущихся средах, что привело к фундаментальным изменениям представлений о пространстве и времени. В 1920 г. Майкельсон построил звездный интерферометр, позволивший измерять малые угловые расстояния между двойными звездами и угловые размеры звезд.
Интерферометры можно использовать для измерения показателя преломления прозрачного вещества nx. Такие интерферометры называются интерференционными рефрактометрами. В них на пути одного из лучей нужно поставить кювету длиной l с исследуемым веществом, а на пути другого луча – такую же кювету с эталонным веществом, показатель преломления которого n0 известен. Возникающая между интерферирующими лучами оптическая разность пути Δ = l(nx - n0) приводит к сдвигу интерференционных полос, по которому можно вычислить изменение nx - n0, а значит и nx. Такой интерферометр позволяет производить измерения nx с относительной точностью порядка 10-6.
Российский физик В.П. Линник на основе комбинации интерферометра Майкельсона и микроскопа создал микроинтерферометр, предназначенный для контроля чистоты обработки металлических поверхностей высокого класса точности. В микроинтерферометре наблюдают интерференционную картину полос равной толщины, искривления которых зависят от микрорельефа исследуемой поверхности.
В.П. Линник построил интерферометр позволяющий контролировать прямолинейность поверхностей большого размера длиной до 5м с точностью до 1 мкм.
Интерференционный дилатометр Физо-Аббе используется для точных измерений коэффициента расширения различных веществ.
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА.
Вопросы:
1. Явление дифракции света. Виды дифракции.
2. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля.
3. Дифракция Френеля на круглом экране и круглом отверстии.
4. Дифракция Фраунгофера на одной щели.
1. Явление дифракции света. Виды дифракции. Дифракцией называется совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюдаются при распространении его в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Огибание препятствий звуковыми волнами (т.е. дифракция звуковых волн) наблюдается постоянно в обыденной жизни. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т.к. звуковая волна его огибает. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий. Это обусловлено малостью длин световых волн. В пределе при l®0 законы волновой оптики переходят в законы геометрической оптики.
Между явлениями интерференции и дифракции нет существенных различий. При обоих явлениях происходит перераспределение энергии световых волн в результате их суперпозиции. Исторически так сложилось, что перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией волн, а вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией.
Для наблюдения дифракции на пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности. За преградой помещается экран, на котором наблюдается дифракционная картина.
Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения М расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку М, образуют практически параллельные пучки, то говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать также по схеме, представленной на рис.1а, причем точки S и М должны находиться в фокальной плоскости соответствующей линзы. Дифракцию Френеля можно наблюдать, если свет от точечного источника S падает на отверстие или непрозрачный диск, которые расположены достаточно близко от источника света, рис. 1б.
Рис.1а. Рис.1б.
2. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля. Проникновение световых волн в область геометрической тени можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени. Однако этот принцип не позволяет вычислить амплитуду (интенсивность) волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства. Развитый таким образом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса - Френеля: все источники вторичных волн, расположенные на поверхности фронта волны, когерентны между собой; световая волна в любой точке пространства является результатом интерференции волн, излучаемых вторичными источниками и достигших этой точки. При этом предполагается, что вторичные волны излучаются только вперед, а возможность возникновения обратных вторичных волн исключается. Поскольку точек фронта, являющихся когерентными источниками новых волн, бесчисленное множество, то расчет интерференции сводится к довольно громоздкому интегрированию. Для упрощения решения этого вопроса Френелем был предложен метод разделения фронта волны на зоны таким образом, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения в противоположной фазе и ослабляют друг друга. С методом зон Френеля ознакомимся на примере дифракции сферической световой волны на непрозрачной преграде.
Пусть S - точечный источник монохроматического света, распространяющегося в однородной среде. По принципу Гюйгенса от него распространяется во все стороны сферическая волна. В некоторый момент времени фронт этой волны занимает положение Ф, рис.2. Рассмотрим произвольную точку М перед фронтом волны и соединим её прямой линией с источником света S . Волновые поверхности будут симметричны относительно прямой SМ.
Рис.2.
Если бы свет распространялся прямолинейно вдоль луча SРМ, то достаточно было бы поставить на его пути сколь угодно малый экран 1 , чтобы в точке наблюдения М была полная темнота. Благодаря волновой природе света в точку М приходят волны не только от точки Р, но и от всех остальных точек фронта Ф, правда в различных фазах.
Для расчета результатов интерференции Френель предложил провести ряд сфер с центрами в точке М и радиусами, соответственно равными
МN1 = МP +l/2,
MN2 = МN1 +l/2 = МP + 2l/2,
MN3 = МN2 +l/2 = МP + 3l/2, и т.д.
Тем самым фронт волны Ф разобьется на ряд кольцевых зон, заштрихованных на рис.2 через одну. Волны, приходящие в точку М от точек каждой последующей зоны, сдвинуты по отношению к волнам, приходящим от соответствующих точек предыдущей зоны, на λ/2, т.е. находятся в противоположных фазах, и их амплитуды при интерференции вычитаются. Из геометрического рассмотрения можно получить выражение для радиуса внешней границы m - ной зоны:
rm=√abmλ/(a + b), m = 1, 2, 3, … (1)
Если, например, а = b = 1 м и λ = 0,5 мкм, то радиус первой зоны r1 = 0,5 мм.
Занумеруем величины суммарных амплитуд волн, приходящих в точку М от каждой последующей зоны: А1, А2, а3, А4, А5, А6, ....
Благодаря различию в расстояниях зон до точки наблюдения и в углах, под которыми видны эти площадки из точки М, величины этих амплитуд монотонно убывают:
А1> А2> а3> А4> А5> А6, ....
В качестве допустимого приближения можно принять, что амплитуда колебания от некоторой k - той зоны Френеля Аk равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон:
Аk = (Аk+1 + Аk-1)/2. (2)
Амлитуда результирующего светового колебания в точке М, равна сумме амплитуд, создаваемых каждой отдельной зоной. При этом амплитуды от всех четных зон надо складывать с одинаковым знаком (например, положительными), а амплитуда волн от всех нечетных зон - с обратным знаком:
А = А1 - А2 +А3 - А4 + А5 -.... (3)
Используя (2), можно это выражение представить в виде
А = А1/2 + (А1/2 – А2 +А3/2) + (А3/2 –А4 + А5 /2) + ... » А1/2, (4)
так как оставшаяся часть от амплитуды последней зоны ± Аk/2 мала.
Таким образом при большом числе открытых зон Френеля амплитуда от воздействия всего фронта Ф в точке наблюдения М равная А = А1/2 эквивалентна половине воздействия центральной зоны Френеля, т.е. распространение света от источника S в точку наблюдения М происходит так, будто свет распространяется прямолинейно вдоль направления SМ. Значит, волновое описание процесса распространения света не противоречит закону прямолинейного распространения света в однородной среде, используемого в геометрической оптике.
3. Дифракция света на круглом экране и круглом отверстии. Если на пути света от точечного источника S поставить не слишком большой круглый экран 2 так, чтобы перпендикуляр, опущенный на него из источника света, проходил через его центр, то в точке наблюдения М по-прежнему будет свет, хотя и меньшей интенсивности, рис.2.
Проведя через край экрана 2 линию МN0, произведем деление фронта световой волны Ф, начиная от точки N0, на такие же зоны Френеля, как и ранее. Повторяя все рассуждения, получим, что для идеального круглого экрана 2, закрывающего (m – 1) первых зон Френеля, результирующая амплитуда колебаний в точке М будет А' = Аm¢/2, где Аm¢ - амплитуда первой открытой зоны, отсчитываемой от N0. По мере увеличения экрана 2 величина А' будет убывать, но точка М остается освещенной всегда практически до тех пор, пока экран не закроет достаточно большого числа зон Френеля. Лишь в этом последнем случае станет справедливым положение геометрической оптики о прямолинейном распространении света: препятствие, перекрывающее луч SМ, даст в точке наблюдения геометрическую тень. Вблизи границ тени будет наблюдаться слабая дифракционная картина.
Более того, если сделать "зонный экран" 3, состоящий из ряда непрозрачных колец, закрывающих все нечетные (или все четные) зоны Френеля, то результирующая амплитуда
А= А2 + А4 + А6 .... (5)
оказывается даже большей, чем при отсутствии всякого экрана. Т.е. такой экран действует подобно собирательной линзе. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на p. Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным или нечетным зонам, отличается на определенную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с перекрывающей зоны амплитудной зонной пластинкой применение фазовой пластинки даст дополнительное увеличение амплитуда в два раза, а интенсивности света - в 4 раза.
Деление фронта волны Ф на зоны Френеля является относительным и зависит от расстояния до точки наблюдения М,
Пренебрегать дифракционными явлениями и рассматривать свет распространяющимся прямолинейно вдоль лучей, исходящих от источника, допустимо лишь, если размеры экрана велики по сравнению с размерами зон Френеля. Чем короче l, тем меньше размеры этих зон и тем точнее можно пользоваться приближенными понятиями лучевой (геометрической) оптики. Т.к. для видимого света l = 0,4 - 0,8 мкм, то при наблюдении макроскопических тел этими приближениями можно пользоваться с достаточной точностью. Однако при уменьшении размеров тел начинают проявляться дифракционные явления.
Поставим на пути сферической световой волны распространяющейся от источника света S непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса r. Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника света S, попадал в центр отверстия. На продолжении этого перпендикуляра возьмем точку Р, в которую поместим экран, параллельный плоскости отверстия, рис.3.
Рис.3.(стр.380, Савельев)
Если расстояния а и b удовлетворяют соотношению (1), где m - целое число, то отверстие оставит открытым ровно m первых зон Френеля, построенных для точки Р. Из (1) число открытых зон Френеля определяется выражением
m = rm2(1/а+1/b)/l. (6)
В соответствии с (3) амплитуда результирующего колебания в точке Р будет равна
А = А1 -А2 +А3 –А4 +....±Аm (7)
Перед Аm берется знак «+», если m нечетное, и минус, если m - четное. Представив (7) в виде, аналогичном (4), и положив выражения в скобках равными нулю, получим
А = А1/2 + Аm /2 (m - нечетное), (8)
А=А1/2 +Аm-1/2 – Аm (m - четное).
Амплитуды от двух соседних зон практически одинаковы. Поэтому (Аm-1/2) – Аm можно заменить через - Аm/2. В результате получится:
А = А1/2 ± Аm/2, (9)
где знак «+» берется для нечетных значений m и минус - для четных.
Для малых m амплитуда Аm мало отличается от А1. Следовательно, при нечетных m амплитуда в точке Р будет приблизительно равна а1, при четных m – нулю, см. рис.3.
А какая будет освещенность в других точках экрана? Вследствие симметричного расположения отверстия относительно прямой SР освещенность в разных точках экрана будет зависеть только от расстояния х от точки Р. Если смещаться по экрану в точку Р¢ и далее, то дифракционная картина будет иметь вид чередующихся светлых и темных концентрических колец. Изменение освещенности экрана в зависимости от расстояния от точки Р показано на рис.3. Если отверстие открывает лишь часть центральной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает, рис.Х.
Аналогичная картина на экране получается и в рассмотренном выше случае, когда между источником света и экраном помещается непрозрачный круглый диск. Дифракционная картина на экране будет иметь вид чередующихся светлых и темных концентрических колец. В центре картины наблюдается светлое пятно.
Подобным образом можно рассматривать дифракцию Френеля от прямолинейного края полуплоскости и дифракцию от бесконечной щели.
4. Дифракция Фраунгофера на одной щели. Пусть на бесконечно длинную щель (длина щели во много раз больше, чем ее ширина) шириной а падает нормально к щели плоская монохроматическая световая волна, рис.4.
Рис.4.
Поместим за щелью собирательную линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, интерференционная картина, наблюдаемая в плоскости любого сечения, перпендикулярного к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать интерференционную картину в плоскости одного такого сечения.
Когда фронт волны дойдет до щели и займет положение MN, то все его точки являются новыми источниками волн, распространяющихся во все стороны вперед от щели. Рассмотрим волны, распространяющиеся от точек плоскости MN в направлении, составляющем некоторый угол j с первоначальным направлением распространения света. Эти волны, проходя через линзу, сойдутся в некоторой точке B на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Лучи, распространяющиеся от щели под различными углами, будут собираться в различных точках экрана и при наложении в результате интерференции дадут на экране дифракционную картину.
Опустим из точки M перпендикуляр MF на направление выделенного пучка лучей. Тогда от плоскости MF и далее до фокальной плоскости Е параллельные лучи не меняют своей разности хода. Разность хода, определяющая условия интерференции, возникает лишь на пути от исходного фронта MN до плоскости MF и различна для разных лучей.
Для расчета интерференции всех этих лучей применим метод зон Френеля. Для этого мысленно разделим линию NF на ряд отрезков длиной l/2. На расстоянии NF = аsinj уложится
Z = (аsinj)/(l/2) (10)
таких отрезков. Проводя из концов этих отрезков линии, параллельные MF, до встречи их с MN, разобьём фронт волны в щели на ряд полосок одинаковой ширины - зон Френеля. Число зон Френеля Z, укладывающихся на ширине щели, как следует из выражения (10), зависит от угла j. Волны, идущие от каждых двух соседних зон Френеля, приходят в точку B в противоположной фазе и гасят друг друга. Если число зон четное (Z = 2m, где m - целое число, неравное нулю), то каждая пара соседних зон взаимно погасит друг друга, так что при данном угле j на экране будет наблюдаться минимум освещенности. Углы j, соответствующие этим минимумам освещенности, находятся из условия:
аsinjmin = 2ml/2, m = 0, ±1, ±2, ±3, .... (11)
В промежутках между минимумами на экране наблюдаются максимумы освещенности при углах j, определяемых из условия
аsinjmax = (2m + 1)l/2, m = 0, ±1, ±2, ±3, .... (12)
Для этих углов фронт MN разбивается на нечетное число зон Френеля Z = 2m +1 и одна из зон остается нескомпенсированной. Амплитуда колебания в этом случае будет составлять долю ~ 1/(2m+1), а интенсивность ~ 1/(2m+1)2 от суммарной амплитуды, создаваемой всеми зонами фронта MN.
Для точки экрана O, лежащей против центра линзы, угол j = 0, а щель действует как одна зона Френеля и в этом направлении свет от щели распространяется в одной фазе и в точке О будет наблюдаться наибольшая интенсивность - центральный максимум. По обе стороны от него интенсивность будет спадать до первого минимума, а затем увеличиваться до следующего максимума, рис.4. На экране Е будут наблюдаться перемежающиеся светлые и темные полосы с постепенными переходами между ними. Центральная полоса будет наиболее яркой, а освещенность боковых максимумов будет убывать от центра к переферии.
Ширина и число этих полос будут зависеть от отношения а/l. Из (10) следует, что sinj = Zl/2а. Поскольку модуль sinj не может превышать единицу, то Zl/2а ≤ 1, откуда
Z ≤ 2a/l. (13)
Если щель очень узкая, а«l, то вся поверхность MN является лишь небольшой частью одной зоны и колебания от всех её точек будут по любому направлению распространяться почти в одинаковой фазе. Условие минимума (11) не может быть выполнено даже для самого меньшего значения m = 1 и интенсивность света монотонно убывает от середины интерференционной картины к ее краям, асимптотически приближаясь к нулю. Сечение такой щели является практически точечным источником света, и волна от него будет распространяется практически одинаково во всех направлениях.
Если щель очень широкая, а»l, то уже первый минимум будет соответствовать очень малому отклонению от прямолинейного распространения света под углом
(j1)min = arcsinl/a »l/a <<1. (14)
Следующий минимум будет при угле (j2)min » 2l/a и т.д. В результате прохождения через такую широкую щель плоской световой волны на экране наблюдается геометрическое изображение щели, окаймлённое по краям тонкими практически неразличимыми глазом перемеживающимися темными и светлыми полосками.
Чётко выраженные широкие дифракционные максимумы и минимумы будут наблюдаться лишь в промежуточном случае, когда ширина щели всего в несколько раз превышает длину волны и zmax имеет значение порядка 3-5.
Положение на экране дифракционных максимумов зависит от длины волны, поэтому при освещении щели белым светом центральный максимум будет наблюдаться в виде узкой белой полоски, так как при угле j = 0 оптическая разность пути одинакова для света всех длин волн. Боковые дифракционные максимумы для различных длин волн разойдутся, так как согласно (12), чем меньше l, тем под меньшими углами расположены дифракционные максимумы. Справа и слева от центрального максимума будут наблюдаться радужно окрашенные боковые максимумы интенсивности - дифракционные спектры первого, второго и т. д. порядка – цветные полосы с чередованием цветов от фиолетового к красному, обращенные фиолетовым краем к центру, рис.5. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.
Рис.5.
ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА, ДИФРАКЦИОННЫЙ СПЕКТР. ДИСПЕРСИЯ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ РЕШЁТКИ.
Вопросы:
1. Дифракционная решетка. Для увеличения интенсивности и более четкого разделения цветов следует воспользоваться не одной щелью, а целой дифракционной решеткой, которая представляет собой ряд параллельных щелей одинаковой ширины а, разделённых между собой непрозрачными промежутками шириной b. Сумма
а + b = 1 (1)
называется периодом или постоянной дифракционной решетки.
Конструктивно дифракционная решетка для видимого света изготавливается путем нанесения на прозрачную стеклянную пластинку с помощью алмазного резца делительной машины ряда тонких параллельных штрихов-канавок одинаковой ширины b на равных расстояниях а друг от друга. Поверхность стекла внутри канавок становится матовой, и эти канавки являются непрозрачными промежутками, разделяющими участки с ненарушенной поверхностью - "щели"_решётки, рис.1.
Дифракционные решетки имеют обычно от 100 до 600 щелей на 1 мм, т.е. период l =10-2 мкм. Лучшие решетки содержат до 1800 щелей на 1 мм, при общей длине до нескольких см., так что общее число щелей достигает 105.
Рис.1.
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, нормально падающую на решетку, рис.2. Поместим параллельно решетке собирающую линзу L, а в ее фокальной плоскости – экран E. Каждая из параллельных щелей решётки дает на экране дифракционную картину, показанную на рис.2 пунктиром. Линза L собирает параллельные когерентные лучи, идущие от всех щелей под углом φ к главной оптической оси, в одну и ту же точку М фокальной плоскости. При параллельности всех щелей дифракционной решётки и строгой одинаковости их размеров амплитуды колебаний, создаваемых в точке М каждой щелью в отдельности, будут одинаковы. Практически одинаковым будет и распределение вдоль экрана интенсивностей и амплитуд колебаний, приходящих от каждой щели. Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции большого числа волн, идущих от всех щелей.
Pис.2.
На центральной линии экрана, проходящей через главный фокус линзы О, лучи, идущие от всех щелей, сходятся без дополнительной разности хода, т.е. приходят в одинаковой фазе. При этом амплитуды их колебаний просто складываются, и в случае N одинаковых щелей амплитуда результирующего колебания будет в N раз, а интенсивность в N2 раз больше, чем в случае одной щели.
Лучи, идущие от разных щелей под углом j, отличным от нуля, сходятся в точке М, пройдя различные оптические пути и имея различные фазы колебаний. Они дают при интерференции более сложную картину.
Рассмотрим две соседние щели. Из рис.2 видно, что лучи, идущие от соответственных точек обеих щелей (крайних, центральных или промежуточных), имеют одну и ту же разность хода
D = l sinj (2)
и приходят в точку М со сдвигом фазы y = 2p(l sinj)/l. Такой же точно сдвиг фазы y будет между колебаниями, приходящими от третьей щели и второй, четвертой и третьей, и т.д.
Резкое возрастание амплитуды результирующего колебания наблюдается в тех случаях, когда амплитуды колебаний от всех щелей Аi направлены одинаково, т.е. имеют сдвиг фазы кратный 2p (рис.3), что соответствует разности хода между соседними щелями D кратной четному числу полуволн:
lsinjm = 2ml /2 = ml, m = 0, ±1, ±2, ±3, .... (3)
Условие (3) характеризует положение главных максимумов дифракционной решетки. При углах jk, удовлетворяющих (3), амплитуда результирующего колебания А = NА1 и интенсивность дифракционной картины возрастает в N2 раз по сравнению с дифракцией от одной щели. Вследствие взаимной интерференции световых лучей из N щелей в некоторых направлениях они будут гасить друг друга. В этих направлениях между главными максимумами располагаются дополнительные минимумы интенсивности, разделенные вторичными максимумами, интенсивность которых значительно меньше, чем главных максимумов.
С увеличением N возрастает четкость дифракционной картины - увеличивается интенсивность и уменьшается ширина главных максимумов. Вследствие интерференции происходит перераспределение энергии в пространстве, и эта энергия концентрируется во все более узком интервале углов Dj.
Подчеркнем, что хотя положение главных максимумов решетки не зависит от числа щелей, наличие большого числа щелей очень существенно:
А
Рис.3.
1)яркость каждой линии растет как N2, 2) ширина каждой линии убывает как 1/N. Тем самым увеличивается точность производимых измерений.
2. Дифракционный спектр. Если на дифракционную решетку будет падать немонохроматический свет, то все дифракционные максимумы, кроме центрального, для лучей разного цвета разложатся в спектр. Центральный максимум (m = 0) для всех длин волн будет совпадать при j = 0. Максимумы первого порядка (m = 1) будут для фиолетовых лучей расположены ближе к центру, чем для красных. Между ними расположатся максимумы промежуточных цветов, и мы будем наблюдать дифракционный спектр первого порядка. Между нулевым и первым порядками спектра расположена практически темная зона очень слабых вторичных максимумов. Такая же темная зона расположена между красным концом спектра первого порядка и фиолетовым краем спектра второго порядка, рис.4.
Рис.4.
Благодаря узости дифракционных максимумов решетки различные цвета почти не накладываются друг на друга. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т.е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор. Для этого решетка D помещается на столике гониометра и освещается параллельным пучком света из коллиматора К (рис.5.). Разложенный дифракционной решеткой в спектр свет регистрируется фотоприемником r или наблюдается в зрительную трубу. Угол φ можно изменять и определять по шкале гониометра.
Спектр дифракционной решетки получается тем более четким, чем больше щелей N содержит решетка. Максимальное число наблюдаемых дифракционных спектров определяется из условия, чтобы модуль sinjm £ 1, т.е.
mmax£ l/l. (4)
Из условия
sinjm =ml/l (5)
видно, что синусы углов в спектре данного порядка прямо пропорциональны длинам волн, т.е. дифракционные спектры, в отличие от спектров призматических монохроматоров, всегда одинаковы и равномерны. По мещая дифракционную решетку D на столик гониометра ( рис.5) и освещая ее пучком параллельных лучей через щель коллиматора К, можно, измеряя угол jm, под которым видны данные лучи в зрительную трубу Т, точно найти их длину волны l.
Отражательная решетка изготовляется процарапыванием параллельных штрихов на зеркальной поверхности. Её теория, по существу, не отличается от теории прозрачной решетки.
Для некоторых областей спектра стекло непрозрачно (например, для УФ-лучей). В этом случае нужно пользоваться кварцевой оптикой и отражательными решетками. Без линз можно обойтись, заменяя плоскую отражательную решетку вогнутой.
3. Дисперсия и разрешающая способность. Основными характеристиками всякого спектрального прибора является его дисперсия и разрешающая способность. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 ангстрем). Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн dl, при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.
Угловой дисперсией называется величина
D = dj/dl, (6)
где dj - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на dl (рис.6). Можно показать, что
D = m/lcosφ ≈ m/l, (7)
так как cosφ ≈ 1. Откуда следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки l. Чем выше порядок спектра k, тем больше дисперсия.
Дифракционная решетка
Линза
f j
dj
экран
dl¢
l¢ Рис.6.
Линейной дисперсией называют величину
Dлин = dl¢ /dl, (8)
где dl¢ - линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектр. линиями, отличающимися по длине на dl. Линейная дисперсия связана с угловой дисперсией соотношением
Dлин = fD, (9)
где f - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Приняв во внимание (7), запишем
Dлин = fm/l. (10)
Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину
R = l/dl , (11)
где dl - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.
Возможность разрешения (т.е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними, которое определяется дисперсией прибора, но также и от ширины спектральных, максимумов (рис. 7). Согласно критерию Рэлея, изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников света или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями разрешимы, если центр дифракционного пятна каждого из них пересекается с краем первого темного кольца другого. При выполнении критерия Рэлея интенсивность «провала» между максимумами составляет 80 % интенсивности в максимуме.
Рис.7.
Разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра m и числу щелей N:
Rдифр. реш. = mN, (12)
то есть при заданном числе щелей для увеличения разрешающей силы необходимо переходить к большему порядку дифракционного спектра. Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей силой (до 2×105).
В качестве примера на рис. 7х приведены дифракционные картины для двух спектральных линий, полученные с помощью трех дифракционных решеток с отличающимися значениями дисперсии и разрешающей силы.
Рис.7х. (стр.405, Савельев).
Разрешающая сила решеток 1 и 2 одинакова, но дисперсия первой решетки меньше, чем второй. Решетки 2 и 3 имеют одинаковую дисперсию, но разрешающая сила второй решетки больше, чем третьей.
При падении на объектив света от удаленного точечного источника света в фокальной плоскости объектива вследствие дифракции световых волн вместо точечного изображения наблюдается дифракционная картина в виде светового пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Если на объектив падает свет от двух удаленных точечных источников света с некоторым угловым расстоянием δφ, то в фокальной плоскости объектива наблюдается наложение их дифракционных картин. Используя критерий Рэлея можно получить, что наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются объективом с фокусным расстоянием f, равно
δφ = 1,22λf/D, (13)
где D – диаметр входного зрачка объектива.
Величина, обратная δφ, называется разрешающей силой (способностью) объектива
R = 1/ δφ = D/1,22fλ. (14)
Из формулы (14) следует, что для увеличения разрешающей способности оптических приборов необходимо увеличивать диаметр объектива. Поэтому оптические телескопы изготавливают с диаметром входного зеркала в несколько метров.
Для примера, диаметр зрачка человеческого глаза при нормальном освещении равен приблизительно 2·10-3 м. Для оптического излучения с длиной волны λ = 0,5·10-6 м и f = 1, получим δφ = 3·10-4 рад ≈ 1′. Значит, минимальное угловое расстояние между точками, при котором глаз воспринимает их еще раздельно, равно одной угловой минуте.
4. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке. (опустить)!!!!!В 1895 г. Рентген обнаружил, что при электрическом разряде в вакуумной трубке возникает излучение, невидимое для глаз. Дальнейшие исследования показали, что это излучение, названное в дальнейшем рентгеновским, возникает при бомбардировке вещества быстрыми электронами. В современных рентгеновских трубках мишенью, обстреливаемой электронами, является металлическая пластинка - катод, расположенный под углом 45° к потоку электронов. Скорость электронов определяется величиной разности потенциалов между анодом и катодом.
Рентгеновское излучение - жесткое электромагнитное излучение, и оно обладает волновыми свойствами. Для того чтобы обнаружить дифракцию его, необходимо чтобы размеры щелей и преград, образующих правильную решетку на пути волн, были не слишком велики по сравнению с длиной волны. Рентгеновское излучение обладает столь малой длиной волны, что для него на обычных дифракционных решетках дифракция не наблюдается.
Дифракция электромагнитного излучения наблюдается не только на одномерной дифракционной решетке, но и на двух- и трехмерных периодических структурах. Проделаем мысленно следующее. Поставим две дифракционные решетки одну за другой так, чтобы их штрихи были взаимно перпендикулярными. Первая решетка даст, например, в горизонтальном направлении ряд максимумов, положения которых определяются условием
l1 sinj1 = ±m1l (m1 =0, 1,2,3,..,). (15)
Вторая решетка разобьет каждый из образовавшихся таким образом пучков излучения на расположенные по вертикали максимумы, положения которых определяются условием
l2 sinj2 = ±m2l (m2 =0, 1,2,...). (16)
В итоге дифракционная картина будет иметь вид правильно расположенных светлых пятен.
Такая же дифракционная картина получится, если вместо двух решеток взять одну прозрачную пластинку с нанесенными на нее двумя системами взаимно перпендикулярных штрихов. Подобная пластинка представляет собой двумерную периодическую структуру.
Дифракция наблюдается также на трехмерных структурах, т.е. пространственных образованиях, обнаруживающих периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. Подобными структурами являются все кристаллические тела. Однако их период (» 10-10 м) слишком мал для того, чтобы можно было наблюдать дифракцию в видимом свете. В случае кристаллов условие l > l выполняется только для рентгеновского излучения.
Впервые дифракция на кристаллах с использованием очень узких пучков рентгеновского излучения наблюдалась в 1913 г. в опыте Лауэ, Фридриха и Книппинга. Первые методы расчета дифракции от объемной решетки дал Лауэ. Совершенно эквивалентные формулам Лауэ, но гораздо более удобные для анализа, формулы были даны независимо русским ученым Вульфом и английскими физиками У .Г. и У.Л .Брэггами. Метод, предложенный ими, состоит в следующем.
Проведем через узлы кристаллической решетки параллельные равноотстоящие плоскости (рис.8), называемые атомными слоями.
Рис.8. (d заменить на l)
Если падающая на кристалл волна плоская, то огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в таком слое, также будет представлять собой плоскость. Таким образом, суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отразившейся от усеянной атомами поверхности по обычному закону отражения.
Плоские вторичные волны, отразившиеся от разных атомных слоев, когерентны и будут интерферировать между собой подобно волнам, посылаемым в данном направлении различными щелями дифракционной решетки. Вторичные волны будут практически гасить друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода между соседними волнами является кратной l. Из рис.8 видно, что разность хода двух волн, отразившихся от двух соседних атомных слоев, равна 2lsinQ, где l - период идентичности кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым слоям, Q - угол скольжения падающих лучей. Следовательно, направления, в которых получаются дифракционные максимумы рентгеновского излучения, определяется условием
2 l sinQ = ± ml (m =1,2,...). (17)
Это соотношение называется формулой Вульфа – Брэггов.
Атомные слои в кристалле можно провести множеством способов. Каждая система слоев может дать дифракционный максимум, если для нее окажется выполнимым (17). Однако заметную интенсивность имеют лишь те максимумы интенсивности, которые получаются за счет отражений от слоев, достаточно густо усеянных атомами. При произвольном направлении падения монохроматического рентгеновского излучения на кристалл дифракция не возникает. Чтобы ее наблюдать, надо, поворачивая кристалл, найти определенный угол скольжения. Дифракционная картина может быть получена и при произвольном положении кристалла, для чего нужно пользоваться рентгеновским излучением с непрерывным спектром. Тогда для таких условий опыта всегда найдутся длины волн l, удовлетворяющие условию (17).
Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов находит два основных применения. Она используется для исследования спектрального состава рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия) и для изучения структуры кристаллов (рентгеноструктурный анализ). Определяя направления максимумов, получающихся при дифракции рентгеновского излучения с неизвестной длиной волны от кристаллов с известной структурой, можно определить длину волны.
В методе структурного анализа узкий пучок рентгеновского излучения направляется на кристалл. Для каждой системы слоев, достаточно густо усеянных атомами, находится в излучении длина волны, при которой выполняется условие (17). Поэтому на помещенной за кристаллом фотопластинке регистрируется (после проявления) совокупность черных пятнышек, взаимное расположение которых отражает симметрию кристалла. Расшифровывая рентгенограммы, по расстоянию между пятнышками и по их интен сивности удается найти размещение атомов в кристалле и расстояния между ними.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ.
Вопросы:
1. Дисперсия и поглощение света. Нормальная и аномальная дисперсия.
2. Электронная теория дисперсии.
3. Поглощение света. Закон Бугера-Ламберта.
1. Дисперсия и поглощение света. Нормальная и аномальная дисперсия.
Дисперсией света называют явление зависимости абсолютного показателя преломления вещества n от частоты света ω (или длины волны λ) или зависимость фазовой скорости V световой волны от ее частоты:
n = f(λ).
Следствием дисперсии света является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через одну или несколько преломляющих поверхностей, например, через призму. В вакууме световая волна распространяется с постоянной скоростью, не зависящей от частоты. Дисперсия света называется нормальной в случае, если показатель преломления монотонно возрастает с увеличением частоты (убывает с увеличением длины волны); в противном случае дисперсия называется аномальной, рис.1.
Рис.1. (см. мой конспект)
В видимой области спектра с увеличением частоты показатель преломления увеличивается.
Величина
D = dn/dλ0
называется дисперсией вещества и характеризует скорость изменения показателя преломления при изменении длины волны.
Нормальная дисперсия света наблюдается вдали от полос или линий поглощения света веществом, аномальная – в пределах полос или линий поглощения.
Первое экспериментальное исследование дисперсии света в стеклянной призме было выполнено И. Ньютоном в 1672 г., рис.2.
Рис.2. (см. мой конспект).
Пусть монохроматический пучок света падает на прозрачную призму с преломляющим углом θ и показателем преломления n под углом α1. После двукратного отклонения (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол φ. Из геометрических преобразований следует, что
φ = θ(n-1),
т.е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол и показатель преломления вещества призмы. Поскольку n = f(λ), то лучи разных длин волн после прохождения через призму окажутся отклоненными на разные углы, т.е. пучок белого света разлагается в спектр, что и наблюдалось впервые Ньютоном. Значит, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решетки, можно определить спектральный состав света.
Следует помнить, что составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагаются различно. В дифракционном спектре синус угла отклонения пропорционален длине волны, следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее. В призме же для всех прозрачных веществ с нормальной дисперсией показатель преломления n с увеличением длины волны уменьшается, поэтому красные лучи отклоняются призмой слабее, чем фиолетовые.
На явлении нормальной дисперсии основано действие призменных спектрометров, широко используемых в спектральном анализе. Это объясняется тем, что изготовить призму значительно проще, чем дифракционную решетку. Призменные спектрометры имеют также большую светосилу.
2. Электронная теория дисперсии. Взаимодействие оптического излучения с веществом определяется взаимодействием электромагнитного поля световой волны с системой заряженных частиц, входящих в состав атомов и молекул вещества. Из электромагнитной теории Максвелла следует, что
n = εμ,
где ε –диэлектрическая проницаемость среды, μ – магнитная проницаемость. Для всех оптически прозрачных веществ μ ≈ 1, поэтому
n = ε. (1)
т.е. зависимость n = f(λ) определяется зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты переменного электрического поля световой волны. Но в соответствии с теорией Максвелла величина ε является постоянной, а полученные из этого выражения значения n не согласуются с экспериментальными данными.
Для объяснения дисперсии света была предложена электронная теория Лоренца, в которой дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами вещества, совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле световой волны.
Ознакомимся с этой теорией на примере однородного изотропного диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость вещества равна
ε = 1 + χ = 1 + Р/(ε0Е),
где χ – диэлектрическая восприимчивость среды, ε0 – электрическая постоянная, Р – мгновенное значение поляризованности (наведенный дипольный момент единицы объема диэлектрика в поле волны с напряженностью электрического поля Е). Тогда
n2 = 1 + Р/(ε0Е), (2)
т.е. n зависит от Р. Для видимого света частота ω~1015 Гц столь велика, что существенны лишь вынужденные колебания внешних (наиболее слабо связанных) электронов атомов, молекул или ионов под действием электрической составляющей поля волны, а ориентационной поляризации молекул при такой частоте не будет. Эти электроны называются оптическими электронами.
Для простоты рассмотрим среду, в которой имеется лишь один сорт атомов и в каждом из них возможны колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р = ех, где е – заряд электрона, х – смещение электрона из положения равновесия под действием электрического поля световой волны. Если n0 – концентрация атомов в диэлектрике, тогда
Р = р n0 = n0 е х. (3)
Подставив (3) в (2) получим
n2 = 1 + n0 е х /(ε0Е), (4)
т.е. задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего электрического поля Е = Е0cos ωt.
