Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Каминский А.В.
Алгоритмическая модель мира
Человек издавна пытается понять, что есть Мир, и осознать свое место в нем. С тех пор, когда Мир представлялся человеку опирающимся на трех слонов, наши знания значительно умножились, а модели мироздания усложнились. Однако, истина по мере приближения к ней отступает, заставляя нас задумываться о ее достижимости и о самой сущности этого понятия.
Вопрос познаваемости Мира определяется его моделью. Научное изучение этого вопроса становится возможным при переносе формализованного в математической логике понятия истины на физический мир.
Примечание: Как известно, истинным высказыванием математики называют замкнутую (не имеющую свободных вхождений переменных) формулу алгебры предикатов, полученную согласно правилам вывода "modus ponens" из схемы аксиом, принятых "ad hoc". Истина физического мира так же представляет собой логический конструкт, собранный из ряда утверждений, называемых законами природы.
Так, если реальный физический Мир изоморфен модели, содержащей арифметику натуральных чисел, то для такого Мира справедливы все ограничения Геделя-Тарского, а именно, существование утверждений, которые невозмжно ни доказать, ни опровергнуть, невозможность сформулировать понятие истины внутриязыковыми средствами, а значит, и средствами любого языка, возможного в этом Мире.
Примечание: Речь идет о теореме Геделя о неполноте формальной арифметики и ее усилении- теореме Тарского о невыразимости понятия истины.
Для такой модели Мира агностицизм - строгое следствие ее свойств. Здесь необходимо рассмотреть подробнее и уточнить, что означает моделирование физического мира исчислением. Учитывая, что исчисление всегда может быть заменено алгоритмом, результатами которого служат объекты, порождаемые исчислением, в дальнейшем мы будем говорить об алгоритмическом описании Мира.
Любой жестко детерминированный процесс можно трактовать, как алгоритм переработки слов в некотором алфавите. Результаты исследований Черча, Тьюринга, Поста, Маркова и других основателей теории эффективной вычислимости наталкивают на мысль, что вообще любой процесс в нашем Мире может быть описан набором общерекурсивных функций или алгоритмом типа Маркова или машин Тьюринга-Поста.
Перенося тезис Тьюринга на физический мир, можно заключить, что весь мир может быть смоделирован одной машиной Тьюринга, реализующей один грандиозный алгоритм. Видимо, космогонические представления делают новый виток, возвращая нам идею лаплассовского детерминизма в новом понимании.
Примечание: A.M.Turing. On Computable Numbers...-Proc.London Math. Soc.,42 (1936-1937), p. 230-265 ,(В своей знаменитой статье А.М.Тьюринг предложил "машину" весьма простого рода, способную напечатать в соответствующем алфавите разложение любого вычислимого действительного числа. Он пояснил так же каким образом такая машина могла бы вывести все формулы исчисления предикатов.)
Алгоритм в обычном понимании представляет собой конечную процедуру обработки конечных слов. Хотя множество его входов может быть счетно-бесконечным. Физика дважды уже "спотыкалась" о допущения бесконечности того, что на самом деле не было бесконечным (c-скорость света, 1/h-обратная постоянной Планка). Д.Гильберт писал "Бесконечное нигде не реализуется, его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления". Кронекер по этому поводу говорил, что Бог создал натуральные числа, а все остальное - дело рук человеческих.
Конечность и соответственно дискретность, положенные в основу нашей модели, дают ключ к решению целого ряда казалось бы не связанных проблем современной физики. Несмотря на простоту модели, мы обнаружим удивительное сходство ее свойств со свойствами физического мира.
Глава 1. Алгоритмическая модель
1.1 Обратимые и необратимые алгоритмы.
Предположим, что в основе физического мира лежат элементарные (не имеющие структуры) фундаментальные ячейки, представляющие собой первичную сущность и поэтому требующие введения "ad hoc". Ячейки эти аналогично ячейкам конечного автомата могут быть активны (1) или пассивны (0). Над полем этих ячеек действует алгоритм, который отражает структуру Мира и определяет его развитие. Далее этот алгоритм будем называть Мировым алгоритмом, либо просто Алгоритмом, выделяя первой прописной буквой. Он связывает фундаментальные ячейки в систему.
Если N- число фудаментальных ячеек, то число состояний Мира будет 2N. Если строить модель типа машины Тьюринга, то внутренние состояния машины должны быть включены в это число. Для дальнейшего нам понадобится выделить два больших класса алгоритмов.
В алгоритмическом процессе каждое новое состояние однозначно определяется предшествующим. Однако, как легко заметить, предшествующие состояния не всегда однозначно определены текущим состоянием. Приведем примеры обратимых и необратимых алгоритмов.
Рассмотрим машину Тьюринга, действующую на алфавите A={0,1} с набором внутренних состояний S={Si}. Напомним, что поведение машины Тьюринга определяется символом напротив считывающей головки и ее внутренним состоянием. При этом считанный знак и внутреннее состояние заменяются новыми, а головка передвигается в направлении D=(R,0,L) (на одну позицию в одном, либо другом направлении или остается неподвижной). Коротко, поведение машины Тьюринга может быть описано тремя функциями с областями значений из A,S, определенными на множестве {A S}. Соответственно программу будем записывать в виде набора строк в формате: {A S}- ASD
пример 1. Программа:
0S1- 0S1R
1S1- 1S1R
описывает "прозрачную" машину Тьюринга, не производящую никаких действий, двигаясь по ленте в любом направлении. R -означает движение "печатающей" головки направо, L - налево Будем считать, что замена R на L и обратно эквивалентна замене знака времени на противоположный. В качестве следующего примера приведем программу, сдвигающую информацию на ленте на одну позицию вправо:
пример 2.
0S1- 0S1R
1S1- 0S2R
0S2- 1S1R
1S2- 1S2R
Перед тем, как проанализировать работу этих программ, приведем примеры необратимых машин Тьюринга.
пример 3. Программа:
0S1- 0S1R
1S1- 0S2R
0S2- 1S3R
1S2- 1S2R
1S3- 1S3R
0S3- 0S3R
складывает два числа, представленные в единичной системе счисления (алфавит A={1}). И последний пример:
пример 4.
0S1- 0S1R
1S1- 0S1R
программа, стирающая информацию с ленты при движении в любом направлении.
Будем считать, что машина Тьюринга обратима, если при изменении знака времени t- -t машина возвращается в исходное состояние, проходя через ту же последовательность состояний в обратном порядке. В противном случае машина Тьюринга необратима. Еще раз напомним, что под состоянием следует понимать полное состояние системы, а именно, внутренние состояния в совокупности с информацией на ленте. Из рассмотренных примеров видно, что необратимость возникает вследствие потери информации. Так, машина из примера 4 является простейшей необратимой машиной, необратимость в которой возникает вследствие уничтожения информации на ленте. Необратимость машины из примера 3 имеет более сложное происхождение. В этом случае причиной необратимости является потеря информации о том, из каких слагаемых получается сумма. Следует заметить, что стирание информации с ленты еще не означает потерю этой информации, так как она может быть сохранена во внутренних состояниях машины. Именно это имеет место в примере 2. Здесь стирание единицы всегда сопровождается переходом из состояния S1 в состояние S2. В общем случае каждое следущее состояние машины Тьюринга не содержит информации о предыдущих, поэтому в процессе работы алгоритма она может теряться. Так, например, вход в бесконечный цикл также сопровождается потерей информации. Действительно, в точке входа в цикл невозможно определить предыдущее состояние алгоритма.
Вернемся к примеру 1. Алгоритм описывает движение головки слева направо независимо от встречающихся символов. Этот алгоритм обратим, так как на любом шаге может быть определено предыдущее состояние. Действительно, согласно программе, каждое состояние (определяемое в данном случае положением головки и считываемым знаком) определено однозначно и возникает из состояния, в котором головка расположена на одну позицию левее.
Пример 5. Программа:
0S1- 0S1R
1S1- 1S1L
описывает движение головки слева направо до первой встретившейся единицы, после чего машина попадает в бесконечный цикл. Как уже отмечалось, в точке входа в цикл имеет место неоднозначность в определении предыдущего состояния. Действительно, нет средств оределить, произошел ли вход в цикл на предыдущем шаге. Следовательно, эта программа описывает необратимый алгоритм. Обычно, алгоритм понимается, как процедура преобразования слова "А" в слово "В" за конечное число шагов. Но возможны алгоритмы, имеющие начальное или конечное состояния в бесконечности или не имеющие таковых вообще. Рассмотрим алгоритм из "x" в "y", где "x" множество входов а "y" множество выходов. Пусть, Â -оператор определяющий локальное преобразование информации в алгоритмическом процессе. Пусть, на входе алгоритма имеется состояние F0(x), тогда состояние алгоритмического процесса на i-ом шаге вычисляется по стандартной схеме рекурсии:
Fi(x)=Â FI-1(x)
Состояние через n итераций будет
Y=Fn(x)=Â(Â(Â-(Â(F0(x)-)=ÂnF0(x)
Предположим, что рассматриваемый алгоритм для значений xl и xm входного множества на k-ом шаге генерирует одно и то же состояние:
Âk(xl)=Âk(xm)
Заметим, что, так как алгоритм однозначно определяет каждое последующее состояние на основании предыдущего, то и две рассматриваемые рекурсивные последовательности, начинающиеся со значений xl и xm при i>k, сольются в одну. Пусть, теперь Â-1 - обратное преобразование:
FI-1(x)=Â-1 FI(x)
То есть ÂÂ-1=1; Очевидно, что для рассматриваемого примера в точке, описываемой состоянием Fk(xl)=Fk(xm), такого оператора не существует, так как переход к предыдущему состоянию неоднозначен. Это позволяет нам дать более строгое понятие обратимости алгоритма:
Алгоритм обратим в точке (на этом шаге вычислений), если наряду с локальным оператором Â в этой точке существует обратный ему оператор Â-1 такой, что ÂÂ-1=1; и обратно:
Алгоритм необратим, если для него не существует Â-1
Сформулируем следующую очевидную теорему:
Алгоритм A(x-y), биективно отражающий множество входов на множество выходов, всегда обратим.
Алгоритм с сурьективным отображением входов на выходы - необратим.
Введем несколько полезных для дальнейшего изложения определений.
Назовем алгоритм открытым, если для элемента из некоторого множества входов "X" за конечное число шагов он генерирует элемент из множества выходов "Y". Может оказаться, что алгоритм не генерирует выходных значений. Это может иметь место в случае попадания в бесконечный цикл, либо отсутствия решений за конечное число итераций. Такой алгоритм имеет входы, но его выходное множество пусто. Назовем его полузакрытым. Такой алгоритм всегда необратим. Третий тип объектов, которые едва ли подходят под традиционное определение алгоритма, будем называть закрытыми алгоритмами. Такие алгоритмы не имеют ни входов ни выходов. Примером такого объекта является зацикленная часть полузакрытого алгоритма. На рис 1. приведены графы рассмотренных типов алгоритмов, иллюстрирующие приведенную выше классификацию.
Характерной особенностью необратимых алгоритмов является наличие "вилок" в графах их состояний. Узлы этих "вилок" связывают 3 или более состояний, из которых только одно состояние лежит в "будущем", тогда как все остальные- в "прошлом". Узел связывает эти состояния в структуру "вилки". Каждое состояние (узел) обратимого алгоритма связывает только 2 состояния, одно из которых предыдущее, а другое последующее.
