Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
6. Прямая в прве. Взаим распол-е 2х прямых, прямой и пл-ти. Различ способы задания прямой
1. ] d – какая-либо прямая в пр-ве, тM0 – некот т этой прямой, вектор –в-р, ||-й прямой d (направляющий вектор прямой d) (рис. 1). Тогда M€d когда в-ры и колл: (1).
Т.о., чтобы задать прямую, дост задать 1 т-ку и направл в-р .
Ф-ла (1) устан-ет взаим одн соот-е м/у т-ми прямой d и знач-ми параметра . Пар-р яв-ся коорд т M€d в системе координат на прямой d.
Возьмем какую-либо афф сист коорд в пр-ве, и ] отн-но ее точки M0 и M имеют коорд: , . В-р разложим по в-рам базиса : . Сравнивая одноименные коорд в-в в ф-ле (1), получим:
Обратно, (2) (1). Т.о, Ур-я(2) опр-ют прямую d в простр. Они назыв параметрическими ур прямой.
2. Если , то, исключая из уравнений (2), получим:
Если одна из коорд направл в-ра прямой d =0, напр , то .
В этом случае прямая d|| (XOY). Дейст-но, ] , тогда . Так как , то (рис. 2).
Ур (3), (3’), (3”) назыв каноническими уравнениями прямой.
3. Прямая будет опр-на, если задать две ее различ т-и M0 и M1. В-р служит направл в-ром этой прямой. Если т-и M0 и M1 имеют коорд: , то и ур-е прямой d м/о записать в виде (2):
4. Прямая d м/б задана как линия X-я 2х пл-тей Π1 и Π2. Пусть в афф сист коорд пл-ти Π1 и Π2 опр-ся Ур-ми: (4) и ранг=2 (усл-е X-ия пл Π1 и Π2). Сист Ур-й (4) опред-т прямую . Коорд x, y, z т-ки яв-ся реш сист Ур-й (4).
Если x0, y0, z0 – какое-либо реш сист(4), то эта сист равносильна сист Ур-й (4’). Общ реш сист (4’) имеет вид: Отсюда (5)
Ур(5) яв-ся парам Ур-ми прямой . Напр в-р p прямой d имеет коорд: (опред-е с точн до общ множителя). В ПДСК, где , - в-ы нормалей пл-ей Π1 и Π2 соот (рис. 3).
Угол между двумя прямыми
Угол м/у прямыми d и d’ в пр-ве опред-ся как угол м/у прямыми, ||-и данным и проход ч/з одну тку. Его величина м/б найдена как величина угла м/у направл в-ми данных прямых по ф-ле: . Отсюда =>, что .
Взаимное расположение двух прямых
Пусть имеем две прямые и , кажд из кот задана т-ой и направл в-м с коорд ,
отн-но аффинной системы координат (рис. 4). Очевидно, что прямые и лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т.е. , или в координатной форме . Отсюда следует, что прямые и скрещиваются когда .
Пусть прямые и лежат в одной плоскости . Тогда эти прямые либо пересекаются, либо параллельны:
Если при этом ≠, то неколлинеарны ранг =2. Если =, то - коллинеарны ранг =1.
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой и неперпендикулярной к ней плоскостью называется острый угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость .
Пусть уравнения (1) и (2) определяют прямую и неперпендикулярную к ней плоскость относительно прямоугольной системы координат . Обозначим через острый угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость ; , где - направляющий вектор прямой , - вектор нормали плоскости (рис. 5).
Если угол острый,
то =.
Если угол тупой, то =.
Т.о., . Поэтому .
Нахождение точки пресечения прямой и плоскости
Пусть имеем прямую , заданную уравнениями и плоскость , заданную уравнением относительно аффинной системы координат . Будем искать общие точки прямой и плоскости . Для этого нужно решить систему уравнений (1), (2). Заменяя в уравнении (2) по формулам (1), получим:
(3).
Здесь возможны следующие случаи:
1) система уравнений (1), (2) имеет единственное решениекогда уравнение (3) имеет единственное решение когда (4).следовательно, условие (4) является необходимым и достаточным условием пересечения прямой и плоскости .
В прямоугольной системе координат оно имеет простой геометрический смысл: скалярное произведение направляющего вектора прямой d и вектора нормали плоскости П отлично от нуля векторы не ортогональны.
В частности, прямая d перпендикулярна плоскости П когда векторы коллинеарны, т.е. когда ранг = 1;
2) система уравнений (1), (2) не имеет решений, когда уравнение (3) не имеет решений, т.е. когда
Условия (5) являются необходимыми и достаточными условиями того, что dØ.
В прямоугольной системе координат они означают, что
3) система уравнений (1), (2) имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда уравнение (3) удовлетворяется любым значением t, т.е. когда
(6)
Следовательно, условия (6) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы прямая d принадлежала плоскости П.
В прямоугольной системе координат они означают, что
Из соотношений (5), (6) заключаем, что .