Вынужденные колебания электрона, удерживаемого в атоме упругой силой, под действием внешней гармонической силы описываются уравнением
d2x/dt2 +ω02 x = (F0/m)cos ωt = (e/ m) E0cos ωt, (5)
где F0 = еE0 – амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, ω0 = √k/m – собственная частота колебаний электрона, m – масса электрона. Решив уравнение (5), найдем ε = n2 в зависимости от констант атома (е, m, ω0) и частоты внешнего поля ω, т.е. решим задачу дисперсии.
Решением (5) является
х = А cos ωt, (6)
где
А = еЕ0/m(ω02 – ω2). (7)
Подставим (6) и (7) в (4) и получим
n2 = 1 + n0e2/ε0m(ω0i2 – ω2). (8)
Если в атоме или молекуле вещества имеются различные заряды с массами mi, способные совершать вынужденные колебания с собственными частотами ω0i, то
n2 = 1 + n0/ε0 ∑(ei2/mi)/(ω02 – ω2). (9)
Из (8) и (9) видно, что показатель преломления вещества зависит от частоты ω внешнего электрического поля, и что в области частот от ω = 0 до ω ≤ ω0 значение n2 больше 1 и возрастает с увеличением частоты ω (нормальная дисперсия). Вблизи собственной частоты (ω = ω0) значение n(ω) терпит разрыв, что соответствует поглощению света веществом; в области частот от ω ≥ ω0 до ω = ∞ значение n2 меньше 1 и возрастает от - ∞ до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя от n2 к n, получим зависимость n = n(ω), представленную на рис.1. Если учесть силы сопротивления при колебаниях электронов, то график зависимости n(ω) вблизи ω0 дается штриховой линией АВ – область аномальной дисперсии. Куполообразная штриховая линия на рис.1 изображает зависимость коэффициента поглощения света веществом. Поглощение света в области аномальной дисперсии обусловлено интенсивным поглощением света на резонансной частоте.
Исследования аномальной дисперсии света в парах натрия были выполнены российским физиком Д.С. Рождественским. Он экспериментально показал справедливость формулы (9) и ввел дополнительную поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов вещества.
3. Поглощение света. Закон Бугера-Ламберта. Поглощением (абсорбцией) света называется уменьшение энергии световой волны при ее распространении в веществе вследствие преобразования энергии волны в другие виды энергии в результате ее взаимодействия со средой. Интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.
С точки зрения электронной теории, при прохождении световой волны через вещество часть энергии волны затрачивается на возбуждение и поддержание колебаний электронов, входящих в состав атомов. Частично энергия колебаний электронов вновь переходит в энергию светового излучения в виде вторичных волн, частично же переходит в другие формы энергии, например, в энергию теплового движения атомов, т.е во внутреннюю энергию вещества (нагревание вещества).
Поглощение света в веществе можно в общих чертах описать с энергетической точки зрения, не входя в детали механизма взаимодействия световых волн с атомами и молекулами поглощающего вещества.
Формальное описание поглощения света веществом было дано Бугером, который установил связь между интенсивностью света, прошедшего через конечный слой поглощающего вещества, и интенсивностью падающего на него света
Ilλ = I0λe-K l, (10)
где I0λ – интенсивность светового излучения с длиной волны λ, падающего на поглощающий слой; Ilλ - интенсивность светового излучения, прошедшего поглощающий слой вещества толщиной l; К – коэффициент поглощения, зависящий от λ, т.е. К = f(λ), и индивидуальный для каждого вещества. Например, одноатомные газы и пары металлов (атомы которых можно считать изолированными, так как они находятся на значительных расстояниях друг от друга) обладают близким к нулю коэффициентом поглощения и только для очень узких интервалов длин волн Δλ = 10-12 – 10-11 м наблюдаются резкие максимумы поглощения – линейчатый спектр поглощения. Эти спектральные линии поглощения соответствуют частотам собственных колебаний электронов в атомах.
Спектры поглощения многоатомных газов имеют вид линейчатых полос шириной Δλ = 10-10 – 10-7 м, определяемых колебаниями атомов внутри молекул. Молекулы обладают набором близко расположенных собственных частот колебаний, что и обуславливает линейчатые полосы их поглощения, рис.3.
Рис.3.а)линейчатый спектр поглощения, б)полосатый спектр поглощения, в) сплошной спектр поглощения.
В диэлектрических веществах нет свободных электронов, поэтому для них коэффициент поглощения мал (К = 10-3 – 10-5 см-1) и для них наблюдается сплошной спектр поглощения.
Если поглотителем является вещество в растворе, то поглощение света тем больше, чем больше молекул растворенного вещества встречает свет на своем пути. Поэтому коэффициент поглощения зависит от концентрации С. В случае слабых растворов, когда взаимодействием молекул растворенного вещества можно пренебречь, коэффициент поглощения пропорционален концентрации С:
Кλ = cλС, (11)
где cλ – коэффициент пропорциональности, который также зависит от λ. Учитывая (11), можно закон Бугера (10) переписать в виде:
Iλ = I0λe-c Cl , (12)
где cλ – показатель поглощения света на единицу концентрации вещества. Если концентрация растворенного вещества выражается в [моль/литр], то cλ называют молярным коэффициентом поглощения.
Соотношение (12) носит название закона Бугера-Ламберта-Бера. Отношение величины светового потока, вышедшего из слоя Ilλ , к во шедшему I0λ носит название коэффициента оптического (или свето-) пропускания слоя Т:
Т = Ilλ /I0λ = e-c Cl (13)
или в процентах
Т = Ilλ /I0λ 100%. (14)
Поглощение слоя равно отношению
Логарифм величины 1/Т называется оптической плотностью слоя D
D = lg 1/T = lg I0λ /Ilλ = 0,43cλСl, (15)
т.е. оптическая плотность характеризует поглоще ние света средой. Соотношение (15) может быть использовано как для определения концен- трации растворов, так и для характеристики спек тров поглощения веществ.
Зависимость оптической плотности от длины волны D = f(λ) является спектральной характеристикой поглощения данного вещества, а кривая, выражающая эту зависимость, называется спектром поглощения.
Cогласно модели атома Бора кванты света испускаются и поглощаются при переходе системы (атома) из одного энергетического состояния в другое. Если при этом в оптических переходах меняется только электронная энергия системы, как это имеет место в атомах, то в спектре линия поглощения будет резкой.
Однако для сложных молекул, энергия которых слагается из электронной Еэл , колебательной Екол и вращательной Евр энергии (Е =Еэл + Екол + Евр ) при поглощении света изменяется не только электронная энергия, но обязательно колебательная и вращательная. Причем поскольку ∆Еэл>>∆Eкол>>∆Евр, то в результате этого набор линий, соответствующих электронному переходу, в спектре поглощения растворов выглядит как полоса поглощения.???
Коэффициент поглощения для металлов имеет большие значения (примерно 103 - 105 см-1) и поэтому металлы являются непрозрачными для света. В металлах вследствие наличия большого количества свободных электронов под действием электрического поля возникают быстропеременные токи. Энергия световой волны быстро уменьшается из-за выделения токами джоулевой теплоты, превращающейся во внутреннюю энергию металла. Чем выше проводимость металла, тем больше в нем свободных электронов и тем сильнее в нем поглощается свет.
Окрашенность поглощающих тел объясняется зависимостью коэффициента поглощения от длины световой волны.
Явление поглощения света используется при изготовлении светофильтров, которые в зависимости от химического состава стекол пропускают свет только определенных длин волн, поглощая остальные.
Большое распространение получил атомно-абсорбционный метод спектрального анализа, основанный на явлении избирательного поглощения света атомными парами химических элементов. При пропускании света через пары элемента (пары получают, например, при распылении раствора анализируемого образца в пламени, при испарении с поверхности образца под действием лазерного излучения, в различного рода атомизаторах: ) атомный пар поглощает свет только той частоты, которая соответствует частоте собственных колебаний электронов. Чувствительность метода составляет 10-8 % или 10-12 г.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА.
ЕСТЕСТВЕННЫЙ И ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ. СТЕПЕНЬ ПОЛЯРИЗАЦИИ. ЗАКОН МАЛЮСА.
Вопросы:
1.Естественный и поляризованный свет. Поляризованным называется свет (см. выше), в котором направления колебаний светового вектора Е упорядочены каким-либо образом. В естественном свете, испускаемом обычными источниками света, колебания разных направлений светового вектора Е быстро и беспорядочно сменяют друг друга.
Для рассмотрения прохождения естественного света через поляризационные устройства удобно использовать следующую методику. Пусть два взаимно перпендикулярных колебания вектора напряженности электрического поля свершаются вдоль осей х и у и отличаются по фазе на d:
Еx = A1 coswt, Еy = A2 cos(wt + d). (1)
Результирующая напряженность Е является векторной суммой Ех и Еу (рис.1), причем угол j между направлениями векторов Е и Ех определяется равенством
tg j = Е y /Е x = A2 cos(wt + d)/ A1 coswt, (2)
Ey E
j Ex
Рис.1.
Естественный свет. Если разность фаз претерпевает случайные хаотические изменения, то и угол j, т.е. направление светового вектора Е, будет испытывать скачкообразные неупорядоченные изменения. В соответствии с этим естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных электромагнитных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность.
Плоско поляризованный свет. Если световые волны Ех и Еу когерентны, причем разность фаз d постоянна и равна нулю или p. Тогда согласно (2)
tgj = ± А2/А1 = const.
Следовательно, результирующее колебание Е совершается в фиксированном направлении, т.е волна оказывается плоско поляризованной.
Круговая и эллиптическая поляризация. Допустим, что А1 = А2 и d = ±p/2, тогда
tgj = ± tgwt,
т.к. соs(wt ± π/2) = ± sinwt. Отсюда вытекает, что плоскость колебаний вектора напряженности Е поворачивается вокруг направления луча с угловой скоростью w. В этом случае свет 6удет поляризованным по кругу.
При произвольном постоянном значении d в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний Ех и Еу получим вектор Е, конец которого движется по эллипсу, т.е. мы получаем в результате сложения таких двух взаимно перпендикулярных волн эллиптически поляризованную световую волну. В частном случае, может получиться движение по прямой или по окружности. При разности фаз d=0 или d=p, эллипс вырождается в прямую и получается плоско поляризованный свет. При d = ±p/2 и равенстве амплитуд складываемых волн эллипс превращается в окружность - получается свет поляризованный по кругу.
В зависимости от направления вращения вектора Е световой волны различают правую и левую эллиптическую и круговую поляризацию. Если по отношению к направлению, противоположному направлению луча, вектор Е вращается по часовой стрелке, поляризация называется правой, в противоположном случае - левой.
Плоскость, в которой колеблется световой вектор в плоско поляризованной волне, называется плоскостью колебаний. Плоскостью поляризации называется не плоскость, в которой колеблется вектор Е, а перпендикулярная к ней плоскость.
2.Поляризаторы. Степень поляризации. Закон Малюса. Плоско поляризованный свет можно получить из естественного света с помощью приборов, называемых поляризаторами. Поляризаторы свободно пропускают колебания, параллельные плоскости, которая называется плоскостью поляризатора, и полностью или частично задерживают колебания, перпендикулярные к этой плоскости. Поляризатор, задерживающий перпендикулярные к его плоскости колебания только частично, называется несовершенным. Просто поляризатором называется идеальный поляризатор, полностью задерживающий колебания, перпендикулярные к его плоскости, и не ослабляющий колебаний, параллельных плоскости.
На выходе из несовершенного поляризатора получается свет, в котором колебания одного направления преобладают над колебаниями других направлений. Такой свет называется частично поляризованным. Его можно рассматривать как смесь естественного и плоско поляризованного. Частично поляризованный свет, как и естественный, можно представить в виде наложения двух некогерентных плоско поляризованных электромагнитных волн с взаимно перпендикулярными плоскостями колебаний вектора напряженности электрического поля. В случае естественного света интенсивность этих волн одинакова, а в случае частично поляризованного - разная.
Если пропустить частично поляризованный свет через поляризатор, то при вращении поляризатора вокруг направления луча интенсивность прошедшего света будет изменяться в пределах от максимального Imax до минимального Imin значений. Изменение интенсивности от одного из этих значений к другому будет совершаться при повороте поляризатора на угол, равный p/2, т.е. за один полный оборот два раза будет достигаться максимальное и два раза минимальное значение интенсивности. Величина
P = (Imax – Imin)/( Imax + Imin) (3)
называется степенью поляризации. Для плоско поляризованного света Imin = 0 и Р=1; для естественного света Imax = Imin и Р = 0. Т.е. любой естественный луч света не поляризован. К эллиптически поляризованному свету понятие степени поляризации не применимо (у такого света колебания вектора напряженности электрического поля Е полностью упорядочены).
Пусть на поляризатор (см. рис.2) падает плоско поляризованный свет амплитуды а0 и интенсивности I0. Сквозь поляризатор пройдет составляющая колебания с амплитудой А = а0 соsj, где j- угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью поляризатора. Следовательно, интенсивность прошедшего света I определяется выражением
I = I 0 соs2 j. - закон Малюса. (4)
Поставим на пути естественного луча два поляризатора, плоскости которых образуют угол j. Из первого поляризатора выйдет плоско поляризованный свет, интенсивность которого I0 составляет половину интенсивности естественного света. Согласно закону Малюса из второго поляризатора выйдет свет интенсивности I 0 соs2j. Т.о., интенсивность света, прошедшего через два поляризатора, равна
I = (Iестcos2j)/2. (5)
Р1 Р2
Е φ
Iест. I0 I
Рис. 2. Прохождение света через два поляризатора.
Максимальная, интенсивность, равная (1/2)Iест получается при j=0 (поляризаторы параллельны). При j = p/2 интенсивность равна нулю - скрещенные поляризаторы света не пропускают.
В случае света, поляризованного по кругу, вращение поляризатора не сопровождается (как и в случае естественного света) изменением интенсивности света, прошедшего через поляризатор.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА ПРИ ОТРАЖЕНИИ И ПРЕЛОМЛЕНИИ. ЗАКОН БРЮСТЕРА. ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ. АНИЗОТРОПИЯ КРИСТАЛЛОВ.
Вопросы:
1.Поляризация света при отражении и преломлении. Закон Брюстера. Пусть на границу раздела двух диэлектриков падает луч естественного света (например, из воздуха на поверхность стеклянной пластинки). Если угол падения света отличен от нуля, то отраженный и преломлённый лучи оказываются частично поляризованными. В отражённом луче преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения (на рис.1 эти колебания обозначены точками), в преломлённом луче - колебания, параллельные плоскости падения (на рис.1 они изображены двусторонними стрелками). Степень поляризации зависит от угла падения.
Рис.1.
Обозначим через QБр угол, удовлетворяющий условию
tgQБр = n12, (1)
где n12 - показатель преломления второй среды относительно первой. При угле падения Q= QБр (на рис. QБр =IB) отраженный луч полностью поляризован (он содержит только колебания вектора напряженности электрического поля, перпендикулярные к плоскости падения). Степень поляризации преломленного луча при угле падения, равном углу QБр, достигает наибольшего значения, однако этот луч остается поляризованный только частично.
Соотношение (1) носит название закона Брюстера, а угол QБр называется углом Брюстера. При падении света под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны.
Степень поляризации и интенсивность отраженного и преломленного лучей при различных углах падения можно получить с помощью формул Френеля, которые выводятся из уравнений Максвелла для электромагнитного поля.
Степень поляризации преломленного луча можно значительно увеличить, если использовать многократное преломление его на границах раздела нескольких пластинок диэлектрика, сложенных в стопу.
2.Поляризация при двойном лучепреломлении. Анизотропия кристаллов. При прохождении естественного света через все прозрачные кристаллы (за исключением кристаллов, принадлежащих к кубической системе, которые оптически изотропны) наблюдается явление, получившее название двойно го лучепреломления. Это явление заключается в том, что упавший на кристалл луч естественного света разделяется внутри кристалла на два линейно поляризованных луча одинаковой интенсивности, распространяющиеся с разными скоростями и в различных направлениях.
а) б)
Рис.2.
Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, подразделяются на одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов один из преломленных лучей подчиняется обычному закону преломления. Он лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности, восстановленной в точке падения. Этот луч называется обыкновенным и обозначается буквой о. Для другого луча, который называется необыкновенным и обозначается буквой е, отношение синусов угла падения и угла преломления, не остается постоянным при изменении угла падения. Кроме того, необыкновенный луч не лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности. Даже при нормальном падении света на кристалл необыкновенный луч отклоняется от нормали, рис.2б. Примерами одноосных кристаллов могут служить исландский шпат, кварц и турмалин, а двуосных кристаллов - слюда, гипс. У двуосных кристаллов оба луча необыкновенные - показатели преломления для них зависят от направления распространения света в кристалле. У одноосных кристаллов имеется направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь и с одинаковой скоростью. У двуосных кристаллов имеется два таких направления. Такие направления в кристалле называются оптической осью кристалла. Оптическая ось - это определенное направление в кристалле и любая прямая, параллельная данному направлению, является оптической осью.
Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно пользуются главным сечением, проходящим через световой луч.
Обыкновенный и необыкновенный лучи полностью поляризованы во взаимно перпендикулярных, направлениях (рис.2). Плоскость колебаний вектора напряженности электрического поля Е световой волны обыкновенного луча перпендикуляра к главному сечению кристалла. В необыкновенном луче колебания вектора Е совершаются в плоскости, совпадающей с главным сечением. По выходе из кристалла оба луча отличаются друг от друга только направлением поляризации.
В некоторых кристаллах один из лучей поглощается сильнее другого. Это явление называется дихроизмом. Сильным дихроизмом для видимого света обладает турмалин, в котором обыкновенный луч практически полностью поглощается на длине около 1мм. В кристаллах сульфата йодистого хинина один из лучей поглощается на пути примерно в 0,1мм. Это свойство используется для изготовления поляроидов, представляющих собой целлулоидную пленку, в которую введено большое количество одинаково ориентированных кристаллов сульфата йодистого хинина.
Явление двойного лучепреломления объясняется анизотропией кристаллов. В кристаллах некубической системы диэлектрическая проницаемость e оказывается зависящей от направления. В одноосных кристаллах e в направлении оптической оси и в направлениях, перпендикулярных к ней имеет различные значения eêê и e^. В других направлениях e имеет промежуточные значения. Поскольку показатель преломления вещества n = Öe, следовательно, из анизотропии e вытекает, что электромагнитным волнам с различными направлениями колебаний вектора Е соответствуют разные значения n. Значит, скорость световых волн зависит от направления колебаний светового вектора Е.
Одноосные кристаллы характеризуются показателями преломления обыкновенного луча n0 = c/V0 и необыкновенного луча ne = с/Vе. В зависимости от того, какая из скоростей V0 или Vе больше, различают положительные и отрицательные одноосные кристаллы. У положительных кристаллов Vе меньше V0, значит ne> n0.
Ход обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле можно определить с помощью принципа Гюйгенса.
3. Анализ поляризованного света. ?????????(добавить ли такой параграф)
ИСКУССТВЕННОЕ ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ.
ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ.
Вопросы:
1. Искусственное двойное лучепреломление.
2. Вращение плоскости поляризации.
1. Искусственное двойное лучепреломление. В прозрачных аморфных телах - естественных анизотропных средах, а также в кристаллах кубической системы может возникать двойное лучепреломление под влиянием внешних воздействий: механических деформациях тел, электрического поля (эффект Керра), магнитного поля (явление Коттон-Мутона). Под действием указанных воздействий анизотропное вещество приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением деформации, напряженности электрического или магнитного полей соответственно. Возникающая при этом оптическая анизотропия характеризуется разностью показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении перпендикулярном оптической оси. Опыт показывает, что эта разность пропорциональна механическому напряжению s в данной точке тела:
n0 – ne = k1 s, (1)
где k1 - коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств вещества.
Для наблюдения эффекта поместим стеклянную, пластинку Q между скрещенными поляризаторами Р1 и Р2. (рис.1). Пока стекло не
P1 Q P2
F
Рис.1.
деформировано, такая система света не пропускает. При сжатии пластинки, свет через систему начнет проходить, причем интенсивность прошедшего света зависит от разности n0 – ne, а значит, и от s. Наблюдаемая в прошедших лучах интерференционная картина, возникающая при наложении обыкновенного и необыкновенного лучей, оказывается испещренной цветными полосами. Каждая такая полоса соответствует одинаково деформированным местам пластинки, одинаковым s. Следовательно, по расположению полос можно судить о распределении напряжений внутри пластинки. На этом основан метод исследования напряжений: изготовленная из прозрачного изотропного материала модель какой-либо детали или конструкции помещается между скрещенными поляризаторами и подвергается действию нагрузок, подобных тем, какие будут испытывать реальная деталь или конструкция. Анализ интерференционной картины позволяет определить распределение напряжений и судить об их величине.
Возникающее под воздействием электрического поля двойное лучепреломление в жидкостях и в аморфных твердых телах было обнаружено английским физиком Д. Керром в 1875г. и получило название эффекта Керра. В 1930г. эффект Керра был обнаружен и в газах.
На рис.2 представлена схема установки для исследования эффекта Керра в жидкостях. Установка состоит из ячейки Керра - герметичного сосуда с жидкостью, в которую введены пластины конденсатора, помещенной между скрещенными поляризаторами Р и Р'. При подаче на пластины напряжения между ними возникает практически однородное электрическое поле, а жидкость приобретает свойства одноосного кристалла с оптической осью, ориентированной параллельно вектору напряженности Е.
Возникающая разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей
n0 – ne = k2 E2 , (2)
где k2 – коэффициент, характеризующий вещество.
На пути l, равном длине пластин, между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает оптическая разность хода
D = (n0 – ne )l = k2 lE2
или разность фаз
d = (D/l0)2p = 2pk2 lE2/l0. (3)
Это выражение принято записывать в виде
d =2pВl Е2, (4)
где В = к2 /λ0 -характерная для вещества величина, называется постоянной Керра.
Из известных жидкостей наибольшей постоянной Керра обладает нитробензол. Постоянная Керра В зависит от температуры вещества Т и длины волны оптического излучения l.
Эффект Керра объясняется различной поляризуемостью молекул по разным направлениям. В отсутствии электрического поля молекулы ориентированы хаотическим образом, поэтому жидкость не обнаруживает анизотропии. Под действием поля молекулы, обладающие дипольным моментом (полярные молекулы), приобретают преимущественную ориентацию по полю, а неполярные молекулы – в направлении наибольшей поляризуемости. В результате жидкость становится оптически анизотропной. Ориентирующему действию поля препятствует тепловое движение молекул, поэтому постоянная Керра уменьшается с повышением температуры Т.
Время, в течение которого устанавливается при включении электрического поля и исчезает при выключении его оптическая анизотропия, составляет около 10-10 с. Поэтому ячейка Керра, помещенная между скрещенными поляризаторами, может служить практически безынерционным световым затвором и применяется в лазерной технике для управления режимом работы лазеров, для исследования быстро протекающих оптических процессов. Модуляция света с помощью ячейки Керра достигает частоты до 109 Гц.
Аналогом эффекта Керра является эффект Коттона-Мутона - оптическая анизотропия, возникающая под действием магнитного поля. Если молекулы вещества анизотропны и обладают магнитными моментами, то они могут преимущественно ориентироваться в постоянном магнитном поле, что приводит к возникновению анизотропии и связанному с ней двойному лучепреломлению. Вещество в этом случае подобно одноосному кристаллу с оптической осью, параллельной вектору индукции магнитного поля В. Схема установки по наблюдению двойного лучепреломления в эффекте Коттона-Мутона подобна, как и для эффекта Керра. Разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей описывается соотношением
n0 – ne = k3 В2 , (5)
где k3 – коэффициент, характеризующий вещество.
