тематики Дистанционное обучение В

Работа добавлена на сайт samzan.net:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ и УПРАВЛЕНИЯ

(образован в 1953 году)

Кафедра физики и высшей математики

Дистанционное

обучение

В.М. Гладской, П.И. Самойленко

ФИЗИКА (Часть 1).

Учебно – практическое пособие для студентов

www.msta.ru

Москва – 2004 4106

УДК 53

образования. – МГуту, 2004 г.

В работе изложены основные вопросы по физике. В пособии даны общие методические указания по работе над курсом физики, список литературы, рекомендуемой для изучения курса, рабочая программа дисциплины, учебные материалы по разделам курса, вопросы для самоконтроля, тесты к каждому разделу, примеры решения типовых задач.

Пособие предназначено для студентов I, II и III курса заочной (полной и сокращенной) формы обучения, специальностей: 0608, 2701, 2703 - 3713, 3511, 2102, 1706, 0702, 3117, 0135.

Авторы: Гладской Владимир Матвеевич, Самойленко Петр Иванович.

Рецензенты: Троян В.И. док. физ.-мат. наук, проф., - МИФИ

Рябов В.А. конд. физ.-мат. наук, доц.. - МГПУ

Редактор: Свешникова Н.И.

109004, Москва, Земляной вал, 73

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Организация самостоятельной работы студентов 4

Рабочая программа. 5

Глава 1. 12

Глава 2. 19

Глава 3. 29

Глава 4. 36

Вопросы для самопроверки 46

Тесты по дисциплине 46

Ответы к тестам 48

Литература 48

Организация самостоятельной работы студентов – заочников

При заочной форме обучения самостоятельная работа студентов с методическими и учебными материалами занимает значительное место в образовательном процессе.

Самостоятельная работа студентов – заочников в обязательном порядке включает в себя:

изучение физики по учебникам, учебным пособиям и другой рекомендуемой литературе;
выполнение контрольных работ, позволяющих студенту обобщить изученный учебный материал, систематизировать полученные знания;
выполнение курсовых проектов (работ).

Руководящими документами, используемыми при изучении каждой дисциплины, служат учебная программа и методические указания.

При изучении курса необходимо добиться полного и сознательного усвоения теоретических основ физики, научится применять теория к решению задач.

Приступая к изучению каждого нового раздела курса, прежде всего, следует ознакомится, с содержанием темы по программе и методическим указаниям, уясните объем темы и последовательность рассматриваем в ней вопросов.

При изучении физики рекомендуется просматривать весь материал темы, чтобы составить о нем первоначальное представление.

Приступая впервые к работе над учебником, необходимо предварительно ознакомится с ним. Оглавление книги укажет на её содержание, предисловие и введение дадут представлении книги, а беглый просмотр поможет узнать, какие в книге имеются таблицы, схемы, графики и другой иллюстративный материал.

При работе над книгой студенту необходимо выделять в тексте главное, разбираться в закономерностях, выводах формул. При чтении книги нужно внимательно рассматривать имеющихся в учебнике иллюстративный материал.

Закончив изучения темы, прежде чем переходить к следующей, следует ответить на вопросы и тесты, помещение по данной схеме в методических указаниях и предназначенные для самопроверки приобретенных знаний.

Изученные материалы учебника должно сопровождаться выполнением содержащих в нем (или методических указаниях) упражнений и решением задач, относящихся к рассматриваемой теме.

В начале каждого учебного года студента – заочник должен выяснять сколько контрольных работ по физики полагается выполнить. В случае каких – либо затруднений в самостоятельной работе студент всегда может обратится за консультацией к преподавателю в письменной форме или устно.

Рабочая программа по физике

Цели и задачи физики

Цель преподавания физики - изучение основных физических явлений и идей, овладение фундаментальными понятиями, законами и теориями современной и классической физики, методами физического исследования, формирование научного мировоззрения и современного физического мышления.

Задачи изучения физики:

Иметь представление:

- о Вселенной в целом как физическом объекте и её эволюции;

- о дискретности и непрерывности в природе;

- о соотношении порядка и беспорядка в природе, упорядоченности строения объектов, переходах в неупорядоченное состояние и наоборот;

о динамических и статистических закономерностях в физике;

об измерениях и их специфичности в физике;

- о фундаментальных физических константах;

- о принципах симметрии и законах сохранения;

- о состояниях в природе и их изменениях со временем;

об индивидуальном и коллективном поведении объектов в природе;

о времени в естествознании.

Знать - основные понятия, законы и модели механики, электричества и магнетизма, колебаний и волн, квантовой физики, статистической физики, и термодинамики, физики атома и ядра;

- методы теоретического и экспериментального исследования.

Уметь оценить численные порядки величин, характерных для различных разделов физики,

Приобрести навыки решения задач, проведения физического эксперимента физического моделирования прикладных задач будущей специальности.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

ВВЕДЕНИЕ

Предмет физики. Методы физического исследования: опыт, гипотеза, эксперимент, теория. Важнейшие этапы истории физики. Роль физики в развитии техники и влияние техники на развитие физики. Общая структура и задачи курса физики. Размерность физических величин. Основные единицы физических величин в СИ.

1. Физические основы механики.

Предмет механики. Кинематика и динамика. Классическая механика. Квантовая механика. Релятивистская механика.

1.1. Элементы кинематики.

Физические модели: материальная точка (частица), система материальных точек, абсолютно твёрдое тело, сплошная среда. Пространство и время. Кинематическое описание движения. Прямолинейное движение точки. Движение точки по окружности. Угловая скорость и угловое ускорение. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Степени свободы и обобщённые координаты. Число степеней свободы абсолютно твёрдого тела. Вектор угловой скорости. Кинематическое описание движения жидкости.

1.2. Динамика частиц.

Основная задача динамики. Понятие состояния в классической механике. Уравнения движения. Масса и импульс. Границы применимости классического способа описания движения частицы. Первый закон Ньютона как уравнение движения. Сила как производная импульса. Третий закон Ньютона, закон сохранения импульса. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. 1.3. Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса как фундаментальный закон природы. Реактивное движение. Центр инерции.

1.4. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Момент силы. Уравнение моментов. Движение в центральном поле.

1.5. Закон сохранения энергии.

Работа и кинетическая энергия. Мощность» Энергия движения тела как целого. Внутренняя энергия. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Законы сохранения и симметрия пространства и времени.

1.6. Принцип относительности в механике

Инерциальные системы отсчета и принцип относительности. Преобразование Галилея. Постулаты специальной теории относительности. Преобразование Лоренца. Следствия из преобразования Лоренца: сокращение движущихся масштабов длины, замедление движущихся часов, закон сложения скоростей.

1.7. Элементы релятивистской динамики.

Релятивистский импульс. Уравнение движения релятивистской частицы. Работа и энергия. Инвариантность уравнения движения относительно преобразования Лоренца. Законы сохранения энергии и импульса.

Твердое тело в механике.

Уравнения движения и равновесия твердого тела. Энергия движущегося тела. Момент инерции тела относительно оси. Вращательный момент.

1.9. Элементы механики сплошных сред.

Общие свойства жидкостей и газов. Уравнения равновесия и движения жидкости. Идеальная и вязкая жидкость. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли. Гидродинамика вязкой жидкости. Коэффициент вязкости. Течение по трубе. Формула Паузейля. Закон подобия. Формула Стокса. Турбулентность.

II. Статистическая физика и термодинамика

Динамические и статистические закономерности в физике. Статистический и термодинамический методы.

2.1. Макроскопические состояния.

Тепловое движение. Макроскопические параметры. Уравнение состояния. Внутренняя энергия. Интенсивные и экстенсивные параметры. Уравнение состояния идеального газа. Давление газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории. Молекулярно-кинетический смысл температуры.

2.2. Статистические распределения.

Вероятность и флюктуации. Распределение Максвелла. Распределение частиц по абсолютным значениям скорости. Средняя кинетическая энергия частиц, Скорости теплового движения частиц. Распределение Больцмана. Теплоемкость многоатомных газов. Недостаточность классической теории теплоемкостей. Определение энтропии неравновесной системы через статистический вес состояния. Принцип возрастания энтропии.

2.3. Основы термодинамики.

Обратимые и необратимые тепловые процессы. Первое начало термодинамики. Энтропия. Второе начало термодинамики. Цикл Карно. Максимальный КПД тепловой машины.

2.4. Явления переноса.

Понятие о физической кинетике. Время релаксации. Эффективное сечение рассеяния. Диффузия и теплопроводность. Коэффициент диффузии. Коэффициент теплопроводности. Температуропроводность. Время выравнивания. Диффузия в газах и твердых телах. Вязкость. Коэффициент вязкости газов и жидкостей. Динамическая и кинематическая вязкости.

2.5. Фазовые равновесия и фазовые превращения

Фазы и фазовые превращения. Условие равновесия фаз. Фазовые диаграммы. Уравнение Клайперона-Клаузиуса. Критическая точка. Метастабильные состояния. Тройная точка. Изотермы Ван-дер-Ваальса. Фазовые переходы второго рода.

Ш. Электричество и магнетизм

Предмет классической электродинамики. Идея близкодействия. Электрический заряд и напряженность электрического поля. Дискретность заряда.

3.1. Электростатика

Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Электрический диполь. Поток вектора. Электростатическая теорема Гаусса. Работа электростатического поля. Циркуляция электростатического поля. Потенциал. Связь потенциала с напряженностью электростатического поля. Проводник в электростатическом поле. Поверхностная плотность заряда. Граничные условия на границе "проводник-вакуум". Электростатическое поле в полости. Электростатическая емкость. Емкость конденсаторов. Электростатическая индукция. Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия системы заряженных проводников. Энергия конденсатора. Плотность энергии электростатического поля.

3.2. Постоянный электрический ток

Условие существования тока. Законы Ома и Джоуля - Ленца в дифференциальной форме. Сторонние силы. ЭДС гальванического элемента. Закон Ома для участка цепи с гальваническим элементом. Правила Кирхгофа. Электрический ток в сплошной среде.

3.3. Элементы физической электроники

Электрический ток в вакууме. Термоэлектронная эмиссия. Электрический ток в газе. Процессы ионизации и рекомбинации. Электропроводность слабо ионизированных газов. Понятие о плазме. Плазменная частота. Дебаевская длина. Электропроводность плазмы.

