Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
В экономической практике огромную нишу занимают инвестиции в долгосрочные (обычно, индустриальные, связанные с созданием предприятий по производству той или иной продукции–энергетика, нефть, лекарства и т.д.) проекты. Компания, рассматривающая для себя такую возможность, сулящую в будущем определенную отдачу от вложенных средств, тем не менее, вовсе не обязана ее осуществлять. В этом смысле указанная инвестиционная активность сродни call-option на финансовый актив. В обоих случаях речь идет о праве на получение конечного результата проекта (соответственно, no strike price). Такие инвестиционные программы, имеющее дело не с "искусственной финансовой сферой," а с "реальной экономикой," принято называть реальными опционами1.
Указанная аналогия вселяет надежду, что соображения теории опционов и техника динамического программирования должны приводить и здесь к желаемым расчетным результатам при анализе риска инвестиционного проекта. Имея в виду эту аналогию, будем оперировать и в этом случае понятием базовый актив.
Рассмотрим сначала на эвристическом уровне строгости проект с фиксированной датой реализации . Если – цена базового актива в момент , для "производства" которого задумаем этот проект, то его стоимость разумно считать некоторой функцией 2.
Принятию решения о реализации этой инвестиционной программы предшествует исследование ее рентабельности. Если – фиксированная величина предполагаемых вложений, то ее следует сравнить с некоторым рассчитанным с учетом порогом рентабельности и в соответствии с этим принимать решение:
принимается проект для реализации;
отвергается.
Какие соображения могут быть привлечены в этой связи для определения разумных значений ?
Если движение базового актива детерминировано, то можно представлять его цену в виде , где – детерминированная функция . При банковской процентной ставке разумно тогда величину инвестиционного порога положить равной
Если допускается неопределенность в стоимости базового актива, то ее можно моделировать с помощью зашумления детерминированной составляющей гауссовским белым шумом с нулевым средним и дисперсией (см. рис. 12). Тогда стоимость актива должна в среднем совпадать с детерминированной компонентой
а само движение цен представлять формулой
где – винеровский процесс.
Естественно тогда пороговое значение инвестиционных затрат определять величиной
сходящейся к при .
Приведенная выше аналогия с финансовыми опционами позволяет предложить в качестве и другую величину3, получающейся усреднение не по исходной вероятности , а по другой, "риск-нейтральной" вероятности с плотностью относительно .
Рис. 2.13.1. Динамика детерминированных цен и цен, зашумленных белым шумом.
Относительно , как нам известно из Теоремы Гирсанова, уже другой процесс будет винеровским. В соответствии с этими соображениями получается, вообще говоря, и другое пороговое значение :
Инвестиционную проблематику подобного типа разумно также рассматривать и не предполагая заранее известным объем инвестиций и необходимое для реализации проекта время. К числу таких программ долгосрочного инвестирования могут быть отнесены проекты, связанные с научно-техническими разработками и ресурсными затратами (производство энергии, лекарств и т.д.).
Предполагая известной конечную стоимость объекта инвестирования, обозначим – количество средств, необходимых на данный момент времени для его завершения. В целях упрощения дальнейшего изложения и желания получения конкретных расчетных результатов будем предполагать, что случайный процесс удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (модель Пиндайка):
где – винеровский процесс, – согласованная с плотность потока инвестиций, .
Поскольку инвестиционные возможности, как правило, ограничены, а вложенные средства вернуть из оборота уже невозможно, то разумно считать интенсивность инвестиционного потока ограниченным (для простоты, ) случайным процессом. Процесс играет роль управления за процессом расходования венчурных средств. Выбор из множества таких допустимых процессов приводит к определению естественного времени завершения проекта при выбранной стратегии :
Обозначая стоимость проекта в его завершенном виде и – банковскую процентную ставку, приходим к определению величины
представляющей собой доход от использования инвестиционной стратегии .
Естественно рассматривать средний доход
где обозначение математического ожидания просто подчеркивает тот факт, что вначале количество средств для завершения проекта равно .
Ввиду того, что стратегии управления выбираются из класса , то разумно искать оптимальную стратегию из условия
Решение задач подобного типа часто осуществляется методом динамического программирования, ключевым элементом которого является принцип Беллмана. Приведем краткое его изложение, оставаясь на эвристическом уровне строгости4.
Будем считать, что управляемый процесс удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
где – достаточно "хорошие" (например, гладкие или удовлетворяющие условию Липшица) функции, а – согласованный с процесс управления.
Для оценивания качества управления введем функцию , которую будем интерпретировать как интенсивность поступления дохода от принятого управления. Тогда на промежутке кумулятивный доход будет равен . Обозначая ее усреднение на , будем находить оптимальное управление из условия:
Нахождение цены , а вместе с ней и управления , осуществляется с помощью принципа Беллмана, математически выражающегося формулой: для произвольного
Следующие наводящие соображения объясняют его происхождение. Представим кумулятивный доход от выбранной стратегии в виде суммы:
Если эта стратегия использовалась до момента , то первый интеграл представляет доход от ее использования на интервале . За это время сам управляемый процесс окажется в точке . Из каких соображений можно скорректировать управление после момента чтобы увеличить доход на всем интервале управления ?
Очевидно, надо рассмотреть прогнозы
где – возможные продолжения стратегии на , и выбрать максимальный из них. Далее, делая сдвиг по времени , пользуясь независимостью и стационарностью приращений винеровского процесса, обнаружим, что
Значит, наилучшая стратегия после момента приводит к среднему доходу такому, что
К величине этого среднего дохода можно приблизиться с любой точностью за счет выбора . Поэтому взятый супремум от обеих частей вышеприведенного неравенства дает равенство, отождествляемое с принципом Беллмана. Ему можно придать дифференциальную форму, если a’priori считать функцию Беллмана достаточно гладкой.
Применяя формулу Колмогорова-Ито, получим, что
Последний член в правой части этого равенства, как мы знаем, является мартингалом, поэтому принцип Беллмана приводит к соотношению
Следовательно,
где
Полученное соотношение называется дифференциальным уравнением Беллмана.
Сформулированная ранее задача инвестирования имеет дело с управлением процессом только до его момента выхода из области . С учетом дисконтирующего множителя ей может быть придана следующая общая форма
где – некоторая функция, заданная на границе области .
В этом случае те же методологические соображения приводят к такому дифференциальному уравнению Беллмана:
справедливому для функции Беллмана при достаточно широких предположениях на коэффициенты и , .
Вернемся к инвестиционной задаче для модели Пиндайка5 и заметим, что
Тогда дифференциальное уравнение Беллмана в предположении гладкости примет вид
или, ввиду линейности по ,
Ясно, что следующая стратегия инвестирования
где – корень уравнения , "претендует" быть оптимальной.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
общее решение которого6 имеет вид
где – функция Бесселя первого рода, – гамма-функция, – функция Ханкеля первого рода.
Этому решению можно придать и другой вид с помощью модифицированных функций Бесселя
где – логарифмическая производная :
.
Поскольку при
то граничное условие позволяет найти константу
Для нахождения в таких задачах с неизвестной границей, называемых в теории дифференциальных уравнений задачами Стефана, привлекаются соображения непрерывности и гладкого склеивания на границе :
и
Эти два уравнения дают, что
где .
Остается убедиться, что найденная функция и управление , действительно, представляют решение исходной инвестиционной проблемы. Для этого, как говорят, надо проверить следующие "условия верификации":
1) при любых и ;
2) при .
Схема верификации состоит в следующем. В силу свойств функций Бесселя напрямую убеждаемся, что решение уравнения
является гладкой функцией, причем
при
Далее, по формуле Колмогорова-Ито с использованием предыдущего неравенства имеем, что
Взяв математическое ожидание от обеих частей этого неравенства и пользуясь мартингальностью интеграла, получим
и, следовательно, ввиду сходимости при
Тем самым установлено первое верификационное свойство. Второе же свойство, очевидно, справедливо при . При снова из формулы Колмогорова-Ито получаем, что
Переход к приделу при в этом соотношении при выборе приводит к равенству ; или второму свойству верификации.
Наконец, существование как решения указанного ранее уравнения вытекает напрямую из анализа этого уравнения с использованием таких асимптотик при -модифицированных функциях Бесселя:
и
1 см., например, Dixit A., Pindyck R. S., Investment Under Uncertainty, Princeton, Princeton University Press, 1993.
2 Понятно, что величина должна, вообще говоря, аккумулировать в себе дисконтированный к этому моменту будущий доход от реализации базового актива .
3 См. Мельников А. В., О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования, Обозрение прикл. и пром. математики, 1995, 2, 4, 514-526
4 См. Крылов Н. В., Управляемые процессы диффузионного типа, М., Наука, 1977.
5 См. Pindyck R. S., Investments of Uncertain Cost, J. Financial Economics, 1993, 34, 53-76; Богуславская Е. В., Точное решение одной задачи оптимального управления инвестициями, Успехи Матем. Наук, 1997, 52, 2, 157-158.
6 См. Abramowitz M., Stegun I. A., (Eds), Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs and Mathematical Tables, N.Y., Wiley-Interscience, 1972.
8