Реферат- Теоретическая физика- механика
Работа добавлена на сайт samzan.net:
|
“Согласовано” |
“Утверждено” |
|
Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________ |
Методист ____________________ |
План-конспект занятия
По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 20.12.2000
Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»
Цели: Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить умение осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Научить использовать метод Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.
Ход занятия
Краткие теоретические сведения
Канонические преобразования
Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:
Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная производная будет браться по "малым" , то будем получать малое , если же по "большим" , то и получать будем соответственно .
Функция Гамильтона-Якоби
При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса:
Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:
Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: .
Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби , находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:
Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.
Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом уравнения Г.-Я. и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции.
Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты
тоже будут константы, поскольку
Выражая из уравнения координаты в виде функций от , мы и получим закон движения:
Решение задачи на нахождение зависимости существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных.
Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:
- составить функцию Гамильтона;
- записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются;
- Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла ;
- Составить систему s уравнений, и получить закон движения ;
- По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4.
Примеры решения задач
№11.14 [] Как известно, замена функции Лагранжа на
,
где – произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа. Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию.
Решение:
Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную производную функции через частные:
Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной функциям Лагранжа, определяются следующим образом:
Распишем , используя представление штрихованной функции Лагранжа :
Подставляя формулы и в выражение для штрихованной функции Гамильтона , получим:
Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость , получим:
Или
Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф:
Следовательно,
Полученное соотношение определяет условие на временную часть производящей функции канонического преобразования, соответствующего преобразованию функции Лагранжа .
Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании функции Лагранжа не изменился, координатно-импульсная часть производящей функции должна соответствовать тождественному каноническому преобразованию. Как было показано в задаче №9.32 [] (д/з пред. занятия), производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование с неизменным гамильтонианом, имеет вид:
Учитывая условие на временную часть производящей функции, окончательно получим:
Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование с заменой функции Гамильтона соответствующей замене функции Лагранжа .
Задача. Система, состоящая из двух шариков массами , соединенных невесомой пружиной, расположенной вертикально, начинает двигаться в поле сил тяжести. Длина пружины - . Произвести каноническое преобразование и записать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции
.
Решение:
Составим функцию Гамильтона системы:
Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению потенциального поля:
Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле заменяется производной по х. В то же время сила, является суммарной силой тяжести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля, проинтегрируем последнее уравнение:
Значение смещения пружины от положения равновесия будет определяться следующим образом:
Подставив выражения и в формулу , получим вид функции Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно:
Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из нее уравнений движения.
В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна описывала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая функция отвечает именно такому преобразованию.
Новая координата совпадает со значением смещения пружины от положения равновесия.
Новая координата совпадает со значением положения центра масс системы.
Сложив оба уравнения, получим:
Соответственно
,
где
,
– приведенная масса.
Запишем функцию Гамильтона в новых переменных:
,
где
,
– суммарная масса системы.
Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть описывает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая – движение системы как целого в поле сил тяжести.
№9.21 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного движения материальной точки.
Решение:
1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы:
2. Запишем уравнение Г.-Я.:
3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.
Используем начальное условие:
Тогда подставляя вид функции S в уравнение Г.-Я. , последнее примет вид:
Откуда
Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.:
4. Закон движения определяется из канонического преобразования:
Откуда сам закон движения:
5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим образом:
Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с постоянным импульсом.
Домашнее задание:
№11.2 [] Найти производящую функцию вида , приводящую к тому же каноническому преобразованию, что и .
Решение:
№9.38 [] Найти уравнение, которому удовлетворяет производящая функция , порождающая каноническое преобразование к постоянным импульсам и координатам.
№9.23 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для тела, движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом.
№12.1 a) [] Найти траекторию и закон движения частицы в поле
Литература:
- Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с.
- Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с.
- И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
- Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
- И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с.
- Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с.
Студент-практикант: Филатов А.С.
5
Х
m2
m1
2. коэффициент неравномерности распределения нагрузки; ~ коэффициент межосевого расстояния для шевронной п
3. Неметалічні елементи та їх сполуки
4. Введение Точность формообразования на гексаподах Схема гепсапода Модели инструментов
5. Педагогика и методика начального образования 20092010 учебный год Преподаватель- Винокурова Л
6. Принципы выбора бухгалтерских программ
7. 2005гг; ns-стоимость основного капитала на конец 19902005гг
8. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора політичних наук Киї
9. ЛЕКЦИЯ ’ 4 ИСТОРИЯ ПЕРЕВОДА 1 часть ПЕРЕВОД В ДРЕВНОСТИ И В ЭПОХУ АНТИЧНОСТИ История перевода длинная
10. абсолютная идея
11. Религиозно-цивилизационные выборы воспитания
12. Эта пьеса для сцены так хороша как вероятно не надеялся ни сам автор ни переводчик и это дело г
13. Інвестиційна діяльність промислового підприємства й оцінка економічної ефективності інвестиційного проекту
14. курсовая
15. Лабораторная работа 1 Отбор проб газа
16. Кейнсиансто
17. К ЧААДВЕВУ 1818 Любви надежды тихой славы Недолго нежил нас обман Исчезли юные забавы Как сон как у
18. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
19. Культурний ландшафт як географія культурних осередків їх характер та способи взаємозв~язку
20. х гг Восстание декабристов подтолкнуло оппозиционную правительству часть студенчества к организаци