2011 р Методичні рекомендації для самостійного вивчення тем з дисципліни ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Міністерство освіти і науки України

Бердичівський коледж промисловості, економіки та права

Затверджено

Методичною радою коледжу

Голова методичної ради

_______________В.В. Радчук

28.01.2011 р.

Методичні рекомендації

для самостійного вивчення тем з дисципліни

„ ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА ”

для студентів всіх спеціальностей

Автор-укладач Андрійчук І.І.

Розглянуто та схвалено

на засіданні циклової комісії

професійно орієнтованих  дисциплін

Протокол № 5    від 28 .01.2011   р.

Голова комісії

____________ В.М. Б Е Й

2010

Перелік тем, що виносяться на самостійне опрацювання студентів

1.  Вступ
2.  Плоска система збіжних сил
3.  Пара сил
4.  Плоска система довільно розташованих сил.
5.  Тертя.
6.  Просторова система сил.
7.  Центр тяжіння.
8.  Основні поняття кінематики.
9.  Кінематика точки.
10.  Прості рухи твердого тіла.
11.  Основні поняття динаміки.
12.  Сила інерції.
13.  Робота та потужність.
14.  Основні теореми динаміки.
15.  Основні положення опору матеріалів.
16.  Розтяг та стиск.
17.  Практичні розрахунки на зріз і зминання.
18.  Геометричні характеристики плоских перерізів.
19.  Кручення.
20.  Згтн.
21.  Гіпотези міцності і їх застосування.
22.  Стійкість стиснентх стержнів.
23.  Розрахунки на витривалість.
24.  Дедалі машин. З´єднання деталей машин.
25.  Нероз´ємні з´єднання.
26.  . З´єднання з натягом.
27.  Нарізні . з´єднання.
28.  Фрикційні передачі
29.  Ланцюгові передачі
30.  Зубчасті передачі

           ТЕМА : Вступ

План

1. Зміст предмету та його роль в техніці

2. Механічний рух

3. Рівновага

4. Розділи предмету

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [1] §§ 1-3 ;  [11]  §§  передмова

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

Студенти повинні знати:  що вивчає дисципліна «Технічна механіка», розділи дисципліни. Визначення механічного руху, а також, що собою представляє рівновага тіл.

Студенти повинні вміти: Визначати стан рівноваги тіл..

ПРЕДМЕТ ТЕХНІЧНОЇ  МЕХАНІКИ

-   Механіка - одна з найстародавніших наук природознавства, яке, як відомо, вивчає різноманітні властивості матерії та її різні форми, матерія - це об'єктивна реальність, яка існує незалежно від нас, тобто це навколишній світ, усі  існуючі в ньому тіла, об’єкти Я системи /земля, сонце, вода, повітря, атоми» молекули, механізми, машини., споруди тощо/. Вона охоплює не тільки те, що спостерігаємо, але й все те, що об'єктивно існує й може бути пізнано у майбутньому завдяки удосконаленню засобів спостереження те експериментів.

Матерія немислиме без руху. Рyx - це спосіб існування матерії,  і він бував дише там, де є взаємодія між окремими видами матерії. Немає і не може бути матерії без руху і руху без матерії. Отже, світ - рухома матерія, рух якої відбувається у просторі і в часі.

Види руху матерії дуже різноманітні. Взагалі під рухом матерії розуміють не тільки переміщення тіл у просторі, але й будь-які зміни, що відбуваються під нас теплових, хімічних, електромагнітних, внутрішньоатомних та інших процесів. Механіка обмежується вивченням лише механічної форми руху матерії.

Механічний рух- це найпростіша форма руху матерії, яка зводиться до простих переміщень у часі фізичних тіл з одного положення у просторі в інше.

Вивчення складніших форм руху матерії пов’язане із загальними законами механіки. Звичайно, не можна різноманітні явища природи звести тільки до механічного руху і пояснювати їх на основі положень одної механіки. Проте механічний рух завжди супроводжує інші форми руху матерії і, очевидно, Його необхідно вивчати раніше за всі інші.

У зв’язку з бурхливим розвитком науки і техніки неможливо в од» ній дисципліні зосередити вивчення всіх питань, пов’язаних з механічним рухом різноманітних матеріальних тіл. Сучасна механіка - це цілий комплекс /система/ загальних і спеціальних технічних дисциплін, присвячених розрахунку і проектуванню різних споруд, механізмів, машин, приладів і систем. Система наук про найпростіші форми руху матерії складав загальну механіку.

Вивчаючи найпростіші форми руху фізичних тіл, механіка спирається лише на такі елементарні фізичні властивості речовин, як протяжність /геометрична форма матеріального тіла/ і речовинність /маса речовини та її розподіл у даному геометричному об’ємі /.Матеріальні тіла, про які йдеться в цих дисциплінах, досить різні, але їхні рухи мають багато спільних властивостей, що не залежать від фізичних властивостей самих тіл. Ці загальні властивості механічного руху матеріальних тіл і вивчаються в теоретичній механіці.

Теоретична механіка - це наука про загальні закони механічного руху та механічну взаємодію матеріальних тіл.

Теоретична механіка - наукова основа ряду сучасних технічних дисциплін. Опір матеріалів, теорія механізмів і машин, деталі машин, будівельна механіка, гідравліка, аеромеханіка, ракетодинаміка та інші технічні дисципліни користуються основними положеннями та законами механіки. На основі теоретичної механіки розв'язується багато задач техніки. Цю дисципліну можна назвати основою, фундаментом сучасної техніки. Законами механіки користуються при розрахунках фундаментів будов, проектуванні та будівництві гідротехнічних споруд, створенні верстатів, різних машин і приладів. З допомогою розрахунків, які ґрунтуються на законах теоретичної механіки й аеродинаміки, в конструкторських бюро авіаційних заводів винаходять геометричні форми нових літаків і визначають їх льотні характеристики. Закони механіки дозволяють розраховувати траєкторії, швидкості й .дальність польоту артилерійських снарядів, ракет, безпілотних літаків, орбіти супутників Землі та космічних кораблів. Успіхи в завойовуванні космосу неможливі без знання механіки.

В основі теоретичної механіки лежать закони І.Ньютона. Тому вона називається ще ньютонівською, або класичною, механікою, на відміну від інших напрямів у механіці.

Завдяки значним-успіхам фізики наприкінці XIX - не початку XX ст., а також новим важливим відкриттям у галузі електродинаміки, ядерної фізики виявилося, що використання класичної механіки має певні межі, її закони не можна застосовувати до руху мікрочастин, в також до руху тіл, швидкість яких близька до швидкості світла. Через це в XX ст. виникла так звана релятивістська механіка, що ґрунтується на теорії відносності А.Ейнштейна і присвячена вивченню руху тіл, швидкість яких близька до швидкості світла. Рух мікрочастин вивчає квантова, або хвильова, механіка. Виникнення цих дисциплін було новим важливим етапом у розвитку механіки.

Теоретичну механіку поділяють на три розділи: "Статика", "Кінематика", "Динаміка".

Статика займається головним чином еквівалентною заміною систем сил, як правило, простішою, і вивченням умов рівноваги тіл під Дією цих систем.

Кінематика вивчає механічний рух тіл з геометричної точки зору, тобто без урахування сил, що зумовлюють цей рух.

Динаміка вивчає механічний рух тіл з урахуванням сил, що діють на них.

Короткі історичні відомості про розвиток теоретичної механіки

Механіка - одна із перших наук про природу. її виникнення і розвиток буди тісно зв’язані з виробництвом, потребами людського суспільства; приготуванням їжі, виготовленням тканини й посуду, перекачуванням води, будівництвом тощо. % в стародавні часи при будові різних, часто грандіозних споруд /наприклад, єгипетських пірамід/, будівельники користувалися деякими знаннями з механіки, і для піднімання та переміщення великих вантажів використовували прості механічні пристрої чи машини /важіль, коловорот, блок, клин» похилу площину/.

Найдавнішою працею про механізми і машини, яка дійшла до нашого часу, є "Механічні проблеми" Аристотеля /288-322 до н.е./, де описується важіль» криничний журавель, кривошип, колесо, коток, поліспаст, гончарний верстат, центрифуги, зубчасті колеса та ваги. Аристотель вже знав закон додавання сил, що прикладені в одній точці і діють по одній прямій, розглядав задачу про рівновагу важеля.

Основоположником статики» як точної науки, слід вважати видатного давньогрецького вченого Архімеда /287-212 до н.е./, який у своїх працях узагальнив знання стародавніх учених про статику і заклав її наукові основи, широко використовував свої знання для конструювання різних машин і споруд* Йому належить багато різних технічних винаходів /гвинтовий насос, військові машини/. Він дав точний розв'язок задачі про рівновагу важеля і створив вчення про центр ваги, йому належить відкриття відомого закону, що носить його ім’я, про гідростатичний тиск на занурене в рідину тіло.

Після античного періоду в епоху середньовіччя механіка, як і інші науки, майже не розвивалася. Першим великим ученим епохи відродження був знаменитий італійський художник, фізик і інженер Леонардо Да Вінчі /І452-І5І9/. Він уперше експериментальним шляхом визначив коефіцієнт тертя ковзання, ввів поняття момент оди, створив багато нових механізмів, різні конструкції ткацьких верстатів, друкарських і деревообробних машин, волочильний верстат, верстат для насічки напилків, ряд простих вантажопідйомних машин і т. ін. Інший італійський вчений Галілео Галілей /1664-1642/ розробив основи сучасної механіки. Ним уперше були сформульовані основні кінематичні поняття /швидкість і прискорення/,  висунута  ідея про відносний рух,  Дано закони вільного падіння і коливання маятника.

Особливо слід відзначити праці великого англійського вченого Ісака Ньютона /1643-172'?/» який остаточно сформулював основні закони класичної механіки» встановив поняття маси Й сили,  дав систематизований виклад динаміки.  Його знаменита праця "Математичні начала на. турельної філософії" /1667/ стала фундаментом механіки.

У той же час, коли Ньютон розробляв динаміку, статика одержала свій подальший розвиток головним чином у працях його сучасника, французького вченого Варіньона /1654-1722/, який встановив остаточно поняття про момент сили відносно точки і довів теорему про момент рівнодіючої . У своїй роботі "Проект нової механіки" /І6Ь7/ Варіньон, користуючись цією теоремою, а також методами додавання і розкладання сил, дає строгу статичну теорію простих машин. У цій роботі статика твердого тіла дістала майже повне завершення.

Поштовхом для розвитку механіки в Росії була бурхлива діяльність Петра І і заснована ним Російська Академія наук, робота якої з перших днів існування була спрямована на розв'язок практичних завдань, пов'язаних з побудовою різних машин і споруд, розвитком вітчизняного кораблебудування, артилерії та іншої техніки. Належний внесок у розвиток практичної механіки зробив геніальний вчений-енциклопедист М.В.Ломоносов /1711-1766/, який вперше експериментально встановив закон збереження речовини і висловив ідею про закон збереження руху, розробив, конструкції машин для виробництва скла й випробування матеріалів.

На цей же час припадає плодотворна діяльність геніального математика і механіка Л.Ейлера /I707-I783/, автора 850 наукових праць, який розв’язав ряд задач з кінематики і динаміки твердого тіла, дослідив коливання і стійкість пружних тіл, займався питаннями теорії тертя гнучких ланок і зубчастого зачеплення, послідовно й наполегливо вводив у механіку аналітичні методи дослідження.

1743 р. французький вчений Д’Аламбер /І717-І783/ у своїй роботі "Трактат з динаміки" встановив дуже важливий принцип механіки, який носить його ім’я. Принцип Д’Аламбера дає загальні методи розв'язання задач динаміки з використанням методів статики.

Аналітичні методи в механіці здобули широке використання у працях іншого французького вченого Лагранжа /І736-І8ІЗ/, В його роботі

"Аналітична механіка" /І7ВЬ/ вся механіка викладена строго аналітично на підставі єдиного загального принципу - принципу можливих переміщень, сформульованого Іваном Бернуллі /І667-І748/.

Для XIX ст. характерний швидкий розвиток техніки:  впроваджуються в промисловість парові машини, будуються залізниці, розвивається військова промисловість. Есе це сприяло бурхливому розвитку класичної механіки. У цей період з'явилися праці С.Пуассона /І78І-І840/, У.Гамільтона /1805-1865/, К.Якобі /1804-1851/, К.Ф.Гауса /1777-1855/, И.В.Остроградського /І80І-І862/, М.С.Лі /1842-1869/.   їхніми працями завершилася математизація механіки систем матеріальних точок і абсолютно твердого тіла. Були вироблені специфічні для аналітичної механіки поняття, розроблені математичні методи розв’язання багатьох задач механіки.

У середині ХIХ ст. в Росії виросла плеяда талановитих вчених, які разом з іншими вченими Європи заклали основи класичної механіки.

До XIX ст. належить і діяльність засновника найбільшої школи математиків і механіків академіка Д.Л.Чебишева /І82І-І894/, роботи якого мали великий вплив на розвиток математики і механіки як в Росії, так і за кордоном. З численних праць П.Л.Чебишева слід відзначити праці з теорії механізмів.

Одним з найталановитіших учнів П.Л.Чебишева є російський математик А.М.Ляпунов /1857-1918/, який створив нові методи дослідження в теорії стійкості руху. Ряд видатних відкриттів у різних розділах механіки зробив професор Московського університету М.Є.Жуковський /І847-І92І/ - основоположник сучасної теоретичної та експериментальної аеродинаміки.

Ідеї М.Є.Жуковського з аеродинаміки набули подальшого розвитку у працях академіка С.О.Чаплигіна /1869-1942/,. який заклав основи аеродинаміки великих [швидкостей /газової динаміки/.

Наприкінці XIX - на початку XX ст. почалось інтенсивне розроблення нового розділу теоретичної механіки - динаміки тіл змінної маси. Основні результати в цьому напрямку одержали російські вчені професор Ленінградського політехнічного інституту 1.В.Мещерський /І859-І935/ і основоположник ракето динаміки й астронавтики К.Е.Ціолковський /1857-1935/.

Характерною рисою діяльності багатьох видатних учених є тісний зв’язок теорії з практикою. Відомий вітчизняний, учений О.М.Крилов /1863-1945/, який зробив великий внесок у розробку теорії кораблебудування, говорив, що теорія без практики мертва або безплідна, практика без теорії неможлива або згубна. Ідеї і традиції передових російських вчених продовжують розвивати численні наукові школи, створені у нашій країні.

У наш час перед вітчизняною» наукою й технікою стоять важливі завдання щодо прискорення науково-технічного прогресу і подальшого розвитку й перебудови народного господарства. У числі цих завдань такі актуальні проблеми, як автоматизація виробничих процесів і їхня оптимізація, створення і впровадження промислових роботів і маніпуляторові ефективне використання конструкційних матеріалів тощо. Дня розв'язання цих завдань важливе значення має підвищення якості підготовки інженерно-технічних кадрів, розширення теоретичної бази їх знань» зокрема знань у галузі однієї з фундаментальних загальнонаукових дисциплін - теоретичної механіки.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Розповісти  короткі відомості із історії розвитку науки.
2.  Розділи дисципліни. Дата їм коротку характеристику.
3.  Що таке механічний рух ?
4.  Умова рівноваги.

ВИКЛАДАЧ_______________________

РОЗДІЛ  1 : Теоретична механіка. Статика

ТЕМА   1.2. Плоска система збіжних сил

ПЛАН

1.  Додавання двох сил, що перетинаються в одній точці. Визначення модуля і напрямку їх рівнодіючої.
2.   Розкладання сили на дві складові.
3.   Геометричний метод визначення рівнодіючої сили. Силовий багатокутник.
4.  Рівновага.   

Студенти повинні знати:  

Що називається силою, основні методи додавання сил, геометричну умову рівноваги системи збіжних сил.

Студент повинен вміти: розкладати силу на дві складові, будувати силовий багатокутник, визначати умову рівноваги системи збіжних сил.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [1] §§6-13;  [ 11]  §§ 1, 2

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Плоска система збіжних сил

Додавання двох сил,  які перетинаються в одній точці.  Найпростішою плоскою системою збіжних сил є дві сили    і /рис.  2.3,а/, які прикладемо в одній точці О.

Рис.  2.3

Геометричну суму двох збіжних сил – рівнодіючу  - знаходять згідно з четвертою аксіомою статики за правилом паралелограма /рис.  2.З,а/ чи правилом трикутника /рис.  2.3,в/. Якщо сили     і    рівні між собою, то паралелограм  ОАВС вироджується в ромб /рис.  2.3,б/.                                                                                 

При графічному методі визначення рівнодіючої вектори сил   і    відкладають в одному масштабі,  кути ,  і /рис.  2.3,а/ залишаються незмінними,  вони не залежать від масштабу побудови сил. Під масштабом сил    розуміють відношення модуля сили   довжини відрізка   li який зображує цю силу на рисунку, тобто

=/l(2.1)

Масштаб  показує число одиниць сили в ньютонах /Н/ або кілоньютонах /кН/ в одиниці довжини відрізка /мм/, тому його одиниця є ньютон на міліметр     /Н/мм/,  кілоньютон на міліметр /кН/мм/ і т. рі.

Користуючись залежністю /2.1/, можна визначити. Довжину відрізка  що зображує силу    на рисунку у заданому масштабі )

При графоаналітичному методі визначення рівнодіючої користуються формулою косинусів:

Якщо врахувати, що    тому модуль /величина/ рівнодіючої двох збіжних сил.

Перед коренем залежності /2.2/ беремо знак «+», бо модуль вектор завжди є число додатне.

Напрям дії рівнодіючої визначається кутом    або   Дня обілення цих кутів можна скористатися теоремою синусів, згідно з якою с. 2.3,а,в/

Де     

Тоді

;    

Залежно від взаємного напряму сил і  тобто від значень a d, мелена виділити три характерні окремі випадки.

І. Дві сили і   взаємно перпендикулярні / = 90°/, тоді  і модуль рівнодіючої сили

тобто рівнодіюча рівн сил є діагоналлю прямокутника  зі сторонами і  /рис.  2.4,а/, або_гіпотенузою прямокутного трикутника,  катетами якого є ці самі силиі   /рис.  2.4,6/.

2.  Дві сили  і   напрямлені по одній прямій в один бік /рис.  2.4,в/,  тоді кут  = 0,    C0S= І  і модуль рівнодіючої

       /2.5/

при цьому, як видно з формул /2.3Д кути

Таким чином, якщо дві сили і   напрямлені по одній прямій в один бік, то їх рівнодіюча діє у той самий бік, а її модуль дорівнює сумі модулів складову, сил.

 Дві сили і   напрямлені по одній прямій у протилежні боки ,, тоді, якщо>       /рис.  2.4,г/, рівнодіюча сила

якщо   F1>F2

                                       /2.7/

Отже, рівнодіюча двох сил, що напрямлені по одній прямій у прорівнова боки, діє в бік більшої сили і її модуль дорівнює різниці моду лей складових сил.

Із залежностей /2.6/ і /2.7/ легко побачити, що при  F1 =-F2  рівнодіюча сила   , тобто система таких сил буде зрівноваженою /рис.  2.4,е/. Умовою рівноваги системи сил, що діють по одній прямій,  є     /рівнодіюча всіх сил дорівнює нулю/.

Розкладання сили на дві складові. Правило силового паралелограр можна використати при розкладанні сили на дві складові, рівнодіюча яких повинна дорівнювати заданій силі. Зрозуміло, що коли можна дві збіжні сили   і    /рис.  2.3/ замінити однією силою    ./ріврівнова/, то,  дію однієї сили F завжди можна замінити дією двох сил р.  і        які перетинаються на лінії  дії заданої сили. При цьому необхідно, щоб сила F за модулем і напрямом була діагоналлю паралелограма, сторонами якого служать сили і     /рис.  2.5/.

Геометричний метод, визначення рівнодіючої сили метод силового многокутника/. Розглянемо загальний випадок плоскої системи збіжних сил, приклад якого показано на рис. 2.6,а.  Для додавання сил   F1,F2,F3,F4   можна використати метод силового трикутника. Додаючи на підставі цього методу дві  сили і      /рис.  2.6,6/, одержимо їх рівнодіючу, яку позначимо      що відповідає векторному рівнянню /геометричній сумі/

Потім знаходило геометричну суму  .   Двох інших векторів

     і  F3                    

і, зрештою, знаходимо геометричну суму векторів сил  . І F4

Підставляючи у рівняння /2.10/ залежності /2.В/ і /2.9/,  дістанемо

У загальному вигляді залежність /2.II/ записується

Таким чином,  рівнодіюча плоскої системи збіжних сил дорівнює їх векторній /геометричній/ сумі.

Аналізуючи рис.2.6,б, можна побачити, що для знаходження рівнодіючої  F необов’язково визнавати проміжні складові      і .   І т.д.,  достатньо від кінця вектора F1  відкласти вектор  F1 /рис.  2.6,_в/, від кінця_ вектора F2    - вектор F 3  і т.д.  Тоді рівнодіюча   визначатиметься відрізком, який з’єднує початок першої сили  F1 кінцем останньої сили   Fn , і матиме напрям від початку першої сили до кінця останньої. Фігуру, яку ми одержали /рис.  2.6,в/, називають силовим многокутником, або планом сил. Силовий многокутник будується у масштабі.

Необхідно звернути увагу на те, що складові   F1,F 2, F3 ,F4 силового многокутника напрямлені в один бік обходу контура ABCDE а рівнодіюча    - у протилежний. Крім цього, неважко показати, що послідовність побудови сторін силового многокутника не впливає на

Рис. 2.6

Рис. 2.5

остаточний результат  тобто,  якщо повільно поміняти місцями    F1,F 2, F3 ,F4  сили , то величина  і напрям рівнодіючої не зміниться /від перестановки доданків сума не змінюється/.

Умова рівноваги системи збіжних сил. Як ми вже побачили, рівнодіюча замінює систему збіжних сил. Тому, визначивши рівнодіючу збіжних сил,  легко розв’язати задачу про зрівноваження цієї системи сил. Для цього необхідно додати до заданої системи сил F1,F2,F3,…Fn   ще одну силу, яка чисельно дорівнює рівнодіючій     , але напрямлена у протилежний бік /рис.  2.6,а/, тобто рівноважуючи силу  Fзр  . Силовий многокутник, який побудовано для системи сил, що знаходяться в рівновазі, буде замкнутим /рис.  2.7/. Векторна сума таких сил дорівнює нулю  тобто:

Інакше, для рівноваги плоскої системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб геометрична сума заданих сил /рівнодіюча/ дорівнювала нулю.

Геометрична умова рівноваги використовується при розв’язанні задач графічним методом.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Що називається силою ?
2.  Що таке масштаб побудови силового багатокутника ?
3.  В чому  сутність аксіоми статики про «діагональ паралелограма» ?
4.  Що називається силовим багатокутником ?
5.  Дати визначення  геометричної умови  рівноваги системи сил.

ВИКЛАДАЧ____________________

Розділ:Теоретична механіка. Статика

ТЕМА  1.3. Пара сил

ПЛАН

1. Обертальна дія сили на тіло

2. Момент сили відносно точки

3. Пара сил

4. Обертальна дія пари сил на тіло

5. Момент пари.

6. Знак моменту

Студенти повинні знати:  дати визначення парі сил, що таке момент пари  сил,а також момент сили.

Студент повинен вміти:визначати моменти пар та моменти сил відносно точок.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 1 ] §§ 14-16; 17 ;  [ 11]  §§ 3

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Систему двох паралельних сил, рівних за модулем і напрямлених у протилежні боки вздовж ліній, що не збігаються /рис. 3.1/, називають парою сил /або просто парою/.  Інакше, парою сил називають дві рівні антипаралельні сили. Поняття про пару сил ввів у механіку французький вчений Луї Пуасон /І777-І859/.

Пара сил (F; F′) не має рівнодіючої /див. рис. 3.1/, бо геометрична сума цих сил дорівнює нуль. У той же час її не можна віднести до зрівноваженої системи сил, бо сили F і  F′  діють не по одній прямій. Пара сил намагається надати тілу обертального руху. Наприклад, при нарізанні різьби ручним способом /риє. 3.2/ з боку рук на плашко тримач або вороток /для метчиків/ діє пара сил, яка повертає плашку або метчик.

Площину, в якій діє пара сил, називають площиною дії пари сил. Відстань L=AC між лініями дії сил, що утворюють пару /диВ. рис 3.1 /, називають плечем пари. Не можна зсуміщати плече пари сил   з відстанню між точками прикладання сил AB, що складають пару. Плече пари визначається довжиною перпендикуляра, проведеного  до  лінії дії однієї сили на лінію дії другої сили пари ′  Пряма, яка з’єднує точки прикладання сил пари, буде плечем пари лише в тому випадку, коли сили перпендикулярні до цієї прямої /рис..З.3/.                         .

У загальному випадку величину плеча L  можна виразити через відрізок AB/див. рис, 3,1/, використавши куток або    3 прямокутного трикутника ABC

L= AB або 

Пара сил, якщо на неї дивитися а якого-небудь одного боку, може повертати тіло або проти руху годинникової стрілки /рис. З.І, 3.2/, або за рухом годинникової стрілки /рис. 3.3/.

Рис. З.І

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Ефект дії пари залежить від величини сили F і довжини плеча L . Як показує досвід, чим більша сила F і більше плече L, тим більший обертальний ефект пари сил на тіло.

Обертальний ефект пари сил вимірюється добутком однієї з сил пари на плече. Цю алгебраїчну величину називають моментом пари сил і позначають буквою M

M=     ±FL.                               /3.2/

Домовимося вважати момент пари сил додатним /знак "+"/,  якщо пара намагається повернути тіло проти обертання годинникової стрілки; якщо ж пара намагається повернути його у напрямі обертання годинникової стрілки - від’ємним   /знак "-"/•

У Міжнародній системі одиниць /СT/ момент пар виражається в ньютоно*метрах /Н*м/ або кілоньютоно*метрах /кН*м/,  оскільки сила виражається в ньютонах /Н/ або кілоньютонах /кН/, а  довжина плеча - у метрах /м/.

Обертальна дія пари сил залежить не тільки від числового значення її моменту М   вона ще залежить і від положення площини цієї пари. Тому момент пари сил зручно розглядати як векторну величину

це    - радіус вектор /див. рис. 3.1/, який з’єднує точки прикладання СИЛ ( F  І  F)'

Вектор моменту пари сил перпендикулярний до площини пари /рис. 3.4/ і напрямлений в бік, з якого пара сил повертає цю площину    проти годинникової стрілки.

Напрям вектора момент пари сил можна знайти за правилом гвинта /шурупа/ з правою різьбою. Напрям руху гвинта при його загвинчуванні або відгвинчуванні показує напрям дії вектора моменту пари сил. Дійсно, якщо загвинчувати гвинт в тіло /гайку/, ми повинні повертати його за рухом годинникової стрілки, при цьому гвинт рухатиметься від нас;   і навпаки, якщо викручуватимемо гвинт, то його треба повертати проти руху годинникової стрілки.

 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.   Що називають парою сил?

2.   Чим   оцінюється обертовий ефект пари, сил?

3.   В яких одиницях вимірюється момент пари сил?

4.   Як визначають напрям вектора моменту пари сил?

ВИКЛАДАЧ____________________

Розділ:Теоретична механіка. Статика

ТЕМА  Плоска система довільно розташованих сил

ПЛАН

1. Три види рівнянь рівноваги

2. Рівняння рівноваги для плоскої системи паралельних сил

3. Балочні системи

4. Види опор балок

5. Визначення реакції опор балок статично визначених систем

Студенти повинні знати: умову рівноваги плоскої системи довільно розташованих сил, види опор балок, напрямки іх реакцій опори.

Студент повинен вміти:визначати реакції опори балок, складати рівняння рівноваги.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА[ 1 ] §§ 27-30;  [ 11]  §§4.4 – 4.9

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Рівняння рівноваги плоскої

системи довільно розташованих сил

Якщо розглянути рівновагу твердого тіла, що знаходиться в рівновазі під дією плоскої системи сил, то, очевидно, це тіло буде знаходитися в рівновазі лише у тому випадку, якщо головний вектор FΣ  системи сил і її головний момент Μ Σ будуть дорівнювати нулю.  

                      

При розв'язанні задач статики широко використовують аналітичні методи, які вимагають складання рівнянь рівноваги, умови рівноваги  можна виразити трьома формами рівнянь рівноваги.

Перша /основна/ форма рівнянь.      Із формул  для визначення головного вектора  і головного моменту плоскої системи сил випливає, що вони дорівнюватимуть нулю, якщо:

- тобто для рівноваги плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій усіх сил на кожну з двох координатних осей і алгебраїчна сума їх моментів відносно будь-якого центра, що лежить у площині дії сил, дорівнювали нулю.

;                           ;                         

Другу форму рівнянь рівноваги одержимо, якщо в системі  замість одного рівняння моментів складемо два рівняння моментів відносно будь-яких двох центрів, до яких додамо одне рівняння проекцій усіх званих сил на вісь, не перпендикулярну до прямої, що з’єднує ці центри, тобто де вісь X не перпендикулярна лінії АВ /рис. 4.II/.

Через те,  що система сил знаходиться в рівновазі,  головний момент цієї системи відносно будь-якої точки площини дорівнює нулю,  зокрема відносно точок А  і  В.  Для рівноваги плоскої системи сил одного рівняння моментів не достатньо, оскільки головний вектор може проходити, наприклад, через точку   Д, тоді момент відносно точки В дорівнює нулю, а відносно точки Д - не дорівнює нулю.

            ;                 

Третя форма рівнянь рівноваги наступна.  Для рівноваги довільно розташованих сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума моментів усіх сил відносно кожної із трьох довільних точок площини, які не лежать на одній прямій, дорівнювала нулю.

Треба зазначити, що в усіх випадках для системи довільно розташованих сил можна скласти тільки три незалежних рівняння рівноваги. Тому в задачах повинно бути не більше трьох невідомих.

Рис. 1

Рівняння рівноваги плоскої системи паралельних сил

Плоска система паралельних сил  є окремим випадком плоскої системи довільно розташованих сил, тому для неї залишаються дійсними три рівняння рівноваги, які будуть встановлені раніше.

Користуючись тим, що осі проекцій можна розмістити в площині дії сил як завгодно, проведемо вісь Y паралельно заданим силам, а вісь X  перпендикулярно до них /див. рис. 4.їй/

Проекція будь-якої сили на вісь   Х перпендикулярної до  сили, дорівнюватиме нулю, а тому перше з рівнянь перетвориться на тотожність U = 0 при яких завгодно значеннях сил і незалежно від того, знаходиться система паралельних сил в рівновазі

чи ні. При такому виборі осей проекцій для цієї системи сил рівність  втрачає зміст і відпадає.

Оскільки всі задані сили паралельні осі У   то проекція кожної сили на цю вісь дорівнює модулю цієї сили, взятої з відповідним знаком. Таким чином, рівняння рівноваги для плоскої системи паралельних сил набувають вигляду

                      ;

Для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб дорівнювали нулю сума проекцій всіх сил на вісь, паралельну силам, і алгебраїчна сума моментів цих сил відносно будь-якої точки, що лежить у площині дії сил.

Другу форму рівнянь рівноваги для плоскої системи паралельних сил можна одержати, якщо розмістити центри моментів $ і Ь на прямій, перпендикулярній до напряму сил /рис. 4.13/, д записати рівняння моментів усіх діючих сил відносно цих центрів, а саме:

;

Для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб дорівнювали нулю алгебраїчні суми моментів усіх сил відносно кожної з двох довільних точок, що

Рис. 2

Рис. 3

Балка на двох опорах з однією консоллю

Шарнірно-нерухома  /опор A /

Шарнірно-рухома /опора B/

Рівномірно розподілене навантаження

Зосереджений момент

Змішане навантаження

Жорстке закріплення, крім реакції  R  є реактивний момент, який перешкоджає повороту балки    навколо точки

4. Балка  із заправленім /закріпленим/ кінцем

L - довжина вильоту консолі

5. Багатопрогінна балка

Шарнірно-нерухома /опора А/

Шарнірно-рухома /опори В, С,  Д   /

Рівномірно розподілене  навантаження

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

ВИКЛАДАЧ_________________________

РОЗДІЛ:Теоретична механіка. Статика

ТЕМА 1.4.  Плоска система довільно розташованих сил

ПЛАН

1. Тертя.  Види

2. Тертя ковзання. Кут і конус тертя. Закони тертя. Коефіцієнт тертя

3. Тертя кочення

Студент повинен знати: Визначення сили тертя, закони тертя, поняття про коефіцієнт тертя руху та спокою.

Студент повинен вміти: визначати реакції опори з тертям,.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА[ 1 ] §§35-38;  [11] §§  6  

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

ТЕРТЯ

Під час руху одного тіла відносно іншого між поверхнями, що стикаються, виникає взаємодія, яке перешкоджає переміщенню цього тіла, а якщо воно знаходиться у стані спокою, - його відносному зміщенню. Це явище називають тертям, а сили опору - силами тертя. Отже, тертя - це опір, що виникає при переміщенні одного тіла відносно іншого. Поверхні, якими стикаються між собою тіла, називають тертьовими.

Виникнення тертя пояснюється двома основними причинами. По-перше, поверхні тертя не абсолютно гладкі, а мають нерівності, які при стиканні одна з одною створюють опір руху. По-друге, між тілами, що стикаються поверхнями, виникають сили молекулярної взаємодії, для подолання яких необхідно також прикласти силу. Як показують експериментальні дослідження, тертя - складний комплекс механічних, фізичних і хімічних явищ, причому ті чи інші явища переважають залежно від умов, аа яких відбувається процес тертя.

Тертя є одним з найпоширеніших явищ природи і відіграє дуже важливу роль у техніці. Цілий ряд задач механіки, деталей машин, спеціальних технічних дисциплін не можуть бути розв’язанні без знань законів тертя. На використанні сил тертя ґрунтується робота багатьох машин і механізмів /пасової та фрикційної передач, транспортних машин, прокатних станів, фрикційних муфт, гальм тощо/. Великі сили тертя виникають при обробці металів різанням. Тертя відіграє в машинах як корисну, так і шкідливу роль. З одного боку, завдяки тертю здійснюється рух тіл; з  другої  - тертя є причиною зносу  деталей машин  і приладів,  значних витрат енергії. Підраховано, що близько 33$ світових енергетичних ресурсів даремно витрачається на роботу, що пов’язана з тертям.

Відомо, що явища тертя першим досліджував Леонардо да Вінчі.  Детальні дослідження законів тертя почав французький механік і фізик Г.Амонтон /1663-1705/.  Потім протягом усього століття провадилися дослідження в цьому напрямку.  І78І р. Ш.Кулон опублікував роботу "Тертя простих машин з точки зору їх частин...",  в якій розвинув теорію тертя, сформулював основні закони тертя. Експериментальні дослідження тертя тривали й після Кулона. Проте треба зауважити, що ця складна наукова проблема  і до нашого часу повністю не розв’язана.  Тому на практиці все ще користуються наближеними емпіричними законами, які були одержані шонтоном і Кулоном.  Якщо треба мати розрахунки більшої точності,  доводиться експериментально визначати силу тертя для кожної пари тертьових поверхонь і конкретних умов тертя.

Власне кажучи,  вивчення всіх особливостей теорії тертя виходить за межі теоретичної механіки. Ми розглянемо тільки ті елементи цієї теорії, які необхідні, щоб точніше визначити вплив тертя на реальні сили, що діють на тіла,  встановити умови їх рівноваги, врахувати сили тертя при розв’язанні тих чи інших інженерних задач,  в яких неможна ними знехтувати.

Види тертя

Залежно від характеру відносного переміщення тіл, що стикаються, розрізняють два види тертя:  ковзання та кочення.  Інколи розглядають ще один вид тертя, так зване тертя вертіння. При терті ковзання одні й ті самі поверхні одного тіла стикаються з різними поверхнями іншого тіла. При терті кочення різні поверхні одного тіла послідовно стикаються з різними поверхнями іншого тіла.

Прикладами тертя ковзання можуть служити тертя лиж по снігу, пили по дереву, різця по металу, підошви взуття по землі, цапфи вала по втулці підшипника тощо. Тертя кочення має місце при перекочуванні коліс автомобіля по. землі або вагона по рейках, у шарикових або роликових підшипниках, фрикційних передачах тощо.

Для зменшення сил тертя використовують різні мастила. Залежно від їх наявності між тертьовими поверхнями розрізняють два основні види тертя: сухе /тертя без мастильних матеріалів/  і рідинне /тертя з мастильними матеріалами/. При сухому терті між тертьовими поверхнями тіл відсутнє будь-яке мастило. При рідинному терті тертьові поверхні тіл повністю відокремлені шаром мастила і тертя твердих частин тіла замінено тертям окремих шарів мастила. Мастило може бути твердим, рідким або газоподібним.

Крім цього,   інколи ще розрізняють проміжні види тертя:  граничне, напівсухе та напіврідинне.  При граничному терті на тертьових поверхнях є тонкі адсорбовані маслянисті плівки. Напівсухе та напіврідинне тертя не мають між собою різкої границі;  якщо перевершує сухе тертя /більша частина поверхні контакту тіл не покрита мастилом/,  то вважають, що тертя напівсухе,   і навпаки, якщо перевершує рідинне тертя, то маємо напіврідинне тертя.

Тертя ковзання

Щоб виявити основні закономірності тертя ковзання, можна зробити ряд дослідів на досить простому приваді /трибометрі/, який схематично зображений на рис 1. На пластину І, розташовану в заглибленні горизонтального стола, ставимо тіло 2 вагою  ,  Силу тиску тіла 2на пластину можна змінювати шляхом зміни його ваги /за допомогою установки гир/. Нормальна реакція пластини  , До тіла 2 прив'яжемо нитку і, перекинувши її через блок 3, підвісимо_ на її кінці чашку з гирями вагою ,   Щоб зменшити можливість перевертання тіла, нитку прив’яжемо ближче до його основи. Тіло 2 залишається у стані спокою доти,  доки модуль сили  не сягне деякого значення,  яке цілком визначене для даної пари тертьових поверхонь і даної сили тиску між ними. Це говорить про те, що на тіло 2, крім нормальної реакції     ,з боку пластини І діє ще інша реакція    ,яка за модулем дорівнює горизонтальній силі  і напрямлена в протилежний бік. Реакція, що лежить у дотичній площині,   і є сила тертя.

Максимальне-значення сила тертя    сягає у той момент,  коли тіло почне рухатися.

Із сказаного можна зробити такі висновки:

а/ сила тертя ковзання виникає тільки при наявності зсовуючої сили і

б/ модуль сили тертя ковзання при рівновазі тіла може набувати різних значень, які не перевершують максимальні, тобто . Цю найбільшу силу тертя називають статичною, або силою тертя спокою.

Силу тертя, яка перешкоджає ковзанню тіла під час його руху, називають силою тертя руху, або динамічною силою тертя. Як показують досліди, сила тертя руху менша від статичної сили тертя. З практики відомо, що легше підтримувати початий рух тіла, ніж зрушити тіло з місця.

На підставі численних дослідів Амонтоном і Кулоном встановлені такі /наближені/ закони.

1. Сила тертя за рівних інших умов не залежить від розмірів тертьових поверхонь.