3.4. Магнитное поле

Сила Лоренца и сила Ампера. Вектор магнитной индукции. Основные уравнения магнитостатики в вакууме. Магнитное поле простейших систем. Движение заряженной частицы в электрическом и магнитном полях. Виток с током в магнитном поле. Энергия витка с током во внешнем магнитном поле. Рамка с током в однородном магнитном поле. Момент сил, действующий на рамку. Индуктивность длинного соленоида. Взаимная индукция. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции. Магнитное поле кругового тока. Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца. Магнитная энергия тока. Плотность магнитной энергии.

Статические поля в веществе

Плоский конденсатор с диэлектриком. Энергия диполя во внешнем электростатическом поле. Поляризационные заряды. Поляризованность. Неоднородная поляризованность. Электрическое смещение. Основные уравнения электростатики диэлектриков. Граничные условия на границе раздела "диэлектрик-диэлектрик" и "проводник-диэлектрик". Плотность энергии электростатического поля в диэлектрике. Длинный соленоид с магнетиком. Молекулярные токи. Намагниченность. Неоднородная намагниченность. Напряженность магнитного поля. Основные уравнения магнетостатики в веществе. Граничные условия.

3.6. Уравнения Максвелла

Фарадеевская и максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции. Ток смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Скорость распространения электромагнитных возмущений. Волновое уравнение. Плотность энергии. Плотность потока энергии.

3.7. Принцип относительности в электродинамике

Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразования Лоренца. Релятивистское преобразований полей, зарядов и токов. Относительность магнитных и электрических полей.

3.8. Квазистационарное электромагнитное поле

Условие малости токов смещения. Токи Фуко. Квазистационарные явления в линейных проводниках. Установление и исчезновение тока в цепи. Генератор переменного тока. Импенданс. Цепи переменного тока. Движение в магнитном поле

1V. Физика колебаний и волн

Понятие о колебательных процессах. Единый подход к колебаниям различной физической природы.

4.1. Кинематика гармонических колебаний

Амплитуда, циклическая частота, фаза гармонических колебаний. Сложение скалярных и векторных колебаний. Комплексная форма представления колебаний. Векторные диаграммы.

4.2. Гармонический осциллятор

Маятник, груз на пружине, колебательный контур. Свободные затухающие колебания. Коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность. Энергетические соотношения для осциллятора. Понятие о связанных осцилляторах. Действие периодических толчков на гармонический осциллятор. Резонанс. Осциллятор как спектральный прибор. Физический смысл спектрального разложения. Модулированные колебания. Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.

Амплитуда и фаза при вынужденных колебаниях. Резонансные кривые. Процесс установления колебаний. Время установления и его связь с добротностью. Вынужденные колебания в электрических цепях. Параметрические колебания осциллятора.

4.3. Волновые процессы

Волны. Плоская стационарная волна. Плоская синусоидная волна. Бегущие и стоячие волны. Фазовая скорость, длина волны, волновое число. Эффект Доплера. Скалярные и векторные волны. Поляризация. Интерференция синусоидальных волн. Распространение волн в средах с дисперсией. Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью. Нормальная и аномальная дисперсии. Одномерное волновое уравнение. Продольные волны в твердом теле. Вектор Умова. Упругие волны в газах и жидкостях. Плоские электромагнитные волны. Поляризация волн. Вектор Пойнтинга. Излучение диполя. Сферические и цилиндрические волны.

4.4. Интерференция

Интерференция монохроматических волн. Квазимонохроматические волны. Интерференция квазимонохроматических волн. Интерферометры. Временное и спектральное рассмотрение интерференционных явлений.

4.5. Дифракция волн

Принцип Гюйгенса-Френеля. Приближение Френеля. Дифракция Френеля. Приближение Фраунгофера. Простые задачи дифракции: дифракция на одной и на многих целях. Дифракционная решетка. Дифракция на круглом отверстии. Дифракция Фраунгофера и спектральное разложение. Принцип голографии.

4.6. Электромагнитные волны в веществе

Распространение света в веществе. Дисперсия диэлектрической проницаемости. Поглощение света. Прозрачные среды. Поляризация волн при отражении. Элементы кристаллооптики. Электрооптические и магнитооптические явления.

V. Квантовая физика

Противоречия классической физики. Проблемы излучения черного тела. Фотоэлектрический эффект, стабильность и размеры атома. Открытие постоянной Планка.

5.1. Экспериментальное обоснование основных идей квантовой теории

Обоснование идей квантования (дискретности): опыты Франка и Герца, опыты Штерна и Герлаха. Правило частот Бора. Линейчатые спектры атомов. Принцип соответствия.

5.2. Фотоны

Энергия и импульс световых квантов. Фотоэффект. Эффект Комптона. Образование и аннигиляция, электронно-позитронных пар. Элементарная квантовая теория излучения. Вынужденное и спонтанное излучения фотонов. Коэффициенты Эйнштейна. Тепловое равновесное излучение.

5.3. Корпускулярно-волновой дуализм

Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов. Дифракция нейтронов. Микрочастица в двухщелевом интерферометре. Соотношения неопределенностей. Оценка основного состояния атома водорода и энергии нулевых колебаний осциллятора. Объяснение туннельного эффекта и устойчивости атома. Волновые свойства микрочастиц и соотношения неопределенностей. Набора одновременно измеримых величин.

5.4. Квантовое состояние

Задание состояния микрочастиц; волновая функция; ее статистический смысл. Суперпозиция состояний в квантовой теории. Амплитуда вероятностей.

5.5. Уравнение Шредингера

Временное уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера. Стационарное состояние. Частица в одномерной прямоугольной яме. Прохождение частицы над и под барьером. Гармонический осциллятор.

5.6. Атом

Частица в сферически симметричном поле. Водородоподобные атомы. Энергетические уровни. Потенциалы возбуждения и ионизации. Спектры водородоподобных атомов. Пространственное распределение электрона в атоме водорода. Ширина уровней. Структура электронных уровней в сложных атомах. Типы связи электронов в атомах. Принцип Паули. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева.

5.7. Молекула

Молекула водорода. Обменное взаимодействие. Физическая природа химической связи. Ионная и ковалентная связи. Электронные термы двухатомной молекулы. Колебания и вращения двухатомной молекулы. Колебательная и вращательная структура термов. Колебания многоатомных молекул. Молекулярные спектры.

5.8. Атомное ядро

Строение атомных ядер. Феноменологические модели, ядра. Ядерные реакции. Механизмы ядерных реакций. Радиоактивные превращения атомных ядер. Реакция ядерного деления. Цепная реакция деления. Ядерный реактор. Проблема источников энергии. Термоядерные реакции. Энергия звезд. Управляемый термоядерный синтез.

5.9. Элементы квантовой электроники

Коэффициенты Эйнштейна для индуцированных переходов в двухуровневой системе. Принцип работы квантового генератора. Твердотельные и газоразрядные лазеры. Радиоспектроскопия. Первый лазер. Первый мазер.

5.10. Элементы квантовой статистики

Статистическое описание квантовой системы. Различие между квантово-механической и статистической вероятностями. Теорема Нернста и ее следствия. Симметрия волновой функции многих одинаковых частиц. Квантовые идеальные газы. Распределения Бозе и Ферми.

5.II. Конденсированное состояние

Строение кристаллов. Исследование кристаллических структур методами рентгено-, электроно-, нейтронографии. Точечные дефекты в кристаллах: вакансии, примеси внедрения, примеси замещения. Краевые и винтовые дислокации. Дислокация и пластичность.

Понятие о фононах. Теплоемкость кристаллов при низких и высоких температурах. Решеточная теплопроводность. Эффект Мессбауэра и его применение.

Электропроводность металлов. Носители тока в металлах. Недостаточность классической электронной теории. Электронный ферми- газ в металле, Электронная теплоемкость. Элементы зонной теории кристаллов. Зонная структура энергетического спектра электронов. Уровень Ферми. Поверхность Ферми. Число электронных состояний в зоне. Заполнение зон; металлы, диэлектрики, полупроводники. Понятие дырочной проводимости. Собственные и примесные полупроводники.

Явление сверхпроводимости. Сверхпроводники первого и второго рода. Высокотемпературная сверхпроводимость. Эффект Джозефсона и его применение.

Магнетики. Пара-, диа-, ферро- и антиферро магнетики. Доменная структура. техническая кривая намагничивания. Ферриты.

VI. Современная физическая картина мира

Вещество и поле. Атомно-молекулярное строение вещества. Атомное ядро. Кварки. Элементарные частицы: лептоны, адроны. Взаимопревращения частиц. Сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное взаимодействия. Иерархия взаимодействий. О единых теориях материи. Физическая картина мира как философская категория.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ . ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ

ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Введение

Предмет физики.

Окружающий нас мир материален. “Материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая отображается нашими ощущениями, существуя независимо от них” (В.И.Ленин, ПСС, том 18, с. 131). Неотъемлемым свойством материи и формой ее существования является движение Движение - это всевозможные изменения материи – от простого перемещения до сложнейших процессов мышления.

Физика (от греч. - природа ) – наука о наиболее простых, и, вместе с тем, наиболее общих формах движения материи и их взаимных превращениях. Изучаемые физикой формы движения материи (механическая, тепловая и др.) присутствуют во всех высших и более сложных формах движения материи (химических, биологических и др.), и являются предметом изучения этих других наук.

Методы физического исследования

Процесс познания в физике начинается с наблюдения явлений в естественных условиях. Умозрительное обобщение результатов наблюдений приводит к выдвижению гипотезы - предположения о закономерностях, которые требуют проверки и доказательства опытным путем, т.е. постановкой эксперимента. В результате - ошибочные гипотезы (например, флогистона, эфира и др.) отбрасываются, а на основе правильных, подтвержденных экспериментами, формируется физическая теория.

Физическая теория дает качественное и количественное объяснение целой области явлений природы с единой точки зрения - вскрывает механизм этих явлений и формулирует их закономерности .

Развитие науки – от опыта к теории, от теории к опыту - этим не ограничивается. Обнаруживаются новые области явлений и факты, объяснение которых не укладывается в рамки существующей теории и требует выдвижения новых гипотез. Новые открытия ведут к исправлению или дополнению теорий, созданию новых, более глубоко и точно отражающих объективные закономерности природы.

