Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 36
ФОП
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Оглавление.
1. Действительные числа.
2. Функция, понятие функции.
3. Предел числовой последовательности.
4. Предел функции.
5. Признаки существования пределов.
6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
7. Замечательные пределы.
8. Непрерывные функции. Определение непрерывности.
9. Производная функции.
10. Основные правила дифференцирования.
11. Производные элементарных функций.
12. Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали к кривой.
13. Дифференциал функции.
14. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Локальный экстремум функции.
1. Действительные числа.
Простейшим множеством чисел является множество натуральных чисел - , которые вместе с отрицательными числами и числом образуют множество целых чисел .
Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные составляют множество рациональных чисел. Каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби , где и - целые числа. Рациональные числа представляются в виде конечных и бесконечных периодических дробей. Все остальные числа называются иррациональными и представляются в виде бесконечных, непериодических дробей.
Свойства действительных чисел.
1. Между двумя действительными числами всегда находится рациональное и иррациональное.
2. Любое иррациональное число можно с любой степенью точности заменить рациональным.
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел.
Числовая ось - это бесконечная прямая, на которой выбраны:
1). Некоторая точка , называемая началом отсчета.
2). Положительное направление, которое обозначается стрелкой.
3). Масштаб.
Действительные числа изображаются точками на числовой оси, и каждой точке числовой оси соответствует число.
Множество чисел, удовлетворяющих условию , называется интервалом и обозначается или .
Множество чисел, удовлетворяющих условию , называется отрезком и обозначается .
Окрестностью точки на числовой оси называется интервал с центром в этой точке, - радиус интервала.
Абсолютная величина действительного числа.
Абсолютная величина или модуль числа обозначается и определяется следующим образом.
1. Модуль суммы конечного числа слагаемых не больше суммы модулей.
2. Модуль разности не меньше разности модулей
3. Модуль произведения равен произведению модулей
4. Модуль частного равен частному модулей
2. Функция, понятие функции
Рассмотрим множество элементов и множество элементов . Если каждому элементу по определенному правилу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция со значениями во множестве . Элементы называются значениями аргумента, а элементы - значениями функции. Множество называется областью определения функции, множество всех значений функции - областью значений этой функции.
Например.
Функцию, заданную на множестве со значениями во множестве , называют отображением множества во множество . Функцию называют также оператором.
К традиционным, основным способам задания функции относятся: аналитический (с помощью одной или нескольких формул); графический (с помощью графиков); табличный, программа на ЭВМ.
Функция, заданная формулой
правая часть которой не содержит , называется явной.
Функция , определяемая уравнением
называется функцией, заданной неявно, или неявной функцией.
Например.
Обратная функция
Итак, каждому по определенному закону ставится в соответствие единственное значение . С другой стороны, каждому соответствует одно, или несколько значений .
В случае, когда каждому по некоторому закону соответствует только одно значение , получаем функцию
заданную на множестве со значениями во множестве . Эту функцию называют обратной функцией, по отношению к функции . Эти функции называются взаимно обратными. Для них выполняются тождества
Например. .
Некоторые свойства функций
1. Функция называется четной, если
.
2. Функция называется нечетной, если
.
3. Функция называется периодической если и (существует такое число "М" больше нуля, что для любого "х" принадлежащего множеству "А" выполняется равенство ).
4. Функция возрастает, если .
5. Функция неубывающая, если .
6. Функция убывает, если .
7. Функция невозрастающая, если .
8. Функция ограничена сверху на множестве , если .
9. Функция ограничена снизу на множестве , если .
Определение. Функция – ограничена, если она ограничена сверху и снизу.
Основные элементарные функции
Элементарные функциями называют все функции, которые можно получить из основных элементарных с помощью алгебраических действий и образования сложных функций.
3. Предел числовой последовательности
Пусть каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в соответствие действительное или комплексное число . Тогда этим задана последовательность
Отдельные числа последовательности называются ее элементами.
Надо иметь ввиду, что и при считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой.
Определение. Число называется пределом последовательности , если для всякого найдется (зависящее от ) число такое, что выполняется неравенство
для всех (натуральных) .
В этом случае пишут
и говорят, что переменная или последовательность имеет предел, равный числу , или стремится к . Говорят также, что переменная или последовательность сходится к числу .
