Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
19 Выборочные аналоги интегральной и дифференциальной функций распределения
4.1. Эмпирическая функция распределения.
Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения:
mx- число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; п- общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х < х равна. mx/n. Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х, т.е.
В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (х) определяет вероятность события Х < х, а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события Х < х, т. е. эмпирическая функция стремится по вероятности к вероятности F (х) этого события. Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.
Эмпирическая функция обладает всеми свойствами F(x):
1) ее значения принадлежат отрезку [0, 1];
2) неубывающая;
3) если хi -наименьшая варианта, то
если x k - наибольшая варианта, то
Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.
Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
|
xi |
2 |
6 |
10 |
|
mi |
12 |
18 |
30 |
Объем выборки n = 12+ 18+ 30 =60. Хнаим= 2, значит при Х 2,
Х<6 наблюдалось 12 раз, следовательно, при Х< 6
.
Значение Х<10 наблюдалось 12+18= 30 раз, значит при Х<10
Так как хнаиб =10, то при Х 10
Искомая эмпирическая функция имеет вид:
График строится так же, как и график интегральной функции распределения.
Если результаты наблюдений представлены в виде интервального вариационного ряда, то в качестве х принимают концы частичных интервалов и , пользуясь данным выше определением вычисляют значения эмпирической функции. Причем, при Х< хнач
,
а при Х хкон
.
Для рассмотренного примера получим таблицу:
|
х |
6,67 |
6,69 |
6,71 |
6,73 |
6,75 |
6,77 |
6,79 |
6,81 |
6,83 |
6,85 |
|
0 |
0,01 |
0,085 |
0,17 |
0,39 |
0,65 |
0,87 |
0,94 |
0,995 |
1 |
Так как таблица определяет функцию не полностью, то при изображении графика доопределяем функцию, соединяя точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками. График эмпирической функции для интервального вариационного ряда есть непрерывная линия.
4.2. Выборочная дифференциальная функция.
Выборочным аналогом дифференциальной функции f(x) является функция
, где
есть частость попадания наблюдаемых значений СВХ в интервал [x, x + x), следовательно,
характеризует плотность частости на этом интервале.
- частость попадания наблюдаемых значений СВХ в частичный интервал , длина которого h, тогда выборочная дифференциальная функция
.
При х хнач и х хкон
.
При построении графика выборочной функции плотности в качестве х принимают середину каждого частичного интервала. Удобно совмещать на одной координатной плоскости гистограмму частостей с графиком выборочной плотности.
Для рассматриваемого примера гистограмма частостей и график выборочной плотности имеют вид: