Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Российский государственный профессионально-педагогический университет»
Машиностроительный институт
Кафедра высшей математики
ЗАДАНИЯ и методические указания к выполнению
«математика»
для студентов заочной формы обучения
направления подготовки 051000. 62 Профессиональное обучение (по отраслям)
профиля подготовки «Энергетика»
профиля подготовки «Информатика и вычислительная техника»
Екатеринбург
РГППУ
2012
Задания и методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «Математика». Екатеринбург, ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет», 2012. 48с.
канд. физ.-мат. наук А.В. Шитиков
ст. преподаватель Т.А. Серова
Одобрены на заседании кафедры высшей математики.
Протокол от 02.10.2012 № 2
Рекомендованы к печати методической комиссией МаИ РГППУ.
Протокол от 05.10.2012 №2
Председатель методической
комиссии МаИ РГППУ А.В.Песков
Цель контрольных работ – закрепление и проверка знаний, полученных студентами в процессе самостоятельного изучения учебного материала по данной дисциплине, а также выявление их умения применять полученные знания на практике.
Указания к выполнению контрольных работ
При выполнении контрольных работ необходимо руководствоваться следующими требованиями:
Вариант контрольной работы выбирать по последней цифре номера зачетной книжки.
Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради.
На обложке тетради должны быть ясно написаны название дисциплины, номер контрольной работы, фамилия студента, его инициалы, номер группы и шифр специализации, шифр зачетной книжки.
В начале работы должен быть указан номер варианта задания.
Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие.
Решение задач следует сопровождать необходимыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями.
В конце работы должна стоять подпись студента с указанием даты ее выполнения.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
11-20. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
11. А(-2;0;0); В(0;3;0); C(0;0;1); S(0;2;3).
12. А(4;0;0); В(0;-8;0); C(0;0;2); S(4;6;3).
13. А(-2;0;0); В(0;6;0); C(0;0;2); S(-1;6;4).
14. А(1;0;0); В(0;2;0); C(0;0;2); S(1;1;4).
15. А(-3;0;0); В(0;-2;0); C(0;0;1); S(-2;-1;3).
16. А(6;0;0); В(0;-3;0); C(0;0;2); S(4;-3;4).
17. А(3;0;0); В(0;-6;0); C(0;0;1); S(1;-3;3).
18. А(-4;0;0); В(0;4;0); C(0;0;2); S(-2;4;3).
19. А(-6;0;0); В(0;2;0); C(0;0;3); S(-3;2;5).
20. А(-1;0;0); В(0;5;0); C(0;0;2); S(-1;3;4).
51-60. Дана система линейных уравнений:
Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
91-100. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3+a=0.
91. . 92. . 93. .
94. .95. . 96. .
97. . 98. . 99. . 100. .
111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
111. а) ; б) ;
в) ; г) .
112. а) ; б) ;
в) ; г) .
113. а) ; б) ;
в) ; г) .
114. а) ; б) ;
в) ; г) .
115. а) ; б) ;
в) ; г) .
116. а) ; б) ;
в) ; г) .
117. а) ; б) ;
в) ; г) .
118. а) ; б) ;
в) ; г) .
119. а) ; б) ;
в) ; г) .
120. а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Производная и её приложение
141-150. Найти производные данных функций.
141. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
142. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
143. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
144. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
145. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
146. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
147. а) ; б) ;
в) ; г); д) .
148. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
149. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
150. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
151-160. Найти и .
151. а) ; б) .
152. а) ; б) .
153. а) ; б) .
154. а) ; б) .
155. а) ; б) .
156. а) ; б) .
157. а) ; б) .
158. а) ; б) .
159. а) ; б) .
160. а) ; б) .
3. Приложения дифференциального исчисления
191-200. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
191. . 192. .
193. . 194. .
195. . 196. .
197. . 198. .
199. . 200. .
4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
231. Дана функция .
Показать, что .
232. Дана функция .
Показать, что .
233. Дана функция .
Показать, что .
234. Дана функция .
Показать, что .
235. Дана функция .
Показать, что .
236. Дана функция . Показать, что .
237. Дана функция .
Показать, что .
238. Дана функция .
Показать, что .
239. Дана функция .
Показать, что .
240. Дана функция .
Показать, что .