Точки входа "X" и выхода "Y" интуитивно понимаются, как особые состояния, не имеющие предыдущего и последующего состояний соответственно. Не будем рассматривать класс открытых и полуоткрытых алгоритмов в качестве серьезного кандидата на роль космологической модели именно ввиду наличия этих особых состояний (творение и конец Мира), нарушающих общую симметрию и красоту модели, хотя трудно привести более серьезные аргументы. Таким образом, исключая открытые и полуоткрытые алгоритмы, и исключив тем самым из рассмотрения необратимые алгоритмы, мы остановимся на изучении закрытых обратимых алгоритмов. Топологически такой алгоритм представляет собой замкнутую,несамопересекающуюся структуру с конечным числом состояний, каждое из которых связано только с двумя соседними состояниями.
Примечание: Естественно было бы при построении модели физического мира использовать класс необратимых алгоритмов. Это позволило бы достаточно естественно решить проблему энтропии. Однако, как будет ясно из дальнейшего изложения, этот путь ошибочен.
Сформулируем еще одну очевидную теорему:
Множество преобразований, порождаемых локальным преобразованием Â закрытого обратимого алгоритма, образует циклическую группу порядка N, где N- число состояний алгоритма. Другими словами ÂN=1. Кроме того, очевидно, что состояния в пределах цикла не повторяются. Ибо, если бы было Âk= Âi, где i<k<N, то вопреки ÂN=1 было бы Âk-i=1. Поведение физической системы, описывающейся таким алгоритмом следовало бы охарактеризовать, как эргодичное.
Примечание: В континууме эргодичность Больцмана не реализуется.
Глава 2. ГЕОМЕТРИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО МИРА
Риман писал: L...или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических соотношений чем-то внешним¦, так как Lв случае дискретного многообразия принцип метрических соотношений содержиться уже в самом понятии этого многообразия¦ ( Riemann.B., Nachrichten.K. Gesellschaft Wiss. Gottingen, Bd.13, 1868,S.133-152.). Оставляя все права только за первой возможностью, заметим, что в основу концепции конечного физического мира может быть положена алгебраическая геометрия над конечными полями, восходящая к работам великих геометров прошлого столетия фон Штаудта и Фано. Фано первым построил конечную геометрию (проективную плоскость порядка P, где P простое). По Ф.Клейну Lгеометрия есть тогда, когда есть группа, действующая на некотором множестве элементов¦. Ясно, что множество элементов, о которых говорит Клейн, совершенно не обязательно должно иметь мощность континуума или быть счетно бесконечным. Однако, оно должно иметь определенную структуру, а именно, на нем должны быть определены простейшие геометрические образы: точки, плоскости, прямые и.т.д.
Возвращаясь к нашему исследованию, заметим, что, циклическая группа, порожденная обратимым алгоритмом, образует конечное поле Галуа GF(2N) (см. Приложение).
Двоичное N-мерное афинное пространство 2-го порядка, построенное над полем состояний, генерируемых алгоритмом стоит на вершине структуры физического мира. Каждое базисное направление в таком пространстве соответствует определенному состоянию Мира.
2.1 Фундаментальные ограничения на информационные процессы в конечном мире
Основными информационными процессами, активизируемыми деятельным субъектом, являются процессы получения информации при измерениях, ее передача, копирование и хранение. Процесс моделирования, лежащий в основе механизма познания является конструктивным и основывается на перечисленных выше элементарных процессах.
Первое тривиальное следствие конечности Мира- это конечная точность измерений и вычислений. Действительно, если N- число фундаментальных ячеек (N-разрядный или N-сущностный Мир), то точность любых процессов в таком Мире ограничена числом 1/2N. Числа большие 2N в таком мире инфинитны. Число же À=2N следует считать невычислимым, так как для его записи потребовалось бы исчерпать все ресурсы Мира. Наличие других невычислимых чисел зависит от конкретизации модели.
Вторым следствием конечности Мира является наличие скрытой (недоступной) для субъекта информации, а следовательно, существование непознаваемых объектов и явлений. Для доказательства достаточно будет привести пример хотя бы одного такого объекта. Простейшим примером может быть объект, требующий для описания более половины мировых состояний. Другим типом непознаваемых объектов являются так называемые максимально сложные объекты [Термин заимствован из теории сложности алгоритмов]. Такой объект, будучи образован n-фундаментальными ячейками, сохраняет свою функциональность, используя только все n- ячеек то есть ни одна ячейка не дублирует другую. Следовательно, модель такого объекта не может быть построена, а сам объект - познан (см. работу автора LФизика сознания¦).
Третьим следствием конечности Мира является следующее: Средствами части Мира, каковой и является субъект, имеющий в своем распоряжении n ячеек из общего числа N, невозможно с тождественной точностью смоделировать процессы, для описания которых требуется число ячеек >n. Однако, возможно приближенное описание, дающее целый ансамбль состояний, моделирующее объект с точностью, определяемой отношением n/N.
2.2 Моделирование в конечном мире
Под моделированием в узком смысле обычно понимают создание модели объекта, а точнее создание алгоритма, описывающего наиболее характерную или представляющую интерес сторону процесса. В широком смысле моделирование может быть отождествлено с процессом познания. Как будет ясно из дальнейшего изложения, познание субъектом мира, выражающееся в форме моделирования, вовсе не является чем то второстепенным, но лежит в самой основе мироустройства. Снижая постановку проблемы, можно сказать, что цели моделирования заключаются в прогнозировании и изучении поведения реальных объектов и их откликов на различные воздействия со стороны субъекта с тем, чтобы затем учесть их в реальной жизни. Заметим, что возможности экспериментирования с реальными объектами всегда ограничены. Почему же модель объекта, представляющая собой тоже некий объект, тем не менее позволяет экспериментировать с ним, изменяя значения параметров и начальных условий, масштабировать и изменять направление времени? Конечно же это возможно только благодаря упрощенному, неполному представлению процесса в модели. Как будет меняться алгоритм при увеличении точности моделирования?. Ясно, что сложность и время его выполнения будут расти. Кроме того, модель все более будет походить на объект моделирования, а у исследователя будет оставаться все меньше возможностей для экпериментирования. Экстраполируя эту тенденцию, легко понять, что модель при увеличении точности, приближается к самому объекту моделирования. А.Н. Колмогоров писал: "Достаточно полная модель живого существа по справедливости должна называться живым существом, модель мыслящего существа- мыслящим существом". Ключевым словом в этом высказывании является слово "достаточно". Может быть, достаточно полная модель это копия?. фон Нейман, размышляя над механизмом человеческого мышления, пришел к гипотезе, что, если система достигает определенной степени сложности, то ее модель не может быть проще, чем она сама. Этот тезис аналогичен только что приведенному высказыванию Колмогорова. Степень сложности, о которой пишет фон Нейман, есть не что иное, как максимальная сложность.
Заметим, что, если объект максимально сложен, то он не может быть смоделирован или познан. Общей чертой нашей инженерной деятельности является конструктивная избыточность ее объектов. Максимально сложные объекты неконструктивны, а это значит, что они не могут быть искусственно созданы и являются неотъемлемой частью природы. Приведенные выше ограничения, имеющие место для замкнутых конечных моделей, назовем физической неполнотой по аналогии с неполнотой непротиворечивых аксиоматических систем, исследуемых математической логикой. По-видимому, отмеченная аналогия простирается гораздо глубже чисто внешнего сходства.
2.3 Бесконечность в модели конечного мира.
Насколько конечная модель адекватна континуальной, принятой за основу классической физикой? Казалось бы, в конечной модели не может быть места таким понятиям, как бесконечность и непрерывность. Однако, это представление ошибочно. В связи с открытием Сколемом парадокса из области теории множеств, который называют шестой антиномией Сколема, в аксиоматическую теорию множеств был введен определенного рода релятивизм, заключающийся в том, что бесконечные множества, несчетные в одной системе аксиом, оказываются счетными в другой. С.К.Клини отмечает, что релятивизация мощностей вытекает из ситуации, аналогичной той, которая имеет место в теореме Геделя о неполноте (Клини С.К. Введение в математику с.378.). Покажем, как конечная модель Мира позволяет приблизиться к пониманию сущности актуальной бесконечности,- понятия, постичь которое, несмотря на успехи теории актуально беско-нечных множеств Кантора, пока не удалось никому. Построим финитную модель бесконечности. Для этого сначала найдем финитный аналог первого кадинального числа. Максимальным конечным числом в замкнутом конечном мире следует считать максимальное число, которое субъект этого мира способен прочитать и понять. Для того, что бы найти это число, заметим, что если число ячеек, используемых субъектом для записи чисел M<N/2, где N - число ячеек Мира, то он может понять не все числа, реализуемые в остальной части мира из (M-N) ячеек. Если же M>N/2, то способность воспринимать числа субъектом будет частично не востребована вследствие нереализуемости этих чисел в мире. Легко понять, что оптимум достигается в случае M=N/2. Соответственно, множество конечных чисел в мире с N ячейками: {1,2,...,2N/2}, а его кардинальное число À0=2N/2. Это множество аналогично множеству натуральных чисел классической континуальной модели. Числа {2N/2+1,2N/2+2,...,2N-1} трансфинитны в том смысле, что не могут быть записаны или осмысленны субъектом конечного N-битного мира. Покажем, что число À1=2N отождествляет понятие бесконечности в конечном мире, являясь в некотором роде его аналогом. Действительно, это число обладает рядом признаков, подобных свойствам бесконечности континуального мира.
a) a/À1 <1 где a<2N/2 и в конечном дискретном мире должно быть отождествлено с нулем.
b) 2N/2 < À1/a < 2N то есть À1/a Ë {1,2,...,2 N/2} другими словами, если a - конечно, то À1/a - трансфинитное число.
c)(À1-a)Ì {2N/2,...,2N}, то есть разность бесконечного и любого конечного числа бесконечна.
d) À0 то есть сумма конечного числа конечных чисел всегда конечна. Хотя может показаться, что такая сумма может превышать À0, в действительности, нужно иметь в виду, что она определена не для любого числа любых слагаемых. Действительно, чтобы реализовать операцию суммирования, слагаемые должны единовременно и актуально иметься в распоряжении субъекта, реализующего операцию, но это имеет место как раз в том случае, если соблюдается условие:
2N/2
e) числа À0 и À1 актуально существуют, но непостижимы субъектом мира, в котором они определены.
Для субъекта конечного мира он (этот мир) всегда представляется не только бесконечным, но и непрерывным и вопрос об адекватности конечной модели реальному физическому миру по-видимому следует считать решенным положительно. Действительно, для N-битного мира минимальное число, определяющее его дискретность 2-N , меньше минимального числа, понятного субъекту 2-N/2
Явно просматривается аналогия введенных выше чисел À0 и À1 с первым и вторым кардинальными числами Кантора. Эта аналогия настолько глубока, что имеет место конечный аналог Континуум-гипотезы.
Примечание: Недоказуемое в рамках формальной логики предположение, о том, что нет промежуточных мощностей между мощностью натурального ряда À0 и мощностью действительного континуума À1 В конечном мире À1 является вторым наименьшим кардинальным числом. Очевидно, множеств больших мощностей в конечном мире не существует ибо À1 наибольшее определимое число.
Как легко видеть, мощность класса всех ординалов N-битного мира превосходит мощность класса его конечных чисел. Подсчитаем число элементов класса всех ординалов:
{1,2,-,À0 , À0 +1, À0 +2,-, À0 +À0 ,2À0 +1,-2À0 +À0 ,-, À0 À0 }
Легко видеть, что это число равно À02 =À1. Таким образом, в конечном мире À1 является вторым наименьшим кардинальным числом.
Глава 3. Обоснование закона неубывания энтропии.
