Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .
Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:
.
Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнениевынужденных колебаний:
.
Обозначим (β – коэффициент затухания), (ω0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:
.
Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений
.
– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:
, где .
Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.
Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 22), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .
Решение - это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:
,
Аампл. – амплитуда вынужденных колебаний,
φ0 –сдвиг фаз, т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда Аампл., и сдвиг фаз φ0 зависят от параметров системы (β, ω0) и от частоты вынуждающей силы Ω.
Период вынужденных колебаний равен .
График вынужденных колебаний
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала.
Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график . Результаты исследования отражены в Рисунке 4.2, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β. При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.
Кривые на Рисунке 4.2 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми.
Рисунок 4.2 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.