Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глава 5. Познание объекта
Рис.5.1. Великие небоскрёбы
Архитектурная фантазия
архитектора Я.Чернихова
Рис.5.2. Архитектурная фантазия
архитектора Я.Чернихова
Глава 5. ПОЗНАНИЕ ОБЪЕКТА
5.1. Отражение и информация
Замечательным свойством челове-ческого сознания является его способ-ность от непосредственных впечатле-ний путем осмысления увиденного пе-реходить к представлениям о его сущ-ности, т.е., к знаниям.
Процесс приобретения в ходе об-щественно-практического взаимодей-ствия человека с объектом истинных знаний является процессом познания.
Целью этого процесса является дости-жение объективной истины, - таких зна-
ний, содержание которых не зависит от воли и желания познающего субъекта. Истинное знание потому объективно, что оно определяется содержанием по-знаваемого объекта, и независимо по-тому, что этот объект независим или первичен.
В основе познаваемости мира ле-жит фундаментальное свойство всех его объектов, по существу родственное с ощущением, свойство отражения, по-
нимаемое современной философией как «свойство материальных систем в процессе взаимодействия воспроизво-дить посредством своих особенностей особенности других систем» [ 45].
Здесь под материальными систе-мами понимаются как неодушевлённые совокупности материальных элемен-тов, так и порождаемые их чувственным восприятием комплексы различных ощущений в человеческом организме; под особенностями этих систем пони-маются особенности их структур, а фак-тор взаимодействия считается обязате-льным условием отражения.
Получение знаний о неизвестном ранее объекте в процессе его отраже-ния в сознании человека является про-цессом последовательного снятия не-
определённости поступающих от объек-та сведений о его свойствах, т.е., ин-формационным процессом, ибо «лишь
такое сообщение несет информацию,
которое уменьшает или снимает суще-
ствующую неопределённость» [122].
Такое понимание информации характе-
ризует его количественную сторону.
Качественно информация может ин-
терпретироваться как «воспроизведе-ние разнообразия одного объекта в другом объекте в результате их взаи-модействия, т.е., информация – это от-раженное разнообразие» [ 122].
Понятия отражения и информации связаны и сходны в том, что выражают воспроизведение одного объекта в дру-гом, а различаются тем, что понятие отражения акцентирует внимание на воспроизведении содержания в целом, а понятие информации, -- на воспроиз-ведении одной его стороны , -- разно-образия [ 122].
Любой объект является неисчерпа-емым источником информации о его свойствах. Получить её можно через посредство «материальных агентов» (световых лучей, звуковых волн и т.д.) и только в том случае, если эти агенты могут восприниматься органами чувств.
Поток «материальных агентов», ин-дуцируемых объектом и воспринимае-мых органами чувств, называется ин-формационным. Отсюда следует, что на органы чувств непосредственно воз-действует не сам объект, а идущий от него информационный поток, который выполняет роль познавательного или информационного посредника между объектом и субъектом.
Познавательный образ объекта формируется в сознании человека в результате взаимодействия процесса поступления через органы чувств ин-формации о его свойствах с процессом её абстрактно-логического осмысления.
Отсюда следует, что структура позна-вательного образа включает в себя два противоположных, но взаимодополняю-щих и образующих единое целое ком-понента – субъективного и объектив-ного ( эмоционального и рациональ-ного или реального и идеального ).
Первый компонент выражает за-висимость содержания познавательного образа от познающего субъекта и его интеллектуальных способностей, а вто-рой, -- от особенностей структуры по-знаваемого объекта.
Рис.5.3. Функциональная фабрика легкой индустрии
Архитектор Я.Чернихов
Рис.5.4. Архитектурная фантазия
Архитектор Я.Чернихов
5.2.Концептуальные пространства знаний и концептуальное время
Чувственное восприятие реального пространства и его объектов, являясь первой ступенью их познания, порож-дают в сознании человека перцепту-альное пространство видимых форм во-спринимаемых объектов, понимание ст-руктуры которых определяет приблизи-тельное, субъективное представление об их свойствах. Но это представление является «пищей для размышления», предметом абстрактного осмысления увиденного и прочувствованного, в про-цессе которого человек мысленно упро-щает пространство и его объекты, от-влекается от его физических, химичес-ких и прочих свойств, оставляя для изу-чения свойства позиционные и метри-ческие. Пространства и их объекты, об-ладающие только этими свойствами, на-зываются геометрическими.
Наука, изучающая свойства геоме-трических пространств, называется гео-метрией. В классическом определении геометрия является наукой о простран-стве, а точнее, -- о формах, положении и размерах тех частей пространства, которые в нем занимают веществен-ные тела [ 42].
В современном понимании геомет-рия является разделом математики, изучающим пространственные отноше-ния, формы и их обобщения [80]. Явля-ясь одной из древнейших наук и возник-нув из практических потребностей изме-рения расстояний, углов, площадей и объёмов, она в своём развитии достиг-ла таких высот абстрагирования и кон-кретности, что стала универсальной компонентой теоретических основ всех видов созидательной деятельности че-ловека, а в наибольшей мере – таких древнейших, как архитектура и строи-тельство.
Зодчество, как пространственное
ремесло и искусство, наиболее геоме-трично, ибо создавать искусственное пространство можно только лишь на ос-нове знаний его природы и свойств его структуры. Эти знания в составе гео-метрической науки систематизированы в стройные, непротиворечивые систе-
мы аксиом, теорем и их доказательств.
создающие в целом определённые на-учные концепции природы реального пространства.
Так как эти концепции непосред-ственно описывают не реальное, а не-которые идеализированные простран-ства, локализованные в сознаниях по-знающих людей, то их принято назы-вать концептуальными.
Под концептуальными пространст-вами современная наука понимает аб-страктные математические пространст-ва или математические структуры, кото-рые, как и перцептуальное пространст-во, находятся лишь в уме человека, но которые могут явиться средством науч-ного подхода к изучению реального пространства [ 63].
Такие пространства были созданы и описаны Эвклидом, Н.И.Лобачевским, Б. Риманом, Д.Гильбертом, А.Эйнштей-ном, Г.Миньковским и другими учёными путём разработки соответствующих ак-сиоматик, полагаемых ими в основу по-лучаемых геометрий. Примечательно то обстоятельство, что все эти, различ-ные по своей структуре геометрии, опи-сывая непосредственно свойства своих концептуальных пространств, тем са-мым опосредованно описывают соот-ветствующие свойства единого для всех геометрий предмета исследова-ния, -- реального пространства.
Таким образом, концептуальные пространства со своими геометриями выступают в качестве информационных
посредников между реальным прост-ранством и его исследователем, пред-ставляя собой в его сознании геомет-рические модели реального простран-
ства различной степени совершенства.
Наряду с понятием «концептуаль-ное пространство» в науке существует понятие «концептуальное время» В ка-честве такового может служить любая абстрактная математическая модель, отражающая свойства реального вре- мени.[63].Примером такой модели мо-жет служить числовая ось, непрерыв-ность которой отражает непрерыв-ность реального времени, а возраста-ние числовых значений – его однона-правленность из прошлого через на-стоящее в будущее.
ЭВКЛИД
( около 330 - 275 г.г. до н.э.)
|
|
Н.И.ЛОБАЧЕВСКИЙ
(1792 – 1856)
ДАВИД ГИЛЬБЕРТ
(1862 – 1943)
5.3. Эвклидово пространство
как система
Более 23 столетий человечество убеждается в справедливости того, что окружающее его пространство облада-ет эвклидовой структурой, так как жиз-ненный опыт и практика освоения этого пространства не противоречат законам ньютоновой механики, полностью осно-ванной на геометрии Эвклида.
Геометризация структуры реально-го пространства явилась результатом абстрактно-логического осмысления Эв-клидом Александрийским (около 330--- 275 г.г.до н.э.) структуры материальных объектов, как обобщение и системати-зация разрозненных геометрических знаний многих поколений «доэвклидо-вых» людей.
Сочинение Эвклида «Начала» яви-лось изложением теории первого кон-кептуального пространства, названного
в честь автора эвклидовым.
В качестве исходных концепций ав-тором были приняты 35 определений, 5 постулатов и 5 групп аксиом, в совокуп-ности образующих систему логически непротиворечивых предложений. Явля-ясь сплавом логики и интуиции, эта система не была полной, так как автор в процессе некоторых доказательств ин-туитивно прибегал к таким понятиям как «движение», «непрерывность»,«между» и другим, которые предварительно не постулировал.
Многочисленные комментаторы «Начал» на протяжении длительного времени пытались исправить и допол-нить Эвклида. В конечном итоге попыт-ки исправить успешно завершились со-зданием К.Гауссом, Я. Бойяи и Н.И.Ло-бачевским неэвклидовой геометрии, а попытки дополнить – успешным созда-нием Д.Гильбертом полной системы аксиом, не содержащей логических про-белов и интуитивных предположений.
Эвклидова геометрия описывает свойства реального физического прост-ранства свойствами трёхмерного эвкли-дова пространства, и необходимо чётко различать природу этих двух простран-ств. Первое связано со структурой реа-льного мира, второе – со структурой наших понятий, отражающих в нашем сознании структуру реального мира.
Реальное физическое пространст-
во, обладая структурностью, является системой взаимосвязанных материаль-ных элементов и потому трёхмерное эвклидово пространство, как его кон-цептуальная модель, также является системой своих элементов, моделиру-ющих элементы реального пространст-ва и взаимосвязанных геометрически-ми моделями связей между ними.
Известно, что современный аксио-матический метод построения абстракт-ных теорий требует наличия определе-ний исходный или первоначальных по-нятий об элементах и отношениях меж-ду ними, в своей совокупности образу-ющих полную, непротиворечивую и не-зависимую систему аксиом, из которой вытекает путём логических рассужде-ний необходимое и достаточное коли-чество утверждений-теорем, раскрыва-ющих конструктивную природу и соот-ветствующие позиционные и метричес-кие свойства изучаемых объектов.
5.4. Системная интерпретация
аксиоматики геометрии
эвклидова пространства
Аксиоматика эвклидовой геометрии в интерпретации Д.Гильберта в качест-ве основных элементов эвклидова про-странства принимает понятия «точка», «прямая» и «плоскость», а основных отношений - «инцидентность», «между» и «движение» [1]. Ниже следуют тради-ционные и системные толкования и оп-ределения этих понятий.
Точка
«Точка есть то, что не имеет частей»
или «…точка есть то, часть него есть ничто» (Эвклид). Но ведь всякий ре-альный объект, являясь системой, име-ет части, из которых он состоит. Поэто-му точку можно понимать как предел, к которому стремится какое-либо тело в абстрактном процессе бесконечного уменьшения его размеров. И этот про-цесс не может быть завершен, так как в
«малом не существует наименьшего, но всегда есть еще меньшее» (Анаксогор)
[48]. Отсюда следует, что пространст-
во бесконечно не только вовне, но и во-
внутрь в любой своей малой части. Практически приемлемо следующее
определение точки: «…тела дальней-
Рис. 5.5. Точка А
Рис.5..6 .Точка А - начало луча а
Рис.5.7. Точки А и В – концы отрезка
АВ прямой линии а
Рис.5.8. Точка А – центр связки
прямых
Рис.5.9. Графическая точка А как
результат наложения линии а на
линию b
Рис.5.10. Точка А – результат
пересечения прямой а с плоскостью
Ри с.5.11. Точка А – результат пересе-
чения линии а с поверхностью Ф
Рис.5.12. Точка А – результат
пересечения трёх плоскостей
Рис.5.13. Точка А – результат
пересечения трёх поверхностей
шее деление которых невозможно в
в пределах наблюдения, называются
точками» [ 48].
По ассоциации с этими определе-ниями понятие о точках можно уподо-бить понятию об «атомах» как об изна-
чально неделимых частицах, из кото-рых состоит вещество.
Определение 5.1 Точка есть эле-ментарная (неделимая) нульмерная геометрическая частица ( рис.5.5).
Конструктивно точкой является на-чало луча а (рис.5.6), конец А или В от-резка АВ линии а (рис.5.7), результат пересечения двух линий на поверхнос-ти, (плоскости) (рис.5.9), одной линии с поверхностью (плоскостью) (рис.5.10, 5. 11), 3-х поверхностей (плоскостей) меж-ду собой. (рис.5.12, 5.13). Эвклид опре-делил точку конструктивно как конец линии.
В отличии от геометрического поня-
тия точки понятие графической точки означает фигуру наложения ширины одной линии на ширину другой. Чем то-ньше пересекающиеся линии, тем кон-кретней графическая точка, которая, как правило, изображается на геометричес-ких чертежах кружочком диаметром 1 – 1,5 мм, центром которого является ре-зультат пересечения продольных осей «полос» пересекающихся линий.
В графической работе точка пере-сечения двух линий получается тем то-чнее, чем ближе к прямому углу распо-лагаются эти линии.
Определение 5.2. Пространство, элементами которого являются точ-ки, называется т о ч е ч н ы м.
Такое пространство дискретно и представляется некоторым бесконеч-ным множеством точек. Для того, чтобы определить «мощность» этого множест-ва, одну из его точек принимают за на-чало отсчёта, через которое проходят три взаимно-перпендикулярные направ-ления, относительно которых положе-ние каждой точки в пространстве опре-деляется тремя декартовыми координа-тами или тремя параметрами. Поэтому
такое множество называют трёхпара-метрическим и обозначают символом 3. Трёхпараметричность точечного
пространства определяет его тре мер- ность, так как параметры положения каждой его точки суть меры её откло--
нения ( правее, левее ), удаления ( бли-
же, дальше) и возвышения ( выше, ни-
же) относительно начала отсчета.
Линия
«Линия есть длина без ширины» (Эвклид). Такое понятие линии возник-ло из первоначального назначения гео-метрии как землемерия. Основной опе-рацией было измерение расстояний шагами или верёвками. Эти измерения через абстракцию привели к понятию длины. Установление точных границ зе-мельных участков, требующее сужения пограничной черты, привело к понятию линии, не имеющей ширины.