3.1 Проблема энтропии
Проблемой энтропии в настоящее время называют ряд вопросов из области статистической физики и ее приложений, на которые нет достаточно ясных ответов и которые вряд ли могут быть получены без препарирования столь фундаментальных понятий, как время, обратимость, случай и ряда других.
Исследование этой проблемы в рамках алгоритмической модели существенно упрощает задачу. Мы надеемся, что изложенный подход сможет упорядочить представление о предмете. В вершине смысловой иерархии различных определений энтропии лежит формула Шеннона (Shannon C.,Weaver W. The Mathmatical Theory of Communication ).
S = -I = åpilogpi (3.1)
которая определяет меру недостаточности информации в сообщении. Если pi определить как удельные веса чистых состояний в некотором смешанном состоянии, то мы приходим к понятию энтропии физической системы:
S = -kråilnri (3.2)
Здесь ri -диагональный элемент матрицы плотности В замкнутой системе ri описывается обратимым во времени уравнением Лиувилля:
или
Поэтому
Другими словами энтропия замкнутой изолированной системы не зависит от времени. Однако, второй закон термодинамики, обобщающий наш опыт в обозримой части вселенной и на известном интервале времени, свидетельствует об обратном, а именно, о росте энтропии. Множество искусственных толкований этого парадокса создают ощущение дискомфорта в этой области науки. Встает фундаментальный вопрос- как может быть обоснован второй закон термодинамики?.
Некоторые исследователи возлагают надежды в решении этого вопроса на квантовую механику.
Известно, что квантовая механика, нсмотря на инвариантность ее уравнений относительно обращения времени, неявно содержит необратимость. Эта необратимость проявляется при взаимодействии квантовых объектов с наблюдателем в процессе измерения (Л.Ландау и Е.Лифшиц "Статистическая физика Москва. 1951г стр.46).
В космологических теоретических построениях классическая термодинамика применяется, как одна из основ теории. Однако, такое непосредственное применение термодинамики к Вселенной ставит еще целый ряд вопросов. Первой теорией такого рода была флуктуационная гипотеза Больцмана, остающаяся до сих пор единственной попыткой объяснить существование необратимых процессов во Вселенной, исходя из обратимых законов природы. Этот подход если даже и пригоден для некоторых моделей Мира, чреват серьезными осложнениями при более глубоком рассмотрении (Я.М.Гельфер История и методология термодинамики и статистической физики. Москва, высшая школа 1981г. стр.332). Прежде всего не ясно что, понимать под энтропией всего Мира, даже при наличии соображений относительно его конечности или бесконечности. Если предположить, что Мир находится в чистом состоянии, то его энтропия S=0. Однако, здесь мы упускаем существенный момент - наличие наблюдателя, по отношению к которому и определяется энтропия. В чистом состоянии может находиться только весь мир в целом, включая наблюдателя. Ни одна часть Мира, в том числе и Мир без меня, не может находиться в чистом состоянии. Это следует из определения смешанного состояния (Р.Фейнман Статистическая механика. изд. "Мир" Москва. 1978 стр 53). В силу того, что для меня, являющегося не внешним наблюдателем, а составной частью Вселенной, в принципе не доступна абсолютная точность в определении динамических переменных, ни одна часть Мира не может находиться также и в строго стационарном состоянии. Обычно мы имеем дело с приближенно- стационарными состояниями.
3.2 Теория информации консервативных детерминированных систем. Роль субъекта.
В этом разделе мы покажем, что разрабатываемая модель при учете фундаментальной неполноты, возникающей вследствие разделения модельного Мира на субъект и объект, может пролить свет на проблему обоснования закона возрастания энтропии. Рассмотрим некое детерминированное устройство, производящее вычисления по некоторому алгоритму (компьютер). Пусть, это устройство оперирует числами конечной фиксированной разрядности. Решая уравнения движения, особенно с неустойчивым гамильтонианом, вследствие конечной точности (обусловленной разрядностью) будет быстро накапливаться ошибка. Теперь, если обратить время t - -t, а практически пустить алгоритм в обратном направлении, то мы уже не вернемся к тем начальным условиям, из которых исходили. То есть начальное состояние нашего вычисляющего устройства не воспроизведется. Причина этой необратимости - в конечной точности вычислений, а механизм - в округлении чисел до фиксированного числа значащих цифр. Идеальный компьютер [компьютер, который при сохранении информации DI=0 не обменивается теплом с термостатом. Повидимому, нужным свойством обладает минимизированный компьютер /см. ниже/], реализующий этот алгоритм, будет рассеивать тепло dQ=tdS в окружающую среду. Здесь dS - дефект информационной энтропии, обусловленный округлением чисел. Таким образом, необратимость обеспечивается неизолированностью компьютера. Но неизолированный компьютер не может служить моделью Мира по определению, точно так же, как изолированный не может служить моделью нашего Мира с его необратимостью (так как в изолированном компьютере невозможно реализовать механизм, обеспечивающий операцию округления). Казалось бы, исходя из сказанного, алгоритмическая модель в принципе не может быть построена! Однако, не будем делать преждевременные выводы.
Итак, изолированный конечный автомат может реализовать только обратимые алгоритмы. Так, например, клеточный автомат Коунвея (М.Гарднер Математические досуги.-М.: "Мир", 1972,с.458), известный как игра "жизнь" реализует, очевидно, необратимый алгоритм. Поэтому такой автомат не может быть реализован физически в виде изолированной системы.
Рассмотрим, что происходит с точки зрения термодинамики и теории информации при работе такого автомата. Начальные условия (исходная популяция) определяют начальную информфцию и энтропию автомата (с точностью до аддитивной постоянной). В процессе работы автомата информация только теряется, а энтропия, определенная по Шеннону S=-I, растет. Очевидно, максимально сложный физический автомат Коунвея (в данном случае максимальная сложность означает бесструктурность ячеек автомата, или отсутствие у них внутренних степеней свободы) будучи теплоизолирован, работать не будет. Реальный автомат будет работать некоторое время, до тех пор, пока его внутренние степени свободы будут достаточно холодны.
Из соображений симметрии следует, что Мир не обладает избыточностью, то есть он максимально сложен (в противном случае возникает вопрос о степени избыточности). Вследствие этого алгоритм, управляющий таким миром, должен быть из класса обратимых. Таким образом, мы независимо, в данном случае из термодинамических соображений, пришли к тезису об обратимости Мирового Алгоритма, который в первой главе был взят за основу наших построений скорее из эстетических, чем из логических соображений. Заметим, что Мир для наблюдателя, являющегося его частью, как бы обладает избыточностью (кажется таковым), так как от такого наблюдателя всегда скрыта тонкая структура этого Мира (скрытые степени свободы). В "грубых" же структурах, для которых "тонкие" являются скрытыми, возможны необратимые процессы. Наблюдаемые нами в окружающем нас Мире необратимые процессы являются только кажущимся проявлением истинно обратимого Алгоритма, управляющего Миром. Следует ли необратимости, возникающей по столь фундаментальным причинам, присваивать статус кажущейся?. Видимо нет; ибо это - единственная физическая реальность, доступная наблюдателю. Ниже мы подробно исследуем механизм возникновения необратимости, связанный с субъективной избыточностью Мира.
3.3 Энтропия детерминированных систем
Учитывая контекстуальность понятия информации, предположим для начала, что полная информация Мира определяется по отношению к некоторому внешнему наблюдателю.
Рассмотрим алгоритм, генерирующий кольцевую последовательность состояний Fi: FN+1=F0; где N - число различных состояний. Забыв на время, что последовательность состояний детерминирована, и учитывая, что каждое состояние за период реализуется точно один раз, определим вероятность i-го состояния как Pi=1/T и соответсвенно энтропию: S=-Pilog2Pi ; S-здесь измеряется в битах. Состояния могут быть объединены в группы, отличающиеся количеством входящих в них элементарных состояний. Такие группы назовем физическими состояниями или для краткости R-состояниями (от слова Real). Элементарное состояние, входящее в группу и неотличимое от других состояний из той же группы вследствие неполноты, назовем алгоритмическим или A-состоянием. Если все A-состояния реализуются с равными частотами (вероятностями), то частоты R-состояний могут быть различны. Рассмотрим в качестве примера алгоритм прибавления единицы по модулю 16. Псевдокод этого алгоритма:
* n = n + 1 mod(16)
go to *
Рассмотрим n в двоичном представлении. Алгоритм генерирует набор из 16-ти A-состояний от {0000} до {1111}. Рассмотрим состояние {XXXX} где XÌ{0,1}. Это максимально неопределенное состояние нашего 4-х битного мира описывается функцией распределения P(i)=1/16, где i- номер A-состояния. Энтропия этого состояния будет равна:
Sh = -åPilog2Pi = 16×(1/16)×log224 = 4
Такую энтропию назовем скрытой и будем отличать индексом 'h' Информация, приходящаяся на каждое A-состояние, равна 4 бита. Состояние {1XXX} более определенно. Легко видеть, что его функция распределения:
Pi=0 при i=1 ¸ 8
Pi=1/8 при i=9¸16
и энтропия S=3бит. Скрытая энтропия выражает меру информации, скрытой от наблюдателя вследствие неполноты. Вычисление скрытой энтропии подразумевает различимость A-состояний. Однако, согласно разрабатываемой концепции, для наблюдателя, являющегося частью системы вследствие неполноты, A-состояния неразличимы внутри групп, соответствующих R-состояниям, и не несут никакой информации, кроме информации о принадлежности к той или иной группе. В этом случае энтропию следует вычислять иначе. А именно, энтропия нашего 4-х битного мира, в котором различается только одно R-состояние {XXXX}, очевидно, равна нулю. Если, например, наблюдатель различает два R-состояния {0XXX} и {1XXX}, представленных, очевидно, с равными вероятностями P(i)=1/2, то энтропия мира, вычисляемая этим наблюдателем, будет:
S=(1/2)log22+(1/2)log22=1бит;
Энтропию, вычисляемую по распределению вероятностей R-состояний, назовем субъективной. Это определение соответствует определению классической статистической теории. Итак, если наблюдатель сам является частью системы, то вследствие неполноты он не сможет различать все состояния системы. Поэтому энтропия Мира как объекта наблюдения (Мир без меня) всегда меньше максимальной:
S < Smax = log2N;
где N - полное число A-состояний Мира. Отличие энтропии от ее максимального значения означает, что Мир представляется наблюдателю неоднородным и он различает в нем структуры, образованные группами A-состояний. Подчеркивая смысловую нагрузку, таким образом определенную энтропию будем называть наблюдаемой или субъективной. В процессе измерения (наблюдения) мы получаем дополнительную информацию об объекте. Ее прирост можно определить по формуле Реньи:
DI(Q/P) = å qilog2(qi/pi) ³ 0;
где Q и P соответственно априорное и апостериорное распределения вероятностей. Производя измерения, мы приобретаем дополнительную информацию и тем самым получаем возможность различать более тонкие структуры объекта. Наблюдаемая энтропия объекта при этом возрастает.
Пусть wj -вероятность реализации j-го R-состояния, тогда субъективная энтропия может быть вычислена по формуле:
S = -wåjlog2 wj ; (3.3)
Пусть Pij -вероятность i-го A-состояния в группе, соответствующей R-состоянию j, тогда скрытая энтропия может быть вычислена следующим образом:
Sh = -wåjåPijlog2Pij ; (3.4)
Так как распределение вероятностей внутри группы вследствие неразличимости A-состояний однородно Pij=1/nj, где nj -число этих состояний в группе, то :
Sh=wåjlog2 nj ; (3.5)
Легко видеть (Sh+S=wåjlog2nj-wåjlog2wj=wåj(log2nj-log2wj)=wåjlog2(nj/wj); учитывая, что nj/wj=N,
получим Sh+S=wåjlog2N=log2Nwåj=log2N), что:
Sh+S=Smax где Smax=log2N; (3.6)
Смысл этого соотношения прозрачен: полная информация Мира складывается из информации, доступной наблюдателю, и информации, скрытой от него.
