Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
X. Элементы линейной алгебры
1. Арифметическое пространство
Рассмотрим множество всевозможных упорядоченных наборов из n чисел (действительных или комплексных) . На этом множестве введем понятие равенства двух элементов и две линейные операции: сложение и умножение на число. Скажем, что элемент равен элементу тогда и только тогда, когда
Сложение определим по правилу: если , , то .
Умножение на число определим по правилу: если и – число (действительное или комплексное), то .
Множество всевозможных упорядоченных наборов с введенными выше операциями сложения и умножения на число называется n-мерным арифметическим пространством; будем обозначать его . Элементы пространства называются векторами. Вектор называется нулевым вектором.
Выражение называется линейной комбинацией векторов .
Система арифметических векторов называется линейно-зависимой, если найдутся числа , не все равные нулю и такие, что
. (1)
Если же равенство (1) возможно лишь при , то система называется линейно независимой.
Упорядоченная система, состоящая из n линейно независимых векторов пространства , называется базисом .
Теорема 1. Система векторов , …, образует базис в том и только в том случае, если
Система векторов , , …образует базис , который называется каноническим базисом.
Теорема 2. Если – базис , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов :
(2)
причем такое представление определяется однозначно.
Равенство (2) называется разложением вектора x по базису .
Коэффициенты называются координатами вектора x в базисе .
Пример 1. Убедиться, что система векторов ,
, , образует базис в . Найти разложение вектора в этом базисе.
Решение. Проверим, что образует базис:
следовательно, образуют базис в .
Найдем разложение вектора в этом базисе, т.е. найдем такие , что
Это равенство приводит к системе уравнений
Решением этой системы является .
Таким образом, .
2. Линейное пространство
Пусть V – некоторое множество, на котором введены две операции: сложение и умножение на число. Скажем, что множество V замкнуто относительно операции сложения и умножения на число, если для любых и и любого вещественного (комплексного) числа Предположим, что операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим восьми условиям:
1) ;
2) ;
3) существует элемент , такой что (элемент называется нулевым);
4) для любого элемента x существует элемент , такой что ; при этом пишут , и (–x) называется противоположным элементу x;
5) ;
6) ;
7) ;
8)
Множество V называется линейным пространством, если в этом множестве введены понятия равенства двух элементов и операции сложения и умножения элемента на число. При этом предполагается, что множество V замкнуто относительно операций сложения и умножения на число и выполняются условия 1 – 8.
Если числа , о которых идет речь в определении линейного пространства, вещественные, то называют вещественным линейным пространством. Если комплексные числа, то V называют комплексным линейным пространством. Элементы линейного пространства называются векторами.
Примером линейного пространства является . Другими примерами являются: ;– множество всех многочленов степени не выше n; – множество всех непрерывных на функций с естественными операциями сложения и умножения на число.
Определение линейной зависимости и независимости системы векторов повторяет соответствующее определение для пространства . Максимальное число линейно независимых векторов пространства V называется размерностью пространства и обозначается dimV. Например, dim=3 (векторы образуют максимальную линейно независимую систему), dim= n, dim= n+1 (здесь система многочленов образует максимальную линейно независимую систему векторов).
Пусть dimV = n. Упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства V называется базисом V. Для линейных n- мерных пространств справедлив аналог Теоремы 2.
Пусть и – линейные пространства и пусть задано взаимно- однозначное соответствие между пространствами и . Это соответствие называется изоморфизмом, если оно сохраняет линейную структуру пространств, т. е. удовлетворяет следующим двум требованиям: 1) если то ;
2) если и – произвольное число, то.
Пространства, между которыми можно установить изоморфизм, называются изоморфными.
Теорема 3. Конечномерные линейные пространства и изоморфны в том и только в том случае, если .
Пусть V – n-мерное линейное пространство и – базис в V. Изоморфизм между V и можно установить по следующему правилу (элементы будем записывать в виде столбца, а не строки):
При этом X называется вектор-столбцом координат вектора x.
