Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 4
Анализ статистической информации о надежности изделия. Законы распределения надежности
План лекции
4.1 Анализ информации о надежности изделия
При расчете и прогнозировании надежности изделий применяют модели отказов как математическое описание процесса формирования закона надежности. Опираясь на эти данные определяют необходимые показатели надежности.
Различают два вида модели отказов: статистические и физико-вероятностные. Различие их определяется в зависимости от информации, которая используется для получения закона распределения – закона надежности. Модель отказа должна с высокой достоверностью обеспечить получение закономерностей и числовых характеристик для описания закона надежности.
Наиболее распространенным видом моделей является статистическая модель, где используются статистические данные об отказах. Эти данные затем обрабатываются математическими методами, устанавливающими закономерности распределения случайных величин.
При решении задач надежности источниками статистической информации для получения эмпирической функции, оценивающей закон распределения сроков службы до отказа, служат или специально проводимые испытания, или наблюдения и обработка данных об отказах изделий в процессе эксплуатации.
Полученный в результате обработке статической информации закон распределения времени работы изделия (машины) до отказа, выраженной в дифференциальной форме в виде плотности вероятности или в интегральной форме в виде функции распределения , является полной характеристикой надежности оборудования. Она позволяет определить вероятность безотказной работы для любого заданного значения времени , математическое ожидание (средний срок службы или средняя наработка до отказа), интенсивность отказа.
Физико-вероятностная модель надежности – модель, описывающая процессы формирования закона надежности и деградации выходных параметров машины с учетом ее технического состояния, вероятностной природы явлений и законы мерностей процессов старения. Для использования этой модели необходима информация о степени повреждения основных деталей, о режиме работы машины в реальных условиях (влияния температуры особенно для деталей металлургических машин и окружающей среды) и по этим данным определять скорость потери изделием работоспособности.
4.2 Основные законы распределения
Для описания функций распределения случайных величин теория вероятностей дает широкий выбор законов, выраженных в аналитической форме, которые отражают особенности тех или иных случайных явлений и являются полной характеристикой данной случайной величины.
Для проверки соответствия экспериментальных данных высказанной гипотезе о теоретическом распределении в математической статистике разработаны специальные критерии согласия. При применении законов распределения для оценки надежности следует учитывать, что случайной величиной здесь является время работы изделия до отказа , которое может изменяться в пределах , т.е. принимать только положительные значения.
Рассмотрим основные числовые показатели и краткую характеристику каждого из них.
4.2.1 Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Нормальный закон или закон Гаусса является наиболее распространенным предельным законом среди других законов, так как к нему приближаются другие законы распределения.
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности
, ,
где - математическое ожидание ; - среднее квадратичное отклонение ().
Функция распределения определяется формулой
.
4.2.1.2 Логарифмически нормальный закон
При логарифмически нормальном законе распределения случайной величины Х логарифмы значений Х подчиняются нормальному закону. В этом случае в выражение функции нормального закона распределения вместо значений Х подставляют их логарифмы.
при .
Интегральная функция этого распределения
,
или
,
при употреблении центрированной величины.
Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормального закона распределения определяются соответственно выражениями:
,
.
Если значения случайной величины составлены на основе заранее проведенных контрольных наблюдений, то приемлем логарифмически нормальный закон распределения. Поэтому в теории надежности он применяется для описания: процесса восстановления элементов; при сгорании надежных элементов; износных явлений; процессов отказов, вследствие старения материалов и т.д.
4.3 Гамма – распределения
В математической статистике ограниченное с одной стороны случайные величины характеризуются гамма распределениями, являющимися основным распределением теории надежности.
Гамма-распределение применяется для описания следующих процессов: износных явлений; отказа, вследствие накопленных дефектов; резервированных систем; определения времени восстановления элементов.
Плотность функции распределения
(*)
если . и называются показателями распределения. – значение гамма функции.
На основании (*) определяют интегральную функцию распределения
Математическое ожидание и дисперсия функции определяются соответственно:
,
.
Показатели гамма-распределение принимают различные значения, показывающие широкое распространение этого распределения.
При интенсивность отказа элементов равномерно уменьшается, а при – интенсивность отказа увеличивается. При значении гамма-распределение соответствует экспоненциальному закону и при гамма-распределение соответствует нормальному закону. В случае, когда принимает значение любого положительного числа, тогда говорят такое распределение равносильно распределению Эрланга. При значении и оно кратно ½, тогда гамма-распределение соответствует - распределению. Целое число называется числом степеней свободы.
Гамма – процентный ресурс используется как показатель выносливости изделия.
Под гамма – процентным ресурсом понимает заданную вероятность в % безотказной работы изделия до предельного состояния.
Скажем = 90% соответствует 90% ресурсу. Подобно этому в зависимости от значения определяют ресурс изделия. Гамма процентный ресурс определяется следующим тождеством:
.
Для большинства машин транспортной техники этот показатель составляет 75-85%.
Для первой группы надежности (отказы, приводящие к опасности жизни людей или последствие приведут к значительным материальные и моральные затратам) согласно ГОСТу % ресурс назначается не менее 95%.
При = 50% гамма – процентный ресурс называется медианным ресурсом изделия.