Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задачи I тура
Всероссийской олимпиады школьников по математике.
10 класс
№1. (3 балла) Решите уравнение:
№2. (3 балла) Найдите , если
№3. (4 балла)При каких значениях существует единственное решение системы
№4. (5 баллов) На стороне треугольника взята такая точка , что окружность, проходящая через точки и , касается прямой . Найдите , если
№5. (5 баллов) Решите неравенство
11 класс
№1. (3 балла) Вычислите , если и
№2. (3 балла) Сколько существует натуральных таких, что
№3. (4 балла) Что больше: или меньший корень квадратного трехчлена
№4. (6 баллов) Точки и лежат на одной прямой. Отрезок является диаметром первой окружности, а отрезок - диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку , пересекает первую окружность в точке и касается второй окружности в точке Найдите радиусы окружностей.
№5. (4 балла) Решите неравенство
Решения и ответы.
10 класс
Данное уравнение равносильно уравнению: ;
тогда где
Избавившись от знаменателя, получим квадратное уравнение , корни которого и являются корнями исходного уравнения.
При второе уравнение системы задает точку или пустое множество, поэтому при таких система решений не имеет. При уравнения системы задают на координатной плоскости окружности: первая – с центром и радиусом 2, а вторая – с центром и радиусом . Окружности имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда они касаются внешним или внутренним образом, т.е. когда сумма или разность их радиусов равна расстоянию 5 между их центрами:
Треугольники и подобны по двум углам (вписанный угол и угол между касательной и хордой равны половине дуги ), а коэффициент подобия равен Поэтому
(так как при выражение того же знака, что и )
Критерии оценивания
|
№1 |
№2 |
№3 |
№4 |
№5 |
|
|
Максимальное число баллов |
3 |
3 |
4 |
5 |
5 |
|
Верное решение с обоснованием |
3 |
3 |
4 |
5 |
5 |
|
Решение с недочетами |
2 |
2 |
3 |
4 |
4 |
|
Неполное решение с негрубыми ошибками |
1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
|
Неверное решение, но есть продвижение в верном направлении |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
Решение неверно или отсутствует |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
11 класс
Квадратный трехчлен имеет отрицательный корень и положительный корень , причем и откуда следует, что меньше .
Возможны три случая расположения точек и на прямой.
Точка лежит между точками и . Тогда находится внутри второй окружности и не существует прямой, проходящей через и касающейся второй окружности.
Отрезки и параллельны, и по рис. 1 должно выполняться неравенство , а в то же время и , так что этот случай невозможен.
где функция определена на луче и убывает, а функция возрастает на всей прямой. Поскольку , исходное неравенство равносильно условию
PAGE \* MERGEFORMAT 7