Определение кратчайших расстоя-ний между двумя точками с помощью натянутой нити, размышления над гео-метрией солнечных и «зрительных» лу-чей привело к понятию прямой линии.
Прямая занимает особое положе-ние среди остальных линий. Она зада-ётся двумя несовпадающими точками пространства и может быть продолжена в обе стороны до бесконечности. При этом она «проходит» через однопара-метрическое множество (1) точек про-странства, принадлежащих этой пря-мой.
Если все точки пространства попар-но соединить прямыми, то оно станет называться линейчатым. Каждая точка исходного точечного пространства в процессе его преобразования в линей-чатое соединяется прямыми линиями со всеми остальными его точками, ста-новясь центром пространственной связ-ки прямых (рис.5.4), заполняющих всё пространство. Это пространство четы-рёхпараметрично, так как пар точек, оп-ределяющих эти прямые в простран-стве - 6 , а на каждой прямой их 2 .
Понятие связки как двупараметри-ческого множества прямых, проходя-щих через одну точку в пространстве, относится к числу фундаментальных в геометрии ( рис.5.4).
Представление линии как однопа-раметрического множества точек может быть заменено более наглядным дина-
мичным представлением её как траек-
тории непрерывно движущейся точки. Такое кинематическое представление
линии более естественно, так как оно
Рис.5.14. Отрезок АВ прямой а
Рис.5.15. Две полупрямые или два луча
Рис.5.16. Пространственная ломаная линия
Рис.5.17. Пространственная кривая линия
Рис.5.18. Прямая линия а как результат пересечения двух плоскостей.
Рис.5.19. Плоская ломаная линия как результат пересечения плоскости и многогранной поверхности
Рис.5.20. Плоская кривая линия как
результат пересечения плоскости и
кривой поверхности
моделирует естественный процесс её
образования. И действительно, кончик
пера или карандаша (как точка), пере-
мещаясь в двумерном пространстве листа бумаги, выделяет в нём те точки, непрерывное множество которых обра-зует их систему, называемую линией.
Определение 5.3. Линией называ-ется одномерная система последова-тельных положений точки, движущей-ся в пространстве
Если элементами линии как систе-мы являются точки, то в качестве свя-зей между ними выступает отношение их принадлежности к ней. Поэтому ли-нию можно определить как систему принадлежащий ей точек.
Точки, принадлежащие прямой ли-нии, называются коллинейными. Отсю-да следует
Определение 5.4. Прямой линией называется система коллинейных то-чек.
Из непрерывности движения точки следует свойство непрерывности обра-зуемой ею линии.
Совокупность последовательных по-ложений точки, движущейся в простран-стве по определённому закону, назы-вают геометрическим местом точек.
Всё черчение и рисование суть ки-нематические процессы получения раз-личных линий.
Определение 5.5. Часть прямой линии с, заключенной между её несов-падающими точками А и В, называет-ся о т р е з к о м АВ прямой с (рис.5.14).
Если на прямой а взять одну точку А, то она разобьёт прямую на две полу-прямые или два луча, дополнительные друг к другу ( рис.5.15). При этом точка А называется начальной.
Если произвольные точки простран-ства соединить отрезками прямых, то образуется пространственная ломаная
линия (рис.5.16). Соединяемые точки называют вершинами ломаной, а пря-молинейные отрезки между ними,- её звеньями. Ломаная линия может быть замкнутой или разомкнутой.
Если произвольные точки простран-ства соединить плавным и непрерыв-ным движением точки, то полученная линия будет пространственной кривой.
( рис.5.13).
Во всякую кривую линию можно
вписать ломаную, последовательно со-
единив отдельные её точки отрезками
прямых. Поэтому можно сказать, что всякая кривая линия имеет свой много-угольный прототип.
Подчиняя движущуюся точку раз-личным законам движения, можно об-разовать множество кривых линий.
Кривые линии подразделяются на плоские и пространственные, законо-мерные и незакономерные. Закономер-ные, в свою очередь, делятся на алгеб-раические и трансцендентные, описы-ваемые, соответственно, алгебраичес-кими и тригонометрическими уравнени-ями. По степени уравнения судят о по-рядке алгебраической кривой.
Графически порядок алгебраичес-кой кривой можно определить по макси-мальному числу точек её пересечения с прямой линией.
Незакономерные линии конструиру-ются по наперед заданным условиям или рисуются по «замыслу архитекто-ра».
Конструктивно линия может быть получена как результат пересечения 2-х
плоскостей ( рис.5.18), плоскости и повер-хности ( рис.5.19, 5.20) и двух поверхностей ( рис. 5.21, 5.22).
Две плоскости пересекаются по
п р я м о й линии, плоскость и много-гранная поверхность, - по плоской л о –
м а н о й линии, плоскость и кривая поверхность, - по плоской к р и в о й линии, две многогранные поверхности – по п р о с т р а н с т в е н н о й л о м а- н о й линии и две кривые поверхнос-ти – по п р о с т р а н с т в е н н о й к р и в о й линии.
В архитектуре и дизайне наиболее распространенными являются прямые и плоские кривые линии.
Поверхность
«Поверхность есть то, что имеет длину и ширину» (Эвклид ). Это опреде-ление возникло как абстракция «оболо-чек» реальных предметов, тел прост-ранства. Каждое тело имеет свою пове-рхность. Шар имеет сферическую пове-рхность, земной шар – земную поверх-ность или геоид, плод вишни –поверх-ность вращения, пшеничная соломинка цилиндрична, а поверхность воды в не-
большом водоёме представляет собой
Рис.5.21. .Пространственная ломаная линия как результат пересечения двух многогранных поверхностей
Рис.5.22. Пространственная кривая
линия как результат пересечения двух кривых поверхностей.
Рис.5.23. Общий вид поверхности.
горизонтальную плоскость.
Имея только длину и ширину, повер-хность двумерна. Положение точки на ней определяется двумя «поверхност-ными» координатами. Поэтому поверх-ность является двупараметрическим
множеством точек.
Как и линия, любая поверхность имеет кинематическую природу своего происхождения.
Определение 5.6. Поверхностью называется двумерная система после-довательных положений линии, движу-щейся в пространстве.
Движущаяся линия l называется образующей, а элементы пространства,
задающие закон её движения – направ-ляющими (m, m1, m2,…mn) ( рис..5.19 ).
Образующая и направляющие линии могут меняться своими «ролями».
Совокупность фиксированных поло-жений взаимно перемещающихся линий
l и m называется линейным каркасом поверхности . Если представить точки пересечения этих линий дискретно, то они образуют точечный каркас данной поверхности.
Характер движения образующей в пространстве определяется видом и числом направляющих, условиями дви-жения по ним образующей и требова-ниями изменяемости или неизменности её формы в процессе движения.
Вид образующей и закон её пере-мещения в пространстве однозначно определяет конкретную поверхность.
Определить или задать поверхно-сть в пространстве – значит выде-лить её из бесчисленного множества поверхностей, потенциально заполняю-щих пространство, идеально «овещест-вляя» его конкретные конструктивные элементы и устанавливая аксиомати- ческий закон взаимодействия между ними.
Определение 5.7. Совокупность елементов пространства и закон вза-имодействия между ними, выделяю-щие данную поверхность из всего мно-жества поверхностей, потенциально существующих в пространстве, назы-вается её о п р е д е л и т е л е м.
Всякая поверхность имеет конкрет-ную форму и положение в пространстве.
Параметры, изменение которых вы-
зывает изменение формы поверхности,
называется параметрами её формы.
Параметры, изменение которых
вызывает изменение положения повер-
хности в пространстве, называется па-раметрами её положения. Параметры формы и положения поверхности вхо-дят в состав её определителя.
Так как элементы определителя по-верхности и закон их взаимодействия
могут принимать самые разнообразные формы и характер, то в концептуаль-ном пространстве знаний можно пред-ставить большое разнообразие поверх-ностей, порождаемых их разнообраз-ными определителями ( рис.5.20).
Кривые поверхности классифици-руются по виду образующей и закону её перемещения в пространстве, по возможности их описания алгебраичес-кими уравнениями, по удовлетворению наперед заданным условиям и др.
По виду образующей поверхности бывают прямо- и криволинейчатыми.
Образующие криволинейчатых поверх-ностей в процессе образования пос-ледних бывают постоянного и перемен-ного вида.
Криволинейчатые поверхности с образующей постоянного вида ( как правило, кривыми линиями второго по-рядка), по закону её движения подраз-деляются на:
закономерные, когда одна алгебра-ическая кривая линия закономерно пе-ремещается по другой алгебраической кривой линии;
поверхности параллельного пере-носа, образованные поступательным перемещением плоской кривой линии параллельно самой себе, и
поверхности вращения.
Криволинейчатые поверхности с образующей переменного вида по зако-ну её изменения и движения подразде-ляются на:
закономерные;
каналовые, образованные движе-нием окружности переменного радиуса так, что плоскость её кривизны всегда нормальна к направляющей кривой, по которой перемещается её центр;
циклические, образованные свобо-дным движением окружности перемен-ного радиуса;
графические, образованные движе-нием изменяющей свою форму образу-
Рис.5.24. Классификация
кривых поверхностей
ющей в соответствии с результатами
расчетов, удовлетворяющих наложен-
ным условиям ( крыло самолета, лопа-сть турбины, предмет дизайна и т.п.);
топографические, образованные
движением линии пересечения (гори-зонтали) участков земной поверхности различного рельефа опускающейся или
поднимающейся горизонтальной плос-
костью;
сложные вращения, образованные вращательным движением вокруг оси меридиональной образующей, которая одновременно осуществляет возвратно
-поступательное движение вдоль оси и изменяет свой вид с той же периодич-ностью [72];
гравитационные, образуемые в реультате свободного провисания весо-
мой сети, в нитях которой возникают
Рис.5..25. Двугранный угол и его мера
Рис.5.26. Пучок плоскостей
Рис.5.27. Образование многогран-
ной поверхности тетраэдра
Рис 5..28. Призматическая
поверхность
равные напряжения растяжения. Буду-
чи замоноличенной и перевёрнутой та-
кая поверхность становится равнона-пряженной по усилиям сжатия;
висячие или вантовые покрытия, образуемые провисанием гибких ван-тов, соединяющих соответственные то-чки опорных криволинейных направля-ющих;
минимальные, образуемые силами поверхностного натяжения плёнки типа
мыльной по пространственному замк-нутому опорному контуру;
- пневматические, образуемые из-
быточным давлением воздуха внутри замкнутой оболочки;
В особый класс криволинейчатых объединяются киноперспективные по-верхности, образуемые центральным проецированием неподвижной линии из подвижного центра на подвижную кар-тину (см. с 229 )
Прямолинейчатые поверхности по закону движения образующей бывают:
с тремя направляющими;
с направляющей плоскостью, когда образующая перемещается по двум направляющим, сохраняя данный угол с данной плоскостью;
с плоскостью параллелизма, когда образующая перемещается по двум на-правляющим, оставаясь параллельной данной плоскости;
вращения;
с одной направляющей, в том числе
плоскость.
Понятие плоскости относится к чис-лу основных исходных понятий аксио-матики геометрии эвклидова простран-ства как третий после точки и линии элемент этого пространства.
Точки и линии, принадлежащие плоскости, называются компланарны-ми. Поэтому плоскостью является сис-
тема её компланарных точек и линий.
Определение 5.8. Плоскостью на-зывается двумерная система последо-вательных положений прямолинейной образующей линии, которая переме-щается параллельно самой себе по направляющей прямой линии.
Геометрически плоскость в прост-ранстве может быть задана:
-тремя неколлинейными точками;
-точкой и прямой;
-двумя параллельными прямыми;
-двумя пересекающимися прямыми;
-любой плоской фигурой.
Две пересекающиеся прямые опре-деляют плоский линейный угол.
Две пересекающиеся плоскости оп-ределяют пространственный двугран-ный угол, мерой которого является ли-ней-ный угол с вершиной на ребре и со
сторонами в гранях, перпендикулярны-ми ребру ( рис.5.25).
Определение 5.9. Однопараметри-
ческое множество плоскостей, прохо-дящих через одну прямую l, наназыва-ется п у ч к о м плоскостей ( рис.5.26).
Прямая l называется носителем пучка плоскостей.
Если лучи связки прямых (см. рис. 5.8) принять за носители пучков плоско-стей, то образованная из них система будет называться связкой плоскостей, а центр связки прямых,- носителем связ-
ки плоскостей.
Так как плоскости такой связки вза-имно пересекаются по прямым, прохо-дящим через её центр, то понятие связки плоскостей эквивалентно поня-тию связки прямых.
Одна плоскость делит всё прост-ранство на два полупространства, две – на четыре части, а три, - на восемь открытых частей. Если связку трёх пе-ресекающихся плоскостей пересечь че-твёртой плоскостью, то одна из полу-ченных частей пространства окажется замкнутой. Такая часть пространства является геометрическим телом, ог-раниченным 4-хгранной поверхностью с треугольными гранями и называемой тетраэдром. (рис.5.27 ). Тетраэдр – многогранник.
Определение 5.10. Часть прост-ранства, ограниченная многогранной поверхностью, называется м н о г о -
г р а н н и к о м.
Если минимум три плоскости ( , , ), параллельны некоторому направ-лению s, то, пересекаясь, они ограничи-вают часть пространства, называемую призмой ( рис. 5.24).
Призма – многогранник.
Плоскости, пересекаясь, определя-ют рёбра многогранной поверхности.. Рёбра, пересекаясь, определяют её вершины, а плоские многоугольники
рёбер, соединяющих вершины, образу-
ют её грани
Рис.5.29. Стержневые структуры как
конструкции покрытий
на основе ре шётки:
а- квадратной
б-треугольной
Рис.5.30..Классификация
многогранных
поверхностей
Совокупность всех вершин много-
гранной поверхности, конструктивно взаимосвязанных рёбрами, называется её сеткой.