Теорема 4. Пусть – базис линейного пространства V, – система векторов V и
(3)
Система векторов образует базис в том и только в том случае, если матрица является невырожденной. При этом матрица С называется матрицей перехода от базиса к базису .
Теорема 5. Пусть базисы , пространства V связаны равенствами (3), и X – вектор-столбец координат вектора x в базисе , – вектор-столбец координат x в базисе . Тогда справедливо равенство
(4)
Пример 2. – базис линейного пространства V и
а) доказать, что образуют базис в V;
б) найти разложение вектора в базисе .
Решение. а) Вычислим определитель матрицы перехода от базиса к базису :
Так как определитель отличен от нуля, то образуют базис.
б) Найдем обратную матрицу:
.
Имеем
Таким образом,
.
– вектор-столбец координат x в базисе.
Вектор-столбец вектора x в базисе найдем по формуле
Итак,
Пусть V – линейное пространство. Подмножество называется подпространством пространства V, еслив свою очередь является линейным пространством.
Пример 3. Образует ли линейное подпространство пространства множество V, заданное по правилу:
а)
б) ?
Решение. а) Пусть , , тогда
Обозначим .
Имеем Следовательно, .
Пусть, тогда
Для произвольного числа имеем
Это говорит о том, что Из сказанного следует, что V является подпространством пространства .
б) Пусть, тогда Рассмотрим вектор . Имеем
Следовательно, и V не образует линейного пространства и поэтому не является подпространством пространства .
3. Евклидово пространство
Пусть V – вещественное линейное пространство. Определенную на V вещественнозначную функцию двух переменных, обозначаемую (x,y), называют скалярным произведением, если она удовлетворяет следующим четырем условиям:
;
;
, причем (x,x) = 0 в том и только в том случае, если .
Конечномерное линейное пространство с заданным на нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.
Число , обозначаемое , называется нормой вектора x. Угол между векторами x и y определяется по формуле
Векторы x и y называются ортогональными, если , при этом пишут xy.
Базис евклидова пространства называется ортогональным, если при ij. Если к тому же , то ортогональный базис называется ортонормированным.
Теорема 6. В любом евклидовом пространстве имеется ортонормированный базис.
Примерами евклидовых пространств являются: 1), которые образуют ортонормированный базис; 2) – пространство , в котором скалярное произведение задано по следующему правилу: если , , то
;
– пространство всех многочленов степени не выше n, в котором скалярное произведение векторов f(t), g(t) задается равенством
.
Пусть и – евклидовы пространства и пусть задан изоморфизм линейных пространств . Это соответствие называется изоморфизмом евклидовых пространств в том случае, когда оно сохраняет скалярное произведение, т. е. выполняется следующее условие: если , то .
Евклидовы пространства, между которыми можно установить изоморфизм, называются изоморфными.
Теорема 7. Евклидовы пространства и изоморфны между собой в том и только в том случае, если dim=dim.
Комплексное евклидово пространство определяется аналогично вещественному, только от комплекснозначной функции вместо равенства = требуют равенство =.
4. Линейные операторы
Отображение линейного пространства называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим двум условиям:
для любых и любого числа (принято писать Ax вместо A(x)).
Тривиальными примерами линейных операторов являются нулевой оператор, ставящий в соответствие каждому вектору x нуль-вектор и тождественный (или единичный) оператор I, действующий по правилу Ix=x. Для задания линейного оператора достаточно задать его на элементах базиса пространства: если – базис линейного пространства V, – произвольная система векторов V, то существует единственный линейный оператор , такой что . Пусть
Матрица называется матрицей линейного оператора A в базисе и обычно обозначается той же буквой, что и линейный оператор: . Таким образом, устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством линейных операторов n-мерного линейного пространства и множеством матриц (это соответствие зависит от выбора базиса).
Нулевому оператору в любом базисе соответствует нулевая матрица, единичному оператору – единичная матрица.
Если X – вектор-столбец (координат) вектора x, Y – вектор-столбец вектора y=Ax в базисе , – матрица линейного оператора в том же базисе, то справедлива формула
Y=AX.