3.4 Примечания
В завершение нашего изложения для большей строгости необходимо сделать некоторые уточнения. В вышеизложенной концепции конечного Мира мы пользовались понятием Шенноновской энтропии, характеризующей распределение случайной величины в ансамбле. В качестве таких случайных величин мы рассматривали номер A-состояния x или номер R-состояния h. Вследствие того, что A-состояния мы считали элементарными, полную энтропию Мира мы вычисляли как:
H(x)=log2N; где N- число A-состояний
Эта энтропия численно равна полной информации Мира. Субъективная энтропия H(h) удовлетворяет условию:
0 < H(h) < H(x);
В действительности каждое A-состояние можно считать элементарным только в Мире с N-буквенным алфавитом. Мы же рассматриваем 2-х буквенный Мир {0,1}. Такая модель кажется нам более предпочтительной в силу симметрии или целесообразности в духе "бритвы Окамма" Однако в такой модели каждое A-состояние уже конструктивно и содержит информацию о себе самом вне ансамбля. Эта информация выражается Колмогоровской сложностью K(n) [Chaitin G.J.,Sci.Amer., May 1975, p.47]. Детализация этого вопроса выходит за рамки настоящего исследования.
3.5 Энтропия физической системы
Каждое R-состояние в настоящем контексте описывается чистым состоянием Y(x) изолированной физической системы c субъективной (физической) энтропией Sx=0 и скрытой энтропией:
Sxh =-å P[Y(x,t)]logP[[Y(x,t)]; 3.7
здесь Sxh -энтропия системы, описываемой волновой функцией Y(x,t), x-наблюдаемая переменная, t-скрытый параметр, P[Y(x,t)]- вероятность системе в состоянии x иметь скрытый параметр t. Суммируя по всем значениям параметра и учитывая, что P[Y(x,t)]=1/Nx, где Nx - число значений дискретно меняющейся переменной в состоянии x, получим:
Sxh =logNx; (3.8)
Позже мы покажем, что Nx=Y(x)Y*(x); так, что скрытая энтропия:
Sxh =logY(x)Y*(x); (3.9)
3.6 Измерения в конечном мире
Любой процесс в конечном мире или в замкнутой изолированной системе, построенной над N фундаментальными ячейками, может быть описан эволюцией вектора состояния в N- мерном двоичном пространстве. В процессе физического взаимодействия субъекты этого мира могут обмениваться энергией и соответственно информацией. Взаимодействие, приводящее к приросту информации субъекта, будем называть измерением. Для субъекта конечного мира термодинамическая энтропия асимптотически стремится к значению N/2 за бесконечное время (конечно же имеется в виду понятие бесконечности для конечного мира, рассмотренное выше). С точки зрения внешнего гипотетического наблюдателя процессы внутри системы, описывающиеся в собственном времени этого наблюдателя, выглядят полностью обратимыми и соответственно могут быть описаны обратимыми уравнениями классической физики (уравнения Шредингера). Но опять же в рамках составной системы, образованной упомянутыми замкнутой системой и внешним наблюдателем (теперь уже не являющимся таковым), будет иметь место необратимость. Этот процесс мысленного расширения границ мира можно продолжать неограниченно. Автономная физическая система с независящим от времени гамильтонианом могла бы служить хорошей моделью мира. Действительно, как показал Пол Бенев (Квантовомеханическая гамильтонова модель машины Тьюринга. Division of Impact Studies, Argonne National Laboratory, Argonne Illinois, 60439.), эволюция такой системы глобальна во времени.
Примечание: Состояние Y(t) является линейной суперпозицией всех состояний системы на траектории эволюции.
А это значит, что система Lживет¦ в своем собственном времени, но вне времени внешнего наблюдателя. Кроме того состояние не деградирует во времени, и соответственно система не рассеивает энергию до тех пор, пока над системой не произведено измерения.
Исследуя подобные системы с точки зрения их применимости как вычислительных устройств, Пол Бенев отмечает их полную непригодность вследствие сложности гамильтонианов, требующих для своего построения полного решения задачи, для решения которой он и конструируется. Тоже самое отмечает Р. Ландауэр (Необратимость и выделение тепла в процессе вычислений. IEEE fellow member of IBM Thomas J. Watson Research Center in Yorktown Heights, N.Y., USA ) в отношении полностью обратимых логических устройств. Легко понять, что именно такими признаками должны обладать максимально сложные объекты, каковым по-видимому и является наш мир. Привлекательность подобных моделей мира, однако, ни к чему не приводит. Действительно, недопустимо в основу модели брать объекты, которые мы предполагаем подвергнуть анализу. Прежде всего мы имеем в виду квантовомеханическую гамильтонову модель, в качестве первичного элемента которой выступают чистые квантовомеханические состояния, как мы покажем позже в действительности имеющие структуру.
Рассмотрим подробнее, что представляет собой измерение в модели конечного мира. В качестве примера рассмотрим 7-битный мир, в котором 3 бита занимает субъект, а оставшиеся 4 - остальная часть мира, которая по идее может рассматриваться как объект. При этом полное число состояний объекта равно 16, а субъекта 8, поэтому субъект, очевидно, никогда не может иметь полное знание о состоянии объекта, - в пределе он может различить лишь 8 состояний из 16.
Предположим, что в первый момент субъект различает только 2 состояния объекта из 16, то есть три бита из четырех, составляющие объект скрыты (рис.2). Затем производится измерение, в результате которого субъект обнаруживает одну из скрытых ранее степеней свободы и тем самым получает дополнительный бит информации об объекте. После чего он может различать уже 4 состояния объекта (рис.3). В физической интерпретации в процессе такого измерения, когда происходит необратимая фиксация знания, субъект рассеивает энергию kT (L.Brillouin, Scince and Information Theory, Academic Press Inc., New York, 1956). Отметим, что полная информация рассматриваемого модельного мира в нашем примере составляет 7 бит, а максимально достижимая субъективная энтропия к моменту Lтепловой смерти¦ 3 бита. Тепловой смертью здесь мы называем состояние Вселенной, когда субъектом достигнуто максимально возможное знание.
Наблюдатель может иметь дело только с функцией распределения по R-состояниям в нашей терминологии (по чистым квантовым состояниям). Так как объект может находиться только в смешанном состоянии. В чистом состоянии может находится только весь мир в целом. Чистые состояния, с которыми мы имеем дело на практике, являются достаточно чистыми, и приближенно могут описываться волновыми функциями. В действительности они смешанные, хотя бы потому, что существуют ограниченное время.
В главе посвященной обоснованию квантовой механики, будет показано, что чистое квантовое состояние по отношению к введенным выше фундаментальным A-состояниям является тем же, чем является матрица плотности по отношению к чистым квантовомеханическим состояниям.
Как известно из статистической физики энтропия системы в смешанном состоянии: S=rnnlogrnn; здесь rnn - матрица плотности (взвешенная сумма по чистым состояниям). В физическом мире так же должно быть справедливо равенство:
S+Sh =Sмира
Это выражение устраняет произвол в выборе аддитивной постоянной, с точностью до которой обычно определяется энтропия. Таким образом, изменение наблюдаемой энтропии определяется балансом потоков информации между наблюдаемыми и скрытыми степенями свободы. Баланс нарушается в процессе измерения.
Рассмотрим в качестве примера классический опыт по интерференции от двух отверстий в непрозрачной перегородке материального волнового поля. За перегородкой волновую функцию (ВФ) можно представить в виде суммы составляющих y=y1+y2; Если непосредственно за перегородкой установлены детекторы D1 ,D2, то в результате измерения сработает один из них. Если сработал детектор D1, то состояние y редуцирует до y1; Нужно иметь в виду, что ВФ или матрица плотности - это способ описания нашего знания системы. Совершенно очевидно, что новое знание, получаемое в процессе измерения, изменяет и ВФ. Ясно, что после измерения система может быть описана в базисе меньшей размерности. Проведя измерения мы физически лишаем систему части информации. В этом примере в момент осознания результата измерения имеет место поток информации в 1 бит, направленный от системы к наблюдателю. Новое R-состояние, возникшее после измерения, очевидно, некогерентно. Субъективная энтропия при этом увеличивается на 1 бит, а скрытая уменьшается на ту же величину.
3.7 Выводы
1. Энтропия замкнутой изолированной системы выражающая степень знания о ней некоторого внешнего гипотетического (если речь идет о мире в целом) наблюдателя, не зависит от времени. Это свойство очевидно для алгоритмической модели, ибо заложено в ее основе, а для физической системы выражается в виде теоремы Лиувилля. По величине эта энтропия равна логарифму числа состояний системы.
2. Для наблюдателя являющегося частью системы, физический смысл имеет только введенная выше субъективная энтропия. Познавательная активность наблюдателя всегда приводит к росту этой величины, а так как субъективная или наблюдаемая энтропия соответствует энтропии статистической физики, то тем самым обосновывается второй принцип термодинамики.
Глава 4. Проблема времени
В настоящем исследовании мы не ставим цель препарировать трансценденцию времени, по всей вероятности недифференцируемую сущность. Мы преследуем более скромную цель: изучить свойства алгоритмического времени [Понятие из метрической теории алгоритмов, обозначающее номер шага в итерационном процессе] применительно к конечным моделям мира в надежде, что, проводя далее аналогию с реальным физическим миром, нам удастся ближе подойти к пониманию этой сложной проблемы. Первая серьезная попытка научного изучения феномена времени была предпринята более 2000 лет назад Аристотелем. Сознавая тесную связь понятия времени с движением, он писал "Время не есть движение, но и не cуществует без движения, это ясно" и далее "...когда же есть прежде и после, тогда мы говорим о времени, ибо время есть не что иное как число движения". Далее Аристотель касается сложнейшей проблемы континуальности времени "Время, по всей видимости, не слагается из "теперь"" и дальше ""Теперь" одновременно друг с другом не будут, ведь прежнее "теперь" всегда должно уничтожаться. Исчезнуть в себе самом ему нельзя, потому что тогда оно есть; исчезнуть "теперь" в другом "теперь" немыслимо. Ведь следует допустить невозможность следования "теперь" друг за другом как точки за точкой". Современное понимание континуума, восходящее к работам Б.Рассела и Г.Вейля, не добавило к существующему пониманию что-либо новое, но лишь формализовало эти знания. Г.Вейль в своем фундаментальном труде "Континуум" пишет: "Представление о потоке как состоящем из отдельных точек и поэтому распадающемся на отдельные точки оказывается ошибочным [Это следует из несчетности множества действительных чисел]. От нас ускользает как раз то, что составляет непрерывность, переливание от точки к точке, то, как постоянно длящееся "теперь" постоянно уносится от нас - и мимо нас -уходя в бездну прошлого" Казалось бы понятия "до", "после", "теперь", будучи даны нам в непосредственном восприятии и представляющие собой элементарные сущности не могут быть конструктами физической теории, но лишь ее элементами. Однако эти элементы могут быть предметом математического исследования. Такой подход все чаще применяется в физике в виде так называемой "геометризации", когда физические объекты пытаются свести к геометрическим. Эта идея уходит корнями в глубокую древность, но в новое время ее высказал Клиффорд в статье "О пространственной теории материи" (1870г). В настоящее время природу описывают смешанным образом: частично геометрически, а частично с помощью сущностей, чуждых геометрии (Misner C., Wheeler J., Ann. of Phys., 2,N:6,525, 1957). На наш взгляд последовательному претворению подхода, который можно сформулировать в виде тезиса: "ФИЗИКА ЕСТЬ МАТЕМАТИКА", мешает прежде всего выделенность времени в пространственно-временном континууме, ибо в математике нет понятия времени. И ни какая самая экзотическая теория, оставляющая не тронутыми классические представления о времени, не сможет решить проблему.
Следует заметить, что континуальность не есть обязательное, присущее времени, свойство, но лишь добавочное, искусственно приписываемое. Кроме того гипотеза континуальности физического времени, основанная лишь на наших ощущениях, не может быть доказана. Далее будет показано, что время, построенное на конечном множестве элементов, имеет все признаки физического времени.
4.1 Алгоритмы и время
Понятие алгоритма столь же фундаментально, как и понятие времени. Оба эти понятия не могут быть выражены через другие или друг через друга. Любые определения алгоритма, например, как детерминированного процесса (с использованием других элементарных понятий, например "до, после") переработки одних объектов в другие, должны рассматриваться, не более как пояснения. Интуитивно мы представляем, что состояния алгоритма возникают последовательно во времени. В действительности понятие алгоритма не предполагает этого. Множество, генерируемое алгоритмом - это множество состояний, связанных определенными соотношениями соответствия. Например, состояние 1 связано с состоянием 2, а состояние 2 связано с состоянием 3 и т.д. Конечно номер состояния можно назвать временем, но ясно, что это время, которое называют алгоритмическим, никак не соответствует тому представлению о времени, которое ощущается нами, как длительность в каузальной структуре бытия. И.Кант первым понял, что время не есть что-то, присущее физическому миру, но возникает в основе нашего сознания. Конечно, Кант прав только в той мере в какой наше сознание принадлежит физическому миру. Так или иначе Мир представляется нам погруженным во время. Мы ощущаем настоящее, постепенно забываем прошлое и не знаем будущее. Кроме того мир, в котором Я (субъект) живу, который исследую и моделирую, с неизбежностью субъективен. Но эта субъективность, да простит нас читатель за каламбур, вполне объективна, ибо мне как части этого мира, по вполне объективным причинам он представляется именно таким, а не другим. Время- субъективное понятие, но не в смысле психологизма, а в смысле того, что оно зарождается в субъект объектном взаимодействии.
Следующая глава будет посвящена рассмотрению физического времени со свойственной ему асимметрией. В ней на основе строгого анализа мы исследуем это сложное конструктивное понятие. А теперь приведем некоторые рассуждения, призванные подготовить читателя к правильному восприятию материала.
Мир представляется нам ансамблем причинно связанных R-состояний, каждое из которых расщепляется на неразличимые для нас A-состояния, генерируемые Алгоритмом. Хорошим примером, иллюстрирующим R-состояние, является группа чисел с одинаковыми старшими частями. Можно сказать, что это R-состояние вырождено по младшим частям этих чисел. Однако это различие в младших частях недоступно субъекту вследствие его ограниченных возможностей в точности измерения. Переходы между A-состояниями внутри R-состояния недоступны нам по указанным выше причинам. Именно вследствие принципиальной недоступности эти переходы следует считать обратимыми или вневременными. Необратимость, а с ней и субъективное представление о времени возникают на уровне R-состояний, то есть на минимально различимом структурном уровне. Переходы между A-состояниями сознание не фиксирует, однако переход в другое R-состояние мы отмечаем, воспринимая как некое событие, отличающее прошлый момент от настоящего. Итак, понятие времени субъективно, то есть оно определяется по отношению к наблюдателю и его способности различать изменения в субъектном мире.
"Время есть абстракция, к которой мы приходим, наблюдая изменение вещей", - пишет Э.Мах. Ту же мысль высказывает Аристотель: "Время не существует без изменения. Ибо когда у нас самих мысли не изменяются или мы не замечаем изменения, нам не будет казаться, что протекло время, так же как тем баснословным людям, которые спят в Сардинии рядом с героями, когда они пробудятся они ведь соединят прежнее "теперь" с последующим и сделают его единым, устраняя вследствие бесчувствия промежуточное время". Аналогично и мы готовы сделать вывод, что ощущение времени субъектом возникает вследствие сравнения им ряда состояний Мира, отраженных в памяти. Однако, это рассуждение несет в себе более глубокий смысл. Возможно, следует говорить не об ощущении, а о реальном времени субъекта?
4.2 Память как модель.
Прошлое дается нам только через память. Памятью мы называем отражение в экзистирующем сознании части скрытых состояний. Понятие памяти в нашем контексте не следует ограничивать физиологическим запоминающим механизмом. Мы будем иметь в виду всю доступную память всего человечества, включая техногенную.
Рассмотрим пример. Предположим, у вас был карандаш, которого уже нет, так как он сломался, и вы его выбросили. Карандаш-в-мире - это вполне определенное состояние Мира. Воспоминание же о карандаше - это гораздо менее определенное состояние, так как уже в принципе невозможно восстановить полностью информацию, "выброшенную" вместе с карандашом. Таким образом, выброшенный карандаш предстает в памяти целым ансамблем возможных карандашей, то есть моделью. С точки зрения статистической механики энтропия Мира с потерей этой информации возросла. Вспомним теперь карандаш, который вы держали в руках. Тот факт, что вы его помните, вы интерпретируете, как то, что ранее вы его наблюдали.
В трансцедентальном акте сознания, завершающим процесс наблюдения (измерения), субъект (Вы) разделяет Мир на две части- осознанную и неосознанную. При этом часть информации теряется в скрытых степенях свободы и становиться для него не доступной. В сознании формируется модель данного мирового состояния. (см. раздел 1.3) Наши воспоминания, а также представление о ближайшем будущем в таком понимании, являются не чем иным, как результатом работы физиологического адаптивного механизма, интерпретирующего результат модельной экстраполяции. Будущее для сознающего наблюдателя (субъекта) так же, как и прошлое неоднозначно, так как в пределах доступной ему конечной точности, он в принципе не может иметь знание об истинных состояниях Мира. Неосознанная часть состояний не разделима на прошлое и будущее, - это тот материал, который сознанием превращается во временную форму. Так, неизвестные или недостоверные "факты" истории не могут быть осознаны, поэтому они делокализованы во времени подобно состоянию Шредингеровской кошки из одноименного парадокса, изобретенного основателем квантовой механики. Можно сказать, что время несколько более рыхло, чем представляется классической физикой.
Важно то, что понятие времени лишено смысла для Мира-вцелом. Действительно, каузальная структура времени существует только для субъекта и возникает вследствие расслоения состояний физического мира по состояниям мира-в-целом, скрытых от этого субъекта вследствие неполноты. Другими словами ВРЕМЯ СУЩЕСТВУЕТ ДЛЯ МЕНЯ И БЕССОДЕРЖАТЕЛЬНО ДЛЯ МИРА-В-ЦЕЛОМ.
Если какое-либо событие имело место в прошлом, но мы по каким-либо причинам не могли об этом знать (крайний случай пространственно-подобный интервал), то это для нас должно означать, что событие вообще не отделено от нас субъективным временем, и настоящее связано с прошлым более тесно, чем в смысле классической причинности.
Рассмотрим мысленно пример ситуации, которая, казалось бы противоречит нашему временному субъективизму. Пусть, мы наблюдаем в телескоп планету, удаленную от нас на 5 световых лет. Мы делаем естественный вывод, что то, что мы видим на поверхности планеты имело место соответственно 5 лет назад, и то, что мы видим никак не может быть возмущено нашим наблюдением. В этом смысле наблюдаемым событиям, мы должны приписать статус объективных. Однако, даже с точки зрения квантовой механики в общем случае этого делать нельзя. Действительно, до тех пор, пока мы не стали наблюдать, мы находились в суперпонированном состоянии с этой планетой; поэтому любые наши действия до того как мы посмотрели в телескоп с неизбежностью изменяют увиденную нами впоследствии картину. Более того, наше поведение в данный момент влияет не только на то, что происходит на гипотетической планете сейчас, но и на то, что происходило там в прошлом.
Примечание: В настоящее время нет никаких оснований полагать, что выводы КМ не могут быть распространены на макроскопичекие объекты. В то же время необходимо помнить, что граница между объектом и субъектом находится в пределах сознания субъекта. Получение какого-либо дополнительного знания об объекте он интерпретирует как процесс редукции, не описываемый КМ. Внешний наблюдатель, рассматривающий субъект-объект как единую систему, может применять для ее описания уравнение Шредингера, в рамках которого нет места процессу редукции.
Рассмотрим в качестве примера еще одну характерную для временного субъективизма ситуацию. Пусть индивид "А" узнает, что субъекты "В" и "С" попали в автокатастрофу, причем один из них выжил. Предположим, что только "А" знаком с "В" и "С". Кто из них остался жив, можно узнать, проведя опознание. Узнав о катастрофе, "А" обращается с молитвой к Богу, прося пощадить "В". Вопрос: Не лишено ли смысла его действо? Учитывая, что событие уже произошло и, казалось бы, ничто не может изменить его результат (конечно в предположении, что сам акт молитвы не лишен рационального смысла). Мы говорим, что нет ничего более незыблемого, чем закон причинности. Однако, как очевидно с нашей точки зрения, а так же, с некоторой натяжкой и с позиции квантовой механики оно не лишено смысла, ибо погибший обозначится только в момент опознания. До опознания система, вообще говоря, может находиться в суперпонированном состоянии и, следовательно, исход может зависеть от событий, происходящих до опознания.
Глава 5. Алгоритмический подход к проблеме обоснования квантовой механики
Ниже мы строим теорию скрытых параметров удовлетворяющую требованию нелокальности и естественным образом развивающую новое представление о времени.
Рассмотрим расслоение над базой некоторой динамической переменной по A-состояниям. Алгоритм, ответственный за динамику изменения этой переменной, перебирает A-состояния системы, затрачивая на каждое R-состояние время, пропорциональное числу A-состояний его осуществляющих. Любой Квантово-механический объект можно описывать циклическим алгоритмом с точками входа и выхода. Точка входа соответствует последнему измерению над объектом. Точка выхода- новому измерению. Между измерениями объект предоставлен самому себе и описывается одним R-состоянием.
Рассмотрим в качестве примера частицу в ящике. Если детектор установлен вблизи узла волновой функции (ВФ), то имеется некоторая вероятность y( x)y*(x) выхода из цикла с параметром "x". Если алгоритм не генерирует некое значение "x1" (узел ВФ), то вероятность выхода из цикла с этим параметром равна "0". Таким образом, КМ амплитуда данного состояния определяется числом A-состояний его осуществляющих. На рисунке 4 изображен квадрат модуля ВФ: Слой фаз, опирающийся на точку x2, содержит большее число A-состояний, чем слой, опирающийся на x1. Динамика A-состояний скрыта от нас, ибо осуществляется вне времени наблюдателя.
5.1 Субъективное и алгоритмическое время
Назовем текущим алгоритмическим временем номер A-состояния на соответствующем шаге алгоритмического процесса. Обозначим его tа. Наблюдатель (субъект) измеряет время, ориентируясь на последовательность замечаемых им изменений в окружающем мире. Так как минимальные замечаемые им изменения в объекте по определению суть переходы между R-состоянииями, то время субъекта (собственное время наблюдателя) следует определить как текущий номер R-сосостояния. Такое время мы будем называть субъективным и обозначать ts .
