Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1)Производная функции одной переменной и ее геометрический смысл.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
Производная функции есть некоторая функция , произведенная изданной функции.
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.
Если точка касания М имеет координаты , угловой коэффициент касательной есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении можно записать уравнение касательной .
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение нормали имеет вид .
2)Дифференцируемость функции одной переменной, схема вычисления производной. Производная сложной функции.
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала ,называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Вычисление производной функции производится по следующей схеме :
1)Находим приращение функции на отрезке , ;
2)Делим приращение функции на приращение аргумента : ;
3)Находим предел , устремляя к нулю.
.
Производная сложной функции.
Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле .
3)Основные правила дифференцирования функции одной переменной.
Пусть функции - две дифференцируемые в некотором интервале функции.
1)Производная суммы (разности) двух функций равна сумме(разности) производных этих функций:
2)Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:
3)Производная частного двух функций ,если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:
.
4)Производная функции, заданной параметрически.
Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде двух уравнений ,где - вспомогательная переменная ,называется параметром.
Найдем производную ,считая , что функции имеют производные и что функция имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции .
Функцию , определяемую параметрическими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где .
По правилу дифференцирования сложной функции имеем: .
Из всего этого получаем
5)Производная функции, заданной неявно.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения ,не разрешенного относительно .
Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от по нет необходимости разрешать уравнение относительно : достаточно продифференцировать это уравнение по ,рассматривая при этом как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .
6)Логарифмическое дифференцирование.
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
1)Логарифмируем обе части равенства с помощью натурального логарифма.
2)Используем свойства логарифма .
3)Дифференцируем обе части равенства по , с учетом что -сложная функция.
4)Выражаем ;
5).
7)Теоремы Ролля и Лагранжа. Геометрическая интерпретация этих теорем.
Теорема Ролля: Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси .
Теорема Лагранжа : Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство
.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции найдется точка , в которой касательная к графику функции параллельна секущей .