Если многогранную поверхность рассматривать как систему, то её сетка представляет собой структуру этой си-стемы.
Идея сетки как структуры вызвала к жизни пространственные стержневые конструкции – структуры (рис. 5.29, а, б).
Они структурируют, как правило,
плоский горизонтальный слой простран-
ства, верхняя граница которого пред-
ставляет собой решётки равносторон-них треугольников, квадратов или шес-тиугольников, принимаемых за осно-вания правильных пирамид, вершины которых определяют нижнюю границу этого слоя.
Структуры применяют для уст-рой-ства покрытий зданий.
Многогранные поверхности класси-
фицируются по различным признакам (
рис. 5.30 ).
Рис.5.31. Сетки поверхностей плато-новых тел и образуемых ими изозоно-эдров:
а – гексаэдра как соединения двух
тетраэдров;
б – 12-гранного изозоноэдра как со-
единения гексаэдра и октаэдра;
в - 30-гранного изоизноэдра как со-
единения додекаэдра и икоса
эдра.
Рис. 5.32. Звёзчатый октаэдр
(звезда Кеплера)
По характеру взаимного располо-жения граней многогранные поверхно-сти бывают:
выпуклыми, если вся поверхность располагается по одну сторону относи-тельно любой её грани.
невыпуклыми, если у поверхности есть такие грани, продолжение которых пересекает эту поверхность.
По виду граней и количеству их типов многогранные поверхности де-лятся на правильные и полуправиль-ные.
Определение 5.11. Многогранные поверхности, у которых все грани яв-ляются одинаковыми правильными многоугольниками, в вершинах пересе-кается одинаковое число ребер, и все двугранные углы при рёбрах равны, на-зываются п р а в и л ь н ы м и.
Перечисленными свойствами обла-дают пять правильных многогранников или платоновых тел: тетраэдра, ок-таэдра, гексаэдра (куба), додекаэдра и икосаэдра. У первого, второго и пятого многогранника грани являются равно-сторонними треугольниками, у третьего – квадратами, у четвёртого – правиль-ными пятиугольниками.
Поверхности октаэдра и гексаэдра, дрдекаэдра и икосаэдра являются по-парно взаимными, так как между коли-чеством вершин и граней этих пар по-верхностей существует взаимно-одно-значное соответствие. У октаэдра сто-льно вершин, сколько у гексаэдра гра-ней и наоборот, у додекаэдра столько граней, сколько у икосаэдра вершин и наоборот.
Свойство взаимности конструкти-вно. На его основе можно конструиро-вать октаэдр, соединяя центры граней куба или икосаэдр путем соединения центров граней додекаэдра и наоборот.
Полуправильные многогранники или архимедовы тела получают из правиль-ных соответствующим срезанием или усечением их вершин или и вершин и рёбер. В результате получаются повер-хности, грани которых являются прави-льными многоугольниками двух или трёх типов.
Такими поверхностями обладают 13 полуправильных многогранников, из ко-торых( см. рис.15.41):
5 усеченных платоновых тел со
срезанными вершинами и двумя типа-ми граней:( усеченные тетраэдр, гекса-эдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр);
2 квазиправильных многогранника -кубооктаэдр и икосододекаэдр, полу-чаемые срезанием вершин с куба и икосаэдра плоскостями, проходящими через середины рёбер смежных граней;
4 платоновых тела со срезанными рёбрами и вершинами ( ромбокубоок-таэдр, ромбоикосододекаэдр, ромбоу-сечённый кубооктаэдр и ромбоусечён-ный икосододекаэдр); Они имеют по три типа правильных граней, - треуго-льников, квадратов, пяти-, шести-, во-сьми- и десятиугольников (см.рис.5.30).
Требование правильности граней опре-деляет характер срезания рёбер и вер-шин.
2 «курносые» поверхности – курно-сый куб и курносый додекаэдр. У пер-вой каждая квадратная, а у второй,- каждая пятиугольная грань окружена равносторонними треугольниками.
На рис 5.30 вместе с изображения-ми платоновых тел и их усечённых ви-дов показаны развертки их поверхнос-тей, а цифрами обозначено число вер-шин, рёбер и граней.
Если продолжать грани платоно-вых или архимедовых тел до взаимного пересечения, то получатся звездчатые формы их поверхностей. В частности, малый звездчатый додекаэдр получа-ется продолжением граней додекаэдра до взаимного пересечения; в результа-те каждая его грань становится осно-ванием правильной пятигранной пира-миды;
большой звездчатый додекаэдр по-лучается из икосаэдра если принять его грани за основания пирамид, соответ-ственные грани которых совпадают с 12 плоскостями пятёрок его вершин.
У икосаэдра всего 59 звездчатых форм, получаемых аналогичным обра-зом. На рис. 530 приведен 1-я, 3-я, 14-я и16-я формы. Подробней о них см [ 12].
Если вводить во взаимное пересе-чение одинаковые по структуре много-гранники, то получатся их звездчатые соединения:
звездчатый октаэдр (восьмиуго-льная звезда Кеплера) – результат соединения двух тетраэдров, вершины
которого совпадают с вершинами неко-
Рис. 5.33. Складчатые формы плато-новых тел на основе их изозоноэдров:
а – гексаэдра; б – октаэдра;
в - додекаэдра; г - икосаэдра
|
|
Рис.5.34. Антизвёздчатая форма куба
торого куба, диагоналями граней кото-рого являются его рёбра( рис.5.32)
Определение 5.12. Выпуклые мно-гогранники, все грани которых явля-ются одинаковыми ромбами, называ-ются и з о з о н о э д р а м и [ 12].
Изозоноэдры образуются путём со-единения взаимных платоновых тел та-ким образом, что их рёбра оказываются соответствующими диагоналями его ро-мбовых граней (рис.5.31, а, б, в).
Существует только три изозоноэд-ра, основанные на взаимности платоно-
вых тел соответственно с 8, 12-ю и 30-ю
конгруэнтными ромбовыми гранями:
1. поверхность гексаэдра (куба) как изозоноэдр соединения двух одинако-вых тетраэдров, ибо его квадратная грань является частным случаем ромбо-вой грани с одинаковыми диагоналями;
2. 12-гранный изозоноэдр, диагона-лями ромбовых граней которого явля-ются ребра взаимных гексаэдра и окта-эдра, пересекающие друг друга в их се-рединах;
3.30-гранный изозоноэдр, диагона- лями ромбовых граней которого являют-ся ребра взаимных додекаэдра и икоса-эдра, пересекающие друг друга в их се-рединах.
Поверхности изозоноэдров взаим-ных платоновых тел являются частными случаями их звездчатых форм, когда смежные грани пирамид, основаниями которых являются грани этих тел, ока-зываются компланарными (лежвщими в одной плоскости). Это обстоятельство даёт возможность дальнейшего констру-ирования звездчатых форм платоновых тел по их наперёд заданным парамет-рам путем соответствующего перегиба-ния ромбовых граней по их диагоналям.
Если ромб перегнуть по его малой или большой диагонали, то получится складка из двух одинаковых треугольни-ков. Отсюда следует, что 12-гранный изозоноэдр может быть преобразован в два вида 24-гранных складчатых форм соответственно гексаэдра (если грани перегибаются по малой диагонали) (рис.5 33, а ) или октаэдра (если грани перегибаются по большой диагонали (рис.5. 33, б ).
Аналогично 30-гранный изозоноэдр может служить основой двух видов 60-гранных складчатых форм соответст-
-венно додекаэдра и икосаэдра. Первая получается путём перегибания его ром-бовых граней по малым диагоналям – рёбрам додекаэдра (рис. 5.33, в), вто-рая – по ребрам икосаэдра (рис.5.33, г).
При этом имеется ввиду, что диаго-
нали, по которым происходит переги-бание, своей длины не изменяют, а те, которые изламываются, свою длину из-меняют до наперёд заданных значений.
Описанные складчатые формы представляют собой общие случаи звё-здчатых форм поверхностей платоно-
вых тел, так как они получаются не пу-тём продолжения граней и рёбер по-следних до взаимного пересечения, а путём принятия их многоугольных гра-ней за основания одинаковых правиль-ных пирамид произвольной или напе-рёд заданной высоты. Направления вы-сот этих пирамид перпендикулярны к граням поверхностей исходных прави-льных многогранников в их центрах и образуют связки прямых, носители ко-орых совпадают с центрами этих тел.. При этом вершины пирамид на этих высотах могут располагаться по отно-шению к их основаниям как по одну, так и по другую сторону ( рис. 5.34). В по-следнем случае получаемая форма не похожа на звёздчатую и поэтому её можно назвать антизвездчатой.
Практический интерес для архитек-торов и дизайнеров представляют резу-льтаты аппроксимации некоторых кри-вых поверхностей складками.
Под аппроксимацией понимают за-мену одних объектов другими, более простыми, но близкими к исходным [84]. В частности, поверхности всех платоно-вых тел аппроксимируют поверхность сферы, но наиболее близко или полно это делает поверхность икосаэдра, со-стоящая из 20 равносторонних треуго-льников.
Замена кривой поверхности такой многогранной, гранями которой являют-ся треугольники, называется т р и а н – г у л я ц и е й.
Практической целью триангуляцион-ной аппроксимации является разбивка кривой поверхности на одинаковые (ко-нгруэнтные), либо на подобные треуго-льники. Возможности достижения этой цели определяются особенностями ст-
руктуры аппроксимируемой поверхнос-
Рис.5.35.Складчатаяцилиндричес-кая поверхность и её развертка.
Рис.5.36. Складчатая коническая поверхность и её развертка
Рис. 5.37..Структурирование рельефных слоёв пространства
ти.
Цилиндрическая поверхность ап-проксимируется складками из конгру-энтных равнобедренных треугольников, т.е., из элементов одного типоразмера
( рис.5.35). Складчатая цилиндрическая поверхность может быть изготов-лена по её развертке из плоского листа материала его соответственным пере-гибанием.
Коническая поверхность аппрокси-мируется складками из двух типов подо-
бных равнобедренных треугольников,
имеющих общие горизонтальные осно-вания (рис.5.36). При этом конструкти-вно целесообразно, чтобы треугольни-ки меньшей высоты занимали вертика-льное положение.
Складчатая коническая поверхность может быть изготовлена по его разверт-ке из плоского листа материала его со-ответственным перегибанием.
Поверхность одинакового ската, об-разованная движением прямолинейной образующей, касающейся цилиндричес-кой винтовой линии (ребра возврата), аппроксимируется , как и коническая по-верхность, двумя типами подобных рав-нобедренных треугольников, имеющих общие основания ( рис.5.38).
Рис.5.38. Складчатая поверхность
одинакового ската и её развертка
Складчатую поверхность одинако-вого ската можно изготовить по её раз-вертке из плоского листа материала пу-тём соответствующего перегибания.
Поверхность вращения аппрокси-мируется складками из равнобедрен-ных треугольников с общими горизонта-льными основаниями, являющимися сторонами правильных n - угольников, вписанных в соответствующие парал-лели этой поверхности (рис.5.39).Высо-ты этих треугольников соответственно равны величинам ширины конических или цилиндрических «полос» (ярусов) поверхности, определяемых её смеж-ными параллелями.
Рис.5.39. Общий вид складчатой поверхности вращения
Сборка складчатой поверхности вращения выполняется поэлементно и «поярусно»: прежде выставляется пер-вый ярус треугольников, равные рас-стояния между вершинами которых оп-ределяют длины оснований треуголь-ников второго яруса, равные расстоя-ния между вершинами которых, в свою очередь, определяют длины оснований треугольников третьего яруса и т.д.
Рассмотрение конструктивных осо-бенностей предлагаемой аппроксима-ции показывает, что направление «ск-ладывания» прямолинейчатых развёр-тываемых торсовых поверхностей пер-пендикулярно направлению их обра-зующих, а у поверхности вращения – вытягивается по параллелям, т.е., пер-пендикулярно их меридианам. В резу-льтате прямолинейные образующие ис-ходных поверхностей и криволинейные меридианы поверхностей вращения за- кономерно изламывается, а получае-мые складчатые поверхности своими сетками как бы структурируют опре-делённые рельефные слои простра-нства. ( рис.5.37).
Обобщение идеи аппроксимации указывает на то, что всякая кривая по-
Рис.5.40. Соединения гексаэдров и октаэдров:
а – двух гексаэдров, повернутых
вокруг одной диагонали на
45;
б – трёх гексаэдров, повёрнутых
на90 вокруг 3-х осей, прохо-
дящих через середины про-
тивополож ных рёбер;
в – четырёх октаэдров, поверну-
тых вокруг 3-х диагоналей
на 45;
г – трёх октаэдров, повёрнутых
вокруг 4-х осей на 60
верхность имеет свой многогранный прототип и является как бы пределом,
к которому стремится вписанная в неё или описанная вокруг неё многогранная поверхность при условии бесконечного увеличения числе её граней.
. Эффективным средством формо-образования сложных многогранных по-верхностей является процесс соеди-нения правильных многогранников фик-сацией их последовательных положе-ний в ходе поворотов на определённые углы вокруг наперёд выбранных осей (рис.5.40, а, б, в, г). При этом за оси вращения можно принимать диагонали исходного многогранника, прямые, сое-диняющие середины его противопо-ложных сторон, центры граней и, в принципе, любые другие прямые, вра-щение вокруг которых даёт интересные результаты.
Особым видом кривых поверхнос-тей являются односторонние, обладаю-щие необычными свойствами. Если
взять длинную прямоугольную полосу
Рис.5.41. Модели соединений правильных
многогранников 1)
а – в – четырёх тетраэдров; г, д -- трёх
октаэдров; е – з – четырёх гексаэдров
и склеить её концы, предварительно ра-звернув их на 180, получим поверхно-сть, называемую лентой Мёбиуса.
У этой поверхности, в отличии от цилиндрической, имеющей две стороны, всего одна сторона, переходящая изнут-
ри наружу ( рис. 5.37). Поэтому она яв-
ляется неориентируемой. В отличие от
Модели выполнил студент ПГАСиА Погуляка А.В
Рис 5.42. Иллюстрация одностороггости
ленты Мёбиуса
цилиндрической поверхности, у неё не две граничные линии, а одна – замкну-тая пространственная кривая. Если эту поверхность разрезать по средней ли-нии, то она не распадется на две части
а превратится в новую ленту Мебиуса,
но с разворотом концов на360. Другим представитетелем этого вида поверх-
-ностей является бу-тылка Клейна. Она об-разована путем изги-бания каналовой по-верхности таким обра-
зом, что край её узкой части, войдя вовнутрь
широкой, плавно соп-
рягается с её широ-
Рис.5.43. Бутылка кироким краем (рис..
Клейна 5.43)
5.5. Связи и отношения между элементами эвклидова пространства
Из нульмерных точек, одномерных линий и двумерных поверхностей (плос-костей) можно создать конкретные трёх-мерные объекты в том случае, если между ними будут установлены соответ-ствующие геометрические связи и от-ношения.
Аксиоматика геометрии эвклидова пространства в качестве основных отно-шений между его основными элемента-ми – точками, линиями и плоскостями ( поверхностями) принимает понятия «инцидентность», «между» и «конгруэн-тно» («равно») или «движение»[48].
Очевидно, что этих трёх понятий недостаточно для мысленного констру-ирования с их помощью из основных элементов тех или иных геометричес-ких объектов-систем. Следует опреде-
лить, к каким из них относятся отноше-ния «тождественность», «конкурент-ность» (пересекаемость), «перпенди-кулярность», «параллельность» (кон-центричность, эквидистантность), «ка-сательность», а также «гомологично-сть», «подобие», «гомотетичность» и «симметричность».
Только при ясном понимании приро-ды и свойств этих связей и отношений
возникает возможность концептуально-
го моделирования геометрических сис-тем с любой степенью сложностью их структур.
При этом условимся называть «свя-зью» такое отношение между двумя элементами, в результате которого во-зникает третий, общий для них элемент.
Если третьего элемента не возникает, то отношение остаётся отношением.
Связь конструктивна, а отношение по-
зиционно. Всякая связь является отно-шением, но не всякое отношение явля-ется связью.
Аксиома объекта: Всякий объ-ект, независимо от его происхожде-ния, является системой взаимосвязан-ных и взаимодействующих элементов.
Существование всего многообразия простейших объектов эвклидова прост-ранства как его потенциальных подсис-тем более сложных объектов-систем,
геометрически моделирующих объекты реального пространства, обуславли-вается «действием» пяти групп аксиом
геометрии эвклидова пространства и логически вытекающих из них опреде-лений и теорем-утверждений.
Группа I – аксиомы сочетания (со-единения, связи) на основе отношения
инцидентности (принадлежности), оп-ределяемой словами «лежит на», «проходит через» (10 аксиом);
Группа II – аксиомы порядка, опи-сывающие такие свойства инцидентно-сти, которые определяются словами «лежит между» (4 аксиомы);
Группа III – аксиомы конгруэнтно-сти (движения ), как основы отношений
тождественности, одинаковости и равенства ( 5 аксиом);
Группа IV – аксиома непрерывно-сти (1 аксиома) и
Группа V – аксиома параллельно-сти (1 аксиома ).
Так как каждая группа аксиом опи-сывает «свои» связи и отношения меж-ду отдельными элементами простран-ства, то логично последовательно рас-смотреть их конструктивные свойства и те простейшие геометрические объек-ты-системы, которые возникают на их основе.
5.5.1. Свойства отношений, порождаемых группой I аксиом сочетания
Анализ показывает, что 1 группа ак-сиом описывает фундаментальное от-ношение взаимной принадлежности ме-жду различными элементами эвклидова пространства.
Определение 5. 13 Взаимной при-надлежностью называется такое отношение между двумя элементами одинаковой или разной размерности, которая выражается словами «лежит на», «проходит через» и «совпадают».
Взаимная принадлежность называ-ется инцидентностью, если она опре-деляет связь между элементами раз-личной размерности, выражаемой сло-вами «лежит на» и «проходит через». Например: ВФ – точка В лежит на по-верхности Ф; А – плоскость прохо-дит через точку А.
Если отношение взаимной принад-
лежности устанавливается между эле-
Рис.5.44. Таблица вариантов взаимной принадлежности точек, линий, плоскостей и поверхностей
Рис.5.45. Условия 1, 2, 3 принадлеж-ности точки и прямой к плоскости
ментами одинаковой размерности, то
оно называется тождественностью. Например: А В; а b; ; .
Совпадая, два элемента одной раз-мерности образуют один «двойной» элемент той же размерности. Поэтому совпадающие точки, линии, плоскости, поверхности являются двойными.
Одномерная прямая линия содер-жит в себе однопараметрическое мно-жество нульмерных точек. Точки , при-надлежащие прямой линии, называются к о л л и н е й н ы м и. Отсюда следует, что прямая линия является системой коллинейных точек.
Весьма важными для любого вида проектирования являются знания о ва-риантах взаимной принадлежности то-чек и линий к плоскостям и поверхно-стям.
Чтобы точки и линии принадлежали плоскостям и поверхностям, необходи-мо удовлетворение следующих усло-вий:
Условие 1: Точка А принадлежит плоскости ( аb), если она лежит на прямой линии с, заведомо принадле-жащей этой плоскости ( рис.5.45 а ):
А (с ) А ;
Условие 2: Прямая с принадлежит плоскости (а b), если она проходит через две точки В и С, заведомо прина-
длежащие этой плоскости (рис.5.45,а).
с ( В, С ) с .
Условие 3: Прямая d принадлежит плоскости ( аb), если она проходит через одну точку С плоскости па-раллельно прямой а, заведомо принад-лежащей этой плоскости (рис.5.45, б).
d (C) d || ( a ) d .
Условие 4: Точка А лежит на по-верхности , если она лежит на ли-нии l, заведомо принадлежащей этой поверхности ( рис. 5.46, а, б ).
А ( l ) A .
Рис.5.46. Условия 4 и 5 принадлежности
точек и линий к поверхностям:
а –прямолинейчатым; б – криволинейчатым
Условие 5: Линия а лежит на по-верхности , если она проходит через необходимое и достаточное количе-ство принадлежащих ей точек.
а ( А, В, С,… ) а
Точками и линиями, заведомо при-
Рис.5.47 Таблица вариантов конкурентности различных элементов пространства
надлежащими плоскостям или поверх-
ностям, являются те, которые принад-
лежат элементам их задания ( опреде-лителя) или являются такими элемен-тами.
Конструктивное решение вопроса о принадлежности точки и линии поверх-ности зависит от вида поверхности. Ес-ли она прямолинейчата, то через любую её точку можно провести прямолиней-ную образующую; если поверхность вращения, - окружность; если поверх-ность общего вида – элемент её опре-делителя, линейного каркаса и т.д.
Точки и линии, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.
Подчиняя точки и прямые, как элемен-ты, различным условиям их взаимной принадлежности и компланарности, из можно образовать такие простые систе-мы как отрезки прямых линий, плоские и пространственные ломаные линии, а также плоские фигуры.
Кроме отношения принадлежности друг другу элементов одинаковой или разной размерности ( коллинейность,
|
. |
компланарность и тождественность),I-я группа аксиом описывает отношение принадлежности двух элементов треть-
ему. Такое отношение называется кон-
курентностью или пересекаемостью.
Определение 5.14 .Конкурентно-стью или пересекаемостью называ-ется такая связь между элементами одинаковой или разной размерности (кроме точек), которая выражается словом «пересекаются».
В результате пересечения двух элементов пространства возникает тре-тий, им инцидентный элемент, имею-щий размерность на единицу ниже, чем наименьшая размерность пересекаю-щихся элементов. Этот элемент явля-ется двойным и через его посредство осуществляется конструктивная взаи- мосвязь пересекающихся элементов в их систему ( рис.5.47).
Рисунок 5.47 представляет собой так называемую таблицу Кэли, в «шап-ках» которой обозначены элементы пространства, вступающие в пересече-ние. цифрами, указывающими на их «точечность»: «1» - точка, «2» - линия
( 2.1 - прямая, 2.2.- кривая) «3» - повер-хность (3.1 – плоскость, 3.2 – кривая и 3.3 – многогранная поверхность). В пе-ресечении столбцов и строк этой свое- образной матрицы показаны результат-
Рис.5.48. Применение
вспомогательных секу-
кущих плоскостей для
определения двойных
элементов образуемых
систем
Рис.5.49. Пересечение
цилиндрической
поверхности :
а – с плоскостью по двум
образующим;
б – с цилиндрической повер-
хностью по двум обра-
зующим;
в – с цилиндрической повер-
хностью общего вида
по произвольной кривой
линии.
ты взаимодействия соответствующих
элементов пространства.
Линии пересекаются в точках, по-верхности – по линиям, в том числе плоскости – по прямым, плоскости и поверхности – по плоским линиям поверхности – по пространстввеным линиям - ломаным, гладким кривым или с точками излома.
Если линии а и b, b и c, a и d, c и d по условию пересекаются, то точки К, M, N, P непосредственно предопреде-лены этим условием.
Для нахождения двойных элемен-тов остальных двух элементных сис-тем необходимо прибегнуть к простра-нственному алгоритму метода вспо-могательных секущих посредников – плоскостей (поверхностей).Сущность этого метода заключается в том, что во взаимодействие с заданными эле-ментами пространства ( и , а и , и , и ) вводится такая секущая плоскость или поверхность необ-ходимое и достаточное число раз, ко-торые пересекают эти элементы по наиболее простым линиям а и b, пере-секающимся, в свою очередь, в точках М, N,…искомого двойного элемента
(рис. 5.48- 5.50).
Рациональность решения задачи на пересечение зависит от правиль-ности выбора вспомогательного секу-щего посредника. В частности, если пересекаются прямолинейчатые по-верхности, то их следует рассекать вспомогательной плоскостью по пря-молинейным образующим (на рис.5. 49,в плоскость || (p q), где p || l1, q || l2 ).
Плоскость в этом случае занима-ет в пространстве общее положение, но, так как она параллельна образую-щим обеих цилиндрических поверхно-стей, то называется их плоскостью параллелизма.
Если пересекаются две конические поверхности, то их следует рассекать вспомогательными секущими плоскос-тями , проходящими через их верши-ны S1 и S2 ( рис.5.51 )
Цилиндрическую поверхность применяют в качестве вспомогатель-ной секущей, если пересекается дан-
ная цилиндрическая поверхность с
кривой линией k (рис.5. 52,а) или с по-
Рис.5.50. Пересечение конической
поверхности :
а – с плоскостью , проходящей через верши-у S, по двум образующим;
б – с «совершинной» конической поверхнос-тью по двум образующим;
в – с поверхностью равной с Ф высоты по пространственной кривой;
г – с поверхностью разной с высоты.
Рис.5.51. Пересечение цилиндриче-ской и конической поверхности по пространственной кривой.
(Вспомогательная секущая плоскость про-
ходит через прямую k, проходящую через
вершину конической поверхности паралле-льно образующим цилиндрической поверхности)
поверхностью вращения (рис. 5.52,б).
Коническую поверхность в каче-стве вспомогательной секущей приме-няют, если пересекается данная кониче-ская поверхность с произвольной кри-вой линией k или с поверхностью вра-щения (см. рис.16.32, 16.51)). Её вер-шину совмещают с вершиной данной поверхности. В этом случае совершин-ных конические поверхности пересека-ются по прямолинейным образующим.
Если пересекаются поверхности вращения с конкурентными осями, то точку пересечения осей принимают за центр концентрических секущих сфер, пересекающих данные поверхности по их параллелям окружностям, которые, в свою очередь, пересекаясь, определя-ют точки линии пересечения данных поверхностей ( рис.5.53, 5.54 )
Рис.5.52. Пересечение цилиндрических
поверхностей -
а – с произвольной кривой линией
б – с произвольной поверхностью вращения
Частным является такой случай пе-ресечения двух поверхностей второго порядка, когда они описаны вокруг тре-тьей поверхности второго порядка ( в частности, сферы, рис.5.53 ) или вписа-ны в неё. Этот случай описал Г.Монж в своей теореме.
Теорема Монжа. Если две поверх-ности второго порядка вписаны в тре-тью поверхность второго порядка или описаны вокруг неё, то они пересека-ются по двум плоским кривым линиям второго порядка (рис. 5.54, а,б ).
Рис.5.53. Пересечение двух цилиндрических поверхностей, описанных вокруг сферы, по двум эллипсам
Рис.5.54. Пересечение конической порехности с цилиндрической и однополостного гиперболои-
да, описанных вокруг сферы, по двум эллипсам.
На основе этого сочетания поверх-ностей в архитектурном и дизайнерском проектировании применяются следую-щие виды сводчатых покрытий (рис. 5.
55):
Рис.5..55. Сводчатые покрытия, применяемые в архитектуре и дизайне
Рис.5.56. Пересечение линий с поверхностью вращения:
а - прямой линии, при помощи однополост-
ного гиперболоида вращения;
б- кривой, при помощи поверхности
вращения общего вида. и
Рис.5.57. Таблица вариантов
касательности различных
элементов пространства
Рис.5.58. Касательная к кривой линии
а - как вектор направления движения точки;
б - как крайнее положение секущей.
Поверхность вращения в качестве вспомогательной секущей применяют, когда необходимо применить точки пе-ресечения линии АВ с данной поверх-ностью вращения Ф.
Если линия является прямой (рис. 5.56, а ), то её заключают в поверхность однополостного гиперболоида враще-ния , соосного с данной поверхностью Ф, а если линия является произвольной кривой (рис.5.56, б ), то её принимают за образущую поверхности вращения , соосную с поверхностью Ф, которая пе-ресекает ей по параллелям, пересека-ющим, в свою очередь, линию АВ в ис-комых точках M,N,P.
Если представить взаимное поло-жение одного элемента пространства как крайнего секущего по отношению к другому, то такой вариант конкурентнос-ти является касательностью.
Определение 5.15. Касательнос- тью называется такая связь между элементами одинаковой или различной размерности, которая определяется словом «касаются».
В результате касания двух элемен-тов пространства возникает третий, им инцидентный элемент, имеющий разме-рность на единицу ниже, чем наимень-
шая размерность касающихся элемен-
тов. Через посредство этого двойного элемента касания осуществляется кон-структивная взаимосвязь касающихся элементов в их систему ( рис.5.57).
Если линия m является траекторией движения точки А, то вектор направле-ния её движения касателен к этой кри-вой в точке А. Вектор направления об-ратного движения точки А также каса-телен к линии m и составляет с вект-ором направления прямого движения касательную прямую t. ( рис.5.58, а ). Точка касания А делит касательную t на две полукасательные t1 и t2.
Касательной прямой является так-же крайнее положение секущей, когда точки её пересечения А и В с кривой совпадают в одну точку касания А (рис.
5.58, б ).
Точка А и касательная t к ней назы-ваются обыкновенными, если при про-должении перемещения точки В по кривой линии m в положение В напра-вление движения этой точки по секущей прямой и направление вращения секу-
щей вокруг точки А до касательного по-
ложения и после него не изменяются.
Если в каких-либо точках кривой линии эти условия нарушаются, то эти
точки и касательные в них называются
особыми.
|
|
Рис.5.59. Особые точки кривых линий
Рис.5.60. Круг кривизны кривой линии в её обыкновенной точку, касательная и нормаль
Рис.5.61. Эволюта а' эвольвенты а
Рис.5.62. Сопровождающий
трехгранник Френе.
Линии, состоящие из обыкновенных
точек, называются гладкими.
К числу особых относятся следую-щие точки кривых линий (рис.5.59):
излома А; возврата или клюва В пер-вого рода, клюва С второго рода; узло-вая D или многократная, самосоприко-сновения Е и перегиба F.
Если все точки кривой компланар-ны, то кривая является плоской. Окруж-ность проходящая через три бесконечно близко расположенные точки, ограничи-вает круг кривизны кривой а в средней из них точке А. Центр и радиус этого круга называются соответственно цент-ром и радиусом кривизны кривой линии а в обыкновенной точке А.
Прямая n, перпендикулярная к каса-
тельной t в точке А касания, называет-ся нормалью n кривой а в точке А. (рис. 5.60 ).
В каждой точке произвольной кри-вой круг кривизны имеет разный радиус, что говорит о переменном характере искривлённости кривой линии к разных её точках.
Степень искривлённости кривой в данной обыкновенной точке характери-зуется её кривизной как величиной, об-ратной величине радиуса кривизны кри-вой в этой точке.
Геометрическим местом центров кривизн кривой а является кривая а', на-зываемая эволютой кривой а. Кривая а по отношению к своей эволюте называ-ется эвольвентой (рис. 5.61).
Характерной конструктивной осо-бенностью этих линий является то, что
нормаль к эвольвенте является касате-льной к эволюте.
Плоскость , проходящая через три бесконечно близкие точки пространст-венной кривой m, называется соприка-сающейся ( рис. 5.62). В ней располага-ются касательная t и нормаль n в сред-ней из этих точек.
Прямая b, перпендикулярная к пло-скости , называется бинормалью.
Прямые n и b определяют нормаль-ную плоскость , а прямые t и b –спря-
мляющую плоскость . Плоскости ,, и образуют сопровождающий трёхгра-нник Френе (рис.5. 62). По свойствам
проекций кривой m на грани этого трех-
гранника судят о свойствах кривой.
Пространственная кривая дважды искривлена. Первая искивлённость оп-ределяется степенью её отклонения от касательной прямой, а вторая, называ-емая кручением, - степенью её откло-нения от соприкасающейся плоскости.. Поэтому пространственную кривую ли-нию называют линией двоякой кривиз-ны.
Две плоские кривые с и d касатель-ны, если они компланарны и в точке ка-сания К имеют общую касательную пря-мую b (см. рис.5.57, п.2.2, 2.2).
Плоская кривая d касательна к про-странственной кривой m, если она ле-жит в соприкасающейся плоскости , проходящей через точку касания К с об-щей для обеих линий касательной пря-мой b (см. рис.5.57, п.2.2,2.3 ).
Плоская кривая d касательна к пло-скости , если плоскость её кривизны перпендикулярна к , а точка касания К лежит на линии пересечения плоско-стей и (см. рис. 5.57, п.2.2, 3.1).
Плоская кривая линия d касательна к кривой поверхности Ф, если она каса-тельна к плоской кривой, лежащей на этой поверхности и являющейся линией пересечения поверхности плоскостью кривизны касающейся кривой линии (см. рис. 5.57, п. 2.2, 3.2 ).
Две пространственные кривые ли-нии m и n касательны, если в точке касания К они имеют общую касатель-ную прямую а, лежащую в общей для них соприкасающейся плоскости ( см. рис. 5.57, п. 2.3, 2.3 ).
Пространственная кривая линия n касательна к плоскости , если сопри-касающиеся плоскости в точках её ка-сания перпендикулярны к и точки ка-сания K, M, N,…лежат на линиях пере-сечения плоскостей с касаемой плос-костью (см. рис.5.57, п. 2.3, 3.1 ).
Пространственная кривая линия n касательна к прямолинейчатой поверх-ности Ф, если она касательна к плоскос-ти , касательной к этой поверхности в точках, лежащих на линии её касания к этой поверхности ( см. рис.5.57, п.2.3, 3.2).
Прямая линия касательна к кривой поверхности, если она лежит в плос-кости кривизны плоской кривой, принад-
Рис. 5.63. Касание поверхности к плоскости:
а – по окружности;
б – в точке, с пересечением поверхности
по двум прямым линиям;
в – в точке, с пересечением поверхности по
замкнутой кривой линии.
Рис.5.64. Индикатриса Дюпена –
окружность.
Рис. 5.65. Индикатриса Дюпена-- эллипс
лежащей этой поверхности, и касате-льна к ней ( см. рис.57, п. 2.1, 3.2 )
Плоскость касательна к кривой по-верхности, если она содержит минимум две прямые, касательные к этой поверх-ности. В зависимости от вида поверх-ности, элементом её касания с плоскос-тью может быть точка ( рис.5.57,п.3.1, 3.2 ), прямая линия ( п.3.2, 3.1), плоская кривая ( рис. 5.63, а ). Кроме того, плос-кость, касаясь поверхности в точке, мо-жет пересекать её по двум прямым или замкнутой кривой ( рис. 63, б, в ).
Прямая линия, перпендикулярная к плоскости, касательной к поверхности в точке касания или в точке, лежащей на линии касания, называется нормалью
к поверхности в этой точке.
Фигуры сечения кривой поверхности плоскостями, проходящими через нор-маль к поверхности, называются норма-льными [ 8 ]. Эти сечения в основании нормали, - обыкновенной точке поверх-ности, разно искривлены. Те из них, ко-торые имеют минимальные и макси-мальные значения кривизны, распо-лагаются во взаимно перпендикулярных плоскостях, имеющих главные направ-ления. Радиусы кривизн этих сечений в точке их пересечения на поверхности называются главными радиусами R1 и R2 кривизны, а их центры, - центрами кривизны поверхности в данной точке.
Величины, обратные значениям главных радиусов кривизны, называют-ся главными кривизнами поверхности в данной точке, а произведение значений главных кривизн является значением полной или гауссовой кривизной повер-хности в данной точке.
Пучок плоскостей, проходящих че-рез нормаль к поверхности, пересекает касательную плоскость по пучку каса-тельных к поверхности прямых в точке касания.
Если от точки касания по лучам это-го пучка отложить значения квадратных корней величин радиусов кривизн соот-ветствующих нормальных сечений, то получится некоторая кривая линия, ха-рактеризующая точку касания и показы-вающая картину искривлённости повер-хности в этой точке. Такая линия назы-вается индикатрисой Дюпена [8]
Если индикатриса Дюпена окружно-сть, то её центром является омбиличе-
ская точка или точка округления по-
верхности. Поверхностью, состоящей из омбилических точек, является сфе-ра – поверхность постоянной положи-тельной гауссовой кривизны(рис.5.64).
Если индикатриса Дюпена – эллипс,
большая и малая полуоси которого про-порциональны значениям главных ра-диусов кривизн, то его центром являет-ся эллиптическая точка В (рис.5.65).
Из эллиптических точек состоят разли-чные эллипсоиды (сжатый и вытянутый эллипсоиды вращения, трёхосный эл-липсоид), двуполостный гиперболоид и параборлоид вращения, а также дву-полостный эллиптический гиперболоид и эллиптический параболоид.
Омбилические точки являются ча-стным случаем эллиптических, так как окружности – это эллипсы с одинаковы-ми осями. Поэтому на всех перечеслен-ных поверхностях есть омбилические точки ( точки округления ) и эти поверх-ности можно рассекать параллельными плоскостями по окружностям [8].
Если индикатриса Дюпена – гипер-бола, то её центром является гипербо-лическая точка С ( рис.5.66 )
Плоскости, касательные к поверх-ности в её гиперболических точках, пе-ресекают эти поверхности по прямым
(.рис.5.63,б) или кривым (см. рис.5.63,в) линиям.
Из гиперболических точек состоят поверхности гиперболического парабо-лоида (рис.5.66) и псевдосферы ( рис. 5.67) – поверхности постоянной отрица-тельной гауссовой кривизны.
Рис.5.66. Индикатриса Дюпена – гипербола
Если индикатриса Дюпена – пара прямых ( параллельных – рис.5.68, или пересекающихся ), то точки типа D ли-нии касания называются параболичес-кими. Из параболических точек состоят прямолинейчатые развёртываемые по-
Рис.5.67. Псевдосфера и её сечения
касательной и нормальной
плоскостями
Рис.5.68. Индикатриса Дюпена – пара прямых линий
Рис.5.69. Касание прямолинейчатых поверхностей:
а – цилиндрических и конических
б – однополостных гиперболоидов
вращения
верхности – цилиндрические, коничес-кие и поверхности с ребром возврата.
Две прямолинейчатые поверхности касательны друг к другу, если общий элемент их касания принадлежит общей для них касательной плоскости (см. рис.
5.57, п.3.2,3.2 и рис.5.69,а, б ).
Две соосные поверхности враще-ния касаются по их параллелям – окру-жностям (рис. 5.70, а ).
Рис. 5.70. Касание-сопряжение:
а – соосных поверхностей конуса, шара и цилиндра;
б - двух эллиптических цилиндров через посредство
эллипсоида вращения
Прямолинейчатая поверхность ка-сательна к криволинейчатой, если пря-молинейные образующие первой повер-хности касательны к соответствующим компланарным с ними кривым линейно-го каркаса второй поверхности (рис. 70,б).
Две криволинейчатые поверхности касательны друг к другу, если элемен-тами линейного каркаса образуемой или составной поверхности являются каса-тельные друг к другу кривые линии.
Кривые линии, плоскости и поверх-ности, касаясь, сопрягаются, т.е., плав-но переходят одна в другую ( см. рис. 5.70)
5.5.2. Свойства отношений, порождаемых группой II аксиом порядка
Группа II аксиом порядка вводит в отношения коллинейности точек на пря-мой и компланарности точек и прямых в плоскости порядок их следования друг за другом словом «между». На этой ос-нове выводятся понятия о таких геомет-
рических системах как отрезок, луч, плоский угол, ломаная линия, треуго-льник, полуплоскость, полупростран-ство, многогранный угол и многогран-ник.
В отличии от конструктивно-кинема-тических определений (см. определе-ния 2-15) эти понятия имеют такие сис-темные определения:
Определение 5.16. Отрезок пря-мой, как и сама прямая, является сис-темой коллинейных точек;
Определение 5. 17. Прямая линия является открытой системой взаимо-связанных отрезков, концы которых последовательно тождественны и коллинейны;
Определение 5.18. Лучом называ-ется система коллинейных точек, ин-цидентных тождественным отрез-кам, имеющих общий конец;
Определение 5.19. Линейным уг-лом называется система двух нетож-дественных и конкурентных лучей;
Определение 5.20. Полуплоскос-тью называется система компланар-ных точек, расположенных по одну сторону от ограничивающей её пря-мой вместе с точками этой прямой;
Определение 5.21. Линейным уг-лом является часть полуплоскости как система компланарных точек, за-ключенных между её сторонами, вме-сте с точками этих сторон;
Определение 5.22. Плоской лома-ной линией называется система ком-планарных отрезков, концы одних из которых последовательно инцидент-ны началам других;
Определение 5.23. Пространст-венной ломаной линией является сис-тема некомпланарных отрезков, кон-цы одних из которых последовательно инцидентны началам других;
Определение 5.24. Треугольником называется система трёх комплана-рных и конкурентных отрезков, имею-щих попарно общие концы;
Определение 5.25. Треугольником является плоская фигура как система трёх тождественных полуплоскос-тей, каждая из которых ограничена
прямой, проходящей через две верши-
ны, и содержит третью вершину.
Рис. 5.71. Конгруэнтные фигуры:
а – отрезки прямых;
б – линейные углы;
в - треугольники
Определение 5.26. Открытым по-лупространством является система
всех нетождественных точек прост-ранства, расположенных по одну сто-рону от некоторой граничной плоско-сти.
Определение 5.27. Двугранным уг-лом называется результат пересе-чения двух полупространств, граница-ми которых являются две конкурент-ные плоскости;
Определение 5.28. Многогранным углом называется результат пере-сечения нескольких полупространств, границами которых являются плоско-сти некоторой связки, линии пересече-ния которых инцидентны вершинам некоторого многоугольника.
