Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
red0; Билет №1
Вопрос 1
Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции.
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции.
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
Билет №2
Вопрос 1
Нахождение предела функции на бесконечности:
Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается .
Предел функции f(x) при бесконечен, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции является бесконечно большой положительной или бесконечно большой отрицательной. Обозначается.
.
Нахождение предела функции слева:
Число В называется пределом функции f(x) слева при , если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции , , значения которых остаются меньше а ( ) , последовательность значений этой функции сходится к В.
Обозначается .
Нахождение предела функции справа:
Число В называется пределом функции f(x) справа при , если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции , значения которых остаются больше а (), последовательность значений этой функции сходится к В.
Обозначается .
Существование предела функции в точке:
Предел функции f(x) в точке а существует, если существуют пределы слева и справа а и они равны между собой. .
Предел функции f(x) в точке а бесконечен, если пределы слева и справа а бесконечны.
Билет №3
Вопрос 1
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной.
Теорема 2. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.
Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.
.
Теорема 4. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.
Теорема 5. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,
причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.
Признаки существования предела:
1. Если и , то
2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда
Билет №4
Вопрос 1
Замеча́тельные преде́лы — математические тождества со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Билет №5
Вопрос 1
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.
Билет №6
Вопрос 1
Правило вычисления производных
Если функции f и g имеют конечные производные при , то:
1) - постоянные;
2) ;
3) .
Основные правила дифференцирования
а) .
б) .
Билет №7
Вопрос 1
Основные теоремы дифференциального исчисления
Кольцо непрерывных на [a,b] и гладких на (a,b) функций обладает рядом важных свойств:
Правило Лопиталя
В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:
тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).
Билет №8
Вопрос 1
Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если
f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если
f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Билет №9
Вопрос 1
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Билет №10
Вопрос 1
Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:
если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );
если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.
Билет №11
Вопрос 1
При решении этой задачи находят:
1) область определения функции;
2) точки разрыва и исследуют поведение функции в граничных точках области определения;
3) находят нули функции и промежутки ее знакопостоянства;
4) находят асимптоты;
5) критические точки и интервалы монотонности;
6) точки перегиба и интервалы выпуклости.
Замечание. Если функция f(x) четная, т.е. f(x) = f(–x), или нечетная, т.е. f(x) = – f(–x), то исследование функции достаточно провести для x³0, а затем по свойству четности или нечетности построить график при x<0.
Завершают исследование функции построением ее графика.
Билет №12
Вопрос 1
Первообразная. Непрерывная функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на промежутке X , если для каждого
F’ ( x ) = f ( x ).
Неопределённый интеграл функции f ( x ) на промежутке X есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде:
где C – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования
Билет №13
Вопрос 1
Свойства неопределенного интеграла
1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. (∫f(x)dx)′=f(x)d∫f(x)dx=f(x)dx
2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. ∫dF(x)dx=F(x)+C.
3) Постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла, т.е. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,k/=0
4) Неопределенный интеграл от суммы(разности) двух функций равен сумме(разности) интегралов этих функций. ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
Распространяется на n слагаемых.
Таблица интегралов основныx элементарныx функций.
1. ∫xαdx=α+1xα+1+C,α/=−1
в частности при α=1:∫xαdx=2x2
2. ∫xdx=ln∣x∣+C
3. ∫dx1+x2=arctg(x)+C
4. ∫dx√1−x2=arcsin(x)+C
5. ∫axdx=axln(a)+c
6. ∫exdx=ex+C
7. ∫sin(x)dx=−cos(x)+C
8. ∫cos(x)dx=sin(x)+C
9. ∫dxcos2(x)=tg(x)+C
10. ∫dxsin2(x)=−ctg(x)+C
11. ∫dxx2−a2=12aln∣x+a∣∣x−a∣+C
12. ∫dx√x2+k=ln∣∣x+√x2+k∣∣+C
13. ∫dxx2+a2=a1arctg(xa)+C
14. ∫dx√a2−x2=arcsin(xa)+C
Билет №14
Вопрос 1
Пусть требуется найти интеграл , где функция непрерывна на некотором интервале . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , где - функция непрерывно дифференцируемая на некотором интервале T и имеющая обратную функцию
(1)
определенную на . Так как , получим
то есть, вычисление исходного интеграла сводится к вычислению
интеграла , стоящего в правой части равенства (2.). По окончании вычислений необходимо вернуться к переменной , пользуясь равенством (1).
Билет №15
Вопрос 1
Метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле .
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) , где ;
б) , где ;
в) , где ;
г) , где .
При вычислении интегралов а) и б) вводят обозначения:,
тогда , а, например ,тогда .
При вычислении интегралов в), г) и подобных им обозначают за функцию , , а за берут .
Билет №16
Вопрос 1
Понятие определенного интеграла.
Пусть функция y=f(x) определена на [a;b]
1) [a;b] произвольным образом разобьем на n частей точками. x0< x1< x2 меньше и так далеее меньше xn
[xk-1; xk] - частичные промежутки.
2) Для всех [xk-1; xk] произвольным образом выберем точку пси к.
3) - интегральная сумма для определенного интеграла.
4) max xk= . Разбиение [a;b] назовем основным, если 0.
Определение 1.
Определенным интегралом функции y=f(x) заданной на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы сигма при лямде, стремящейся к 0, если этот предел существует и конечен.
Обозначение определенного интеграла: (2)
Свойства определенного интеграла.
[1]
Предел в формуле (2) не зависит от обозначения переменной при вычислении интеграла.
[2]
[3]
[4]
[5] Свойство аддитивности
Билет №17
Вопрос 1
Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).
Если после изучения данного теоретического материала (Формула Ньютона-Лейбница) у Вас возникли проблемы при решении задач на данную тему или появились вопросы образовательного характера, то Вы всегда можете задать их на нашем форуме.
Билет №18
Вопрос 1
1. Площадь плоской фигуры.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как
Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x), пересекающей ось абсцисс, определяется формулой
где xi – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок [a; b] нулями функции f (x) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.
2. Площадь криволинейного сектора.
Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна
Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a; b] функцией f (x). Его объем выражается формулой
Пусть задана кривая Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α и t = β выражается формулой
|
В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражается формулой |
Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой