Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
30,. Дискретные случайные величины. Законы
распределения биномиальное, геометрическое и Пуассона.
Опр. Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т.е. Ωх—конечно или счетно.
Опр.Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел вида (хi, рi), где xi—возможные значения случайной величины, а pi—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е. , причем .Опр. Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), если она может принимать целые неотрицательные значения с вероятностями . Опр. Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ (λ>0), если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями . Обозначают , т.е. случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ. Опр. Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р (0<р<1), если она принимает натуральные значения с вероятностями , где q=1-p.
.
31.Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
Если функция распределения Fx (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px (x), которая связана с функцией распределения Fx (x) формулами
и .
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .
32.Мат ожидание ДСВ и их свойства.
Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х). – случайная величина Х принимает конечное число значений. – принимает счетное число значений, причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
Свойства математического ожидания:
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C)=C. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает одно возможное значение С с вероятностью 1. Следовательно, .
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X).
Ряд распределения случайной величины СХ
Математическое ожидание случайной величины СХ .
Опр. Случайные величины X1,X2,…,Xn называются независимыми, если для любых числовых множеств B1,B2,…,Bn.
33,Дисперсия (дискретной ) случайной величины.
Опр.: Пусть закон распределения случ. величины Х имеет вид:
Х:
Дисперсией D(X)- этой случ. величины называется число, вычисл. по ф-ле:
хх этой случ. величины около её мат. ожидания.
Св-ва дисперсии: 1)D(С)=0, С- пост. случ. величина.
2)D(X)=в квадратеD(X).
3)Пусть случ. величины X иY-независимы =>D(XY)=D(X)+D(Y). 4)D(X)=M(X в квадрате) – М в квадрате(Х).
5)Пусть случ. величины Х1,Х2,…Хn- независимы и D(X1)=…=D(Xn)= в квадрате. ; тогда D((x1+…+xn)/n)=( в квадрате)/n). Замечание:– назыв. среднеквадратическим отклонением случ. величины X и часто обозначается через(сигма).
Теорема: Пусть случ. величина Х биномиально распределена с параметрами n и p, тогда M(X)=np; D(X)=npq; q=1-p; M(X/n)=p; D(X/n)=(pq)/n.
Док-во: Пусть Х- число наступившего события А в nповторн. независ. исп-ях в каждом из которых соб А наступает с вер-тью р => Х=Х1+Х2+…+Хn,где Xi- число наступ-его соб-я А в i испытаний (1in). Х1,Х2,…Хn– независ. и одинаково распределены. 1i n.
M(Xi)=0q+1p=p. ; M(X)=M(X1+…+Xn)=M(X1)+…+M(Xn)=p+…+p=np.
D(X)=D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+D(Xn)=pq+..+pq=npq. Теорема доказана.
Пример: Пусть Х-бином. Распред-а n=3, p=0,8 ;M(X)=30,8=2,4 ; D(X)=30,80,2==0,48.
34.Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности: М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хпрп .
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математи-ческое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: D(X) = M (X – M(X))². (7.6)
35. Моменты случайной величины
Моме́нтслуча́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины. Определения
Если дана случайная величина Х определённая на некотором вероятностном пространстве, то:К-мнача́льным моментом случайной величины Х где называется величинаесли математическое ожидание в правой части этого равенства определено; К-м центра́льным моментом случайной величины называется величина
К-м абсолю́тным и К -м центральным абсолютным моментами случайной величины называется соответственно величины и К-м факториальным моментом случайной величины Х называется величина
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых k, но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.
36, Ковариация .
Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий используют и другие характеристики. К их числу относятся ковариация и коэффициент коррекции.
Опр. Ковариацией между случайными величинами Х и Y называется число, где.Для непрерывных случайных величин X и Y используют формулу . Покажем, что если случайные величины Х и Y независимы, то . Пусть Х и Y—непрерывные случайные величины
37,Коэффициент корреляции и его св-ва.
Опр. Коэффициентом корреляции случ. величин Х и Уназыв. число, вычисляемое по ф-ле: =(M(XY)-M(X)M(Y))/(XY), где X=D(X), Y=D(Y), а M(XY)-M(X)M(Y)- ковариация KXY. Модуль коэфф-та корреляции не превосходит 1, т.е. -11.; Если модуль коэфф-та ||=1, то между случайными величинами
существует линейная функциональная зависимость.; Пусть - коэфф-нт корреляции случайных величин X и Y: =(M(XY)-M(X)M(Y))/(XY) ; Заменяя в последнем выражении входящие величины на их выборочные оценки, получаем формулу для
вычисления выборочного коэфф-нта корреляции r: -выборочная ковариация, т.к.
, ; ;
, «+»,если ; «-» если
.Если r>0,то связь между переменной называется прямой.
