Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 121
Функции. Предел функции
Лекции 10 - 11
Функции. предел функции
в лекциях 10 – 11 рассматривается одно из основных понятий математики – понятие функции. Обсуждаются способы задания функции, различные свойства функций, приводится классификация функций и, для справки, таблица основных элементарных функций с их графиками. Далее рассмотрено опорное для всего математического анализа понятие предела функции, приведены разновидности определений (определение по Коши и определение по Гейне, предел в точке и предел в бесконечности, односторонние пределы и т.п.). Заканчивается лекция описанием бесконечно малых и бесконечно больших функций - весьма удобного математического инструмента, широко использующегося в различных доказательствах.
10.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции
10.2. Основные характеристики функции
10.3. Обратная функция. Сложная функция
10.4. Основные элементарные функции
10.5. Элементарные и неэлементарные функции
11.1. Предел функции в точке
11.2. Предел функции в бесконечности
11.3. Односторонние пределы
11.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
11.5. Таблица определений предела
10.1. Понятие функции. График функции.
Способы задания функции
Понятие функции – одно из основных математических понятий, оно относится к установлению соответствия между элементами двух множеств.
Если задано правило , по которому каждому элементу из множества поставлен в соответствие единственный элемент из множества , то говорят, что на множестве задана функция , , . Множество называется областью определения функции (ООФ) и обозначается . Множество изменения функции называется областью значений функции (ОЗФ) и обозначается .
В дальнейшем будем рассматривать (в основном) числовые функции, т.е. функции, у которых ООФ и ОЗФ являются числовыми множествами, , . В этом случае переменная величина называется независимой переменной или аргументом, величина - зависимой переменной или функцией (от x). Число , соответствующее данному значению x, называется частным значением функции в точке x.
Множество точек плоскости называется графиком функции .
Функция может быть задана: 1) аналитически; 2) графически; 3) с помощью таблицы.
При аналитическом задании функция может быть определена:
1) явно - уравнением вида или ;
2) неявно - уравнением вида ;
3) параметрически – с помощью вспомогательной переменной –
параметра – .
|
Пример: |
|
|
Явное задание: 1). ; 2). 3). - знак , 4). Функция Дирихле 5). - целая часть , ; эта функция может быть задана в виде . Неявное задание: уравнение может определять не одну, а несколько функций вида . Так, уравнение определяет две функции: и . |
Аналитический способ задания функции является наиболее точным и предпочтительным для дальнейшего исследования функции методами математического анализа. Графическое и табличное описание возникает, например, при исследовании экспериментально наблюдаемых функциональных зависимостей, но и в этом случае обычно подбирают подходящую аналитическую формулу, с достаточной степенью точности воспроизводящую экспериментальные данные (так называемая аппроксимация).
10.2. Основные характеристики функции
Функция с симметричной относительно нуля областью определения называется четной, если для любого выполняется равенство .
Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси ординат. Например, функции , являются четными, их графики имеют вид:
Функция с областью определения называется нечетной, если для любого выполняется равенство .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции и являются нечетными, их графики имеют вид:
Функция не является ни четной, ни нечетной, так как .
Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого выполнены условия: 1) ;
2) . Число называется периодом функции .
Множество значений числовой функции может быть ограниченным, ограниченным сверху (снизу) и неограниченным. В соответствии с этим подразделяются и сами функции.
Функция называется ограниченной на множестве , если
.
Например, функция ограничена на всей числовой оси; ограничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения .
Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве , если ; ().
Например, ограничена снизу на всей области определения .
Точная верхняя (нижняя) грань множества значений функции на называется точной верхней (нижней) гранью функции на и обозначается ().
Например, , .
Если число () принадлежит множеству значений функции на , то оно называется наибольшим (наименьшим) значением на и обозначается ().
Например, , не существует.
Пусть определена на множестве и множество .
Если :
- возрастающая на ;
- неубывающая на ;
- убывающая на ;
- невозрастающая на .
Все четыре типа в совокупности называются монотонными на , а возрастающие и убывающие - строго монотонными на .
10.3. Обратная функция. Сложная функция
Функция , , обратима, если каждое свое значение она принимает один раз, то есть для каждого существует только одно значение такое, что .
|
Тогда функции , осуществляющей отображение множества X в множество Y, может быть сопоставлена функция , осуществляющая отображение Y в X, такое, что . Эта функция называется обратной к и обозначается . С другой стороны, для функции обратной является функция , поэтому функции и называются взаимно обратными. Графики функций и совпадают, но если мы хотим описать функцию обычным образом, то есть ее аргумент обозначить через , а зависимую переменную через , то графическая иллюстрация изменится. Вначале изменим направления осей; затем изменим названия осей; в результате получаем, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть линии . Множество значений обратной функции совпадает с областью определения функции , а область определения обратной функции совпадает с множеством значений функции . |
|
|
Пример: |
||
|
1) , , ; (обратная функция совпадает с исходной). 2)
|
Если и - функции одного переменного, то функция , определенная соотношением на области , называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и и обозначается .
Операции производятся справа налево – вначале вычисляется частное значение функции и в точке , а затем для данного числа, рассматриваемого как аргумент, вычисляется значение функции .
Операция суперпозиции может применяться повторно, например,
представляет собой суперпозицию пяти операций: возведение в квадрат, вычисление тангенса, синуса, модуля и логарифма.