251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
251. z=x2+y2-9xy+27; 0≤x≤3, 0≤y≤3.
252. z=x2+2y2+1; x≥0, y≥0, x+y≤3.
253. z=3-2x2 -xy-y2; x≤1, у≤х, у≥0.
254. z=x2+3y2+x-y; x≥1, y≥-1, х+y≤1.
255. z=x2+2xy +2y2; -1≤x≤1, 0≤y≤2.
256. z=5x2-3xy +y2+4; x≥-1, y≥-1, х+y≤1.
257. z=10+2xy -x2; 0≤y≤4- x2.
258. z=x2+2xy -y2+4 x; x≤0, y≤0, х+y+2≥0.
259. z=x2 +xy-2; 4 x2-4≤y≤0.
260. z=x2+xy; -1≤x≤1, 0≤y≤3.
261-270. Дана функция z=z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор . Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .
261. .
262. .
263. .
264. .
265. .
266. .
267. .
268. .
269. .
270. .
281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.
281. а) ; б) ;
в) ; г) .
282. а) ; б) ;
в) ; г) .
283. а) ; б) ;
в) ; г) .
284. а) ; б) ;
в) ; г) .
285. а) ; б) ;
в) ; г) .
286. а) ; б) ;
в) ; г) .
287. а) ; б) ;
в) ; г) .
288. а) ; б) ;
в) ; г) .
289. а) ; б) ;
в) ; г) .
290. а) ; б) ;
в) ; г) .
301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
301. . 302. . 303. . 304. . 305. . 306. .
307. . 308. . 309. . 310. .
6. Дифференциальные уравнения
321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.
321. . 322. .
323. . 324. . 325. .
326. . 327. .
328. . 329. .
330. .
341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
341. ; , .
342. ; , .
343. ; , .
344. ; , .
345. ; , .
346. ; , .
347. ; , .
348. ; , .
349. ; , .
350. ; , .
7. Двойные и криволинейные интегралы
351-360. Вычислить двойные интегралы по области D.
351., где D – область, ограниченная линиям
352. , где D – область, ограниченная линиями
353. , где D – область, ограниченная линиями
354. , где D – область, ограниченная линиями
355. где D – область, ограниченная линиями
356. , где D – область, ограниченная линиями
357. где D – область, ограниченная линиями
358. где D – область, ограниченная линиями
359. , где D – область, ограниченная линиями
360. где D – область, ограниченная линиями
.
371 – 380. Вычислить криволинейные интегралы
371. где L – контур треугольника, образованного осями координат и прямой в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки.
372. где L – дуга параболы от точки О (0;0) до точки
А(2;4).
373. где L – контур прямоугольника, образованного прямыми
в положительном направлении (против часовой стрелки).
374. вдоль кривой .
375. вдоль кривой от точки О (0;0) до точки А(1;1).
376. вдоль отточки О (0;0) до точки А(1;1).
377. , где L – четверть окружности 0, против часовой стрелки.
378., где L – первая арка циклоиды 0.
379. вдоль линии от точки О (0;0) до точки А(1;1).
380. вдоль отрезка ОА, О (0;0), .
421-430. Исследовать сходимость числового ряда.
421. . 422. . 423. . 424. . 425. . 426. .
427. . 428. . 429. . 430. .
431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.
431. . 432. . 433. .
434. . 435. . 436. .
437. . 438. . 439. .
440. .
441-450. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.
441. . 442. . 443. .
444. . 445. . 446. .
447. . 448. . 449. . 450. .
451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
451. 452.
453. 454.
455. 456.
457. 458.
459. 460.
461 – 470. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .
461. в интервале
462. в интервале
463. в интервале
464. в интервале
465. в интервале
466. в интервале
467. в интервале
468. в интервале
469. в интервале
470. в интервале
9.Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
481 – 490. Представить заданную функцию , где в виде проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке .
481. 482.
483. 484.
485. 486.
487. 488.
489. 490.
491– 500. Используя теоремыо вычетах, вычислить интеграл по контуру С, обходимому против часовой стрелки.
491. 492.
493. 494.
495. 496.
497. 498.
499. 500.
501 – 510. Найти оригинал , которому соответствует L- изображение
(Лапласа) .
501. 502.
503. 504.
505. 506.
507. 508.
509. 510. .
511-520. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
501.