Рассмотрим некоторый объект, эволюционирующий во времени, и переходы между R-состояниями "a" и "b" этого объекта. Алгоритмическое время существования R-состояния "a" обозначим DtAa. Для наблюдателя R-состояние "a" существовало в течение промежутка Dtsa, после чего перешло в состояние "b". Величины DtAa и D tsa могут соотноситься по-разному. Так если система состоит только из наблюдателя и из рассматриваемого объекта, то DtAa >1, а Dtsa =1. R-состояние объекта как бы скрывает часть состояний системы в трансфинитном для наблюдателя временном интервале.
Обычно мы считаем, что прошло некоторое время вне зависимости от того, произошли ли какие-либо изменения в наблюдаемой системе, предполагая при этом, что всегда можно найти другие процессы, где изменения произошли, и используя которые можно измерить время (обычно для этого мы пользуемся часами). На самом деле такое представление ошибочно. Теория относительности немного поколебала представление об абсолютности времени, однако в данной системе отсчета оно осталось абсолютным. В действительности, у каждого процесса, у каждой вещи свое время. Под этим мы понимаем то, что только принципиально наблюдаемые процессы, охватываемые нашим сознанием, существуют в нашем времени. Все, что вне нашего сознания суть и вне нашего времени. Рассмотрим, например, процесс излучения и поглощения света. Выделим три стадии: излучение (1-стадия), распространение в пространстве (2-стадия) и поглощение (3-стадия). На диаграмме (x,t) этот процесс изобразится отрезком образующей светового конуса. К этому традиционному представлению следует относиться с большой осторожностью. Действительно, 2-стадия не дифференцируема и представляет собой одно R-состояние. Следовательно, эта стадия не имеет и временного протяжения, значимого для наблюдателя. То есть эта стадия хотя и длится некоторое физическое время, тем не менее мы не имеем право описывать динамику этой стадии используя доступную нам меру времени. Это равносильно возможности дальнодействия в этой области, что и наблюдается в квантовых корреляционных экспериментах.
5.2 Физическое время
Введенные нами выше понятия алгоритмического и субъективного времени не эквивалентны времени классической физики. Действительно, как легко заметить, если кванты алгоритмического времени слишком малы (изменение tA на единицу не приводит к наблюдаемым изменениям физичеких величин), то интервалы субъективного времени могут быть слишком велики. За время ts =1 проиcходит смена R-состояний и, следовательно, теория, в которой единственным времениподобным параметром было бы субъективное время, не могла бы описывать динамику физических состояний. Например, квантовая механика описывает динамку R-cостояний как изменение во времени волновой функции. Минимальный доступный, вследствие ограничений обусловленных физической неполнотой замкнутого мира интервал, назовем физическим квантом времени. Величина кванта физического времени (в алгоритмических единицах) лежит в интервале:
dtA<dtP <d tS
Понять механизм возникновения промежуточного интервала dtP, можно если учесть, что физик, как правило, исследует малые объекты, деля мир не на две части (Я и мир без меня), а на три (Я + исследуемый объект + остальная часть мира). Таким образом, единичный интервал субъективного времени, отмеряющего переходы между R-состояниями исследуемого объекта, может быть разделен на меньшие интервалы по своей природе тоже субъективного времени, но возникающего в системе: (Я + часть мира, не включающая исследуемый объект).
5.3 Мировая функция
Над полями с конечным числом элементов может быть построена математическая теория с достаточно богатой аксиоматикой для того чтобы попытаться "примерить" эту теорию в качестве модели нашего мира. Известно, в частности, что на этих полях могут быть определены операции умножения и деления обладающие теми же свойствами ассоциативности, дистрибутивности и коммутативности, что и на вещественном или комплексном полях. Более того, над этими полями могут быть построены не только афинная, но и неевклидовы геометрии тех же типов, что и над непрерывными полями (см. Приложение). Предположим, что элементы рассматриваемого конечного поля генерируются алгоритмом, так, что в каждый момент времени мир находится в одном из N состояний, вычисляемых Алгоритмом. Таким образом, состояния мира по определению ортогональны. Состояние мира может быть записано словом в любом доступном алфавите. Особый случай представляет двоичный алфавит {0,1}. Состояние мира в таком алфавите может быть записано словом длиной n=log2N. Рассмотрим n-мерное двоичное афинное пространство, построенное над плем Галуа GF(2n). Каждый вектор в таком пространстве однозначно выражается многочленом, являющимся остатком от деления(вычетом) многочленов высших степеней на некоторый простой двоичный многочлен n-ой степени. Итак, мы рассматриваем поле векторов в базовом пространстве . Здесь aikÌ{0,1}. Каждое направление в таком пространстве соответствует одному из фундаментальных мировых алгоритмических состояний. Субъект не способен различать эти состояния в силу неполноты. Пронумеруем эти состояния и назовем соответствующий параметр ta - алгоритмическим временем. Однако, субъект может различать группы этих состояний или "пучки" векторов, образующие физические состояния. Пронумеруем эти пучки - физические состояния и соответствующий параметр назовем физическим временем tp.
Мировая функция - это функция вычисяемая алгоритмом. Она определяет состояние мира в момент ta. Представим ее в виде разложения в базисе fi(ta)=Z(i)d(i-ta)
(5.1)
Это функция двух параметров - физического X и нефизического ta. Коэффициент k(i,x) равен единице, если алгоритмическое состояние i принадлежит к физическому состоянию X. В противном случае он равен нулю. Его можно записать как d(X-s(i)), где s(i)- функция принадлежности к состоянию X. Она принимает значения физического параметра X, если iÌ{X}. Через {X} будем обозначать множество фундаментальных состояний образующих физическое состояние X.
Обратим внимание, что (5.1) не есть разложение функции в естественном базисе (по d функциям). Мы рассматриваем разложение по функциям fi(ta)=Z(i)d(i-ta) с коэффициентами k(i,x). Для функции, описывающей мир в целом все коэффициенты ki должны быть равны 1. Сумма берется по всем N- состояниям мира.
Каждый элемент Z поля всегда имеет обратный элемент Z-1, так, что ZZ-1=1. Назовем функцию F*(x,tа) сопряженной если
(5.2)
Где Nx -степень вырождения физического состояния X по фундаментальным состояниям. Сопряженные функции строятся над сопряженным полем обратных элементов Z-1(i).
Функции F(x,tа) сами образуют некоторое функциональное пространство, которое как будет ясно из дальнейшего изоморфно Гильбертову пространству квантовомеханических состояний. В этом пространстве можно выделить базовые направления, соответствующие определенным значениям физического параметра X. Очевидно,
(5.3)
Это означает ортогональность базовых значений. Физические состояния ортогональны, если они не имеют общих фундаментальных состояний. Если все коэффициенты ki в разложении мировой функции (5.1) равны 1, то эта функция описывает мир в целом. Если же часть коэффициентов ki равна 0, то Функция F описывает фрагмент физического мира - какое-либо явление или состояние. Если объект образован Nx-фундаментальными состояниями, то норма функции F, описывающей этот объект будет равна . Квадрат нормы мировой функции равен числу состояний системы или степени вырождения рассматриваемого R-состояния, которое равно числу алгоритмических состояний Nx реализующихся за субвременной интервал dtP. Запишем скалярное произведение (5.2) воспользовавшись обозначениями Дирака <F½F*>=N. При соответствующей нормировке, получим вероятность состояния ½F>. Таким образом, первый постулат квантовой механики, согласно которому квадрат модуля функции состояния определяет вероятность обнаружения физической величины, соответствующей этому состоянию, находит здесь рациональное обоснование.
Функция F(x,tа) может быть разложена по d - функциям:
(5.4)
Где F(xi,tа) - нормы базовых векторов d(x-xi) в собственном представлении оператора наблюдаемой X.
Как уже говорилось в главе 1 пункт 1, локальные алгоритмические операторы Âi образуют циклическую группу N-го порядка, где N- число состояний рассматриваемого объекта. Â0=1 - единица группы. Очевидно, ÂN+1=1. Кроме того, Âi и ÂN-i сопряженные или обратные операторы ÂiÂN-i=1. Так как функция F принимает значения на поле Z, действие операторов Â на физическое состояние Xi, описываемое функцией F(Xi,ta) будет сводится к переходу в другое состояние, описываемое функцией F(Xj,ta). "Механизмом" такого действия оператора является умножение на элемент поля Z. Мы можем записать очевидное соотношение:
(5.4)
Так как X тоже является элементом поля Z, то отсюда следует, что X является оператором. Здесь при вычислении скалярного произведения суммирование идет по x,ta. В случае, когда система находится в базовом состоянии, то есть F(Xi,ta)= d(x-xi), из выражения (5.4)следует, что ÂF(Xi,ta)= xF(Xi,ta). Тоесть действие оператора на базовое состояние сводится к его умножению на измеряемый параметр. Это вторая основная аксиома квантовой механики. В контексте изложенного, статус соотношений (5.2) и (5.4) как акиом несколько пошатнулся, ибо рассмотрев структуру квантового состояния (5.1) у нас появилась возможность обоснования этих соотношений.
Функция Ф, как видно, обладает всеми свойствами квантово-механической амплитуды. В квантовой механике, обычно не ставится вопрос почему для адекватного описания природы нам необходимо использовать комплексные функции или почему квадрат нормы этих функций дает вероятность состояний, описываемых этими функциями. Теория, как раз, и построена на этих постулатах. Наше рассмотрение, возможно, поможет углубить понимание смысла этих постулатов.
В обычной теории алгоритмическое время и структура квантово-механической амплитуды остаются вне поля нашего зрения. Рассмотрим следующий пример. Пусть нам нужно найти вероятность "выпадения" координаты X=X1. Для этого вычислим квадрат нормы функции 5.1. Для данного X=X1 функция S(i) задаст те значения i по которым следует суммировать. Пусть, например эти значения равны i=1,2. То есть физическое состояние, выражающиеся предикатом "иметь координату X1" состоит из двух фундаментальных состояний. Суммируя по ta получим:
∑F(X,ta)F*(X,ta)=∑[Z(1)d(1-ta)+Z(2)d(2-ta)][Z-1(1)d(1-ta)+Z-1(2)d(2-ta)]=2
Что и следовало ожидать ибо число фундаментальных состояний, осуществляющих физическое состояние с координатой X1 по условию задачи равно 2. Далее функцию физического состояния, как это обычно принято, будем обозначать символом Y. На рис.5 приведен фрагмент N-мерного пространства A-состояний, а так же показан вектор физического или R-состояния Y(X1), образованный A-состояниями 1,2, и являющийся проекцией вектора мирового состояния F на некоторое направление в пространстве фундаментальных состояний, отличное от базисных направлений. Подпространство с базисом, образованным функциями 5.1 изоморфно Гильбертову пространству квантовой механики. Этим осуществляется переход от полного алгоритмического описания к неполному квантовомеханическому. Отказ от рассмотрения алгоритмической динамики и переход от базиса фундаментальных мировых состояний к более "грубому" гильбертову базису - конечно не наша прихоть, а как уже не раз говорилось, результат нашей "подслеповатости", обусловленной физической неполнотой.
5.4 Спектр мировой функции
Мировая функция F(x,tа) строго периодична с периодом Tмира. Учитывая естественную ограниченность спектра функции F(x,tа) сверху значением wmax=2p(1/2)N/Tмира, согласно теореме Котельникова, ее можно однозначно выразить рядом Фурье со спектром:
(5.5)
yn(x)- описывает состояние физической системы в энергетическом представлении. Снизу спектр этой функции ограничен значением фундаментальной частоты w0=2p/Tмира. Так как субъект не способен различать столь низкие частоты, для него w0=0 и спектр, соответственно, непрерывен. Поэтому, при переходе от алгоритмического мира к физическому мы должны заменить дискретные функции непрерывными дифференцируемыми нужное число раз функциями. Переходя к непрерывному "приближению", мы можем воспользоваться базисом непрерывных комплексных функций. И таким образом, перейдем к квантово-механическому описанию. Конечно о приближении можно говорить только в том случае, если принципиально достижима и большая точность описания. здесь же достижимая точность ограничена принципиально. Именно, поэтому, слово "приближение" мы заключили в кавычки.
Глобальный мировой алгоритмический процесс слагается из других циклических алгоритмических процессов, образующих целую иерархию временных масштабов. Человека с его бытовой временной шкалой можно условно поместить где-то в среднюю часть шкалы:
dtp < Tатом < Tчеловек < Tкосмос < Tмира
Процессы периодические в одном масштабе времени могут казаться непериодическими в меньшем масштабе. С точки зрения гипотетического наблюдателя, способного прочитать спектр мировой функции полностью, непериодических процессов в природе нет. С точки же зрения субъекта все процессы в мире - апериодичны и энергетические спектры этих процессов всегда имеют ширину отличную от нуля. Апериодичность процессов, занимающих промежуточное место в иерархии временных масштабов обусловлена влиянием на них более медленных процессов. И в конечном счете самого медленного процесса с периодом Tмира. Действительно, мы никогда не видели истинно периодический процесс. Ведь о периодичности можно было бы говорить если этот процесс не прерывался и не возмущался за время существования Вселенной. Периодичность сигнала на некотором масштабе времени означает лишь то, что ширина его спектра меньше минимально измеримой величины.
Из (5.5) следует соотношение неопределенности, связывающее время с энергией. DEDt~h, где E=nw0h; w0=2p/Tмира. Шкала энергии 2ph/Tмира<E<N2ph/Tмира. Аналогично (5.5) можно получить функцию состояния в представлении любой наблюдаемой. Запишем функцию состояния в импульсном представлении:
(5.6)
Здесь Lмира - линейные размеры Вселенной. Шкала импульса: h/Lмира<p<Nh/Lмира. Из (5.6) так же следует соотношение неопределенности для другой пары некоммутирующих величин - импульса и координаты. DpDx~h.
5.5 Переход к физическому времени
Утверждение, что мировая функция, введенная нами выше изоморфна волновой функции квантовой механики может вызвать некоторое недоумение. Действительно, волновая функция - это комплексная функция физического времени, тогда как мировая функция зависит от некоторого нефизического параметра ta и не является комплексной функцией. Кроме того, она определена на конечном поле. Но мы и не утверждали эквивалентность этих двух описаний. Мы говорили только о подобии или изоморфизме этих моделей. Теорема Котельникова в совокупности с рядом соображений использующих свойства конечных полей, позволяет легко "нащупать" соответствие. Переход к непрерывным функциям мы уже обсуждали выше. Здесь же рассмотрим возможность перехода к физическому времени. Прежде всего, заметим, что суммирование в выражениях (5.2), (5.3), (5.4) по алгоритмическому времени ta за достаточно большой промежуток времени, равный кванту физического времени dtP эквивалентно суммированию по физическому времени tP. Это связано с особенностью конечного поля, приводящей к тому, что фундаментальные состояния, получаемые последовательным применение любого оператора накрывают все поле состояний точно так же, как если бы мы последовательно перебирали эти состояния. Тоже самое имеет место при делении чисел по модулю некоторого простого числа.
Построим простейшую мировую функцию некоторого R-состояния. Возвращаясь к пункту 4.1, заметим, что каждое R-состояние N- битного мира вырождено по скрытым A-состояниям. Причем, множество этих A-состояний, составляющих рассматриваемое R-состояние циклически повторяется с некоторым периодом T, определяющим характерный масштаб времени этого процесса. ; T - здесь выражено в единицах алгоритмического времени. Учитывая большие значения N, перейдем к непрерывному приближению, заменив алгоритмический оператор непрерывной функцией. Простейшей операцией, обладающей таким свойством, является операция сдвига фазы
(5.7)
где w0=2p/T. ta - алгоритмическое время, выраженное в единицах физического времени. Например, с покоящейся частицей массы m квантовая теория связывает некий колебательный процесс с частотой m0c2/h. Физический смысл этого процесса остается вне сферы полномочий этой теории. Возможно, это и есть процесс смены алгоритмических состояний и его частоту следует отождествить с w0 в формуле 5.7.
Динамика R-состояния, обусловленная набегом фазы в быстром алгоритмическом процессе обусловливает медленный процесс смены уже физических состояний:
(5.8)
(Значения функции ψ(tp)здесь нормированы на 1.) Ситуация сходна с возникновением эффекта муара - невидимая тонкая структура становится наблюдаемой в результате наложения и интерференции. Такое описание при потере информации о конкретных алгоритмических состояниях, тем не менее сохраняет информацию о фазовых соотношениях. Итак, мировая функция R-состояния в момент времени tp может быть записана следующим образом:
(5.9)
Первая экспонента описывает динамику A-состояний внутри физического R-состояния. Второй сомножитель изоморфен квантовомеханической амплитуде и определяет динамику R-состояния в физическом времени.
В частном случае функция 5.9 может иметь специальный вид. Так в функцию R-состояния, которое зависит от координат, войдут дополнительные фазовые множители. В общем случае такая функция будет иметь вид:
(5.10)
здесь Y - обычная волновая функция. Функция 5.10 является решением пятимерного волнового уравнения:
5.11
Обратим внимание, что у нас дополнительное измерение вводится не ad hoc как, например, у Калуцы, или в более поздних теоретических построениях, но возникает совершенно естественным образом вследствие специфической структуры времени, являющейся проявлением субъективной неполноты физической реальности.
Наложение условия цилиндричности [Независимость величин физических полей по дополнительной координате. Смотрите, например П.Г.Бергман "Введение в теорию относительности", изд.ИЛ. Москва 1947г.стр.361.]
5.12
Приводит к уравнению Клейна- Гордона для скалярных мезонов. Этот факт был обнаружен О.Клейном и В.А.Фоком [Klein O. Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie // Zeits. f. Physic, 1926.] как развитие пятимерной теории Т.Калуцы, объединяющей электромагнетизм и гравитацию. Однако, ни условие цилиндричности Т.Калуцы, ни топологически замкнутое по пятой координате пространство (условие микроскопической периодичности), введенное Эйнштейном и Бергманом, не нашли дотаточно ясного физического обоснования. Попытку найти физическую интерпретацию идеи многомерия делал Ю.Б.Румер [Румер Ю.Б. Исследования по 5-оптике. М.:ГИТТЛ, 1956]. Он приписал 5-ой координате смысл действия. Метрика его пространства конфигурационная, то есть определяется системой субъект-объект. Он пытался связать идею микроскопической периодичности Эйнштейна-Бергмана с закономерностями квантовой механики. Такое понимание близко нашему, однако физический смысл такого пространства и рассматриваемых в нем полей остается неясен.
Алгоритмическая модель проливает свет на обоснование многомерного подхода. Условие цилиндричности в ней возникает совершенно естественным образом и связывается с отсутствием apriori изменения физических величин на субвременных интервалах.
Принимая во внимание, что все алгоритмы, описывающие процессы внутри промежутка субъективного времени (между измерениями), цикличны, пространства, генерируемые такими алгоритмами, представляют собой конечные замкнутые многообразия (см. приложение). Переход к неполному описанию, единственно доступному физическому наблюдателю, формально является переходом от двоичного n- мерного пространства состояний к пространству большего порядка, но меньшей размерности над полем GF(Pm), где P>2, а m<N. При этом часть состояний вырождается в то, что мы называем чистыми квантовыми состояниями, оставляя на сцене физической реальности (реальности доступной наблюдателю)структуру, которую называют гильбертовым пространством квантовой механики.
С высоты разрабатываемой модели открывается панорама физического мира, которую можно описать иерархией пространств. Алгоритмическая модель, в основе которой лежит фундаментальное двоичное пространство, стоит на вершине всей структуры мира. Каждое направление в таком пространстве соответствует определенному состоянию Мира. Переход к неполному описанию приводит к пространству меньшей размерности, в котором каждому направлению соответствует целый ряд состояний, неразличимых для наблюдателя. Это и есть пространство состояний КМ. Переход к классическому описанию осуществляется при группировке квантовых состояний, что приводит к пространствам еще меньшей размерности.
5.6 Пространственно подобные корреляции и несепарабельность
Уже более 60 лет физики с неубывающим интересом обсуждают вопрос квантовых корреляций- одну из самых интригующих тем современной физики. Мы не будем здесь детально обсуждать этот вопрос, имея в виду огромное количество литературы, посвященной этому предмету. Приведем только краткую историю вопроса в тезисах, начало которой положила знаменитая статья [Einstein A., Podolsky B., Rosen N.- Phys. Rev. , 1935, v.47, p.7] Эйнштейна, Подольского и Розена (в дальнейшем укоренилась абревиатура ЭПР), написанная ими в 1935 г.:
1.В статье ЭПР утверждают, что квантовая механика не является полной теорией, то есть часть элементов физической реальности не находит отражение в теории. Однако, в последствии авторы признают, что их выводы сделаны на ошибочных посылках. Однако, Эйнштейн не может смириться с положением вещей (нелокальность предсказаний квантовой теории), "мой физический инстинкт восстает против этого",- пишет он в письме Максу Борну.
2.Работа ЭПР сыграла роль спускового крючка, - для многочисленных попыток "восполнить" неполноту квантовой теории. Делаются попытки создания теории скрытых параметров. Идея заключалась в создании некой "микроскопической" теории, которая бы относилась к квантовой механике так же, как кинетическая теория Больцмана относится к термодинамике.
3.В 1964г. Беллом формулируются неравенства, устанавливающие границы значений коэффициента корреляции для локальных теорий [Bell J.S. - Physics, 1964, v.1, p.195].
4.В 80-х годах Аспектом проводятся эксперименты, показавшие более сильную корреляцию, чем та, которую могла бы объяснить теория скрытых параметров. Этим было покончено с локальными теориями скрытых переменных и доказано существование пространственноподобных взаимодействий.
Можно было бы подумать, что во всей этой истории Бор оказался на высоте, утверждая, что квантовую систему можно рассматривать как едино целое, а ставить вопросы о процессах внутри системы бессмысленно. Эти процессы непознаваемы. Здравый смысл по Бору относителен. При другом здравом смысле получаются и другие представления о физической реальности. Конечно, Бор прав и вполне возможно, что такому элементу физической реальности как квантовая корреляция ничего более глубокого, чем многочастичная волновая функция не соответствует и тогда физика на этом кончается. Но сколько раз мы ошибались, думая, что вот уже добрались до этой последней истины.
Здравый смысл Эйнштейна, утверждающий, что за каждым элементом реальности стоит нечто, нам более близок, ибо трудно поверить, что в случае квантовой механики у Бога не хватило фантазии, и он ограничился "Копенгагенской интерпретацией".
Несепарабельность нашей модели очевидна. Она основывается на принципиальной нерасчленимости мира на независимые части, вследствие единого алгоритмического описания, связывающего все части в единое целое.
Кто был в горах, наверное видел фуникулер. По проложенным на склоне горы рельсам ездят два трамвайчика, связанные тросом, перекинутым через блок, расположенный на вершине горы так, что когда один из трамвайчиков оказывается внизу, то другой непременно наверху.
Подойдя в случайный момент к станции, расположенной у подножия горы, вы можете с равной вероятностью застать там один из трамвайчиков, скажем различающихся по цвету- желтый или зеленый. Не зная расписания их движения, вы не сможете определить, какой именно трамвайчик окажется внизу в данный момент. Однако, увидев зеленый трамвайчик, вы безошибочно назовете цвет трамвайчика, находящегося в данный момент на верхней станции.