Цей закон можна обґрунтувати з допомогою таких міркувань. Якщо, наприклад, площа тертьових поверхонь збільшується, то збільшується і кількість нерівностей, які зчіплюються, обох поверхонь, але зменшується тиск на одиницю площі, і сила опору руху залишається попередньою. Проте треба пам’ятати, що цей закон наближено справедливий лише до деяких значень тиску тіла на площину, поки тертьові поверхні не дуже малі.

2. Максимальне значення сили тертя спокою прямо пропорційне нормальному тиску /нормальнійреакції/ одного тіла на інше в момент початку їх відносного руху, тобто

    /6.1/

де   - коефіцієнт тертя спокою, який можна виразити відношенням

Коефіцієнт тертя спокою є величина безрозмірна.

Сила нормального тиску дорівнює вазі тіла тільки тоді, коли поверхня ковзання - горизонтальна площина, і на тіло не діють інші сили, крім сили ваги тіла /рис. 6.2,а/. Якщо тіло лежить на похилій площині /рис. 6.2,6/, то нормальна реакція г де  - кут нахилу площини. Якщо на тіло, крім сили ваги, діють ще інші сили, то під силою нормального тиску тіла на поверхню треба приймати нормальну складову рівнодіючої всіх прикладених до нього сил

3. Модуль сили тертя в стані рівноваги /спокій/ не більший за максимальну силу тертя спокою, тобто

4.  Коефіцієнт тертя спокою залежить від матеріалу тіл, що стикаються,   і фізичного стану тертьових поверхонь, тобто від величини й характеру шорсткості, наявності мастила,  вологості, температури та   інших умов. Наближені значення коефіцієнтів тертя-6.1.  Детальніші  відомості про коефіцієнти тертя можна знайти в різних технічних довідниках

Таблиця 6.1

Наближені значення коефіцієнтів тертя

Матеріали тертьових	Коефіцієнт тертя
поверхонь	спок	зю	руху
	насухо	з мастилом	насухо	з мастилом
1	2	3	4	5
Сталь - сталь	0,15	0,1…0,12	0,15	0,05...0,1
Сталь - м"яка сталь	_		0,2	0,1...0,2
Сталь - чавун	0,3		0,18	0,05...0,15
М"яка сталь - чавун	0,2		0,18	0,05...0,15
Сталь - бронза	0,15	0,1…0,15	0,15	0,1...0,15
М"яка сталь - бронза	0,2		0,18	0,07...0,15
Чавун - чавун		0,18	0,15	0,07...0,1?
Чавун - бронза			0,15...0,2	0,07...0,15
Бронза - бронза		0,1	0,2	0,07...ОД
М"яка сталь - дуб	0,6-	0,12	0,4...0,6	0,1
М"яка сталь - в"яз			0,25	-
Чавун - дуб	0,65		0,3...0,5	0,2
Чавун - в"яз або тополя			0,4	.     0,1
Бронза - Дуб	0,6		0,3	-
Дзрево - дерево	0,4...0	0,1	0,2...0,5	0,07...0,15
Шкіра лицьовим боком -дуб	0,6		0,3...0,5
Шкіра міздрьою - дуб	0,4		0,3...0,4
Шкіра - чавун	0,3…0,5	0,15	0,6	0,15
Гума  - чавун			0,8	0,5

5. Сила тертя при русі менша за силу тертя у стані спокою. Досліди показують: щоб вивести тіло із стану спокою, треба за інших рівних умов прикласти більшу силу, ніж для підтримки руху. Сила тертя в русі залежить від швидкості одного тіла відносно іншого і, як правило, зменшується зі збільшенням цієї швидкості, прямуючи до деякої границі.

Модуль сили тертя при русі можна визначити за формулою, аналогічною /6.1/, підставивши в неї замість коефіцієнта тертя спокою  - коефіцієнт тертя руху -   тобто

          /6.4/

Значення коефіцієнта тертя руху наведені у табл.  6.1.

При наближених  інженерних розрахунках часто не роблять різниці між коефіцієнтом тертя спокою  і руху, а користуються значеннями коефіцієнта тертя руху.

6.3.  Кут  і конус тертя

Розглянемо ще раз взаємодію тіла,  яке спирається на негладку поверхню /рис. 6.3/. Якби поверхні тіл були абсолютно гладкі, то це була б  ідеальна в’язь,  дія якої на тіло зводилась би лише до нормальної реакції   . Якщо ж опорна поверхня шорстка, то при дії рушійної /активної/ сили  з'являється ще й сила тертя, яка лежить в дотичній площині  і напрямлена у протилежний бік силі    що намагається зсунути тіло. Найбільша сила тертя буде на межі між спокоєм і рухом,  вона дорівнюватиме за модулем   Отже, на тіло з боку опорної поверхні діє дві реакції:  нормальна     і дотична /сила тертя   /. Додавши ці реакції за правилом паралелограма, одержимо повну реакцію   яка утворює з нормальною реакцією деякий кут

Найбільший кут 0   на який через тертя відхиляється від нормалі повна реакція л опорної поверхні, називають кутом тертя.

З рис. 6.3

Але,  як видно з формули /6.1/,

Отже,

або

Тангенс кута тертя дорівнює коефіцієнту тертя ковзання.   Інакше кажучи, кутом тертя називають кут, тангенс якого дорівнює коефіцієнту тертя ковзання.

Якщо тіло переміщати відносно опорної поверхні в різні боки, то лінія дії реакції  опише конічну поверхню /рис. 6.4,в/, яку називають конусом тертя. Отже, конусом тертя називають поверхню, яку описує повне реакція при її обертанні навколо нормальної реакції. Якщо коефіцієнт тертя при русі тіла в різних напрямах однаковий, то повна реакція поверхні відхиляється від нормальної в усіх напрямах на однаковий кут тертя і конус тертя буде круглим з кутом при вершині А, що дорівнює   .     Коли коефіцієнт тертя в різних напрямах різний /наприклад, при русі по дереву вздовж і поперек волокон/, то конус тертя буде не круглим.

Для руху тіла необхідно, щоб рівнодіюча зовнішніх сил, що прикладені до нього, проходила за межами конуса тертя. Якщо рівнодіюча зовнішніх сил розташована в середині конуса тертя, то якою б вона великою не була, рух тіла неможливий, оскільки рушійна сила, в цьому випадку завжди буде меншою за силу тертя.

Нехай усі діючі на тіло зовнішні сили,  включаючи і його вагу, зводяться до однієї рівнодіючої сили      яка проходить через точку А дотику тіла з поверхнею і утворює з нормаллю до поверхні кут  /рис.  6.4,6/. Перенесемо цю силу по лінії її дії у точку А  і розкладемо на дві складові:     , яка лежить у дотичній площині,   і    напрямлену по нормалі до поверхні.  Тоді згідно з /6.1/ і /6.7/ максимальне значення сили тертя спокою

де  - кут тертя;    - модуль нормальної реакції,  який, очевидно,   дорівнює модулю нормального тиску () Модуль сили         яка намагається рухати тіло по поверхні,   

Для того щоб тіло залишалося на поверхні в рівновазі, необхідно дотримувати умову   . Підставивши в цю умову значення  і  отримаємо . Звідси остаточно знайдемо умову рівноваги тіла на площині

Якщо збільшувати модуль сили         залишаючи той самий напрям, то пропорційно збільшуватимемо не тільки модуль .рушійної сили, але й модуль сили тертя    оскільки підвищується нормальний тиск       , Тіло рухатиметься лише тоді,  коли рушійна складова      рівнодіючої зовнішніх сил буде більшою за силу тертя,  а для цього необхідно так змінити напрям сили   , щоб кут був більшим за кут  , тобто, щоб сила   проходила за межами конуса тертя / показано штриховою лінією/.  Отже,  конус тертя визначає деяку область рівноваги /спокою/ тіла під дією прикладених сил.

Кут тертя, а відповідно  і коефіцієнт тертя спокою можна визначити дослівним шляхом з допомогою пристрою, який схематично зображений на рис.  6.5.  До горизонтальної основи І в точці О шарнірно закріплена площина 2, яку можна встановлювати під будь-яким кутом до горизонту. Положення площини контролюється градусною шкалою 3. На площину 2 в горизонтальному положенні   кладуть тіло 4 і поступово піднімають правий бік площини, поки тіло не зрушиться з місця. Кут, за якого тіло почне ковзати по похилій площині 2,  дорівнює куту тертя   Переконатися в цьому можна з таких міркувань.  Тіло почне ковзати, коли

Складова  ваги тіла буде рівною за модулем силі тертя  /рис. 6.5/, тобто умова рівноваги має вигляд

З рис.  6.5 видно , а оскільки , то , де - нормальна реакція площини на тіло. Як відомо, сила тертя , а , тому .

Підставляючи в рівняння /6,9/ значення  і , знайдемо , звідки випливає гранична умова рівноваги тіла на похилій площині під дією власної ваги

Якщо кут нахилу площини менший за кут тертя (),то рух

тіла під діє» власної ваги неможливий,  тіло знаходитиметься в стані спокою.  Така похила площина називається само гальмівною.  Якщо , то  і тіло рухатиметься по похилій площині з прискоренням.

Отже, для рівноваги тіла на похилій площині треба  дотримувати умову .

Тертя кочення

Тертям кочення називають опір,  який виникає при перекочуванні одного тіла по поверхні  іншого. Цей опір виникає головним чином від того, що тіла не абсолютно тверді й завжди дещо деформуються в місцях їх стикання.

Якщо на коток вагою  /рис.  6:6/, який лежить нерухомо на горизонтальній площині,  діє тільки сила ,  то деформації котка й опорної поверхні симетричні відносно лінії дії . В результаті деформації коток і опорна поверхня стикаються не в одній точці /лінії/, а  деякою площею контакту, ширина якої  АВ. Тоді реакція з боку опорної поверхні буде розподілена по всій площі контакту.

Розподілені реакції площини зводимо до однієї рівнодіючої  р, яка за модулем дорівнює силі і напрямлена у протилежний їй бік.

Якщо на коток діє на деякій висоті  ще й горизонтальна сила    /рис.  6.7/,  то деформації котка  і опорної поверхні вже несиметричні відносно лінії дії сили . Рівнодіюча реакцій площини ,   розподілених по площі  контакту,   зміститься в бік можливого переміщення котка   і буде напрямлена по нормалі до поверхні  дотику в деякій точці  С.   Розкладемо цю реакцію   на горизонтальну    і вертикальну   складові. Розглянемо рівновагу_котка_ під дією прикладених сил  і  а дію опор_ної поверхні замінимо реакціями   і   . Для такої системи сил можна записати три рівняння рівноваги:

;

 ;

;  

Звідси маємо: ; ;

.

Враховуючи, що деформація тіл при коченні незначна порівняно з розмірами тертьових тіл, приймаємо  і одержуємо

Величину   називають моментом тертя кочення, а  обертальним /рушійним/ моментом.

Як показують досліди, момент тертя кочення, як і сила тертя ковзання, зростає зі збільшенням обертального моменту ,але не може стати більшим від деякого значення, цілком визначеного для даної пари стичних поверхонь і даної сили нормального тиску котка на площину, тобто

          /6.12/

де    - коефіцієнт пропорційності,  який називається коефіцієнтом тертя кочення. На відміну від коефіцієнта тертя ковзання,  який є безрозмірною величиною,  коефіцієнт тертя кочення вимірюється в одиницях довжини /мм/ і визначає максимальну величину зміщення  нормальної реакції  відносно лінії дії нормального тиску   котка на опорну поверхню.

Коефіцієнт тертя кочення залежить від пружних властивостей матеріалів тертьових тіл, стану їх поверхні  і радіусів кривини, на практиці, як правило, користуються середніми значеннями, встановленими експериментальним шляхом. Наприклад,  для стального колеса  і рейки 0.05 мм,  для гартованих стальних кульок і роликів у підшипниках кочення    0,01 мм,  для дерев’яного котка по каменю    1,3 мм, чавуну по чавуну   0,05 мм, дереву по сталі -    0,3.. .0,4 мм, дерева по дереву -  0,5...0,8 мм.

Підставивши /6.12/ в /6.II/, одержимо умову рівноваги котка на горизонтальній площині:

          /6.13/

звідки знаходимо модуль горизонтальної сили, що прикладена до котка,

          /6.14/

Гранична умова рівноваги виражається рівністю            /6.15/

Звідки                   /6.16/

Формулою /6.16/ можна користуватися і для визначення сили   , необхідної для рівномірного перекочування котка, оскільки при коченні котка можна прийняти коефіцієнт тертя кочення сталим.

Втрати енергії при терті кочення, як правило, значно менші, ніж при терті ковзання.  Ось чому в техніці намагаються все більше замінити тертя ковзання тертям кочення.  Для цієї мети широко використовуються підшипники кочення /шарикові та роликові/.

Треба зважати, що залежно від умов тертя циліндр /коток/ може не тільки котитися по опорній поверхні, але й ковзати по ній. Тут можливі три випадки.,

1. Якщо , а  - коефіцієнт тертя ковзання/,  то циліндр буде тільки котитися. об’єднавши ці нерівності, одержують умову чистого кочення:

          /6.17/

2. Якщо , а  то циліндр буде тільки ковзати. Тоді умова чистого ковзання виражатиметься так:

          /6.18/

3. Якщо    , то можливе спільне кочення і ковзання

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Що розуміють під тертям? Наведіть приклади корисного та шкідливого тертя.
2.  Види тертя залежно від характеру відносного руху тіл і наявності мастила між тертьовими поверхнями.
3.  Наведіть приклади тертя ковзання і кочення.
4.  Сформулюйте закони тертя ковзання.
5.  Коефіцієнт тертя спокою та руху.
6.  Чому дорівнює сила тертя ковзання, якщо нормальна реакція = 100 Н, в коефіцієнт тертя   = 0,01?
7.  Що називають кутом тертя і конусом тертя?
8.  Який зв’язок існує між коефіцієнтом тертя і кутом тертя?
9.  Яку похилу площину вважають само гальмівною?

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Теоретична механіка. Статика

ТЕМА  1.5. Просторова система сил

ПЛАН

1.  Момент сили відносно осі. Загальний випадок дії просторової системи сил на тіло.

2.Головний вектор і головний момент системи сил.

Студент повинен знати:При вивченні даної теми слід чітко визначитись з поняттями просторова система збіжних сил та просторова система довільно розташованих сил.

Студент повинен вміти: визначати момент сили відносно осі, слід пам'ятати, що сила паралельна даній осі та та, що перетинає ось  моменту відносно цієї осі не дає. Слід зрозуміти принцип  визначення головного моменту та головного вектора

.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА §§ 39-40 ;  [11] §§  5  

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

ПРОСТОРОВА СИСТЕМА СИЛ

У попередніх главах розглянуто в основному сили, що зводяться до плоскої системи. Часто просторова система сил може бути розбита на кілька плоских систем. Проте це вдається зробити не завжди. Тому в статиці необхідно окремо вивчати зведення й рівновагу системи сил, які лежать в різних площинах, так звані просторові системи сил. Далі розглянемо загальний випадок просторової системи сил, а також випадок, коли всі сили паралельні, але діють в різних паралельних площинах.

Момент сили відносно осі

При вивченні плоскої системи сил важливу роль відіграє поняття моменту сили відносно точки, яка лежить у площині цієї системи сил. При вивченні системи сил, лінії дії яких розміщені довільно у просторі, не менш важливу роль відіграє поняття моменту сили відносно осі.

Моментом сили відносно якої-небудь осі називають величину, що характеризує обертальну дію даної сили відносно цієї осі. Розглянемо приклад. Нехай на тіло, яке може обертатися навколо осі X, наприклад двері, Діє сила F, що не лежить у площині, перпендикулярній до цієї осі.    

 

Розкладемо силу F  на  дві складові: F′  - паралельно осі обертання тіла, F″ - проекція сили F на площину, перпендикулярну до цієї  осі. Зрозуміло, що складова F′ не може надати тілу обертального руху, ця сила намагається зсунути тіло вздовж осі Ζ, обертальний ефект створює складова F′″. Міркою обертального ефекту дії сили F відносно осі Ζ  є момент проекції цієї сили на площину, перпендикулярну до осі  Ζ відносно точки перетину осі з площиною. Цей момент називають моментом сили  відносно осі. Отже, момент сили відносно осі - є    алгебраїчна величина, що дорівнює моменту проекції сили на  площину, перпендикулярну до даної осі, відносно точки перетину осі  з площиною.

Це означає, щоб знайти момент деякої сили F відносно, наприклад, осі  Ζ треба спроектувати цю силу на площину  ΧΟΖ, перпендикулярну до цієї осі,   і потім взяти момент цієї проекції  F відносно точки С перетину осі з площиною. (1)

Той чи  інший знак у формулі /1/ визначається залежно від напряму обертання плеча  і   вектором проекції,  якщо дивитися на площину проекції з боку додатного напряму осі;  якщо вектор цієї проекції повертає плече проти руху годинникової стрілки,  то момент  вражають  додатним,   і навпаки.

Момент сили відносно осі цілком визначається своїм  числовим значенням,  отже,  є скалярною алгебраїчною величиною.

Момент сили відносно осі  дорівнює нулю, якщо сила і вісь лежать в одній площині ,  при цьому можливі такі випадки: а/ сила F  перетинає вісь, б/ сила F паралельна осі .

Момент сили відносно даної осі не зміниться,  якщо силу перенести в будь-яку точку вздовж лінії її дії.

Залежність між моментом сили відносно будь-якої осі  і моментом тієї самої сили відносно точки,  яка лежить на цій осі /без доведення/.

Момент сили відносно осі дорівнює проекції на цю

 

5.2.  Просторова система   довільно розташованих  сил. Умова рівноваги.

Метод зведення сил до одного центру, який розглянуто для плоскої системи сил, можна застосувати і для системи сил, як завгодно розташованих у просторі.

Згідно з теоремою Пуансо ,  будь-яку силу можна
перенести паралельно самій собі  у будь-яку точку тіла,   додавши при  цьому деяку пару.  Переносячи кожну  із сил просторової системи в одну будь-яку довільну точку 0 /центр зведення/,  одержують просторову систему збіжних у цій точці сил  і систему приєднаних пар сил,  розташованих у різних площинах.

Систему збіжних сил заміняють однією еквівалентною їм силою FΣ ,  яку називають головним вектором просторової системи сил. Головний вектор FΣ     визначається формулою:

Головний момент МΣ визначаємо за формулою:

 

Умовою рівноваги просторової системи довільно розташованих сил є те, що головний вектор і головний момент дорівнюють  0. Тому слід складати  шість рівнянь рівноваги.

                                                                

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Що називається просторовою системою сил ?
2.  Яка різниця між просторовою системою збіжних сил та довільно розташованих ?
3.  Як визначити момент сили відносно осі ?
4.  Чи залежить значення головного вектора  і головного моменту від вибору центру зведення ?

ВИКЛАДАЧ_______________

РОЗДІЛ:Теоретична механіка.Статика

ТЕМА  1.6. Центр тяжіння

ПЛАН

1. Центр паралельних сил, його властивості

2. Формули для визначення його положення

3. Цент тяжіння тіла

4. Формули для визначення положення центру тяжіння тіла складеного із тонких пластин, стержнів та однорідних об'ємів.

Студент повинен знати:  зрозуміти принцип визначення положення центру тяжіння тіл складених із однорідних об’ємів , тонких стрижнів та однорідних пластин.

Студент повинен вміти: визначати положення центру тяжіння складних тіл, пластин та стержнів.

1.  ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [1]§§ 47-48; [ 11 ] §§  7
2.  ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

ЦЕНТР ВАГИ І СТІЙКІСТЬ РІВНОВАГИ

Можна вважати, що будь-яке тверде тіло складається з елементарних частинок малого об’єму. На кожну таку частинку діє сила ваги - сила притягання її до Землі. Всі ці сили наближено утворюють систему паралельних сил. Рівнодіючу цих сил називають силою, ваги, модуль цієї сили - вагою тіла, а точку її прикладання - центром ваги цього тіла.

Знати положення центра ваги різних тіл необхідно для того, щоб надати стійкості цим тілам /наприклад, автомобілю, літаку, телевізійній башті, чавуноливарному ковшу, баштовому крану тощо/, для розрахунку балок при згині, а також для балансування /зрівноваження/ обертових деталей машин  і механізмів.

Додавання двох паралельних сил, напрямлених в один бік. Центр паралельних сил

Нехай на тіло діє дві сили  і ; /рис.  7.1,а/, прикладені відповідно в точках А і В  і напрямлені в один бік. Знайдемо рівнодіючу цих сил.

Розглянемо систему двох паралельних сил як окремий випадок плоскої системи довільно розташованих сил і,  згадуючи, що рівнодіюча такої системи сил /якщо вона  існує/ дорівнює головному вектору. Неважко переконатися в тому /рис. 7.1,6/, що рівнодіюча двох паралельних сил, напрямлених в один бік, напрямлена в той самий бік і

дорівнює їх алгебраїчній сумі.  Тобто

          /7.1/

Знайдемо тепер положення лінії дії Цієї рівнодіючої.  Допустимо, що вона перетинає відрізок АВ в точці  С /рис. 7.1,а/, положення якої поки що невідоме. Тоді,  з одного боку, момент рівнодіючої відносно даної точки дорівнює нулю;  з другого,  згідно з теоремою Варіньона /див. підрозд. 4.5/ - алгебраїчній сумі моментів сил, що додаються, відносно цієї самої точки, тобто

звідси

          /7.2/

Отже, лінія дії рівнодіючої поділяє відстань між заданими двома паралельними силами на відрізки, обернено пропорційні величинам цих сил.

За точку прикладання рівнодіючої   може бути прийнята,  взагалі кажучи, будь-яка точка на лінії її дії. Але серед усіх цих точок тільки точка С має властивість не змінювати свого положення при повороті заданих сил на один  і той же кут в одному й тому ж напрямі.

Для прикладу повернемо сили  і  на будь-який кут навколо їх точок прикладання А і В, зберігаючи їх паралельність /рис.7.2/. Позначимо ці сили в новому положенні відповідно через і  , їх рівнодіючу - через , а точку її перетину з прямою АВ - через С' .За доведенням /7.2/, лінія дії     повинна поділяти відстань між силами  і   на відрізки, що обернено пропорційні величинам цих сил, а тому

Оскільки

То матимемо

      /7.3/

З подібності трикутників  і  можна записати таку пропорцію:

          /7.4/

Порівнюючи /7.4/ з /7.3/, одержуємо

 

         /7.5/

Тобто положення точки  визначається тією ж самою пропорцією /7.2/ що і положення точки С.

Таким чином, при повороті двох паралельних сил на один і той же кут у тому самому напрямі їх рівнодіюча також повертається на той самий кут і в тому самому напрямі, а точка С залишається в попередньому положенні. Точка С, через яку проходить лінія дії рівнодіючої системи паралельних сил за будь-яких поворотів усіх сил системи навколо їх точок прикладання в один і той же бік і на однаковий кут,  називають центром даної системи паралельних сил.

Визначення центра системи паралельних сил

Узагальнимо поняття про центр паралельних сил на систему паралельних сил. Нехай дано кілька паралельних сил  ,  напрямлених в один бік, які утворюють деяку просторову систему сил /рис.  7.3/. Знаючи правило додавання двох паралельних сил, шляхом послідовного додавання можна знайти рівнодіючу і  для будь-якої системи паралельних сил. Для цього складемо спочатку дві сили  і  і знайдемо їх рівнодіючу  .Вона буде паралельна складовим і напрямлена в той самий бік. Модуль її   Точка  її прикладання лежить на лінії АВ  і знаходиться з пропорції

          /7.6/

Додаючи сили  і  знайдемо рівнодіючу - усіх трьох сил. Вона також буде паралельна складовим і напрямлена в той самий бік. Модуль рівнодіючої  дорівнює сумі модулів складових сил

        /7.7/ У  загальному випадку залежність /7.7/ має вигляд

       /7.8/

Точка С прикладання рівнодіючої визначається з пропорції

Повернувши всі сили системи навколо їх точок прикладання в один і той же бік на будь-який однаковий кут .   /на рис. 7.3 сили показано штриховими лініями/,   дістанемо нову систему паралельних сил з такими самими модулями і точками прикладання складових, але з іншими лініями Дії сил. Послідовно додаючи сили нової системи,  дістанемо, що рівнодіюча  Дорівнює за модулем сумі модулів складових і  і паралельна  і тобто її лінія дії повертатиметься в той самий бік на такий самий кут  що і складових. Положення точки С прикладання рівнодіючої  яке визначається також пропорцією /7,6/,  залишається незмінним,  оскільки не змінилися ні модулі сил, ні відрізок АВ прямої, що з’єднує їх точки прикладання. Міркуючи так само, знайдемо, що не зміниться положення точки прикладання рівнодіючої    усіх сил даної системи. Отже, точка С буде центром даної системи паралельних сил.

Щоб одержати формули для визначення координат центра системи параледьних сил, позначимо координати точок прикладання сил   , , ,  відповідно через  /точка А /, /точка В/, /точка D/,  /точка СІ. Обчислимо спочатку абсцису Хс. Центра паралельних сил. Для цього запишемо рівняння моментів усіх сил відносно осі  Як було показано раніше /5.7/, момент рівнодіючої сили  відносно координатної осі дорівнює сумі моментів усіх прикладених сил відносно цієї самої осі, тобто

,       /7.9/

Звідки маємо

        /7.10/

Або з урахуванням /7.7/

         /7.11/

Записавши рівняння моментів усіх сил відносно осі Х за аналогією попереднім, матимемо формулу для визначення ординати:

         /7.12/

Для визначення аплікати центра паралельних сил повернемо всі сили на 90°, наприклад так, щоб вони були розташовані паралельно осі    у   і запишемо моменти сил відносно осі х.    Звідки

         /7.13/

У загальному випадку,  коли на тіло діє /7 сил,  залежності /7.II/-/7.13/ набувають вигляду:

        /7.14/

де      - модулі прикладених силі   - координати точок їх прикладання

Центр ваги тіла

У результаті взаємодії тіла з Землею на кожну елементарну частинку тіла  діє сила ваги, яка завжди напрямлена  до центра Землі. Враховуючи, що відстань тіла від центра Землі значно більша за розміри тіла,  вважатимемо всі ці сили паралельними. Центр С цієї системи паралельних сил ваги називається центром ваги тіла.

За будь-якого положення тіла в просторі сили ваги його окремих частинок будуть прикладені в одних і тих самих точках і паралельні між собою. Може лише, змінитися положення лінії  дії цих сил відносно тіла. Але рівнодіюча системи сил ваги   окремих частинок тіла буде завжди проходити через одну і ту саму точку С - центр паралельних сил ваги частинок тіла   

Центром ваги тіла є така, незмінно зв’язана з цим тілом геометрична точка,  через яку проходить лінія дії сили ваги даного тіла за будь-якого його положення в просторі.

Положення центра ваги тіла залежить тільки від форми тіла й розподілу в ньому матеріальних частинок. Причому центр ваги може лежати й поза тілом /наприклад, центр ваги кільця, порожнистого вала, труби тощо/.

Отже, центр ваги тіла є центром паралельних сил - сил ваги окремих його частинок. Тому для визначення положення центра ваги можна скористатися формулами для координат центра паралельних сил /7.14/.

Якщо в цих формулах модулі сил      замінимо модулями сили ваги    окремих частинок тіла, а рівнодіючу - силою ваги  тіла, то одержимо формули координат центра ваги тіла:

   

Формули /7.15/ використовують лише тоді, коли необхідно визначити положення центра ваги неоднорідного тіла або незмінної системи тіл з різних матеріалів. Найчастіше визначають положення центрів ваги однорідних тіл і тоді з формули /7.15/ витікає три їх різновиди.

І.  Якщо тіло має вигляд плоскої або просторової решітки /дротяних гратів/, які складаються з однорідних тонких прутів, площі поперечних перерізів яких постійні,  то чила ваги будь-якої прямолінійної чи криволінійної  ділянки ,  де  - вага одиниці довжини прутка,  - довжина окремих ділянок решітки; загальна вага решітки

Тоді, підставивши в /7.15/ замість  і  їх значення і скоротивши , дістанемо формули для визначення координат

центра ваги тіл у вигляді решітки /каркасу/:

   

де     - координати центрів ваги окремих ділянок решітки довжиною ,

2. Якщо тіло складено з тонких однорідних пластин /листів/ однакової товщини, то сила ваги кожної ділянки де - площа окремих ділянок пластинчатої конструкції,    р - вага одиниці площі пластини; сила ваги всього тіла . Підшипники і  в /7.15/, одержимо формули координат центра ваги тіла /конструкції/, яке складено з однорідних пластин /площ/:

        /7.17/

3.  Подібні формули одержимо  і для однорідних тіл,  які складені з об’ємних частин, якщо в формулах /7.15/ замінимо , де - об’єми окремих частин тіла,  вага яких і - об’ємна вага

тіла /вага одиниці об’єму тіла/

        /7.18/

Для плоских фігур із трьох формул /7.17/ використовуються тільки перші дві /для визначення    і /.

Алгебраїчні суми добутків площ частин плоскої фігури на відстань їх центрів ваги до відповідної осі називають статичним моментом площі відносно осей. Отже, статичний момент площі відносно осі   у -

відносно осі х -

Позначимо статичні моменти площі відносно осей   х   і   у відповідно через    і і приймаючи, що - площа всієї плоскої фігури, формули для визначення координат центра ваги матимуть вигляд

         /7.19/

Звідси

         /7.20/

тобто статичний момент площі відносно осі дорівнює добутку площі фігури на відстань її центра ваги від цієї осі. Статичний момент плоскої фігури виражається в кубічних метрах, кубічних сантиметрах або кубічних міліметрах.

З рівностей /7.20/ витікає, що статичний момент плоскої фігури відносно центральної осі дорівнює нулю. Під центральною віссю розуміють вісь, що проходить через центр ваги плоскої фігури.

Для довільної плоскої фігури /рис. 7.4/ її площу і статичні моменти знаходять інтегруванням:

        /7.21/

де - елементарна площадка плоскої фігури»      - відстань від цієї площадки до відповідної осі;  знак А біля інтегралів означає, що інтегрування виконується по всій площі.

Підставивши /7.21/ в /7.20/,  дістанемо формули для визначення координат центра ваги довільної плоскої фігури в інтегральній формі:

       /7.22/

Положення центра ваги симетричного тіла

Теорема.  Якщо однорідне тіло має площину,  вісь або центр симетрії, то центр ваги його лежить відповідно в площині, на осі або в центрі симетрії.

Доведення. Якщо тіло симетричне відносно деякої площини П /рис.  7.5/,  то кожній частині тіла з одного боку цієї площини відповідає така сама за вагою і симетрично розташована частина з другого боку площини.

Візьмемо яку-небудь частинку А з одного боку площини і знайдемо симетричну їй частинку В з другого боку. На ці частинки діятимуть однакові за модулем сили ваги і .Рівнодіюча  цих двох рівних і паралельних сил буде прикладена в точці С - середині відрізка АВ тобто в площині симетрії. Додаючи подібним способом сили ваги
кожної пари симетричних частинок, ми одержимо систему паралельних рівнодіючих сил, що лежать у площині симетрії тіла. У цій самій площині, очевидно, буде лежати і центр ваги тіла.

Коли тіло має вісь симетрії або центр симетрії,  теорема  доводиться аналогічно.

З цієї теореми випливає ряд окремих випадків,  які часто застосовуються на практиці:

І/ центр ваги однорідного тіла обертання лежить на його осі

обертання

2/ центр ваги відрізка однорідної матеріальної лінії лежить в

його середині.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Що називають центром системи паралельних сил і центром ваги тіла?
2.  Що називають статичним моментом площі відносно осі? В яких одиницях він вимірюється?
3.  Чому дорівнює статичний момент плоскої фігури відносно осі симетрії?
4.  Де знаходиться центр ваги фігур, тіл, які мають площину,  вісь або центр симетрії?

 

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Теоретична механіка.  Кінематика

ТЕМА  Основні поняття кінематики

ПЛАН

1. Поняття: траєкторія, відстань, шлях, час, швидкість, прискорення

2. Способи завдання руху точки

Студент повинен знати: що вивчає кінематика,а також визначитися з поняттями: траєкторія, відстань, шлях, час, швидкість, прискорення.

Студент повинен вміти: визначати положення матеріальних точок в будь-який момент часу у просторі.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [1] §§ 52; 56 ; [11] §§  8.1

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

КІНЕМАТИКА

Кінематикою називають розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються закони руху матеріальної точки й абсолютно твердого тіла з геометричної точки зору, без аналізу причин, що зумовлюють цей рух, тобто без урахування сил.

Слово "кінематика" походить від грецького "кінема", що означає рух.

У кінематиці рух тіла або точки розглядають відносно вибраної системи відліку.

Системою відліку називають систему координат, яка зв’язана з твердим тілом відносно якого визначається положення інших тіл в різні моменти часу.

Система відліку може бути як рухомою, так і умовно нерухомою. В більшості технічних задач за умовно нерухому приймають систему координат, незмінно зв’язану з Землею. Проте при вивченні руху деяких механічних систем ця система відліку може виявитися не досить точною. Так, при .досліді з маятником Фуко, де помітно позначається обертання Землі, за "нерухому" систему слід брати Сонце. В інших випадках, наприклад при вивченні руху тіл сонячної системи, обирають систему координат з початком в центрі сонячної системи і осями, які напрямлені до трьох так званих нерухомих зірок.

По відношенню до різних систем відліку тіло може робити різні рухи або перебувати в стані спокою, тобто не змінювати свого положення протягом часу відносно обраної системи відліку. Наприклад, якщо тіло перебуває у спокої по відношенню до Землі, воно вже не буде перебувати в спокої по відношенню до Сонця, бо це тіло рухатиметься разом з Землею навколо Сонця. У цьому розумінні спокій і рух тіла відносні й залежать від обраної системи відліку.

При русі тіла всі його точки в загальному випадку здійснюють різні рухи. Наприклад, при коченні колеса по прямолінійній рейці його центр здійснює прямолінійний рух, а точки обода рухаються по циклоїді. Тому кінематику поділяють на кінематику точки (вивчається рух окремих точок) і кінематику тіла.

У кінематиці розглядають дві основні задачі:

установлення математичних методів задавання та опису руху точки (тіла) відносно вибраної системи відліку;

визначення кінематичних характеристик заданого руху - траєкторій окремих точок, їх швидкості та прискорення.

Основні поняття кінематики

Основними поняттями в кінематиці є рух, простір і час, відстань, шлях, швидкість, прискорення. Ці поняття натурально зберігають своє значення і при вивченні кінематики твердого тіла, що являє собою незмінну систему матеріальних точок.

Рух, як було зазначено раніше, охоплює всі зміни, що відбуваються у Всесвіті. В кінематиці розглядають найпростішу форму руху матерії - механічну, тобто переміщення тіл у просторі і часі.

Простір і час являють собою форми існування матерії. У класичній механіці час приймають як безперервно змінювану величину, при цьому вважають, що зміна його в усіх системах однакова. Одиницею вимірювання є секунда: середньої сонячної доби. При вимірюванні часу слід розрізняти початковий момент часу, момент часу і проміжок часу.

Початковим моментом часу називають довільний момент часу, прийнятий умовно за початок відліку часу(t=0).

Моментом часу називають число секунд, що пройшло від початкового моменту часу, відповідного початку руху тіла (або коли почали спостерігати за цим рухом), до .даного моменту ( та.ін.)

Проміжок часу визначає число секунд, що відокремлюють два будь-які послідовних моменти часу ()

Траєкторією точки називають безперервну лінію, яку описує точка при своєму русі. Траєкторія частково характеризує рух. Якщо траєкторія пряма, рух називають прямолінійним, якщо крива - криволінійним. Наприклад, прямолінійний рух здійснюють точки поршня, що рухається зворотно-поступально в циліндрі двигуна; точки ободу шківа, що обертається, здійснюють криволінійний рух - їх траєкторії є кола.

Для повної характеристики руху необхідно знати його швидкість і прискорення.

Швидкістю точки називають векторну величину, що характеризує швидкість зміни руху і напрям руху. Швидкість позначають буквою  і за одиницю в системі СІ приймають метр за секунду (м/с) .Якщо швидкість стала,то рух буде рівномірний, у противному разі - нерівномірний.

Прискоренням точки називають векторну величину, що характеризує зміну модуля і напряму швидкості. Прискорення позначають буквою  і вимірюють в метрах за квадратну секунду (м/с2).

Відстань визначає положення рухомої точки М він початку відліку, позначається малою буквою s. Відстань може бути додатна, від’ємна і така, що дорівнює нулю.

Необхідно розрізняти поняття "відстань" і "шлях". Уявімо собі тіло, кинуте вертикально вгору і вважатимемо за початок відліку точку на поверхні Землі, з якої почався рух. У момент часу, коли тіло впаде на Землю, відстань від початку відліку дорівнюватиме нулю, а пройдений шлях - подвійній висоті піднімання. У той же час для найвищої точки піднімання величини відстані та пройденого шляху збігаються. Нарешті, вказані поняття збігаються, коли рух відбувається весь час в одному напрямі і за початок відліку взята точка простору, з якої почався рух.

Для довжини шляху зберігають таке саме позначення, як і для відстані s і лише тоді, коли тотожність позначень може призвести до недоречностей, шлях позначають великою буквою S, за одиницю відстані і шляху прийнято метр (м).

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Що вивчає кінематика?
2.  У чому суть відносності понять "спокій" і "рух"?
3.  Які способи задавання руху використовують в кінематиці?
4.  Що таке траєкторія руху точки?
5.  Що називають швидкістю руху точки?
6.  Як напрямлений вектор швидкості руху точки?
7.  Що називають прискоренням руху точки?   

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ: Теоретична механіка.  Кінематика

ТЕМА  Кінематика точки

ПЛАН

1. Способи завдання руху точки

2.  Векторний спосіб

3. Координатний спосіб

4. Природний спосіб

Студент повинен знати: що вивчає кінематика,а також визначитися з поняттями: траєкторія, відстань, шлях, час, швидкість, прискорення.

Студент повинен вміти: визначати положення матеріальних точок в будь-який момент часу у просторі.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА §§57-61 [11] §§ 8.2 – 8.5

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ   ЛЕКЦІЇ

Способи задавання руху точки

Задати рух точки означає, указати спосіб, з допомогою якого в будь-який момент часу можна визначити положення точки на траєкторії.

Розрізняють три способи задавання руху точки.

Векторний спосіб. Нехай точка М здійснює рух, описуючи в просторі криву (рис. 8.1). Очевидно, що траєкторія точки є годограф радіуса-вектора  який визначає положення точки М на її траєкторії. Годографом вектора називають криву, що описує кінець вектора, початок якого весь час знаходиться в одній і тій самій точці. При русі точки М радіус-вектор змінюється за величиною і напрямом з часом. Функціональна залежність радіуса-вектора  від часу  виражається рівністю

 (1)

Ця функція повинна бути однозначною й безперервною. Рівняння (1) називають рівнянням руху точки у векторній формі.

Таким чином, при векторному способі задавання руху точки задається радіус-вектор .