Пример 4. Установить, является ли заданное отображение линейным оператором:
а) ;
б) .
Выписать матрицы линейных операторов в каноническом базисе.
Решение. а) Пусть . Тогда
и
.
Следовательно, отображение является линейным оператором. Найдем матрицу этого оператора в каноническом базисе
Имеем Таким образом, матрицей оператора A является
б) Покажем, что данное отображение А не является линейным оператором. Рассмотрим вектор . Имеем . Далее , .
Следовательно, отображение не является линейным оператором.
Пример 5. Линейный оператор А в базисе задан матрицей
Найти образ вектора
Решение. Имеем
Таким образом,
Линейный оператор в различных базисах задается различными матрицами.
Теорема 8. Пусть – линейный оператор, которому в базисе соответствует матрица A, и пусть B – матрица того же оператора A в базисе . Если C – матрица перехода от базиса к базису , то справедливо равенство
Матрицы, связанные таким равенством, называются подобными.
Пример 6. Линейный оператор представлен в базисе трехмерного пространства V матрицей
Найти матрицу оператора A в базисе , если
Решение. Матрица перехода от базиса к базису имеет вид
Найдем обратную ей матрицу. Имеем: det C= –36 + 2 – 6 – 3 = –43,
Матрица B оператора A в базисе равна
На множестве линейных операторов в линейном пространстве V вводятся операции умножения на число, сложения операторов и умножения операторов. Произведением линейного оператора A: V V на число называется отображение, обозначаемое A, которое определяется по правилу (A)x = (Ax). Сумма операторов A и B (обозначается A+B) определяется по правилу: (A+B)x = Ax + Bx. Произведение операторов A и B определяется по правилу: (AB)x = A(Bx).
Доказывается, что если A и B – линейные операторы в линейном пространстве V, то отображения A, A+B, AB также являются линейными операторами. Более того, если линейным операторам A и B в базисе отвечают матрицы A и B соответственно, то в том же базисе: а) оператору A отвечает матрица A; б) оператору A+B отвечает матрица A+B; в) оператору AB отвечает матрица AB.
Обратным линейному оператору A: VV называется отображение, обозначаемое , такое что , где I – тождественное отображение. Не всякий линейный оператор имеет обратный ему. Однако, если линейный оператор A имеет обратный , говорят оператор A обратим, в этом случае также является линейным оператором.
Теорема 9. Линейный оператор A обратим в том и только том случае, если матрица этого оператора в некотором базисе является невырожденной (на самом деле она будет невырожденной в любом базисе).
Если обратимому линейному оператору A в некотором базисе соответствует матрица A, то оператору в том же базисе соответствует матрица . Справедливы равенства:
Ядром линейного оператора A: VV называется множество . Образом линейного оператора A называется множество .
Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейного пространства V.
Теорема 10. Линейный оператор A: VV в конечномерном линейном пространстве обратим в том и только в том случае, если его ядро состоит лишь из нулевого вектора: .
Теорема 11. Если A: VV – линейный оператор в n-мерном линейном пространстве, .
Теорема 12. Пусть A: VV – линейный оператор в n-мерном линейном пространстве, представленный в некотором базисе матрицей A. Тогда dim (dom A) = rang A.
В качестве базиса dom A можно взять систему векторов, представленных вектор-столбцами базисного минора матрицы A.
Пример 7. Найти образ и ядро линейного оператора , заданного в каноническом базисе матрицей
.
Решение. Ядро оператора составляет множество решений матричного уравнения AX=0,
или
;
Эта система равносильна системе
Общее решение системы имеет вид
Таким образом, .
Найдем образ оператора A.
Так как Это означает, что rangA=2. Нетрудно видеть, что первые два столбца матрицы A образуют линейно-независимую систему; значит, векторы образуют базис в dom A. Таким образом,
.