Геометрический смысл предела
Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число является пределом последовательности , если в любой его - окрестности содержатся почти все члены , или вне этой окрестности находится лишь конечное число членов данной последовательности.
Пример 1. Дана последовательность . Предел этой последовательности , т.е. . Действительно, зададим произвольное число и решим неравенство
Этим для всякого найдено число такое, что неравенство выполняется для всех .
Пример 2. Дана последовательность . Предел этой последовательности , т.е. . В самом деле, составим неравенство . Оно, как мы видели, выполняется для любого , если .
Свойства пределов числовых последовательностей
1. Предел постоянной равен самой постоянной - .
2. Последовательность не может иметь двух различных пределов, если предел существует, то он единственный.
Доказательство от противного. Допустим, что имеет два различных предела и . Покроем точки и соответственно интервалами и настолько малой длины, чтобы эти интервалы не пересекались.
Так как , то в интервале находятся все элементы , за исключением конечного их числа. Но тогда интервал не может содержать в себе бесконечное число элементов и не может стремиться к . Мы пришли к противоречию, теорема доказана.
3. Если последовательность сходится (имеет предел), то она ограничена.
Доказательство. Пусть . Зададим и подберем натуральное число так, чтобы
Но тогда и выполняется неравенство
для всех . Пусть наибольшее из чисел
Тогда, очевидно,
Теорема доказана.
4. Предел функции.
Число называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности , т.е. на некотором интервале , где , за исключением, быть может, самой точки , и если для всякого можно указать зависящее от него такое, что для всех , для которых , имеет место неравенство
.
Тот факт, что есть предел в точке , записывают следующим образом
Другое определение предела функции.
Число называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и если предел последовательности существует и равен , какова бы ни была последовательность , сходящаяся к и такая, что для всех . Таким образом
Выражение предел функции в точке часто заменяют выражением предел функции при , стремящемся к , или, короче, предел функции при .
По аналогии вводят следующее определение.
Число есть предел функции при , стремящемся к бесконечности, если определена для всех , удовлетворяющих неравенству при некотором , и для любого можно найти число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству .
Многие свойства пределов при , где - конечное число, и при являются аналогичными. Для этого под буквой либо число (конечное), либо символ . Если есть число, то под окрестностью точки понимается любой интервал , содержащий в себе точку . Таким образом, окрестность (конечной) точки есть множество всех точек , удовлетворяющих неравенствам . Если же (или или ), то под окрестностью условимся понимать множество всех , удовлетворяющих неравенству
Произвольную окрестность точки обозначают символом .
Свойства пределов функции.
1. Если
и на некоторой окрестности , , , то .
2. Если
и на некоторой окрестности , , , то .
3. Пусть , где и - конечные числа. Тогда
5. Признаки существования пределов
Теорема 1. Если , где - конечное число, то на некоторой окрестности функция ограничена, т.е. существует положительное число такое, что
Доказательство. Из условия теоремы следует существования окрестности такой, что
Отсюда для указанных
где надо считать . Теорема доказана.
Теорема 2. Если и - конечное число, то существует окрестность такая, что
Более того, для указанных , если , , если .
Доказательство. Из условия теоремы следует существование для окрестности такой, что
откуда для указанных . Первое из этих неравенств можно заменить следующими:
При отсюда следует
а при следует
ч.т.д.
Теорема 3. (критерий Коши существования предела). Для того чтобы существовал предел (конечный) , необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и для всякого существовала такая окрестность , что, каковы бы не были точки
Односторонние пределы
По определению число называется пределом функции в точке справа (слева), если она определена на некотором полуинтервале () и для нее существует
для любой указанной последовательности .
Предел справа (слева) функции в точке принято обозначать так:
Если определена на интервале , то в точке может иметь смысл только число , а в точке - только число .
Равенства эквивалентны существованию предела .
6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Функцию, для которой называется бесконечно большой при .
Функцию, для которой называется бесконечно малой при .
Свойства бесконечно малых величин.
1. Сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.
2. Произведение двух бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.
3. Произведение бесконечно малой величины на константу есть бесконечно малая величина.
Будем рассматривать две функции и , заданные в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Будем считать, что на . Если то этот факт записывают так: , и говорят, есть от при .
Например
Выражение , обозначает бесконечно малую при .
Свойство отражает тот факт, что функцию можно записать в виде , где при .