Координатний спосіб. Положення рухомої точки у просторі в даний момент часу визначається трьома координатами (див.рис.8.1), які при русі є функціями часу:

 (2)

Ці функції також однозначні, безперервні й мають безперервні похідні. Рівняння (2) називають рівняннями руху точки, а також рівняннями траєкторії точки у параметричній формі. Виключаючи з рівнянь руху точки параметр часу  можна одержати рівняння траєкторії в явній формі.

Якщо точка рухається у площині, то її положення визначається двома рівняннями:

 (3)

Таким чином, при координатному способі задавання руху точки задаються рівняння руху в координатній формі.

Координати точки  можна розглядати як проекції радіуса-вектора  на координатні осі. Тому, позначивши одиничні вектори (орти) координатних осей через  одержують зв’язок між векторним і координатним способами задавання руху точки:

(4)

Природний спосіб. Нехай точка М рухається по заданій траєкторії (рис. 8.2). Положення точки М в даний момент часу визначається відстанню її від початку відліку (нерухома точка О ). Пройдені відстані вважають додатними, якщо точка перебуває на одному боці від початку відліку, і від’ємними у противному разі. Слід зазначити, що при (t=0) точка М обов'язково перебуватиме в початку відліку О, вона може займати деяке положення Мо що визначається відстанню Sо від початку відліку. Цю відстань, яка відповідає початковому моменту, називають початковою відстанню. Оскільки відстань точки змінюється з часом, то S є функцією від :

 (5)

Рівняння (5) називають рівнянням руху по заданій траєкторії, або законом руху точки.

Враховуючи відому з диференціальної геометрії залежність між диференціалом дуги  і диференціалом координат і . (Див рис. 8.2)

одержують закон руху точки (8.5) у такому вигляді:

 (6)

Таким чином, при природному способі задавання руху точки задається траєкторія руху, закон руху, а також початок і напрям відліку відстаней.

Закон руху точки по траєкторії може бути заданий аналітично або у вигляді графіка. Графік руху ні в якому разі не можна ототожнювати з траєкторією руху точки.

Прискорення точки в

окремих випадках руху точки

Формули для визначення прискорень точки при різних її рухах зведені у табл. 8.2.

Таблиця 8.2

Вид руху	Прискорення точки
	Нормальне	Дотичне	Повне
1. Рівномірний прямолінійний
2. Рівномірний криволінійний
3. Рівнозмінний прямолінійний
4. Рівнозмінний криволінійний

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  У чому суть векторного способу задавання руху точки?
2.  У чому суть координатного способу задавання руху точки?
3.  Як визначити швидкість і прискорення точки при координатному способі задавання точки?
4.  У чому суть природного способу задавання руху точки?
5.  Що називають законом руху точки по траєкторії?
6.  Як визначити швидкість точки при природному способі задавання руху?
7.  Як визначити проекції прискорення не природні осі?
8.  Що характеризує дотичне прискорення?
9.  Що характеризує нормальне прискорення?
10.  В яких випадках руху точки дотичне й нормальне прискорення дорівнюють нулю?
11.  Який рух називають рівномірним?
12.  Який рух називають рівнозмінним?
13.  За якими формулами визначають швидкість і шлях рівнозмінного руху?
14.  Що таке середня швидкість?
15.  Якими виглядають графіки руху, швидкості та прискорення рівнозмінного руху?

     ВИКЛАДАЧ_____________________

РОЗДІЛ: Теоретична механіка.  Кінематика

ТЕМА  Прості рухи твердого тіла

ПЛАН

1.  Плоскопаралельний рух твердого тіла, його властивості

Студент повинен знати:сутність плоско паралельного руху, .

Студент повинен вміти: визначати положення миттєвого центру швидкостей, а також швидкості і прискорення точок тіла.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА §§ 64-67; [11] §§ 9.1

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

СКЛАДНИЙ РУХ ТІЛА

Поняття окладного руху тіла аналогічне поняттю складного руху точки, Іноді рух тіла відносно нерухомої системи відліку зручно розглядати як складний рух, що складається з двох рухів: відносного, тобто руху тіла відносно деякої рухомої системи відліку, і переносного - руху тіла разом з рухомою системою відліку відносно нерухомої,

Будь-який складний рух тіла можна звести до простих рухів - поступальних і обертальних. Задача визначення абсолютного руху тіла зводиться, як правило, до складання цих простих рухів. Деякі задачі такого складання рухів тіла і розглядаються далі.

Плоскопаралельний рух тіла

Окремим випадком складного руху тіла є плоскопаралельний рух,

Плоскопаралельним, або плоским, рухом твердого тіла називається такий рух, за якого всі точки тіла рухаються паралельно деякій нерухомій площині.

Прикладом простого  плоскопаралельного руху є розглянутий у розд. 9 обертальний рух тіла навколо нерухомої осі. При обертанні тіла всі його точки рухаються у площинах, перпендикулярних до осі обертання, тобто будь-яка з цих площин може бути прийнята за нерухому, паралельно якій рухаються всі інші точки тіла. Іншим прикладом простого плоскопаралельного руху може бути плоский поступальний рух /рух автомобіля по Прямій дорозі/.

Плоскопаралельний рух у переважній більшості - це складний рух. Наприклад, рух автомобілів, тролейбусів По непрямій дорозі, рух шатуна 2 у кривошипно-повзунному механізмі /рис. II.І/. Інші ланки /тіла/цього механізму також здійснюють  плоский рух, але ці рухи прості: кривошип І обертається навколо нерухомої точки  0  повзун 3 - здійснює поступальний рух вздовж нерухомих напрямних 4. Рух же шатуна 2 ні поступальний, ні обертальний, оскільки точка  А, в якій шатун шарнірно зв"язаний  з кривошипом І, описує траєкторію - коло,а точка  В - центр шарнірного з"єднання шатуна з повзуном - рухається по прямій.

При плоскопаралельному русі тіла /рис, 11,2/ будь-який його плоский переріз  q завжди знаходиться в площині розрізу хОу  що паралельна нерухомій площині Н, а будь-яка точка Аі тіла розташована вище або нижче перерізу q , і рухається так само, як відповідна їй точка А що лежить у перерізі q на перпендикулярному йому відрізку АіА /точка А є проекція точки Аі і на переріз q . Отже, вивчаючи плоскопаралельний рух тіла, достатньо розглядати рух його плоского перерізу в площині  хОу, як часто говорять для простоти викладу, досить розглядали рух плоскої фігури.

Сумістимо площину хОу  з площиною рисунка і виберемо на перерізі   q  які-небудь дві точки А  і В /рис. II.З/,  з"еднавши їх прямою лінією АВ. Одну з цих точок, наприклад А7 виберемо за полюс. Полюсом називають довільну точку, що зв"язана з рухомою фігурою і яку приймають за центр повороту. Кінематичні характеристики /положення, швидкість, прискорення/ такої точки або відомі, або їх легко знайти. Нехай тепер плоский переріз, рухаючись у площині хОу переміститься з положення  q в положення  q7 причому полюс  А  описавши деяку траєкторію  АА7 займе положення  А1   а точка  В, описавши траєкторію ВВ1-ТОЧКУ  В1  

До такого самого результату ми дійдемо, якщо переміщення плоскої фігури  q уявимо складеним із поступального й обертального рухів. Для кращого розуміння розглядатимемо тільки рух прямої   АВ, яка постійно зв"язана з цією фігурою/рис. II.4,а/. Тоді переміщення прямої АВ  в положення  А1В1 можна одержати поступальним переміщенням в положення  А1В1'  і обертанням на кут  φ навколо полюса А  із положення   А1В1'  в скінченне положення   А1В1 ,

Отже, будь-який рух плоскої фігури в її площині можна розкласти на два рухи: І/ поступальний рух разом з довільно вибраною точкою фігури /полюсом/ і 2/ обертальний рух навколо цієї точки.

Поступальна частина плоско паралельного руху характеризується зміною з часом координат полюса    А(хА,уА)  , частина - зміною кута повороту   φ лінії АВ   тобто закон плоскопаралельного руху можна задати трьома рівняннями:

Рис.11,4

xA=f1(t)  , yA=f2(t)  , φ=f3(t)  .

Перші два рівняння системи , які описують поступальну частину плоскопаралельного руху, залежать від вибору полюса, а третє рівняння, яке описує обертальну частину, від вибору полюса не залежить. Дійсно, якщо вибрати за полюс точку В   /рис. б/або С /рис.в/, то поступальна частина плоскопаралельного руху характеризується координатами точки В або С  при обертальному русі лінія АВ повернеться навколо полюса В  чи С  на такий самий кут φ і в той самий бік, що і в першому випадку.

Диференціюючи одержані рівняння   плоскопаралельного руху за часом, можна в кожний момент часу одержати проекції швидкості та прискорення точки А  а також кутову швидкість ω і кутове прискорення тіла. Тоді модулі швидкості й прискорення точки А  можна знайти як геометричну суму їх проекцій на координатні осі, використовуючи правило паралелограма:

VA=√VAx2+VAy2 ;   aA=√aAx2+aAy2 ,

Де VAx=dAx/dt  , VAy=dAy/dt   -проекції швидкості точки А на координатні осі .

/dt2   ,  aAy=d2ya/dt2   -проекції прискорення точки А на координатні осі /друга похідна прискорення від переміщень xA,yA за часом   t/.

Напрям швидкості VA, і прискорення aA визначаються величиною і знаком проекцій за формулами, аналогічними /2.17/, /2.18/.

Кутову швидкість ω і кутове прискорення E знаходять диференціюванням залежності кута   φ=f3(t) повороту тіла за часом  t:

ω =d φ/dt   ,   E=d2 φ/dt2    .

Напрями кутової швидкості та кутового прискорення тіла не залежать від вибору полюса.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Що собою представляє плолскопаралельний рух ?
2.  Які співвідношення існують між швидкостями точок тіла, що здійснює плоскопаралелльний рух ?
3.  Що розуміють під миттєвою віссю обертання тіла ?
4.  Як визначити модуль і напрям відносного прискорення будь-якої точки тіла, що здійснює плоскопаралельний рух ?
5.  Що розуміють під миттєвим центром швидкостей та прискорень, як знайти їх положення ?
6.  Які співвідношення існують між прискореннями різних точок тіла, що здійснює плоско паралельний рух ?

ВИКЛАДАЧ_____________________

РОЗДІЛ:Теоретична механіка. Динаміка

ТЕМА   Основні поняття і аксіоми динаміки

ПЛАН

1. Зміст розділу, задачі розділу

2. Аксіоми (закони)  динаміки

Студент повинен знати: що вивчає динаміка, аксіоми динаміки.

Студент повинен вміти: застосовувати основні закони динаміки для розв’язання задач.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА §§84-88 ; [11] §§ 12

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ 1 ЗАКОНИ ДИНАМІКИ

Зміст і задачі динаміки

У динаміці розв'язується два типи задач /прямі, та зворотні/

1/ визначення сил, що діють на дане тіло, за відомим законом його руху

2/ визначення руху тіла за відомими діючими на нього силами.

Прикладом першого типу задач може бути задача про рух потягу, коли необхідно визначити силу тяги й сили опору при заданій вазі потягу та інших даних. Коли задані дані, що характеризують рух потягу, а також маса потягу, сили, що спонукали потяг до руху, і потрібно визначити "його, то це буде задача другого типу.

І практичних задачах можуть бути поставлені різні питання, пов"язані з рухом: визначення часу руху до зупинки під дією прикладеної сили, визначення гальмівного шляху, траєкторії снаряда, висоти його підйому, дальності обстрілу і т.ін. Для розв"язання цих задач користуються законами динаміки.

Коли розміри тіл малі порівняно з траєкторіями, що описуються, їх можна розглядати як точки, наприклад рух планет сонячної системи.

Закони динаміки точки можна застосовувати до тіл, що рухаються поступально, коли треба визначити рух тіла в цілому, а не його окремих точок, наприклад, коли потрібно визначити траєкторію снаряда, ми можемо не брати до уваги його обертальний рух. Очевидно, для розв'язання деяких практичних задач тіло можна розглядати як матеріальну точку, що збігається з центром мас тіла. При цьому вся маса тіла вважається сконцентрованою у цій точці.

Закони динаміки        (аксіоми динаміки)

Вперше основні закони динаміки були сформульовані Ньютоном  у творі "Математические начала натуральной философии", опублікованому в 1687 р. Проте необхідно зауважити, що перший і четвертий закони були відомі також Галілею.

Перший закон - закон інерції: матеріальна точка зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху, поки дія інших тіл не змінить цього стану.

Цей закон часто називають першим законом Ньютона, або принципом інерції Галілея, Він достатньо вивчається в елементарному курсі фізики, тому тут розглянемо лише кілька зауважень.

Властивість матеріальної точки зберігати швидкість незмінною як за величиною, так і за напрямом,  в окремому випадку зберігати стан спокою, називається інертністю, або інерцією. Очевидно, перший закон встановлює властивість інерції матеріальної точки або,   іншими словами, неспроможність матеріальної точки самій собі надати прискорення.

Рух ізольованої матеріальної точки, тобто точки, на яку не діють сили, називають рухом за  інерцією. Взагалі у реальних умовах точки /тіла/ завжди знаходяться під дією інших тіл, тобто не ізольовані. Разом з тим рівномірний прямолінійний рух відносно координатних осей, незмінно зв"язаними з земною кулею, спостерігається дуже часто. Такий характер руху є наслідком того, що діючі на точку /тіло/ сили, які приводять їх у рух,   і сили опору взаємно урівноважуються.

Другий закон - основний закон динаміки: прискорення, що надається матеріальній точці прикладеною до неї силою, пропорційне модулю сили і збігається з нею за напрямом.

Цей закон називають також другим законом Ньютона.

Коли   F- сила, що діє на матеріальну точку, a - надане цією силою прискорення, то розглядуваний закон може бути представлений такою векторною рівністю /основне рівняння динаміки/:

F=ma  .

Як відомо із курсу фізики, скалярний множник  m  є коефіцієнт пропорційності між силою і прискоренням, являє собою масу матеріальної точки.

Із рівняння /12.1/ випливає залежність між числовими значеннями сили та прискорення, тобто скалярна рівність

F=ma  .

Подамо цей вираз так:  a=F/m , звідки зробимо висновок, що прискорення, надане матеріальній точці заданою силою, тим менше, чим більша маса цієї точки. Таким чином, маса точки /тіла/ є мірою її інерції при поступальному русі.

і тому випадку, коли вільна матеріальна точка знаходиться під дією сили G, рівність /12.2/ набуває вигляду

G=mg  ,

де  g - прискорення сили ваги, стала величина в даній місцевості земної поверхні /нагадаємо ще раз, що у середньому  g = 9,81 м/с 2.

Із /12.3/ можна визначити масу тіла, заздалегідь зваживши його на пружинній вазі /динамометр/. -

При розв"язанні задач із застосуванням основного рівняння динаміки необхідно уважно стежити за співвідношенням одиниць виміру, не допускаючи одночасного застосування одиниць, які належать до різних систем.

Нагадаємо, що в СІ основними одиницями є:  маси - кілограм /кг/, довжини - метр /м/,  часу - секунда /с/.  Одиниця сили належить до числа похідних,  її розмірність Дістаємо на основі  другого закону динаміки:

од. сили = од. маси   • од. прискорення.

За одиницю сили прийнята сила, що масі в один кілограм надає при скорення в один метр за секунду в квадраті. Ця одиниця має назву Ньютон /Н/.

Таким чином, І Н = І кгм/с -2 .

Третій закон - закон рівності дії та протидії: дії завжди відповідає рівна їй і протилежно напрямлена протидія, тобто дії двох тіл одне на одне однакові й напрямлені по одній прямій у протилежні боки.

Цей закон відомий під назвою третього закону Ньютона /див. статику/.

Підкреслимо ще раз, що із рівності дії та протидії  і протилежності їх за напрямом зовсім не випливає їх взаємна рівновага, бо дія і протидія прикладені до різних тіл.

Четвертий закон - принцип /закон/ незалежності сил:  за одночасної дії на матеріальну точку кількох сил вони надають їй прискорення,
що дорівнює геометричній сумі тих прискорень,  які точка одержала б
при дії кожної з цих сил окремо.

Нехай на точку масою   m одночасно діють сили   F1,F2,….Fn  і прискорення, якими оволоділа б точка при дії кожної з цих сил окремо, що дорівнюють відповідно   a1,a2,….an  при  одночасній дії  усіх сил точка оволодіє прискоренням  a  і згідно із сформульованим   законом

a=F1/m+F2/m+……Fn/m   .

Помноживши обидві частини цієї рівності на  m , дістанемо

ma=F1+F2+……Fn ,

Звідси,  враховуючи основне рівняння Динаміки, маємо:

ma=FΣ   ,

де       FΣ- геометрична сума заданої системи збіжних сил, тобто рівнодійна цієї системи.

Отже, за одночасної дії на матеріальну точку кількох сил їх можна замінити рівнодійною, яка надасть точці таке саме прискорення, яке вона одержує від дії усіх заданих сил.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Що вивчає динаміка ?
2.  Дати визначення чотирьом основним законам механіки.

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Теоретична механіка. Динаміка

ТЕМА  Основні поняття і аксіоми динаміки

ПЛАН

1.  Сила інерції матеріальної точки

2. Визначення її напрямів і величини для різних видів руху точки

3. Принцип Германа – Ейлера - Даламбера. Метод кінетостатики.

Студент повинен знати:  причини виникнення сили інерції, методи визначення сили інерції, принцип кінетостатики  та його застосування для  розв’язання задач.

Студент повинен вміти: визначати  напрямок та величину вектора сили інерції, розв’язувати задачі за допомогою метода кінетостатики.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [1]§88; [11] §§ 13.1

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Поняття про сили інерції

Скориставшись динамометром /пружинною вагою/,  зважало  деякий вантаж. Взявши гирю, сила ваги якої  5Н, підвісимо її  до гачка ваги. Покази на шкалі  -  5Н /рис. І,а/.

При рівномірному підніманні ваги разом з гирею покази не мінятимуться.

Коли ж вагу при зважуванні переміщати вгору з прискоренням,  то            покази  будуть уже більшими /рис. І,б/.

Дослідним шляхом можна встановити, що покази ваги збільшуватимуться пропорційно збільшенню прискорення. Зі зменшенням прискорення покази зменшуватимуться, а при а = 0, тобто рівномірному русі, покази ваги відповідатимуть силі ваги гирі.

Сила протидії в боку точки, якій надається прискорення, називається силою інерції.

Сила  інерції напрямлена в бік, протилежний напряму прискорення,   і прикладена до тіла, що надає прискорення.

Силу інерції,  зображену на рис. І, позначатимемо Ф. Прикладена вона до гачка ваги, тобто в"язі,  через яку гирі надається прискорення.

Модуль сили інерції дорівнює добутку маси точки на її прискорення:

ФІ =аm  ,

Рис. І

де m- маса рухомої точки.

і повсякденному житті ми часто відчуваємо дію сили інерції на собі. Наприклад, при підніманні ліфта з прискоренням /на початку піднімання/ ми відчуваємо появу деякої "ваги" в ногах,   і навпаки, на початку опускання відчувається "полегшення". Відчуття ці тим сильніші, чим більші прискорення /сповільнення/ ліфта. Виходячи з виразу можна зробити висновок, що при підніманні ліфта з прискоренням а=g сила  інерції дорівнює силі ваги і людина, що піднімається в ліфті, відчуває подвійну силу ваги.

У загальному випадку змінного криволінійного руху швидкість змінюється як за величиною так і за напрямком. Відповідно при цьому русі сила інерції розкладається на дві складові : дотичну ( чи тангенціальну) Фt, напрямлену по напрямку дотичного прискорення at і нормальну /відцентрову/ Фn, напрямлену в бік, протилежний нормальному /доцентровому/ прискоренню an, тобто від центра кривини траєкторії.

На рис. 2 показано матеріальну точку масою m, що рухається зі змінною швидкістю по криволінійній траєкторії. Коли в розглядуваний момент часу прискорення   

дорівнюють at I an модулі сил інерції точки визначаються з виразів:

Фt=mat  ,

Фn=man  .

Повна сила інерції Ф, що збігається з діагоналлю прямокутника, побудованого на Фt  і Фn ,та її модуль можуть бути визначені за формулою

Ф=√(Фt)2+(Фn)2 .

Для точки тіла, що здійснює обертальний руx                 

at=ερ  ,an=ν2/ρ=ω2ρ

Рис. 2

тому сили інерції можуть бути визначені за формулами:

Фt=mερ  , Фn=mν2/ ρ= mω2ρ

Фізично відцентрову силу інерції можна відчути при обертанні тіла M/рис. З/,, прив"язаного до нитки. Коли нормальне прискорення anто на тіло діє доцентрова сила

Фn=man

a сам вантаж діє на нитку з відцентровою силою

Фn=man=mω2ρ .

Чим   більша кутова швидкість нитки з тілом, тим більша Фn   і тим сильніше натягується нитка.

Очевидно, що можна розвинути таку швидкість обертання,  за якої виникаюча відцентрова сила інерції перевершить за величиною силу опору розриву нитки і тіло обірветься. В момент розриву  дія сил Фg і Фn  перестане впливати і тіло почне рухатися по дотичній до кола зі швидкістю   U .

На дії відцентрової сили основані виконання "мертвої петлі" на літаку, мотогонки по вертикальній       стіні, робота сепараторів для очищення пального й мастил від води і багато інших пристроїв.

Рис.  З

Наведені приклади показують, що сили інерції є реальними силами, які активно діють на тіла,- розтягують пружину ваги, розривають нитку при обертанні тіла  і т.ін.

Про реальний прояв дії сил  інерції можна говорити лише при наявності в"язів,  через які надається тілу прискорення: при підніманні вантажа з прискоренням натяг нитки більший за силу ваги вантажу на величину сили інерції, під час здійснення "мертвої петлі" сила  інерції вдавлює пілота в сидіння.

Сили інерції, що виникають яри русі з прискоренням окремих частин машини /поршня, шатуна, колінчастого вала/, викликають в них додаткові напруження, ї, крім того, вони змінюючись за величиною і напрямом, можуть надавати машині ряд періодичних поштовхів, які згубно впливають на фундамент. Щоб запобігти цьому, сили інерції та їхні моменти повинні бути зрівноваженими.

Від розглянутого прикладу /рис. З/ легко перейти до технічного прикладу, уявивши собі замість нитки спицю маховика, в замість тіла М - частину обода маховика. При доборі діаметра маховика необхідно враховувати швидкість, що розвивається на ободі, бо коли вона буде більшою за допустиму, маховик під дією відцентрової сили може розірватися.

Задача І.  Тіло масою 1,5 кг, прив"язане до нитки довжиною   l= 0,7 м, обертається у вертикальній площині. Опір розриву нитки   Fp= 66 Н. Визначити найменшу кутову швидкість, за якої нитка розірветься.

Розв"язання. Найбільшого значення сила, що діє на нитку, сягатиме в мить,  коли тіло проходить нижнє положення по вертикалі, тому_ що при цьому відцентрова сила  інерції Фn додається до сили ваги G  тіла. -. _

Нитка розірветься при силі натягу Fp=Фn+G   тому сила
інерції в мить розриву повинна бути Фn=Fp-G=Fp-mg=66-1.5*9.81=51.28 Н.

Найменша кутова швидкість, що відповідає одержаному значенню Фn , визначається із формули

Фn= ω2mρ

Де ρ=l , ω=√Фn/ml=√51.28/1.5*0.7=6.98 рад/с.

Із формули ω=πn/30 знайдемо частоту обертання /об/хв/, за якої відбувається розрив нитки: 

n=30ω/π=30*6.98/3.14=67 об/хв

ПРИНЦИП ГЕРМАНА - ЕЙЛЕРА - ДАЛАМБЕРА

Нехай по деякій траєкторії рухається невільна точка M /рис. 13.4/,F- активна_сила,що діє на точку, R - реакція в"язі. Склавши геометрично сили F і R, дістанемо їх рівнодіючу  FΣ , Згідно з другою аксіомою динаміки, ця сила дорівнює за модулем добутку ma, де  m- маса точки, a - її прискорення. Напрям сили FΣ збігається з напрямом прискорення.

Yявимо:  в дану мить часу до точки M додатково приклали силу Ф= -ma

,що дорівнює за модулем ma і напрямлена протилежно при
скоренню. З попереднього підрозділу відомо, що така сила називається силою інерції. Очевидно, що сила Fz і сила  інерції Ф взаємно урівноважуються - їх сума дорівнює нулю:

FΣ+Ф=0 .

Враховуючи в свою чергу сила FΣ виражає геометричну суму сил G і R остаточно отримаємо :

G+R+Ф=0

Отже, при русі матеріальної точки в кожну дану мить часу активна сила F реакція в"язі R і сила інерції Ф взаємно зрівноважені. Це положення називають принципом Германа - Ейлера - Даламбера.

Із сказаного випливає, що коли до рухомої матеріальної точки прикласти силу інерції, то для одержаної системи сил можна застосувати рівняння статики твердого тіла, Задача динаміки за формою розв'язання, таким чином,  зводиться до задачі статики.

Підкреслимо, що сила  інерції, як це було роз"яснено в попередньому підрозділі, фактично не прикладена до рухомої точки, ми її прикладаємо умовно, щоб мати змогу розв'язувати задачі  динаміки з допомогою рівнянь статики.

У випадках криволінійного руху краще розкласти силу  інерції на дотичну і нормальну складові.

Задача 13.2. Визначити силу натягу троса, який намотується на барабан вантажопідйомної машини, при підніманні вантаж масою  m= 2500 кг зі сталим прискоренням a=3,2 м/с2    /рис. .а/.

  Розв'язання. На вантаж G=mg /троса/ /V, яка чисельно дорівнює силі натягу троса, що потрібно знайти. Застосувавши метод кінетостатики, прикладемо до вантажa силу інерції Ф=ma напрямлену протилежно прискоренню, тобто вертикально вниз /рис.  6/. Складаємо рівняння - рівноваги всіх прикладених до вантажу сил /проектуємо

їх на вісь у /, одержуємо

Fix=0,-G+Ф+N=0,N=G+=mg+ma=m(g+a)=

=2200(9.81+3.2)=32525 H=32.525 kH

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Назвати причини виникнення сили інерції.
2.  Дати визначення силі інерції.
3.  Як направлені сили інерції при прямолінійному і криволінійному русі точки ?
4.  В чому сутність методу кінетостатики ?

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Теоретична механіка. Динаміка

         ТЕМА  Робота та потужність

ПЛАН

1. Робота постійної сили при прямолінійному русі

2. Одиниці вимірювання

3. Робота змінної сили

4. Робота рівнодіючої сили

5. Робота сили тяжіння

6. Потужність, одиниці вимірювання

7.ККД

8. Робота та потужність при обертальному русі

Студент повинен знати:  визначення роботи і потужності, одиниці вимірювання.

Студент повинен вміти:визначати роботу і потужність матеріальної точки та тіла, що обертається.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 1 ] §§89-97; [ 11 ] §§13.4 

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Механічна робота і потужність

Для характеристики дії сили на деякому переміщенні точки її прикладання вводиться поняття виміру цієї дії - роботу сили.

Найпростіше фізичне поняття про роботу можна одержати на прикладі піднімання вантажу або його переміщення по шорсткій площині. Очевидно, що чим більша сила ваги вантажу,   і чим вище його піднято, тим більша міра механічної дії сили, тобто тим більшою є виконана робота. Коли вантаж переміщується по горизонтальній площині, то із збільшенням сили ваги зростає сила тертя, а тому збільшується і робота. Величина роботи залежить як від величини сили, що прикладена для переміщення тіла /чи матеріальної точки/, так і від величини самого переміщення /пройденого шляху/.

  У найпростішому випадку, коли до   матеріальної точки прикладена постійна сила F і точка переміщується в напрямі дії сили, робота W  дорівнює добутку модуля сили  F на шлях S  який пройшла точка прикладання сили, тобто

W=F*S .

Звідси випливає, що одиниця роботи дорівнює добутку одиниці сили на одиницю довжини.

У  системі СІ одиницею роботи є джоуль - робота в один ньютон на шляху в один метр:

1Дж=1Н*м

    Розглянемо більш загальний випадок визначення роботи постійної сили.

Нехай точка   М\ на яку діє постійна сила F /рис. 1/, перемістилася по прямолінійній

                                                                                                                          Рис. 1.

траєкторії із положення M1 в положення M2 Рис. 1

Рис. 1

Коли силу F розкласти на дві складові Ft , що діє вздовж траєкторії точки; а Fn ,перпендикулярну до траєкторії/, то в напрямі Дії сили  Fn  переміщення не буде, а тому сила   Fn роботи     не виконує. Роботу виконує складова   Ft, що чисельно дорівнює Ft=Fcosα .

   Таким чином, робота сили F  на відрізку  M1,M2=S 

W=FtS=FScosα;

Робота постійної сили дорівнює добутку модуля сили на шлях, що пройшла точка її прикладання,  і на косинус кута між напрямами сили й переміщення.

Залежно від величини кута a робота сили F може приймати як додатні, так і від"ємні значення.

Коли 0<α<90° /кут a гострий/, cosα>0 і робота додатна. В  окремому випадку при =0 cos0° =1 і робота W=FS .Сила,що виконує додатну роботу, називається рушійною.

Коли α=90°,   cos90°=0,  і робота сили, перпендикулярної до напряму переміщення, дорівнює нулю.

Коли  90°<α<180° /кут  a  тупий/, cosα <0, і робота від"ємна. В окремому випадку при  α=180°, cos180°= -І і робота W= -FS .Сили, що виконують від"ємну роботу, називаються силами опору.

Прикладами сил опору можна назвати силу тертя, силу опору води при русі корабля, сили зчеплення між молекулами тіла, які дають, опір при обробці металів різанням,  і т.ін.

Задача 1. Визначити роботу, виконану при переміщенні по горизонтальній підлозі ящика масою 200 кг не відстань  S=15 м при коефіцієнті тертя f=0,2.

Розв"явання. При переміщенні     ящика по горизонтальній підлозі сила ваги G не виконує роботу, тому робота затрачена тільки на подолання опору тертя, тобто  cила R=FffRn,але через те Rn=G ,G=mg ,

Ff=fG=fmg .

Тому робота  W = Ff *S = 0.2*200*9.81*15 = 5886Н*м = 5886Дж =

= 5,886кДж.

Робота рівнодіючої. Робота сили ваги

Нехай під дією сил F1,F2,…Fn, матеріальна точка M переміщується по деякій криволінійній траєкторії із положення  M0в положення M1 /рис. 2/.

Припустимо, що рівнодіюча FE  цих сил в якийсь момент утворює з дотичною Mτ  до трaєкторії кут α=<(R,ΰ).Прийнявши       Мτ за вісь проекцій, на основі теореми про проекції рівнодіючої,  дістанемо

F Σcosα=F1cosα1+F2cosα2+…+Fncosαn

Тобто проекція рівнодіючої на деяку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій складових сил на ту саму вісь.

Помножимо обидві частини рівності на нескінченно мале переміщення  dS

FΣcosαdS=F1cosα1dS+F2cosα2dS+…+FncosαndS,

звідки випливає, що елементарна робота рівнодіючої дорівнює алгебраїчній сумі елементарних робіт складових сил. Проінтегрувавши останній вираз в границях від Sр до S1 /від положення М0 до M1//, знайдемо                                             Рис. 2

S1                    S1                  S1                      S1                                                                                                  

∫FEcosdS=∫f1cosa1dS+∫F2cosa2dS+…+∫FncosandS.                  

    S0                 S0                       S0                                 S0

 

Інтеграли,що стоять в обох частинах рівності, означають роботу

відповідних сил на переміщенні M0M1 ,а тому

WR=WF1+WF2+…+WFn .

Робота рівнодіючої на деякому шляху дорівнює алгебраїчній сумі робіт складових сил на цьому самому шляху.

Для визначення роботи сили ваги припустимо, що центр ваги тіла С переміщується а положення   С1 в положення   С2 /рис. 3/ по деякій криволінійній траєкторії, що лежить у вертикальній площині.

Рис. 3 

На нескінченно малому елементі шляху dS сила ваги виконає елементарну роботу

dW=GcosαdS ,

це α -кут між напрямом сили ваги й елементарного переміщення dS

Замінивши cosαdS= -dy одержимо

dW= -Gdy .

                     Проінтегрувавши цей вираз на всьому шляху  С1С2 знайдемо ,що

                                                                          C2     y2                y2

W=∫dW=∫(-Gr)dy= -G∫dy= -G(y2-y1)=G(y1-y2).

                                                                          C1     y1                y1

                                 Рис. 3

Різниця y1-y2, тобто дорівнює вертикальному переміщенню центра ваги тіла /див. рис. 3, а тому

W=G*h

-робота сили ваги не залежить від довжини шляху і форми траєкторії руху і дорівнює добутку модуля сили ваги на вертикальне переміщення центра ваги тіла.

Коли тіло падає, тобто y1>y2 і різниця y1-y2=h Додатна, то і робота сили ваги додатна.

При підніманні тіла y1<y2 рівниця  y1-y2= -h poбота сили ваги від"ємна. з цьому випадку сила ваги стає силою опору.

Очевидно, що при y1=y2 тіло рухається в горизонтальній площині/ висота піднімання центра ваги h=0, а тому і робота сили вaги дорівнює нулю.

Задача 2. По похилій площині, що утворює з горизонтом кут β=30°, піднято вантаж G= 30 кН на висоту h=7м. Визначити виконану роботу при рівномірному переміщенні вантажу , якщо рушійна сила F паралельна похилій площині і коефіцієнт тертя при переміщенні тіла по площині f= 0,2.

Розв"язання. При рівномірному русі вгору по похилій площині на тіло діє чотири сили /рис. 4 /: G- сила ваги, Rn- нормальна реакція похилої площини, F- рушійна сила  і Ff-сила тертя.

Для даного випадку , одержимо

 Рис. 4

WFΣ=WG+WRn+Wf+WF .

Тіло рухається рівномірно, це означає, що система чотирьох сил, які діють не тіло, зрівноважена, тому FΣ= 0 і WFΣ=0. Сила Rn перпендикулярна до напряму переміщення тіла, а тому і WRn =0. Таким чином, рівняння набуває вигляду

WG+WFf+WF=0

робота рушійної сили

WF= -WG-WFf .

Роботу сили ваги визначимо за формулою , пaм"ятaючи, що при підніманні тіла робота сили вaги від"ємна:

WG= -Gh .

Роботу сили тертя обчислимо за:

WFf=FfScosa .,

де в даному випадку

Ff=fRn=fGcosβ , S=h/sinβ , cosa=1 .

/Сила тертя напрямлена під кутом a= 160° до напряму руху тіла./

Підставивши знайдені значення   WG і WFf  , визначимо роботу рушійної сили  F 

WF= -WG-WFf=Gh+fGh(cosβ/sinβ)=Gh(1+fctgβ)=

=30*103*1(1+0.2*1.732)=282.744*103 Дж=282.744 кДж

Потужність і коефіцієнт корисної дії

Припустимо, що є дві машини, одна з яких виконує роботу 500 Дж, а друга - 50000 Дж. Чи можна, маючи ці дані, відповісти на запитання, яка із машин працездатніша, чи, як говорять, більш потужніша? Ні, неможна, бо перша машина, що виконує роботу 500 Дж, може здійснити її, припустимо, за І с, а друга - 50000 Дж за 10 хв. Очевидно, знання тільки величини роботи не дозволяє порівнювати машини за їхньою працездатністю, тому що на здійснення однієї роботи може витрачатися різний чає. Для характеристики працездатності чи швидкості виконання роботи вводиться поняття потужності.

Потужністю називають величину, що виражає роботу, виконану в одиницю часу. Величину потужності Р визначають з виразу

P=W/t .

Зазначимо, що в загальному випадку, коли робота в різні проміжки часу неоднакова /робота змінної сили/, наведена формула дає величину середньої потужності за час t .

У випадку, коли напрям сили збігається з напрямом переміщення, W=FS. Підставивши це значення , одержимо:

P=FS/t ,

але S/t=v- швидкість руху і, очевидно, у вказаному випадку для обчислення потужності можна скористатися формулою

P=F*v .

У СІ одиницею потужності є ватт:

1Вт=1Дж/1с=1Нм/1с .

У більшості практичних розрахунків зручніша кратна одиниця -кіловатт:     1кВт=1000Вт.

 У теплових поршневих машинах розрізняють два види потужності: індикаторну Рі  і елективну Ре. Індикаторною називається потужність, що виникає всередині циліндра. Потужність виміряна на фланці колінчастого вала, навівається ефективною. Для визначення Pi  спочатку з допомогою індикатора знімають  індикаторну діаграму, за якою визначають середній індикаторний тиск, а потім обчислюють індикаторну потужність.

Ефективна потужність визначається дослідним шляхом на стенді з допомогою спеціальних приладів /динамометрів/.

Перетворення одного виду енергії на  інший, в також здійснення роботи якою-небудь машиною завжди супроводжується втратами. В основному це втрати на подолання тертя в машинах і механізмах передач.

Відносна величина корисної роботи /потужності/ характеризується коефіцієнтом корисної дії /ККД/. Коефіцієнтом корисної дії називають відношення корисної роботи до всієї затраченої:                 

замість відношення робіт ККД може бути виражений як відношення потужностей.

За всіх способів вираження ККД завжди характеризує ту частину роботи, яка використовується на подолання корисних опорів. Очевидно, чим вищий ККД, тим досконаліша машина. Різниця між одиницею і значенням ККД характеризує відносну величину втрат, позначається φ . Наприклад,  коли насос має η=0,7, це означає, що 0,7 всієї затраченої роботи використовується на перекачування води, φ=1- 0,7 = 0,3 роботи витрачається на подолання таких шкідливих опорів, як тертя в насосі,  гідравлічні втрати і т.ін. Очевидно,

0≤η<1    і  1≥φ>0

Коли потужність передається від двигуна до робочої машини кількома послідовно діючими механізмами,ККД яких η1, η2,η3,...,то загальний ККД усієї установки дорівнює добутку всіх окремих ККД:

η=η1,η2,η3,

Задача 3.   Для піднімання 6000 м    води на висоту 5 м поставлений насос з двигуном потужністю 5 кВт. Скільки часу потрібно для перекачування води,  якщо коефіцієнт корисної  дії насоса  дорівнює 0,7.

Роза"язання. Прийнявши питому вагу води  γ=10*103Н/м , одержимо величину роботи, необхідну для піднімання води:

W=Gh ,

Корисна робота, що виконується в одиницю  часу з урахуванням заданого ККД насоса, тобто потужність насоса

P=Pдвη .

Із формули визначимо :

t=W/P=Gh/Pдвη=6000*10*103*5/5*0.7=8571.43*104c==23895год23c,

Робота і потужність при обертальному русі

Одержання, передача  і перетворення роботи й потужності у різних машинах і механізмах обов'язково пов"язані з обертальним рухом, тому необхідно встановити залежність між обертальним моментом,  кутовою швидкістю та потужній тю.