Новая теория не всегда отрицает старую, чаще всего включает ее в себя как часть, частный случай, т.е. является более широкой и всеохватывающей (например, классическая механика стала составной частью релятивистской механики). Таким образом, по непрерывно восходящей спирали идет развитие науки.

Роль физики в развитии техники

Физика является фундаментом развития техники. Примером этого может служить создание новых современных отраслей техники. Ядерная энергетика выросла из физики атомного ядра, - электроника - из физики твердого тела, лазерная техника – из оптики и теории электромагнитного излучения.

Связь с техникой носит двусторонний характер. Развитие техники дает новые, более совершенные, более точные приборы и методы исследования, позволяющие проникнуть вглубь строения вещества. Например, ускорители частиц дали возможность открытия и изучения новых элементарных частиц, создания искусственных химических элементов.

Связь физики с другими науками.

Физика тесно связана с другими естественными науками . Эта связь привела к тому, что физика тесно переплелась с другими науками как астрономия, геология, химия, биология , химфизика и др. Физика тесно связана с философией. В основе научного познания мира лежит метод диалектического материализма. Диалектика - это наука о всеобщих законах движения, изменения, обновления и развития материи в наиболее далеком от односторонности виде.

Такие крупные открытия в области физики, как закон сохранения и превращения энергии, соотношение неопределенностей и др. являются ареной борьбы между материализмом и идеализмом.

Физические основы механики

Простейшей формой движения материи является механическая – изменение взаимного положения тел в пространстве с течением времени. Исторические приоритеты в развитии механики обусловили потребности военного дела и техники еще в древнейшие времена. Развитие механики начинается со времен Архимеда (III век до н.э.), когда он сформулировал закон равновесия рычага и закон равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены Галилеем (XYI век) и окончательно сформулированы Ньютоном (XYII век). В настоящее время механика подразделяется на 3 отдельные части:

Классическая механика Галилея- Ньютона;

Релятивистская механика, основанная на специальной теории относительности;

Квантовая механика.

Классическая механика делится на 3 раздела: кинематику, динамику и статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причин, которые вызвали это движение.

Динамика изучает законы движения тел во взаимосвязи с причинами, которые вызывают или изменяют движение.

Статика изучает законы равновесия этих сил.

1. Модели в механике. Система отсчета. Кинематические

характеристики движения.

В физических исследованиях часто используют научную абстракцию. При изучении движения или свойств тел не принимают во внимание несущественные для данной задачи характеристики тела, например, его размеры, строение, внутреннее состояние и т.п. Простейшим примером научной абстракции или физической моделью является понятие материальной точки.

Материальная точка - это тело, размерами которого можно пренебречь (они пренебрежимо малы по сравнению с масштабами движения и расстояниями) в данной задаче. Например, рассматривая движение Земли в Солнечной системе, молекулы в сосуде, их можно считать материальными точками.

Система материальных точек. Всякое тело можно мысленно разделить на такие части, каждую из которых можно рассматривать как материальную точку в данном масштабе движения, Тогда изучение движения тела или системы тел сводится к изучению движения системы материальных точек.

Абсолютно твердое тело – тело, которое ни при каких условиях в данной задаче не может деформироваться и расстояние между двумя частицами этого тела остается постоянным.

Изучение механического движения начнем с простейшего - поступательного.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Движение в механике рассматривается как перемещение материальных точек (или просто точек) или их систем в пространстве и во времени.

Положение материальной точки определяется по отношению к телу отсчета, считаемому неподвижным. Связанная с ним система координат и часов называется системой отсчета. Положение точки А в декартовой системе координат в данный момент времени определяется координатами x, y, z или радиусом –вектором r (рис.1).

При движении материальной точки координаты с течением времени изменяются, т.е. являются функциями времени. Скалярные уравнения:

x = x(t); y = y(t); z = z(t) (1.1)

в общем случае являются кинематическими уравнениями движения точки. Система уравнений (1.1) эквивалентна векторному уравнению r = r (t) .

Положение точки в пространстве можно описать с помощью полярных координат r,Θ,φ (рис.1).

Числом степеней свободы материальной точки называют число независимых координат, которые полностью определяют ее положение в пространстве. Если точка движется в пространстве, то ее положение определяется тремя координатами x, y, z и она обладает тремя степенями свободы. При движении по плоскости у точки две степени свободы, а при движении по прямой точка обладает только одной степенью свободы.

Траекторией движения называют линию, описываемую движущейся точкой. Пусть материальная точка перемещается по кривой из положения А в положение В (рис. 2). Тогда дуга АˇВ будет траекторией, а длина этой дуги ∆s будет длиной пути. Длина пути ∆s представляет собой скалярную функцию времени ∆s= ∆s (t). Начальное положение материальной точки задается радиусом-вектором r0,а конечное - радиусом-вектором r. Вектор Δr = r –r0 (приращение радиуса-вектора за рассматриваемый промежуток времени) называется перемещением. При прямолинейном перемещении | Δr | = ∆s.

Скорость

Быстрота и направление движения точки характеризуется скоростью. Скорость векторная величина. Пусть точка перемещается из положения А в положение В (рис.3). В момент времени t положение материальной точки характеризует радиус-вектор r0. За малый промежуток времени Δt точка прошла путь Δs до положения В и совершила элементарное перемещение Δr. Вектором средней скорости называют отношение

‹ v › = Δr /Δt [м/c]

Направление ‹v › совпадает с направлением Δr.

Мгновенной скоростью v называют предел отношения приращения радиуса-вектора точки Δr к промежутку времени Δt, стремящемуся к нулю

v= lim Δr /Δt = dr/dt ,

Δt→0

т.е. v есть первая производная радиуса-вектора по времени. В пределе при Δt→0, секущая АВ совпадает с касательной и, следовательно, мгновенная скорость v направлена по касательной в каждой точке траектории.

По мере уменьшения Δt путь ∆s будет приближаться к значению модуля перемещения |Δr|, поэтому модуль мгновенной скорости будет равен

Из полученного выражения видно, что ds = dt. Путь s, пройденный за время Δt, найдем, интегрируя выражение ds = v dt в пределах от t до t+ Δt

s =

В случае равномерного движения (v = const) s = vt. В самом общем случае, когда скорость является функцией времени v = v(t), путь, пройденный за время Δt = t2 –t1, определяется интегралом

Ускорение

Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и по направлению, называется ускорением. Пусть материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, за время Δt переместилась из положения А в положение В. При этом скорость точки изменилась от v до v1.

v1 = v + Δv

Изменение скорости Δv надем, если перенесем вектор v1 из точки В в точку А (на рис.4 вектор АЕ ).

Средним ускорением ‹а› называется отношение изменения скорости Δv к промежутку времени Δt

‹ а › = Δv/ Δt [м/c2]

Мгновенным ускорением (или просто ускорением) a в момент времени t называют предел среднего ускорения ‹а› при Δt, стремящемся к нулю.

Ускорение есть векторная величина, равная первой производной от скорости по времени.

Изменение скорости Δv представляет собой изменение скорости как по величине Δvτ , так и по направлению Δvn . Вектор Δv (вектор СЕ на рис. 4) разложим на две составляющие Δvτ и Δvn . Из рис. 4 видно, что Δvτ , равное отрезку СД, есть изменение скорости по величине (по модулю) за время Δt, поскольку АД = | v1|. Вторая составляющая Δvn (отрезок CF) характеризует изменение скорости по направлению. Изменение скорости по величине называют тангенциальным ускорением aτ.

Величина тангенциальной составляющей ускорения

т.е. равна первой производной от модуля скорости по времени. Изменение скорости по направлению называют нормальным ускорением an.

Из подобия треугольников АОВ и ЕАД следует, что Δvn / AB = v1 / r.

Если точка А и В расположены близко друг к другу, то можно считать, что радиус кривизны дуги АˇВ равен r что хорда АВ мало отличается от дуги AˇВ и поэтому АВ vdt. Тогда

или

Видно, что в пределе при Δt, стремящимся к нулю, v1 → v и тогда значение нормальной составляющей ускорения будет выражаться

где r - радиус кривизны траектории. При этом угол между векторами v и Δvn (<FCD на рис. 4) стремится к 900, т.е. векторы v и Δvn в каждой точке траектории оказываются взаимно перпендикулярными (рис.5). Это значит, что вектор Δvn направлен к центру кривизны траектории. Полное ускорение a , будет выражаться

a = aτ + an ,

а его величина определяться по формуле

Итак, тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное ускорение- изменение скорости по направлению.

Характер движения тел определяется значениями аτ и an, и его можно классифицировать по видам:

1. аτ = 0; an = 0 -прямолинейное равномерное движение;

2. аτ = а = const; an = 0 – прямолинейное равнопеременное движение, при котором

Если t1=0; t2=t; v1 = v2; v2 = v, то получим

Интегрируя выражение ds = v dt в пределах отрезка времени от 0 до t, найдем длину пути s, пройденного телом за время t.

3. аτ = f (t); an =0 - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4. аτ = 0; аn = const - равномерное движение по окружности;

5. аτ = 0; an ≠o - равномерное криволинейное движение;

6. аτ = const; an ≠o - равнопеременное криволинейное движение;

7. аτ=f(t); an ≠o -криволинейное движение с переменным ускорением.

Контрольные вопроси.

Какие модели вводятся в механике?

Что называют системой отсчёта?

Какое движение называется поступательным?

Дайте определение характеристик поступательного движения: траектория, путь перемещения, скорость, средняя и мгновенная, ускорение тангенциальное и нормальное

Тесты.

Какая из приведенных ниже формул соответствует определению мгновенной скорости?

а) б) в) г)

Какая из приведенных ниже формул соответствует определению тангенциального ускорения?

а) б) в) г)

Какая из перечисленных ниже физических величин является скалярной? а) сила; б) скорость; в) перемещение; г) ускорение; д) путь.

Какая из приведенных зависимостей пути от времени описывает равноускоренное прямолинейное движение?

а) б) в) г)

Пример решения задач.

Материальная точка движется по прямой. Уравнение её движения . Определить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды от начала движения, среднюю скорость и путь, пройденный за это время.

Дано:

Найти:

Решение. Мгновенная скорость – это первая производная от пути по времени:

(м/с)

Мгновенное ускорение – это первая производная от скорости по времени:

(м/с2)

Средняя скорость точки за время определяется по формуле

Так как , то .

Путь, пройденный точкой за время , будет равен

Глава 2 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТЕЛА.