Пример 8. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений однородной СЛАУ
Решение. Запишем матрицу коэффициентов СЛАУ и найдем ее ранг методом элементарных преобразований
~
~~
Так как максимальный порядок минора, отличного от нуля, равен 2, то При этом значит однородная СЛАУ имеет бесчисленное множество ненулевых решений. Данную СЛАУ можно записать в виде Это означает, что множество ненулевых решений системы совпадает с ядром линейного оператора с размерностью Итак, это линейное подпространство с размерностью 3. Следовательно, имеется 3 линейно- независимых решения, которые образуют фундаментальную систему решений (ФСР) однородной СЛАУ.
Выберем в качестве базисного минора тогда базисные, а свободные неизвестные.
Решим укороченную систему относительно базисных неизвестных
Откуда находим
Базисные решения получим, если свободным неизвестным будем придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.
|
x3 |
x4 |
x5 |
x1 |
x2 |
|
1 |
0 |
0 |
–1/3 |
4/3 |
|
0 |
1 |
0 |
–10/3 |
16/3 |
|
0 |
0 |
1 |
–16/3 |
25/3 |
Запишем базис линейного пространства решений однородной СЛАУ (ФСР)
Размерность линейного пространства решений однородной СЛАУ равна 3.
Базис:
5. Собственные векторы и собственные значения
Пусть A: VV линейный оператор. Число называется собственным значением оператора A, если существует ненулевой вектор xV, такой что Ax =x; при этом вектор x называется собственным вектором оператора A, соответствующим собственному значению .
Поскольку существует взаимно-однозначное соответствие между множеством линейных операторов n-мерного пространства и множеством квадратных матриц n-го порядка, то можно доказать, что собственные векторы и собственные значения оператора будут собственными векторами и собственными значениями соответствующей ему матрицы.
Теорема 13. Множество собственных векторов линейного оператора, отвечающих одному и тому же собственному значению, образует линейное подпространство (конечно же, после присоединения к нему нулевого вектора).
Теорема 14. Пусть линейный оператор A: VV в n-мерном линейном пространстве имеет n собственных векторов , образующих линейно независимую систему. Тогда оператор A в базисе представлен диагональной матрицей
,
где – собственные значения оператора A, отвечающие собственным векторам .
Пусть – матрица линейного оператора A: VV в базисе . Задача нахождения собственных векторов и собственных значений сводится к следующей: найти числа , при которых однородная система
(4)
имеет хотя бы одно ненулевое решение. Ненулевое решение этой системы является вектор-столбцом координат собственного вектора x , соответствующего собственному значению .
Известно, что однородная система линейных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение в том и только в том случае, когда определитель матрицы системы равен нулю. Поэтому собственные значения линейного оператора (или матрицы) A являются решением алгебраического уравнения n-й степени
, (5)
называемого характеристическим уравнением оператора A. После решения уравнения (5) корни подставляются в систему (4) для нахождения соответствующих собственных векторов.
Пример 9. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в базисе матрицей
a); б).
Решение. а) Для нахождения собственных значений решим характеристическое уравнение
=1, =2, =3 – собственные значения оператора A (матрицы А).
Найдем соответствующие им собственные векторы.
=1. Этому собственному вектору соответствует система
Ранг этой системы равен 2. Положим 3=1.
Тогда – вектор-столбец координат собственного вектора , соответствующего собственному значению =1 (в дальнейшем будем просто говорить, что является собственным вектором оператора A). Множество всех векторов, отвечающих собственному значению =1, имеет вид
где C – произвольное число, отличное от нуля.
=2. Это собственное значение приводит к системе
Ранг этой системы равен 2. Объявим 3 свободным неизвестным и положим 3=1. Тогда – собственный вектор матрицы A. Множество всех векторов, соответствующих собственному значению =2, имеет вид
где C – произвольное число, отличное от нуля.
=3. Получаем систему уравнений
Ранг системы равен 2. Положим 3=5. Тогда – собственный вектор, соответствующий собственному значению =3. Множество всех собственных векторов, отвечающих этому собственному значению, описывается равенством
где C0.
б) Найдем собственное значение матрицы:
Оператор A имеет два собственных значения: =1 и =2.
Собственному значению =1 отмечает система уравнений
Неизвестное 3 объявим свободным и положим 3=1. Тогда 2=1 , 1=1 и – вектор-столбец координат собственного вектора , соответствующего собственному значению =1. Множество всех векторов, отвечающих собственному значению =1, имеет вид
где C – произвольное число, отличное от нуля.
Собственное значение =2 приводит к системе
Эта система равносильна уравнению . Неизвестные 2 и 3 объявим свободными.
Положим 2=1 и 3= 0, тогда 1=1. Вектор является собственным (точнее, вектор-столбцом координат собственного вектора), соответствующим собственному значению =2.
Положим 2=0 и 3=1, тогда 1= –3/2. Вектор – другой собственный вектор, соответствующий собственному значению =2. Векторы и линейно независимы. Множество всех собственных векторов, отвечающих собственному значению =2, имеет вид
где – произвольные числа, такие что .
Линейный оператор A: в евклидовом пространстве называется самосопряженным, если (Ax,y)=(x,Ay) для любых x,y.
Пример 10.
Привести матрицу к диагональному виду.
Решение. В примере 9 были найдены собственные числа , , и отвечающие им собственные векторы
, , матрицы .
Так как собственные векторы матрицы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы, то векторы , , образуют базис в .
Воспользуемся теоремой 8. Пусть – линейный оператор, которому в базисе отвечает матрица A и пусть B – матрица того же оператора в базисе, состоящем из собственных векторов оператора A , , . Тогда матрица диагональна и , где С – матрица перехода из базиса в базис .
Столбцы матрицы С есть координаты разложения нового базиса по старому.
Следовательно, .
.
.
Теорема 15. Если – ортонормированный базис в евклидовом пространстве E и A: – самосопряженный оператор, то матрица оператора A в базисе является симметричной: .
Теорема 16. Все собственные значения самосопряженного оператора являются вещественными числами.
Теорема 17. Если A: – самосопряженный оператор в евклидовом пространстве, то существует ортонормированный базис в E, состоящий из собственных векторов оператора A.
6. Квадратичные формы
Пусть E – евклидово пространство. Функция двух переменных A(x,y), ставящая в соответствие каждой паре векторов x,y число A(x,y), называется билинейной формой, если она удовлетворяет следующим условиям:
A(x1+x2,y)=A(x1,y)+A(x2,y);
A(x,y1+y2)=A(x,y1)+A(x,y2);
A(x,y)=A(x,y);
A(x, y)=A(x,y).
Билинейная форма A(x,y) называется симметрической, если A(x,y)= =A(y,x) для любых x,y.
Пусть A(x,y) – симметрическая билинейная форма в n-мерном евклидовом пространстве . Функция A(x,x) называется квадратичной формой. Если – базис в , то квадратичная форма A(x, x) в этом базисе имеет вид
,
где ; n называется порядком квадратичной формы. Матрица называется матрицей квадратичной формы в базисе . Матрица квадратичной формы является симметрической. Матрица квадратичной формы зависит от выбора базиса. Если в некотором базисе квадратичная форма имеет вид
,
то говорят, что квадратичная форма в этом базисе имеет канонический вид.
Теорема 19. Для любой квадратичной формы существует базис, в котором эта форма имеет канонический вид.
Этой теореме можно придать другую формулировку: любую квадратичную форму можно линейным обратимым преобразованием координат привести к каноническому виду.
Теорема 20. Пусть квадратичная форма задана в и – матрица формы в каноническом базисе. Существует ортонормированный базис в , состоящий из собственных векторов матрицы A, в котором квадратичная матрица имеет канонический вид.
Если U – матрица n-го порядка, столбцы которой составлены из координат собственных векторов матрицы квадратичной формы, образующих ортонормированный базис, то линейное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, имеет вид
. (6)
Такая матрица U называется ортогональной, а преобразование (6) –ортогональным преобразованием.
Пример 10. Привести квадратичную форму
в пространстве к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид
.
Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы A.
374