Коли тіло повертається на деякий кут φ чисельно незмінної сили F, напрямленої завжди по дотичній до траєкторії точки її прикладання до тіла /рис. 5/, то робота сили F може бути визначена добутком сили на шлях, пройдений точкою її прикладання:

W=Fab=Fφr  ,

 Рис. 5

де F- величина колового зусилля, напрямленого по дотичній до траєкторії руху тієї точки обертального руху тіла, в якій прикладено це зусилля; φ - кут повороту, рад; r - радіус траєкторії точки прикладання сили    F.

Момент, що виконується окружним зусиллям відносно осі обертання тіла, називається обертальним моментом  і позначається Т або Toб.   Згідно з визначенням

Тоб=F*r=Fd/2

тому робота може бути виражена  і через обертальний момент:

W=Тоб* φ .

Робота при обертанні тіла постійним обертальним моментом дорівнює добутку цього моментa на кут повороту тіла. Поділивши обидві частини рівності  на час, протягом якого тіло повернулося на кут φ одержимо:

P=W/t= φТоб/t .

Але  φ/t=ω- кутова швидкість при рівномірному обертанні і тому

P=Тоб*ω

Установимо залежність між обертальним моментом, потужністю та кутовою швидкістю, застосовуючи такі одиниці: рад/с - кутова швидкість, Н*м - обертальний момент, Р - потужність.

Можна зробити один важливий висновок: при заданій потужності якого-небудь двигуна добуток його обертального моментa на кутову швидкість повинен залишатися постійним. Очевидно, для збільшення обертального моменту необхідно зменшити кутову швидкість; при збільшенні кутової швидкості обов'язково зменшується обертальний момент.

Задача 4.    Маховик обертається разом з горизонтальним валом, цапфи /ділянки, що спираються на підшипники/ якого мають діаметр d=100мм. Навантаження на кожний з двох підшипників вала F=400 Н. Приведений коефіцієнт тертя кoвзання в підшипниках  f=0,05. Визначити роботу, що витрачається не подолання тертя за два оберти маховика.

Розв"язання. Сила тертя в підшипнику

 Ff=f*Rn=f*F .

За два оберти маховика точка прикладення сили тертя ковзання пройде шлях

S= 2πd;

Робота сил тертя у двох підшипниках:

W=2F*S=2fF*2πd=2*0.05*400*2*3.14*0.1=25,12 Дж.

Розв"язання могло б бути і таким:

І/ момент сил тертя в підшипниках як добуток сили тертя ковзання  Ff на радіус вала:

TFf=Ff*d/2 ,

2/ робота моменту сил тертя ковзання у двох підшипниках як подвоєний добуток моменту тертя на кут повороту в радіанах /за  два оберти  φ=4π  

W=2TFfφ=2fF*d/2*4*π=2*0,05*400*100/2*4*3,14=25,12Дж.

Питання для  самоперевірки:

1.  Що називається елементарною роботою?
2.  Як читається теорема про роботу рівнодійної сили?
3.  і  чому суть графічного способу визначення роботи?
4.  Чому дорівнює робота сили ваги?
5.  Чому дорівнює робота сили пружності?
6.  Чому дорівнює роботе й потужність сили, яка прикладена до тіла, що обертається?

7.  Що таке потужність сили?

ВИКЛАДАЧ____________________

Розділ: Теоретична механіка.Динаміка

          ТЕМА  Основні теореми динаміки

ПЛАН

1. Імпульс сили і кількість руху

2. Теореми про зміну кількості руху точки

3. Теорема про зміну кінематичної енергії матеріальної точки

Студент повинен знати:  визначення кінетичної та потенціальної енергії,формулювати теореми про зміну кількості руху матеріальної точки та зміну  кінетичної енергії матеріальної точки

Студент повинен вміти:визначати  кількість руху матеріальної точки, визначати кінетичну енергію матеріальної точки, що рухається.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 1 ] §§97-107; [ 11 ] §§ 13

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Імпульс сили

Імпульсом сили називається фізична величина,якою  характеризeється  дія  сили  в   часі. Імпульс сили будемо позначати  буквою S. При обчисленні його слід розрізняти два випадки.

F= conct;

1. Якщо сила постійна, тобто

то імпульс сили за час t її дії дорівнює добутку сили на якийсь час:

Очевидно,   імпульс  сили  є   величиною векторною. Проекції імпульсу на осі координат будуть

За одиницю імпульсу в системі СІ приймають ньютон*секунду (н*сік). Розмірністю імпульсу є м· кг / с.

2. Якщо сила змінна, то спочатку слідує вичислити елементарний імпульс цієї сили за проміжок часу dt :

Якщо змінна сила F  діє протягом кінцевого проміжку часу t – t0, то повний імпульс S визначається інтегралом:

Проекції   імпульсу  S   на осі координат   знаходяться по формулах

де X, Y, Z - проекції змінної сили F на осі координат.

       Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки.  Теорема  імпульсів

Розглянемо матеріальну точку М маси m, що рухається по деякій траєкторії під дією сили F (рис. 1). У початковий момент часу t0 точка займає положення М0, має швидкість v0 і   кількість  руху mv0.

У якийсь момент часу t рухома точка знаходиться в положенні М, її швидкість рівна v, а кількість руху mv. Потрібно визначити зміну кількості руху в часі.

Позначаємо кількість   руху   буквою К,   отримаємо

Проекції кількості руху матеріальної точки на вісі координат будуть

Рис 1. Зміна кількості руху  матеріальної точки.

Теорема про зміну коли-

чества рухами матеріальної точки є другий закон Ньютона

Векторній  рівності (139) відповідають три в ко-

пппинятипн   rhnm, ip'

Отже, перша похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює рівнодіючій силі.

Цю теорему можна представити в інтегральній кінцевій формі, визначаємо зміну кількості руху за кінцевий проміжок часу,  наприклад   t – t0 -

 З рівняння  отримаємо

d (mv) = F·  dt

Проінтегруємо його в межах від t0 до t:

∫ d (mv) = f P · dt

Звідки                                mv – mv0 = S.

Отриманий результат складає зміст теореми імпульсів.

Теорема. Приріст кількості руху матеріальной точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу рівнодійної сили за той же проміжок часу.

Проектуючи ліву і праву частині векторного рівняння  на осі координат, отримуємо ту ж теорему в скалярній або координатній формі:

Теорема про зміну кінетичної енергії

матеріальної точки

Енергією зветься здатність точки здійснювати механічну роботу. У механіці розрізняють два види енергії: потенціальну і кінетичну.

Назва "потенціальна" походить від латинського слова "потенція", що означає можливість. Поняття потенціальної енергії пов"язвне з поняттям так званих позиційних сил, які формують силове поле. Силовим полем зветься частка /область/ простору,  в кожній точці якого на матеріальну точку діє однозначно визначена за величиною та напрямом сила у будь-який момент часу. Якщо діюча сила не залежить в явній формі від часу, то силове поле зветься стаціонарним.

При вивченні руху матеріальної точки у стаціонарному силовому полі використовуються такі його властивості:

робота сил стаціонарного силового поля у загальному випадку не залежить від закону руху матеріальної.;точки по траєкторії, а залежить від початкового та кінцевого положення точки М у просторі;

робота сил стаціонарного силового поля при русі точки від початкового до кінцевого положення точки M дорівнює роботі і цих сил у зворотному напрямі з протилежним знаком.

і фізичному понятті потенціальна енергія - це "запас" роботи, яку може здійснити дане тіло. Наприклад, коли гирю вагою 5 Н підняти на висоту омі тим самим затратити на це 25 Н*м роботи, то гиря, впавши з цієї висоти, здійснить таку саму роботу. Перебуваючи на висоті 5 м.гиря має потенціальну енергію 25 Н-м. Тобто потенціальна енергія тіла залежить від його розташування:  чим вище воно розташоване від поверхні Землі, тим більшу потенціальну енергію має. Взагалі поверхня Землі в даному випадку взята умовно; так, ми можемо визначити потенціальну енергій тіла, яке знаходиться, наприклад, на рівні п"ятого поверху по відношенню до другого чи третього поверху.

Здатність тіла здійснювати роботу може не залежати від розташування по висоті. Наприклад, стиснута чи розтягнута пружина має деяку потенціальну енергію, величина якої залежить від матеріалу та діаметра проволоки, діаметра і числа витків самої пружини, а також величини деформації.

Кінетичну енергію мають усі тіла, що рухаються, а тому це енергія тіла, що рухається. Наприклад, рух потоку води може приводити в Дію водяну турбіну, потік повітря, що рухається, - парусник чи вітряну станцію.

Потенціальна й кінетична енергія - величини скалярні. Кінетична енергія точки залежить від її маси та швидкості і дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості:

  E=mU/2 .

Одиницею кінетичної енергії є одиниця роботи, в СІ (кг*м2/c2=кг*м/с2*м=Н*м=Дж) ,

Теорема про зміну кінетичної енергії точки

Нехай точка масою М /рис. І3.23/ рухається під дією сили F по деякій кривій. Зазначимо, що силу р можна розглядати як рівнодійну будь-якої системи сил.

Згідно з основним законом динаміки  

F=ma .

_ Спроектувавши вектори F і a на напрям швидкості, одержимо

Fcosa=macosa.

Із кінематики відомо, що проекція прискорення на напрям швидкості дорівнює дотичному прискоренню аt, тобто

acosa=at=dU/dt .

Підставивши це значення у вираз основного закону і помноживши обидві частини рівняння на нескінченно мале переміщення dS  одержимо

FcosadS=m*dU/dt*dS .

    Через те що

dS/dt=U  ,FcosadS=mUdU .

Проінтегрувавши ліву частину рівності _в_ границях від 0 до S, одержимо роботу сили F на шляху S.   Якщо F - рівнодійна системи сил, то W-робота рівнодійної чи алгебраїчної суми робіт усіх сил:

                                                  S

∫FcosadS=W .

                                                  0

Права частина повинна інтегруватися залежно від границь зміни
швидкості. Коли сила почала діяти на точку при початковій швидкості  U0 то, про інтегрувавши в границях від  U0 до U ,  одержимо:

                           U                      U

∫mUdU=m∫UdU=mU2/2-mU02/2   ,

                           U0                                 U0 

Таким чином, в результаті інтегрування /13.29/ одержуємо:

W= mU2/2-mU02/2  .

 Згідно з формулою /13.26/ mU02/2- кінетична енергія точки на початку цього шляху.

Тому рівняння /13.30/ виражає теорему: зміна кінетичної енергії tочки на деякому шляху дорівнює роботі всіх діючих на точку сил на тому самому шляху. Якщо при русі точки  U>U0, то mU2/2-mU02/2>0, тому величина кінетичної енергії зростає.

ЯкщоU<U0 , то mU2/2-mU02/2<0, тому величина кінетичної енергії точки зменшується в міру подолання некорисних опорів. В окремому випадку при  U= 0 рівняння /13.30/ набуває вигляду

W= -mU02/2 .

Це означає, що точка зупинилася під дією сил опору, робота яких від"ємна і чисельно дорівнює початковому запасу кінетичної енергії точки.

       Коли U=U0, то mU2/2-mU02/2=0, а тому W= 0, тобто точка рухається рівномірно, алгебраїчна сума робіт усіх діючих на неї сил дорівнює нулю.

Теорема про зміну кінетичної енергії точки застосовується і для тіла, що рухається поступально. У цьому випадку в рівнянні /13.30/ m - маса тіла, U i U0  - швидкості центра ваги тіла на початку і наприкінці шляху.

Задача 13.9. Тіло масою m = 5 кг вільно падає без початкової швидкості. Визначити кінетичну енергію тіла через 10 с після початку падіння.

Розв"яаання. Розглядаємо тіло як матеріальну точку. Через 10c швидкість дорівнюватиме U= gt ,а кінетична енергія

F= mU2/2=mg2t2/2=5*9.812*100/2=24059Дж=24.059кДж

Задача 1З.1О. По похилій площині, що утворює з горизонтом кут 30°, опускається важке тіло бе3. початкової швидкості. Яку швидкість матиме тіло, пройшовши 3м після початку руху,якщокоефіцієнт тертя f = 0,1?

Розв"язання. При ковзанні тіла по похилій площині на нього діє три сили: G- вага тіла, R - нормальна реакція похилої площини, Ff - сила тертя /рис. 13.24/. На початку руху  U0= 0, тому рівняння /13.30/ у даному випадку набуде вигляду

W=mU2/2 ,

Де W=WG+WFf+WRn=

=GSsin30º+FfScos180º+0 .

Через те що

Ff=fRn=fGcos30º,cos160º=l ,

W=GSsin30º-fGScos30º=

=GS(sin30º-fcos30º) .

Підставляючи в рівняння /ІЗ.ЗІ/ значення \/\/ тa G=mg,               матимемо:

gS(sin30º-fcos30º)=V2/2 ,

Рис. 13.24

звідки швидкість тіла наприкінці шляху S=3 м.

U=√2gS(sin30º-fcos30º) =

=√ 2*9,81*(0,5 - 0,І*0,866)*3=4,93 м/с.

Теорема про зміну кінетичної енергії

Для визначення кінетичної енергії перемножимо скалярно праву тв ліву частини формули /13.36/ на відносну швидкість матеріальної точки:

d/dt(mVr)Vr=FVr+RVr+ФeVr+ФcVr .

Розглянемо останній доданок згідно з визначенням прискорення
Коріоліса:

ФcVr= -2m(ωeVr)Vr .

Векторний добуток у дужках, за своїм визначення, завжди перпендикулярний до вектора   Vr,тому скалярний добуток (ωeVr)Vr -завжди дорівнюватиме нулю.

Добуток сили, прикладеної До матеріальної точки, на швидкість точки визначається як потужність цієї сили, тобто

FVr=PF , RVr=PR , ФeVr=PФe

Введемо у /13.37/ відносну швидкість VI, під знак похідної й
матимемо:

d/dt(mVr2/2)=PF+PR+PФe

          Ця формула репрезентує теорему про зміну кінетичної енергії відносного руху матеріальної точки у диференціальній формі.

Помножимо праву та ліву частини Д3.38/ на d/t і про інтегруємо. Доданки в правій частині визначимо так:

PFdt=FVrdt=F*dρ/dt*dt=Fdρ .

Позначимо:

∫Fdρ=WF , ∫Rdρ=WR , ∫Фedρ=WФe  .

Остаточно запишемо:

mVr2/2-mVr02/2=WF+WR+WФe  ,

де  Vr0,Vr - швидкість матеріальної точки на початку та наприкінці визначеного переміщення.

Вираз являє собою теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки в інтегральній формі або у формі кінцевих переміщень і формулюється так: Зміна кінетичної енергії точки у відносному русі на деякому переміщенні дорівнює роботі активних сил, реакцій в"язів і переносних сил інерції на тому самому переміщенні.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Що називається імпульсом сили ?
2.  Що називається кількістю руху ?
3.  Сформулювати теорему про зміну кількості руху.
4.  Що називається потенціальною енергією ?
5.  Що називається кінетичною енергією ?
6.  Сформулювати теорему про зміну кінетичної енергії.

ВИКЛАДАЧ____________________

Розділ: Опір матеріалів                                 

ТЕМА  Основні положення опору матеріалів

ПЛАН

1.  Задачі розділу
2.  Деформоване тіло. Пружність і пластичність.
3.  Поняття про розрахунки на міцність, жорсткість і стійкість.
4.  Класифікація навантажень.
5.  Основні гіпотези та припущенн я в опорі матеріалів.
6.  Геометричні схеми елементів конструкцій: брус, оболонка, пластина, масивне тіло.
7.  Метод перерізів та його застосування для визначення внутрішніх силових факторів.
8.  Напруження : повне, нормальне та дотичне.

Студент повинен знати:  види деформацій, сутність розрахунків на міцність, жорсткість та стійкість, основні гіпотези та припущення. Визначення напружень.

Студент повинен вміти:визначати  вид деформації, застосовувати метод перерізів для визначення внутрішніх силових факторів, визначати напруження.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 2 ]  §§1.1-1.5; [12]  §§ 1

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

За своєю специфікою діяльність інженера пов’язана побудовою і експлуатацією різноманітних машин, приладів, механізмів, будівель, які, сприймаючи різні навантаження, мають забезпечити цілий ряд вимог: бути досить надійними, працездатними, технологічними, економічними і мати естетичний вигляд. Вимога надійності, що оцінюється критеріями міцності, жорсткості, зносостійкості, з одного боку, та економічності з другого, суперечать одна одній. Дійсно, надійність конструкції вимагав збільшення розмірів, а її економічність в процесі виготовлення і експлуатації - мінімальної матеріаломісткості. Таку задачу неможливо розв’язати без допомоги спеціальної науки - опору матеріалів.

Опір матеріалів - це наука про інженерні  методи  розрахунків на міцність, жорсткість і стійкість деталей машин, механізмів і споруд. Чи раз розрахунок деталей вона дає можливість розраховувати міцні і красиві  інженерні споруда, визначати їх надійні розміри.

Розрахувати конструкцію - це означає підібрати оптимальні форму  1 розміри її елементів і забезпечити міцність конструкції в цілому. Під міцністю розуміють здатність деталей машин та механізмів, не руйнуючись, чинити опір дії зовнішніх сил.

Проте, міцність конструкції ще не гарантує надійність останньої В цілому. Конструкція в цілому може не руйнуватись, але під дією зовнішніх сил деякі її елементи можуть так деформуватись, що подальше використання стає неможливим.

Отже, конструкцію необхідно розраховувати  на обмеження деформації  її  елементів під дією зовнішніх сил  інакше можуть ВИНИКНУТИ перекоси ,заклинювання і таке інше, що виключить нормальну роботу машини, тобто необхідно проводити розрахунки на жорсткість.

Жорсткість - це здатність деталей машин та механізмів протидіяти зовнішнім силам з точки зору допустимих змін розмірів та форма, тобто деформації.

Деякі елемента конструкцій мають особливу форму і працюють під дією характерних навантажень, наприклад: тонкі і довгі стержні при стиску, тонкостінні циліндричні конструкції в процесі закручування І ін. Такі конструкції під навантаженням без будь-яких зовнішніх причин раптово втрачають пружну рівновагу або стійкість. Після втрати рівноваги процес руйнування конструкції відбувається вже так швидко, що стає неможливим відвернути катастрофу, у наведених прикладах втрата стійкості виявляється у викривленні стиснутого стержня І коробленні закрученого циліндра.

Втрата стійкості в таких конструкціях відбувається під дією сил, набагато менших бід отриманих Із розрахунків на міцність і жорсткість. Тому деякі конструкції та їх елементи необхідно спеціально розраховувати на стійкість. Під стійкістю розуміють здатність елементів конструкції зберігати положення пружної рівноваги під дією зовнішніх сил.

На практиці доводиться мати справу з розрахунками конструкцій складних форм, але всі вони вміщують чотири види простих елементів: брус, пластина, оболонка і масивне тіло. Брусом будемо називати елемент конструкції, у якого один із геометричних розмірів довжина набагато перевищує два інших поперечних;

Оболонка - це викривлена пластина. Прикладами оболонок в стінки цистерн, баків, куполи будівель тощо.

Масивним тілом будемо вважати елемент конструкції, у якого всі три виміри одного порядку. Це фундаменти, масивні колони тощо.

Опір матеріалів виділився в самостійну науку ще в першій половині ХУП століття. В цей час так звана епоха Відродження бурхливий розвиток мореплавства, техніки торгівлі, військової справи, будівництва вимагали наукових обґрунтувань, розрахунків на міцність конструкцій та машин. Засновником науки опору матеріалів вважають італійського вченого Галілео Галілея 1564-1642. Опублікований ним в 1638 р. науковий трактат "Бесіди і математичні доведення, що відносяться до двох нових галузей науки - механіки та місцевого руху" поклав початок розвитку науки опору матеріалів. Робота була присвячена розв'язанню задач і  про залежність між розмірами бруса і зусиллям, які він може витримати. Розрахунки Галілея принесли значну користь у будівництві великих кораблів і споруд.

Подальший розвиток науки опору матеріалів йшов паралельно з розвитком інших точних наук - фізики, математики, матеріалознавства тощо, її обсяг поповнювався вкладом зарубіжних і вітчизняних вчених та інженерів.

Зовнішні і внутрішні сили. Деформація.

Як відомо з курсу загальної фізики, силою називають взаємодію тіл /або їх частин/, в результаті якої виникають прискорення цих тіл або їм І на їх форми /розмірів/ - деформація. В опорі матеріалів розрізняють зовнішні і внутрішні сили.

Зовнішніми називають сили, які виникають під час взаємодії даного тіла, елемента конструкції з іншими, зв'язаними з ним тілами. Наприклад залізобетонна ферма мосту сприймає від коліс вагу автомобіля і передає II на бетони і опори; останні, в свою чергу, передають це навантаження вагу на фундамент, а потім на його основу.

Класифікацію зовнішніх сил проводять за кількома факторами і за часом дії, елементами поверхні тіла, на які передається дія, за величиною і напрямом дії 1 ін. Найчастіше в розрахунковій практиці зустрічаються зосереджені сили і розподілені навантаження.

Зосередженою називають силу, яка діє на розглядуваний елемент конструкції по площі, розмірами якої порівняно з розмірами конструкції ножна нехтувати. Зосередженою можна вважати силу тиску коліс вагона на рейку, тиск людини своєю вагою на підлогу тощо. Зосереджену силу позначають буквою F,  в системі  СІ  вона вимірюється в ньютонах(н), кілоньютонах (кн); в технічній системі - в кілограмах (кг), тоннах (т)

Розподіленими називають сили, які прикладені на деякій довжині або площі поверхні тіла,  порівнянній з його розмірами. Прикладами таких сил є тиск шару снігу однакової товщини на поверхню покрівлі, що являв  ', собою навантаження, рівномірно розподілене по поверхні; власна вага провідника лінії електропередачі - це навантаження, розподілене по лінії, лінійно розподілене навантаження.

Навантаження, розподілене по лінії, позначається літерою q і  має одиниці в системі СІ ньютон на метр(н/м) ,кілоньютон на метр(кН/м), меганьютон на метр(МН/м), в технічній системі - кілограм на метр (кг/м), тонна на митр (т/м).

 

Крім того, зовнішні сили за часом дії поділяють також на станині, динамічні, повторно-змінні і та. ін.

Розглянемо поняття внутрішніх сил. Як відомо, довільна тіло складається з молекул і атомів, між якими існують сили взаємного притягання I взаємного відштовхування. ЦІ сили взаємодії у фізиці називають внутрішніми. Внаслідок наявності внутрішніх 01Л тіла намагаються зберегти свою форму як вдане ціле; ці сили протидіють всякій зміні взаємного розташування молекул І атомів тіла. Наприклад, Під час розтягу стержня сили взаємного притягання між молекулами І атомами протидіють розтягу, а під час стиску стержня виникають сили взаємного відштовхування, які протидіють стиску.

В цілому, якщо зовнішні сили намагаються змінити форму тіла, то внутрішні сили протидіють намаганням деформувати тіло. Відповідно до цього, чим більші зовнішні сили, тим більша і протидія, тобто більші внутрішні сили. Звідси випливає що внутрішні сили навантаженого і не навантаженого елемента конструкції неоднакові.

У науці опору матеріалів ті внутрішні сили, які діють між молекулами і атомами ненавантаженого бруса, не розглядають. В подальшому під внутрішніми силами розумітимемо ту їх змінну частину, яка виникає лише під дією зовнішніх сил, тобто будемо вважати, що у ненавантаженому брусі внутрішні сили відсутні. Зрозуміло також, що в навантаженому брус! виникають внутрішні сили, які намагаються повернути частинки твердого тіла в ті положення, які вони займали до навантаження, тобто до деформації.

Під деформацією будемо розуміти всяку зміну початкової форми і розмірів тіла під час дії на нього зовнішніх сил.

Деформація, яка повністю зникає після припинення дії зовнішньої сили, називається пружною. Деформація, що залишається в точці після припинення дії зовнішніх сил, називається пластичною /або залишковою/,

В опорі матеріалів мають справу переважно з пружними деформаціями, що діють в реальних конструкціях.

Залежно від характеру дії зовнішніх сил елементи конструкцій можуть набувати таких видів простих деформацій: розтяг або стиск, зсув, кручення і згин. За наявності в тілі кількох видів простих деформацій вважають, що таке тіло має складну деформацію або чинить складний опір.

Деформацію розтягу або стиску, наприклад, має стержень, до якого прикладено зовнішні сили вздовж його осі. Такої деформації зазнають троси, канати, штоки поршнів двигунів тощо.3сув виникає тоді, коли на тіло діють паралельні і протилежно напрямлені сили, зміщуючи плоскі  перерізи твердого тіла один відносно одного. Деформації зсуну  зазнає брус в разі розрізу його ножицями, вона виникає в клепаних, шпонкових і частково болтових з'єднаннях.

Деформація кручення виникає тоді, коли зовнішні сили утворюють пара 0JW, ЯКІ розміщені в площині, перпендикулярній до осі бруса. Такій  інформації підлягають вали, свердла  і  інші елементи конструкцій.

Згин бруса трапляється у випадку дії зовнішніх сил, напрямлених перпендикулярно до осі бруса. Внаслідок згину вісь стержня викривляється  aбo змінює початкову кривизну. Таку деформацію мають балки, осі, зуби зубчастих коліс тощо.

Основні гіпотези і припущення

в опорі матеріалів.

В опорі матеріалів неможливо обійтись без деякої   ідеалізації матеріалів, умовностей під час зображення дії зовнішніх сил, спрощень н процесі аналізу деформації тіл. Якщо цього не зробити, то предмет опору матеріалів був би настільки громіздкий, настільки, насичений математичними викладками та реальними деталями /фактами/, що практично було б неможливо провести необхідні розрахунки. Отже, припущення необхідні, але вони мають бути такими, щоб не спотворювалась реальна картина опору тіла дії зовнішніх навантажень.

Численні експериментальні дослідження та інженерна практика підтверджують можливість і доцільність таких гіпотез і припущень.

Розглянемо основні гіпотези і припущення, що найчастіше використовуються під час вивчання різних розділів опору матеріалів.

1. Гіпотеза про неперервність матеріалу. Згідно з цією гіпотезою вважають, що матеріал повністю і рівномірно заповнює зайнятий ним об'єм тіла, без будь-яких пустот /в дійсності в тілі в раковини, тріщини і"т.д./." В. зв'язку з цим механічні, фізичні та інші властивості матеріалів не залежать від вибору величина об'єму цього матеріалу.

2. Гіпотеза однорідності і ізотропності матеріалу. Вважається, що фізико-механічні властивості матеріалу  однакові в будь-якій частині тіла і не залежать від вибору їх вимірювання. Ця гіпотеза припустима для полі кристалічних матеріалів, але неприпустима, наприклад, для дерева як безумовно анізотропного матеріалу.

3. Гіпотеза малості і лінійності деформації тіла. Вважається, що вміщення частин, ліній чи перерізів тіла /деформації/ в елементах конструкцій малі  порівняно з розмірами цих елементів І що ці зміщення прямо пропорційні значенням внутрішніх сил. В межах дії цієї гіпотези виконується закон Гука, згідно з яким величина пружної деформації прямо пропорційна величині прикладеного до тіла навантаження. Так, якщо під дією сили F   стержень довжиною ℓ  видовжується на величину Дℓ, то під дією сили 2F  видовження цього стержня становитиме 2Дℓ і т.д.

4. Гіпотеза ідеальної пружності. Згідно з цією гіпотезою вважається, що матеріали мають властивість повністю відновлювати первинну форму і розміри тіл після припинення дії зовнішніх сил.

5. Гіпотеза суперпозиції дії сил: однорідні величини /внутрішні сили, напруги, деформації/ від дії кількох зовнішніх сил додаються.  Це припущення надзвичайно важливе тим, що дозволяє у випадку складного опору знаходити загальні деформації додаванням деформацій, спричинених окремим видом навантаження.

В опорі матеріалів важливий елемент розрахунків - розрахункова схема, яка є певною ідеалізацією реальних конструкцій, споруд тощо. Всякий розрахунок конструкції починається з вибору і складання цієї розрахункової схеми. Правильно вибрана розрахункова схема враховує найголовніше  для розрахунку конструкції в цілому. На рис. 1.1, а показана частина трубопроводу довжиною ℓ , по якому самопливом тече рідина. Під час розрахунку необхідної товщини труби перш за все складають розрахункову схему, що показана на рис.1.1,б,- де q розподілено за довжиною навантаження, яке складається з ваги одиниці довжини труби і рідини в ній.

а 

Рис.1.1 Ділянка трубопровода  /а/  та її розрахункова схема /б/

Перш ніж розв'язувати реальну  задачу, необхідно уважно поміркувати над тим, щоб відокремити суттєве від несуттєвого, тобто правильно вибрати розрахункову схему.

 

Метод перерізів. Поняття про епюри внутрішніх силових

факторів

У довільно вибраному об'ємі елемента конструкції під дією зовнішніх сил, як зазначалося, виникають внутрішні сили. Для визначення внутрішніх сил у перерізах бруса користуються методом перерізів.

Розглянемо певний брус, навантажений довільною системою зрівноважених зовнішніх сил /рис.1.2/. У довільному місці перетнемо

Рис. 1.2. Брус, навантажений системою зовнішніх сил

 

поперечною площиною   Q цей брус  і розглянемо взаємодію отриманих частин А і   В. Через те що зв'язки між   поділеними частинами відсутні, для фактичної рівноваги частин необхідно дію правої частини   В на ліву А або лівої А на праву  В замінити зрівноважуючою системою сил у перерізі, тобто внутрішніми силами. Відповідно до гіпотези неперервності матеріалу внутрішні сили в перерізі діють у кожній точці і мають довільний напрям. Суть методу полягає в тому, що кожна з відрізаних частин, будучи під дією зовнішніх і внутрішніх сил у перерізі, перебуває в стані рівноваги, наприклад, ліва частина А /рис.1.3/.

Рис.1.3.Ліва частина розрізаного бруса, зрівноваженого зовнішніми і внутрішніми силами

В будь-якому іншому перерізі бруса внутрішні сили будуть, звичайно, іншими.

Повернемося до розгляду рівноваги, наприклад, лівої відрізаної частини бруса А /рис.1.3/.

Виберемо систему координат   х, у, ż  /рис.1.4/. Початок координат сумістимо з центром ваги поперечного перерізу О , вісь   х  напрямляємо перпендикулярно до перерізу, осі   у і ż  збігаються з площиною перерізу.

Зведемо систему внутрішніх сил в перерізі до рівнодійної в центрі ваги перерізу О . Тоді отримаємо головний вектор внутрішніх сил R і головний момент цих сил М /рис.1.4/.  Спроектуємо головний вектор сили  R і головний момент  М  на осі координат, дістанемо відповідно три проекції  сили   R і три проекції момента М /рис.1.5/. ЦІ шість проекцій називаються внутрішніми силовими факторами, три проекції вектора  R на координатній осі ще називаються зусиллями. Проекція головного вектора сили R на вісь х називається нормальною силою і позначається літерою N. Проекція головного вектора  сили R на осі у і ż називаються поперечними силами і позначаються відповідно Qy і Qz .

 

 

Рис. 1.4. рівнодійна сила R і рівнодійний момент М внутрішніх сил у перерізі бруса.

 

Рис. 1.5. Внутрішні силові фактори в перерізі бруса

Проекція головного момента М   на вісь х  називається крутним моментом  і позначається Мх або Мк . Аналогічно проекції головного момента М на осі  у і ż    називаються згинаючими моментами і позначаються відповідно Мy і Mz.

Оскільки кожна з відрізаних частин бруса знаходиться в рівновазі, цю обставину використовують для обчислення внутрішніх силових факторів через діючі зовнішні сили /активні і реактивні/. Тоді згідно з рівнянням статики нормальна сила N у перерізі дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісь х бруса всіх зовнішніх сил, що діють на одну із частин розрізаного тіла. Аналогічно можна сформулювати правила для обчислення поперечних сил Qy і Qz .

Крутний момент Мк у перерізі дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісь х бруса всіх моментів зовнішніх сил, що діють на одну із частин розрізаного бруса. Аналогічно можна обчислити внутрішні моменти Мy і Мz   .

Підбиваючи підсумки, підкреслимо, що метод перерізів дозволяв визначити і обчислити зусилля N, Qy, Qz і внутрішні моменти Мк , Мy і Мz через діючі на брус зовнішні сили.

Для цього необхідно:  

1/ розсікти брус поперечною площиною в тому місці, де необхідно обчислити силові фактори;

2/ відкинути одну  із розрізаних частин бруса /доцільно ту його частину, яка навантажена більшим числом зовнішніх сил/;

3/ замінити дію відкинутої частини бруса на залишену внутрішніми силами;

4/ скласти необхідні рівняння рівноваги залишеної частини;

5/ розв'язуючи рівняння рівноваги для залишеної частини,  обчислити внутрішні силові фактори.

Звичайно, внутрішні силові фактори в різних перерізах того ж бруса можуть мати різні  значення. В зв'язку з цим будують графіки, що показують розподіл внутрішніх сил вздовж стержня, тобто характеризують залежність внутрішніх силових Факторів від координати х.

Графік, що характеризує зміну внутрішнього силового фактора в разі переходу від одного перерізу бруса до  іншого, називається епюрою.  Для кожного внутрішнього силового фактора будується своя /окрема/ епюра.

Під час побудови епюр внутрішніх силових факторів користуються такими правилами :

1. Вісь абсцис, на якій будують епюру /її називають базовою лінією епюри/ проводять паралельно осі бруса за межами розрахункової схеми.

2. Від базової лінії епюри відкладають ординати, що зображають

у вибраному масштабі величину зусилля, з урахуванням його знака /додатні значення - угорі   або праворуч, від'ємні - внизу або ліворуч /.

3. Штрихують епюри лініями, перпендикулярними   до базової.

4. На полях епюр проставляють знак,- обведений колом, а навпроти базової лінії вказують позначення і одиницю зусилля.

Крім цього, на межах : ділянок епюр проставляють числові значення внутрішнього силового фактора.

Найнебезпечнішими є ті перерізи /або ділянки/ бруса, в яких внутрішні силові фактори досягають найбільшого значення. Небезпечні ділянки або перерізи бруса можна визначити лише після побудови епюри зусилля. В зв'язку з цим вміння правильно будувати епюри внутрішніх сил вважається одним Із найважливіших завдань предмета опору матеріалів.

Поняття про напругу. Зв'язок напруги із зусиллями

Метод перерізів дозволяє обчислити результуючі внутрішні силові фактори в перерізах. Між тим руйнування деталі починається з точки, і щоб йому запобігти, треба вміти обчислювати внутрішні сили в точках стержня /деталі/. Для визначення характеру розподілу внутрішніх сил в окремих точках перерізу необхідно ввести нову величину - інтенсивність розподілених внутрішніх сил у точці. Ця величина, що кількісно характеризує зусилля, віднесене до одиниці площі, називається напругою.

Розглянемо переріз певного бруса. Координатні осі x ,y, z в перерізі бруса розмістили так, як показано на рис.1.6.

.

Рис. 1.6. Внутрішні силові фактори dQy   , dQz ,   N на

елементарній площадці   dA перерізу та їх рівнодійна dR.

Виділимо в перерізі  елемент площі d A , настільки малий,щоб внутрішні сили на ньому були однакові. Рівнодійна внутрішніх сил на площадці    dA  нехай буде dR ; напрям може бути довільний /рис. 1.6/. Проекції сили dR на осі х, у, z   дадуть, як уже відомо, елементарні зусилля   dN, dQy і dQz. Оскільки площа dA мала, то рівнодійний момент на цій площадці дорівнює нулю.

Відношення рівнодійної  dR   до площі  dA є електрона величина , називається повною напругою в точці  і позначається    Р   :

Одиниці повної напруги в системі СІ: Па (Н/м2), МПа (МН /м2) ,

Поняттям повної напруги в опорі матеріалів користуються порівняно рідко - переважно тільки в теоретичному плані. Проте проекції вектора р на координатні осі х , у, z  для розрахунків елементів конструкцій на міцність мають важливе значення.

Проекцію повної напруги на вісь х називають нормальною напругою і позначають б. Оскільки проекція сили dR на вісь х є dN, то    /1.2/

Аналогічно проекції повної напруги р на осі  y і z називаються дотичними напругами і позначаються відповідно Аy і Аz .Дотичні напруги також можуть бути визначені через dQy  і dQz ;

 /1.3/

На рись 1.7 показані нормальна  у і дотичні Аy і Аz  напруги.

Рис.1.7. Нормальна у та дотична й напруги в точці поперечного перерізу бруса

Іноді виникає необхідність користуватись повною дотичною напругою,

яку позначають літерою А. Знаючи Аy і Аz, повна дотична напруга можемо визначити за формулою

  /1.4/

На основі викладеного повна напруга

Відшукаємо зв'язок між внутрішніми силовими факторами в перерізі бруса і напругами в точках цього перерізу. Для цього формула /1.2/ і /1.3/ перепишемо у вигляді

З інтегрувавши отримані вирази за площею перерізу А , дістанемо такі зусилля:

Для визначення через напруги решти внутрішніх силових факторів  Мк, Мy, Мz запишемо величину елементарних моментів, що створюються зусиллями   dN, dQy і dQz відносно осей х, у і Z :

  

З інтегруємо отримані вирази по площі перерізу А бруса, тоді

 

 

Рівняння /1.7/ - /1.І2/,що пов’язують внутрішні силові фактори в поперечному перерізі бруса з напругами, називаються інтегральними рівняннями рівноваги і використовуються для обчислення напруги за внутрішніми силовими факторами.

Аналізуючи інтегральні рівняння рівноваги, можна зазначити, що нормальні напруги у в точках перерізу утворюють нормальну силу N і згинальні моменти   Мy і Мz   , а дотичні напруги  А - крутний момент Мк і поперечні сили Qy і Qz.

Запитання для самоперевірки

1. Визначити основні завдання курсу опору матеріалів.

2. Що розуміють під міцністю, жорсткістю і стійкістю матеріалів?

3. Як в опорі матеріалів класифікуються зовнішні сили?

4. Дати визначення внутрішніх сил. Чим відрізняється поняття внутрішніх сил у курсі опору матеріалів від означення цих сил у фізиці? Які ви знаєте внутрішні силові фактори?

5. Розкажіть про призначення і сутність методу перерізів.

6. Що таке епюра внутрішніх силових факторів? Розкажіть правила побудови епюр.

7. Які гіпотези використовують у курсі опору матеріалів?

8. Що таке деформація тіла? Які види  деформацій вам відомі?

9. Що таке напруга в точці перерізу тіла? Її одиниці.

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Розтяг і стиск

ПЛАН

1. Аналіз напруженого стану при одновісьовому розтязі

2. Максимальні дотичні напруження

Студент повинен знати:  визначення  деформації розтягу (стиску),  методи визначення нормальних та дотичних напружень при розтязі (стиску).

Студент повинен вміти:визначати  максимальні нормальні і дотичні напруження в довільних перерізах брусу..

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 2 ]  §§2.3-2.4; 1 зад. № 134 (б) ; [12]  §§ 3,2

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Лінійний напружений стан

Лінійний напружений стан має місце в точках стержня , який розтягують або стискують поздовжньою силою. Розглянемо стержень призматичної форми з площею поперечного перерізу А, навантажений - зосередженими розтягуючими силами F /рас.3.5/. На достатній відстані від місця прикладання сили /відповідно до принципу Сен-Венана   /виберемо точку В і проведемо через цю точку поперечний переріз. Нормальна напруга в будь-якій точці цього перерізу,в тому числі і в точці В, визначається за отриманою раніше формулою  

   /3.3/

 

Рис. 3.5. До визначення напруги в точці В при лінійному напруженому стані.