ИМПУЛЬС. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ.

Законы Ньютона.

В основе классической механики лежат 3 закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона (как и другие физические законы) возникли в результате:

обобщения многовекового человеческого опыта;

наблюдением за движением земных и небесных тел;

производственной практики человечества;

специально поставленных экспериментов.

I закон Ньютона: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не изменит этого состояния. Покой -частный случай прямолинейного и равномерного движения, когда v = 0. Свойство материальных тел сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения называется инерцией, а первый закон Ньютона часто называют Законом инерции. Движение по инерции является научной абстракцией, т.к. наблюдать движение по инерции в чистом виде невозможно, ибо никакое тело не может быть изолировано от воздействия других тел, как бы далеко от него эти тела не находились. Введение этой абстракции позволяет связать ускорение материальных тел с действиями, оказываемыми на них со стороны других тел. Это воздействие характеризуют силой. Сила - физическая величина, характеризующая механическое действие, оказываемое одним телом на другое. Сила – величина векторная и характеризуется величиной, направлением и точкой приложения, подчиняется правилу сложения векторов. Единица измерения силы [Н] - ньютон.

Масса - физическая величина, характеризующая инертность материального тела. (Ньютон определил массу как количество вещества, но это определение не является строгим и исчерпывающим. Масса характеризует не только инертность тела, но и его гравитационные свойства, а также полный запас энергии). Единица измерения массы в СИ - кг. Масса - величина аддитивная. Это означает, что масса тела (системы тел) равна сумме масс составляющих его частей.

II закон Ньютона: ускорение a, приобретаемое телом под действием силы F, прямо пропорционально этой силе и обратно пропорционально массе тела m.

отсюда

Таким образом, выражение II закона Ньютона имеет вид

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия.

III закон Ньютона: силы, с которыми две материальные точки (или тела) действуют друг на друга, равны по величине и направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой.

F12 = - F21

Следует отметить, что силы:

возникают попарно;

приложены к разным телам и, поэтому никогда друг друга не уравновешивают.

Импульс. Закон сохранения импульса

Векторная величина p, равная произведению массы m на скорость v, называется импульсом материальной точки.

p = mv .

Из выражения II закона Ньютона следует, что

Интегрирование этого выражения в пределах от t1 до t2 дает приращение импульса за промежуток времени Δt = t2 – t1

если то .

Таким образом, зная изменение импульса со временем, можно установить силу, действующую на тело.

И наоборот, зная импульс силы F Δt, можно определить изменение импульса Δp и изменение скорости тела. Размерность импульса кг·м/c.

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек (систему тел). Введем определение внутренних и внешних сил. Внутренние силы – силы, с которыми на данное тело воздействуют другие тела системы. Внешние силы – силы, обусловленные воздействием со стороны тел, не принадлежащих системе. В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.

Импульсом системы называется векторная сумма

p = p1 + p2 + …+ pn =

Точка, положение которой в пространстве задается радиусом-вектором rc

называется центром инерции системы (здесь mi и ri - масса и радиус-вектор i – го тела системы, m - суммарная масса системы).Отметим, что центр инерции системы совпадает с центром тяжести системы. Скорость центра инерции vc

Учитывая, что m ivi = pi , а , можно записать p= mvc .

Таким образом, импульс системы равен произведению массы m на скорость Vc центра инерции системы.

Пусть система состоит из трех тел (рис.6). В системе действуют: F12 , F23 и т.д. – внутренние силы; F1, F2, F3 - равнодействующие внешних сил. Для каждого из тел системы можно записать

Из закона Ньютона следует, что F12 = - F21, F13 =-F31, F23 = -F32. Поэтому суммируя левые и правые части этих уравнений, получим:

Если внешние силы отсутствуют (или их равнодействующая равна нулю), то dp/dt = 0, а p = const. Следовательно, для замкнутой системы импульс есть постоянная величина. Полученный результат легко обобщить на систему, состоящую из произвольного n числа тел

(i = 1, 2, 3, …. n)

Суммируя эти равенства для всех n тел системы и учитывая, что Fik= -Fki , получим , т.е., производная импульса по времени равна сумме внешних сил. Для замкнутой системы сумма внешних сил равна нулю и для такой системы выполняется закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Если внешние силы действуют, но их равнодействующая равна нулю, то импульс также остается постоянным. Если равнодействующая внешних сил не равна нулю, но ее проекция на некоторое направление, например, x, равна нулю, то для составляющей импульса на данное направление выполняется

срх

Из закона сохранения импульса вытекает, что центр инерции замкнутой системы тел либо остается неподвижным, либо движется равномерно и прямолинейно.

Работа и мощность

Действие силы F на пути s характеризуется работой, которая является количественной мерой процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. Энергия - это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия материи (механическая, тепловая, электромагнитная ядерная и др.).

Под действием силы F тело проходит путь s. При этом сила либо изменяет скорость тела, либо компенсирует действие других сил, препятствующих движению (например, силы трения). Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы, и направление силы F совпадает с направлением перемещения s, то работа А равна скалярному произведению F и s.

А= F · s = F · s [Дж =Н · м ].

Если сила F составляет с направлением перемещения угол α (рис. 7), то работа

A =Fs · s = F·s · cos α ,

где Fs=F·cosα - проекция силы на направление перемещения. Работа - величина алгебраическая.

Если : 0 ≤ α < π / 2 , то cos α > 0 и А > 0;

α = π / 2, то cos α = 0 и А = 0;

π / 2 < α ≤ π , то cos α < 0 и А < 0.

В общем случае движение может быть не прямолинейным и сила может изменяться по величине и по направлению.

Для вычисления работы разобьем путь на элементарные участки Δs столь малые, что проекцию силы Fs на таком участке можно считать постоянной (рис.7).

Тогда работа на каждом таком участке будет равна ΔAi ≈ Fsi · Δsi Работа на всем пути s будет равна .

При Δsi →0 это приближенное равенство перейдет в строгое

На графике (рис.8) полная работа силы на участке 1-2 равна площади фигуры 1234.

Скорость совершения работы характеризуется мощностью:

N = dA/dt [Вт], 1Вт= 1 Дж/c.

За время dt сила F совершает работу Fs ds и мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени, равна . Если направление действия силы совпадает с направлением скорости, то N=F ·v. В случае, если

F ≠ const, то

Работа квазиупругой или упругой силы

Примером работы, совершаемой переменной силой, может служить работа упругой силы. При упругой деформации, например, при сжатии или растяжении пружины, сила пропорциональна величине деформации x

F = – kx ,

где k – коэффициент упругости. Знак “минус” говорит о противоположном направлении силы и смещения x (деформация).

Элементарная работа сжатия равна δА = F dx или δА = -kx dx.

Определим работу силы F на пути от x1 до x2. Для этого проинтегрируем последнее выражение

Если x2 = s, а x1 =0, то А = - Так как F = -ks, то A= Fs/2.Эта работа определяет запас потенциальной энергии упруго сжатой пружины WП

WП = ks2/2 = Fs/2.

Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.

Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называется энергией. В механике различают два вида энергии - потенциальную и кинетическую. Кинетическая энергия - это энергия движения. Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, обусловленная взаимным расположением тел. Пусть тело 1 массой m (рис.9), движущееся со скоростью v, действует на соприкасающееся с ним тело с силой F.

За время dt точка приложения силы получила приращение ds = vdt, вследствие чего тело 1 совершит работу над телом 2

δА = Fds = Fvdt

Очевидно, что в данном случае тело 1 совершает работу δА над телом 2 за счет запаса энергии dEк, которой оно обладает в силу своего движения, т.е. за счет кинетической энергии δА=dEк.

Известно, что Fdt = dp = d(mv) =mdv, и тогда δА = Fvdt = mvdv = dEк

Интегрируя это уравнение, получим

Ек

Отметим, что работа А, совершаемая над телом, равна приращению его кинетической энергии ΔЕк

А = Е2 – Е1 = ΔЕк.

Энергия имеет ту же размерность, что и работа– 1 Дж =1Нм=кгм2/c.

Взаимодействие тел осуществляется не только непосредственным их контактом, но и бесконтактным способом через образуемые ими поля. Свойства твердых тел не локализованы только в той области пространства, где находится центр массы, а распределены в окружающем тело пространстве, образуя силовое поле.

Если тело поставлено в такие условия, что в каждой точке пространства оно подвержено действию других тел с силой, закономерно изменяющейся от точки к точке, то говорят, что тело находится в поле сил. Например, тело у поверхности Земли находится в гравитационном поле Земли.

Поле – это один из видов материи. Как и вещество, оно обладает массой и энергией. Поле - это не абстракция, вводимая для объяснения взаимодействия. Поле – это физическая сущность, обладающая определенными физическими свойствами, по которым мы его обнаруживаем и по которым о нем судим. Поле существует в пространстве. Однако не следует понимать поле как пространство. Пространство, как и движение, есть форма существования материи и нельзя его смешивать с самой материей.

Итак, тела создают в окружаемом пространстве силовое поле. Поле сил, в котором работа, совершаемая ими над телом, не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением тела в пространстве, называется потенциальным, а действующие в нем силы называются консервативными силами (в отличие от диссипативных). В потенциальном поле работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю. По определению поля сил (если тело подвергается действию со стороны других тел, закономерно изменяющемуся от точки к точке) каждой точке поля можно приписать значение некоторой функции Eп(r), которая будет отражать эту закономерность. С помощью этой функции можно определить работу, совершаемую над телом, силами поля. Эта функция является выражением потенциальной энергии поля Eп(r).

Конкретный вид этой функции зависит от характера силового поля. Так для поля тяготения Земли выражение потенциальной энергии имеет вид

En = mgh,

где m – масса тела, g – ускорение свободного падения. Знак потенциальной энергии может быть (+) или (-) в зависимости от выбора начала отсчета высоты h (рис.10). Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) перемещении dr равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком “минус”, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.

δА= - dEп

Известно, что δА = Fdr, следовательно, можно записать

Fdr = – dEп.

Отсюда потенциальная энергия Eп(r) будет

Eп(r) = – ∫ Fdr + С,

где С- постоянная интегрирования. Из выражения Fdr = – dEn видно, что для консервативных сил их связь с потенциальной энергией будет иметь вид

Fx= – ∂Eп / ∂x; Fy= - ∂Eп / ∂y; Fz= - ∂Eп / ∂z ,

или в векторном виде F = – grad Eп , где grad ·i + ·j+ ·k.

Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела. Сила упругости пропорциональна деформации x

Fx упр = – kx,

где Fx упр - проекция силы упругости на ось x; k –коэффициент упругости; x – деформация. По третьему закону Ньютона деформирующая сила Fx равна

Fx = –Fx упр = kx.

Элементарная работа δА, совершаемая силой Fx ,равна δА = Fx dx = kx dx,

а полная работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированного тела Eп = kx2 / 2.

Полная механическая энергия системы Е – есть энергия механического движения Ек и энергия взаимодействия Еп (потенциальная энергия)

Е = Ек + Еп.

Так, тело, находящееся на высоте h над поверхностью Земли и движущееся со скоростью v, обладает полной механической энергией Е, равной

При движении тел системы кинетическая энергия Ек может превращаться в потенциальную Еп и наоборот. Пусть в замкнутой системе Земля - тело поднятое на высоту h тело массой m обладает потенциальной энергией Eп = mgh и начинает свободно падать. У поверхности Земли его скорость будет равна и оно приобретает кинетическую энергию

У поверхности Земли (h = 0) потенциальная энергия окажется равной нулю. Таким образом, потенциальная энергия превращается в эквивалентное количество кинетической энергии. Обратное превращение происходит в случае, если тело брошено вертикально вверх с некоторой скоростью v. По достижении телом высоты h, которая определится из условия v = , cкорость тела будет равна нулю и кинетическая энергия mv2/2 превратится в потенциальную энергию mgh. При этом полная энергия тела остается неизменной. Такой переход энергии возможен при условии, что тело находится под действием только силы, обуславливающей наличие потенциальной энергии (сила mg есть внутренняя сила в системе Земля - тело). При наличии внешних сил (в случае незамкнутой системы тел) изменение полной энергии будет происходить за счет работы, совершаемой этими силами.

Рассмотрим общий случай изменения кинетической и потенциальной энергии в замкнутой системе тел. В такой системе внешние силы отсутствуют, или их равнодействующая равна нулю. Пусть система состоит из N тел. Уравнение движения каждого i-го тела системы имеет вид:

mi∙ai =fi , или ,

где fi - суммарная внутренняя сила, действующая на i-е тело со стороны остальных (N-1) тел системы.

Пусть внутри системы каждое из его тел за промежуток времени dt совершает перемещение dsi. Умножим скалярно левую и правую части уравнения на dsi

Учитывая, что dsi/dt = vi , получим mi v id v i = fi dsi . Левую часть этого равенства можно представить в виде а правая часть есть элементарная работа δAi=fi ∙ds по перемещению i-го тела системы. Тогда d(Ek)i = δAi, т.е. изменение кинетической энергии i-го тела системы равно работе внутренних сил. Просуммируем последнее выражение по всем N телам системы

В замкнутой системе действуют консервативные силы и их работа δА равна убыли потенциальной энергии dEп

δ А = -dEп.

Следовательно, предыдущее равенство можно переписать в виде

dEk =-dEп или dEk +dEп =0; d(Ek +Еп )=0,

откуда следует, что

E =Ek+Еп = const,

Т.е. полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. Эта формула и формулировка выражают существо закона сохранения механической энергии.

Если в системе действуют и неконсервативные силы (например, сила трения), то полная механическая энергия системы не сохраняется и в этом случае выполняется более общий закон сохранения энергии.

Контрольные вопроси.

Дайте формулировку законов Ньютона?
Дайте характеристику массы и силы в механике?
Что называется механической системой? Какие системы называются замкнутыми?
Дайте определение импульсу сформулируйте законы сохранения импульса?
Дайте определение работы и энергии. Какие виды энергии рассматривают в механике?
Сформулируйте закон сохранение энергии в механике и проиллюстрируйте его выполнение на примере свободно подающего тела?
Какова связь между силой и потенциальной энергией?

Тесты.

На тело, движущееся со скоростью v, на пути S действует сила F под углом α. Может ли быть при этом работа силы отрицательной?

а) не может; б) может, если модуль скорости очень мал; в) может, если α = 0; г) может, если 900< α <1800.

Какая из приведенных ниже формул выражает второй закон Ньютона?

а) ; б) ; в) ; г) .

Какая физическая отрицательная величина измеряется в джоулях?

а) сила; б) работа; в) мощность; г) энергия; д) вес.

Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела массой m движущейся со скоростью v?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример решения задач.

Груз массой 700 кг падает с высоты 5м для забивки сваи массой 300кг. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину 4 см. Удар между грузом и сваей считать абсолютно неупругим.

Дано: m1=700кг; h=5м; m2=300кг; s=4см=0.04м

Найти: Fср.

Решение. По условию задачи удар неупругий, и поэтому груз и свая после удара двигаются вместе, их путь s=4см. На движущуюся систему действует сила тяжести и сила сопротивления грунта Fср. По закону сохранения энергии

Т+П=А, (1)

Где Т- кинетическая энергия; П- потенциальная энергия; А- работа сил сопротивления, которую можно определить по формуле А= Fсрs. При движении системы на пути s изменяются её потенциальная и кинетическая энергия

П=(m1+m2)gs;

где u – общая скорость груза и сваи после удара (в начале их совместного движения). Используя это, запишем равенство (1) в виде

. (2)

Для оценки средней силы сопротивления Fср установим значение общей скорости и сваи, для чего применим закон сохранения импульса:

. (3)

Для системы «груз - свая» закон сохранения импульса имеет вид:

, (4)

где v – скорость груза в конце его падения с высоты h; m1ν – импульс груза в конце его падения до удара о сваю; - импульс груза и сваи после удара.

Скорость груза v в конце падения с высоты h определяются без учета сопротивления воздуха и трения:

. (5)

Общая скорость груза и сваи после удара находится из формул (4) и (5):

(6)

Определим среднюю силу сопротивления материала Fср из формул (2)и (6):

Fср (7)

(8)

. Fср

Глава 3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ

ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

КИНЕМАТИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Рассмотрим абсолютно твердое тело с закрепленной осью вращения OO΄. Проведем через ось две плоскости P и Q. Неподвижная плоскость Q будет являться телом отсчета (аналогичной началу координат), а плоскость P, связанная с вращающимся телом, будет характеризовать положение тела в каждый момент времени величиной двугранного угла φ.

Изменение угла поворота φ со временем φ = φ (t) будет уравнением вращательного движения тела (аналогичного уравнению s = s(t) при поступательном движении тела).

При вращении всего твердого тела в целом отдельные его точки движутся по окружностям. Рассмотрим движение точки M находящейся на расстоянии r от оси вращения (рис.12). Если тело повернулось на угол φ, то точка M перешла из положения 1 в положение 2 и прошла путь s, равный s = r∙φ,где угол φ измерен в радианах .

За время Δt тело повернется на угол Δφ точка m пройдет путь Δs = r ∙Δφ. Разделив обе части этого равенства на Δt и, переходя к пределу, получим

или ,

v = r∙ω, где ω = dφ/dt - производная от угла поворота φ по времени называется угловой скоростью. ω - измеряют в рад/с, или с-1 часто угловую скорость задают числом оборотов n в единицу времени. Эти две величины связаны отношением ω = 2πn.

При неравномерном вращении угловая скорость ω изменяется со временем и за время Δt получает приращение Δω. При этом линейная скорость точки также получает приращение Δv , равное

Δv = Δ (r∙ω) = r∙Δω.

Разделив обе части равенства на Δt, и переходя к пределу, получим

или .

Производная dω/dt = ε называется угловым ускорением, а соотношение aτ=r∙ε выражает связь линейного тангенциального aτ и углового ускорения. Угловое ускорение измеряют в рад/c2 или с-2 .

Известно, что при криволинейном движении тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное – по направлению и равно an = v2/r. Учитывая, что v= ωr, получим связь нормального ускорения с угловой скоростью:

аn = ω2r.

Величина полного ускорения а, выраженная через характеристики вращательного движения, имеет вид

При равнопеременном вращательном движении (ε = const) формулы для определения угла поворота и угловой скорости имеют вид

Динамика вращательного движения

Чтобы твердое тело с закрепленной осью привести во вращение, к нему необходимо приложить силу, не проходящую через ось вращения и не параллельную ей. Вращательное движение под действием силы F определяется не только ее величиной, но и расстоянием d от линии ее действия до оси вращения, называемого плечом силы. Векторное произведение M =[rF] или M = r F sinα называют моментом силы, где r- радиус-вектор, проведенный из точки О, обозначающей ось вращения, к точке приложения силы. Плечо силы d =r sin α, где α – угол, между направлением силы F и радиус-вектора r.

Разобьем мысленно тело на материальные точки массой mi c расстоянием до оси вращения ri. Пусть под действием силы F тело начало вращаться. Это значит, что каждая точка тела получила ускорение ai, По второму закону Ньютона для каждой точки тела можно записать Fi =miai . Умножим обе части равенства на радиус вращения точки ri

Fi ri =mi ai ri .

Учитывая, что ai = ri∙ε; Mi = Firi , запишем Mi = miri2 ε. Величина Ji = miri2 называется моментом инерции материальной точки, а сумма моментом инерции тела относительно оси вращения. Mi= Ji∙ε. Суммируя последнее равенство по всем точкам тела, получим:

M= J ε или ε = M/ J -

уравнение динамики вращательного движения, или уравнение II закона Ньютона для вращательного движения. Угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Момент инерции характеризует инерционность тела при вращательном движении и зависит не только от массы тела, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами dm и момент инерции тела определяется интегралом

Пределы интегрирования определяются формами и размерами тела.

В тех случаях, когда ось вращения проходит через центр тяжести (или центр инерции) тела, а тело имеет правильную геометрическую форму, интегрированием легко получить выражения для момента инерции и они являются наиболее простыми. Так, момент инерции обруча, кольца и пустотелого цилиндра J = mR2 ; диска и сплошного цилиндра J =; шара J = , стержня где m- масса тела, R- радиус, ℓ-длина стержня.

В тех случаях, когда ось вращения проходит не через центр инерции тела, момент инерции определяется по теореме Штейнера:

J =J0 + md2 .

Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.

Момент инерции J тонкого стержня длиной l относительно оси O΄O΄, проходящей через его конец (рис.14а) . Момент инерции шара относительно оси O’ O’, касательной к его поверхности (рис.14б)

Кинетическая энергия и работа при вращательном движении.