Определение 5.29. Многогранни-ком называется объединение много-гранной поверхности и её внутренней области.
3.5.3.Свойства отношений, порождаемых группой III аксиом конгруэнтности (движения)
Основным содержанием 10 аксиом III группы является фундаментальное понятие геометрического движения и порождаемых им отношений конгруэнт-ности (одинаковости, равенства), а также перпендикулярности элементов эвклидова пространства.
Определение 5.30. Геометричес-ким движением называется такой про-цесс, при котором точкам А, В, С, …, прямым а, b, c,…, плоскостям , , , … в пространстве R соответствуют точки А,В,С,…, прямые а, b, с,… и плоскости , , . этого же прост-ранства.
При этом говорят, что такое движе-ние устанавливает «преобразование пространства в себя».
К числу основных свойств геомет-рического движения относятся его спо-собность сохранять отношение инциде-нтности и отношения порядка «между» в процессе преобразования исходных элементов пространства в им соответ-ственные.
Если движение соотносит точкам и прямым плоскости их же самих, то пре-образование, осуществляемое таким движением называется тождествен-ным. При этом говорят, что такое пре-образование оставляет неподвижными
все элементы плоскости.
Определение 5.31. Конгруэнтнос-тью называется отношение одинако-вости по форме между элементами одной размерности, когда их движени-ем можно привести в тождественное расположение (рис.5.71, а, б, в ).
Определение 5.32. Равенством называется отношение конгруэнтнос-ти между элементами одной размер-ности, характеризующее их метри-ческую одинаковость.
Все конгруэнтные элементы метри-чески равны друг другу.
Из свойств движения и конгруэнт-ности выводятся понятия о таких геоме-трических системах как фигуры, треу-гольники равносторонние и равнобед-ренные, плоские смежные, вертикаль-ные и прямые углы, их поперечины, перпендикуляры к прямым и плоскос-тям, середины отрезков, медиатрисы, биссектрисы плоских углов, внутрен-ние и внешние острые, прямые и ту-пые углы треугольников, их чевианы, высоты, медианы, медиатрисы и бис-сектрисы.
Их системные определения:
Определение 5.33. Плоской фиг-урой называется система компланар-ных точек и линий;
Определение 5.34. Равносторон- ним называется треугольник с конгру-энтными сторонами; -
Определение 5.35. Равнобедрен-ным называется треугольник с двумя конгруэнтными сторонами;
Определение 5.36. Развернутым называется угол, стороны которого образуют один отрезок;
Определение 5.37. Настоящим или неразвёрнутим называется угол, стороны которого лежат по одну сторону по отношению друг к другу;
Определение 5.38. Смежным на-зывается угол, дополнительный к дан-ному до развернутого;
Определение 5.39. Накрестлежа-щим называется угол, образованный продолжениями сторон данного угла;
Определение 5.40. Поперечиной угла называется отрезок с концами на его сторонах;
Рис.5.72. Чевианы произвольного треугольника
Рис.5.73. Медианы и медиатрисы произвольного треугольника.
Точка пересечения медиан –
центр тяжести треугольника.
Точка пересечения медиатрис – центр
окружности, описанной вокруг треугольника
Рис.5.74. Высоты и биссектрисы произвольного треугольника.
Точка пересечения высот –
- ортоцентр треугольника.
Точка пересечения биссектрис – центр
окружности, вписанной в треугольник
Рис.5.75. Таблица вариантов перпендикулярности элементов
эвклидова пространства
Определение 5.41. Прямым назы- вается угол, равный смежному;
Определение 5.42. Острым назы-вается угол, меньший прямого;
Определение 5.43. Тупым называ-ется угол, больший прямого;
Определение 5.44. Взаимно пер-пендикулярныи называются прямые, инцидентные сторонам прямого угла;
Определение 5. 45. Перпендикуля-ром к плоскости называется прямая, перпендикулярная к двум её конкурент-ным прямым;
Определение 5.46. Серединой от--резка называется точка, равноудалён-ная от её концов;
Определение 5.47. Медиатриссой
отрезка называется прямая, перпенди-
кулярная к нему в его середине;
Определение 5.49. Биссектрисой линейного угла называется прямая, де-лящая его на два конгруэнтных угла;
Определение 5.50. Внутренними называются углы треугольника, обра-зуемые его сторонами.
Определение 5.51. Внешними назы ваются углы треугольника, смежные его внутренним углам;
Определение 5. 52. Прямоуголь-ным называется треугольник с одним
прямым внутренним углом.
Определение 5.53. Тупоугольным называется треугольник с одним ту-пым внутренним углом;
Определение 5.54. Чевианами треугольника называются три луча с началами в его вершинах, инцидент-ные его произвольной внктренней точке и конкурентные со сторонами, противолежащими этим вершинам.
Определение 5.55. Медианами
треугольника называются чевианы, проходящие через середины его сто-рон ( рис.5.73 );
Определение 5.56. Медиатрисами треугольника называются его попере-чины, перпендикулярные к серединам его сторон.( рис.5.73).
Определение 5.57. Высотами треугольника называются чевианы, перпендикулярные
Определение 5.58. Биссектрисами треугольника называются чевианы, делящие его внутренние углы попо-
лам ( рис.5.74 );
Определение 5.58. Перпендикуляр-ностью называется пересекаемость
элементов одинаковой или разной раз-мерности под прямым углом.
Это чрезвычайно важная связь ме-
Рис. 5.76. Конгруэнции нормалей к поверхностям:
а – сферической,
б - цилиндрической;
в – конической.
Рис. 5.77. Конгруэнция нормалей поверхности вращения Ф и её
фокальная поверхность
Рис 5.78. Ортогонально сопряженные
софокусные кривые:
а – эллипсы и гиперболы;
б – параболы
жду элементами пространства, из кото-
рых создаются искусственные системы, ибо, по словам Ле Корбюзье «…прямой угол – это необходимый и достаточный
инструмент для работы, поскольку с его помощью можно самым точным обра-зом отмерить пространство» [ 58].
Так как перпендикулярность являет-ся пересекаемостью, то, связывая два элемента в их систему, она порождает третий, им инцидентный двойной эле-мент, размерность которого на единицу ниже, чем наименьшая размерность со-единяемых элементов ( рис.5.75).
Перпендикулярность двух любых элементов пространства взаимна.
Две прямые перпендикулярны в 2-х случаях: когда они компланарны и меж-ду ними угол 90 (рис.5.75, п.2.1,2.1); когда одна прямая принадлежит плос-
кости, перпендикулярной ко второй пря-мой. В этом случае обе прямые скрещи-ваются под прямым углом.
Прямая b перпендикулярна к плос-кой кривой с (рис.5.75, п. 2.1,2.2) или к пространственной кривой m (рис.5.75, п. 2.1,2.3) в их обыкновенных точках, если она является их нормалью в этих точ-ках.
Прямая b перпендикулярна к плос-кости , если она перпендикулярна к двум её конкурентным прямым(рис.5.75, п.2.1,3.1).
Прямая b перпендикулярна к повер-хности Ф в её обыкновенной точке, если она является нормалью этой поверхно-сти в этой точке (рис.5.75, п.2.1,3.2).
Теоретический и практический ин-терес представляют многообразия нор-малей к различным поверхностям.
Так как к кривой поверхности в каж-дой её обыкновенной точке можно про-вести одну нормаль, то совокупность всех нормалей к поверхности представ-ляет их двупараметрическое множество (по количеству точек), называемое кон-
груэнцией нормалей [27] , (рис.5.71).
Конгруэнцией нормалей сферы яв-ляется связка её радиальных лучей;
Конгруэнцией нормалей поверхнос-ти прямого кругового цилиндра явля-ется однопараметрическое множество пучков радиусов его нормальных сече-ний (рис.5.76, б). Такая конгруэнция на-зывается ортогональной [ 27].
Конгруэнцией нормалей поверхнос-ти конуса вращения является однопа-
-раметрическое множество образующих
соосных конических поверхностей, пер-пендикулярных к образующим данной
поверхности в точках на её параллелях (рис.5.76, в ).
Конгруэнцией нормалей поверхнос-ти вращения является однопарамет-рическое множество касательных к не-которой поверхности , образованной
вращением эволюты меридиана данной поверхности (рис.5. 77).
Поверхность, касательные к кото-рой являются нормалями данной пове-рхности, называется фокальной [8].Она является геометрическим местом цен-тров кривизн в точках данной поверхно-сти ( рис.5.77 )
Если в конгруэнции нормалей «по-гружать» те или иные линии, то они «выделят» из этих конгруэнций пере-секающие их нормали, которые в своей совокупности образуют те или иные поверхности.
Две плоские кривые с и d взаимно пер-пендикулярны, если они компланарны и в точках пересечения касательны ко взаимно перпендикулярным прямым t и n ( рис.5. 75, п. 2.2,2.2 )
Если две точки плоскости принять за фокусы семейств эллипсов и ги-пербол, то эти софокусные линии обра-зуют взаимно-ортогональные семейст-ва кривых ( рис.5.78 ). Так расположен-ные линии называются ортогонально сопряжёнными.
Две плоские кривые m и n имеют взаимно перпендикулярные направле-ния, если они лежат во взаимно-пер-пендикулярных плоскостях и и ка-сательны к компланарным с ними пря-мым a, b, c и d, перпендикулярным к линии пересечения плоскостей и (рис. 5.79 ). Так расположены эллипти-ческие звенья различных цепей.
Плоская кривая d перпендикулярна к пространственной кривой m в обык-новенной точке, если она лежит в со-прикасающейся плоскости и каса-тельна к нормали n пространственной кривой (рис.5.75, п.2.2,2.3 ).
Плоская кривая d перпендикулярна к плоскости , если она касательна к
нормали n плоскости в её основании
Рис. 5.79. Взаимно перпендикулярные эллипс и гипербола
Рис.5.80. Ортогонально-сопряженная сеть пространственных линий на поверхности трёхосного эллипсоида
Рис.5.81. Различные условия
взаимной перпендикулярности
двух плоскостей
(см. рис.5.75, пп. 2.2,3.1; 3.1,2.2 )
Плоская кривая d перпендикулярна к поверхности вращения, если она ком-планарна с нормальным (рис.5.75, п. 2.2,3.2) или меридиональным (п.3.2,2.2)
сечением поверхности и ортогонально
сопряжена с ним.
Две пространственные кривые m и n взаимно перпендикулярны, если в то-чке пересечения они имеют общую со-прикасающуюся плоскость и касате-льны к лежащим в этой плоскости двум взаимно перпендикулярным прямым l и k (см. рис.5.75, п.2.3,2.3 ).
Пространственные кривые взаимно перпендикулярны, если они образуют линейный каркас ортогонально сопря-женных линий криволинейчатой поверх-ности ( рис.5.80).
Пространственная кривая n перпен-дикулярна к плоскости , если в точке её пересечения с этой плоскостью она касательна к прямой l соприкасающейся плоскости , перпендикулярной к плос-кости (рис.5.75, п. 2.3,3.1 ).
Пространственная кривая n перпен-дикулярна к кривой прямолинейчатой поверхности Ф ( п. 2.3,3.2) или поверх-ности вращения (п. 3.2,2.3 ), если в точках её пересечения с ними она ка-сательна к нормалям к этим поверх-ностям.
Плоскость перпендикулярна плос-кости при следующих условиях:
условие 1 – если плоскость про-ходит через перпендикуляр к плоскости ( рис.5.75, п.3.1, 3.1);
условие 2 –если плоскость парал-лельна перпендикуляру к плоскости (рис.5.81, а );
условие 3. – если плоскость перпендикуляра к прямой а, принадле-жащей плоскости (рис.5.81, б);
условие 4 – если плоскость пер-пендикулярна к прямой а, параллельной плоскости (рис.5.81, в).
Плоскость перпендикулярна к по-верхности вращения, если она проходит через нормаль к поверхности перпенди-кулярно к оси её вращения (рис.5.75, п.3.1, 3.2 ) .
Плоскость перпендикулярна к ци-линдрической поверхности, если она перпендикулярна к её образующим. Се-чение поверхности такой плоскостью называется нормальным (рис.5.75,п.3.2, 3.1).
По виду нормального сечения су-дят о характере поверхности.
Две поверхности Ф и взаимно перпендикулярны, если они образова-ны вращением ортогонально сопряжен-ных плоских кривых вокруг их действи-тельной оси (рис.5.75, п. 3.2,3.2) или соответственные элементы линейных каркасов этих поверхностей ортогона-льно сопряжены ( рис.5.82)
Рис.5.82. Ортогонально-сопряженные поверхности трёхосного эллипсоида, одно- и двуполостных эллиптических гиперболоидов
5.5.4. IV группа аксиом
непрерывности и её следствия
Эта группа состоит из одной аксио-мы непрерывности Дедекинда, которая описывает свойство непрерывности (т.е., отсутствие дискретности) прямых линий и плоскостей, основанное на ин-вариантности отношения «между» от-носительно движения, из которых выво-дятся понятия окружности и круга.
Определение 5.59. Окружностью а, лежащей в плоскости с центром в точке О этой плоскости, называется одномерная система точек М, для ко-торых отрезок ОМ конгруэнтен дан-ному отрезку АВ, называемому ради-усом R окружности.
Точки М1 плоскости , для которых ОМ1ОМ =R, называются внутренни-ми, а точки М2 этой плоскости, для которых ОМ2ОМ = R, называются внешними точками плоскости относи-тельно окружности.
Точки типа М1 и М2 являются пред-ставителями двух классов точек плоско-сти , для которых точки М окружности а являются дедекиндовым сечением, придающим свойство непрерывности
всей совокупности точек плоскости ,
Рис. 5.83.. Параллельность прямых и плоскостей через посредство их
перпендикулярности
Рис. 5.84. Таблица вариантов
параллельности элементов
эвклидова пространства
называемой плоскостью кривизны ок-ружности а.
Определение 5.60. Система комп-ланарных внутренних точек и точек окружности называется кругом.
5.5.5. V группа аксиом параллельности и её следствия
Эта группа состоит из одной аксио-мы, знаменитого 5-го постулата Эвкли-да, который гласит, что … в плоскости через точку С проходит только одна прямая а, не пересекающаяся с данной прямой а.
Эта аксиома описывает отношение параллельности или равноудалённости элементов эвклидова пространства друг от друга, на основании которого выводятся понятия квадрата, парал-лелограмма, куба и параллелепипеда.
Определение 5.61. Параллельнос-тью называется такое отношение между элементами пространства оди-наковой или разной размерности, ко-торое характеризуется их равноуда-лённостью, а также отсутствием пе-ресекаемости и скрещиваемости (рис.
5.79).
Параллельность тесно связана с перпендикулярностью и играет важную роль в формообразовании объектов пространства как систем. Эта связь оп-ределяется понятием равноудаленно-сти элементов друг от друга, т.е., кон-груэнтности кратчайших расстояний между их точками, измеряемых по на-правлению перпендикуляров или нор-малей.
Так как между параллельными пря-мыми угол 0, а между перпендикуляр-ными 90, то прямой угол является инструментом получения параллельно-сти.
Параллельность элементов в эв-клидовом пространстве исключает их пересекаемость, а значит, и общие для них действительные или собственные двойные элементы. Поэтому паралле-льность является не связью, а отно-шением, обладающим свойством вза-имности.
Две компланарные прямые а и b взаимно параллельны, если они равно-удалённы на всём их протяжении ( рис. 5.84, п.2.1,2.1).
Две компланарные прямые а и b взаимно параллельны, если они пер-
Рис.5.85. Эквидистантные цилиндрические поверхности
пендикулярны к третьей компланарной с ними прямой с ( рис.5.83, а ).
Прямая а параллельна плоскости ,
если она перпендикулярна к прямой b, перпендикулярной к плоскости ( рис. 5.83, б ).
Если плоскость перпендикулярна одной стороне прямого линейного угла, то она параллельна второй его стороне.
Если прямые а, b, c, … перпендику-лярны к плоскости , то они взаимно параллельны между собой ( рис.5.83,в ).
Если плоскости и перпендику-
к одной прямой а, то они взаимно параллельны ( рис. 5.83, г ).
Если плоскость содержит прямую b, параллельную данной прямой а, то плоскость параллельна прямой а (рис.
5.79, п. 3.1, 2.1).
Условие параллельности двух плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые плоскости соответственно паралле-льны двум пересекающимся прямым плоскости , то плоскости и взаи-мно параллельны ( рис 5.84, п. 3.1, 3.1 ).
Прямая а параллельна цилиндри-ческой поверхности Ф, если она парал-лельна её образующей b (рис.5.84, п..2.1,3.2 ).
Поверхность параллельна пря-мой а, если её образующие b, … парал-лельны прямой а (рис.5.84, п. 3.2, 2.1 ).
Две компланарные кривые с и d взаимно параллельны, если на всём их протяжении они равноудалённы (рис. 5.84, п. 2.2, 2.2 ).
Две плоские некомпланарные кри-вые b и d параллельны, если плоскости их кривизн и параллельны, а сами линии b и d на всём их протяжении рав-ноудалённы ( см. рис.5.84, п. 2.2, 3.1 ).
Параллельные кривые называются
эквидистантными . Частным случаем
эквидистантности является концентри-чность компланарных окружностей ра-зного радиуса, имеющих один общий центр.
Эквидистантные кривые не конгру-
энтны, так как имеют разную степень искривлённости и поэтому не могут быть совмещены движением.
Плоская кривая d параллельна пло-
скости , если плоскость её кривизны параллельна плоскости .
Плоская кривая d параллельна ци-линдрической поверхности Ф, если она лежит в нормальной плоскости и экви-дистантна нормальному сечению b этой поверхности ( рис.5.84, п. 2.2, 3.2 ).
Поверхность вращения паралле-льна плоской кривой с, если её норма-
льное сечение b компланарно с прямой
с и эквидистантно ей.(рис.5.84, п.3.2, 2.2).
Две пространственные кривые m и n параллельны, если они эквидистант-ны, т.е., кратчайшие расстояния между их соответственными точками метриче-ски одинаковы ( рис.5.84, п. 2.3, 2.3 ).
Пространственная кривая n парал-лельна поверхности вращения Ф, если её точки равноудалены от этой повер-хности по направлениям нормалей к ней ( рис.5.84, п. 2.3, 3.2 ).
Поверхность параллельна прост-ранственной кривой m, если она содер-жит эквидистантную ей линию n, явля-
ющуюся геометрическим местом осно-ваний тех нормалей к поверхности, ко-торые выделяются кривой m из их кон-груэнции (рис.5.84, п. 3.2, 2.3, где линия n на поверхности условно не показана )
Две соосные цилиндрические по-верхности всегда параллельны (рис. 5.89, п. 3.2, 3.2 ).
Две цилиндрические поверхности и общего вида параллельны, если они перпендикулярны к одной плоскос-ти , а их сечения этой плоскостью эквидистантны ( рис. 5.85).
Геометрическим местом концов конгруэнтных нормалей к поверхности Ф является поверхность , эквидистан-тная поверхности Ф.
Сравнительный анализ рассмотрен-ных связей и отношений между эле-ментами эвклидова пространства, вы-текающих из пяти групп аксиом эвкли-довой геометрии, показывает, что наи-более важным или фундаментальным из них является отношение взаимной принадлежности, так как все осталь-ные отношения, которые связывают два элемента так, что порождается тре-тий, делает эти два элемента принад-лежащими общему для них третьему элементу.
Характерной конструктивной особен-
ностью всех рссмотренных связей явля-
Рис 5.86. Классификация позиционных задач
ется их взаимность, которая, будучи возведенной в принцип, расширяет воз-можности мысленного конструирования геометрических систем, взаимных дан-ным [88].
5.5.6. Принцип взаимности отношений между элементами геометрических систем
Известно, что одним из важнейших принципов образования объектов концепту-ального пространства является большой принцип двойственности, сущность которо-го состоит в замене слов «точка» и «плос-кость» друг на друга в различных рассужде-ниях, а также малый принцип двойственно-сти для компланарных элементов, когда ме-няются местами слова «точка» и «прямая».
Наиболее наглядно большой принцип двойственности проявляется в особеннос-тях геометрических структур таких правиль-
ных многогранников, как гексоэдр и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, которые, в связи с этим, называются взаимными. Природа их взаимности, очевидно, объясняется не толь-ко тем, что все двойственные фигуры взаи-мны, но также и тем, что эти фигуры, как та-ковые, являются системами взаимно свя-занных конкретных вершин, ребер и граней. конкретными отношениями принадлежнос-ти и пересекаемости, также обладающие свойством взаимности.
Очевидно, что принцип двойственности раскрывает особенности «объектного» на-полнения концептуального пространства, однако на процесс мысленного эксперимен-тирования с этими объектами для синте-зирования из них концептуальных моделей объектов-систем оказывает большее влия-ние не столько этот принцип, сколько конструктивные особенности используемых при этом взаимных связей и отношений между их элементами.
Практически это экспериментирование
сводится к решению позиционных задач на
установление отношений принадлежности
и пересекаемости между различными эле-ментами эвклидова пространства в различ-ных сочетаниях ( рис.5.86)
Рассматривая конструктивные особен-ности отношения взаимной пересекаемос-ти, видим, что оно содержит в себе отноше-ние принадлежности, обладает его свойст-вами, а поэтому конструктивно может быть сведено к нему. Для примера сравним два пути конструирования трехэлементной сис-темы «точка, прямая, плоскость»: по перво-му пути необходимо решить позиционную задачи на определение точки пересечения данной прямой с данной плоскостью, по второму для получения той же системы через данную точку следует провести преж-де прямую, а затем плоскость, подчинив их положение в пространстве наперед задан-ным условиям. Второй путь представляется более простым и более практичным.
Реальные искусственные объекты, соз-данию которых предшествует их проектиро-вание, многоэлементны. Они имеют иерар-хическое строение и включают в себя двух,- трёх- и более элементные системы как свои подсистемы, которые взаимно связываются в проектируемую систему.
Понимание проектируемого объекта как многоэлементной системы требует оптими-зации представления его структуры. Такая оптимизация становится возможной на ос-нове использования фундаментального от-ношения взаимной принадлежности с использованием, в случае необходимости, принципа двойственности. В результате предлагается следующая концептуальная технология образования двух-, трёх- и бо-лее элементных систем, состоящих из то-чек А, В, С,…, прямых линий а, b, c,…и пло-скостей , , , обозначаемых в соответ-ствии с их точечностью соответственно
цифрами 1, 2 и 3 ( рис.5.87 )
|
ОБРАЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ ТОЧЕК, ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ОТНОШЕНИЯ ВЗАИМНОЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ Си-сте-мы № п/п Элементы Исходные системы Элемены Взаимные системы Эскиз Наиме- нование Эскиз Наиме-нование 2-х - э л е м е н т н ы е 1. 1.2 А а Точка на прямой 2.1 a A Две полу- прямые, луч 2. 1.3 А Точка в плоскости 3.1 A Плоскость, проходя-щая через точку 3. 2.3 а Прямая в плоскости 3.2 a Две полу-плоскости 3-х- э л е м е н т н ы е 4. 1, 1.2 А,В а Отрезок АВ прямой а 2,2.1 a, b A a ⊥ b A Линейный угол, прямой угол 5. 1, 1.3 А,В Две точки в плоскости 3,3.1 , A Двугран-ный угол 6. 2, 2.3 а,b Комплана-рные прямые 3,3.2 , a Двугран-ный угол 4-х- э л е м е н Т н н е 7. 1.1,1.2 А,В,С а Три коллиней-ные точки 2.2, 2.1 a, b, c A 3-лучевая связка, оси координат 8. 1.1,1.3 А, В, С …. Три компланар-ные точки 3.3,3.1 ,, A 3-гранный угол, коор-динатные плоскости 9. 2.2,2.3 а,b,с Три комп-ланарнные прямые 3.3,3.2 ,, a Пучок 3-х плоскостей М н о г о э л е м е н т н ы е 10 1,3 А,В,С, …а Точечный ряд 2.1 a,b,c,… A Пучок прямых, связка прямых 11 1.3 А,В,С, … Плоское поле точек 3.1 ,, , … A Связка плоскостей 12 2.3 а,b,с,… Плоское поле прямых 3,2 ,, a Пучок плоскостей 13 2,1 а,в,с,...А Связка па- раллельных прямых 1, A,B,C,… a Несобст- венный точечный ряд 14 3,2 , , , …А Связка кон-курентных плоскостей 1,3 A,B,C Несобст-венная прямая плоскости 15 3,3 , , … а Связка па-раллельных плоскостей 2,3 ab,c… Несобст-венное поле прямых 16 2, 12 (а,b,…) (A.B, …n) Линейный комплекс 1, 2 1 A, B, … (а,b,…) Связка точечных рядов 17 2, 1 3 a,b,… ( A,B,…) 2-парамет-рическое множество связок прямых 1, 21 A,B,… (a,b,…) Плоское поле точечных рядов |
Здесь формообразующим фак-тором преобразования исходной си-стемы во взаимную принято сочета-ние принципов двойственности и взаимности, когда с заменой эле-ментов исходной системы на им двой-ственные заменяются слова «пересе-каются» («касаются») на слова «про-ходит через».
Если дополнительно к точкам 1, прямым 2 и плоскостям 3 в качестве элементов принять кривые линии 2 и
кривые поверхности 3, то диапазон возможностей формообраования как исходных, так и взаимных им геомет-
рических систем по приведенной тех-нологии резко расширяется и охваты-вает, по сути дела, все те варианты их структур, которые входят в проек-тируемые объекты как их подсистем-мы.
Нетрудно видеть, что совместное использование принципа двойствен-ности элементов различных систем и принципа взаимности отношения при-надлежности между этими элемен-тами возможно при наличии хорошо развитого пространственного вообра-жения и способствует развитию конструктивно-композиционного мыш-ления как обязательной профессио-нальной способности любого созда-теля искусственных материльных систем.
Выводы:
1. Системный анализ конструк-тиных свойств различных взаимных отношений между элементами гео-метрических систем показывает,
что фундаментальным является отношение принадлежности, а ос-новным формообразующим принци-пом создания новых систем явля-ется принцип взаимности этих от-ношений
2. Предлагаемая технология образования геометрических систем на основе отношения взаимной при-надлежности между их элементами, с одной стороны, раскрывает сис-темную природу известных объек-тов, а с другой стороны, позволяет достаточно просто конструиро-вать им взаимные объекты, но иной структуры, что представляет как теоретический, так и практический интерес.
Рис. 5.87. Таблица образования систем, взаимных данным
Рис.88. Известные точки, линии и
фигуры в структуре остроугольного треугольника
Рис.5.89. Новые точка Х, линии и фигуры в структуре остроугольного треугольника
Все вышеперечисленные понятия о взаимных связях и отношениях между эле-ментами эвклидова пространства, а также о простейших геометрических системах, рас-крывающие конструктивные особенности их структур, легко представляемы мысленно, что даёт сознанию возможность свободного концептуирования и возбуждает развитие профессионального мышления вплоть до креативного.
Ярким примером этому является синте-тическое исследование структуры произво-льного остроугольного треугольника, содер-жащей как известные замечательные точки и линии, так и новые, подлежащие изуче-нию.
Разносторонний остроугольный треугольник является наиболее изученной геометрической фигурой. Однако, если его представить как гра-фическую систему трёх конкурентных и компла-нарных отрезков-сторон, то оказывается, что, не смотря на её «произвольность», часть ограни-ченного ею картинного пространства имеет стро-го закономерную и не до конца изученную струк-туру.
К числу хорошо изученных элементов этой структуры и связей между ними относятся её за-мечательные линии, точки и фигуры: высоты,-медианы, медиатрисы, биссектрисы, орто-центр F, центр тяжести М и центр описанной окружности N, расположенные на прямой Эйле-ра, окружность Фейербаха или окружности 9 точек, а также срединный 456 и ортотреуголь-ник 123 (рис.5.83).
К числу замечательных свойств этих элемен-тов относятся:
- инвариантность прямой Эйлера, которая точкой М делится в отношении 1: 2 и, тем самым, собою кодирует породивший её треугольник;
- равноудалённость середины о прямой Эй-лера от середин сторон треугольника АВС и ос-нований его высот, что делает его центром окру-жности Фейербаха, пересекающей высоты дан-ного треугольника АВС в серединах7,8,9 рас-стояний от его вершин до ортоцентра F;
конгруэнтности срединного треугольника 456 треугольникам А56, В46 и С45 и его подобие треугольнику АВС;
« высотность» медиатрис треугольника АВС в срединном треугольнике 456;
- «биссектрисность» высот треугольника АВС в ортотрегольнике 123.
Рассматривая особенности позиционного расположения перечисленных элементов , заме-чаем (рис.5.89 ), что:
1. Точки 7,8,9 пересечения окружности Фейербаха с высотами треугольника АВС в сере-динах расстояний его вершин до ортоцентра яв-ляется вершинами треугольника 789 , подобного данному и конгруэнтного срединному, но по-вёрнутому относительно него на 180 и поэтому названного антисрединным [110]
2. Точки D, E, K пересечения продолжения
сторон срединного и ортотреугольника, вершины которых лежат на смежных сторонах данного треугольника, являются вершинами ортосредин-
ного треугольника DEK, стороны которого при
продолжении проходят через вершины А, В, С данного треугольника;
3. Высота, опущенная из вершины К орто-срединного треугольника на его сторону DE, при продолжении проходит через центр о окружно-сти Фейербаха;
4. Точки L, Q, H пересечения сторон сре-динного и ортотреугольника, вершины которых лежат на несмежных сторонах данного треуго-льника, инцидентны прямым LA, QB, HC, , прохо-дящим через вершины данного треугольника и соответственные вершины фигуры наложения срединного и ортотреугольника и пересекающих-ся в некоторой точке Х, природа которой требует изучения;
5. Точки 10, 11, 12 пересечения сторон анти-срединного треугольника, соответственных сто-ронам срединного, со сторонами ортотреуго-льника, располагаются на одной прямой і как оси гомологии между этими треугольниками при це-нтре гомологи в ортоцентре F треугольника АВС.
6. Точка Х , в которой пересекаются прямые, соединяющие вершины треугольников АВС и LQH, является центром гомологии этих треуго-льников, ось которой определяется точками пересечения их соответственных сторон, но в данном случае выходит за пределы рисунка.
Известно, что ось гомологии конструктивно является ребром двугранного угла, в гранях ко-торого лежат треугольники АВС и LQH, а тогда точка Х представляется вершиной некоторой пирамиды, основаниями верхней и нижней полы которой служат данные треугольники. Это озна-чает переход от планиметрической природы про-извольного треугольника к стереометрическому истолкованию конструктивных особенностей его структуры, что и является креативом, вызываю-щим познавательный интерес к абстрактным геометрическим построениям, дающим порой интересные практические результаты.
Примером может служить аналогичное син-тетическое исследование структуры равнобед-ренного треугльника профиля пирамиды фарао-на Хеопса ( рис.5.90 ), в результате которого установлено, что:
Рис.5.90. Геометро-графическая структура поперечного профиля пирамиды фараона Хеопса
1. Треугольник профиля пирамиды состоит из двух прямоугольных треугольников Прейса, длины сторон которых составляют ряд золотого сечения;
2. «Камера царя» М расположена в центре
тяжести фигуры профиля;
Рис.5.91. Система взаимосвязанных пирамид фараона Хеопса и Александра Холода.
3. «Камера царицы» N равноудалена от вер-
шин А, В, С профиля, т.е., является центром опи-санной вокруг него окружности;
4. Ортоцентр F профиля практически совпа-
дает с фокусом золотого эллипса, описанного вокруг него, так как этот фокус делит высоту профиля в золотом иотношении 0,382 : 0,618;
5. Окружность Фейербаха пересекает ось симметрии профиля в «энергетическом центре» всей пирамиды, удалённой от её основания на величину, кратную числу 441,- значению частоты колебаний звука «ля», - мирового камертона [, c.14].
6.Направление основных туннелей, вентиля-ционных каналов и положение подземной каме-ры L определены простыми графическими по-строениями
Изотерическая мысль о том, что под надзем-ной пирамидой существует гипотетическая под-
земная энергетическая пирамида легко подтвер-- дилась точным графическим построением (рис. 5.82). Единственная точка надземного профиля,
расположенная под землёй (камера L), принятая
3.5.7.Геометро-физические принципы формообразования объектов как систем
Архитектурный или дизайнерский проект состоит из графически построен-ных чертежей, изображающих геомет-ризованный в сознании проектировщи-ка идеальный объект как сложную си-стему взаимосвязанных точек, линий, плоскостей и поверхностей. Это обсто-ятельство требует понимания и знания основных геометрических принципов формообразования объектов как свое-образных «геометрических реакций» на различные факторы их реального фи-зического существования.
Фактор кратчайшего расстояния ме- жду двумя точками пространства по прямой линии, требующий минимума за-трат энергии на его преодоление, опре-деляет преимущественную прямолиней-ность и плоскостность основных эле-ментов объекта.
Фактор гравитации, учёт которого обязателен для придания объекту рав--новесия, требует вертикальности огра-ждающих и несущих конструкций и гори-зонтальности перекрытий и покрытий.
Вертикальность и горизонтальность основных элементов, формирующих пространственный каркас здания, опре-деляет геометрический закон их взаим-ной перпендикулярности.
Взаимная перпендикулярность од-
них элементов объекта по отношению
к другим вызывает их обязательную
за ортоцентр искомой фигуры, определила её как золотой треугольник АВС.
Конец второго и начало третьего тысяче-летия на планете Земля ознаменовались строи-тельством пирамид Александра Голода, совер-шенно непохожих на пирамиду фараона Хеопса, но обладающих всеми её энергетическими свой-ствами благодаря единству их геометрических структур, основанных на золотом сечении.
Профиль пирамиды Александра Голода пре-дставляет собой равнобедренный треугольник, стороны которого касательны к двум окружно-стям, диаметры которых находятся в отношении золотой пропорции.
Если такие окружности построить на высоте профиля пирамиды фараона Хеопса, то получим искомый треугольник профиля новой пирамиды, вершина которой совпадает с основанием К ди-ректрисы d1 золотого полуэллипса, описанного вокруг исходного профиля. Таким образом, но-вая пирамида как бы вырастает из старой или старая преобрзовывается в новую (см.Главу 18 Приложение I )
параллельность по отношению друг к другу.
Требование равнонапряжённости
материала высотных объектов, учет ко-торого обязателен для придания объек-ту устойчивости, определяет необходи-мость уменьшения его массы по высо-те.Это вызывает при обязательной вер-
тикальности «ядра жесткости» объекта либо незначительную отклонённость от вертикали вовнутрь внешних плос-костей стен, либо ступенчатость объёмов с их закономерным уменьше-нием по высоте, либо коничность по-верхностей сооружений типа башен, дымовых промышленных труб, телеви-зионных мачт и т.п.
Необходимость перекрывания бо-льших горизонтальных площадей без промежуточных опор требует приме-нения для этой цели различных кривых поверхностей и их многогранных прото-типов как геометрической основы кон-струирования соответствующих оболо-чек покрытия объектов.
Необходимость удовлетворения ра-зличным утилитарным требованиям, предъявляемым к объекту, определяет предусмотренные проектом соблюде-ния в натуре различных геометрических связей и отношений между его элемен-
тами: взаимной принадлежности, кон-груэнтности, равенства, тождественнос-
ти, конкурентности, касательности, пер-пендикулярности и параллельности, в соответствии вышеприведенными пра-вилами ( см. п. 5.5).
Точки, линии, плоскости и поверхно-сти, а также рассмотренные выше связи и отношения между ними являются тем арсеналом геометрических средств, ко-торым располагает архитектор и дизай-нер для мысленного формообразова-ния объектов как систем любой сложно-сти их геометрической структуры.
Свойства объектов, порождаемые отношениями принадлежности, пересе-каемости, касательности перпендикуля-рности и параллельности и характе-ризующие особенности как взаимного расположения их элементов, так и поло-жения самих объектов в пространстве являются позиционными.
Свойства объектов, определяемые отношениями конгруэнтности и равен-ства, благодаря которым выявляются их метрические характеристики (линейные размеры, линейные и двугранные углы, площади и объёмы), являются метри-ческими.
5.5.8. Идеальная форма реального объекта
Переход от живого созерцания к аб-страктному мышлению переводит чув-ства, вызванные увиденным, в мысли.
Наблюдения реального объекта с целью его изучения как системы обяза-тельно приводит к мысленному пред-ставлению его элементов и характеру связей между ними. При этом возника-ющий в сознании мысленный образ но-сит идеальный характер, так как явля-ется результатом их геометризации.
Отличительной чертой архитекту-рного, равно как и иного созидательного творчества, является необходимость первоначального создания идеального мысленного образа несуществующего, а потому чувственно не воспринима-емого, но долженствующего быть, объ-екта.
Видение проектируемого объекта «внутренним взором» возможно лишь благодаря богатому опыту непосред-ственного восприятия и изучения суще-
ствующих объектов, а также глубоким
знаниям их структур.
Идеальный мысленный образ реа-льного объекта как системы также яв-ляется системой, но лишь в том слу-чае, если в процессе абстрактного ос-мысления этого объекта раскрыты все его необходимые объективные свой-ства, элементы и связи между ними.
Если идеальный образ проектиру-емого объекта является системой, то он, подобно существующему объекту, имеет свою форму, которая по отно-шению к действительной форме реаль-ного объекта выступает как идеальная.
Определение 5.62. Идеальной фо-мой реального объекта является ре-зультат научной идеализации его дей-ствительной формы.
Иными словами, идеальная форма реального объекта является концеп-туальной моделью его действитель-ной формы.
Являясь результатом абстрагиро-вания действительной формы, идеаль-ная форма объекта не моделирует все его существующие свойства, а только лишь те, которые являются геометри-ческими, т.е., позиционными и метри-ческими.
Позиционными являются такие свойства идеальной формы объекта, которые однозначно определяют как положение самого объекта в прост-ранстве относительно заранее выбран-ной системы отсчёта, так и взаимное расположение её составных элемен-
тов, образующих эту форму как систему в результате их взаимодействия.
Позиционные свойства определяют качественные характеристики идеа-льной формы объекта и изучаются «геометрией положения», в частности, начертательной и проективной геомет-риями.
Метрическими являются такие сво-йства идеальной формы объекта, кото-рые однозначно определяют её различ-ные метрические или количественные характеристики – расстояния, углы, длины, пропорции, площади, объёмы и др..
Метрические свойства идеальной формы реального объекта изучаются планиметрией и стереометрией эвкли-довой геометрии.
В о п р о с ы д л я п о в т о р е н и я:
1. Какую роль в процессе получения знаний играет отражение и что такое инфор-мация?
2. Какие пространства называются кон-цептуальными и где они локализованы?
3. Почему эвклидово пространство сис-темно?
4. Каковы системные определения ос-новных элементов эвклидова пространства?
5. Какое пространство называется точе-чным и каковы его свойства?
6. Какое пространство называется ли-нейчатым и каковы его свойства?
7. Какие простейшие системы можно со-здать из прямых линий?
8.Что называется определителем по-
верхности?
9. По каким критериям классифици-руются кривые поверхности?
10. Какие поверхности относятся к пря-молинейчатым и каковы их определители?
11. Какие поверхности относятся к кри-волинейчатым и каковы их определители?
12. Что называется многогранником?
13. Что называется сеткой многогранни-ка?
14. Какие многогранники называются правильными и почему они обладают свой-ством взаимности?
15. Какие многогранники называются по-луправильными и какими видами поверхно-стей они обладают?
16. Каким образом получаются звёзд-чатые формы правильных многогранников?
17. Какие поверхности называются изо-
зоноэдрами и как они конструируются?
18. Как конструировать складчатые фор-мы платоновых тел на основе их изозоноэд-ров?
19. Какой процесс называется аппрокси-мацией кривой поверхности?
20. Какая аппроксимация кривой поверх-ности называется триангуляцией?
21. Как образуются складчатые формы торсовых поверхностей?
22. Какие группы аксиом входят в аксио-матику геометрии эвклидова пространства?
23. Какое отношение между элементами называется взаимной принадлежностью, ка-ковы его разновидности и свойства?
24. Каковы условия принадлежности то-чки и прямой к плоскости?
25.Какое отношение между элементами называется пересекаемостью и каковы его конструктивные свойства?
26. Какова сущность метода вспомогате-льных секущих посредников для решения позиционных задач на пересекаемость?
27. В чем сущность теоремы Г.Монжа?
28. Какое отношение между элементами называется их касательностью?
29. Какая линия в структуре кривой ли-нии называется эволютой?
30. Какую информацию о свойствах то-чек поверхности несут индикатрисы Дюпена и какие они?
31. В чем сущность II группы аксиом по-рядка и какие объекты-системы ею порож-даются?
32.В чем сущность III группы аксиом движения и какие объекты-системы она по-рождает?
33. В чем сущность аксиомы непрерыв-ности и какие объекты-системы она порож-дает?
34. В чем сущность 5-го постулата Эвклида и какие системы порождаются отношением параллельности?
35. В чем сущность принципа образова-ния систем, взаимных данным?
36. Как графически построить профиль пирамиды фараона Хеопса, а на его основе – профиль пирамиды Александра Холода?
78