               

Рис. 3.6. Зображення лінійного напруженого стану : а – в просторі, б – на площині.

Оскільки при розтягу стержня його напружений стан однорідний, то для дослідження напруг на різних похилих площадках уявно вирізаний паралелепіпед може бути довільних розмірів, в тому числі  і такий, що мав за грань поперечний переріз стержня   А0. На верхній і нижній гранях паралелепіпеда паралельних площині А0 , діють розтягуючі напруги, які визначаються формулою /3.3/. На всіх бічних гранях нормальні напруги відсутні, тому що відсутні діючі сили. Дотичні напруги на всіх гранях дорівнюють нулю, оскільки розтягуючі сили F не утворюють зсуву виділених граней паралелепіпеда.

Оскільки на гранях паралелепіпеда відсутні дотичні напруги, то нормальні напруги тут будуть головними, і відповідно до формули /3.2/ дістанемо  у1 = у = F/A0, у2 = 0, у3 = 0 тобто кожна точка виділеного паралелепіпеда перебуває в лінійному напруженому стані /рис.3.6.б/. Надалі елемент, що перебуває в лінійному або плоскому напруженому стані, будемо зображати перерізом паралелепіпеда у вигляді плоскої фігури /рис.3.6,б/.

У такий спосіб зображення лінійного і плоского напружених станів можна ввести більш просте правило знаків для дотичних напруг, не пов’язане з вибором системи координат: дотичні напруги на площині додатні, якщо вони намагаються повернути розглядуваний елемент відносно довільної точки, взятої всередині елемента за ходом годинникової  стрілки, і від’ємні  і від'ємні – якщо проти годинникової стрілки.

Розглянемо як розподілені напруги на площині похилого перерізу. Для цього проведемо площину, нормаль nб до якої віссю х паралелепіпеда утворює кут б /рис.3.7/ На похилій плоєні   Аб повну напругу Рб , зумовлену силами  F , можна визначати за формулою

Оскільки площина  Аб зв'язана з А0 співвідношенням Аб = A /cos б , то

де враховано, що F / A0 = у1. Проекція повної напруги Рб на нормаль  nб  утворює нормальну напругу , або на підставі /3.5/

/3.6/

Користуючись рівнянням /3.6/, можна простежити за зміною значень нормальної напруги на площадках, що мають різний нахил. Так, із збільшенням кута б від 0 до 90° напруга у  зменшується від значення у1 = у2 при  б = 0 до нуля при б = 90°.

Отже, найбільше значення нормальної напруги маємо на головній площадці, де

 

Проекція напруг  Рб на площадку  Аб утворює на ній дотичну напругу   Аб, яку можна визначити за формулою Аб = Рб sinб  або згідно з /3.5/.

  /3.7/

Відповідно до формули /3.7/ найбільші дотичні напруги виникають на площадці з sin 2б = 1, тобто для якої   2б = 90°  і  б = 45°. Значить, на площадці, нормаль до якої  з напрямом поздовжньої осі х утворює кут 45°, дотичні напруги досягають найбільших значень

  /3.8/

При стиску головні напруги мають значення  у1 = у2 = 0; у3 = -F /A0. Тоді напружений стан у точці стержня визначається, як і при розтягу, формулами /3.6/ і /3.7/, лише в них замість у1 необхідно підставляти у3.

Приклад 3.1. Визначити нормальні і дотичні напруги в точці В перерізу  1-1 і в точці     С перерізу 2-2 стержня, якщо його площа поперечного перерізу  Ао = 20 • 10-4 м2,  б1 = 300,  б2 = 40°. Стержень навантажений зовнішніми силами  F1 = 40 кН і  F2 = 72 кН так, як показано на рис.3.8,а.

Розв'язання. Перш за все розбиваємо стержень на ділянки і, використовуючи метод перерізів, визначимо значення поздовжніх сил  N1,  N2  на кожній із них:  N1 = F1 -  F2  = 40 – 72 = - 32 кН  /стиск/. Побудуємо епюру нормальних сил /рисЗ.8,б/.

Знайдемо нормальну напругу в поперечному перерізі, що проходить через точку В:

Зазначимо, що оскільки на даній ділянці виділений елемент підлягає стиску, то в точці  В маємо напругу ух = у3 .

Аналогічно напруга в поперечному перерізі, що проходить через точку С, буде

Елементи, виділені на ділянках точок В і С, головні напруги  у3 і у1 , а також похилі площини та невідомі поки напруги на них, показані на рис.3.9, 3.10. Визначимо  нормальні уб1 і   дотичні Аб1 напруги на похилій площині, утвореній перерізом 1-1.

Рис. 3.8. Епюра нормальної сили N  в стержні навантаженому силами F1 і F2

  

Рис.3.9. Схема до визначання напруг  уб і Аб в точці В стержня , зображеного на рис.3.8

Рис. 3.10. Схема до визначення напруг уб та Аб в точці С стержня, зображеного на рис. 3.8.

Відносно напряму осі    х /або у3 / нормаль nб , утворює кут б1 , який відраховується за годинниковою стрілкою. Тому, підставляючи кут б1 в формули /3.6/ і /3.7/, його необхідно брати із знаком "мінус" Тоді за формулами /3.6/ і /3.7/

Аналогічно, враховуючи знак кута б2 , визначаємо напруги на похилій площині, яка утворена перерізом 2-2:

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Дати визначення лінійного, плоского і об'ємного напружених станів. Навести приклади.

2. Які правила знаків вводяться для нормальних і дотичних напруг?

3. Доведіть, що сума нормальних напруг на двох довільних взаємно перпендикулярних площадках, що проходять через дану точку навантаженого тіла, величина стала.

4. Що таке головні площини і головні напруги?

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Розтяг і стиск

ПЛАН

1.  Статично невизначені системи
2.  Температурні і монтажні напруження

 

Студент повинен знати:  визначення. статично невизначеним системам, принципи розв’язання задач статично невизначених систем

Студент повинен вміти:визначати реакції опори статично невизначених систем.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 2 ] §§ 2.10,2.11; [12]  §§ 2.8, 2.9

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА   

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Статично невизначені системи

Елементі конструкцій і споруд розраховують після обчислення внутрішніх силових факторів, як! визначають через дів зовнішніх сил, у тому числі  і реакцій. Реакції встановлюють на основі рівнянь рівноваги за законами Теоретичної механіки, в стержневі системи, у яких кількість реакцій перевищує число незалежних рівнянь статики, і тоді таку задачу неможливо розв'язати тільки методами теоретичної механіки.

Так, стержнева система, яку ми розглядали в підрозд.2.4, приклад 2.3 /див.рис.2.8/, в статично визначеною, оскільки зусилля  N1 і N2  ми змогли знайти з рівнянь статики. В той же час стержнева система /рис.2.15/ є вже статично невизначеною, бо три невідомих зусилля  N1, N2,  N3 неможливо обчислити, використовуючи лише рівнянням статики, яких тут можна складати тільки два.

Рас.2.16. Один раз статично невизначена стержнева система

Статично невизначеними називаються такі системи, зусилля /реакції/яких неможливо обчислити тільки з рівнянь статики. Ступінь статичної невизначеності підраховується як різниця між кількістю невідомих зусиль /реакцій/ і числом рівнянь статика. Наприклад, стержнева система, зображена на рис.2.15, є один paз статично невизначеною, на рис.2.16 - двічі статично невизначена і т.д.

Рис. 2.16. двічі статично невизначена стержнева система.

В курсі опору матеріалів розраховуються реальні системи, які здатні деформуватися під дією зовнішніх сил,і ця обставина використовується для складання потрібних /додаткових до статичних/ рівнянь.

Доти, поки діючі сили не призвели до зруйнування конструкцію, деформації її елементів взаємозв'язані. Довільний елемент такої системи не може деформуватись ізольовано, незалежно від деформації інших елементів, встановлюючи взаємозв'язок між деформаціями окремих елементів стержнів і беручи до уваги закон Гука,отримують додаткові рівняння /до рівнянь статики/, що зв'язують вже внутрішні сили /або реакції/.

Отже, для розв'язання статично невизначених систем необхідно поряд із рівняннями статики розглянути додаткові рівняння, складені на основі геометричної  і фізичної сторін цієї задачі.

В цьому розділі статично невизначені стержневі конструкції, елементи ягах працюють на розтяг або стиск, будемо розв'язувати в такій послідовності

1. Визначаємо ступінь статичної невизначеності /пояснено раніше/

2. Розглядаємо статичну сторону задачі, складаємо ті рівняння статики, в які входять невідомі зусилля /реакції/. Їх кількість визначається системою дії зовнішніх сил.

3. Геометрична сторона задачі. Виявляємо і записуємо математичний зв'язок між деформаціями окремих стержнів /елементів/ системи. Таких рівнянь запишемо стільки, скільки раз статично невизначена система.

4. Фізична сторона задачі. Записуємо фізичний зв'язок міх деформацією і причиною, яка її зумовила. Це може бути закон Гука /2.6/ або закон розширення /стиснення/ матеріалу під час нагрівання /охолодження/.

5. Синтез. Розв'язуючи систему  із статичних рівнянь і рівнянь отриманих на основі геометричної і фізичної сторін задачі, визначаємо невідомі зусилля /реакції/ в окремих стержнях /елементах стержня/.

Розглянемо приклади розрахунку статично невизначних стержневих конструкцій.

Приклад 2.4.  Жорсткий брус ОД   /ряс.2.17,а/, деформацією якого знехтуємо, шарнірно закріплений у стіні і підвішений горизонтально на двох шарнірно закріплених сталевих стержнях, що мають однакову довжину   ℓ = 1 м.

Рис. 2.17. Схема статично невизначеної стержневої системи (а) та геометрична сторона задачі даної схеми(б).

В точні Д на брус діє сила F  = 40 кН. Визначити площі поперечних перерізів стержнів, якщо А1= А2 , допустима напруга для сталі [у]160 МПа. Модуль пружності для стержнів можна прийняти однаковим.

Розв’язання. Як відомо, для плоско системи паралельних сил статика дає лише два рівняння рівновагі. Невідомих в системі три: реакція  R0 зусилля  N1, N2. Отже, задача один раз статечно невизначена.

Статична сторона задачі, в задачі необхідно визначити зусилля в стержнях N1, N2  /за ними обчислюються площі перерізів/, тому в двох рівнянь статики складаємо лише одне - те, в яке входять потрібні невідомі  N1 і N2 і відсутня зайва для розрахунків реакція опори

 Геометрична сторона задачі. Під дією сили  F жорсткий брус, не деформуючись, повернеться відносно опори О і займе положення ОД. В цьому разі обидва стержні розтягнуться, деформація першого стержня буде ВВ1 = Дℓ1, а другого   СС1 = Дℓ2.

 

З подібності трикутників В1, ОВ і С1СО установимо зв'язок між цими деформаціями:

Фізична сторона задачі. Деформації стержнів (Дℓ1, Дℓ2 )  і зусилля в них (N1, N2 ) зв'язані  законом Гука /2.6/, а саме:

Синтез. Спочатку підставляємо фізичні рівняння в геометричне:

Враховуючи, що А1 = А2, дістаємо N1 = N2/2.

Розв'язуючи останнє рівняння разом із рівнянням статики, маємо N1 = 0,6 F; N2  = 1,2 F. Для визначення площі поперечного перерізу стержнів скористаємося умовою міцності /2.І5/. Оскільки, більше зусилля розвивається в другому стержні, то   Nmax = N2  = 1,2 F і

Отже, для того щоб обидва стержні витримали навантаження F  = 40 кН, вони повинні мати діаметри

Приклад 2.5. Брус жорстко закріплений обома кінцями між двома стінками  і навантажений силою F  = 50 кН /рис.2.18,а/, частина бруса ВС - сталева, Ас = 20 • 10-4 м2;     ℓс  = 0,4 м, Ес = 2 •105, частина  CД - бронзова; Ад =  І5 •10-4 м2; ℓд = 0,6 м, Ед = 1•105  МПа. Визначити зусилля в частинах бруса; побудувати епюри нормальних сил і напруг.

Рис.2.18. Епюра нормальної сили (N) і напруги (у)  у статично невизначеному стержні

Розв’язання.    Задачі такого типу також відносяться до розряду статично невизначених.

Статична сторона задачі. Під дією зовнішньої сили виникають опорні реакції   Rд  і  Rв Для системи сил, що діють по одній прямій, статика дозволяє скласти лише одне рівняння рівноваги:  Rд + Rв   = F . Невідомих два:  Rд  і  Rв, а рівнянь статики лише одне - задача один раз статично невизначена.

Геометрична сторона задачі. Оскільки кінці бруса закріплені, то результуюча деформація стержня дорівнює нулю, тобто Дℓс + Дℓд = 0.

Фізична сторона задачі. Із закону Гука

Синтез. Спочатку, використовуючи метод перерізів, виражаємо зусилля в перерізах через невідомі реакції

а/ на силовій ділянці   ВC : Nc = Rв;

б/ на силовій ділянці   СД:  Nд = -Rд

Підставляємо фізичні рівняння в геометричне:

Розв'язуюча систему рівнянь

дістаємо

Rд = F/5 = 10 кН;  Rв = 4Rд = 40 кН.

Зусилля в частинах становлять  Nc = 40 кН, Nд = 10 кН. Епюра нормальних сил бруса показана на рис.2.18,б.

Визначаємо напруги в точках поперечних перерізів частин бруса:

Епюра нормальних напруг зображена на рис.2.18,в.

Монтажні і температурні напруги

Під час виготовлення стержневих конструкцій важко забезпечити абсолютну точність довжини їх лементів. Здебільшого доводиться мати справу з невеликими відхиленнями від розрахункових розмірів стержнів. Всяка така неточність при монтажі конструкцій спричиняє в ній додаткові напруги, які називаються монтажними.

Уявімо собі, що в стержневій системі /рис.2.І9,а/ стержень 2 коротший, ніж потрібно, на величину Д .  

Рис.2.19. Схема утворення монтажних напруг в стержневій системі /а/; визначення напряму нормальних сил у монтажній стержневій системі /б/; та геометрична сторона задачі стержневих систем /в/

Щоб зібрати цю систему потрібно стержень і стиснути, а стержень 2 розтягнути. Тоді в цій системі ще до основного навантаження виникнуть напруги, які можуть досягти значних величин. Якщо прикласти зовнішнє навантаження, то спричинені ним робочі напругі, додаючись до монтажних, можуть призвести до руйнування системи, хоч значення робочих напруг і буде меншим за допустимі.

Водночас у статично визначених системах монтажні напруги не виникають.

Методика розрахунку монтажних напруг - така ж, як і розрахунків статично визначених систем в цілому.

Розглянемо розрахунок монтажних напруг на прикладі. Нехай необхідно вмонтувати стержневу систему /рис.2.І9,а/, що має неточні початкові розміри стержнів. Якби не було стержня 1, то система була б статично визначеною і ніяких монтажних напруг не виникало б. Наявність же стержня і протидіє вільному повороту бруса навколо опори В    на величину Д, щоб дати змогу прикріпити до неї стержень 2.

Отже, в заданій системі брус займе деяке проміжне положення. У стержні  і виникне стискуюча  N1 , а у стержні 2 -   розтягуюча сила N2 , як це показано на рис.2.19,6.

Сили   N1 і N2 розраховуємо за тією ж методикою.

1.  Ступінь статичної невизначеності. Плоска паралельна система сил дозволяв скласти два рівняння статики. Невідомих сил - три (Rв,N1,N2), тому розглянута система один раз статично невизначена.  
2.  Статична сторона задачі. Для з'ясування зв'язку між N1 та N2 досить використали одне рівняння статики    УМа = 0, N1а -  N2 2а = 0, звідси  N1 = 2N2

Остаточно маємо рівняння

Розв'язуючи   це рівняння разом в рівнянням статики, дістаємо:

а/ розтягуюче зусилля в стержні 2

б/ стискуюче зусилля в стержні  1

Нехай у розтягнутій конструкції обидва стержні стальні   Е = 2 •105 мають однакові площі поперечного перерізу   А = 10-3 м2 Проектна довжина стержнів  ℓ = 2м, але другий стержень коротший від першого на 1 мм, тобто Д   = 1 мм. Визначимо монтажні напруги в точках поперечних перерізів стержнів.

Відповідно напруга в стержнях:

Отже, порівняно незначна неточність у довжині в процесі виготовлення одного із стержнів призводить до значних монтажних напруг. Якщо взяти для конструкційної сталі Ст 3 за допустиму напругу [у] = 160 МПа, то монтажна напруга, наприклад, в першому стержні /40 МПа/ вже становить 25% від  [у].

В елементах статично невизначених систем напруги виникають також і під час зміна температури; такі напруги називаються температурними.

Методика розрахунку температурних напруг аналогічна розрахункам статично невизначених систем за дії силового навантаження; дещо змінюється тільки фізична сторона задачі.

Визначимо, наприклад, температурні напруги в стержні, затиснутому нерухомо між двома стінками /рис.2.20/, одна половина якого мідна, а інша - сталева, якщо його нагріти на Дt = 300 С. Візьмемо Ем = 0,8 •105  Мпа , Ес = 2 •105  Мпа, А = 20• 10-4 м2, ℓ = 1 м, температурні коефіцієнти лінійного розряду для сталі бс = 125• 10-7 град-1 , для міді бм = 165• 10-7 град-1.

Рис.2.20. Схема стержневої системи, в якій виникають температурні

напруги

Якщо температура підвищується, стержень видовжується і розпирає стінки. Оскільки стінки непіддатливі, то в місцях закріплення стержня виникнуть стискуючі зусилля, що зумовлює поява реакцій Rв і Rс.

 

1. Статичний бік задачі. Для такої система можна скласти лише

одне рівняння статики УFx = 0, Rв – Rс = 0 або Rв = Rс.

2. Геометричний бік задачі. Оскільки температурне розширення стержня компенсується стиском його внаслідок непіддатливості стінок , то Дℓt = Дℓу.

3. Фізичний бік задачі. Видовження від нагрівання визначається за формулою   

Дℓt = бм Дt •ℓ/2 + б2 Дt •ℓ/2 = (бм + бс ) Дt •ℓ/2.

Деформацію стиску знаходимо за законом Гука:

1.  Синтез. Підставимо фізичні рівняння в геометричне, дістанемо

/2.32/

Напруга в обох частинах стержня   через однакову площу їх перерізів теж буде однаковою і становитиме

формулу температурних напруг можна отримати з /2.32/:

 /2.33/

Отже, як видно з /2.33/, температурна напруга, що виникав в стержні з жорстко витиснутими кінцями, не залежить від довжини стержня.

Запитання для самоперевірки

1. Що таке допустима напруга? Як визначається допустима напруга для пластичних і крихких матеріалів?

2. Дайте визначення статично невизначених систем. Розкажіть порядок розкриття статичної невизначеності.

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Практичні розрахунки та зріз і зминання

ПЛАН

1. Розрахунки на зріз і зминання

2. Основні розрахункові формули

Студент повинен знати:  визначення  деформацій зрізу і зминання, основні розрахункові формули.

Студент повинен вміти: проводити проектні та перевірочні розрахунки при зрізі і зминанні.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА[ 2 ]   §§ 4,1 - 4,2; [12]  §§ 4.2

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

4.2. Розрахунки деталей на зріз і  зминання

Деформацію зсуву, доведену до руйнування матеріалу, називають зрізом. Окремим випадком зрізу є сколювання дерев'яних елементів вздовж волокон деревина. Крім того, деформація зсуву часто супроводжується зминанням елементів деталі. Тому деталі, що працюють на зсув, необхідно вміти розраховувати на міцність при зрізі і зминанні.

Розглянемо приклад розрахунку на міцність заклепочного з'єднання /рис.4.3,а/.

  

Рис. 4.3. Вигляд /а/ і деформація зсуву /б/ заклепочного зєднання

Чотири заклепки, розміщені в два ради, з'єднують між собою два листи. Під дією сили    F ці листи намагаються зсунутись один відносно одного, чому запобігають заклинки. По площині з'єднання листів /ця площина на рис.4.3,б позначена через n – n /відбувається деформація зсуву в заклепках. Якщо діаметр заклепки  d , то дотична напруга в її поперечному перерізі згідно з формулою /4.2/

де n - кількість заклепок;  A = Пd2/4- площа поперечного перерізу однієї заклепки.

Якщо допустиму дотичну напругу при зрізі позначити через [А] , то умова міцності на зріз заклепочного з'єднання запишеться у вигляді

З цієї умови визначають необхідний діаметр заклепки або їх кількість:

 /4.11/

    умова міцності /4.10/ отримана для з'єднання листів одно зрізними заклепками. Бувають випадки, коли з'єднання перекриваються двома накладками /рис. 4.4/.

Рис. 4.4. Схема до розрахунку заклепочного з’єднання

        В такому випадку площа зрізу збільшується вдвічі,  і дотичні напруги визначаються за формулою

 /4.12/

В загальному випадку багатозрізних заклепок умова міцності набирає вигляду

  /4.13/

де  к  - число зрізів.

Аналогічно виконують розрахунки на зріз і при інших видах з'єднань.

При розрахунках на зріз допустимі дотичні напруги [А] обчислюють за допустимими нормальними напругами [у] , для чого використовують розглянуті раніше гіпотези міцності. Оскільки за чистого зсуву  у1 = А  , у2 = 0, у3 = - А, то скориставшись умовою /3.23/, за третьою теорією міцності знайдемо

 /4.14/

Згідно з   четвертою теорією міцності /3.26/

  /4.15/

Оскільки деталі з'єднань виготовляють з пластичних матеріалів, то для визначення допустимих дотичних напруг [τзр ] найбільше підходить вираз /4.15/.

У машинобудуванні для штифтів, шпонок і т.п. допустимі дотичні напруги на зріз часто приводять у довідниках або беруть на практиці

[τзр] =(0,25..0,35)σт .

Виконання умови міцності на зріз не завади гарантує міцність і надійність заклепочного, шпоночного чи іншого з'єднання. Напруги, які виникають на поверхнях отвору  і з'єднувальних елементів, приводять також до зминання цих поверхонь /рис. 4.5,а/. Вони називаються напругами зминання і позначаються узм. Тиск на циліндричну поверхню заклепки, штифта чи іншої з'єднуючої деталі розподіляється нерівномірно /рис. 4.5, б/.

           

Рис.4.5. Схема до розрахунку заклепочного з'єднання на зминання при зсуві

     В практичних розрахунках цей тиск проектують на меридіональну площу перерізу, що зминається /рис.4.5,в/, і усереднюють за цією площею.

Розрахунок, який забезпечує вибір розмірів деталей за відсутності виникнення пластичної,деформації стінок отворів  і з'єднуючих елементів, називають розрахунком на зминання. Розрахункова формула умови міцності на зминання має вигляд

   /4.16/

де Азм  - площа зминання.

Допустимі напруги на зминання

   /4.17/

    Враховуючи, що отвори під з'єднувальні елементи ослаблюють листи /рас.4.6/, останні необхідно перевірити також на розтяг в найбільш послабленому перерізі за умовою міцності /2.15/.

 

Рис. 4.6. Послаблення площі поперечного перерізу листа при зсуві.

зсуві.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Який напружений стан називається чистим зсувом? Навести приклади.

2. Навести приклади деталей, які працюють на зріз і зминання.

3. Запищіть закон Гука для зсуву.   

4. Що таке умовна площа зминання деталі?

5. Запишіть в загальному вигляді умову міцності при зрізі  і при зминанні.

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Геометричні характеристики плоских перерізів брусу

ПЛАН

1.  Визначення головних центральних моментів інерції складних перерізів, що мають ось симетрії.

Студент повинен знати: порядок   визначення головних центральних моментів інерції складних перерізів, а також теорему про визначення осьових моментів інерції відносно паралельних осей.

Студент повинен вміти: визначати  осьові моменти інерції простих геометричних фігур та стандартних профілів прокату, а також  складних перерізів

.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 2 ]  §§ 6.6; [12]  §§ 5.3

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Визначення моментів інерції складних плоских фігур

Під час обчислення моментів інерції фігур, які можна розбити умовно на прості, виникає необхідність визначення моментів інерції відносно паралельних осей.

Нехай для деякого поперечного перерізу /рис.5.10/ відомі моменти інерції відносно центральних осей  Іz , Іy, Іzy. Визначимо моменти інерції цього перерізу відносно осей z1  і у1 , які паралельні центральним осям  z і y і розміщені від останніх на відстанях а  і в. Оскільки  у1 = у + а, z1 = z + b то відцентровий Іz1y1 і осьові Iz1, Iy1 моменти інерції згідно з формулами /5.5/, /5.8/ будуть такі :

Рис. 5.10. Схема до визначення момент інерції площі відносно осей, паралельних центральних

 

   Отже, осьовий момент інерції відносно будь-якої осі дорівнює центральному моменту інерції відносно осі, паралельної даній, плюс добуток площі фігури на квадрат відстані між осями.

На основі формул /5. 16/ і /7.17/ можна запропонувати такий порядок обчислення головних моментів інерції складних фігур, що мають вісь симетрії.

1. Розбити складну фігуру на прості, геометричні характеристики /центр ваги, моменти інерції/, яких легко визначити.

2. Провести допоміжну систему координат /бажано в цьому разі поєднати її з центральною системою координат однієї  із простих складових частин фігури.

3. Визначити положення центра ваги складної фігури і провести центральні головні осі u і v , враховуючи, що вісь симетрії в однією із головних осей.

4. Користуючись формулами /5.15/ і /5.17/, визначити головні центральні моменти інерції  Iu і Iv.

Приклад 5.1. Обчислити головні моменти інерції тавра /рис.6.11/.

Розв'язання. Розбиваємо тавр на два простих прямокутники. Перший прямокутник площею А1 = 6а•2а = 12а2 має центр ваги в точці С1, його центральні осі позначимо z1 і y1. Відносно цих осей, користуючись формулами /5.9/ і /5.10/, визначимо осьові моменти інерції прямокутника:

 

Рис. 5.11. Схема до обчислення моментів інерції складної площі поперечного перерізу.

Другий прямокутник має площу   А2 = 4а •3а = 12а2 , його центр ваги - С2 і центральні осі z2 ,y2 .Центральні моменти інерції другого прямокутника

За одну з головних центральних осей інерції V беремо вісь симетрії тавра. Оскільки осі у1 і у2 збігаються з головною віссю V, то момент інерції тавра відносно осі V  буде

Для визначення положення головної центральної осі u встановимо центр ваги тавра С.   За допоміжну систему координат візьмемо осі V і Z2 . Тоді ордината центра ваги фігури

Абсциса центра ваги площі фігури розміщена на центральній осі V . Визначене таким чином положення центра ваги С   показано на рис.5.11. Провівши через точку С пряму, перпендикулярну до осі симетрії, матимемо другу головну центральну вісь U.

Позначимо відстані від осі U до паралельних їй осей z1 і z2 відповідно через а1 та а2.   Головний  центральний  момент  інерції  тавра  відносно  осі  U  визначаємо  за  формулою ІuІ = IuI + IuII, де  IuI і IuII -  моменти  інерції   відповідно першого і другого прямокутника відносно осі U. Використовуючи формулу /5.16/, дістаємо

Приклад 5.2. Визначити положення головних центральних осей і обчислити головні центральні моменти інерції фігури /рис.5.12/, якщо R = 2т = 10 см.

Розв'язання. Оскільки вісь у є віссю симетрії фігури, то вона буде також центральною головною віссю V .

де

Знайдемо положення центральної  осі U . Проведемо допоміжну вісь Z , сумістивши її з Z2. Центр ваги фігури розміщено на осі симетрії V , його положення визначається за формулою

Рис.5.12. Схема до визначення центральних осей і моментів інерції складної площі переріз

Момент інерції фігури відносно осі V визначимо як різницю моментів інерції великого і малого кругів:

Момент інерції плоскої фігури відносно осі  U становитиме

 

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Що розуміють під головними осями інерції?

2. Як визначити осьовий момент інерції?

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Кручення

ПЛАН

1. Чистий зсув

2. Закон парності дотичних напружень

3. Закон Гука для зсуву, модуль зсуву

4. Залежність між трьома постійними для ізотропного тіла

5. Крутні моменти і їх епюри

Студент повинен знати:  визначення деформації кручення та застосовувати метод перерізів для визначення крутних моментів.

Студент повинен вміти : будувати епюри крутних моментів .

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА[2] §§5.1 – 5.4; [12]  §§ 6.1, 6.2

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Напружений стан при зсуві

Деформація зсуву виникає тоді, коли зовнішні сили зміщують два паралельні перерізи стержня один відносно одного при незмінній відстані ніж ними. Деформації зсуву зазнають частини ластового матеріалу під час різання Його ножицями /рис.4.1,а,б/. При зсуві з шести внутрішніх силових факторів /див. підрозд.1.2/ відмінною від нуля залишається тільки поперечна сила Qу або Qz. Надалі, опускаючи індекси, поперечну силу позначатимемо Q. Приклади деталей машин, які працюють на зсув: шпонкові, штифтові, заклепочні, зварні, паяні і клеєні з'єднання тощо.

   

Рис.4.1 Схема дії сил при зсуві /а/, вигляд здеформованого елемента /б/ і напрям поперечної сили Q при зсуві

Використовуючи метод перерізів, розріжемо стержень на ділянці зсуву між площинами  m – m і n - n   /рис.4.1,в/ і визначимо значення поперечної сили. Із умови рівноваги   Q = F Оскільки поперечні сили в перерізах спричиняють дотичні напруги, то відповідно до інтегральних рівнянь рівноваги /1.8/ маємо

  /4.1/

Вважають, що при зсуві дотичні напруги розподілені на площі поперечного перерізу стержня рівномірно. Тоді із /4.1/ знаходимо

 /4.2/

На ділянці стержня, де відбувається деформація зсуву, виріжемо елемент AВСДА1В1С1Д1 /рис.4.2,а/ з розміром ребра а і покажемо його у збільшеному вигляді /рис.4.2,б/. Для наочного уявлення про деформацію зсуву закріпимо, наприклад, нижню грань АА1 Д1 Д елемента. На гранях ДСС1 Д і АВВ1 А діють дотичні напруги, величину яких ми вже визначили за формулою /4.2/. Відповідно до закону парності дотичних напруг, такі ж дотичні напруги А діють і на

Рис.4.2. Встановлення напруженого, стану в точці поперечного перерізу при зсуві /а/ і ілюстрація визначення абсолютного (Д S)  і відносного (г) зсуву /б/

гранях  ВВ1 С1 С і АА1 Д1 Д. Внаслідок дії дотичних напруг елемент перекосяться, і видима на рис.4.2,б грань AВСД займе положення АВ2 С2 Д. На гранях же АВСД і А1 В1 С1 Д1 /рис.4.2,а/ нормальні і дотичні напруги відсутні, оскільки відсутні на них внутрішні зусилля. На підставі результатів аналізу робимо висновок, що розглядуваний елемент перебуває в плоскому напруженому стані.

Напружений стан у точці, коли на гранях вирізаного навколо неї елемента відсутні нормальні, а діють лише дотичні напруги, називається чистим зсувом.

Назвемо грань елемента ДСС1 Д1 б -  площадкою, а грань ВВ1 С1 С, що перпендикулярна до неї , в - площадкою. В цьому разі на б - площадці діють напруга Аб = А , уб = 0, на  в –площадці  Ав = -А , ув = 0 . Користуючись нерівністю /3.2/, обчислимо головні напруги такого плоского напруженого стану:

Величина   ДS / ВВ2  або СС2 /рис.4.2,б/, на яку змістилась грань елемента внаслідок деформації  зсуву, називається абсолютним зсувом.

Кут   В2 АВ  між гранями елемента до і після деформації зсуву називається відносним зсувом. Відносний зсув позначається літерою г і вимірюється в радіанах.

Абсолютний  і відносний зсуви взаємозв'язані. Так, з трикутника    В2 АВ маємо  tgг = Д S/a . Внаслідок мализни кута г вважають, що  tgг = г . тоді

 /4.4/

В межах пружності між відносним зсувом  г і дотичними напругами  А, існує зв'язок. Цей зв'язок виражається законом Гука, який для деформації зсуву формулюється так: відносний зсув матеріалу прямо пропорційний дотичним напругам, що спричиняють цей зсув, тобто

  /4.5/

Коефіцієнт пропорційності G називається модулем зсуву, або модулем пружності другого роду. Для ізотропних матеріалів він пов’язаний з іншими механічними характеристиками співвідношенням

  /4.6/

де    Е - модуль пружності першого роду; µ  - коефіцієнт Пуассона. Виразимо абсолютний зсув ДS через поперечну силу. Для цього в формулу /4.4/ підставимо /4.5/ і /4.2/, тоді

Епюри крутних моментів.

Крученням називається такий вид деформації, за якого в довільному

поперечному перерізі бруса, перпендикулярному до його осі, із шести внутрішніх силових факторів відмінним від нуля є тільки крутний момент Мх = Мк.

Прямий брус, що працює на кручення, називається валом. Деформації кручення зазнають вали гребних гвинтів, колінчасті вали двигунів внутрішнього згоряння, вали гідро - та газотурбін, пружини, болти під час закручування гайки ,ключем тощо.

Кручення вала відбувається внаслідок його навантаження зовнішніми крутильними моментами,які  на відміну від внутрішнього силового фактора - крутного момента Мк, будемо позначати Т.  Крутильні моменти утворюються парами сил, прикладеними в площинах, перпендикулярних до осі вала. Зображають крутильні моменти на валах так, як показано на рис. 6.1,а або на рис.6.1,б.

Рис.6.І. Умови позначення крутильних моментів

Часто на практиці бувають задані не крутильні моменти  Ті , а потужності Nі, що передаються на вал,  і кутові швидкості обертання вала wi або число обертів  за хвилину ni. Тоді через Nі та wi /або ni  / необхідно визначити моменти Ті. При кутовій швидкості wi робота крутильного момента Ті за одну секунду, тобто потужність Nі, як це відомо з курсу теоретичної механіки, становитиме Nі = Ті* wi.

Якщо кутову швидкість виразити через число обертів за хвилину, тобто

т /6.1/

Якщо одиниці всіх фізичних величин підставити у формулу /6.1/ у системі СІ, тобто потужність N – Вт, n - об/хв., то крутильний момент матиме одиницю Н-м.

У тому разі, кола не всі крутильні моменти відомі, для знаходження невідомих використовують рівняння рівноваги. На рис.6.2 показаний

Рис.6.2. Схема дії крутильних моментів на вал

вал   AВ , на який в перерізах  С та Д насаджені два шківи  І і ІІ, що передають енергію від джерела до   приймача: наприклад, шків І передав валу крутильний  момент Т1 від електродвигуна, а шків ІІ передає цей крутильний момент /позначимо його Т2/ токарному верстату. Напрями крутильних моментів  Т1 і Т2    показані на шківах стрілками. Рівновага вала характеризується рівномірним його обертанням, тоді алгебраїчна сума крутильних моментів на валу дорівнює нулю. Нехтуючи втратами енергії в процесі обертання /наприклад, в підшипниках/, знаходимо Т1 – Т2 = 0 ,  або Т1 = Т2

Для визначення величини крутного моменту в перерізах вала на відрізку  СД використовують метод перерізів. Крутний момент Мк /рис.6.З/ у довільному поперечному перерізі відрізка СД дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх крутильних моментів Ті , розміщених по один бік /лівий (Мк = Т1), чи правий (Мк = Т2) від перерізу  вала.

В розрахунках на міцність і жорсткість знак крутного момента не мав значення, але для зручності побудови епюр дотримуються такого правила знаків: крутний момент   Мк   вважається додатним /рис.6.4,а/, якщо при спостереженні з торця в напрямі  осі відсіченої частини він намагається повертати переріз  вала за годинниковою стрілкою, і від'ємний - якщо проти годинникової стрілки /рис.6.4,б/.

Рис.6.3. Зображення дії крутного момента  Мк   в поперечному перерізі вала

Рис.6.4. Схема до встановлення знака крутного момента.

Розглянемо методику побудови епюр крутних моментів на прикладі. Нехай вал АВ  /рис.6.5,а/ обертається рівномірно. Тоді алгебраїчна сума крутильних моментів, прикладених до шківів, дорівнює нулю:  Т1 + Т2 + Т3 + Т4 = 0.  Розбиваємо вал на силові ділянки:  І, ІІ, ІІІ, ІV, V . Межами кожної з них є перерізи, на яких розміщені шківи, а також початок і кінець вала. Оскільки тертям в підшипниках нехтуємо, то в довільному перерізі на ділянках  І і  V крутний момент дорівнює нулю, тобто

Мк1 = 0, МкV=0.

Рис.6.5. Епюра крутних моментів навантаженого вала

Проведемо довільний поперечний переріз на ділянці ІІ вала в межах 0 ≤ ХІІ  ≤ а. Частина вала зліва від перерізу /рис.6.6/ буде розміщена в рівновазі під дією крутильного момента Т1 і крутного момента в перерізі МкІІ;  тоді згідно з правилами знаків для МкІІ = 100 Н*м. Аналогічно, розглядаючи праву відсічену частину вала /рис.6.7/, знаходимо, що крутний момент у тому ж перерізі буде МкІІ = -  Т2 +Т3 –Т4 = 100 Н*м тобто такий же, як і зліва.

Рис.6.6. Схема до визначення величини крутного момента в перерізі через крутильні моменти /ліва відрізана частина вала/

 Користуючись визначенням крутного момента на другій ділянці, можна сформулювати такий порядок визначення Мк в поперечних перерізах вала.

Рис.6.7. Схема до визначення величини крутного момента

в перерізі через крутильні моменти /права відрізана частина вала/

1. Площиною, перпендикулярною до осі вала, розтинають його в потрібному перерізі.

2. Записують крутний момент у перерізі як алгебраїчну  суму крутильних моментів, розміщених по один із боків перерізу. В цьому разі  в рівняння для  Мк крутильний момент   Т   записують із знаком "плюс", якщо, дивлячись на переріз, він повертає відсічену частину вала проти годинникової стрілки,  із знаком "мінус"- якщо за годинниковою стрілкою.

Провівши довільні розтини на інших силових ділянках вала, отримаємо відповідно:

Значення крутних моментів на різних ділянках вала зручно зображати в вигляді епюри, тобто графіка, що показує, як змінюється крутний момент під час переходу від перерізу  до перерізy вздовж вала. Під час побудови епюр крутних моментів користуються загальними правилами побудови епюр, наведених в підрозд.1.4.

На рис.6.5,б зображена епюра крутних моментів вала, що показаний на рис.6.5,а. Аналізуючи побудовану епюру, звертаємо увагу на те, що до вала прикладено крутильний момент Т3 = 400 Нм, найбільший крутий момент в перерізах вала на перевищує 200 Нм. Саме цю величину, а не Т3 = 400 Нм необхідно використати в розрахунках на міцність і короткість вала.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Який напружений стан називається чистим зсувом? Навести приклади

2. Який вид деформації називається крученням? Яка величина в кількісною характеристикою деформації кручення?