Если функции и сами бесконечно малые, то символ (по старинной терминологии) означает бесконечно малую, более высокого порядка .
Если функции и суть бесконечно большие, то символ (по старинной терминологии), означает бесконечно большую более высокого порядка .
Кроме того, пишут
и называют функции и эквивалентными (асимптотически равными) при , если выполняется свойство:
Например.
Теорема. Если
то
Доказательство. Если на и выполняется условие теоремы, то, очевидно, и . Но тогда
Теорема. Если
то
Эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует в них предел справа, то существует предел и слева, и они равны, и обратно.
Отсюда следует, что если какой-либо из этих пределов не существует, то не существует и второй.
Пример. , потому, что
Пример.
7. Замечательные пределы
1.
Доказательство. Так как функция является непрерывной, то при . Поэтому выражение представляет собой неопределенность типа . Раскроем эту неопределенность. Согласно рисунку можно записать
при
так как из рисунка вытекает , , , . Отсюда, разделив на , получим
или
Функция непрерывная, поэтому
И, следовательно, .
2.
Рассмотрим вначале вспомогательную последовательность
Эта последовательность возрастающая, и ограничена сверху. Действительно, на основании формулы бинома Ньютона имеем:
Отсюда
Из данного равенства видно, что последовательность . Докажем, что последовательность ограничена сверху. Из предыдущего следует, что
Так как в скобках стоит геометрическая прогрессия с показателем , а сумма геометрической прогрессии равна .
Покажем теперь, что последовательность возрастающая. Можно записать
Сравнивая и , видим, что , так как каждое слагаемое в больше слагаемого в и, кроме того, в имеется на одно положительное слагаемое больше.
Следовательно, последовательность сходится. Обозначим предел этой последовательности буквой , как это впервые предложил Л.Эйлер
Доказательство. Мы должны показать, что
Это равенство справедливо, если - натуральное число. Пусть теперь - произвольное число, стремящееся к бесконечности. Пусть - целая часть числа . Тогда . В этом случае
При , , следовательно, первый и последний член цепочки неравенств стремятся к . Поэтому
Так как при этом , то мы доказали исходное при .
Если теперь , то введем новую переменную и
Тем самым теорема доказана.
Пример. . Получается из второго замечательного предела заменой .
Пример.
Если , то и
Пример. , .
Доказательство.
Пример. , .
Доказательство. Положим . Тогда
8. Непрерывные функции. Определение непрерывности с помощью приращений.
На рисунке изображен график функции . Зададим точку . Близкая ей точка , где - приращение . Разность
называется приращением функции в точке , соответствующим приращению . На рисунке , .
Будем стремить к нулю. Тогда для рассматриваемой функции и будет стремиться к нулю
Рассмотрим теперь график другой функции . Придадим теперь приращение и определим соответствующее приращение функции
Если мы будем стремить к нулю, то теперь уже нельзя сказать, что стремится к нулю.
Теперь можно дать определение.
Функцию , заданную на отрезке , называют непрерывной в точке этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению , стремится к нулю при любом способе стремления к нулю.
Это свойство непрерывности в точке записывают в виде
В противном случае функция называется разрывной.
Функция непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке (интервале).
Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке , и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при
Либо ; ;
.
Пример. Функция непрерывна для любого . В самом деле.
Но для любого имеет место неравенство . Если , то это следует из рисунка (длина дуги больше стягивающей ее хорды). Отсюда следует
Но тогда, очевидно, . Что и требовалось доказать.
Если функции и непрерывны в точке , то непрерывны также в этой точке их сумма, разность, произведение и частное (при ).
Пример. Функция непрерывна. Она является композицией двух непрерывных функций: , и .
Точки разрыва и их классификация.
Пусть функция – имеет предел в точке слева (справа). Если:
а сама функция в точке не определена, то эта точка называется устранимой точкой разрыва.
Если функция такова, что существуют пределы в точке , но верхнее равенство не выполняется, то функция в точке имеет разрыв первого рода.
Если у функции не существует правого предела или левого предела в точке , или не существует как правого, так и левого предела, или же эти пределы бесконечны, то функция в этой точке имеет разрыв второго рода.
Например, функция . Точка - точка разрыва второго рода, .
Теорема 4. Если не убывает на отрезке , то существуют пределы и .
Следствие. Если не убывает на отрезке , то в любой точке существует правый предел и в любой точке существует левый предел .
Теоремы о непрерывных функциях
Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .
Теорема 5. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем, т.е. существует константа такая, что выполняется неравенство
На рисунке изображен график непрерывной функции на отрезке . Очевидно, что существует такое число , что график находится ниже прямой , но выше прямой .
Теорема 6 (Вейерштрассе). Если функция непрерывна на , то существует ее минимум и максимум на , т.е. существуют точки такие, что для всех . См. рис.
Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезке и числа и не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале имеется по крайней мере одна точка такая, что .
Следствие 1. Если функция непрерывна на , , , и произвольное число, находящееся между числами и , то на интервале найдется по крайней мере одна точка такая, что .
Следствие 2. Непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями.
9. Производная функции.
Пусть функция определена в окрестности . Тогда производной от функции в точке называется предел
где . Функция, которая имеет производную, называется дифференцируемой.
Теорема 8 (о непрерывности дифференцируемой функции).
Если функция дифференцируема в , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Пусть существует производная . Тогда
,
причем . Отсюда
Отсюда следует, что значение непрерывно.
10. Основные правила дифференцирования.
1.
Доказательство:
2. (производная от суммы равна сумме производных).
Доказательство:
3. константу можно выносить за знак производной.
Доказательство:
Производная сохраняет линейные комбинации.
4. Производная произведения:
5. Производная частного:
Доказательство:
6. Производная сложной функции:
Доказательство:
Пример.
7. Производная обратной функции
8. Производная функции, заданной параметрически:
Доказательство:
9. Производная функции .
Пример.
.
10. Если функция задана неявно, т.е. уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция переменной .
Пример. Найти производную неявной функции .
Это уравнение определяет - функцию от . Подставляя функцию в данное уравнение, получаем тождество . Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим .
.
11. Производные элементарных функций
1. ,
2.
3.
4. , ,
5.
6. ,
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. ,
14. ,
15. ,
16. ,
12. Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали к кривой.
Пусть - фиксированная точка, - текущая, - секущая. При секущая переходит в касательную в точке (предельное положение секущей).
если то
.
Далее, нам известно уравнение прямой линии
Здесь . Отсюда
- уравнение касательной
- уравнение прямой, перпендикулярной данной.
- нормали.
Производные высших порядков явно заданных функций
Производной второго порядка, или второй производной, функции называется производная от ее производной .
Обозначение второй производной
Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и более высоких порядков
Производные порядка обозначаются и так
Если функция задана параметрически: , , то ее вторая производная определяется формулой
13. Дифференциал функции.
Пусть функция определена в окрестности и имеет производную в этой точке
При этом . Тогда для достаточно малых можно записать
Причем при . В этом случае приращение функции можно записать в виде
Или
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде
где не зависит от , но вообще зависит от .
Теорема 9. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.
Таким образом, сказать, что имеет производную в точке или что дифференцируема в точке - это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием функции.
Доказательство.
Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления в виде , где можно положить .
Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда, если , можно записать
Предел левой части при существует и равен :
Это означает, что существует производная .
Геометрический смысл дифференциала.
Итак, приращение функции можно представить в виде
Первое слагаемое пропорционально , т.е. оно - линейная однородная функция от . Второе, является бесконечно малой высшего порядка малости , т.е. оно стремится к нулю быстрее, чем первое. В связи с этим первое слагаемое называется главным членом приращения (при ). Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом . Итак, по определению
На рисунке - касательная к кривой в точке , , приращение функции соответствует приращению аргумента . При этом
Вообще говоря . Равенство выполняется только для линейной функции. В этом случае дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой . Поэтому дифференциал произвольной функции записывают обычно так
Основные теоремы о дифференциалах, дифференциал
сложной функции
1)
2)
3)
4)
5)
6) Форма дифференциала инвариантна (неизменна).
Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.
Например, дифференциал сложной функции.
Применение дифференциалов к приближенным
вычислениям
Итак
Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малом может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приближенное равенство
где .
Например, вычислить значение . Имеем , , .
Далее . Или . Окончательно
Дифференциалы высших порядков.
1) Если , то .
2) Если , то
Например. Дано уравнение эллипса . Найдем первую производную
Вторая производная. Имеем . Отсюда
Теорема ( Ферма).
Если функция имеет производную в точке и достигает в этой точке локального экстремума, то .
Доказательство.
По определению производной имеем
Так как у нас (мы считаем, для определенности, что имеет место локальный максимум) , то для достаточно малых
Откуда в пределе, при , получим, что .
Если же , то
Поэтому, переходя к пределу при в этом неравенстве, поучим . Отсюда и вытекает .
Теорема 11 (Ролля).
Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .
Доказательство.
Если постоянна на , то для всех производная .
Будем считать, что не постоянна на . Так как непрерывна на , то существует точка , в которой достигает максимума на , и существует точка , в которой достигает минимума на . Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка , потому что иначе
и была бы постоянной на . Следовательно, одна из точек принадлежит интервалу . Обозначим ее через . В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, существует, потому что по условию существует для всех . Поэтому по теореме Ферма .
Теорема 12 ( Коши).
Если функции и непрерывны на и дифференцируемы на , и в , то существует точка такая, что
Доказательство. Отметим, что , так как в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы точка такая, что , чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию
В силу условия теоремы эта функция непрерывна на , дифференцируема на и , . Применяя теорему Ролля, получим , что существует точка , в которой . Но
Поэтому, подставляя вместо точку , получим утверждение теоремы.
Теорема 13 (Лагранжа).
Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство
Доказательство. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если ее записать в виде
То есть теорема Лагранжа утверждает, что на графике всегда найдется точка , что касательная к ней параллельна хорде, стягивающей концы кривой .
Правило Лопиталя.
Пусть и определены и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , , и в этой окрестности. Тогда, если существует , то существует и имеет место равенство
Доказательство. Будем считать, что конечное число. Доопределим функции и в точке , полагая . Тогда эти функции непрерывны в точке . Рассмотрим отрезок , где , или . На функции и непрерывны, а на дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка такая, что
Когда , то и , поэтому, в силу условия теоремы имеем
при условии, что предел в правой части равенства существует.
Этим теорема доказана.
Если выражение снова представляет собой неопределенность , то можно
Это относится и к неопределенности типа .
14. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Локальный экстремум функции
Необходимое и достаточное условие постоянства функции выражается равенством , т.е.
Если в данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке.
Функция достигает в точке локального максимума (минимума), если можно указать такое , что ее приращение в точке удовлетворяет неравенству
(соответственно ).
По теореме Ферма, если функция достигает в точке локального экстремума и в этой точке производная существует, то она равна нулю
По определению такая точка называется стационарной. Это условие является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум, но не достаточным.
Достаточные критерии локального экстремума.
Теорема. Пусть - стационарная точка функции (т.е. ) и имеет вторую непрерывную производную в окрестности . Тогда:
если , то есть точка локального максимума ;
если , то есть точка локального минимума .
Теорема. Пусть и и непрерывна в окрестности точки , тогда:
если - четное и , то имеет в локальный максимум;
если - четное и , то имеет в локальный минимум;
если - нечетное и , то заведомо не имеет в локального экстремума.
Кроме того. Если первая производная функции при переходе через точку меняет знак, то имеет в точке минимум, если знак меняется (при возрастании ) с «-» на «+», и максимум, если знак меняется с «+» на «-».
Вогнутость, выпуклость, точки перегиба.
Кривая обращена в точке выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке расположена выше (ниже) самой кривой (см. рис.).
Точка есть точка перегиба кривой , если при переходе через точка кривой переходит с одной стороны касательной на другую.
Теорема. Если функция имеет в точке вторую непрерывную производную и (), то кривая обращена в выпуклостью книзу (кверху).
Доказательство вытекает из понятия локального максимума, минимума.
Если функция такова, что производная непрерывна в , а и , то кривая имеет в точку перегиба.
Асимптоты графика функции.
Прямая называется вертикальной асимптотой , если (см. рис.).
Прямая называется наклонной асимптотой непрерывной функции , если .
Линия называется асимптотической кривой для , если .
Пример. Построить график функции . Составим таблицу
|
возрастает асимптота |
убывает |
вертикальная асимптота |
убывает |
возрастает асимптота |
|||
|
выпукла кверху |
выпукла кверху |
выпукла книзу |
выпукла книзу |
График имеет вид.
FVB
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Тригонометрические функции
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
c
b
a
d
e
f
x
Степенная
Показательная
Логарифмическая
х