Мысленно разобьем тело на малые частицы с массами m1, m2 , …, mn так, чтобы линейные скорости материальных точек составляющих эти частицы можно было считать одинаковыми. Расстояния этих частиц от оси вращения, соответственно равны r1, r2, …, rn , а скорости - v1, v2, …, vn. Кинетическая энергия каждой частицы будет а всего тела:

Заменим линейную скорость vi ее выражением через угловую vi = ωri.

Так как угловая скорость для всех точек тела одинакова, т.е. ω=const, то

Выражение, стоящее в скобках, есть сумма моментов инерции частиц тела, т.е. момент инерции J, и тогда вырaжение для кинетической энергии вращательного движения примет вид

E= J∙ω2 /2,

Если тело участвует в двух движениях одновременно - в поступательном со скоростью v и вращательном со скоростью ω, то его полная кинетическая энергия равна

Работа внешней силы постоянной величины при вращении равна ΔA = т.е. равна произведению момента внешней силы на угол поворота. В общем случае dA = M dφ и работа будет

Если М=const, то A=M∙φ. Эта работа затрачивается на изменение кинетической энергии вращающегося тела

Основное уравнение динамики вращательного движения.

При постоянном вращающем моменте M=const угловое ускорение будет также постоянным ε =const и вращение будет равно переменным. Поэтому, если начальная скорость вращения была ω0, а через промежуток времени Δt под действием момента M внешних сил она стала ω, то угловое ускорение

и основное уравнение динамики вращательного движения примет вид:

или M Δt = J ω - J ω0.

Произведение M Δt называют импульсом момента сил, Jω – моментом импульса тела. Это уравнение представляет собой выражение основного закона динамики вращательного движения: Импульс вращающего момента сил, действующих на тело, равен изменению момента импульса тела.

Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса.

Импульсом тела при всяком движении, как известно, называют величину р= mv. При изучении вращательного движения тела аналогично моменту силы вводят векторную величину L =[rp] =m [rv], называемую момента импульса. Выясним, чем определяется изменение моментом импульса L со временем. Для этого продифференцируем L по t

Если мы рассматриваем материальную точку, то ее расстояние от оси вращения остается неизменным r = const. Т.е. dr/dt = 0, а следовательно,

Рассмотрим изменение момента импульса L c другой стороны, исходя из уравнения вращательного движения: M = Jε, ε = M/J. Если вращательный момент M постоянен, то и угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить

где Δt = t – t0 ; ω0 – начальная угловая скорость; ω – угловая скорость через промежуток времени Δt. Тогда уравнение вращательного движения, можно записать в виде

или MΔt

Сравнивая это выражение с dL/dt = M, нетрудно убедиться, что Jω = L – есть момент импульса. Импульс момента силы и момент импульса являются величинами векторными и совпадают по направлению с M и ω. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью vi = ω ri , где ri - радиус окружности, которую описывает частица массой m; ω – угловая скорость, одинаковая для всех точек тела. Момент импульса каждой частицы тела равен Li = mi ri vi = mi ω = ωJi . Суммарный момент импульса тела будет

ω ωJ,

или в векторном виде L = J ω. Известно, что dL/dt = M, откуда dL = Mdt . Рассматривая это выражение, можно отметить, что если M = 0, то, a следовательно, L = const, т.е. J ω = const, если М = 0.

Эта формула является выражением закона сохранения момента импульса тел системы. Если вектор суммарного момента внешних сил, действующих на систему тел относительно неподвижной оси, равен нулю M = 0, то векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется со временем, т.е. остается постоянной

J ω = const.

Значит, сумма моментов импульсов всех тел замкнутой системы сохраняется неизменной. Допустим, что у вращающегося тела происходит изменение момента инерции. Это приводит к изменению скорости вращения. Если J возрастает, то ω убывает, и наоборот, т.е. J1 ω1 = J1 ω2. При вращательном движении справедлив также закон, аналогичный III закону Ньютона для поступательного движения.

При взаимодействии двух вращающихся тел момент M1 , с которым первое тело действует на второе, равен вращающему моменту M2 , с которым второе тело действует на первое и противоположен ему по направлению

M1 = – M2 .

Если они взаимодействуют в течении промежутка времени Δt, то

M1 Δt = – M 2 Δt.

Используя формулу основного закона вращательного движения, это выражение можно переписать в (скалярном виде) J1 (ω'1 – ω1 ) = –J2 (ω'2 – ω2 ),

где ω1 и ω2 – угловые скорости до, а ω'1 и ω'2 – после взаимодействия вращающихся тел. Преобразуем это выражение:

J1 ω1 + J2 ω2 = J1 ω' 1 + J2 ω' 2 .

Отсюда следует, что сумма моментов импульса тел замкнутой системы в результате их взаимодействия остается неизменной. Обобщая этот вывод на произвольное число тел в замкнутой системе, можно записать

т.е. опять получили выражение закона сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса принадлежит к числу самых фундаментальных физических законов, так как связан с изотропностью пространства. Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы тел не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета, т.е. не изменяются при повороте в пространстве замкнутой системы как целого на любой угол. Изотропность - равноправность всех направлений в пространстве.

Однородность пространства - равноправность всех точек пространства. Пространство, как таковое не может изменить импульс в силу отсутствия выделенных точек, в силу их равноправия. Закон сохранения момента импульса не зависит от выбора осей координат, в чем и проявляется его фундаментальность.

Контрольные вопроси.

Какое движение называют вращательным?

Назовите характеристики вращательного движения и их связь с линейными характеристиками?

Что такое момент инерции материальной точки и твёрдого тела?

Что такое момент силы относительно неподвижной оси?

Вывести и сформулировать уравнение динамики вращательного движения?

Вывести уравнение кинетической энергии при вращательном движение?

Привести уравнение кинетической энергии тела участвующего одновременно в двух движениях.

Что такое момент импульса материальной точки?

Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется? Приведите пример.

Тесты.

Чему равен момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстоянии ¼ длины от его конца? а) 1/12m2; б) 1/3 m2; в) 1/5 m2; г) 2/5 m2; д) 7/8 m2

Чему равна кинетическая энергия поступательного движения шара, скатывающегося без трения с наклонной плоскости высотой h в конце наклонной плоскости?

а) mgh; б) 5/7 mgh; в)1/2 mgh; г) ¼ mgh; д) 3/5 mgh.

От чего зависит момент инерции тела, вращающегося относительно закрепленной оси?

а) от момента приложения сил?

б) от распределения массы относительно оси вращения;

в) от углового ускорения.

Физический смысл момента инерции:

а) произведение силы на плечо;

б) произведение момента силы на время действия;

в) мера инертности во вращательном движении.

Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела при вращательном движении?

а) Iω2/2; б) I2ω/2; в) Iω2; г) Iω; д) I2ω2.

Пример решения задач.

К катящемуся по горизонтальной поверхности шару массой 1кг приложили силу 1Н и остановили его. Путь торможения составил 1м. Определить скорость шара до начала торможения.

Дано:m=1кг; F=1Н; s=1м.

Найти: v.

Решение. Кинетическая энергия катящегося шара складывается из энергии поступательного и вращательного движений:

где m – масса шара, J – момент инерции, v и ω – линейная и угловая скорости, которые связаны соотношением , r – радиус шара. Момент инерции шара J=0.4mr2. С учетом этого

Работа А тормозящей силы F на пути s A=Fs будет равна изменению кинетической энергии шара, которое в условии задачи равно Eк (кинетическая энергия остановившегося шара равна 0).

; , откуда

; .(м/с)

Глава 4. Элементы специальной теории относительности

Инерциальные и неинерциальные системы отсчета.

Механический принцип относительности.

Механическое движение относительно: его характер для одного и того же тела может быть различным в разных системах отсчета. Например, космонавт, находящийся на борту космической станции “Мир” (искусственного спутника Земли), неподвижен в системе отсчета, связанной со станцией. В то же время по отношению к Земле он движется вместе со станцией по орбите, т.е. не равномерно и не прямолинейно. Другой пример. Шар, лежащий (покоящийся) на гладком столе вагона, который идет равномерно и прямолинейно, может прийти в движение по столу без всякого воздействия на него со стороны каких- либо тел. Для этого достаточно, чтобы скорость вагона начала изменяться и шар начнет движение по инерции. Исходя из этих соображений, в физике используют системы отсчета двух видов - инерциальные и неинерциальные.

Инерциальной системой отсчета называется такая система, по отношению к которой тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно и прямолинейно. Система отсчета, в которой тело, не подверженное внешнему воздействию, движется неравномерно или непрямолинейно, называется неинерциальной.

Для описания движения можно использовать ту или другую систему отсчета. Однако, как правило, выбирают такую, в которой описание движения было бы проще. В этом смысле предпочтение отдают инерциальным системам отсчета. Но дело не только в этом. Инерциальные ситемы отсчета обладают одним важным свойством: во всех инерциальных системах отсчета все физические процессы протекают одинаковым образом. Это утверждение получило название механический принцип относительности (принцип относительности Галилея). В соответствии с этим принципом математическое выражение законов физики имеет одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. В современной формулировке принцип относительности Галилея читается так:

- во всех инерциальных системах отсчета одни и те же механические явления протекают одинаковым образом и никакими механическими опытами, проводимыми внутри данной механической системы отсчета, невозможно установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно.

В современной физике механика, как ее часть, подразделяется на три раздела: классическая, релятивистская и квантовая.

Классическая механика (механика Галилея-Ньютона) изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых v малы по сравнению со скоростью света в вакууме c ( v « c ).

Релятивистская механика основана на специальной теории относительности Эйнштейна и изучает движение макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

Квантовая механика изучает движение микроскопических тел (атомы, элементарные частицы), значения физических величин которых квантуются, т.е. принимают дискретные значения.

Классическая механика базируется на абсолютности пространства и времени. Согласно воззрениям Ньютона пространство и время существуют сами по себе независимо друг от друга и независимо от других материальных тел. Абсолютность времени означает, что оно течет одинаковым образом во всех системах отсчета и для всех точек пространства – длительность одних и тех же процессов или событий во всех инерциальных системах отсчета одинакова; одно и то же событие во всех инерциальных системах происходит одновременно. Абсолютность пространства означает, что геометрические размеры тел остаются неизменными, в какой бы системе отсчета их не измеряли. Пространство и время не зависят от движения материальных объектов, с которыми связана система отсчета. Таким образом, в классической механике физические величины делятся на абсолютные (пространство, время, масса, геометрические размеры тел) и относительные (скорость, импульс, энергия и др.).