3. Сформулюйте правило знаків для крутного момента Мк .

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Кручення

ПЛАН

1. Розрахунки циліндричних гвинтових пружин розтягу і стиску

2. Визначення розрахункових напружень

3. Проектування пружин по робочій характеристиці

Студент повинен знати:  напруження, що виникають в поперечних перерізах пружин.

Студент повинен вміти:  проектувати пружини по робочій характеристиці.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА[2]  §§ 5.5 - 5.6; 2 зад.; [12]  §§ 6.5

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Розрахунок циліндричних гвинтових пружин

  Циліндричні гвинтові пружини широко застосовуються в техніці.  Їх виготовляють з високоякісного пружинного сталевого дроту круглого перерізу  і використовують в основному як амортизатори - для пом'якшення ударних поштовхів машин і механізмів. Циліндричні гвинтові пружини працюють в основному на розтяг або стиск, при якому в поперечних перерізах дроту пружини виникають три /з шести/внутрішніх силових фактори: крутний момент, поперечна сила і згинальний момент.

  В зв'язку з цим точний розрахунок напруг і деформацій в перерізах пружини є складною задачею і в даному посібнику не розглядається. Обмежимось розглядом циліндричних пружин з малим кроком витка, тобто з малою, порівняно з діаметром витка, відстанню між витками. За такого нахилу витків до площини, перпендикулярно до осі пружини, можна знехтувати дією згинального момента.

  Розглянемо пружину, на яку діє сила розтягу  F, напрямлена вздовж осі пружини /рис.6.15/.

Введемо позначення: D = 2 R - середній діаметр витка пружини;  d= 2r - діаметр дроту , з якого навито дружину;  F - сила розтягу; n - число робочих витків;  G - модуль зсуву матеріалу пружини /дроту/.

  Для з'ясування внутрішніх силових факторів пружини скористаємось методом перерізів. Розріжемо виток пружини площиною, яка  проходить через вісь пружини, і розглянемо одну   із відрізаних частин, наприклад, нижню /рис.6.16/. Дію відкинутої /верхньої/ частини пружини на ту, що залишилася /нижню/, можна зрівноважити, приклавши поперечну силу  Q = F і крутний момент   Мк =  FR /див.рис.6.16/. Поперечна сила і крутний момент в точках перерізу дроту спричиняють дотичні напруги, тому в точках отриманого перерізу пружини результуючі дотичні напруги визначаються, як сума двох векторів: А = А + А, де   " А " - дотичні напруги в точках перерізу /рис.6.17,а/, зумовлені поперечною силою Q :

  /6.22/

  А"   - дотичні напруги в тих же точках поперечного перерізу дроту /рис.6.17,б/, утворені крутним моментом  Мк :

  /6.23/

Рис. 6.15. Навантаження циліндричної пружини при розтягу

Рис. 6.16. Схема дії внутрішніх силових факторів у перерізі розтягнутої циліндричної пружини.

        

Рис.6.17. Епюри дотичних напруг у перерізі розтягнутої пружини :  а - від поперечної  сили Q ; б - від крутного момента  Мк;   в - результуюча напруга

    З формули /6.22/ і рис.6.17,а видно, що дотичні напруги не залежать від координат у поперечному перерізі, тобто однакові в кожній точці перерізу  пружини.

  Дотичні напруги, спричинені крутням моментом, згідно з формулою /6.23/ прямо пропорційні радіусу с точки перерізу. Як видно з рис.6.17,б, дотична напруга при с = 0 дорівнює нулю; найбільшого значення дотичні напруга досягають на поверхні  витка при  с = d/2, тобто

   У кожній точці перерізу дроту результуюча дотична напруга визначається за правилом паралелограма /наприклад, в деякій точці  С перерізу, рис.6.17/, і тільки на діаметрі AB = d сумарні дотичні напруги напрямлені по одній лінії; на радіусі ОВ А1 і А2  мають протилежний напрям, а на радіусі   ОА  збігаються за напрямом /див.рис.6.17,а і рис.6.17,6/. В точці  А  перерізу дроту /див.рис.6.17,в/, що найближче розміщена до осі пружини, сумарні дотичні напруги найбільші: тут А1 і А2  додаються арифметично, до того ж А2 тут досягають свого максимального значення:

   /6.24/

  Відношення середнього діаметра пружини   D   до діаметра дроту d називають індексом пружини і позначають Сn , тобто  Сn = D/d , В більшості практичних випадків Сn >5 . тому величиною 1/2Сn     нехтують порівняно з одиницею і умова міцності пружини мав вигляд

  /6.25/

   Допустимі напруги [А] під час розрахунків сталевих пружин вибирають залежно не тільки від матеріалу, a і від діаметра пружинного дроту.

 При розрахунках амортизаційних можливостей пружини необхідно оцінювати зміщення витків - осідання пружини, яке позначають лn. У циліндричних пружинах, у яких індекс Сn ≥ 5 , осідання визначається порівняно просто і з достатньою точністю.

 

 Розглянемо циліндричну пружину, у якої двома меридіональними площинами m – m n - n , що проходять через вісь пружини, вирізано елемент довжиною  d S /рис,6.18/.    Згідно а умовою, що Площина витка перпендикулярна до осі пружини, можна вважати, що елемент dS мав єдиний центр кривизни С розміщений: на осі пружини ОО1.

  Прикладений до елемента пружини dS крутний момент Мк поверне один переріз /наприклад, m -m/відносно до другого, уявно закріпленого(n -n), на кут dУ. Цей кут згідно з /б.18/ пов'язаний з крутням моментом Мк  співвідношенням

 /6.26/

Рис. 6.18. Схема до визначення деформації пружини при розтягу

   В цьому разі жорстко зв'язаний з точкою   В перерізу дроту радіус ВС  обернеться на той самий кут dУ1 , а центр  С витка пружини зміститься по осі в точку С1 на відстань CC1 = dлn ;   dлn  - це відстань, на яку розтягнеться пружина внаслідок закручування елемента пружини  dS. З трикутника  СВС1 /див.рис.6.18/ видно, що dл = RdУ. Підставимо значення dлn  в /6.26/ і враховуючи, що Мк = FR,  дістанемо

  Повне осідання пружини отримаємо, якщо з інтегруємо за довжиною всіх елементів dS, тобто за довжиною дроту  ℓ = 2ПRn, тоді

  Крім циліндричних, в різних механізмах і машинах зустрічається велика кількість і інших конструкцій пружин: Призматичні, конічні, бочкоподібні і т.д. Методи розрахунків таких пружна досить складні;  основні параметри таких і інших спеціальних пружин наведено в довідковій літературі з опору матеріалів і деталей машин.

  

  ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Який вид деформації називається крученням? Яка величина в кількісною характеристикою деформації кручення?

2. Як обчислити величину осідання циліндричної гвинтової пружини при стиску?

3. Як зміняться дотичні напруги в пружині /за інших однакових величин/, якщо діаметр дроту збільшити /зменшити/ удачі?

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Згин

ПЛАН

1.  Диференційні залежності між згинальним моментом і поперечною силою, інтенсивністю рівномірно розподіленого навантаження.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА[2]  §§ 7.3 - 7.4; 1 зад; [12]  §§ 6.3

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

1.  Студент повинен знати:  визначення  диференціальних залежностей між згинальним моментом і поперечною силою, інтенсивністю рівномірно розподіленого навантаження.

 

Студент повинен вміти: складати диференціальні залежності для різних ділянок брусу.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Диференціальні залежності при згині

  Розглянемо консольну балку /рис.7.9,а/ навантажену розподіленим зусиллям  q,  так, щоб утворений ним згинаючий момент  М у перерізах

Рис.7.8. Схема до визначення знака згинаючого момента при згині:

а - згинаючий момент  Мзг > 0: б - згинаючий момент Мзг <0

був додатним. На відстані  х від правого кінця балки вирізуємо двома перерізами m – m n –n  елемент  довжиною dx. Цей елемент перебуває в рівновазі /рис.7.9,б/ під дією зовнішнього навантаження q, поперечних сил і згинаючих моментів у перерізах  m- m і  n - n .

 Вважаємо, що в загальному випадку    Q  і   М залежать від координати х . Якщо в перерізі  m- m поперечна сила і згинаючий момент дорівнюють Q і  М , то в перерізі n – n , на відстані  dx  від  перерізу  m- m маємо Q + d Q  і  M + dM.

  Запишемо рівняння рівноваги виділеного елемента, тобто прирівняємо до нуля суму проекцій всіх сил на вісь у і суму моментів відносно точки В :  qdx + Q-(Q + dQ) = 0 ;

  

 Рис.7.9. Схема до виведення диференціальних залежностей при згині

 Виконуючи спрощення  і нехтуючи виразом   qdx2/2, як величиною вищого порядку мализни, отримуємо

  /7.1/

або, об'єднавши ці формули, дістанемо

  /7.2/

  Оскільки введені раніше правила знаків для  Q і М мають фізичний зміст, то рівняння /7.1/ і /7.2/ для різних випадків навантаження балок справедливі з точністю до знака, тобто

Формули /7.3/ називаються диференціальними залежностями при згині,  їх використовують переважно для перевірки правильності побудови епюр   Q   і   М.

   Користуючись рівняннями /7.3/ можна визначити загальні взаємозв'язки між епюрами Q і М. Так, якщо на деякій ділянці балка має однаково розподілене навантаження інтенсивністю  q = const , то поперечна сила на цій ділянці лінійно залежить від  x, а епюра згинаючого моменту має вигляд квадратичної параболи. Особливий  інтерес становить випадок, коди епюра  Q змінює знак, тобто епюра перетинає базову лінію (Q = 0). в цьому випадку згинаючий момент має екстремум, оскільки згідно з /7.3/ dM/dx = 0, а це  і  є умова екстремума функції M(x)/

  На ділянках, де відсутнє розподілене навантаження (q = 0), поперечна сила стала, а згинаючий момент М лінійно залежить від координати х .

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Сформулюйте правила знаків для поперечної сили d   і згинаючого момента Мx ,  що діють у поперечних перерізах балки. Розкажіть про характерні особливості епюр Q   і   М x .
2.  Запишіть диференціальну залежність між поперечною силою і згинаючим моментом. Розкрийте сутність використання цієї залежності в процесі побудови епюр внутрішніх силових факторів.

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Згин

ПЛАН

1. Особливості розрахунків на міцність балок із матеріалів, що нарізно опираються розтягу та стиску

2. Раціональні форми поперечних перерізів балок із пластичних та крихких матеріалів

3. Дотичні напруження при прямому згині

4. Формула Журавського

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА[2] §§7.6, 7.7 1 зад.; [12]  §§ 7.5, 7.8

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

Студент повинен знати: формулу Журавського для визначення дотичних напружень.  

Студент повинен вміти: правильно вибирати форму поперечних перерізів бруса із  пластичних та крихких матеріалів .

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Раціональні форми поперечних перерізів балок

 

 

Рис.7.21. Епюра нормальних напруг б   при згині балки.

Положення нейтрально  лінії при чистому згині

Закон розподілу напруг /7.8/ дозволяв зробити деякі висновки щодо раціональної форми поперечного перерізу балки при згині. З аналізу рис.7.21 видно, що матеріал балки, який розміщений навколо нейтральної лінії, навантажений мало. Найбільшому навантаженню піддаються частини перерізу, найвіддаленіші від нейтральної лінії. Це значить, що з метою економії матеріалу І збільшення його вантажопідйомності необхідно вибирати такі форми поперечних перерізів балки, за яких більша частина площі була б якомога далі розміщена від нейтральної лінії.

До таких раціональних профілів відносяться двотаври /рис.7.22/ таври, швелери, труби тощо. Порівняно з ними балки із суцільним круглим І прямокутним перерізом /див. рис.7.21,б/ менш доцільні і мають у техніці обмежене використання.

За поперечного згину     перерізи балки, внаслідок виникнення в них дотичних напруг,'викривляються, в цьому разі порушуються гіпотези, закладен' в основу виведення формули /7.9/, зокрема гіпотеза плоских перерізів. Проте численними дослідами встановлено, що формулу /7.9/ з достатньою для практичних розрахунків точністю можна використовувати і для визначення нормальних напруг у випадку поперечного згину.

Рис.7.22.

Двотавр і швелер як найбільш раціональні профілі перерізу балки при згині

Дотичні напруги при згині.

Оскільки за плоского згину в поперечних перерізах балки мають місце також поперечні сили Q , то вони утворюють в точках перерізу дотичн і напруги . формула для визначення дотичних напруг при поперечному згині отримана   видатним російським вченим і   Інженером Д.І.Журавським у вигляді:

де S (у) - статичний момент відносно нейтральної лінії /осі  / тієї частини площі поперечного перерізу, яка перебуває між лінією, що проходить через досліджувану точку паралельно осі . і краєм перерізу /на рис.7.23 - заштрихована частина площ І//надалі цю частину площі будемо називати відрізаною І позначати  в(у) - ширина. поперечного перерізу балки в точках з ординатою , для яких визначається дотична напруга  ; - осьовий моь.ент інерції поперечного перерізу балки відносно осі.

Із аналізу формули Журавського /7.18/ випливає, що дотичні напруги в поперечному перерізі балки розподілені нерівномірно. Побудуємо епюру дотичних напруг у балці прямокутного поперечного перерізу з розмірами b і h  /рис.7.24/.

Визначимо дотичну напругу в деякій точці В перерізу  , ордината якої   у. Згідно з формулою /7.18/ таке саме значення .   матимуть усі точки лінії  КL з ординатою у . Для визначення дотичних напруг у точках лінії   KL   необхідно у формулу /7.11/ підставити такі величини; в(у) =в - ширина балки; -   момент Інерції прямокутника відносно осі   z- статичний момент відсіченої площі поперечного перерізу. Оскільки статичний момент відсіченої площі визначається за формулою:

Підставивши значення в /7.18/, отримаємо формулу для визначення дотичних напруг в точіїах прямокутного поперечного перерізу балка:

З формули /7.19/ видно, що дотичні напруги змінюються за висотою перерізу згідно із законом квадратичної параболи. Якщо y=±ћ/2, дотичні напруги дорівнюють нулю, найбільші дотичні напруги мають місце в точках нейтральної лінії, тобто, якщо площа поперечного перерізу балки.

Аналогічний розподіл дотичних напруг за висотою стінки мав балка двотаврового перерізу. Епюра дотичних напруг у точках поперечного перерізу двотаврової балки показана на рис.7.25. Максимальні дотичні напруги  мають точки нейтрально! лінії перерізу визначаються за формулою:

Де Sz - статичний момент половини перерізу двотаврово! балки;  d - товщина стінки двотавра; - момент інерції перерізу відносно осі z

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Як визначаються нормальні і дотичні напруги в довільній точці поперечного перерізу при плоскому згині?
2.  В якій частині поперечного перерізу виникають найбільші дотичні напруження ?
3.  Напишіть формулу Журавського для визначення дотичних напружень.

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Гіпотези міцності та їх застосування

ПЛАН

1. Призначення гіпотез міцності

2. Еквівалентні напруження

3. П'ять гіпотез міцності та їх сутність

4. Розрахунок брусу при одночасній дії згину і кручення

Студент повинен знати:  визначення. гіпотез міцності

Студент повинен вміти: проводити розрахунки брусу при одночасній дії згину и кручення

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [2] §§ 9.1 - 9.3 ; [12]  §§ 3.4

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Плоский і об'ємний напружені стани

В процесі роботи механізмів і конструкцій часто зустрічаються види навантажень, за яких у точці реалізується плоский або об'ємний напружений стан. Розглянемо спочатку плоский напружений стан. Для цього в області досліджуваної точки умовно виріжемо елемент і розмістимо його так, як показано на рис.3.11. Нехай на бічних гранях виділеного елемента діють головні напруги у1 і у2  .Знайдемо нормальні і дотичні напруги на площині, нормаль nб до якої в напрямом осі х /або у1 /  утворюється б, а з віссю  у /або у2  /- кут б2. В подальшому викладі будемо називати її б площадкою. На цій площадці діють нормальні уб  і дотичні Аб напруги, які залежать від у1 і у2 . Згідно з принципом суперпозиції за формулою /3.6/

   то, опускаючи індекс у позначенні кута, рівняння   /3.9/ переписуємо у вигляді

Міркуючи аналогічно з допомогою формули /3.7/ визначаємо дотичну напругу на б - площадці:

Рис. 3.11. Схема до визначення напруг  уб  і Аб при плоскому напруженому стані

Спростивши вираз і врахувавши, що б1 = б , отримаємо

 /3.11/

Слід пам'ятати, що у формулах /3.10/ і /3.11/   б - це кут, який відлічується від осі, вздовж котрої дів максимальна напруга, тобто у1.

Користуючись формулами /3.10 / і /3.11/, знайдено нормальні і дотичні напруги на площині, перпендикулярній до б - площадка. Позначимо таку площину в - площадкою /рас.3.12/, а нормальні і дотичні напруга на ній відповідно  ув  і Ав .Нормаль до в - площадки позначимо  nв.  Кут, що утворює нормаль з віссю х /або з напрямом дії напруги/ буде кутом  в . Тоді за формулою /8.10/ отримаємо ув = у1 cos2 в + у2 sin2в. А оскільки в = б + 900 , то після підстановка дістанемо

  /3.12/

 

Рис.3.12.Схема до визначення напруг ув  і Ав при плоскому напруженому стані.

Аналогічно одержимо розрахункову формулу для дотичних напруг:

Для встановлення властивостей напруженого стану на взаємно перпендикулярних площадках, які проходять через досліджувану точку, проведемо аналіз отриманих формул /3.10/ - /3.13/.

Очевидно, що якщо додати формули /3.10/ і /3.12/, то одержимо:

Таким чином, при повороті елемента навколо осі,  перпендикулярної площині рисунка, сума нормальних напруг на взаємно перпендикулярних гранях залишається сталою.

Порівнюючи формули /3.11/ і /3.13/,   помічаємо, що  А б = -А, тобто підтверджується закон парності дотичних напруг, а знак "мінус" відповідає правилу, наведеному в підрозд.3.2.

Найбільші дотичні напруги, як виходить з аналізу формули /3.11/, маємо на площадках при  sin 2б = 1 ,тобто тоді, коли 2б= 90° або б  = 45°.

Значить, коли б  = 45°, то  

Необхідно зауважити, що згідно з прийнятим позначенням напруг, при плоскому напруженому стані головні напруги у1 або у2  зокрема можуть дорівнювати нулю. Тоді     під час використання формул для аналізу напруженого стану необхідно замість  у1 підставляти уmax , а замість у2  - уmin.

Розглянемо тепер об'ємний напружений стан, яки має місце, коли на гранях виділеного елемента всі три головні напруги відмінні від нуля /рис3.13.а/. Проведемо довільний переріз елемента так, щоб площина перерізу перетнула всі три координатні осі /рис.3.13.б/.

            

Рис.3.13. Об'ємний напружений стан в точці: а – головні напруги у1, у2, у3 ; б - визначення  уn та  Аn точці площини перерізу з нормаллю n.

Нормаль n  до цієї площини утворює з координатними осями х, у, z відповідно кути  б1, б2, б3 .Нормальна напруга уn  на такій площині визначається формулою, отриманою в теорії пружності і аналогічною формулі /3.9/:

  /3.15/

Дотичні напруги на цій площині  обчислюють за формулою

 

Екстремальні  значення нормальних напруг :  

Максимальні значення дотичних напруг       /3.17/

Особливе значення в розрахунках на міцність відіграють нормальні
і дотичні напруги на площадці, яка має однаковий нахил до всіх координатних осей, тобто у випадку, коли б1 = б2 = б3 = б .

Рис. 3.14. Октаедричні напруги Аокт і уокт при об’ємному напруженому стані.

Така площадка називається октаедричною, а напруги на ній - октаедричними напругами, що позначаються   Аокт і уокт.

Відомо, що в ортогональній системі координат cos2б1+cos2б2 + cos2б3   = 1, Тоді для октаедричної площадки cos2б1 = cos2б2 = cos2б3 = 1/3, і формула октаедричної нормальної напруги, згідно з /3.15/ має вигляд

Якщо використати формулу /3.16/, то октаедрична дотична напруга

У теорії пружності  і пластичності користуються узагальнюючою характеристико напруг, яку називають інтенсивністю напруг і позначають уі. Інтенсивність напруг уі , виражена через головні напруги, лише числовим коефіцієнтом відрізняється від  Аокт  :

 /3.20/

З інтенсивністю напруг уі пов'язують момент початку текучості матеріалів, які працюють в умовах об'ємного напруженого стану.

Під дією зовнішніх сил матеріал може перебувати в різних механічних станах. Так, при незначних навантаженнях виникають пружні деформації, і матеріал перебуває в дружному стані. Наростаючі навантаження   приводять до появи пластичних деформацій. В такому випадку говорять, що матеріал переходить у пластичний стан. За великих навантажень утворюються перші тріщини, і матеріал переходить у стан руйнування.

Всі ці механічні стани матеріалу ми вже спостерігали в процесі побудови діаграми розтягу маловуглецевої  сталі. В опорі матеріалів момент появи пластичних деформацій /або ознака крихкого руйнування/ хоча б в одній точці матеріалу конструкції розглядається як порушення міцності в цілому.

Розрахунки на міцність, що ґрунтуються на такому уявленні, називаються розрахунками за допустимими напругами.

Знаходження допустимий напруг у випадку лінійного напруженого стану /при розтягу або стиску/ не викликає труднощів. При плоскому /або об'ємному/ напруженому стані знаходження небезпечних напруг становить надзвичайно складну задачу. Справа в тому, що небезпечний напружений стан у точці залежить від співвідношення між головним напругами, а таких співвідношень по суті безліч. Крім цього, великі труднощі утворює  і сама можливість реалізації   і дослідження в лабораторних умовах величезної кількості різноманітних складних напружених станів.

В зв'язку з цим виникла необхідність, на основі дослідів при розтягу і стиску, теоретично визначити міцність матеріалів при довільних плоских і об'ємних напружених станах. В такому разі результати дослідів при лінійному напруженому стані стають еталоном міцності. В результаті за допомогою такого еталона - так званої еквівалентної напруги/ її позначають  уекв / - обґрунтовується міцність матеріалів при довільних напружених станах.

Зрозуміло, що еквівалентною напругою мав бути така сукупна характеристика напруги /стан   В  на рис.8.16,б/, яку необхідно створити в розтягнутому елементі, щоб його стан був би однаково небезпечним з досліджуваним плоским чи об'ємним  напруженим станом /стан А на рис.3.16,а/.

      

Рис.3.16. Об'ємний напружений стан /а/ і еквівалентний йому лінійний напружений стан /б/ з напругою уекв.

Для обґрунтування еквівалентної напруги вводять різні гіпотези про переважаючий вплив того чи іншого фактора на міцність матеріалів при довільному напруженому стані.   

Теорії, які обґрунтовують ознаки однакової безпеки руйнування матеріалів при різних напружених станах, називаються теоріями міцності. Математично довільну теорію міцності можна охарактеризувати залежністю

де у0 - небезпечна нормальна напруга, отримана експериментально під час побудови діаграми розтягу /стиску/. За таку небезпечну напругу   взято для пластичних матеріалів границю текучості у0 = ут , а для крихких - границю міцності  у0 = ум.  

З великої кількості запропонованих на даний час теорій розглянемо ті, які найбільш обґрунтовані експериментально і набули широкого застосування.

1. Теорія найбільших дотичних напруг /третя теорія міцності/. Згідно з цією теорією вважають, що пластична деформація виникає внаслідок необоротних зсувів у матеріалі, які спричинюються дотичними напругами.

За об'ємного напруженого стану найбільші дотичні напруги визначаються згідно з   /3.17/:   . Отже, якщо величина Аmax досягла деякого небезпечного значення  А0 , властивого даному матеріалу і визначеного при простому розтягу, то незалежно від виду напруженого стану матеріал переходить до пластичного стану. Тоді умова небезпечного стану має вигляд  Аmax =   А0 ,  а умова міцності записується співвідношенням

   /3.22/

На підставі /З.І7/, а також тому, що А0 при лінійному напруженому стані можна виразити через ут /див./3.8/, умову міцності можна записати через головні напруги:

 

                                                                                                 /3.23/

Із формули /3.23/ виходить, що еквівалентна напруга за третьою теорією міцності

 

/3.24/

В еквівалентній напрузі /3.24/ не врахована середня за значенням головна напруга  - у2 - це і є основним недоліком третьої теорії міцності. Перевага ж цієї теорії полягає в тому, що вона добре підтверджується різними дослідами при плоскому  і об'ємному напружених станах над матеріалами, що однаково працюють на розтяг і стиск.            Експериментально установлено, що похибка в оцінюванні міцності через знехтування впливом у2 не перевищує 15 %.

2. Теорія питомої потенціальної енергії зміни форми тіла /четверта теорія міцності/. Згідно з цією теорією вважають, що граничний стан для матеріалу, незалежно від виду напруженого стану, настає тоді, коли питома енергія зміни форми  Uф, в одиниці об'єму матеріала досягає свого небезпечного значення/ Uф° , обчисленого за простого розтягу/. Умову міцності у цьому разі можна записати так:

  /3.25/

Якщо величини, що входять до нерівності/3.25/, виразити через головні напруги, то отримаємо

  /3.26/

Ліва частина нерівності /3.26/ відома нам з формули /3.20/, відома нам з формули /3.20/, вона  виражає інтенсивність напруги уі. Тоді еквівалентна напруга за четвертою теорією міцності має вигляд

 /3.27/

Отже, четверта теорія міцності враховує всі три головні напруги, що,безперечно, з її перевагою. Зазначена теорія добре підтверджується дослідами над пластичними матеріалами.

3. Теорія міцності Мора. Ця теорія дозволяв встановити критерій міцності для крихких матеріалів, які по-різному чинять опір розтягу  і стиску, вона ґрунтується на систематизації великої кількості експериментальних даних, яка показує, що середня головна напруга у2 несуттєво впливає на оцінку міцності матеріалів. На цій підставі Мор запропонував такий критерій міцності:

  /3.28/

де  [ур] і [ус] - допустимі напруги відповідно при розтягу  і стиску.

Згин з крученням

Одночасних деформацій згину і кручення зазнає більшість валів, які звичайно бувають прямими стержнями круглого або кільцевого перерізу. Таке поєднання деформацій валів утворюють сили натягу пасів на шківах пасових передач, тиску зубів коліс в зубчастих передачах тощо. В поперечних перерізах вала при згині з крученням відмінні від нуля такі силові фактори: . Ці сили і моменти в точках перерізу вала утворюють нормальні напруги від згину і дотичні напруги від згину і кручення. Впливом поперечних сил Qу та Qz нехтують, тому що відповідні їм дотичні напруги набагато менші за дотичні напруги кручення і нормальні напруги згину. До того ж в найнебезпечніших точках на поверхні вала дотичні напруги від поперечних сил дорівнюють нулю.

Розглянемо-вал, на якому закріплено два шківи С    і Д   пасової передачі діаметрами D1 і D2 /рис 8.12/. Сили натягу віток пасових

 

горизонтальні реакції Rаz та Rвz  .Величини реакцій в підшипниках вала визначають як для балки; що лежить на двох опорах /див.рис.8.12, б, г/, складаючи рівняння рівноваги.

Епюра згинаючих моментів   Мz   побудована від вертикальних сил і  показана на. рис.8.14,в. Аналогічно їй епюра згинаючих моментів Му у горизонтальній площині побудована від горизонтальних сил   /рис.8,14.д/. Епюру сумарних згинаючих моментів Мзг /рис.8.І4,е/ будують на основі епюр Мz Му за формулою:

/8.19/

За рівномірного обертання вала він перебуває в стані рівноваги, тобто   Т1+Т2 =0. Епюра крутильних моментів із врахуванням того, щоТ1=Т2=Т,  зображена на рис.8.14,ж.

Небезпечний переріз вала розміщено там, де епюри повних згинаючих моментів Мзг , і крутильних моментів Мк досягають найбільших значень. Для вала, показаного на рис.8.14, небезпечним буде переріз С зображений на рис.8.15. В цьому перерізі діє найбільший згинаючий момент Мзг ,а також максимальний крутильний момент Мк, за вісь у взята вісь, яка перпендикулярна до площини дії згинаючого моменту Мзг. Отже, вісь y - це нейтральна лінія перерізу.

Від дії моментів Мзг і Мк  у поперечному перерізі виникають нормальні дотичні напруги , значення яких в будь-якій точці перерізу визначаються за формулами .

Тут осьовий момент інерції вала круглого поперечного перерізу.

Епюри нормальних і дотичних напруг зображені на рис.8.15. Максимальні за абсолютною величиною нормальні напруги виникають у найвіддаленіших від нейтральної лінії точках К і L.

Найбільші дотичні напруги виникають в точках контура перерізу:

 /8.22/

У формулі /8.22/ враховано, що полярний момент опору для круга Wр  удвічі більший від осьового W =Wz - Wy .

Для матеріалів, які однаково чинять опір розтягу  і стиску, небезпечними в поперечному перерізі будуть одночасно точки   K і L .

Для дослідження напруженого стану виріжемо на ділянці точки   K /рис.8.16,а/ елементарний паралелепіпед так, щоб його   права грань /заштрихована/ була паралельна площині поперечного перерізу вала. Тоді на гранях паралелепіпеда, паралельних поперечному перерізу вала, діють нормальні  дотичні  напруги, значення яких визначаються за формулами /8.21/ І /8.22/.

На підставі закону парності дотичних напруг /підрозд.З.1/   напруги   С   виникнуть також на верхній І нижній гранях паралелепіпеда. Останні дві грані вільні від напруг, оскільки відсутні сили, що розтягують або стискують вал у напрямі, перпендикулярному до його осі.

Отже, в небезпечній точці   К спостерігаємо випадок плоского напруженого стану. В цьому разі головні напруги визначаються за формулами:

Тоді елементарний паралелепіпед, вирізаний на ділянці, точки К головними площинами,

буде мати вигляд, зображений на рис.8.17.

Звернемо увагу, що отримані формули справджуються також для розрахунків кільцевого поперечного перерізу.

Критерій міцності Мора широко використовується в процесі розрахунків конструкцій із крихких матеріалів. Для пластичних матеріалів [ур] = [ус]  , тому теорія міцності Мора для них збігається з третьою теорією міцності /3.23/.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Дайте визначення косого згину.

2. Напишіть формулу для визначення нормальних напруг у поперечному перерізі бруса при косому згині.

3. Як визначити положення нейтральної лінії при косому згині?

4. Як визначити положення нейтральної лінії при позацентровому розтягу /стиску/?

5. Як визначити небезпечний переріз вала при згині з крученням? Який напружений стан виникає в поперечному перерізі?

6. Як проводиться розрахунок на міцність при позацентровому розтягу /стиску/?

7. Розкрийте, сутність проектного і перевірного розрахунків на міцність вала при згині з крученням.

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Стійкість стиснутих стержнів

ПЛАН

1. Поняття про стійкість

2. Критична сила

3. Формула Ейлера

4. Критичне напруження

5. Гнучкість

6. Границя застосування формули Ейлера

7. Формула Ясинського

8. Графік критичних напружень для низьковуглецевої сталі

Студент повинен знати:  визначення роботи і потужності, одиниці вимірювання.

Студент повинен вміти:визначати роботу і потужність матеріальної точки та тіла, що обертається.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА[2] §§ 12.1 - 12.4 ; [12]  §§ 9.1, 9.2

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

У розрахунках на міцність і жорсткість, наведених у попередніх роз ділах, припускалося, що між зовнішнім навантаженням I внутрішніми силами пружності була стійка форма рівноваги. Отже, при і заданому навантаженні завжди зберігалась початкова форма стержня.

Із курсу загальної фізики відомо, що рівновага Тіл може бути стійкою і нестійкою. Наприклад, на дні вгнутої сфери /рис.9.І,а/ кулька перебуває в стані стійкої, а на поверхні опуклої сфери /рис.9.1,6/ нестійкої рівноваги.

Зникнення стійких або виникнення якісно нових форм рівноваги зустрічається і в деяких конструкціях, навантажених зовнішніми силами. Прикладом може бути центральний стиск прямого пружного стержня. Справді , за деякого значення стискуючої сили стійка прямолінійна форда став нестійкою, і стержень різко викривляється. Небезпека втрати стійкості особливо велика для легких, тонкостінних конструкцій типу гнучких стержнів, пластинок і оболонок. Втрата стійкості, як правило, настає раптово. Деформація конструкції проходить катастрофічно швидко, практично за постійного навантаження. Тому критичний стан, який безпосередньо передує руйнуванню конструкції ,не допустимий у реальних умовах експлуатації.

9.1. Критична сила, формула Ейлера

Розглянемо тонкий прямий стержень, довжина якого значно більша за поперечні розміри /рись9.2,а/. В процесі дії на стержень стискуючої сили F    він зберігає прямолінійну стійку форму рівноваги. Малим збудженням цієї форм, яка виникає, наприклад, під час невеликого додаткового поперечного навантаження, відповідають малі прогини. Із збільшенням сили до її критичного значення Fкр прямолінійна форма стає нестійкою і стержень раптово викривляється /рис.9.2,б/.

Критичною силою називається найбільше значення стискуючої сили, до якої прямолінійна форма рівноваги стержня залишається стійкою. Згин, пов'язаний із втратою стійкості стержня прямолінійної форми, називається поздовжнім згином.

Для безпечної роботи-конструкції робоче навантаження має бути менше за критичну силу F    . Позначимо допустиму стискуючу силу [ F] ,

Де  [Sст] - допустимий коефіцієнт запасу стійкості.

Очевидно, що стійкість достатня, якщо   [Sст]  > 1. Значення коефіцієнта запасу стійкості залежить від призначення стержня і його матеріалу. Звичайно для сталей [Sст]  = 1.8...3; для чавунів [Sст] = 5...5,5; для дерева [Sст] = 2,8...3,2.

Для визначення критичної сили   Fкp   розглянемо стержень постійного перерізу /рис.9.3,а/, один кінець якого має шарнірно рухому, а другий шарнірно нерухому опору. Візьмемо стискуючу силу як таку, що досягає критичного значення   F - Fкр . За цієї умови стержень поряд з прямолінійною матиме також криволінійну форму рівноваги.

Для розрахунку критичної сили скористаємося основним диференціальним рівнянням викривленої осі балки /7.27/:

де Уmin - найменший момент  інерції поперечного перерізу стержня.

Абсолютна величина згинаючого момента в довільному . поперечному перерізі стержня /рис.9.3,6/ М(х) = Fу . Підставивши значення в /9.2/, отримаємо:

Оскільки значення згинаючого момента  М(х) залежить від напряму осі   у/ і значення другої похідної d2y/dx2/: залежить від напряму кривизни   1// завжди протилежні за знаком, незалежно від вибору напряму осі у, то в правій частині рівняння /9.3/ поставлено знак "мінус".

Диференціальне рівняння /9.3/.можна записати у вигляді:

Загальний розв'язок лінійного однорідного диференціального рівняння має вигляд

Де С1 і С2 - сталі  інтегрування.

Значення сталих С1 і С2 визначають із граничних умов. Якщо х= О , то y(O)=0 . Щоб задовольнити цю умову, необхідно взяти С1, = О .   Тоді формула /9.6/ набере вигляду

тобто пружна лінія стиснутого силою F стержня має форму синусоїди.

Другу граничну умову отримаємо, враховуючи, що коли   х =l , то y(l)= О. Підставивши останнє в /9.7/, матимемо  O=C2sinkl. Добуток C2sinkl дорівнює нулю тоді, коли дорівнює нулю один із співмножників. Проте, якщо прирівняти до нуля сталу С2 , то дістанемо нульовий/тривіальний/ розв’язок. Тобто при С2= О. і  y(x)= О стержень перебуває в стійкій рівновазі, якщо відсутні будь-які відхилення від прямолінійної форми. Нам же необхідно знайти умову рівноваги викривленої форми стержня, а для   цього візьмемо С2≠О. Тоді маємо:

Найменше значення аргументу, яке задовольняє умову /9.8/, дістанемо,, якщо kl=П. Враховуюча /9.5/, маємо

Ця формула вперше була отримана академіком Петербурзької Академії наук Леонардом Ейлером /1707-1783/ і тому названа формулою Ейлера.

Формулу /9.9/ використовують в розрахунках для шарнірно закріпленого двома кінцями стержня /рис.9.З,а/. Значення критичної  сили за інших способів закріплення стержня визначають шляхом розв'язування диференціального рівняння /9.4/ з відповідними граничними умовами, формула Ейлера, яка враховує спосіб закріплення кінців стиснутого стержня, має вигляд:

де  - коефіцієнт  зведення довжини. Добуток  називають зведеною довжиною стержня і позначають Lзв. На рис.9.4 наведено приклади стержнів з найхарактернішими способами закріплення кінців і відповідні їм значення коефіцієнтів

9.2. Критичні напруги. Розрахунок критичної сили при напругах, що перевищують границю пропорційності

Критичною напругою  називається напруга, яка виникає в поперечному перерізі А  стержня під дією критичної сили:

Враховуючи, що найменший радіус інерції поперечного перерізу стержня маємо:

Введемо поняття гнучкості стержня:

Гнучкість стержня - це безрозмірна величина, яка характеризує вплив розмірів стержня і способу закріплення його кінців на здатність чинити опір втраті стійкості.

Виведення формули Ейлера грунтується на підставі диференціального рівняння пружної лінії балки  і закону Гука. Тому формулою /9.10/можна користуватися тільки тоді, коли напруга не перевищує границі пропорційності , тобто коли виконується умова . Очевидно, що формула Ейлера застосовна   тільки тоді, коли гнучкість стержня більше від деякої величини , що називається граничною гнучкістю. Підставивши в /9.12/ граничне значення критичної напруги, дістанемо:

За допомогою поняття граничної гнучкості умову застосування формули Ейлера можна записати у вигляді:

Гранична гнучкість залежить лише від фізико-механічних властивостей матеріалу стержня і стала для даного матеріалу. Наприклад, для сталі 45  = 270 МПа, Е = 2 ·105 МПа, тоді згідно з /9.14/  = 85.

В координатах залежність /9.12/ подана кривою /рис.9.5/, яка називається гіперболою Ейлера. При гнучкості  

значення , обчислені за формулою /9.12/, різко зростають.

Дійсні критичні напруги, як показали численні експерементальні дослідження, будуть значно меншими. Отже, підтверджується той факт, що для стержнів, гнучкість яких менша за , формула Ейлера не застосовна. Тоді в розрахунках використовують формулу Ясинського

Де а і в - коефіцієнти, які залежать від матеріалу. В табл.9.І

наведені значення коефіцієнтів а і в, а також значення граничної гнучкості

для деяких матеріалів.

Для чавуна користуються параболічною залежністю

Залежність згідно з формулою Ясинського, показана на рис.9.5 прямою лінією.

За деяких значень гнучкості величина , що обчислюється за формулою Ясинського, досягає небезпечної для даного матеріалу напруги: для пластичних або  для крихких матеріалів. Очевидно, що для стержнів, гнучкість яких менша за , розрахунок на стійкість замінюють розрахунком на міцність. Методика таких розрахунків розглянута в розд.2.

Отже, залежно від величини гнучкості  стиснуті стержні розраховують так: при малих значеннях:  - на простий стиск; при середніх значеннях:  за формулою Ясинського, а при великих: ()  - за формулою Ейлера.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Що розуміють під критичною силою і критичною напругою тонких прямих стиснутих стержнів?

2. Запишіть формулу Ейлера. Як визначити межі використання цієї формули?

3. Що таке коефіцієнт  зведення довжини стержня? Наведіть приклади стержнів з різним    ,

4. Що таке гнучкість стержня?

5. Що таке коефіцієнт запасу стійкості та коефіцієнт поздовжнього згину?

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ:Опір матеріалів

ТЕМА  Розрахунки на витривалість

ПЛАН

1.  Виникнення змінних напружень
2.  Цикли напружень. Амплітуда циклу, коефіцієнт асиметрії циклу.
3.  Втомлене руйнування.
4.  Крива витривалості.
5.  Емпіричні залежності визначення границі витривалості.

Студент повинен знати:  визначення роботи і потужності, одиниці вимірювання.

Студент повинен вміти:визначати роботу і потужність матеріальної точки та тіла, що обертається.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [2]§10.1; [12]  §§ 11.1 – 11.3

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Відомості про втому матеріалів

Значна кількість деталей машин працює в таких умовах, коли напруги, які виникають у них, періодично змінюються за значенням або за значенням і знаком. Опір конструкції дії навантажень в цьому разі істотно відрізняється від їх опору дії статичного або ударного навантаження. Від тривалої дії змінних напруг деталь може зруйнуватися навіть тоді, , коли максимальні робочі напруги значно менші за границі текучості.

До деталей, які зазнають змінних навантажень, належать штоки поршневих машин, обертові осі, вали, зуби зубчастих коліс тощо.

Давно відомо, що деталі машин під дією змінних навантажень, які повторюються багато разів, можуть раптово зруйнуватись, вважають, що , 80-90$ всіх випадків поломок деталей на практичні настає внаслідок дії повторно-змінних навантажень. Особливим при змінному навантаженні є також характер поверхні руйнування, який схематично показано на рис.II. І. Ця поверхня, як правило, має. дві ділянки: одну гладеньку А,

ДРУГУ - жорстку, грубозернисту В Причому деталі із пластичних матеріалів, у яких досить великі значення залишкового відносного видовження і звуження, а також ударної в'язкості, руйнуються без помітних залишкових деформацій, ніби вони виготовлені із крихких матеріалів.

Руйнування деталей за змінних навантажень розпочали вивчати як явище в першій половині XIX ст.

Вважали, що матеріал з часом втрачає свої еластичні властивості, тобто втомлюється від змінного навантаження. Тому руйнування матеріалу, спричинене багаторазовою дією змінних напруг, вважали зумовленим його втомою, а здатність матеріалів протистояти втомленості було названо опором втомі.

Проведені на початку XX ст. дослідження структури металів покапали, що вона залишається незмінною,  а, отже, наведена гіпотеза помилкова. Сучасна природа втоми   пояснюється особливостями кристалічної будови металу, який складається із безлічі зерен-кристалітів, що мають анізотропні фізичні  і механічні властивості. Важливу роль відіграють також сліди механічної  обробки, пошкодження поверхні деталі  1 конструктивні концентратори напруг. Тому, при тривалій дії повторно-змінних навантажень в окремих небезпечних точках зароджуються   мікро-тріщини. В стані пружної змінної деформації стінки мікротріщин притираються, а самі мікротріщини збільшуються в розмірах і об'єднуються, утворюючи відполіровану ділянку  А рис.11.1. Утворена тріщина послаблює поперечний переріз деталі  і стає надрізрм, біля дна якого виникає об'ємний напружений стан, що зумовлює крихкий характер руйнування. В ослабленому перерізі при випадковому перевантаженні або ударі відбувається раптова зруйнування відривом на ділянці /рис.11.1/.

Характеристики циклів змінних напруг

Зміна значення напруг у деталях машин може відбуватися внаслідок зміни навантаження або положення деталі під дією постійного навантаження. Взагалі змінні навантаження  і спричинені ними напруги можуть з часам змінюватися, по різному  і мати як сталий /стаціонарний/, так і не сталий /нестаціонарний/ режим. Вданій роботі розглянемо тільки сталі режими, кожний новий цикл яких є точним повторенням попереднього. За не сталим режимом характер напруг і  їх максимальні значення змінюються від циклу до циклу.

Циклом напруг називають сукупність ycіx значень напруг   Q /або за час одного періоду  tп .

Цикли напруг зображають графіками, на яких по осі абсцис відкладають час t , а по осі ординат - змінні напруги   або    .  Здебільшого в  інженерній практиці період  повторно-змінних навантажень - це величина стала, а закон зміни напруг описується синусоїдою /рис.11.2/. Для характеристики циклу змінних напруг введено ряд параметрів.

Найбільша, з врахуванням знака, напруга циклу – максимальна напруга  max

Найменша, з врахуванням знака, напруга циклу - мінімальна напруга   min

Півсума максимальної max    і мінімальної min напруг  циклу   називається середньою напругою і позначається   с . Середня напруга називається ще статичною складовою циклу і може бути як додатною, так і від'ємною величиною:

Різниця максимальної max і мінімальної  min  напруг, взята за абсолютною величиною, називається амплітудою циклу  :

Відношення мінімальної  min  до максимальної max напруги

циклу називається коефіцієнтом асиметрії циклу

Коефіцієнт асиметрії циклу при різних повторно-змінних навантаженнях може змінюватися від   —   до +  , Цикли, які мають однаковий коефіцієнт асиметрії , називаються подібними. З наведених формул і рис.11.2 випливає, що

Колиmax  і min  однакові за абсолютною величиною, тобто

колиmax  =,min  = то маємо симетричний цикл напруг

/рис.11.З.а/. в цьому разі                       . Симетричний цикл - найбільш небезпечний цикл повторно-змінного навантаження. Такий цикл напруг мають вали, осі тощо.                                 

Цикл напруг, графік якого показано на рис.11,2, називається асиметричним.

На рис.11.3,6 зображено віднульовий цикл зміни напруг. За таким циклом працюють, наприклад, зуб’я зубчастих коліс при нереверсивному навантаженні. Для віднульового циклу

Сталу, або статичну, напругу /рис. 11.3,в/ можна подати також як окремий випадок змінної напруги з параметрами:

Границя витривалості матеріалів

Здатність матеріалів чинити опір руйнуванню при повторно-зміннях напругах називається витривалістю. Очевидно, що витривалість деталей залежить від механічних характеристик матеріалу, характеру циклу напруг тощо. Механічні характеристики витривалості встановлюють під час випробовування зразків на, спеціальних машинах. Найпоширеніші – випробування на згин при симетричному циклі і навантаження.

Для випробування  на витривалість виготовляють серію із 10...15 однакових, ретельно відполірованих циліндричних зразків з діаметром робочої частини 5...10 мм. Випробування  виконують у такій послідовності. Перший зразок навантажують до значної напруги в  ,  щоб він зруйнувався за порівняно невеликого числа циклів N1 Другий зразок випробовують за меншої напруги ,  , тому руйнування настає в разі-більшого числа циклів N2 .Потім поступово, зменшуючи напругу, випробовують решту зразків, які руйнуються, відповідно за зростаючого числа циклів, N, За результатами проб будують криву втоми - криву Вьолера, показану на рис. 11.4, на якій в ділянка СД   , що наближається до

горизонтальної асимптоти. Це означає, що за певної напруги  зразок, не руйнуючись, може витримати нескінченно велику кількість циклів. Ордината цієї асимптоти і дає значення границі витривалості.

Границею витривалості  називається максимальне значення періодично-змінноЇ напруги, за якого матеріал може необмежено довго чинити опір руйнуванню.

Практика показує, що сталевий зразок, який витримав N0=107 циклів /це число називається базою випробувань/, може витримати і необмежене число циклів. Для кольорових металів границю витривалості визначають, як правило, при базі випробувань N0= 107 ...108 .

Границя витривалості значною мірою залежить також від виду деформації. Випробовування .на витривалість проти розтягу стиску 1 кручення проводять рідше, .оскільки вони вимагають складнішого обладнання, ніж у разі згину. Тому "границі витривалості проти розтягу  і кручення  визначають з емпіричних формул за відомою границею витривалості при симетричному циклі згину:

для сталей

для чавуну

Для багатьох матеріалів границі витривалості визначені і наводяться у довідниках.

Коли немає дослідних даних, границі витривалості для симетричного циклу можна обчислити за допомогою характеристик статичної міцності за такими наближеними емпіричними співвідношеннями:

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.   Що розуміють під втомою матеріалів? Яка відмінність особливостей руйнування матеріалів при змінних напругах порівняно із статичним навантаженням?

2.   Розкажіть про характеристики циклів змінних напруг. Які цикли називаються подібними; які найнебезпечнішими?

3.  Що таке границя витривалості матеріалів? Який зв'язок існує між границею витривалості  і механічними характеристиками матеріалу?

4.   Як визначається границя витривалості матеріалів при несиметричному циклі навантаження?

ВИКЛАДАЧ____________________

РОЗДІЛ : Деталі машин

ТЕМА  З´єднання деталей машин

ПЛАН

1.  Призначення з´єднань . Загальні вимоги до з´єднань.
2.  Класифікація з´єднань. Характеристика видів з´єднань.

Студент повинен знати: Основні види з´ єднань. Коротку характеристику з´ єднань.

Студент повинен вміти: розрізняти  види з´ єднань.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [  4 ] §10.1; [ 13 ] §§ 14

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ    

З’єднання деталей машин

В процесі виготовлення машини деякі їх деталі з΄єднують між собою, при цьому утворюються нероз'ємні або роз'ємні з'єднання.

Нероз'ємними називають з'єднання, які неможливо розібрати без руйнування або пошкодження деталей. До них відносяться заклепувальні, зварні і клейові з'єднання, а також посадки з натягом.

Роз'ємними називають з'єднання, які можна розбирати і знову збирати без пошкодження деталей. До роз'ємних відносяться різьбові, шпонкові і інші з'єднання.

Проектування з'єднань — відповідальне завдання, оскільки руйнування в машинах відбуваються в більшості випадків в місцях з'єднань.

Мал. 2. Основні види з’єднань.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.  Дити коротку характеристику оснеовним видам з´єднань.

ВИКЛАДАЧ__________________________________________

РОЗДІЛ : Деталі машин

ТЕМА НЕРОЗ´ЄМНІ З´ЄДНАННЯ.

ПЛАН

1.  З´єднання нероз´ємні.
2.  Заклепувальні  з´єднання. Переваги та недоліки. Розрахунок заклепувальних  з´єднань на зріз клепок,  зминання та розтяг листів.
3.  З´єднання зварні. Переваги, недоліки та область застосування. Розрахунок стикових та напусткових швів при осьовому  навантаженні. Допустимі напруження.
4.  Клеяні та паяні з´єднання.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 4  ] §§1.1-1.4; [ 13  ] §§ 14

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

Студент повинен знати:Знати характеристику основних видів нероз´ємних  з´єднань. Умову міцності для розрахунків з´єднань.

Студент повинен вміти: Проводити проектні та перевірочні розрахунки зварних, заклепувальних з´єднань.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Заклепувальні з'єднання

1.  Достоїнства, недоліки та область використання

Достоїнства:

а) висока міцність і надійність з'єднання;

б) простота контролю якості з'єднання;

в) можливість з'єднання деталей із довільних матеріалів;

г) хороший опір вібраційним та ударним навантаженням;

Недоліки;

а) неповне використання матеріалу з'єднувальних деталей в результаті їх ослаблення заклепувальними отворами;

б) висока вартість, так як процес отримання заклепувального шву складається із великої кількості операцій і потребує використання дорогоцінного обладнання (верстати, преси, клепальні машини);

в) з'єднання деталей в стик потребує використання спеціальних накладок, що призводить до повного збільшення маси конструкції.

Використання заклепувальних з'єднань:

1.  В конструкціях, що сприймають значні вібраційні та ударні навантаження.
2.  При виготовленні конструкцій із не зварювальних матеріалів (дюралюміній, текстоліт та інші).
3.  В з'єднаннях кінцево оброблених деталей, в яких використовується зварювання недопустимо через їх короблення при нагріванні.

1.  Класифікація заклепувальних швів.

В залежності від призначення заклепочні шви бувають:

а) міцні шви, використовуються в стальних конструкціях (ферми мостів, балки перекриттів, літаки та ін.)

б) щільні шви, що забезпечують міцність і герметичність. Використовуються в різних резервуарах.

Використання щільних швів досить обмежене – у більшості випадків зварні з'єднання виявляються технологічно і економічно більш доцільні.

В залежності від взаємного розташування заклепувальних листів розрізняють шви внапусток і встик з одною або двома накладками (а, б, в).

В залежності від числа рядів заклепок шви бувають однорядні і багаторядні (а, г).

В залежності від розташування заклепок в рядах розрізняють шви паралельні і шахматні (г, ґ).

В залежності від числа площин зрізу одної заклепки шви ділять на однозрізні та двохзрізні (є, д).

 

Розрахунок міцних заклепочних швів при осьовому навантаженні з'єднувальних деталей.

Умови міцності шва. Розрахунок заклепочного з'єднання повинен забезпечити міцність: заклепок на зріз; заклепок і стінок отворів в з'єднувальних елементах на зминання; з'єднаних елементів по перетинам, ослаблених отворами під заклепки, на розтяг; країв з'єднувальних елементів на зріз.

При навантаженні шва осьовою силою Q деталі прагнуть здвинутися відносно один одного. При цьому умови міцності елементів шва мають вигляд:

а) на зріз заклепок: 

де і – число площин зрізу однієї заклепки;

d0 – діаметр отвору під заклепку в мм;

z – число заклепок;

Q – осьова сила в Н;

, зр – розрахункові і допустимі навантаження на зріз в Н/мм2 для заклепок.

б) на зминання поверхонь заклепок і стінок отворів:И

де , зм – розрахункові та допустимі навантаження на зминання в Н/мм2 для менш міцного з контактуючих матеріалів, тобто для деталей або для заклепок.

В цю формулу замість  слід поставити меншу з товщин  і  заклепувальних листів в мм.

в) на розтяг листа

де m – число отворів по небезпечному перетину листа,

– найменша товщина з'єднувальних деталей,

b – ширина листа,

,  – розрахункове та допустиме навантаження на розтяг в Н/мм2 для з'єднувальних деталей.

г) на зріз краю деталі одночасно по двом перерізам mn та m1n1 для надійного розрахунку приймаємо, що зріз може виникнути по довжині:

де зр,  – розрахункове та допустиме навантаження на зріз в Н/мм2 для з'єднувальних деталей.

Зварні і клейові з'єднання

1.  Достоїнства, недоліки, область використання.

Достоїнства

1.  Економія металу порівняно з клейними конструкціями (зварні конструкції в середньому легше клепаних на 15%).
2.  Герметичність та щільність з'єднання.
3.  Можливість автоматизації процесу зварювання.
4.  Трудоємкість зварного з'єднання значно менша заклепочного (окрім розмітки і свердління або продавлювання отворів).

Недоліки:

1.  Короблення деталей із-за нерівномірності нагріву в процесі зварювання.

Можливість порушення фізико-хімічних властивостей з'єднувальних деталей в зоні зварювання.

Висока концентрація напружень, які знижують міцність з'єднання особливо при ударних і вібраційних навантаженнях.

Використання зварних з'єднань:

В сучасному машинобудуванні, в будівних конструкціях і в інших галузях промисловості зварні з'єднання витіснили заклепувальні. В наш час зварювання широко використовують як спосіб отримання заготівок деталей з прокату в малосерійному і одиничному виробництві, а також в ремонтній справі.

Зварювальними виготовляють станини, рами, корпуса редукторів, шківи, зубчасті колеса і інші деталі.

1.  Основні види зварних з 'єднань і типи зварних швів.

1.  Стикові з'єднання. Ці з'єднання найбільш прості і найбільш вдосконаленні. Стикові з'єднання виконуються стиковими швами.

2.З'єднання внахлест. Ці з'єднання виконуються кутовими (валиковими) швами.

В залежності від розташування швів відносно навантаження кутові шви бувають.

а) лобові, розташовані перпендикулярно до лініє дії навантаження;

б) флангові, розташовані паралельно лінії дії навантаження;

в) комбіновані, складаються із суми лобових і флангових швів.

3. Таврові з'єднання. Зварювальні елементи розташовуються по взаємно перпендикулярним площинам. З'єднання можуть виконуватись кутовими або стиковими швами.

4. Кутові з'єднання. Використовуються для виготовлення тари з листової сталі, огороджень і ін. Ці з'єднання передають малі навантаження і тому не розраховуються на міцність.

3. Розрахунок швів при осьовому навантаженні з 'єдну'вальних елементів.

З'єднання в стик. Розрахунок стикових швів проводять на розтяг або стиск по перерізу з'єднувальних деталей. Умова міцності шва на розтяг:

де F – осьове розтягуючи навантаження в Н;

δ – товщина шва (приймається рівною товщині деталі) в мм;

L – довжина шва в мм;

σ, [σ]– розрахункове та допустиме навантаження на розтяг в Н/мм2 для шва.

З'єднання кутовими швами.

Всі кутові шви розраховують на зріз. При цьому приймають, що найбільш можливе знищення шва проходить в площині ab. Розрахункова висота небезпечного перерізу шва рівні площі зрізу:

К sin 45° = 0,7К

Fср = 0,7Klш

де lш – довжина периметру кутового шва в мм;

К – катет шва, беруть рівним δ, в мм;

Умова міцності шва на зріз:

де і  – розрахункове та допустиме навантаження зрізу в Н/мм2 для шва.

В з'єднаннях лобовими швами lш= 2lл, фланговими швами 1ш=21Ф. В комбінованому зварюванні з'єднання 1ш рівне сумі довжин всіх лобових і флангових швів.

1ш= 21Л + 1ф

Допустиме навантаження для зварних швів залежать від основного металу конструкції від способу зварювання і типу електродів (див. ст. 35 «Сборник задач по курсу д/машин» Ицкович и др.. узд 1974 год).

4. Клейові з 'єднання.

Клейові з'єднання використовують для з'єднання деталей із металу і неметалевих матеріалів.

До привілегій клейових з'єднань відносять:

1.  Можливість з'єднання дуже тонких листових деталей.
2.  Невисока концентрація навантажень у місці з'єднання.
3.  Стійкість проти корозії.
4.  Герметичність і достатня надійність з'єднання.

Недоліки клейових з'єднань на міцність.

Порівняно невисока міцність.

Низька теплостійкість.

Для склеювання різних матеріалів використовується велике число марок клеїв (БФ-1, ВК-1, МПФ-1 й ін.).

Область використання клейових з'єднань в народному господарстві і промисловості з кожним роком розширюється: виробництво електро- і радіообладнання, оптична, мебельна і деревообробна промисловість, авіація, будівництво і ін. Найбільше використання в машинобудуванні отримали клейові з'єднання внахлест, працюючих на здвиг.

Розрахунок клейових з'єднань внахлест проводиться на зріз по рівнянню:

де – площа зрізу;

– допустиме дотичне навантаження;

Для з'єднань, отриманих клеєм основними марками, приймають допустиме навантаження на зріз

]τзр] =15 ÷ 20 Н/мм2

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ :

1.  Назвати основні види з´єднань.
2.  Класифікація з´єднань.
3.  Де застосовуються заклепкові з´єднання  ?
4.  Дати порівнювальну характеристику з´єднанням заклепочним і зварним.

5.      Де застосовуються клейові з´єднання.

ВИКЛАДАЧ _________________________________________________________

Бердичівський коледж промисловості економіки та права

РОЗДІЛ : Деталі машин

ТЕМА З´єднання з натягом .

ПЛАН

1.  Загальні відомості. Циліндричні з´єднання.
2.  Методи отримання з´єднань з натягом.
3.  Визначення контактного тиску на посадочну поверхню.
4.  Формула Ляме. Визначення максимального і мінімального необхідного тиску.

1.  Студент повинен знати: Види з´єднань, Методи отримання з´єднань з натягом, формулу Ляме для  визначення максимального і мінімального необхідного тиску.

.  .

1.  Студент повинен вміти: Розраховувати необхідний питомий тиск та визначати максимальний і мінімальний необхідний тиск.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [4 ] §§14.1-14.2; [13 ] §§

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Нерухомість з'єднання деталей, які охоплюють одна одну (рис. 223, а), можна забезпечити без застосування спеціальних з'єднувальних деталей: шпонок, штифтів, клинів, болтів і т. д. Для

цього треба між посадочними поверхнями, наприклад вала (охоплюваної деталі) і втулки

(охоплюючої деталі),  забезпечити натяг. Натягом називають   додатну    різницю між розмірами вала d й  отвору D0 до складання:

>0.

Після складання з'єднання на спряжуваних     контактних поверхнях деталей внаслідок пружних  деформацій виникають  тиск р (pm  - середній тиск) і  відповідне тертя, яке забезпечує потрібну

нерухомість деталей  з'єднання.

Додатну різницю між посадочним розміром

отвору і спряжуваної деталі (вала) називають

зазором: S = D0 — d > 0. Характер з'єднання

деталей, що визначається розміром зазорів або

натягів у ньому, називається посадкою. Посадка

визначає ступінь відносної рухомості (не

напруженості з'єднання) або нерухомості

(напруженості з'єднаний) з'єднуваних деталей.

За розміром зазорів і натягів розрізняють ряд

посадок, які поділяють на три великих групи:

посадки з натягом — забезпечують натяг у

з'єднанні (поле допуску отвору розташоване під

полем допуску вала); перехідні посадки — можливий натяг або зазор (поля допусків отвору або вала перекриваються частково або повністю); посадки з зазором — забезпечують зазор у

з'єднанні (поле допуску отвору розташоване над полем допуску вала).

ГОСТ 25347—82, 25346—82 [СТ СЭВ 144—75 і 145—75. «Единая система допусков и посадок СЭВ» (ЕСДП СЭВ)] регламентує поля допусків і рекомендовані посадки, ряди допусків та

основних відхилень (рис. 223, б).

Відхилення — алгебраїчна різниця між справжнім, граничним і т. ін. розмірами та

відповідним номінальним розміром, що є початком відліку відхилень. Допуск Т (JT — допуск на квалітет) — різниця між найбільшим (верхнім) і найменшим (нижнім) граничними розмірами   (відхиленнями).

ЄСДП СЭВ установлює 19 квалітетів (класи точності): 01, 0, 1, 2, ... .... 17. Проміжні

інтервали застосовують для валів від а до с і від r до zc, а для отворів — від А до С і від R до ZС. Із зростанням значення квалітету зростає і розмір допуску.

У машинобудуванні найчастіше використовують точності обробки, що відповідають 3...12 квалітетам: 3...5 — для особливо точних деталей, 6...8 — для найпоширеніших відповідальних деталей, 10... ...12 — для деталей низької точності, які допускають обробку без знімання

стружки.

При невеликих допусках на обробку точність складання, надійність і довговічність деталей збільшуються, але зростає і вартість обробки їх.

Положення поля допуску відносно нульової лінії визначається відхиленнями (розмірами) ES і EJ (es і еi) — верхнє і нижнє відхилення діаметра отвору (вала). Поля допусків позначають

великими (отвори) і малими (вали) латинськими буквами з додаванням квалітету, наприклад G7 і g7.

На кресленні граничні відхилення лінійних розмірів (у міліметрах) показують одним із трьох способів: 1) умовним позначенням полів допусків, наприклад 18Н7, 12е8; 2) числовим

значенням граничних відхилень, наприклад 18+0'018, ; 3) умовним позначенням полів

допусків  із зазначенням у дужках граничних відхилень,  наприклад 18Н7(+0'018),  

Граничні відхилення розмірів низької точності (від 12-го квалітету) на кресленні деталі не вказують, а в технічних вимогах роблять запис: «Незазначені граничні відхилення розмірів: отворів Н14, валів h14, інших ±JT14/2».

Граничні відхилення кутових розмірів показують тільки числовим  значенням.

Приклади позначення посадок див. на рис. 177, 178, 302, 309, 315.

Розрізняють дві системи посадок: отвору і вала. В системі отвору поле допуску отвору H має нижнє відхилення, що дорівнює нулеві, і різний характер посадок здійснюється варіюванням полів допусків вала (рис. 223, б). У системі вала різний характер посадок здійснюється зміною поля допуску отвору при незмінному полі допуску вала h.

Найпоширенішою є система отвору — скорочується номенклатура дорогих інструментів для отвору. Систему вала застосовують при технологічній доцільності використання гладких валів, спряжених з деталями з різними посадками, при застосуванні стандартних деталей з

охоплюваною поверхнею (зовнішні кільця підшипників кочення та ін.).

Складання двох деталей будь-якого з'єднання з натягом може здійснюватись: запресуванням, нагріванням охоплюючої деталі (маточини), охолодженням охоплюваної деталі (вала).

При складанні методом температурного деформування [нагрівання втулки до 200...400 °С або, охолодження вала за допомогою твердої вуглекислоти (—79 °С) чи рідкого повітря (—196 °С)] усуваються недоліки запресування (пошкодження торців, зрізування або шабрування

нерівностей контактних поверхонь, можливість нерівномірних деформацій деталей) і

підвищується міцність з'єднання більш ніж у півтора раза. Посадки з натягом часто називають пресовими.

Надійність і міцність з'єднання залежать від розміру натягу, визначеного конструктором

відповідно до характеру та значення передаваного навантаження: тиск р і сили тертя Ff та моменти тертя, що відповідають йому, повинні бути більшими від зовнішніх зсуваючих сил і моментів.

З'єднання з натягом прості (виключено виготовлення шпонок пазів або шліців), допускають добре центрування спряжуваних деталей і сприймання динамічних навантажень.

Недоліки: необхідність застосування печей, охолодних пристроїв або потужних пресів;

трудомісткість розбирання.

При впровадженні простих і ефективних пристроїв для гідравлічного складання

(запресування) і розбирання переваги цих з'єднань будуть істотнішими від недоліків і, отже, їх можна рекомендувати для застосування.

У з'єднаннях з натягом шорсткість посадочних поверхонь призначають за допуском, звичайно ≤Ra 3,2, нециліндричність ≤0,3 допуску на діаметр; посадку отвору за Н7, Н8, а вала з досвіду, за рекомендаціями (див. табл. П48) або розрахунком (див. задачу 49а) відповідно до умов роботи і складання спряження, а також вимог до точності.

Примітки. 1. Змащування спряжуваних поверхонь олією та обмеження швидкості

запресування (ν≤5 мм/с — гідравлічні, гвинтові або важільні преси) приводить до істотного зменшення пошкоджень поверхонь спряження.

Оскільки посадочні поверхні валів і корпусів обробляють за /Т3.../Т12, а підшипників

кочення за ІТ2.../Т5, то в спряженнях обох кілець з деталями машин дістають точніші посадки, ніж при спряженні інших деталей, оброблених за однаковими квалітетами, наприклад, поля

допусків перехідних посадок k5, k6, m5, m6 (див. рис. 223, б) при спряженні ч внутрішніми

кільцями підшипників дають посадки з натягом.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ :

1.  Дати характеристику з´єднанням з натягом, для яких деталей вони застосовуються ?
2.  Як  визначається необхідний натяг ?
3.  Як отримують з´єднання з натягом ?
4.  Як позначаютьсяз´єднання з натягом на кресленнях ?

ВИКЛАДАЧ _________________________________________________________

РОЗДІЛ : Деталі машин

ТЕМАЗ´єднання з натягом.  

ПЛАН

Добирання стандартної посадки і визначення максимального і мінімального натягу.

Студент повинен знати: основні види з´зднань з натягом, посадки , квалітети, методи визначення натягу.

Студент повинен вміти: вміти розраховувати необхідний натяг та підбирати стандартну посадку деталей.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 3 ] с.14-20 1 зад.

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Задача 49а. Обчислити середній контактний тиск pm, що гарантує нерухомість деталей

(наприклад, вала-маточити) з’єднання з натягом при його навантаженні: А) осьовою силою (рис. 223) а) Fa = 15 кН, б) Fa = 25 кН; Б) обертальним моментом а) Т = 350 Н • м, б) Т = 420 Н • м; В) сумісно з осьовою та обертальним моментом а)Fa = 2,5кН, Т = 285Н • м;б)Fa = 3,6кН,Т = 375Н•м.

Діаметр суцільного вала d і довжина ℓ посадочної поверхні: а)d=60мм, ℓ=65мм; б)d=80мм, ℓ=90мм. Матеріал з’єднання деталей – сталь 45, нормалізація.

Для випадку (В) визначити натяг, дібрати посадку і перевірити міцність центра

циліндричного косозубого колеса, якщо зовнішній діаметр охоплюючої деталі (центра колеса) а) D=df=120мм, б) D=df=150мм.

Розв’язання: а) Середній контактний риск pm, що гарантує взаємну нерухомість деталей

з’єднання з натягом, обчислюють за допомогою наведених нижче формул[виведіть ці формули (;   S=Sб.ц=πdℓ] при коефіцієнті запасу зчеплення К=1,5…2 і коефіцієнті тертя ковзання ƒ з мащенням. Приймаємо К=1,75; ƒ=0,07 – табл. П1 для сталі по

сталі з мащенням (при температурному складі ƒ=(0,11…0,18), дістанемо:

А) при навантажуванні з’єднання осьовою силою

Б) при навантажуванні з’єднання обертальним моментом

В) при навантажуванні з’єднання осьовою силою та обертальним моментом

1.  Розрахунковий натяг , де E1=E2=2,1Па – модулі пружності для

охоплюваної (E1) та охоплюючої (E2) стальних деталей з’єднання; коефіцієнт Пуассона ν1=ν2=0,3 – табл.. П2; с1=1-ν1=1-0,3=0,7(при d0=0 – рис. 223, а);

Отже,

2.  Потрібний натяг Nпотр.=Nр+1,2[Ra1(Rz1)+Ra2(Rz2)]. Приймаємо однакову висоту нерівностей профілю Ra1= Ra2=2,0мкм (10мкм ≤ Rz ≤250мкм – ГОСТ 2789 – 73) для охоплюваної (Ra1) та

охоплюючої (Ra2) посадочних поверхонь з’єднальних деталей, дістанемо:

   Np+1,2(Ra1+ Ra2)=15,7+1,2(2+2)=20,5мкм.

3. Призначаємо посадку по d=60мм і Np≈20мкм; близько до Np≈20мкм посадка (за ГОСТ25347 – 82 (СТ СЭВ 144 – 75), табл. 7 для 50<d<65мм знаходимо поле допуску вала – с.12 і поле

допуску отвору – с.19) Ǿ60 Н7/n6, для якої Ǿ - для вала, Ǿ - для отвору втулки (в дужках зазначено граничні відхилення, мм); найменший натяг Nmin=10мкм, найбільший натяг Nmax=39мкм; найбільший розрахунковий натяг: мкм.

Перевірка міцності центра зубчастого колеса: найбільший контактний тиск

за табл. П3 границя текучості (сталь 45, нормалізація) σт=284Мпа;

еквівалентне напруження для небезпечних точок внутрішньої поверхні центра колеса (втулки)

<< σт.

5. Сила запресування

кН.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ :

1.  Скласти схему розрахунку з´єднання з натягом.
2.   Як правильно підібрати стандартну посадку ?

ВИКЛАДАЧ _________________________________________________________

РОЗДІЛ : Деталі машин

ТЕМА  Нарізні з´єднання.

ПЛАН

1. Гвинтова лінія і гвинтова поверхня.

2. Класифікація різьб.

3. Основні геометричні параметри.

4. Способи стопоріння.

5. Силові співвідношення в гвинтовій парі.

Студент повинен знати: застосування та види різьб,  геометричні співвідношення в гвинтовій парі, способи стопоріння .

Студент повинен вміти: призначати види різьбових  з´єднань в залежності від умов роботи з´єднання.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 4 ] §§15.1-15.2;  [ 13 ] §§15.1-15.3

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Різьбові з’єднання

Класифікація різьб.

В залежності від призначення використані різьби діляться на:

а) кріпильні різьби, забезпечують міцність;

б) кріпильно-ущільнюючі різьби, забезпечують міцність і герметичність з’єднання;

в) різьби ходових та вантажних гвинтів, передають рух;

В залежності від форми профілю різьби діляться ні 5 типів:

а) трикутні;

б) упорні;

в) трапецеїдальні;

г) прямокутні;

д) круглі.

Різьби трикутного профілю поділяються на 3 основні типи:

1.  Метрична різьба. ГОСТ 9150-82. Це найбільш розповсюджена із кріпильних різьб. Має профіль у вигляді рівностороннього трикутника, звідси =600
2.  Дюймова різьба. Має профіль у вигляді рівнобедреного трикутника з кутом при вершині =550. Використовується тільки при ремонті деталей імпортних машин. Виготовляється по ОСТ НКТП 1260.
3.  Трубна різьба. Трубна циліндрична (ГОСТ 6357-82) і трубна конічна (ГОСТ 6211-82) – дрібні дюймові різьби, використовуються в якості кріпильно-ущільнюючих для з’єднання труб.

Основні типи різьб для ходових і вантажних гвинтів, їх стандартизація та область використання.

Трапецеїдальна різьба. (ГОСТ 9484-82). Це основна різьба в передачі гвинт-гайка. Її профіль – рівнобічна трапеція з кутом =300. Використовується для передачі реверсивного руху під навантаженням (ходові гвинти верстатів).

Упорна різьба. Має профіль у вигляді нерівнобічної трапеції, кут нахилу робочої сторони профілю 30. Кут нахилу неробочої сторони профілю 300. Упорна різьба використовується для гвинтів з великим одностороннім осьовим навантаженням, наприклад в пресах, нажимних приладах прокатних верстатів, домкратах і т.д. Виготовляється о ГОСТ 10177-82.

 

Прямокутна різьба. Профіль різьби – квадрат. Із віх різьб має найбільш високий ККД, так як кут профілю =00.  Володіє пониженою міцністю. При зносі утворює осьові зазори, які важко усунути. Стандарту немає. Має обмежене використання в мало-навантажених передачах гвинт-гайка.

Кругла різьба. Кут профілю =300. Використовується при важких умовах експлуатації (вагонні стяжки) або при постійному згвинчуванні в забрудненому середовищі (пожежна і гідравлічна арматура, а також для накатки на тонкостінних виробах (цоколі і патрони електроламп). Стандарту немає.

4. Конструкційні різьбові з’єднання.

Основними різьбовими з’єднаннями являються з’єднання болтами, гвинтами і шпильками.

Болтові з’єднання (а) найбільш прості і дешеві, так як не потребують нарізання різьби і з’єднання деталей.

Використовуються для склеювання деталей найбільшої товщини, а також деталей, матеріал яких не забезпечує достатньої міцності різьби.

З’єднання гвинтами (б) використовується для кріплення деталей, одна із яких має більшу товщину. Крім того, гвинти використовують в тих випадках, коли відсутнє місце для розташування гайки і в тих, коли виставляють сурові вимоги по зниженню ваги виробу.

З’єднання шпильками (в) використовується тоді, коли по умовам експлуатації необхідна часте розбирання з’єднання деталей, одна з яких має більшу товщину. Використання в даному випадку привело б до передчасного зносу різьби деталі в силу властивості її матеріалу (чавун и т.д.).

5. Способи стопоріння різьбових з’єднань гайковими замками.

Всі стандартні різьби задовольняють умову самогальмування так як кут підйому різьби  значно менший кута тертя

При роботі різьбового з’єднання в умовах вібрацій, струсу динамічних та ударних навантажень осьова сила затяжки болта і сила тертя в різьбі зменшується, а можливість довільного відгвинчування гайки збільшується. В таких випадках гарантована надійність різьбового з’єднання може бути забезпечена з допомогою баєчного замка – приладу, що перешкоджає само відгвинчуванню гайки.

Конструктивно гайкові замки можна розділити на наступні три основні види:

а) стопорящі завдяки підвищенню сил тертя у різьбі (використання контргайок, пружинних шайб і ін.);

б) стопорящі за рахунок жорсткого з’єднання гайки стержнем болта або деталі (використання розвідних шплінтів; стопоріння дротом, використання стопорних шайб);

в) стопорящі наглухо шляхом приварки, навернення, розклепування.

6. Відношення між силою затяжки і зусиллям  на ключі.

При загвинчування гайки або гвинта до ключа прикладають момент загвинчування , при цьому в різьби і на опорній поверхні гайки діють моменти сил опору. Момент загвинчування рівне сумі моментів сил опору.

де FP – зусилля на кінці ключа;

L – розрахункова довжина ключа;

МР – момент в різьбі від навколишнього зусилля F;

МТ – момент тертя на торці гайки або головки болта.

Для орієнтовних розрахунків, при середньому значенні параметрів різьби (; d2=0,9d; dcp=1,4d; f=0,15).

(де d2 – середній діаметр різьби;  див. рис.

d – зовнішній діаметр різьби;

- кут підйому різьби;

- коефіцієнт тертя) можна прийняти, що ;

де V – зусилля затяжки болта замість зовнішньої осьової сили Q, тоді FpL=0,2Vd

Для стандартних ключів L=15d

FP15d=0,2Vd;

Таким чином в кріпильних різьбах зусилля затяжки болта більше зусилля на кінці ключа в 75 разів.

7. ККД гвинтової пари.

ККД гвинтової пари визначається відношенням отриманої роботи на гвинті - Ап до затраченої роботи на один оберт гвинта або гайки Аз

; де Ap=QS; ;

Q – осьова розтягуючи сила;

F – навколишнє зусилля, сила що обертає гайку.

Загвинчування гайок відповідає підйому тіла по нахиленій площині. Із теоретичної механіки відомо, що між силою F, що штовхає тіло по нахиленій площині і його вагою Q існую наступна залежність: , тоді  із  отже, ККД гвинтової пари

8. Матеріали різьбових деталей.

Стандартні кріпильні різьбові деталі загального призначення виготовляють із мало і середньо вуглецевих сталей Ст3, Ст4, Сталь 20,35,45. Ці сталі в умовах масового виготовлення дозволяють виготовляти різьбові деталі методом холодного штампування з подальшою накаткою різьби. Леговані сталі 35Х, 40Х, 40ХН і інші використовують для досить відповідальних гвинтів, болтів, шпильок і гайок.

Останнім часом для різьбових деталей використовують також неметалічні матеріали (нейлон, поліаміди і ін.)

9. Розрахунок різьбових з’єднань при постійному навантаженні.

Основні розрахункові випадки.

Випадок 1. Розрахунок незатягнутого болта, навантаженого зовнішньою розтягуючою силою.

Цей випадок навантаження зустрічається а машинобудуванні порівняно рідко. Найбільш характерним прикладом  цих болтів являється різьбовий кінець вантажного крюка вантажопідйомних машин. Гайка вільно нагвинчується на стержень. Стержень болта навантажується при положенні зовнішнього навантаження і працює тільки на розтяг.

