Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 25. Закон сохранения количества движения и теорема о движении центра масс
Напишем уравнение, выражающее второй закон Ньютона, для каждого из n тел механической системы; равнодействующую прило женных к данному телу внутренних сил системы обозначим векто ром f, равнодействующую приложенных к нему внешних сил — векто ром F:
Сложим (по правилу многоугольника) векторы, стоящие в левых и в правых частях этих уравнений:
d/dt(m1v1+m2v2+ ...+mnvn)=f1+f2+...+ F1+ F2+...
Находящаяся в правой части уравнения сумма внутренних сил
f1+f2+...+fn
равна нулю, так как все эти силы попарно равны по величине и противоположно направлены. Остаются лишь внешние силы. Поэтому получаем:
d/dt(m1v1+ m2v2+...+ mnvn)= F1 + F2+... + fn (1)
Геометрическое изменение количества движения системы, про исходящее за бесконечно малый промежуток времени и разделён ное на этот промежуток времена, равно геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. Другими словами, изме нение со временем величины и направления количества движения системы определяется действующими на систему внешними силами. Внутренние силы не могут изменить количества движения системы в целом. Следовательно, в системе, на которую внешние силы не действуют или их равнодействующая равна нулю, количество движе ния остаётся постоянным.
Этот закон сохранения количества движения является одним из важнейших законов физики. Приведём несколько примеров, поясняю щих этот закон.
Когда человек, ранее стоявший неподвижно на тележке, прыгает вперёд, то тележка откатывается назад, так что их суммарное коли чество движения, которое было равно нулю, остаётся равным нулю
Рис. 43. m1v1+m2v2=0.
Если человек вбегает на катящуюся ему навстречу тележку (лёгкую и медленно двигающуюся), то, остановившись на ней, он будет дви гаться вместе с тележкой с таким же количеством движения, какой была вначале геометрическая сумма количеств движения человека и тележки (рис. 44): m1v1+m2v2= (m1+m2)v.
Рис. 44. m1v1+m2v2=(m1+m2)v.
Рис. 45. Тележка остаётся неподвижной, если человек пробегает через неё с не изменной скоростью.
Когда человек бежит через неподвижно стоящую тележку, не замедляя скорости своего движения, тележка останется стоять непо движно (рис. 45).
При разрыве шрапнели осколки разлетаются в разные стороны, но никогда не летят все вниз или все вверх от траектории снаряда. Геометрическая сумма количеств движения осколков после разрыва остаётся такой же, каким было количество движения снаряда до разрыва (рис. 46).
Рис. 46. Центр масс разлетаю щихся в разные стороны осколков шрапнели продолжает двигаться по той же траектории, по которой двигался бы снаряд, если бы раз рыва не произошло.
Внутренние силы не влияют на движение центра масс. Но внутренние силы могут вызвать взаимное движение тел системы. При этом изменения скоростей двух тел под действием внутренних сил обратно пропорциональны их массам и противоположны по направлению.
Так, когда человек спрыги вает с лёгкой тележки, то она с большой скоростью откаты вается назад, тогда как тяжёлая тележка откатится медленно. Оба эти движения вызваны дей ствием внутренних сил; подоб ное проявление внутренних сил носит название отдачи. Стоя на коньках, бросим вперёд какой-либо тяжёлый предмет; мы неизбежно покатимся назад, но медленно, так как наша масса сравнительно велика. При выстреле, если орудие не укреплено неподвижно (т. е. нет внешнего противо действия), оно откатывается назад.
Явлением отдачи объясняется движение ракеты: ракета взрывом (внутренние силы) выбрасывает назад газы; выброшенные газы и сама ракета удаляются в противоположные стороны от их общего центра масс.
Докажем, что центр масс системы, если представить себе, что в нём сосредоточена вся масса системы, является носителем всего количества движения системы.