Преобразованиями Галилея называют преобразования (или связь) координат и времени в двух различных системах координат K и K', когда одна система координат (K) считается неподвижной, а другая (K' ) движется относительно первой с постоянной скоростью. Рассмотрим две такие системы координат. Пусть система K покоится, а система K' перемещается относительно системы K вдоль оси x с постоянной скоростью v0. Чтобы убедиться в том, что математическая форма записи законов движения в рассматриваемых системах одна и та же, необходимо установить формулы перехода от координат x, y, z, t в системе K к координатам x' , y' , z' , t' в системе K' (рис. 15).

Связь координат точки B системах K и K' будет иметь вид:

x = x' + vo t x' = x- vo t

y = y' y' = y

z = z' z' = z

t = t' t' = t.

Допустим, что отсчет времени по часам той или другой системы начался с того момента времени, когда начала координат обеих систем совпадали. Если v0 « c, то часы обеих систем покажут одинаковое время, т.е. t'=t. Это соотношение выражает ньютоновскую концепцию абсолютности времени, одинакового для всех систем отсчета и точек пространства. Соотношение x'=x-vot отражает идею абсолютности пространства. Отрезок x', измеренный в системе K', определяется как разность двух отрезков (x и vo t), замеренных в неподвижной системе отсчета K. Эти соотношения называются преобразованиями Галилея.

Преобразование скоростей не представляет труда. Если точка В движется в системе K с некоторой скоростью. то продифференцировав соотношения (x, y, z ) по времени, найдем связь между скоростями в точке В в системах K и K’:

vx = v'x + v0 v'x= vx - v0

vy = v'y v'y = vy

vz = v'z v'z = vz .

Эти соотношения носят название правила сложения скоростей в классической механике.

Рассмотрим преобразование ускорений. Взяв вторую производную от координаты по времени, получим

т.е. ускорения в обеих системах отсчета равны между собой ax=a'x. Видно, что ускорение, в отличие от скорости, носит абсолютный характер, т.е. ускорение одного и того же тела одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Физические величины и физические законы, не изменяющиеся при переходе от одной инерциальной системы к другой называют инвариантными (неизменяющимися) к преобразованиям Галилея. А вот законы электродинамики Максвелла оказались неинвариантными к преобразованиям Галилея. Этот парадокс поставил ученых перед выбором:

а) отказаться от уравнений Максвелла, считая их неправильными; б) отбросить принцип относительности; в) считать преобразования Галилея неточными и заменить их другими. Эйнштейн в 1905 г. и Пуанкаре показали, что следует остановиться на последней возможности. При выводе преобразований Эйнштейн исходил из 2-х постулатов:

1.Физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, и, следовательно, математическая форма записи законов должна быть инвариантна к преобразованиям.

2. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах и не зависит от направления его распространения и движения источника и приемника.

Невозможно понять как и почему (c + v) должно равняться с. Чтобы понять это, необходимо отрешиться от ньютоновских представлений об абсолютности пространства и времени. Преобразования координат и времени, учитывающие их зависимость от скорости, называются преобразованиями Лоренца и имеют вид:

Из преобразований видно:

Время также поддается преобразованиям, что свидетельствует об относительности времени.

В формулах преобразования время выступает как равноправная четвертая координата. Это означает, что в новой теории пространство и время неразделимы, т.е. взаимосвязаны.

Нетрудно видеть, что при v0 /c « 1 преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Пространство и время в специальной теории относительности.

Разберем некоторые особенности пространства и времени, вытекающие из преобразований Лоренца.

Относительность одновременности. В классической механике события, одновременные в одной какой-либо инерциальной системе отсчета, будут одновременными во всех других инерциальных системах. Иначе обстоит дело в специальной теории относительности .

Пусть в движущейся со скоростью v0 системе K′ в точках с координатами x′1 и x′2 одновременно (в момент t′) произошло два события (например, зажглись две лампочки). Эти же события в неподвижной системе отсчета K будут происходить в разные моменты времени t1 и t2. В самом деле, исходя из преобразований Лоренца, получим

; ,

t1 ≠ t2 , так как x'1 ≠ x'2 .

Относительность продолжительности событий. Эффект замедления времени.

Продолжительность событий в классической механике не зависит от выбора системы отсчета. Пусть в движущейся со скоростью v0 системе отсчета K' в неподвижной точке x' произошло событие длительностью Δt = t'2 – t'1, где t'1 и t'2 – моменты начала и конца события (например, включения и выключения лампочки по часам, покоящимся в системе отсчета K' ). Наблюдатель в неподвижной системе K отметит по своим часам (часам своей системы) начало и конец события в моменты t1 и t2 , которые будут связаны с моментами t'1 и t'2 соотношениями:

Отсюда длительность события Δt= t2-t1 в неподвижной системе отсчета K равна

т.е. представляется более длительным, чем в системе K′ (эффект замедления времени).

Относительность длины. Пусть в движущейся вдоль оси х' системе K' покоится отрезок длиной Здесь x'2 и x'1 координаты начала и конца отрезка, отмеченные в один и тот же момент времени t'. Если измерение длины проведено в системе отсчета, в которой отрезок покоится, ее называют собственной длиной и обозначают . Какова будет длина того же отрезка, если ее измерить в неподвижной системе отсчета K? Для наблюдателя в системе отсчета K отрезок будет двигаться со скоростью v0. Чтобы измерить длину движущегося отрезка, наблюдатель в системе K должен в один и тот же момент времени t (по часам своей системы) отметить на оси х положение концов движущегося отрезка. Отметки эти нужно сделать именно в один и тот же момент времени, так как отрезок и его концы постоянно смещаются вдоль оси х.

Пусть этими отметками будут координаты х1 и х2 . Но координаты х1 и х2 связаны с х'1 и х'2 соотношением

отсюда

Введя обозначения l = x2 -x1 ; l0 = x'2 – x'1 , получим

Таким образом, наблюдатель в неподвижной системе K находит, что длина движущегося отрезка в раз меньше его собственной длины, измеренной в системе, где этот отрезок покоится. Наблюдатель в системе K обобщит этот факт следующим образом: в любой движущейся относительно него инерциальной системе отсчета, все отрезки укорачиваются в направлении движения системы и тем значительнее, чем больше скорость, с какой движется эта система. Другие координаты y и z будут неизменными.

Какой вывод можно сделать из сказанного?

Относительность одновременности, длины предметов, продолжительности событий свидетельствуют о взаимосвязи пространства и времени, о том, что пространство и время зависят от движения материальных объектов, с которыми связываются инерциальные системы отсчета. Чтобы это понять, нужно отрешиться от привычных ньютоновских представлений об абсолютности пространства и времени.

Постоянство скорости света не согласуется с преобразованиями Галилея. В самом деле, если скорость света в системе отсчета K' равна c, то в неподвижной системе K, согласно преобразованиям, она должна равняться c + v0. Оставаясь на позициях ньютоновской механики, невозможно понять, почему c + v0 должно равняться c.

В классической механике расстояния между двумя точками, а также промежутки между двумя событиями, считались одинаковыми во всех системах отсчета. Другими словами обе эти величины считались инвариантными при переходе от одной системы отсчета к другой. В релятивистской механике эта инвариантность не соблюдается. Вместо этих двух инвариантов – пространственного и временного – в ней сохранился один инвариант – пространственно-временной, выражение для которого имеет вид:

c2 t2 – x2 = c2 t' 2 – x' 2 = Inv,

т.е. при переходе из одной системы отсчета к другой неизменными остаются не пространство и время, а разность между произведением c2t2 и квадратом координаты.

Из того, что c2t2 – x2 остается неизменной явно следует взаимосвязь пространства и времени. Если увеличивается t, то возрастает и х– координата и наоборот, если изменится в сторону увеличения координата, то возрастает и время перемещения тела из начала координат в точку с этой координатой.

Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть тело в системе отсчета K' обладает скоростью v', направленной по оси x' (и x): . В системе отсчета K скорость этого тела будет . Выясним каково соотношение между скоростями v' и v. Рассмотрим производную как отношение дифференциалов dx и dt, которые найдем, используя преобразования Лоренца:

Разделим числитель и знаменатель правой части на dt' и получим

т.е. в отличие от преобразований Галилея суммарная скорость не равна сумме скоростей, а в раз ниже. Пусть тело движется в ракете со скоростью света v'x = c, а ракета движется со скоростью света относительно неподвижной системы координат v0 = c. С какой скоростью vx движется тело относительно неподвижной системы координат ?

По преобразованию Галилея эта скорость v = v'x + v0 = 2c. По преобразованию Лоренца

Понятие о релятивистской динамике. Законы взаимосвязи массы и энергии. Полная и кинетическая энергия. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Движение не слишком малых тел с не очень высокими скоростями подчиняется законам классической механики. В конце XIX века экспериментально установлено, что масса тела m не является неизменной величиной, а зависит от скорости v его движения. Эта зависимость имеет вид

где m0 – масса покоя.

Если v = 300 км/с, то v2/c2 = 1∙ 10-6 и m > m0 на величину 5 ∙ 10-7 m0 .

Отказ от одного из основных положений (m= const) классической механики привел к необходимости критического анализа и ряда других его основ. Выражение импульса в релятивистской динамике имеет вид

Законы механики сохраняют свой вид и в релятивистской динамике. Изменение импульса d(mv ) равно импульсу силы Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Отсюда dp/dt = F- есть выражение основного закона релятивистской динамики для материальной точки.

В обоих случаях входящая в эти выражения масса является переменной величиной (m ≠ const) и ее также необходимо дифференцировать по времени.

Установим связь между массой и энергией. Возрастание энергии, так же как и в классической механике, вызывается работой силы F. Следовательно, dE = Fds. Разделив левую и правую части на dt, получим

Подставляем сюда

Умножив левую и правую части полученного равенства на dt, получим

Из выражения для массы определим

Продифференцируем выражение v2.

Подставим v2 и d(v2) в выражение для dE

Интегрируя это выражение, получим E = mc2.