Розрахунок зводиться до визначення діаметру нарізної частини болта. Небезпечним в різьбовому стержні являється переріз нарізаної частини діаметром, рівним внутрішньому діаметру різьби d1

Умова міцності для даного випадку:

, де Q – осьове навантаження в Н;

- допустиме навантаження на розтяг в Н/мм2

, знаючи d1, решту розмірів визначають по ГОСТ 9150-59.

Випадок 2. Затягнутий болт не навантажений зовнішньою осьовою силою.

Прикладом такого з’єднання може слугувати кріплення люків кришок до герметичності яких не пред’являють особливих вимог.

При затяжці болта він, крім розтягу відчуває кручення. В поперечних перерізах болта виникають два внутрішніх силових фактори: повздовжня сила, рівна зусиллю затяжки (N=V) і крутний момент. Хоча затягнутий болт працює на спільну дію розтягу і кручення, його розраховують на простий розтяг, але не по дійсній, а по збільшеній на 30% силі затяжки.

Умова міцності для затягнутого болта має наступний вигляд:

При проектному розрахунку

Випадок 3. Розрахунок болтів, що підвергаються дії поперечного навантаження.

У практиці зустрічаються конструкції, коли на стягнуті болтом деталі діє навантаження перпендикулярно до осі болта. Прикладом таких конструкцій являється з’єднання ступиці з вінцем колеса, з’єднання полу муфт.

Зазвичай такі з єднання мають дві конструкційні різновидності:

а) болт чорний, поставлений з зазором;

б) болт чистий, поставлений без зазору.

а) болт поставлений з зазором.

Болт, що сприймає поперечне навантаження і поставлений з зазором працює на розтяг і повинен стягувати деталі на стільки, щоб забезпечилась достатня сила тертя між ними. В противному випадку після здвигу деталей один по одному болт почне працювати на згин.

Величина згинального моменту, що діє на болт визначається виразом Мз=Qа

Для запобігання роботи болта на згин його необхідно затягнути таким чином, щоб сила тертя на стиках деталей були не менше здвигаючи сил.

Зазвичай тертя приймають з запасом Ттр=1,3F

По закону Мамонтова-Кулона сила тертя,

де V – зусилля затяжки болта в Н;

f – коефіцієнт тертя.

При числі стиків і та кількості болтів z зусилля затяжки болта для одного болта буде рівне

Зусилля затяжки значно більше поперченої сили Р, що потребує більших діаметрів болтів.

Це суттєвий недолік розглянутого з’єднання. Його достоїнством є простота виготовлення отвору – свердління без додаткової обробки, поверхню болта можна не піддавати механічній обробці. По знайденій силі затяжки  болт розраховують як затягнутий, не сприймаючий зовнішніх осьових сил, тобто

б) болт поставлений без зазору.

Можна сконструювати з’єднання таким чином, щоб здвигаюча сила сприймалась безпосередньо болтом, але для цього потрібно поставити точений болт, щільно вхідний в отвір з’єднаних деталей. Отвори оброблюються розверткою; кажуть, що болт поставлений в «отвір з-під розвертки». В такому випадку болт працює на зріз. При і плоскостях зрізу і z болтів умова міцності запишеться таким чином:

 

При проектному розрахунку

Знаючи d0, решта розмірів визначається по ГОСТ 7817-62.

Стінки отворів в з’єднаних деталях повинні бути перевірені на зминання. Для конструкції, зображеної на малюнку

Випадок 4. Розрахунок болта з позацентровим осьовим навантаженням.

Позацентрове навантаження отримується із-за непаралельності опорних поверхонь деталей і гайки або головки болта, наприклад, внаслідок нахилу полки швелеру. Позацентрованість положення навантаження отримується внаслідок несиметричності головки болта. Подібні болти застосовуються там, де не має можливості розмістити болт звичайної конструкції.  

Уявимо, що болт повинен бути затягнутим і відповідно розтягуючи сила дорівнює V. Реакція опорної поверхні чисельно дорівнює V, але її лінія дії зміщена від прокольної осі болта на відстань е. Під дією відцентрованої розтягуючої сили в поперечних перерізах болта виникають два внутрішніх силових факторів: прокольна сила N=V і згинаючий момент Мзг=Ve. Найбільш сумарне нормальне напруження

- напруження розтягу.

З урахуванням дотичних напружень, виникаючих при затяжці болта під дією крутного моменту

, а напруга згину

, при l=d1

Сумарне нормальне напруження збільшилося в 7 разів порівняно з напруженням, яке виникло б для болта з центральною головкою.

Тому слід уникати використання болтів з позацентровим навантаженням. При розробці і виготовленні конструкції з’єднань необхідно приймати усі міри, що усувають ексцентричне навантаження. Наприклад, чорнові поверхні деталей під гайками і головками болів потрібно цекувати, а у випадку нахилених поверхонь підкладати під гайку косу шайбу тощо.

Випадок 5. Затягнутий болт з додатковою осьовою напругою.

Одним із характерних прикладом, що розглядає випадок навантаження можуть служити робота болтів кришки посудини, що знаходиться під внутрішнім тиском газу. Зазвичай між корпусом і кришкою посудини розміщають прокладку з міді, азбесту тощо. Болти повинні бути достатньо сильно затягнуті для того, щоб була гарантована герметичність з’єднання кришки з корпусом, коли в посудину поступає газ під тиском р. Таким чином на болти окрім зусиль затяжкі діє зовнішнє осьове навантаження. Вочевидь при цьому навантаження болтів (порівняно з зусиллям попередньої затяжки) зростає, але результативне осьове навантаження буде менше, ніж сума зусиль попередньої затяжки і зовнішньої осьової сили, що передається на болт. Сумарне осьове зусилля, що сприймається болтом можна приблизно визначити як добуток деякого коефіцієнту k, що залежить від матеріалу з’єднуваних деталей і розміщеною міх ними прокладки, на величину зовнішнього осьового зусилля, тобто Qрозр.=kQ

Q – зовнішнє зусилля, що приходиться на один болт

, де  - сумарне навантаження на кришку.

z – кількість болтів.

Коефіцієнт k приймають рівним .

По знайденій силі Qрозр, з розрахунком впливу кручення діаметр болтів визначається по формулі

10. Вибір допустимих напруг при контролюючій і не контролюючій затяжці.

При розрахунку болтів допустимі напруження розтягу вибирають в залежності від границі текучості

Величину потрібного коефіцієнта запасу міцності встановлюють в залежності від того, контролюється чи не контролюється затяжка болта.

При контролюючій затяжці приймають  для болтів з вуглецевої сталі и  для болтів з легованої сталі. Для незатягнутих болтів з осьовим навантаженням (1 випадок)

- для болтів з вуглецевої сталі;

- для болтів з легованої сталі.

Для затягнутих болтів при неконтрольованій затяжці допустиме напруження залежить не лише від матеріалу болта, відповідності конструкції, але і діаметру болта.

Допустиме напруження на розтяг приймають по даним наведених у таблиці:

Матеріал болта (сталь)	значення [n] при неконтрольованій затяжці
	М8+М16	М16+М30	М30+М60
вуглецева	43	42	21,3
легована	54	42,5	2,5

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ :

1.  Привести класифікацію різьб.
2.  Коротко описати основні види різьб.
3.  Привести приклади стопоріння різьб.
4.  Описати основні геометричні співвідношення в різьбі.
5.  Застосування видів різьб.

ВИКЛАДАЧ _________________________________________________________

РОЗДІЛ : Деталі машин

ТЕМА  Фрикційні передачі.

ПЛАН

1.  Класифікація, принцип роботи, будова, переваги та недоліки передач.
2.  Визначення необхідної сили притискання.
3.  Матеріали катків. Види руйнувань.
4.  Розрахунки на міцність.
5.  Варіатори.

Студент повинен знати:  .

Студент повинен вміти: 

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 4  ] §§3.1;3.2 1 зад.

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ    

Фрикційні передачі

Фрикційні передачі – це передачі в яких пух від ведучого елемента до веденого передається за рахунок тертя, збуджуючого між робочими частинами катків, що обертаються.

1. Достоїнства, недоліки і область використання:

Достоїнства:

1. Простота конструкції і низька собівартість;

2. Плавність і безшумність роботи;

3. Можливість безступінчастого регулювання швидкості, причому на ходу без зупинки машини.

Недоліки:

1. Велике і нерівномірне зношення робочих катків при буксуванні;

2. Непостійність передаточного числа із-за проковзування катків;

3. Великі навантаження на вал від прижимного зусилля;

4. Порівняно низький ККД - ;

5. Обмеженість переданих потужностей – від  кВт.

2. Класифікація фрикційних передач.

В залежності від призначення розрізнюють фрикційні передачі:

1) з постійним передаточним числом;

2) з плавним регулюванням передаточного числа; такі передачі називають варіаторами.

В залежності від взаємного роз положення осей валів фрикційні передачі бувають: циліндричні при паралельних осях; конічні при пересічних осях; лобові при перехресних осях.

Використання: Фрикційні передачі знаходять використання в кувально-пресовим обладнанні, в металоріжучих верстатах, в текстильних і транспортувальних машинах, в приладах і апаратах.

3. Матеріали катків.

До матеріалів, що використовуються для виготовлення фрикційних катків пред’являють наступні вимоги:

•  зносостійкість;
  •  високий коефіцієнт тертя, що забезпечує при невеликих силах натискання достатні сили зчеплення для передачі заданого моменту;
  •  високий модуль пружності для забезпечення достатньої жорсткості катків.

При передачі порівняно великої потужності для обмеження габаритів передачі фрикційні катки виготовляють із загартованої шарикопідшипникової сталі (ШХ-15) з твердістю не менше HRC60. Часто використовують також катки із чавуна з підвищеною поверхневою твердістю. Чавун може працювати в парі зі сталлю. Для передачі відносно невеликих моментів використовують матеріали, що мають в парі за сталю або чавуном підвищеним коефіцієнтом тертя: дерево, текстоліт, шкіра, резина, фібра, феродо.

Перераховані неметалічні матеріали використовують для робочої поверхні ведучого чавунного або стального катка.

Ведений каток, як правило, виготовляють із чавуна або сталі без обшитого покриття.

Зусилля в передачі.

Для передачі обертового моменту необхідно створювати мінімальну силу тертя Тmin, рівну зусиллю Ft, що діє на окружності діаметра D:

;

Щоб не було ковзання при роботі катків, необхідно трохи збільшити силу тертя і приймати її  де k>1 – коефіцієнт запасу зчеплення.

Сила тертя

Потрібна сила натиску

Для силових передач

Для передач приладів

- коефіцієнт тертя.

4. Циліндрична фрикційна передача гладкими катками.

Основні геометричні і кінематичні відношення.

Міжцентрова відстань передачі визначають по формулі:

Ширину катка В зазвичай вибирають в залежності від міжцентрової відстані:

Коефіцієнт ширини катків:

З урахуванням ковзання передаточне число фрикційної передачі визначається формулою:

Діаметр ведучого катка:

де  - коефіцієнт ковзання

В силових передачах рекомендується

Розрахунок на міцність.

а) розрахунок по контактним напругам.

При стиску катків силами Q в їх місці стику виникає  місцева деформація стиску, що називається контактною. При роботі передачі катки обкатуються один по одному, внаслідок чого місце контакту на кожному з них переміщується по ободу і контактні напруги циклічно змінюються. Для матеріалів,  що підкоряються закону Гука, величину контактних напруг визначають по формулі Герца:

,  

де  - приведений модуль пружності в Н/мм2

Е1 і Е2 – модулі пружності матеріалів катків;

- приведений радіус кривизни катків в мм.

В – ширина обода катків в мм.

F – сила натиску в Н.

При великих величинах контактуючих напруг, які змінні у часі, на робочих поверхнях катків виникають втомлені тріщини, поверхні поступово знищуються. Для запобігання цього явища розрахункові контактні напруги не повинні перевищувати допустимих, тобто умови контактної міцності мають вигляд: .

При проектному розрахунку циліндричної фрикційної передачі, катки якої виготовлені з матеріалів, що підкорюються закону Гука, визначають міжосьову відстань із умови контактної міцності. Для цього існує формула, виведена на основі формули Герца

мм

де i – передаточне число фрикційної передачі;

- допустима контактна напруга в Н/мм2, для менш міцного із матеріалів пари катків;

k – коефіцієнт запасу зчеплення;

Т1 – обертовий момент на валу ведучого катка в ;

Епр – приведений модуль пружності в Н/мм2;

- коефіцієнт тертя;

- коефіцієнт ширини катків.

Зазвичай приймаємо

Чавун і текстоліт незначно відхиляються при деформації від закону Гука, тому розрахунок фрикційних передач з катками із чавуна і текстоліту виконують по контактним напругам.

б) Розрахунок при навантаженні на одиницю довжини контактної лінії.

Для катків з робочою поверхнею із дерева, шкіри, резини і інших матеріалів, що не підкорюються закону Гука, параметри передачі визначають по допустимому навантаженні [q] на одиницю довжини контактної лінії. Формула проектного розрахунку має наступний вигляд:

,

де [q] – допустиме навантаження на одиницю довжини контактної лінії для менш міцного із матеріалів пари катків.

Для фібри по сталі в суху  H/мм; для гуми по сталі в суху  Н/мм

Порядок проектного розрахунку циліндричної фрикційної передачі.

1.  Визначають міжцентрову відстань А.
2.  Визначають геометричні розміри катків:

; ; .

1.  Визначають окружну швидкість і зрівнюють з допустимою.

При роботі катків в суху

При роботі катків в маслі

1.  Визначають величину натискного зусилля.

5. Конічна фрикційна передача.

При необхідності передачі моменту між валами, геометричні осі яких перетинаються, використовують конічні фрикційні передачі.

а) передаточне число.

Без урахування проковзування:

Для конічних фрикційних передач рекомендується

б) геометричний розрахунок передачі.

1. Конусна відстань. Із трикутника acd

2. Діаметр ведучого катка

3. Діаметр веденого катка

4. Середній діаметр катків

в) Зусилля в передачі

Величина нормального тиску Q необхідного для передачі окружного зусилля Р складає:

(5;5)

зв'язок між силою нормального тиску Q і силами Q1 і Q2 діє вздовж осей катків, може бути отримана із паралелограма сил:

;

Таким чином для забезпечення одної і тої ж сили нормального тиску між катками вздовж осі малого катка потрібно прикласти меншу силу (так як , то ) тобто натискним вигідніше робити менший каток.

г) Розрахунок на міцність

Розрахунок фрикційної передачі оснований на тих же принципах, що і циліндричний.

При катках, матеріал яких підкорюється закону Гука, розрахунок ведуть на контактну міцність.

При проектному розрахунку визначають середню конусну відстань по формулі:

(5;6)

Одиниці вимірювання в цій формулі ті ж, що і при розрахунках циліндричних фрикційних передач.

- коефіцієнт ширини катків.

Якщо матеріали катків не підкорюються закону Гука (шкіра, резина, дерево тощо), то розрахунок конічної фрикційної передачі ведуть по питомому навантаженні. Формула проектного розрахунку має вигляд:

(5;7)

Одиниці виміру в цій формулі ті ж, що і при розрахунку циліндричних фрикційних передач.

д) Порядок проектного розрахунку.

1. Визначають момент на валу ведучого катка

2. Визначають кути конусності катків

; ;

3. По формулам (5;6) або (5;7) знаходимо середню конусну відстань, вибрав передчасно  матеріал катків і знайшовши відповідні значення k і  або [q].

Задаємося величинами k і

4. Визначають ; ;

; ; .

5. Визначають величину натискного зусилля  

6. Поняття о варіаторах

Передачі, що забезпечують плавну, безступінчасту зміну кутової швидкості веденого валу при постійній кутовій швидкості ведучого, називають варіаторами.

При відповідному натисканні до диска каток проходить у обертовий рух зі швидкістю n2, що залежить від відстані катка до осі ведучого валу. Із умови рівності швидкостей в точці дотику диску і катка (при відсутності ковзання) маємо  () і передаточне число для даного положення катка

Змінюючи швидкість х, можна плавно регулювати швидкість веденого валу, змінюючи не тільки по величні, але й по напрямку. Головною характеристикою варіатора є діапазон регулювання, рівний відношенню максимальної кутової швидкості веденого катка до мінімальної його кутової швидкості

(5;8)

Практично для одноступеневих варіаторів .

В залежності від форми тіла кочення варіатори бувають лобові, конусні, торові тощо.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ :

1.  Перерахувати переваги та недоліки фрикційних передач.
2.  Класифікувати фрикційні передачі.
3.  Написати формулу Герца для визначення контактних напружень.
4.  Напасати основні формули  геометричного розрахунку циліндричної фрикційної передачі.
5.  Як визначається передаточне число варіаторів. Область застосування варіаторів.

ВИКЛАДАЧ _________________________________________________________

РОЗДІЛ : Деталі машин

ТЕМА  Ланцюгові передачі

ПЛАН

1.  Загальні відомості про передачі. Будова, принцип дії, деталі передач.
2.  Основні геометричні співвідношення.
3.  Сили, що діють в ланцюговій передачі.

1.  Студент повинен знати  переваги та недоліки передач, область застосування, формули для геометричного розрахунку передач,    сили, що діють в ланцюговій передачі.

  .

Студент повинен вміти: вибирати тип ланцюгової передачі в залежності від  умов роботи, проводити геометричний розрахунок.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [ 4  ] с.57-61

ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

ЛАНЦЮГОВІ ПЕРЕДАЧІ

Будова,   достоїнства,   недоліки,   застосування   передач.   1Іередача

енергії між двома або кількома паралельними валами, що .здійсню-ється зачепленням за допомогою гнучкого бесконечного ланцюга і зірочок, називається ланцюговою. Па рис. 1 показано загальний вигляд

 2

Рис. 1

привода стрічкового транспортера, до якого входять черв'ячний редуктор 1 і ланцюгова передача 2. На рис. 2 показано схему передачі, в якій ланцюг від ведучого вала О1 передає енергію веденим валам О2, О3 і О5. Для забезпечення нормальної роботи ланцюга застосовано натяжні (натискні) зірочки, що обертаються на осях О4 і Об.

Рис. 2

У машинобудуванні і народному господарстві застосовують такі групи ланцюгів: вантажні (рис. 3), що застосовуються для підвішування, піднімання й опускання вантажу в різних підйомно-транспортних механізмах при швидкостях, які не перевищують 0,25...0,5 м/с; тягові (рис. 4), які застосовують для транспортування вантажів (транспортери, елеватори, колодоносії, приводні рольганги, ескалатори) при невеликих лінійних швидкостях — до 2...4 м/с; приводні що використовуються для передавання енергії в широкому діапазоні швидкостей із сталим передаточним відношенням. Із названих груп ланцюгів у курсі «Деталі машин» розглядають тільки приводні   ланцюги.

Приводні ланцюги — зубчасті, роликові і втулкові — застосовують у велосипедах, мотоциклах, сільськогосподарських машинах, верстатах, транспортерах, вугільних комбайнах, приводах допоміжного механізму прокатного устаткування, приводах підйомно-транспортних машин і т. ін.

Достоїнства. 1. Можливість передавати потужності на значні відстані (а ≤8м) при передаточному відношенні звичайно і ≤ 6. 2. Порівняно невеликі (менші, ніж у фрикційних і пасових передачах) навантаження на вали та їх опори. 3. Великий діапазон передаваних потужностей: від часток кіловата до сотень кіловат (відомі передачі потужністю до 4000 кВт) і великий діапазон швидкостей: від часток

Рис. 45

м/с до З0...35 м/с; роликові втулкові ланцюги звичайно допускають швидкість до 10... 15 м/с. 4. Можливість передавати енергію одним ланцюгом кільком валам з однаковим або протилежним напрямом обертання. 5. Високий к. к. д.: η = 0,94...0,98 (при передаванні повної потужності, старанному догляді і доброму мащенні).

Недоліки. 1. Ланцюгові передачі дорожчі, потребують вищої точності встановлення валів, ніж пасові передачі, і складнішого догляду — мащення, регулювання. 2. Утруднене підведення мащення до шарнірів збільшує їх спрацювання, внаслідок чого ланцюг витягується і потребує встановлення натяжних пристроїв; строк служби передачі скорочується. 3. Основною причиною спрацювання шарнірів (крім недостатнього мащення), шуму, додаткових динамічних навантажень і нерівномірності обертання веденої системи є те, що ланцюг складається з окремих ланок, розташованих на зірочках не по дугах кіл, а по   ламаних   лініях.

Рис. 4

Приводні ланцюги і зірочки. Критерії роботоздатності та основні параметри.

Роликові ланцюги виготовляють одно- і багаторядними. Ці ланцюги складаються з зовнішніх 2 і внутрішніх З пластин, валика (осі) ланцюга 1, запресованого в отвори зовнішніх пластин з наступним розклепуванням кінців, втулки 4, запресованої в отвори внутрішніх пластин, і ролика 5, який вільно обертається на втулці 4.

Втулкові ланцюги відрізняються від розглянутих тим, що в них немає роликів, тому зносостійкість їх нижча.

Втулкові і роликові ланцюги малих кроків і високої якості виготовлення (ланцюги для нафтової промисловості) при великій кількості зубів зірочок і доброму мащенні допускають швидкість 15...З0 м/с. Наприклад, втулкові ланцюги з кроком 9,525 мм, установлені в двигунах автомобілів «Жигули» і «Москвич», працюють при швидкості до 20 м/с.

Зубчасті ланцюги застосовують при значних швидкостях  -  до 25...35 м/с, вони працюють плавно і з меншим шумом, менше витягуються, однак важкі і дорогі. Ланцюг складається з набору зубчастих пластин 1 подовженої З,

Рис. 5

внутрішньої 4 і з'єднувальної 5 призм, шайби 6 і шплінта 7. При повороті ланок ланцюга призми З, 4 не ковзають, а перекочуються, виконуючи роль шарнірів кочення. Це й дає змогу підвищити к. к. д. передачі і довговічність ланцюга.

Для усунення бічного сповзання ланцюга з зірочок передбачено напрямні пластини 2, бічні  або внутрішні .

Ланцюги виготовляють з вуглецевих (сталь 10, 15, 40, 45, 50) і легованих (сталь 15Х, 15ХА, 12ХНЗА, 20Х, 40Х, 40ХН) сталей з наступною термообробкою.

Характеристиками ланцюга є: а) крок  t — відстань між осями двох сусідніх валиків або призм  Для приводних ланцюгів t = 8... 140 мм; б) руйнівне навантаження Q. Крок ланцюга t, руйнівне навантаження Q, ширину пластин b, довжину валика l, масу 1 м ланцюга qm та інші параметри приймають за таблицями стандартів.

Для вибраного ланцюга виготовляють зірочки  з робочим профілем зуба, окресленого дугою відповідного кола для роликових і втулкових ланцюгів (СТ СЗВ 207—75); робочі профілі зубів зубчастих ланцюгів прямолінійні.

Конструктивні розміри і форма зірочок залежать від параметрів вибраного ланцюга та передаточного відношення, яке лімітує кількість зубів меншої зірочки (див. табл. П18).

Ділильний діаметр зірочки d — діаметр кола, на якому розташовані оcі валиків, визначають за формулою:

Де t  — крок ланцюга і зірочок, г — кількість зубів зірочки. Діаметр вершин зубів зірочок De   визначають за формулами: для втулкових і роликових ланцюгів (ГОСТ 592—81)

де d1 — діаметр   ролика ;

для зубчастих ланцюгів De=t·ctg (1800/z )

Оскільки dД2/dД2 =sin(1800/z1)/ sin(1800/z2) ≠ Z2/Z1, то

 передаточне відношення        і = ω1/ω2 =n1/n2 =z2/z1

не можна виражати через відношення ділильних діаметрів зірочок.

Рисссссс

ддддддддддддддддддд

9.3. Основні параметри та кінематика передачі

Рис. 7   Конструкції зірочок для зубчастих ланцюгів

Основним параметром ланцюгової передачі є крок Рt, значення якого стандартизоване і для розрахунків приймається за відповідним державним стандартом.  Чим більший крок, тим вища навантажувальна здатність передачі.

У момент укладання ланки зазнають динамічні навантаження та удари, які збільшують інтенсивність зношування шарнірів. Удари, нерівномірність обертання веденої зірочки та коливання віток зростають із збільшенням кроку ланцюга та швидкості обертання ведучої зірочки, а також із зменшенням числа зубців цієї самої зірочки. Збільшення кроку ланцюга

особливо негативно позначається у швидкохідних приводах. Тому на основі теоретичних рекомендацій та експериментальних даних розроблено таблиці,наприклад, табл. 1, що визначають можливі ωmax швидкості менших зірочок для різних значень кроку Рt ланцюгів.

Для зменшення маси й габаритів ланцюгових передач при проектуванні число зубців меншої зірочки приймають з умови zmin > ІЗ. Мінімальне число зубців меншої зірочки для роликових ланцюгів вибирають за емпіричною залежністю

Z1  = 29 - 2·u.

При v < 2 м/с це число може бути збільшене до zmin ≥ІЗ... ...15, при v > 2 м/с zmin≥ 19, а в приводах передач із зубчастими ланцюгами число zmin  приймають на 20...30% більшим порівняно  з даними, наведеними для роликових ланцюгів.

Попереднє значення числа зубців z1  меншої зірочки приймають як остаточне, якщо кутова швидкість меншої зірочки ω1  не перевищує ωmax /див. табл.9.3/,Розрахункове число зубців більшої зірочки z2 визначають залежно від передаточного відношення:

                                               Табл. 1

Передаточне число ланцюгової передачі звичайно не перевищує 5, інколи до 8 і лише для дуже тихохідних передач зустрічаються більш високі значення.

Число зубців веденої зірочки z2=u, але воно не повинно перевищувати граничного значення z2max≤ 100÷120 для передач з роликовими ланцюгами та z2max≤ 120÷140 для  передач із зубчастими ланцюгами. Це обмеження  пов'язане з  тим, щи в результаті витяжки  збільшується крок ланцюга p ± ,і вона не може займати нормального положення у западинах зубців зірочок, що веде до зіскакування ланцюга із зірочки або його розриву.

Розрахункове число зубцівслід заокруглювати  до найближчого непарного числа. При непарних числах зубців  Z1 та Z2  , а також парного числа ланок, ланцюга зношування зірочок і шарнірів проходитиме рівномірніше.

Оскільки ланки ланцюга не зірочках мають змінну швидкість, то за розрахункову приймають середню швидкість ланцюга, м/с:

( 1 ) ( 2 )

де  p ±  - крок ланцюга, мм; - числа зубців ведучої та веденоїаірочок;         ω1 і ω2 - кутові швидкості ведучої та веденої зірочок, рад/c.

З трикутника АОВ /див. рис. 9.7/ одержимо,

звідки діаметр ділильного кола зірочки

Міжосьову відстань ланцюгової передачі попередньо приймають в межах              а = (ЗО÷50) p ±. Мінімальна міжосьова відстань обмежується умовою забезпечення кута охвату меншої зірочки α1 ≥120° /див. рис. 9.1/- Додержання цієї умови сприяє підвищенню зносостійкості елементів передачі. Мінімальна міжосьова відстань визначається за залежністю

Одночасно обмежують і максимальну міжосьову відстань (amax≤ 80 pt ) з метою уникнення надмірного навантаження ланцюга під дією власної сили ваги.

За прийнятим значенням а  визначають довжину ланцюга:

де і-р - довжина ланцюга в кроках або число ланок ланцюга, заокругле не до цілого парного числа.

Розрахункове значення міжосьової відстані передачі

( 2 )

Для передач, міжосьова відстань яких не регулюється, та при нахилі лінії центрів до горизонту під кутом γ = 50...70° ведена вітка повинна мати невелике провисання f /див. рис. 9.1/. Для цього одержане за /9.2/ значення О зменшують на 0,2...0,4.

У разі нахилу лінії центрів до горизонту в межах значення γ = 70...90° поправку в одержане значення а із /2/ не вносять.

Сили у вітках ланцюга. Колова сила, Н, що передаєтьея ланцюгом:

де Р - потужність, що передається, Вт; v -  швидкість ланцюгя, м/с; Т - обертальний момент, Н·мм; d - діаметр ділильного кола, мм. Попереднє натягнення ланцюга від провисання f веденої гілки

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ :

1.  Область застосування ланцюгових передач.
2.  Класифікація передач.
3.  Види приводних ланцюгів.
4.  Як визначається передаточне число ланцюгових передач ?
5.  Написати формули геометричного розрахунку передачі.
6.  Які сили діють в  ланцюгових передачах ?
7.  Чому дорівнює зусилля у ведучій і веденій гілках ланцюга ?

ВИКЛАДАЧ _________________________________________________________

РОЗДІЛ : Деталі машин

ТЕМА  .Зубчасті передачі. Загальні відомосі про передачі

ПЛАН

1. Загальні відомості про зубчасті передачі,

2. Принцип дії, будова, переваги, недоліки.

3. Класифікація.

4. Основна теорема зачеплення.

5. Основні елементи і характеристики зачеплень.

6. Зачеплення колеса з рейкою.

1. Принципи нарізання зубів.

2. Точність виготовлення.

3. Підрізання зубів.

4. Корегування.

ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА [87] §§

 ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ

Достоїнства зубчастих передач:

Постійність передаточного числа;

Надійність і довговічність роботи;

Великий діапазон передаваємих потужностей (від десятих доль до десятків тисяч кВт);

Високий ККД (до 0,995);

Компактність;

До недоліків зубчастих передач необхідно віднести:

Необхідність високої точності виготовлення і монтажу;

Шум при роботі зі значними швидкостями;

Зубчасті передачі не оберігають від поломки інші деталі машини при перезавантаженнях.

2. Класифікація зубчастих передач.

Зубчасті передачі класифікують по наступним ознакам:

а) По взаємному розволожені осей коліс.

циліндричні – осі паралельні;

конічні – осі перетинаються;

гвинтові – осі перехрещуються;

шестерня і рейка – для перетворення обертового руху шестерні в поступальний рух рейки і навпаки.

б) По розташуванню зубів на колесах:

прямозубі;

шевронні;

косо зубі;

з криволінійними зубами.

в) по конструктивному оформленню:

закриті (розміщені в непроникному корпусі);

відкриті (працюють без змащення або періодично змащуються консистентними мазями).

г) по окружній швидкості:

тихохідні (v ≤3 м/с)

середньо швидкісні (v = 3 ÷ 15м/с)

швидкохідні (v ≥ 15 м/с)

2. Основи теорії зчеплення.

1. Основна теорема зчеплення.

Для нормальної роботи зубчастих передач необхідно забезпечити непереривне зчеплення і обертання коліс з постійним передаточним числом. Це може бути виконано, якщо профілі зубів будуть окреслені по кривим, що підкорюються вимогам основної теореми зчеплення.

Основну теорему зубчатого зчеплення можна сформувати так:

Для забезпечення постійності передаточного числа профілі зубів повинні бути такими, щоб загальна нормаль NN в точці контакту профілів при будь-якому положенні пересікала б лінію центрів О1О2 в постійній точці Р і ділила б міжцентрові відстані на відрізки, обернено пропорційні кутовим швидкостям, тобто

           

2. Основні поняття.

Лінія зачеплення, кут зачеплення, полюс зачеплення, привілегії профілю.

З основної теореми випливає, що в процесі роботи зв'язаних профілів точка дотику (точка зчеплення) весь час переміщується по прямій N-N.

Пряма, по якій переміщаються точки дотику зв'язаних профілів називаються лінією зачеплення, вона є лінією тиску.

Гострий кут а між лінією зачеплення і перпендикуляром до лініє центрів О1 О2 називається кутом зачеплення. Відповідно ГОСТ цей кут для нормальних коліс дорівнює 20°.

Точка на лінії зачеплення, в якій один одного дотикаються початкові окружності називається полюсом зачеплення і позначається літерою Р.

Поряд з вимогами основної теореми зачеплення профілі зубів повинні бути технологічними, тобто такими, щоб їх можна було отримати у виробничих умовах найбільш простим методом.

Із теоретично можливих профілів (евольвентний, циклоїдний тощо) переважне використання отримали еквольвентні профілі. Початковими окружностями пари зубчастих коліс називається дотикові окружності в полюсі зачеплення, описані із центрів обертання коліс, що котяться одна по другій без ковзання.

2. Геометрія зубчастого зачеплення.

(Окружність виступів і окружність впадин, висота зуба, головки і ніжки, радіальний зазор. Шаг зачеплення. Модуль зачеплення).

Початкова окружність ділить зуб на дві частини – головку і ніжку. Головка зуба – частина зуба, що виступає за початкову окружність; висота головки зуба позначається hа.

Ніжка зуба – частина зуба, що розташована усередині початкової окружності; висота ніжки зуба позначається hf.

Висота зуба h=hа+hf – радіальна відстань між окружностями виступів і впадин.

Окружність виступів – окружність, що обмежує вершини голівок зубів; її діаметр позначається аа.

Виготовлення зубчатих коліс.

Зубчасті колеса виготовляються в основному шляхом нарізання зубів. Для тихохідних передач можуть використовуватись колеса з литими зубами.

В останні роки розроблені і упроваджені у виробництво методи гарячої і холодної накатки зубів.

Нарізання зубів проводиться двома методами: методом фрезерування і методом обкатки. Фрезерування здійснюється на фрезерних станках дисковими або пальцевими фрезами.

Метод обкатки здійснюється на зубофрезерних станках черв'ячною фрезою, долбяком або гребінкою. Найбільш виробничим спосіб нарізання зубів є метод обкатки черв'ячною фрезою.

V. Матеріали і конструкції для зубчастих коліс.

1. Вимоги до матеріалів.

Матеріали зубчастих коліс повинні бути економічно вигідними, забезпечувати достатню міцність при мінімальних затратах на виготовлення зубчастих коліс і при їх мінімальній масі і розмірах.

2. Матеріали зубчастих коліс.

Основними матеріалами для зубчастих коліс є якісні вуглецеві і леговані сталі – сталь 35, 40, 45, 50, 5, 40Х, 35Х, 40ХН тощо, сталь литво – сталь 35Л, 45Л, 55Л тощо. Зубчасті передачі із чавуна (СЧ 15, СЧ 18, СЧ 24) використовують в тихохідних і мало навантажених відкритих передачах.

Із неметалічних матеріалів для виготовлення зубчастих коліс використовують текстоліт, пресоване дерево, капрон. Колеса із цих матеріалів в парі з металічними працюють безшумно при великих окружних швидкостях, але мають відносно невисоку навантажувальну здатність.

3. Вибір матеріалів для шестерні колеса.

При виборі сталі для зубчастих коліс необхідно мати на увазі, що матеріал шестерні повинен мати більш високі механічні властивості, ніж матеріал парного колеса. Це зв'язано з тим, що зуби шестерні приймають участь в більшому числі робочих циклів, ніж зуби колеса (що може призвести до більш швидкого зношення), і їх зуби мають меншу міцність на згин порівняно з зубами колеса, (див. вплив числа зубів на форму профілю і міцність зубів).

Для мало навантажених передач і в тих випадках, коли до обмеження їх габаритів не висувають особливих вимог, використовувати леговані сталі не рекомендується.

4. Конструкція зубчастих коліс.

В залежності від призначення і розмірів зубчасті колеса мають різні конструкційні форми.

Циліндричні і конічні шестерні роблять як одне ціле з валом (так званий вал-шестерня), якщо відстань від впадини зуба до шпонкового пазу х ≤ 2,5т - для циліндричних шестерень і х ≤ 1,6т - для конічних.

В інших випадках зубчасті колеса виконують насадними. Колеса з зовнішнім діаметром αа = 200 мм. переважно виконують у вигляді дисків з ступицями або без них.

Колеса середніх розмірів (500÷700мм) – кованими полегшеної конструкції.

Для крупних передач використовують суцільнолите (рис. а-г), бандажоване (рис. д), звертні (рис. е), зварне (рис. ж).

VI. Види пошкодження зубів і розрахунок зубчатих передач.

При незначних недоліках конструкції, неточному розрахунку або порушення режиму нормальної експлуатації передачі можливі поломки, викришування, стирання і заїдання робочих поверхонь.

1. Поломки зубів.

При кожному входженні зуба в зачеплення до нього прикладається навантаження, в результаті чого у його основи виникають змінні напруги згину, які в кінцевому рахунку, можуть призвести до втомленості поломки зуба.

Поломки зуба можливі також і в результаті значного короткочасного перевантаження, при якому фактичні напруги перевищують знищуючі (граничні).

2. Викришування робочих поверхонь зубів.

При тиску зуба одного парного колеса на зуб іншого в зоні їх дотику виникають так звані контактні напруги, величина яких в процесі зачеплення змінюється від нуля до максимуму. Внаслідок дії достатньо великих контактних повторних напруг на зубах можуть з'являтися мікроскопічні тріщини. В ці тріщини попадає масло. За час роботи передачі створюється гідростатичний тиск, що віддирає верхній шар від тіла зуба. Цей вид руйнуваня характерний для закритих передач, що працюють з рясним змащенням. У відкритих передачах викришування поверхонь не проявляється, так як абразивне зношення проходить швидше, ніж процес викришування під впливом змінних контактних напруг.

3. Зношення зубів.

Цей процес полягає в стиранні поверхні зубів. Внаслідок цього проходить ослаблення зубів, зменшення розмірів перерізів, зростання напружень і поломки зубів. Цей вид пошкоджень частіше всього буває у відкритих передачах, працюючих в середовищі забрудненому пилом, піском, брудом.

4. Заїдання зубів.

При високих тисках на поверхні зубів масляна плівка роздавлюється і поверхні зубів зчіплюються одна з одною настільки сильно, що частинки більш м'якого матеріалу відриваються від зуба і залишають на поверхні борозни, задирки.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ :

1.  Область застосування  зубчастих передач.
2.  Класифікація зубчастих передач.
3.  Як визначається передаточне число  ?
4.  Сформулювати основну теорему зачеплення.
5.  Способи отримання зубчастих коліс.
6.  Матеріали зубчастих коліс.
7.  Основні види руйнування зубчастих передач.

ВИКЛАДАЧ _________________________________________________________

                                                                                                                                                                                                          

ДЖЕРЕЛА ПОСИЛАНЬ

1.Никитин Е.М. "Теоретическая механика", М . 1988.

2.Ицкович Г.М. "Сопротивление материалов ",М.1988

З.Куклин А.Т."Детали машин ",М.1988

4.Березовский Ю.Н."Детали машин ",М.1988

5 .Аркуша А.И."Техническая механика", М.1988

б.Дунаев "Детали машин .Курсовое проектирование, "М.1984   

7.Чернавский С.А."Курсовое проектирование деталей машин ", М.Машиностроение,1987

8.Файн А.М."Сборник задач по теоритической механике",М.1990

9.Винокуров А.М."Сборник задач  по сопротивлению материалов",М.1990

Ю.Романов М.Я. "Сборник задач по деталям машин",М.Машиностроение, 1989

11.Чернілєвський Д.В."Теоретична  механіка",Київ,НМК ВО,1992     

12.Чернілєвський Д.В. НехайчукВ.Т.      «Опір матеріалів»,Київ, НМК ВО,1992

ІЗ.Чернілєвський Д.В"Деталі машин ", Київ, НМК ВО,1992

14.Малащенко В.О ."Курсове проектування "Деталі машин, " Новий світ-2000 ", Львів, 2004

15.1.І. Устюгов "Деталі машин", 1981, «Высшая школа».