Если r<0- связь называется обратной. Связь между переменными признается тесной, если |r|0,7; умеренной если 0,4|r|0,7; слабой если |r|<0,4. Основное св-во коэфф-та корреляции: |r|1.; Предельное значение коэфф-та корреляции:
2) r=0 т.ит.т.к. µ=0 byx=0 и bxy=0 => прямые регрессии перпендикулярны.; Если r=0 то говорят, что между переменными х и у отсутствует линейная корреляционная зависимость.
38.Многомерной случ. вел.
Многомерные случайные величины Совокупность произвольного числа n одномерных случайных величин Хi, i = 1, …, n, которые принимают значение в результате проведения одного и того же опыта, называется n-мерной случайной величиной (Х1, Х2, …, Хn). Ее можно интерпретировать как случайную точку или случайный вектор в n-мерном пространстве.
39.Ф.мног.слювел.
Функцией распределения n-мерной случайной величиной (Х1, Х2, …, Хn)
называется вероятность выполнения n неравенств вида Хi < xi:
39 Многомерные функции распределения
Пусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение , называемоераспределением случайного вектора или совместным распределением случайных величин , является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:
,
где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .
40..Пусть определено произвольное вероятностное пространство , и случайная величина (или случайный вектор). индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением случайной величины .
Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность называется плотностью случайной величины . Сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.
Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:
.
Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.
,
где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .
41, СОБЫТИЯ СЛУЧАЙНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ
— такие случайные события А и В, для которых вероятность Р одновременного наступления 2-х событий А к В равна произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности: Р(АВ) = Р(А)·Р(В). Аналогично определение независимости п случайных событий. Это определение распространяется на независимость случайных величин, а именно, случайные величины X1, Х2, ..., Хп независимы, если для любой группы Хi1, Xi2, ..., Xik, этих величин верно равенство: Р(Хi1 ≤ хi1, Хi2 ≤ хi2, ..., Хik≤ xik) = Р(Хi1 ≤ хi2)Р(Хi2 ≤хi2)...(Р(Хik ≤ хik); 1≤ k ≤ n. При решении геол. задач методами теории вероятностей и математической статистики корректная оценка зависимости изучаемых величин часто является наиболее сложной и ответственной частью исследования..
42, 43.Закон больших чисел.
Неравенство Чебышева, Лемма Чебышева.
Лемма Чебышева: Пусть среди значений случ. вел-ныZ нет отриц-х, тогда вер-ть того, что в некотором испытании значение этой случ. величины окажется больше, чем А (А-нек. число) оценивается по ф-ле: P(Z>A)M(Z)/A; Равносильно утверждение: P(ZA)1-(M(Z))/A.
Неравенство Чебушева.: Вер-ть того, что в некотором испытании значение величины Yбудет отличаться от математического ожидания этой случайной величины не более чем на (по абсолютной величине) оценивается по ф-ле:
Следствие 1). Пусть Y=(x1+…xn)/n, где х1,х2,…хn-независимы, M(xi)=ai, D(Xi)C, где С- некоторое число i-1,2,…n, тогда справедливо нер-во.
Следствие 2) Пусть имеется n независимых случайных х1,х2,хn чисел, имеющих одинаковые математические ожидания M(Xi)=a и дисперсиями, ограниченными числом С, тогда справедливы неравенства D(Xi)C.
Следствие 3) Пусть имеется n повторных независ. испытаний, в каждом из которых событие может произойти с … n. С каждой вер-тью число успехов nповторн. незав. Испыт. Х=m- биномиальный закон распределения. M(Xбин)=np; D(Xбин)=npq. Рассмотрим нер-во Чебышева: , применим получится
Следствие 4) Для частости (доли) признака в повторных независимых испытаниях доля или частостьX=m/n; M(m/n)=p; D(m/n)=pq/n. Применим нер-во Чебышева к этой случайной величине, получим:
; -это также называется нер-вом Бернулли. Следствие 5) Устойчивость среднего арифметического. Практически достоверно можно утверждать, что при достаточно большомn среднее арифметическое случ. величины сколь угодно мало отличается от среднего арифметического их математических ожиданий. Предполагается независимость
Говорят, что среднее число случайных величин сходится к вер-ти их математических ожиданий
Замечание: Следствие 5 получается из следствия 1, если в правой части перейти к пределу при n
Следствие 6) Устойчивость частости (доли) Практически достоверно, что доля успехов в n повторных независимых испытаниях сколь угодно мало отличается от их вер-ти успеха (при достаточно большом числе испытания n) ,или
жеЗамечание: следствие 6 получ. Из следствия 4, если в правой части перейти к пределу при n.
44. Центральная предельная теорема
Многие непрерывные случайные величины имеют нормальное распределение. Это обстоятельство во многом определяется тем, что суммирование большого числа случайных величин с самыми разными законами распределения приводит к нормальному распределению этой суммы.
Указанное свойство подтверждается интегральной предельной теоремой, доказанной Ляпуновым.
Теорема. Если случайнаявеличинаХ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, тоХ имеет распределение, близкое к нормальному.
Центральная предельная теорема имеет огромное значение для практики.
Допустим, определяется некоторый экономический показатель, например, потребление электроэнергии в городе за год. Величина суммарного потребления складывается из потребления энергии отдельными потребителями, которая имеет случайные значения с разными распределениями. Теорема утверждает, что в этом случае, какое бы распределение не имели отдельные составляющие, распределение результирующего потребления будет близко к нормальному.
Однако следует иметь в виду, что при усилении влияния отдельных факторов могут появляться отклонения от нормального распределения результирующего параметра, например, может возникнуть асимметрия или эксцесс. Поэтому большое значение на практике уделяется экспериментальной проверке выдвинутых гипотез, в том числе и гипотезы о нормальном распределении.
Поэтому, в некоторых случаях приходится рассматривать распределение случайной величины, имеющие определенные отличия от нормального. Для оценки этого отличия введены специальные характеристики. К ним относятся, в частности, асимметрия и эксцесс.
Асимметрией распределения случайной величины называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратичного отклонения:
.
Эксцессом распределения случайной величины называют число, определяемое выражением:
.
Для нормального распределения , поэтому эксцесс равен нулю.
45Стати́стика — отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных; изучение количественной стороны массовых общественных явлений в числовой форме[1].Статистика разрабатывает специальную методологию исследования и обработки материалов: массовые статистические наблюдения, метод группировок, средних величин, индексов, балансовый метод, метод графических изображений и другие методы анализа статистических данных.
46.Основу статистического исследования составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случайной величины , является выборкой, а гипотетически существующая (домысливаемая) — генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может быть конечной (число наблюдений N = const) или бесконечной (N = ∞), а выборка из генеральной совокупности — это всегда результат ограниченного ряда наблюдений. Число наблюдений , образующих выборку, называется объемом выборки. Если объем выборки достаточно велик (n → ∞) выборка считается большой, в противном случае она называется выборкой ограниченного объема. Выборка считается малой, если при измерении одномерной случайной величины объем выборки не превышает 30 (n <= 30), а при измерении одновременно нескольких (k) признаков в многомерном пространстве отношениеn к k не превышает 10 (n/k < 10). Выборка образует вариационный ряд, если ее члены являются порядковыми статистиками, т. е. выборочные значения случайной величины Х упорядочены по возрастанию (ранжированы), значения же признака называютсявариантами.
47.Вариационный ряд.
Множество всех вариант выборки, расположенных в порядке возрастания их значений, вместе с их соответствующими частотами или относительными частотами называется вариационным рядом:
|
… |
|
|
… |
|
|
… |
Таблица интервалов, содержащая данную выборку значений случайной величины Х и соответствующие частоты или относительные частоты, называется статистическим рядом. Статистический ряд распределения вероятностей определяется по
исходной выборке объемом n, если анализируемая случайная величина Х является дискретной с известным множеством значений {x1..xm }:
Гистограмма – статистический аналог графика плотности вероятности f *(x) случайной величины, и она строится по интервальному статистическомуряду. Гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах hj статистического ряда с высотой равной статистической плотности вероятности в соответствующем
48.Эпмирическая функция.
Если x1, x2, …xn – выборка значений случайной величины Х, то эмпирической функцией распределения называется функция действительного аргумента x (- ∞; ∞), обозначаемая через , равная относительной частоте выборочных значений, меньших числа x .
Так как относительная частота значений случайной величины Х, удовлетворяющих неравенству Х < x, в выборке объема n стремится к вероятности выполнения этого неравенства, то при n → ∞ имеем, что = → P(X < x) = Fх(x).
Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами теоретической функции распределения.
1. Эмпирическая функция распределения является неубывающей функцией, то есть
при x1 < x2 .
2. Справедливы следующие равенства:
и .
3. Все значения эмпирической функции распределения находятся между 0 и 1, то есть
Пусть — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве . Тогда её выборочным средним называется случайная величина
.
Пусть — выборка из распределения вероятности. Тогда
Выборочная дисперсия — это случайная величина
,
где символ обозначает выборочное среднее.
Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина
.
50.Распределение (хи-квадрат) с степенями свободы — это распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин. Пусть — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина
имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, то есть .
Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и имеет вид:
,
где означает Гамма-распределение, а — Гамма-функцию.
Функция распределения имеет следующий вид:
,
где и обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.
51 Распределе́ниеСтью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Уильяма СилиГоссета, который первым опубликовал работы, посвящённые распределению, под псевдонимом «Стьюдент». Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где
называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность
,
где — гамма-функция Эйлера.
52 Распределе́ниеФи́шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Пусть — две независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат: , где . Тогда распределение случайной величины
,
называется распределением Фишера (распределением Снедекора) со степенями свободы и . Пишут .