Полная энергия системы Е равна произведению массы на квадрат скорости света в вакууме. Связь между энергией и импульсом для частиц не имеющих массы покоя в релятивистской динамике дается соотношением

E = pc,

которое легко получить математически: E =mc2 , p = mv. Возведем оба равенства в квадрат и обе части второго домножим на с2

E2 = m2 c4 , p2 c2 = m2 v2 c2 .

Вычтем почленно из первого равенства второе

E2 – p2 c2 = m2 c4-m2 v2 c2 = m2 c4 (1-v2 / c2 ).

Учитывая, что получим

Так как масса покоя m0 и скорость света с величины, инвариантные к преобразованиям Лоренца, то соотношение (E2 - p2 c2 ) также инвариантно к преобразованиям Лоренца. Из этого соотношения получим выражение для полной энергии

Таким образом, из этого уравнения можно сделать вывод: энергией обладают и материальные частицы, не имеющие массы покоя (фотоны, нейтрино). Для этих частиц формула связи энергии и импульса имеет вид E = pc.

Из приведенных выше преобразований получили dE=c2dm. Интегрирование левой части в пределах от E0 до Е, а правой от m0 до m, дает

E – E0 = c2 (m – m0 ) = mc2 – m0 c2 ,

где E = mc2 - полная энергия материальной точки,

E0 =m0 c2 - энергия покоя материальной точки.

Разность Е – Е0 есть кинетическая энергия Т материальной точки.

При скоростях v « c, разложим в ряд:

= .

Учитывая, что v « c, ограничимся первыми двумя членами в ряду.

Тогда

т.е. при скоростях v много меньших скорости света в вакууме релятивистская формула кинетической энергии обращается в классическую формулу для кинетической энергии .

Контрольные вопроси.

Дайте определение инерциальным и неинерциальным системам отсчёта.
В чём физическая сущность механического принципа относительности?
Назовите основные постулаты специальной энергии относительности?
Приведите преобразование Галлея и вытекающей из них закон сложения скоростей в классической механике.
Приведите преобразования Лоренца и продемонстрируйте следствие из них:

а) закон сложения скоростей в релятивистской механике.;

б) относительность одновременности событий;

в) относительность длительности событий;

г) относительность размеров тел.

Приведите основной закон релятивистской динамики и поясните его отличие от основного закона классической динамики.

Приведите выражение для кинетической, полной и энергии покоя в релятивистской динамике и связь между ними.

Тесты.

Является ли вращающееся тело инерциальной системой отсчета? а) да; б) нет; в) да, если скорость вращения постоянна.
Какая из приведенных ниже формул определяет выражение для кинетической энергии в релятивистской механике?

а) E=mν2/2; б) E=mc2; в) E= m0с2; г) T=mc2-m0c2

Какая из приведенных ниже формул определяет выражение для полной энергии в релятивистской механике?

а) E=mν2/2; б) E=mc2; в) E0= m0c2; г) T=mc2-m0c2

Какая из приведенных ниже формул определяет выражения для импульса в релятивистской механике?

а) p=mv; б) ; в) ; г) .

Пример решения задач.

Протон движется со скоростью 0,7 скорости света. Найти импульс и кинетическую энергию протона.

Дано:m0=1,67.10-27кг; β=0,7; c=3.108м/с.

Найти: p, T.

Решение. Импульс частицы в релятивистской механике определяется по формуле

(1)

(2)

Подставив в формулу (2) числовые значения, получим

(кг.м/с).

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы Т определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е0 этой частицы: Т=Е-Е0, где

Тогда формула Т имеет вид:

Подставляя в формулу числовые значения, получим

.(Дж)

Вопросы для самопроверки

I. Механическое движение. Система отсчёта. Материальная точка. Траектория, путь и перемещение. Скорость и ускорение. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения.

2. Твёрдое тело. Поступательное и вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями. Период и частота вращения.

3. Первый закон Ньютона и инерциальные системы отсчёта. Сила. Второй закон Ньютона. Масса. Импульс. Третий закон Ньютона.

4. Механическая система. Внутренние и внешние силы. Импульс системы и закон его изменения. Замкнутая система и закон сохранения импульса. Центр масс и закон его движения.

5. Момент силы и момент импульса относительно точки и оси. Закон изменения момента импульса материальной точки и механической системы. Закон сохранения момента импульса.

6.Момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения. Момент инерции. Теорема Штейнера. Основной закон динамики вращательного движения.

7. Работа силы. Работа при вращательном движении. Мощность. Кинетическая энергия, закон её изменения. Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения твёрдого тела.

8. Консервативные и диссипативные силы. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике. Внутренняя энергия. Общефизический закон сохранения энергии.

9. Принцип относительности и принцип постоянства скорости света. Относительность длин и промежутков времени. Преобразования Лоренца и Галилея. Сложение скоростей.

10. Основной закон релятивистской динамики. Релятивистский импульс и релятивистская масса. Релятивистское выражение для кинетической энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Полная энергия и энергия покоя.

Тесты по дисциплине.

Какая из приведенных ниже формул соответствует определению мгновенной скорости?

а) б) в) г)

Какая из приведенных ниже формул соответствует определяют определению тангенциального ускорения?

а) б) в) г)

Какая из перечисленных ниже физических величин является скалярной?

а) сила; б) скорость; в) перечисление; г) ускорение; д) путь.

Какая из приведенных зависимостей пути от времени описывает равноускоренное прямолинейное движение?

а) б) в) г)

На тело, движущееся со скоростью v, на пути S действует сила F под углом α. Может ли быть при этом работа силы отрицательной?

а) не может; б) может, если модуль скорости очень мал; в) может, если α = 0; г) может, если 900< α <1800.

Какая из приведенных ниже формул выражает второй закон Ньютона?

а) ; б) ; в) ; г) .

Какая отрицательная величина измеряется в джоулях?

а) сила; б) работа; в) мощность; г) энергия; д) вес.

Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела массой m движущейся со скоростью v?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Чему равен момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстоянии ¼ длины от его конца? а) 1/12ml2; б) 1/3 ml2; в) 1/5 ml2; г) 2/5 ml2; д) 7/8 ml2
Чему равна кинетическая энергия поступательного движения шара, скатывающегося без трения с наклонной плоскости высотой h в конце наклонной плоскости?

а) mgh; б) 5/7 mgh; в)1/2 mgh; г) ¼ mgh; д) 3/5 mgh.

От чего зависит момент инерции тела, вращающегося относительно закрепленной оси?

а) от момента приложения сил?

б) от распределения массы относительно оси вращения;

в) от углового ускорения.

Физический смысл момента инерции:

а) произведение силы на плечо;

б) произведение момента силы на время действия;

в) мера инертности во вращательном движении.

Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела при вращательном движении?

а) Iω2/2; б) I2ω/2; в) Iω2; г) Iω; д) I2ω2.

Является ли вращающееся тело инерциальной системой отсчета?

а) да; б) нет; в) да, если скорость вращения постоянна.

Какая из приведенных ниже формул определяет выражение для кинетической энергии в релятивистской механике?

а) E=mν2/2; б) E=mc2; в) E= m0 с2; г) T=mc2-m0c2

Какая из приведенных ниже формул определяет выражение для полной энергии в релятивистской механике?

а) E=mν2/2; б) E=mc2; в) E0= m0c2; г) T=mc2-m0c2

Какая из приведенных ниже формул определяет выражения для импульса в релятивистской механике?

а) p=mv; б) ; в) ; г) .

ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ.

Глава . 1. б); 2. а); 3. д); 4. б).

Глава . 1. г); 2. г); 3. б); 4. б).

Глава . 1. д); 2 .а); 3. б); 4. в); 5. а).

Глава V. 1. б); 2. г); 3. б); 4. б).

ЛИТЕРАТУРА

Дмитриева В.Ф., Прокофьев В.Л. Основы физики. – М.: Высшая школа, 2001, 2003 г.

Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1996 и последующие годы издания.

Детлаф А.А., Яворский Ю.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989 и последуюие годы издания.

Яворский Ю.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1998 и последующие годы издания.

Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высшая школа, 1981 и последующие годы издания.

Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.: Наука, 1985 и последующие годы издания.

Гладской Владимир Матвеевич, Самойленко Петр Иванович.

ФИЗИКА (Часть 1).

Учебно–практическое пособие.

Подписано к печати:

Тираж:

Заказ:

А (x,y,z)

Δr

Рис 2

Рис.1

Δr

Δs

<v>

Рис.3

Рис. 4

EMBED Equation.3

Рис. 5

F12

F13

F21

F23

F31

F32

Рис 6

Δs

FЅ

Рис 7

Рис 8.

F’

F

Рис. 9

h<0

h>0

h>0 , En=mgh>0

En=mgh<0

h=0 , E=0

Рис. 10

O’

Рис. 11

Пл.Q

Пл.P

Δφ

Δs

Рис.12

Рис. 13

O΄

EMBED Equation.3

O΄

Рис. 14

а) б)

z′

y′

х′

O′

K′

z=z′

y=y′

x′

v0·t

Рис.15

1. Развитие творческих способностей детей средствами театрального искусства в учреждениях культуры
2. тематический лицей 131.html
3. экономическом развитии отдельных территорий региональная экономическая политика должна являться одним из
4. реферату- Проблеми забезпечення законності в державному управлінніРозділ- Державне регулювання Проблеми з
5. Демография мира
6. Тема 5 Учение об административном действии
7. тематике для учащихся выпускных классов начальной школы 2012 год
8. Principl cuz hndicpului
9. Евро грец. ~ офіційна валюта 17 з 28 держав Європейського Союзу відомих також як Єврозона рідна для
10. При отсутствии работника в день его увольнения соответствующие суммы должны быть выплачены не позднее след
11. Синдром диссеминированного внутрисосудистого свёртывания
12. а Применительно к процессам службы ИТ целью является предоставление заказчику ИТсервиса приемлемого уровн
13. Статья- Генетическое модифицирование
14. Варіант 1 Якій препарат відноситься до групи інгібіторів протонної помпи Домперідон Рібаверін
15. Реинжиниринг программного обеспечения
16. Тема 12 Стратегия риска
17. Средняя общеобразовательная школа 2 П Р О Г Р А М М А ЛЕТНЕГО ОЗДОРОВИТЕЛЬ
18. Підприємства України не мали закінченого технологічного циклу
19. Назовите нервы подкожной клетчатки ягодичной области а б
20. Продавец И гр

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе