Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
41 Моделирование демографических процессов. Логистическая кривая.
В середине 19 века было получено уравнение Ферхюльста Перла (логистическая кривая). Исследование разных систем показали универсальность логистической функции, которая описывает не только динамику популяции при ограниченных ресурсах и динамику народонаселения, но и развитие некоторых экономических процессов: динамику спроса, изменяющегося в связи с изменением доходов, распространение инфляции и т. д.
Исследуем динамику некоторой популяции
N’=kN (1) N(t=0)=N0
Это означает, что темп прироста численности популяции постоянен.
k=N’/N=
k=
k,α,β –коэффициенты естественного прироста, рождаемости и смертности
рис 1 – график динамического процесса с постоянными темпами роста
практически все модели, описывающие реальные процессы – нелинейны, поэтому вместо уравения (1) рассмотрим
= F(N), где F(N) – нелинейная функция. N – численность народонаселения.
Уравнение Ферхюльста Перла учитывает эффект «самоотравления популяции»
Причиной такого явления может быть конкурентная борьба.
F(N)= aN-b=bN( - N) (2)
Если N=, о=то то первая производная равна 0, из чего можно сказать, что решение устойчиво.
Скорость измениения популяции
Найдем точное анаитическое решение уравнения (2)
=
– максимальная численность народонаселения
х= x0=
и тогда уравнение (2) примет вид:
x’(t)= ax(1-x) (2’)
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и имеет вид:
x’(t)= ax(1-x)
x(0)= x0=
решаем его и получаем:
x(t)=
При t → бесконечности , x(t)=1
Модель (2) позволяет определить область определимости (1) при малых t и малой начальной численности популяции, внутривидовой конкуренцией можно пренебречь, вследствие чего при малых t можно принять гипотезу, приводящую к экспоненциальному росту.
влияние ограниченности ресурсов на рост популяции
42 Моделирование социально-экономических процессов. Уравнение Ферхюльста-
Перла. Модель Золотаса.
Греческий экономист Золотаст исходит из гипотезы, согласно которой, производство большего числа товаров не обязательно ведет к лучшей жизни.
Он рассматривает 2 фактора, которые действуют с большей или меньшей относительной интенсивностью в зависимости от уже достигнутого уровня общественного состояния. Одни факторы являются стимулирующими, другие сдерживающими. Если обозначить уровень общественного состояния через Y, та через А – критическую точку, то сдерживающим фактором будет А-Y, а стимулирующим фактором – k*Y (k>0). При таком подходе динамика уравнения общественного состояния определяется уравнением, где х – доход на душу населения
(1)
х=x(t)
модель Золотаста (1) представляет с формальной точки зрения знакомое нам уравнение Ферхюльста.
А его решением является зависимость:
Y(x)= (2)
Исследуя уравнение (1) Золотаст выделяет три стадии развития общества.
Рост общественного благосостояния в модели золотаста:
1 – общество «нужды»
2- общество « постоянных улучшений»
3- общество снижающихся темпов роста общественного состояния
На современном этапе экономического развития индустриальных стран сдерживающий фактор жействует сильнее, в результате чего увеличивается время необходимое обществу, чтобы подняться от достигнутого уже очень высокого до максимально возможного.
Достижение критической точки – форма распределения дохода и богатства, степень загрязнения окружающей среды, степень и скорость использования природных ресурсов и т.д.
Если проследить Y(t), x(t) на промежутке всей истории развития общества, то с помощью специальных экономических методов можно определить показатель A,B,C (уравнение 2). Тогда можно исследовать этапы и определить ту ступень, на которой оно находится в данный момент и дистанцию, отделяющую от критической точки А.