Вообразим, что внутри системы действуют бесконечно возрастаю щие с течением времени силы взаимного притяжения частиц и тел, а внешних сил нет. Тогда, продолжая совместное движение по инер ции, все материальные частицы системы будут одновременно сбли жаться, и точкой их встречи будет центр масс (§ 24). В дальнейшем они будут двигаться совместно, как одно тело с массой
М =m1+m2 +m3+ ...+ mn,
а так как при отсутствии внешних сил количество движения системы измениться не могло, то скорость v совместного движения соединив шихся масс должна удовлетворять условию:
Mv = количеству движения системы.
Этот вывод имеет большое принципиальное значение, и его фор мулируют так: полное количество движения механической системы таково же, как если бы вся масса системы была сосредоточена в её центре масс и двигалась вместе с ним.
Поэтому количество движения системы называют также количе ством движения её центра масс. Равенство количества движения си стемы и количества движения её центра масс математически выра жается формулой
Mv=т1v1+т2v2+ ...+ mnvn , (2)
где М — масса всей системы, v — скорость движения её центра масс, m1 m2, ..., mn — массы отдельных тел (или материальных точек) системы, v1, v2, ..., vn — их скорости.
Заменив в уравнении (1) геометрическую сумму количеств движе ния тел системы вектором количества движения её центра масс, по лучаем:
d(Mv)/dt=F1+F2+ ...+Fn. (3)
Это новое уравнение таково же, как уравнение, выражающее второй закон Ньютона для тела с массой М, движущегося под действием силы
F=F1 + F2+...+Fn
Отсюда делаем вывод: центр масс механической системы дви жется так, как если бы в нём была сосредоточена вся масса системы и на него действовала бы сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к телам системы.
Эту теорему называют теоремой о движении центра масс.
В частности, при отсутствии внешних сил или при равенстве нулю их геометрической суммы центр масс системы движется как изолированное тело, т. е. равномерно и прямолинейно, либо остаётся в покое.
Из независимости действия сил следует применимость теоремы о движении центра масс к движению вдоль каждого направления в отдельности. Математически это выражается тем фактом, что век торное уравнение (3) равносильно трём скалярным уравнениям для проекций тех же векторов на три взаимно перпендикулярные оси:
Руководствуясь принципом независимости действия сил и исследуя движение центра массы вдоль какого-нибудь направления, например
К примерам, которые были приведены в предыдущем параграфе для пояснения закона сохранения количества движения и которые в то же время служат подтверждением тео ремы о движении центра массы, присоединим ещё один важный пример. Представим себе, что на твёрдое тело, находившееся в покое, начали действовать две численно равные, про тивоположно направленные параллельные силы (так называемая пара сил). Как будет двигаться тело? На первый взгляд кажется, что тело начнёт вращаться вокруг точки D, лежащей посредине между точками приложения пары сил (рис. 47).
Рис. 47. Как бы ни была приложена к те лу пара сил F и -F, она вращает тело во круг оси, проходящей через центр масс С.
Но это заключение ошибочно (нередко эту ошибку делают при решении задач). Геометрическая сумма приложенных внешних сил F и -F равна нулю. Следовательно, движение центра масс не изменится. Он был в покое и останется в покое. Тело будет вращаться вокруг не подвижного центра масс С.
Если нагрузить лодку-плоскодонку посредине тяжёлыми камнями, много тяжелее веса нашего тела, и, сев где угодно, на носу или на корме лодки, грести одним веслом вперёд, другим назад, то лодка будет поворачиваться вокруг середины (вокруг центра масс). Если перело жить камни на нос лодки, то центр масс, а с ним и центр вращения переместятся к носу. Наконец, если камни положить на корме, лодка будет поворачиваться около центра масс, перемещённого к корме.
В применении к вращательному движению закон сохранения ко личества движения может быть преобразован в форму, более удобную для анализа вращательных движений — в закон сохранения момента ко личества движения. Понятие о моменте количества движения (или, что то же, об импульсе вращения) и закон сохранения момента количества движения при вращении твёрдого тела будут пояснены в главе VII.]