Этот пример демонстрирует корреляционную связь событий в процессе движения трамвайчиков, обусловленную самим механизмом устройства фуникулера. Описанный пример демонстрирует чисто классическую корреляционную связь. Именно такую связь могла бы объяснить теория скрытых параметров. Достаточно было бы только найти, что играет роль "троса", связывающего фотоны или электроны в единую систему.
Теперь представим себе, что к нам "прилетел" гость из другого мира, где совсем иные масштабы времени. Так, например, если на земле проходят сутки, то на часах нашего гостя стрелки сдвигаются всего на одно деление (например на 1 секунду по земному времени). Он, конечно, не может проследить за движением трамвайчиков, и тем более различить их цвета, ведь за его секунду (минимальное время, которое он различает) реально проходят целые сутки, и трамвайчики делают множество рейсов. Из уважения к представителю другой цивилизации, по его просьбе, фуникулер останавливают на несколько суток, - теперь он уже может различить цвет трамвайчика, случайно по его мнению оказавшегося на нижней станции, и даже, если успеет, может заскочить на подножку и ...
Однако, здесь мы расстанемся с нашим "неторопливым" другом, ибо это может завести нас слишком далеко от основной темы. Заметим только, что если наш уважаемый представитель "медлительных" миров был бы достаточно любознателен и поставил бы специальные эксперименты он заметил бы в движении трамвайчиков корреляцию совсем иного рода, а именно корреляцию, которую с его точки зрения нельзя объяснить никаким известным механизмом. Останавливая канатную дорогу, и проводя таким образом измерения, он каждый раз обнаруживал бы скоррелированность результатов измерений на верхней и на нижней станциях. Он, очевидно, как и мы, поддался бы искушению интерпретировать этот эффект, как мгновенное влияние результата измерения в одной точке на результат измерения в другой. Аналогично рассмотренному выше примеру может быть объясненена нелокальность, реально наблюдаемая в нашем мире. И обусловлена она будет не каким то хитроумным механизмом, например [Жан-Пьер Вижье Доклад о парадоксе Эйнштейна - Подольского - Розена. Сборник статей "Проблемы визики: Классика и современность", Москва, изд . "Мир" 1982г.], но самой структурой физического времени, где каждый нулевой интервал имеет определенную длительность, скрытую от наблюдателя.
Отметим, что мы не отказываемся от локальности как таковой, имеющей большую эвристическую силу и дающей возможность дифференциальной формулировки законов природы, но переносим ее на более глубокий уровень мироздания, где она обеспечивается локальным алгоритмическим процессом, сохраняющим глобальную причинность и детерминизм.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Успехи квантовой механики и созданных впоследствии калибровочных теорий и в то же время ряд неудачных попыток построения теории скрытых параметров отодвинули на второй план проблему обоснования КМ. В среде физиков укоренилось представление о первичности КМ (отсутствии оснований). Копенгагенская интерпретация лежит в русле такого понимания. Утверждается, что задача физики не искать смысл явлений, но описывать их связь. Мы не будем декларировать порочность такого подхода, тем более, что само понятие смысла (сути, истины) явления рекурсивно уводит за смысловой горизонт. Однако, ничто не утолит в нас, некогда вкусивших с древа познания, стремления двигаться в направлении трансценденции истины.
Этот труд следует рассматривать только как проект некоторой теории, призванной укрепить основы фундамента физического здания. Несмотря на то, что это всего лишь "набросок", нам все же удалось продемонстрировать, каким образом на основании нескольких принципов привлеченных a priori, среди которых важнейшими являются конечность и неполнота, могут быть с единых позиций обоснованы КМ, а также разрешен ряд вопросов статистической механики.
В заключение главные выводы, сделанные в работе, представим в виде тезисов:
1. Представление о конечности мира порождает понятие фундаментальной неполноты- ключевого понятия в нашем исследовании.
2. Выделены два больших класса алгоритмов: обратимые и необратимые. Предполагается, что структура и топология нашего мира определяются обратимым алгоритмом.
3. Каузальный характер физических процессов (физическое время) порождается неизбежной субъективной основой физической реальности.
4. Физическое время с необходимостью возникает в процессе познающе-моделирующей деятельности субъекта.
5. Понятие физического времени для мира в целом лишено смысла.
6. Истинная механика в конечном мире, будучи всегда субъективной, не может быть полной. Этим, вероятно, обосновывается неполнота квантовой механики. Перефразируя Эйнштейна, можно казать: "Да, Бог не играет в кости, но мы вынуждены это делать!".
7. Физика - это способ описания природы ее субъектом, поэтому такое описание всегда неполно и, как следствие, индетерми-нистично.
8. Мир-в-целом - это нефизический объект и должен исследоваться математическими абстрактными методами.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Геометрии на конечных полях.
Существует ровно одно поле, состоящее из q=Pn элементов, где P- простое, а n- натуральное. Оно называется полем Галуа в честь Эвариста Галуа и обозначается GF(q). Простейшим конечным полем является поле классов вычетов по модулю P Оно обозначается как Z/pZ или GF(p). Над этими полями могут быть построены конечные пространства. Объединяя элементы в группы по n штук, можно построить n-мерное афинное пространство AG(n,q) или (n-1)-мерное проективное PG(n-1,q). Афинное пространство содержит pn точек, а проективное
pn+pn-1+...+p+1;
p- называют порядком пространства. Так, если поле состоит из двух элементов {0,1}, то говорят о двоичных пространствах или о пространствах второго порядка, если из трех {-1,0,1}, то о пространствах 3-го порядка и.т.д. Каждая точка этих пространств взаимно однозначно отображается на поле GF(Pn). Это положение является конечным аналогом теоремы Кантора о взаимнооднозначном соответствии элементов пространства элементам действительного поля. При n>1 поле GF(Pn) можно представить как поле классов эквивалентности многочленов с коэффициентами из GF(P) Например:
GF(24)={iX3 +jX2 +kX1 +lX0} где i,j,k,lÌ GF(2)
Поле этих многочленов представляет собой циклическую группу 15-го порядка с порождающим элементом LX¦
Над этим полем могут быть построены 4-х мерное афинное или 3-х мерное проективные пространства. Первое содержит 24=16 точек, а второе 23+22+2+1=15 точек. В случае проективного пространства точкой является не отдельный многочлен, а класс эквивалентности многочленов по модулю равному одному из неприводимых многочленов 4-го порядка, например, x4+x+1. Геометрически точки проективного пространства PG(n-1,q) находятся во взаимнооднозначном соответствии с прямыми пространства AG(n,q), проходящими через начало координат.
2. Проективные преобразования.
Проективные преобразования в отличие от афинных связывают конечные области пространства с бесконечно удаленными. Аналитически они описываются дробно-линейными функциями. Проективное преобразование n-мерного пространства эквивалентно афинному преобразованию в некотором (n+1) мерном пространстве. Пространство PG(1,q) имеет всего одну бесконечно удаленную точку. Пространство PG(2,q) имеет бесконечно удаленную прямую (то есть несколько бесконечно удаленных точек, лежащих на этой прямой) и т.д. Точки, лежащие на этих многообразиях, называются точками схода.
3. Замкнутые конечные многообразия.
Конечные многообразия по определению замкнуты, так как строятся на основе полей классов эквивалентности упорядо-ченных элементов (например коэффициентов при степенях LХ¦ в многочленах). Так точка, в некотором конечном пространстве определяемая многочленом "a", должна быть отождествлена с точкой, определяемой многочленом "b", если a=b(mod c), где "c" некоторый неприводимый многочлен.
4. Топология физического пространства.
Как следует из нашей модели, размерность классического мирового многообразия должна быть увеличена на число скрытых вследствие неполноты степеней свободы. В простейшем случае в коорди-натном представлении следует рассмотреть пространство {x,t}, где t- слой квантовомеханических фаз, который определяется закрытым алгоритмом, действующим на интервале физического кванта времени; Х-пространственная координата, определяемая закрытым алгоритмом, определенным в свою очередь на интервале субъективного времени (в промежутке между измерениями). Пространство {x,t} должно быть замкнуто вследствие того, что оно определяется над полем элементов, порождаемых циклическими алго-ритмами. Как известно, замкнутое Эвклидово многообразие может быть однозначно и конформно отображено на тор. Локсодромы на этом торе проектируют точки физического (проективного) пространства. В отличие от открытого (незамкнутого) пространства прямая в {x,t} отображается в целое множество точек, представляющих собой класс вычетов по модулю Lmax (В случае свободной частицы Lmax размер Вселенной).
5. Физический смысл волновой функции.
Мировая функция (4.9) описывает не поле, а скрытые координаты алгоритмической точки в зависимости от алгоритмического времени, задаваемого парой {t,t}. Однако, для реального наблюдателя все моменты субвремени t одновременны, то есть происходят в один и тот же момент физического времени. Это значит, что для такого наблюдателя функция LФ¦ описывает не координаты алгоритмической точки, а поле алгоритмических траекторий в пространстве с дополнительным t- измерением. Это и есть материальное волновое поле КМ.
На рисунке 6 приводится развертка тора и расположение фронта поля алгоритмических траекторий в случае свободного одномерного движения:
Очевидно, что движение в субвременные интервалы нельзя складывать с макроскопическим движением, ибо последнее является его результатом. Поэтому неверно было бы наклонение фронта волнового поля траекторий интерпретировать как параллакс (tga=v/vf), где vf - скорость фронта волнового поля. Единственно верной интерпретацией является следующая: Макроскопическое движение возникает вследствие алгоритма с a>0. Тогда скорость должна определяться из sina=v/vf .
6. Одномерное движение свободной частицы.
В качестве примера рассмотрим свободное одномерное движение частицы. Согласно нашей модели, этот процесс описывается мировой функцией 4.9:
Она описывает скалярное поле скрытых координат. Вторая экспонента описывает медленные изменения, доступные измерению в физическом времени t. Первая экспонента описывает изменения, происходящие за неизмеримо (в прямом смысле) малые промежутки времени. Как мы уже обсуждали, следует считать эти изменения происходящими вне физического времени. Задача об одномерном движении частицы эквивалентна задаче о движении точки по геодезическим тороидальной поверхности с макроскопически замкнутой физической частью многообразия и микроскопически замкнутой t-координатой. В физических единицах длина кратчайшей геодезической равна h/m0c2.
7. Волновой пакет в алгоритмической модели.
Свободная частица является абстракцией. Реально любая частица, о которой что-то можно сказать, предварительно подвергалась "измерению". В КМ такая частица описывается волновым пакетом (суммой волн, образующей локализованный полевой объект). Рассмотрим процесс расплывания волнового пакета. Опишем этот процесс движением n точек по поверхности тора. Оставив временно в стороне скрытую t-координату, заметим, что, так как пространство замкнутое, а скорости точек, "обегающих" большой круг тора, различны, то они то группируются в некотором сечении перпендикулярном физической координате "X", то "разбегаются", чтобы через время 1/wp сгруппироваться в соседнем сечении. Заметим, что точки "обегают" вселенную-тор за конечное время, двигаясь со скоростями >>c. Здесь ничто не противоречит СТО, так как точки - это не физический объект. Физическим объектом является плотность точек в слое, определяющая вероятность выхода из алгоритма с параметрами (X,t). С точностью до фазового множителя, описывающего быстрые осцилляции:
где относительная плотность алгоритмических точек с частотой обегания wip (wip задает распределение энергии в пакете), ni- число точек с частотой "обегания" wip. Таким образом, волновые свойства материи навязываются самой топологией пространства.
+++