502.
503.
504.
505.
506.
507.
508.
509.
510.
10. Теория вероятностей и математическая статистика
521. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) студент знает только два вопроса; в) студент знает только один вопрос.
522. В каждой из двух урн находится 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.
523. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадёт в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
524. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1100 раз.
525. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95 и третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
526. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,07. Найти вероятность того, что в 1400 испытаниях событие наступит 78 раз.
527. В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий наудачу взятых из этой партии ровно 3 окажется дефектными.
528. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 225 испытаниях событие наступит не менее 175 и не более 190 раз.
529. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке; 0,8, если на втором станке; 0,9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
530. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены 2 детали, а втором – 3. Найти вероятность того, что все детали первосортные.
531-540. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения x1 и x2, причём . Известны вероятность p1 возможного значения x1, математическое ожидание M(X) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной величины.
531. p1=0,1 M(X)=3,9 D(X)=0,09
532. p1=0,3 M(X)=3,7 D(X)=0,21
533. p1=0,5 M(X)=3,5 D(X)=0,25
534. p1=0,7 M(X)=3,3 D(X)=0,21
535. p1=0,9 M(X)=3,1 D(X)=0,09
536. p1=0,9 M(X)=2,2 D(X)=0,36
537. p1=0,8 M(X)=3,2 D(X)=0,16
538. p1=0,6 M(X)=3,4 D(X)=0,24
539. p1=0,4 M(X)=36 D(X)=0,24
540. p1=0,2 M(X)=3,8 D(X)=0,16
541-550. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
541. 542.
543. 544.
545. 546.
547. 548.
549.
550.
551-560. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α; β).
551. а=10, σ=4, α=2, β=13.
552. а=9, σ=5, α=5, β=14.
553. а=8, σ=1, α=4, β=9.
554. а=7, σ=2, α=3, β=10.
555. а=6, σ=3, α=2, β=11.
556. а=5, σ=1, α=1, β=12.
557. а=4, σ=5, α=2, β=11.
558. а=3, σ=2, α=3, β=10.
559. а=2, σ=5, α=4, β=9.
560. а=2, σ=4, α=6, β=10.
571-580. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надёжностью 0,95, зная выборочную среднюю , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.
571. 75,17 n=36 σ =6
572. 75,16 n=49 σ =7
573. 75,15 n=64 σ =8
574. 75,14 n=81 σ =9
575. 75,13 n=100 σ =10
576. 75,12 n=121 σ =11
577. 75,11 n=144 σ =12
578. 75,10 n=169 σ =13
579. 75,09 n=196 σ =14
580. 75,08 n=225 σ =15
Перечень контрольных заданий для студентов, обучающихся по профилю подготовки «Энергетика» (все профилизации).
Таблица 1. Полный срок обучения
|
1 семестр |
2 семестр |
3 семестр |
|
|
Контр. раб.1 |
Контр. раб.2 |
Контр. раб.3 |
|
|
Номера заданий |
11-20 |
281-290 |
481-490 |
|
51-60 |
301-310 |
491-500 |
|
|
91-100 |
231-240 |
501-510 |
|
|
111-120 |
261-270 |
511-520 |
|
|
141-150 |
421-430 |
321-330 |
|
|
191-200 |
431-440 |
341-350 |
|
|
461-470 |
521-530 |
||
|
541-550 |
Таблица 2. Сокращённый срок обучения
|
1 семестр |
2 семестр |
|
|
Контр. раб.1 |
Контр. раб.2 |
|
|
Номера заданий |
11-20 |
231-240 |
|
51-60 |
261-270 |
|
|
111-120 |
421-430 |
|
|
141-150 |
431-440 |
|
|
191-200 |
461-470 |
|
|
281-290 |
321-330 |
|
|
341-350 |
||
|
521-530 |
||
|
541-550 |
Перечень контрольных заданий для студентов профиля подготовки «Информатика и вычислительная техника» профилизации «Компьютерные технологии»
Таблица 1. Полный срок обучения
|
1 семестр |
2 семестр |
3 семестр |
|
|
Контр. раб.1 |
Контр. раб.2 |
Контр. раб.3 |
|
|
Номера заданий |
11-20 |
281-290 |
461-470 |
|
51-60 |
301-310 |
321-330 |
|
|
91-100 |
231-240 |
341-350 |
|
|
111-120 |
261-270 |
521-530 |
|
|
141-150 |
421-430 |
541-550 |
|
|
191-200 |
431-440 |
||
|
441-450 |
Таблица 2. Сокращённый срок обучения
|
1 семестр |
2 семестр |
|
|
Контр. раб.1 |
Контр. раб.2 |
|
|
Номера заданий |
11-20 |
231-240 |
|
51-60 |
261-270 |
|
|
111-120 |
421-430 |
|
|
141-150 |
431-440 |
|
|
191-200 |
461-470 |
|
|
281-290 |
321-330 |
|
|
341-350 |
||
|
521-530 |
||
|
541-550 |
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 11 – 20
Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Ч.1. М.: Оникс 21 век. 2005. Гл. I –IV, стр.39 – 91.
Рассмотрим решение аналогичной задачи, взяв координаты вершины пирамиды SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).
1) Длину ребра АВ находим по формуле:
2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами , координаты которых определяются так:
α
φ
Для решения задания 3) целесообразно решить задачу 7). Уравнение плоскости составим по уравнению
Нормальный вектор этой плоскости
4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:
5) Объём пирамиды находится через вычисление смешанного произведения векторов Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Решите самостоятельно.
6) Уравнение прямой
Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой
8) Для определения проекции вершины на плоскость выполняются следующие действия:
а) составляется уравнение высоты пирамиды .
б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.
Решение: вектор удобнее взять
Он будет направляющим для По уравнению
вершина , т.е.
.
Система решается подстановкой
Подставив во второе уравнение, найдём значение , а следовательно значения
Точка - проекция точки на плоскость
9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле или по формуле расстояния от точки до плоскости – наиболее удобно.
Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).
Задание 51 – 60
Дана система линейных уравнений
Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.
а) данной системе соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:
Находим обратную матрицу
Находим матрицу
б) - формулы Крамера. Вычислим все определители
в) Метод Гаусса.
Составим расширенную матрицу и преобразуем её с помощью элементарных преобразований.
Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные и . Найдём . .
Вторая строка соответствует уравнению:
или
Аналогично из первой строки напишем уравнение:
Итак:
Задание 91 – 100.
Дано комплексное число
Записать число в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения
Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.
Найдём алгебраическую форму комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа определится по формуле .
Изобразив число на плоскости, найдём и .
-1
Итак, число
Найдём корни уравнения
вычислим по формуле Муавра
Задание 111 – 120
Вычислить пределы:
а)
За скобку выносили наивысшую степень для числителя и знаменателя.
б)
Для исключения неопределённости требуется числитель и знаменатель разложить на множители.
в)
В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые, например
г) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю
Задание 141– 150
Найти производные следующих функций:
а) б) ;
в) г) ;
д) .
б)
в)
г)
Прологарифмируем обе части равенства
Продифференцируем обе части равенства
д)
Функция задана неявно. Учитываем, что аргумент, функция.
Задание 151 – 160
Найти функций:
Решение:
а)
б)
Задание 191 – 200
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.
Рассмотрим свойства функции:
1. Область определения:
2. Чётностьь, нечётность функции:
Функция общего вида.
3. Асимптоты.
а) Так как , то прямая является вертикальной асимптотой:
б) – наклонная асимптота.
Найдём
Найдём
– уравнение наклонной асимптоты.
4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:
Так как то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.
Производная на всей области определения, значит функция
убывает.
5. Точки пересечения с координатными осями
а) с осью при ,
б) с осью при .
Используя исследование функции, строим график (схематично).
Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.
Задание 231-240
Показать, что функция удовлетворяет равенству:
Находим частные производные по и по :
Подставим в равенство частные производные.
;
Равенство верно.
Задание 251-260
Найти наименьшее и наибольшее значения функции
в области
y
В С
3
D
2
А D
0 1 2 x
а) Найдём стационарные точки
Точка - стационарная , но не принадлежит области D.
б) Исследуем данную функцию на границах квадрата АВСD
АВ:
Функция возрастает на границе АВ
ВС:
На границе ВС функция возрастает
Значит на границе фнкция возрастает
Значит на границе фнкция возрастает
Найденные значения z сравним и выделяем
Задание 261 – 270
Дана функция точка и вектор
Найти в точке и производную в точке по направлению вектора .
Найдём частные производные и вычислим их значение в точке .
– направляющие косинусы вектора
Литература к заданиям 231 – 240, 251 – 260 , 261 – 270 – П.Е. Данко , А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах
гл. VIII §§1-2, §4.
Задание 281 – 290
Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах.
Решение:
Проверка:
Метод интегрирования по частям для функции
Формула:
Проверка:
Найдём коэффициенты
Задания 301– 310
Вычислить несобственный интеграл
Несобственный интеграл расходится.
Методы интегрирования рассматриваются в учебном пособии П.Е. Данко,
А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах ч. I, гл. IХ. §§1-4.
Задание 321 – 330
В данном задании предлагается решить дифференциальное уравнение одного из трёх типов – однородное, линейное или с разделяющимися переменными. Предлагается решение однородного уравнения
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.
.
Уравнение является однородным.
Функции однородные второго порядка.
Уравнение можно привести к виду
разделить обе части на а затем на .
Введём подстановку
Разделяем переменные:
Интегрируем обе части, получаем
Общее решение примет вид
Задание 341-350
Найти общее и частное решения дифференциального уравнения
при начальных условиях .
Однородное уравнение
имеет характеристическое уравнение
корни которого .
Тогда общее решение
- для однородного уравнения
Согласно теории общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид частное решение данного уравнения, правя часть которого
Учитывая стандартную формулу правой части, находим
Число не совпадает с
подбираем с учётом этого
Найдём
Общее решение данного уравнения
Найдём частное решение, взяв для отыскания
В равенства (1) и (2) подставим начальные условия: , тогда
Тема «Обыкновенные дифференциальные уравнения» рассмотрена в пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах ч., гл. ,
Задание 391-400
Вычислить криволинейный интеграл по дуге линии, заданной параметрически
Тогда
Задание 421-430
Исследовать сходимость числового ряда
Для исследования данного ряда применяем признак Даламбера:
по данному условию, составим
Значит данный ряд сходящийся.
Задание 431-440
Найти область сходимости степенного ряда
Прежде всего определяется радиус сходимости степенного ряда
Значит интервал сходимости
На границах интервала рассматриваются числовые ряды.
При
Так как предел то ряд расходится.
При – знакочередующийся ряд.
1. Рассмотрим члены ряда по абсолютной величине
Члены ряда возрастают, значит по теореме Лейбница при ряд расходящийся.
Задание 441 – 450
Вычислить определённый интеграл с точностью 0,001, Разложим подынтегральную функцию в ряд, а затем проинтегрируем её почленно.
.
Используя разложение в ряд Маклорена функции
, запишем разложение
Проинтегрировав, получим:
Значение интеграла (по теореме Лейбница) соответствует сумме с точностью 0,001.
Шестое слагаемое , поэтому взято пять слагаемых.
Типовые задачи по теме «Ряды» рассматриваются в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч., гл. ,§§1-6.
Задание 451 – 460.
Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего данному условию
Используем разложение искомой функции в ряд Тейлора около точки .
В нашем примере т.е. первый член ряда обращается в ноль.
Из заданного дифференциального уравнения
Поэтому второй член ряда имеет вид . Чтобы найти третий член ряда продифференцируем обе части нашего уравнения
И поэтому следующий член ряда равен . Аналогично
Третий ненулевой член ряда
Окончательно:
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл., §4.
Задание 461 – 470
Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале
Рядом Фурье периодической функции с периодом , определённой на сегменте называется ряд
где (1)
В случае, когда чётная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.
В случае, когда нечётная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т.е.
Если ряд (1) сходится то его сумма есть периодическая функция с периодом
Теорема Дирихле. Пусть функция на сегменте имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва рода. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента и сумма этого ряда:
1) во всех точках непрерывности функции , лежащих внутри сегмента ;
2) , где - точка разрыва I рода функции ;
3) на концах промежутка , т.е. при
Разложить в ряд Фурье функцию , заданную в интервале уравнением .
Графиком этой функции в интервале является отрезок, соединяющий точки Сумма ряда Фурье является периодической функцией с периодом и совпадает с функцией в интервале .
Определяем коэффициенты ряда Фурье . Сначала находим
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечётной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,
Далее, находим коэффициенты Имеем
Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подъинтегральная функция второго интеграла является нечётной как произведение чётной функции на нечётную). Итак,
Найдём теперь коэффициенты
Первый интеграл равен нулю. Подъинтегральная функция второго интеграла является чётной как произведение двух нечётных функций. Таким образом,
Интегрируя по частям, получим
Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид:
Ряды Фурье рассматриваются в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.3, §8.
Задание 481 – 491.
Представить где в виде ; проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке
Здесь мы воспользовались формулой Эйлера
Необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке являются условия Коши – Римана
Находим частные производные
Т.е. условия Коши – Римана выполнены во всех точках комплексной плоскости. Кроме того, частные производные непрерывны всюду. Следовательно, заданная функция дифференцируема и является аналитической на всей комплексной плоскости.
Производная может быть найдена по тем же формулам, что для функций действительного переменного.
В заданной точке
Типовые задачи по теме «Производная функции комплексного переменного» рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VII, §§1,2.
Задание 491 – 500.
Используя теорему о вычетах, вычислить заданный интеграл по замкнутому контуру С, обходимому против часовой стрелки.
Основные определения и теорема.
Точка называется полюсом к-того порядка функции , если
Пусть – полюс n-го порядка функции . Вычет функции относительно её полюса n-го порядка вычисляется по формуле
(residue– вычет).
Если – полюс первого порядка (простой полюс) функции , то
Пусть – аналитическая функция в замкнутой области , кроме конечного числа изолированных особых точек (полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру , содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области , равен произведению на сумму вычетов в указанных особых точках, т.е.
.
(Основная теорема о вычетах).
Пример:
Найти Где –окружность, ,полюс ы i, – i, 2 находятся внутри замкнутого контура .
Отсюда
Типовые задачи по теме «Применение вычетов к вычислению интегралов» рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VII, §6.
Задание 501 – 510 .
Найти оригинал , которому соответствует изображение Лапласа .
Если изображение является правильной рациональной дробью, то его следует представить в виде суммы элементарных дробей, т.е. дробей вида
Это можно сделать методом неопределённых коэффициентов (как это делалось при интегрировании рациональных дробей). Количество неопределённых коэффициентов должно совпадать со степенью знаменателя. В нашем случае
– неопределённые коэффициенты. Они находятся из тождества.
Придавая различные значения или приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части тождества, получим систему уравнений для неизвестных Например:
Для отыскания оригинала следует использовать таблицу изображений основных элементарных функций.
В этой таблице изрображению соответствует оригинал Применив эту формулу, находим:
Таблицу изображений, а также примеры отыскания изображений и оригиналов, можно найти в пособии П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.М. Кожевникова. Высшая математика в решениях и задачах, ч. гл. VIII, §§1,2.
Задание511 -520
Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
,
Пусть оригиналу соответствует изображение , т.е. Тогда ; ;
По таблице изображений Переходим в заданном уравнении к изображениям ,
или ; .
Разложим эту рациональную дробь на простейшие дроби:
,
.
Полагая , получаем , т.е. ; при имеем, т.е. . Уравнивая коэффициенты при , получим ,
т. е. . Следовательно, . Откуда по таблице изображений .
Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений рассматривается в учебном пособии П.Е. Данко, А.Г. Попов,
Т.М. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VIII, §4.
Теоретические материалы и примеры решения задач, соответствующих № 521-530,531-540, 541-550, 551-560,571-580 можно найти в учебных пособиях
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.М. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.V; Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
Литература
Основная литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] / Н.С. Пискунов. В 2-х т. – М.: Интеграл-Пресс, 2005.
2. Шолохович Ф.А., Васин В.В. Основы высшей математики. [Текст] /
Ф.А. Шолохович, В.В. Васин. – Екатеринбург, Изд-во УрГУ, 2004.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. [Текст] / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2004.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2004.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. В 2 ч. – М.: Высшая школа, 2007.
Дополнительная литература:
6. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. [Текст] / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.: ООО "Изд. Астрель", 2001
ЗАДАНИЯ и методические указания к выполнению
«математика»
Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов.
Печать плоская. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. .Тираж экз.
ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.
Ризограф ФГАОУ РГППУ, Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.
PAGE \* MERGEFORMAT 48
EMBED Equation.DSMT4