10.4. Основные элементарные функции
1. Степенные функции
|
1.1. . |
|
|
1.2. , . |
|
|
1.3. . |
|
|
1.4. . |
|
2. Трансцендентные функции
|
2.1. Показательная . |
2.2. Логарифмическая . |
|
3. Тригонометрические функции |
|
|
3.1. |
3.2. |
|
3.3. |
3.4. . |
.
|
4. Обратные тригонометрические функции |
|
|
4.1. . . |
4.2. . . |
|
4.3. , . |
4.4. . . |
|
, , . |
|
|
5. Гиперболические функции |
|
|
5.1. Гиперболический синус . |
5.2. Гиперболический косинус . |
|
5.3. Гиперболический тангенс . |
5.4. Гиперболический котангенс . |
, ,
, .
10.5. Элементарные и неэлементарные функции
Функции, получающиеся из основных элементарных функций и констант с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций суперпозиции, называются элементарными функциями.
(Список основных элементарных функций, изучаемых в рамках школьного курса математики, пополнен гиперболическими функциями – они широко встречаются в различных приложениях и тесно связаны с обычными тригонометрическими функциями.)
Рассмотренные выше функции , , , функция Дирихле относятся к неэлементарным.
11.1. Предел функции в точке
11.1.1.
Число A называется пределом функции в точке a, если для любой последовательности такой, что , выполняется равенство , которое обозначают: .
Определение 11.1.1 сформулировано «на языке последовательностей» (иначе определение предела по Гейне).
|
Пример: |
|
|
1) 2) функция Дирихле, Функция Дирихле не имеет предела при , где - любое. |
11.1.2. Число A называется пределом функции в точке a, если .
Таким образом, для любой - окрестности точки А можно найти -окрестность точки , такую, что все значения функции для из - окрестности точки попадут в - окрестность точки А.
Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка расположена к точке , тем ближе значение к числу .
Определение 11.1.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта» (иначе определение предела по Коши).
11.2. Предел функции в бесконечности
Если ООФ не ограничена сверху (снизу), то можно поставить вопрос о поведении функции при ().
11.2.1. Число называется пределом при (), если .
Определение 11.2.1 сформулировано «на языке последовательностей».
11.2.2. Число называется пределом при (),
если
.
Определение 11.2.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта».
Определение 11.1.1 определение 11.1.2, определение 11.2.1 определение 11.2.2, т.е. определения Гейне и Коши эквивалентны.
Покажем, как пользоваться обеими разновидностями определений для доказательства существования и отсутствия предела. Для доказательства существования предела обычно удобнее определение Коши, для доказательства отсутствия предела – определение Гейне.
|
Пример: |
|
|
1) . Доказать, что . Доказательство: . Так как в предельном переходе рассматриваемая область значений находится вблизи точки , можно считать, что , , , , тогда , т.е. можно взять . Чтобы доказать существование предела при , следует для любого найти формулу для построения . 2) . Доказать, что . Доказательство: , т.е. . 3) . Доказать, что не существует. Доказательство: Рассмотрим две последовательности , , , ; , , , . Поскольку для различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений функции сходятся к различным пределам, не существует. |
11.3. Односторонние пределы
11.3.1. Число называется правым пределом функции в точке , если ,. Эквивалентное определение: число называется правым пределом функции в точке , если .
Обозначение правого предела: .
11.3.2. Число называется левым пределом функции в точке , если , или если , то .
Обозначение левого предела: .
|
Пример: |
|
|
, . |
Функция имеет предел в точке , если правый и левый пределы в точке существуют и равны: .
Доказательство:
Из определения 11.3.1 .
Из определения 11.3.2 для того же .
Возьмем , тогда можно сказать, что , то есть .
11.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
и их свойства
Функция называется бесконечно малой в точке , если .
Аналогично определяется функция, бесконечно малая при ().
Свойства бесконечно малых функций:
. Если , то .
Доказательство:
Из условия следует, что для любой последовательности соответствующие последовательности и .
Покажем, что . Для этого фиксируем произвольное :
и .
Возьмем ,
тогда для .
Свойство может быть расширено: сумма конечного количества бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.
Например, . - бесконечно малая функция в точке ; - ограниченная функция.
. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
. Если , то
Функция называется бесконечно большой в точке , если . Записывается это как . Если же функция при не только возрастает по абсолютной величине, но и сохраняет определенный знак, это обозначают:
;
.
1). Аналогично определяются функции, бесконечно большие при ().
2). Функция, бесконечно большая при , является неограниченной в окрестности точки , но обратное утверждение неверно: не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Так, - бесконечно большая при , а - является неограниченной при , но бесконечно большой не является.
В первом случае для любого числа можно указать окрестность точки , в каждой точке которой ; во втором случае для любого числа в каждой окрестности точки можно указать точку, в которой , но в этой же окрестности найдутся точки, не удовлетворяющие этому условию, для которых, например,.
Связь между функциями бесконечно большими и бесконечно малыми при подтверждается следующей теоремой.
Если - бесконечно малая функция при и при , то - бесконечно большая функция при . Если - бесконечно большая, то - бесконечно малая.
Свойства бесконечно больших функций
1˚. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.
2˚. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.
3˚. Сумма бесконечно больших функций может не быть бесконечно большой функцией:
, , . и - бесконечно большие при функции, но таковой не является;
, , .
Все функции, , и - бесконечно большие при .
11.5. Таблица определений предела
В таблице приведены все встречавшиеся в лекции определения пределов. Для краткости приведены только определения Коши.
|
Понятие |
Обозначение |
Определение |
|
Предел функции в точке |
||
|
«Обращение функции в бесконечность» в точке |
||
|
Предел функции при , соответственно |
||
|
«Обращение функции в бесконечность» при , соответственно |
||
|
Пределы справа и слева |
||
|
«Обращение функции в бесконечность» справа и слева в точке |
||
|
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями:
|