Возникновение оптической анизотропии возможно и при воздействии на вещество мощного лазерного поляризованного излучения. Электрическое поле световой волны поляризует атомы или молекулы вещества, вызывая тем самым его оптическую анизотропию.
2. Вращение плоскости поляризации. Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через них плоско поляризованного света. К числу таких веществ относятся некоторые кристаллические тела (например, кварц, киноварь), чистые жидкости (скипидар, никотин, винная кислота) и растворы оптически активных веществ в неактивных растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты и др.).
Кристаллические вещества сильнее вращают плоскость поляризации, если свет распространяется вдоль оптической оси кристалла. Угол поворота плоскости поляризации j для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей пропорционален пути l, пройденному лучом в активном веществе:
j = al. (6)
Коэффициент a называется постоянной вращения. Эта постоянная зависит от длины волны света (дисперсия вращательной способности).
Для оптически активных растворов угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути света в растворе и концентрации активного вещества С:
j = gС l, (7)
где g - удельная постоянная вращения.
Оптически активные вещества в зависимости от направления вращения плоскости поляризации подразделяются на право- и левовращающие. Правовращающие вещества вращают плоскость поляризации по часовой стрелке, если наблюдатель смотрит навстречу лучу, левовращающие – против часовой стрелки. Все оптически активные вещества существуют в двух разновидностях - правовращающей и левовращающей. Существует право- и левовращающий кварц, право- и левовращающий сахар и т.д. Молекулы или кристаллы одной разновидности являются зеркальным отражением молекул или кристаллов другой разновидности.
а) б)
Рис.3.(Савельев)
Буквами обозначены отличающиеся друг от друга атомы или группы атомов (радикалы). Молекула б является зеркальным отражением молекулы а.
Наблюдают вращение плоскости поляризации следующим образом. Если между двумя скрещенными поляризаторами, дающими темное поле зрения, поместить оптически активное вещество (кристалл кварца, прозрачную кювету с раствором сахара и т.п.), то поле зрения просветляется. Чтобы снова получить темноту, нужно повернуть один из поляризаторов на угол j, определяемый выражением (6) или (7), и можно определить концентрацию раствора С. Такой способ применяется для определения концентрации различных веществ с помощью приборов, которые называются поляриметрами. Поляриметры, используемые для определения сахара в растворе, называются сахариметрами.
Вращение плоскости поляризации объяснил Френель. Согласно Френелю явление вращения плоскости поляризации сводится к особому типу двойного лучепреломления. Причиной вращения является различие скоростей распространения в оптически активных веществах для левого и правого циркулярно поляризованного света.
Магнитное вращение плоскости поляризации. Оптически неактивные вещества приобретают способность вращать плоскость поляризации под действием магнитного поля. Это явление было обнаружено Фарадеем и называется иногда эффектом Фарадея. Оно наблюдается только при распространении света вдоль направления намагниченности. Поэтому для наблюдения эф. Фарадея в полюсных наконечниках просверливают отверстия, через которые пропускают световой луч. Исследуемое вещество помещается между полюсами магнита.
Угол поворота плоскости поляризации j пропорционален пути l, проходимому светом в веществе, и намагниченности вещества. Намагниченность в свою очередь пропорциональна напряженности магнитного поля Н. Поэтому
j = VlH. (8)
Коэффициент V называется постоянной Верде или удельным магнитным вращением. Постоянная V, как и постоянная вращения a, зависит от природы вещества, длины волны света и для большинства веществ практически не зависит от температуры.
Направление вращения плоскости поляризации определяется направлением магнитного поля. От направления светового луча знак вращения плоскости поляризации не зависит. Поэтому, если отразить луч зеркалом и заставить его пройти через намагниченное вещество ещё раз в обратном направлении, то поворот плоскости поляризации удвоится.
Магнитное вращение плоскости поляризации обусловлено возникающей под действием магнитного поля прецессией электронных орбит.
Оптически активные вещества под действием магнитного поля приобретают дополнительную способность вращать плоскость поляризации, которая складывается с их естественной способностью.
ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА ДЛЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН.
Эффект Доплера в акустике объяснялся тем, что частота колебаний, воспринимаемых приемником, определяется скоростями движения источника колебаний и приемника по отношению к среде, в которой происходит распространение звуковых волн. Эффект Доплера наблюдается также и при движении относительно друг друга источника и приемника световых волн. Так как особой среды, служащей носителем электромагнитных волн не существует, то частота световых волн, воспринимаемых приемником, определяется только относительной скоростью источника и приемника и является следствием преобразований Лоренца, изучаемых в специальной теории относительности.
Свяжем с приемником света начало координат системы К, а с источником – начало координат системы К', рис.1.
Рис.1
Оси х и х' направим вдоль вектора скорости V, с которой система К' (т.е. источник) движется относительно системы К (т.е. приемника). Уравнение плоской световой волны, испускаемой источником по направлению к приемнику, будет в системе К' иметь вид
Е(х',t' ) = A' cos[ω' (t' + x'/C) + α'], (1)
где ω' – частота волны, фиксируемая в системе отсчета, связанной с источником, т.е. частота с которой колеблется источник.
Согласно принципу относительности законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета, следовательно, уравнение световой волны во всех инерциальных системах отсчета описывается одинаково, и в системе К волна описывается уравнением:
Е(х,t) = Acos[ω(t + x/C) + α], (2)
где ω – частота, фиксируемая в системе отсчета К, т.е. частота, воспринимаемая приемником.
Уравнение волны в системе К можно получить из уравнения (1), перейдя от х' и t' к х и t с помощью преобразований Лоренца, заменив в (1) х' и t' в соответствии с преобразованием Лоренца, и таким образом связать частоты световых волн, излучаемых источником ω' и воспринимаемых приемником ω:
Если источник света равномерно движется в вакууме относительно приемника со скоростью V, то регистрируемая приемником частота определяется формулой:
ω = ω0 (√1 – V2/C2)/ √1 + (V/C)cosΘ = ω0 (√1 –β2) /√1 + β cosΘ, (1)
где С – скорость света в вакууме, Θ – угол между вектором скорости V и направлением наблюдения, измеряемый в системе отсчета, связанной с приемником (наблюдатетем), ω0 – частота световых волн в случае покоящихся источника и приемника, множитель √1 – V2/C2 учитывает различный ход времени в системах, связанных с источником и приемником.
При угле Θ = 0 или π, когда источник движется прямо к приемнику или от него, наблюдается так называемый продольный эффект Доплера:
ω = ω0 (√1 – V/C)/ √1 + (V/C) = ω0 (√1 –β) /√1 + β. (2)
В нерелятивистском случае, если V<< C, формулу (2) можно разложить в ряд по степеням β и пренебрегая членом порядка β2, получим
ω = ω0 (1 – V/C) = ω0 (1 –β). (3)
При удалении источника и приемника друг от друга (при их положительной относительной скорости V > 0), согласно формуле (3), частота ω < ω0, т.е. наблюдается сдвиг длины волны регистрируемого излучения в более длинноволновую область (λ>λ0) – так называемое красное смещение. При сближении источника и приемника (при их отрицательной относительной скорости V < 0) наблюдается сдвиг в более коротковолновую область (ω > ω0, λ < λ0) – так называемое фиолетовое смещение. Продольный эффект Доплера, при котором изменение частоты излучения Δω = ω - ω0 максимально, является эффектом первого порядка относительно V/С.
Из (3) можно найти относительное изменение частоты:
Δω/ω = - V/С. (4)
Из специальной теории относительности следует, что, кроме продольного эффекта для световых волн должен существовать также поперечный эффект Доплера, наблюдаемый при движении приемника перпендикулярно линии, соединяющей его с источником (приемник движется относительно источника по окружности или наоборот). При поперечном эффекте наблюдается уменьшение частоты. В этом случае Θ = π/2
ω = ω0 √1 – V2 /C2 = ω0 √(1 –β2 ) ≈ ω0 (1 - V2 /2С2) (5)
а относительное изменение частоты при поперечном эффекте Доплера
Δω/ω = - V2 /2С2 (6)
пропорционально квадрату отношения V/С (эффект второго порядка) и, следовательно, значительно меньше, чем при продольном эффекте. Поэтому обнаружение поперечного эффекта Доплера связано с большими трудностями, он не наблюдается в акустике (при V<<С из (5) следует, что ω = ω0), и является, следовательно, релятивистским эффектом. Экспериментальное обнаружение поперечного эффекта Доплера явилось одним из подтверждений справедливости теории относительности. Он был обнаружен в 1938 г. американским физиком Г. Айвсом. Как чисто релятивистский эффект, связанный с замедлением течения времени движущегося наблюдателя, он с успехом использовался для проверки соотношений специальной теории относительности.
Продольный эффект Доплера был впервые обнаружен в 1900 г. русским астрофизиком А.Белопольским и используется при исследовании атомов и молекул, а также в астрофизике при определении лучевых скоростей движения и угловых скоростей вращения космических тел. Тепловое движение молекул светящегося газа приводит вследствие эффекта Доплера к уширению спектральных линий. Распределение частиц газа по скоростям при их хаотическом тепловом движении вследствие эффекта Доплера приводит к соответствующему распределению по частотам излучения составляющих газовую среду частиц. Все направления скоростей частиц относительно приемника (спектрометра) равновероятны. Поэтому спектральные линии испытывают неоднородное доплеровское уширение, в регистрируемом излучении присутствуют все частоты, заключенные в интервале от ω0 (1 – V/C) до ω0 (1 + V/C), где ω0 – частота, излучаемая частицами, V – скорость теплового движения частиц. Таким образом, регистрируемая ширина спектральной линии составит величину
Δω = 2 ω0 V/C, (7)
называемую доплеровской шириной спектральной линии. По величине доплеровского уширения спектральных линий можно судить о скорости теплового движения молекул, а, следовательно, и о температуре светящегося газа.
Приборы, использующие эффект Доплера, получили широкое распространение в радиотехнике и радиолокации, например, в радиолокационных измерениях расстояний до движущихся объектов (доплеровские радары и лидары), в научных исследованиях, медицине и т.д.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.
Свойства равновесного теплового излучения. Абсолютно черное тело. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Законы Кирхгофа, Стефана- Больцмана, Вина.
Тела, нагретые до высоких температур, светятся, т.е. испускают электромагнитное излучение. Электромагнитное излучение всех длин волн обуславливается колебаниями электрических зарядов, входящих в состав вещества, т. е. электронов и ионов. Вследствие значительной массы колеблющихся ионов при их колебании излучается длинноволновое электромагнитное излучение, соответствующее инфракрасному диапазону длин волн. Движение электронов, входящих в состав атомов или молекул, инициирует более коротковолновое излучение, соответствующее видимому и ультрафиолетовому излучениям. Излучение тела сопровождается потерей энергии. Для того чтобы обеспечить длительное излучение энергии, совершаемое за счет энергии теплового движения заряженных частиц вещества, необходимо пополнять убыль внутренней энергии, сообщая телу соответствующее количество теплоты. В состоянии равновесия тело излучает столько энергии, сколько поглощает ее. Тепловое излучение является равновесным излучением. Если тело начнет излучать в единицу времени больше энергии, чем получает ее, то температура тела начнет понижаться и уменьшится количество излучаемой телом энергии до уровня, когда, наконец, не установится равновесие. Такое равновесное состояние устойчиво, т.е. при нарушении его, равновесное состояние вновь установится. Все другие виды излучения тел являются неравновесными и называются люминесценцией, которая возникает под действием света (фотолюминесценция), потока быстрых электронов (катодолюминесценция), энергии электрического поля (электролюминесценция) и химических превращений внутри тела (хемилюминесценция).
Тепловое излучение свойственно всем телам при температуре выше 0 К. Поскольку тепловое излучение является равновесным, то для описания его свойств можно использовать законы термодинамики.
Количественной характеристикой интенсивности теплового излучения является энергетическая светимость тела R(T) – количество энергии, испускаемой единицей поверхности нагретого тела в единицу времени во всех направлениях (в телесном угле 2π, соответствующем полусфере). Эта величина является интегральной характеристикой излучающего тела, так как определяет энергию излучаемых электромагнитных волн различных частот ν. Поток энергии, приходящийся на единичный интервал частот, называется излучательной способностью тела r(ν,t), очевидно, что
r(ν,T) = d R(T)/d ν, (1)
где d R(T) – энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в интервале частот от ν до ν + dν. Величины R(T) и r(ν,T) зависят от природы излучающего тела и связаны соотношением
R(T) = ∞∫0 r(ν,T) d ν. (2)
Так как С = λν, то
dλ/d ν = - C/ ν2 = - λ2/C.
Тогда излучательную способность тела можно записать в функции длины волны
R(T) = ∞∫0 r(λ,T) dλ = - 0∫∞ r(λ,T)(С/ ν2) d ν = ∞∫0 r(λ,T)(С/ν2) d ν, (3)
таким образом, связь между r(ν,t) и r(λ,t) выражается следующим уравнением:
r(ν,T) = r(λ,T)(С/ ν2) = r(λ,T) λ2 /С. (4)
Если на единицу поверхности тела падает поток энергии излучения dФ(ν,T), создаваемый электромагнитными волнами с частотами, заключенными в интервале от ν до ν + d ν, то часть этого потока отражается от поверхности тела dФотр, часть поглощается dФпогл, а часть потока dФпрох проходит через всю толщину тела, причем
dФ(ν,T) = dФ(ν,T)отр + dФ(ν,T)погл + dФ(ν,T)прох . (5)
Поскольку последнее слагаемое зависит от строения и толщины тела, то в большинстве случаев для нетонких тел оно мало по сравнению с первыми двумя и им можно пренебречь. Разделив выражение (5) на dФ(ν,T), получим
1 = dФотр (ν,T)/ dФ(ν,T) + dФпогл (ν,T)/ dФ(ν,T).
Величина
А(ν,T) = dФпогл (ν,T)/ dФ(ν,T) (6)
называется спектральной поглощательной способностью тела, а величина
ρ(ν,T) = dФотр (ν,T)/ dФ(ν,T) (7)
называется отражательной способностью тела. Эти величины зависят как от частоты ν излучения и термодинамической температуры Т, так и от природы тела. Тело, способное поглощать полностью при любой температуре все падающее на него излучение любой частоты, называется абсолютно черным. Для него поглощательная способность А(ν,T) ≡ 1. Тело, для которого поглощательная способность не зависит от частоты излучения А(ν,T) = А(T) < 1, называется серым. К ним принадлежат практически все тела, встречающиеся в природе. Абсолютно черных тел в природе нет, однако такие тела как сажа, черный бархат, платиновая чернь и некоторые другие, в определенном интервале частот полностью поглощают падающее на них излучение и по своим свойствам близки к ним.
Моделью абсолютно черного тела является замкнутая полость с небольшим отверстием О. Луч света, попавший внутрь такой полости через отверстие, многократно отражается от непрозрачных стенок, каждый раз испытывая частичное поглощение, в результате чего интенсивность вышедшего из отверстия излучения оказывается практически равной нулю. Опыт показывает, что независимо от материала стенок такая полость обладает поглощательной способностью А(ν,T) близкой к единице, если размер отверстия меньше 0,1 диаметра полости.
Рис.1.
Если с помощью нагревателей температуру стенок полости поддерживать постоянной, то из отверстия О выходит электромагнитное излучение, которое по своему спектральному составу близко к равновесному излучения абсолютно черного тела.
Изучая тепловое излучение, немецкий физик Г. Кирхгоф в 1859 году установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной поглощательной способностью тел, которая выражается законом Кирхгофа: отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела и является универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры
r(ν,T)/ А(ν,T) = f(ν,T). (8)
Поскольку для абсолютно черного тела А(ν,T) ≡ 1, то из закона Кирхгофа (8) следует, что универсальная функция Кирхгофа f(ν,T) является спектральной плотностью энергетической светимости абсолютно черного тела. Из формулы (8) следует, что если при данной температуре Т тело не поглощает электромагнитные волны в интервале частот от ν до ν + d ν, то оно и не излучает их в этом интервале частот при данной температуре Т, так как при А(ν,T) = 0 и r(ν,T) = 0. Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение тел, а излучение, которое не подчиняется этому закону, не является тепловым. Например, при фото- или хемилюминесценции интенсивность свечения в ряде спектральных областей значительно больше, чем у теплового излучения черного тела, находящегося при той же температуре.
Австралийский физик Й. Стефан (1835 – 1893) на основании собственных измерений, а также анализируя экспериментальные данные других исследователей, в 1879 году пришел к заключению, что энергетическая светимость R(T) любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Последующие измерения показали неточность его выводов о том, что это верно для любого тела. В 1884 году Л. Больцман, применяя термодинамический метод, получил зависимость энергетической светимости абсолютно черного тела от температуры (закон Стефана-Больцмана):
R(T) = σT4, (9)
где σ = 5,67·10-8 Вт/(м2·К4) – постоянная Стефана-Больцмана. Закон Стефана-Больцмана справедлив лишь для абсолютно черных тел.
Закон Стефана-Больцмана не дает информации о спектральном составе излучения абсолютно черного тела. Полученные экспериментальные кривые зависимости r(λ,T) как функции длины волны и температуры имеют явно выраженный максимум, который по мере увеличения температуры смещается в сторону более коротких длин волн, рис. 2.
Немецкий физик В.Вин (1864 – 1928) в 1893 году теоретически установил зависимость длины волны λmax, соответствующей максимуму излучательной способности абсолютно черного тела, от температуры (закон смещения Вина):
λmax = b/T, (10)
где b = 2,898·10-3 м·К – постоянная Вина. Выражение (10) называют законом смещения Вина потому, что оно показывает смещение положения максимума функции r(λ,T) при нагревании тела в сторону меньших длин волн, а при Рис.2
охлаждении – в сторону более длинных волн. Однако получить теоретическое выражение для универсальной функции Кирхгофа, хорошо описывающее экспериментальные результаты во всем диапазоне длин волн излучения тела Вину не удалось.
Законы теплового излучения используются для измерения температуры раскаленных тел. Измерения температуры сильно нагретых тел (Т > 2000 К) контактными термометрами недостоверны и трудно реализуемы. Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности или интегральной энергетической светимости тел от температуры, называются оптической пирометрией, а приборы для измерения температуры, основанные на этих методах, называются пирометрами. В зависимости от того, какой закон теплового излучения абсолютно черного тела используется при измерении температуры нагретых тел, различают радиационную, цветовую и яркостную температуры.
Радиационная температура Тр – это такая температура абсолютно черного тела, при которой его энергетическая светимость равна энергетической светимости исследуемого тела. Поскольку все реальные тела, температура которых измеряется, являются серыми и для них поглощательная способность АТ < 1, то радиационная температура Тр тела, определяемая из закона Стефана-Больцмана, всегда меньше его истинной температуры тела Т, причем
Тр = 4√АТТ. (17)
Цветовую температуру определяют на основании закона Вина, используя то свойство, что распределение энергии в спектре излучения серого тела такое же, как и в спектре абсолютно черного тела, имеющего ту же температуру. В этом случае излучающее серое тело имеет такой же цвет, как черное тело температуры Тц. Цветовая температура определяется по формуле
Тц = b/λmax (18)
и совпадает с истинной температурой тела. Для тел, характер излучения которых сильно отличается от излучения абсолютно черного тела (например, обладающих явно выраженными областями селективного поглощения), понятие цветовой температуры не имеет смысла. Таким способом определяется температура на поверхности Солнца и звезд. Сравнение спектра излучения Солнца и абсолютно черного тела показывает, что их отождествлять можно только довольно приблизительно. При таком приближении получили цветовую температуру Солнца примерно 6500 К.
Яркостная температура Тя – это температура абсолютно черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела. Определение яркостной температуры основано на применении закона Кирхгофа для излучения исследуемого тела. В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с исчезающей нитью, принцип работы которого основывается на сравнении излучения нагретого тела в определенном спектральном интервале с длиной волны λ с излучением абсолютно черного тела с той же длиной волны. Накал нити пирометра подбирается таким образом, что ее изображение становится неразличимым на фоне поверхности нагретого тела, т.е. нить как бы «исчезает». В этом случае яркости излучения нити и нагретого тела для данной λ совпадают и, следовательно, совпадают их излучательные способности. Используя предварительно проградуированный по абсолютно черному телу миллиамперметр, измеряющий ток нити пирометра, можно определить яркостную температуру. Если исследуемый источник излучения также является черным телом, то найденная температура является его истинной температурой. В противном случае при известных Аλ,Т и λ можно определить истинную температуру исследуемого нагретого тела
T = (20)
Кроме пирометров с исчезающей нитью, существуют и другие пирометры для определения яркостной температуры, а через нее и истинной температуры нагретых тел.
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Вопросы:
1. Принцип относительности.
2.Постулаты специальной теории относительности.
3.Преобразования Лоренца.
1. Принцип относительности. В классической механике справедлив механический принцип относительности или принцип относительности Галилея: законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Классическая механика прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями. Из классической механики принцип относительности был распространен на другие области физики. Естественно было предположить, что все законы физики не зависят от равномерного и прямолинейного движения системы отсчета. Однако в конце 19 века выяснилось, что выводы классической механики противоречат некоторым опытным данным, в частности при изучении движения быстрых заряженных частиц оказалось, что их движение не подчиняется законам механики. Далее возникли затруднения при попытках применить принцип относительности в электродинамике, базирующейся на уравнениях Максвелла, в которые входит скорость света как константа. Постоянство скорости света как бы свидетельствовало о том, что существует абсолютно покоящаяся система отсчета, связанная с мировым эфиром. Считалось, что скорость света в вакууме – это скорость света в системе отсчета, в которой эфир покоится. Для обнаружения движения Земли относительно эфира в 1881 г. были проведены опыты (А.А. Майкельсона и др.), которые дали отрицательный результат. Мирового эфира не существует. Было получено, что скорости света в двух движущихся друг относительно друга системах равны. Это противоречило правилу сложения скоростей в классической механике, согласно которому скорость света в вакууме будет различна в системах отсчета, движущихся друг относительно друга.
Принцип относительности Галилея выполняется только для механических движений, скорость которых мала по сравнению со скоростью света.
2.Постулаты специальной теории относительности. Для объяснения этих и других опытных данных А. Эйнштейн в 1905 году предложил дополнить принцип относительности Галилея постулатом постоянства скорости света в вакууме независимо от того, излучается он движущимся или покоящимся источником, тем самым заложив основы специальной теории относительности. Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической механике, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно. Специальную теорию относительности часто называют релятивистской теорией, так как в ней рассматриваются законы движения тел при скоростях, сравнимых со скоростью света (V ≤ C).
В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна:
1. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические и т.), проведенные внутри инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все физические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета, а все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.
2. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или приемника (наблюдателя) и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Первый принцип Эйнштейна является обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы. Он утверждает, что законы физических явлений инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, т.е. протекают одинаково, а уравнения, описывающие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета.
Постоянство скорости света в вакууме по любому направлению – фундаментальное свойство природы, которое принимается как следствие опытных данных и исследований распространения света. Скорость света в вакууме является также предельной скоростью передачи любого взаимодействия (сигнала).
В специальной теории относительности изменились привычные представления о пространстве и времени, принятые в классической механике и противоречащие принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолютное время. В специальной теории относительности пространство и время объединяются в единое четырехмерное пространство-время, установлены новые пространственно- временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий. Результаты и следствия из теории относительности Эйнштейна находят надежное экспериментальное подтверждение в различных областях физики, послужили основой новых достижений физики и техники, что подтверждает обоснованность и правильность специальной теории относительности.
3. Преобразования Лоренца. Преобразование координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой в классической механике находят отражение в преобразованиях Галилея, из которых следует абсолютный характер интервалов времени и расстояний между двумя любыми точками пространства (формулы записаны для случая, когда система К' движется относительно К со скоростью V вдоль оси ОХ):
К → К' К' → К
x' = x – Vt x = x' + Vt
y' = y y = y' (1)
z' = z z = z'
t' = t t = t'.
В 1904 г., еще до появления теории относительности, Х. Лоренцем при анализе явлений электромагнетизма были предложены преобразования, относительно которых уравнения Максвелла инвариантны. Преобразования Лоренца для координат и времени при переходе от инерциальной системы К к системе К′ и наоборот имеют вид:
К → К' К' → К
x' = (x – Vt)/√1 – β2 x = (x' + Vt')/√ 1 – β2
y' = y y = y' (2)
z' = z z = z'
t' = (t – Vx/C2 )/ √ 1 – β2 t = t' + Vx' /C2 )/ √ 1 – β2 ,
где β = V/C.
Уравнения преобразований симметричны и отличаются лишь знаком при V. Из преобразований Лоренца вытекает, что при малых скоростях, т.е. при β<<1, они переходят в классические преобразования Галилея, которые являются, следовательно, предельным случаем преобразований Лоренца. Если предположить, что V > С, то выражения (2) для х, t, x', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится в соответствии с тем, что скорость света в вакууме является предельной скоростью движения.
Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими принципам относительности и инвариантности скорости света.
Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что 1)как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считаются абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, 2) как пространственные, так и временные преобразования (2) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени – пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.(Трофимова)
Следствия из преобразований Лоренца.
1.Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами х1 и х2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты х1' и х'2 и моменты времени t'1 и t'2. Если события в системе К происходят в одной точке (х1 = х2) и являются одновременными (t1 = t2), то согласно преобразованиям Лоренца (2),
х1' = х'2, t'1 = t'2,
т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.
Если события в системе К пространственно разобщены (х1 ≠ х2), но одновременны (t1 = t2), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца
x'1 = (x1 – vt)/√1 – β2 , x'2 = (x2 - vt)/√ 1 – β2 ,
t'1 = (t – vx1 /C2 )/ √ 1 – β2 , t'2 = (t' – vx2 /C2 )/ √ 1 – β2 , (3)
х'1 ≠ x'2 , t'1 ≠ t'2 .
Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Знак разности t'2 - t'1 определяется знаком выражения v(х1 - х2), поэтому в различных точках системы отсчета К' (при разных v) разность t'2 - t'1 будет различной по величине и по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.
2. Длительность событий в разных системах отсчета.
Пусть в некоторой точке с координатой Х, покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) τ = t2 – t1, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К'
τ' = t'2 – t'1, (4)
причем началу и концу события, согласно (2), соответствуют
t'1 = (t1 – VX/C2)/√1 – β2, t'2 = (t2 – VX/C2)/√1 – β2. (5)
Подставляя (5) в (4), получаем
τ' = (t2 – t1)/ √1 – β2,
или
τ' = τ / √1 – β2. (6)
Из соотношения (6) вытекает, что τ< τ', т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени τ' , отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала τ, отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся, однако это замедление становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для τ и τ' обратимы.
В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» или «парадокса близнецов», вызвавшая многочисленные дискуссии. Совершив полет к звезде и вернувшись на Землю, брат-блезнец будет в 1/ √1 – β2 раз более молодым, чем его брат, оставшийся на Земле. В действительности здесь парадокса нет. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная – неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.
Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с π- мезонами.
3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет l'0 = x'2 - x'1, где x'1 и x'2 – не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью V. Для этого необходимо измерить координаты его концов х1 и х2 в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х2 - х1 и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразование Лоренца (2), получим
l'0 = x'2 - x'1 = (x2 – Vt)/ (√1 – β2 ) - (x1 – Vt)/ (√1 – β2 ) = (x2 – x1) / (√1 – β2),
т.е.
l'0 =l/ (√1 – β2 ). (7)
Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Или: движущийся стержень «сокращается» в длине. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (7). В каждой системе отсчета получаем одинаковый результат; относительность длины, как и относительность времени, взаимна.
Из (7) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в √(1–β2) раз, т.е так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (2) следует, что
y'2 - y'1 = y2 – y1 и z'2 - z'1 = z2 – z1,
т.е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.
4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью V. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x, y, z, а в системе К' в момент времени t' – координатами x', y', z', то
Ux = dx/dt, Uy = dy/dt, Uz = dz/dt и U'x = dx'/dt', U'y = dy'/dt', U'z = dz'/dt'
представляют собой соответственно проекции на оси x, y, z и x', y', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'.
Согласно преобразованиям Лоренца (2),
dx = (dx' + Vdt') / (√1 – β2 ), dy = dy', dz = dz', dt = (dt' + Vdx'/C2)/ (√1 – β2 ).
Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:
К' → К К → К'
Ux = (U'x + V)/(1 + V U'x/C2), U'x = (Ux - V)/(1 - V Ux/C2),
Uy = U'y (√1 – β2)/(1 + VU'x/C2), U'y = Uy (√1 – β2)/(1 - VUx/C2),
Uz = U'z (√1 – β2)/(1 + VU'x/C2), U'z = Uz (√1 – β2)/(1 - VU'x/C2). (8)
Если материальная точка движется параллельно оси ОХ, то скорость U относительно системы К совпадает с Ux, а скорость U' относительно К'— с U'x. Тогда закон сложения скоростей примет вид
U = (U' + V)/ (1 + VU'/C2), U' = (U – V)/ (1 – VU/C2). (9)
Из (8) и (9) видно, что закон преобразования скоростей принципиально отличается от закона сложения скоростей в ньютоновой механике.
Если скорости V, U' и U малы по сравнению со скоростью С, то формулы (8) и (9) переходят в закон сложения скоростей в классической механике.
Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна. Действительно, если U' = С, то (9) примет вид
U = (C + V)/(1 = CV/C) = C,
Т.е. релятивистский закон сложения скоростей находится в соответствии с постулатами Эйнштейна.
Из (9) следует, что даже если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости света С, то их результирующая скорость всегда меньше или равна С. Это получается, если в качестве примера взять случай U' = V = C и подставить в (9), то получим, что U = С. Таким образом, при сложении скоростей результат не может превысить скорости света в вакуууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.
В теории Эйнштейна (четырехмерном пространстве) реальной физической величиной, не зависящей от системы отсчета, т.е. инвариантной по отношению к преобразованиям координат является интервал времени между двумя событиями, такой интервал одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.
24. Основные законы релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.
Эйнштейн показал, что существует зависимость инертной массы от скорости и это свойство всех материальных тел. Непостоянство массы тела – следствие постулатов теории относительности. Инертная масса движущихся релятивистских частиц зависит от величины их скорости, вернее, от отношения скорости к скорости света:
m = m0 /√1 – V2/C2, (1)
где m0 – масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; m - масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью V. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.
Как следует из (1), с увеличением скорости инерция тела (частицы) растет и при V→ С стремится к бесконечности. Значит ни одно тело при m>0 не может достичь скорости С.
Опыты на ускорителях, где изучались движения быстрых заряженных частиц, скорость которых приближалась к скорости света, убедительно подтвердили зависимость массы от скорости и правильность формулы (1).
Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона
F¯ = dp¯/dt = d(mV¯)/dt
оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса материальной точки
¯р = m0V¯/√1 – V2/C2.
Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид
F¯ = d(m0V¯/√1 – V2/C2)/dt, (2)
или
F¯ = dp¯/dt, (3)
где
¯р = mV¯ = m0V¯/√1 – V2/C2. (4)
Уравнение (3) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики, но в (3) используется релятивистский импульс. Таким образом, уравнение (2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой. Сила совпадает с ускорением только в тех случаях, когда она нормальна к скорости или направлена по скорости.
В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени
∑¯р = const.
В теории относительности пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи – пространство-время. Положение материальной точки в теории относительности описывается четырехвектором ¯R. 4-вектором в пространстве-времени считают всякую упорядоченную совокупность четырех чисел, представляющих собой определенные физические величины, чисел, которые изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой в соответствии с лоренцевыми преобразованиями.
Основные определения кинематики и динамики материальной частицы в теории относительности с помощью 4-векторов можно записать следующим образом:
«положение» ¯R,
«скорость» ¯U = d¯R/dt,
«ускорение» ¯W = d¯U/dt, (5)
«импульс» ¯p =m¯U,
«сила» F¯ = dp¯/dt = md¯U/dt = m¯W.
Как видно из приведенных выше формул, все эти определения по форме полностью соответствуют ньютоновой механике, только вместо 4-векторов следует подставить 3-векторы. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая V<<С. Классическая механика является некоторым приближением более точной релятивистской механики, которая базируется на постулате независимости скорости света от движения приемника и источника и постулате относительности.
Закон взаимосвязи массы и энергии. Поскольку масса тела растет со скоростью, следовательно, можно предполагать связь массы с кинетической энергией. Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы.
Известно, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:
dT = dA или dT = F·dr. (6)
Учитывая, что dr = Vdt, и подставив в (6) выражение (2), получим
dT = (d/dt)( m0V¯/√1 – V2/C2) Vdt = ¯Vd(m0V¯/√1 – V2/C2).
Преобразовав данное выражение, получим
dT = d(m0 C2 /√1 – V2/C2) = C2dm, (7)
т.е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.
Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m0, то, проинтегрировав (7), получим
T = (m - m0 )C2, (8)
Или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид
T = m0C2[1/(√1 – V2/C2) -1]. (9)
А. Эйнштейн обобщил положение (7), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии частицы,
ΔЕ = С2Δm, (10)
т.е. если инертная масса увеличивается на некоторую величину Δm, то это означает увеличение энергии на С2Δm, и, наоборот, увеличение энергии на ΔЕ какого-либо физического объекта означает увеличение его инертной массы на ΔЕ/С2.
Отсюда Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой m:
Е = mC2 = m0C2 /(√1 – V2/C2). (11)
Уравнения (10) и (11) выражают фундаментальный закон природы- закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме.
Величину m0C2 = Е0 называют энергией покоящегося тела. Тогда равенство (9) можно представить так:
Е = Е0 + Т, (12)
т.е. полная энергия равна сумме кинетической энергии Т и энергии покоя Е0. В полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. В классической механике энергия покоя не учитывается, считают, что при V=0 энергия покоящегося тела равна нулю.
Выражение (9) при скоростях V<<С переходит в классическое: T = m0V2/2.
Отметим, что уравнение (11) имеет универсальный характер. Оно применимо ко всем видам энергии, например кинетической, потенциальной, электромагнитной и др., т.е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса
m = Е/С2 (13)
и, наоборот, со всякой массой связана энергия. Еще в 1905 г. Эйнштейн на простом примере показал, что количество энергии электромагнитного излучения Е обладает инертной массой Е/С2. Иногда это называют эквивалентностью массы и энергии.
Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного чдра как системы протонов и нейтронов), вводят понятие энергии связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро - на протоны и нейтроны). Энергия связи системы
Есв = ∑m0iC2 – M0C2, (14)
где m0i – масса покоя I –й частицы в свободном состоянии, M0 – масса покоя системы, состоящей из n частиц.
Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц. Особенно показательно в этом отношении явление «аннигиляции» частиц (или «рождения» пары частиц), когда две частицы одинаковой массы, но с противоположными зарядами (например, электрон и позитрон) сталкиваются и их масса «превращается» в энергию электромагнитного излучения. Или лучше сказать так: в соответствии с законом сохранения энергии взаимодействующих частиц энергия перешла в такое количество энергии электромагнитного излучения, которое имеет массу, равную массе сталкивающихся частиц. Опыты атомной и ядерной физики не только подтвердили выводы теории относительности, но многие из них были поставлены на основе выводов этой теории.
Вернемся еще к энергии покоя Е0, о которой дорелятивистская физика не имела представления. Нагретое тело должно иметь большую массу, чем то же тело, но холодное; сжатая пружина имеет большую массу; вещества, химически прореагировавшие с выделением энергии, будут иметь меньшую массу, и т.п. Но практически такие изменения массы никогда не наблюдались вследствие очень малых относительных изменений массы – величина ΔЕ/С2 (где ΔЕ – приращение энергии) обычно ничтожно мала относительно массы m тел. Точность измерений недостаточна для определения таких изменений.
Вопросы по физике для 3 курса ВГКС
PAGE \* MERGEFORMAT 114